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[강연] 최적화 이론, 인공지능 시대에 비상하다 1_by 권도현 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 8강 첫 번째 이야기 | 8강 ①

인공지능은 현대 과학의 정점으로 불리며, 최근 노벨 물리학상과 화학상을 인공지능 연구자들이 휩쓴 사건은 그 위상을 단적으로 보여줍니다. 과거에는 연구 성과가 인정받기까지 수십 년이 걸리기도 했으나, 인공지능 분야는 불과 몇 년 만에 세계적인 인정을 받을 만큼 혁신적인 속도로 발전하고 있습니다. 이러한 인공지능의 놀라운 퍼포먼스 이면에는 복잡한 문제를 효율적으로 해결하기 위한 수학적 원리가 숨어 있는데, 그 핵심이 바로 최적화 이론입니다. 최적화 이론이란 주어진 제약 조건 아래에서 목적 함수가 최솟값이나 최댓값을 가지는 지점을 찾는 과정을 의미합니다. 예를 들어, 특정 예산과 시간 내에 가장 멀리 이동할 수 있는 경로를 찾는 것이 실생활의 최적화 문제입니다. 수학적으로는 변수와 제약 조건을 설정하고, 이를 만족하는 최적의 해를 구하는 수식으로 표현됩니다. 인공지능 역시 방대한 데이터 속에서 가장 정확한 답을 내놓기 위해 이 최적화 과정을 끊임없이 반복하며 학습을 진행합니다. 최적화의 역사에서 중요한 이정표 중 하나는 18세기 몽주가 제안하고 20세기 칸토로비치가 일반화한 최적 운송 이론입니다. 이는 물류 비용을 최소화하기 위해 자원을 어떻게 배분할 것인가를 다루는 학문으로, 칸토로비치는 이 공로로 노벨 경제학상을 수상했습니다. 오늘날 아마존이나 쿠팡 같은 거대 물류 기업들이 효율적인 배송 시스템을 구축할 수 있는 것도 바로 이 이론 덕분입니다. 자원 배분의 효율성을 극대화하는 수학적 모델은 현대 산업 전반의 수익성과 직결됩니다. 최적화는 물리적 현상을 설명하는 데에도 필수적입니다. 중력이 작용하는 상황에서 공이 가장 빠르게 내려오는 경로를 찾는 '최단 강하 곡선' 문제는 변분법이라는 수학 분야를 탄생시켰습니다. 오일러와 라그랑주는 이 곡선을 나타내는 미분 방정식을 찾아내어 복잡한 함수의 최적점을 구하는 기틀을 마련했습니다. 이러한 고전 역학의 수학적 도구들은 오늘날 인공지능이 복잡한 데이터 분포를 이해하고 예측 모델을 설계하는 데 있어 강력한 기반이 되고 있습니다. 인공지능 모델에서 최적화는 '손실 함수'를 최소화하는 과정으로 구체화됩니다. 손실 함수란 인공지능이 예측한 값과 실제 정답 사이의 오차를 나타내는 지표입니다. 모델이 학습한다는 것은 결국 이 오차를 줄여나가는 과정을 의미하며, 수학적으로는 함수의 기울기를 이용해 최저점을 찾아가는 여정입니다. 오차가 작을수록 인공지능은 더 정확한 판단을 내리게 되며, 이를 위해 수학자들은 더 정교한 목적 함수를 설계하고 효율적인 계산 알고리즘을 개발하는 데 매진하고 있습니다. 오차를 줄이는 대표적인 방법은 '경사하강법'입니다. 이는 마치 안대를 쓴 채 그랜드 캐니언의 가장 깊은 골짜기를 찾아가는 과정과 비슷합니다. 현재 위치에서 지면의 경사를 파악해 가장 가파르게 내려가는 방향으로 한 걸음씩 이동하는 방식입니다. 이때 한 번에 이동하는 거리를 '학습률'이라고 부르는데, 이 값이 너무 작으면 학습 속도가 지나치게 느려지고, 너무 크면 최적점을 지나쳐버리는 문제가 발생합니다. 따라서 적절한 학습률을 설정하는 것이 인공지능 성능의 핵심입니다. 현실의 데이터는 매우 복잡하여 함수의 모양이 단순한 볼록 형태가 아닌 경우가 많습니다. 골짜기를 내려가다 보면 중간에 작은 웅덩이에 빠져 더 이상 내려가지 못하는 '지역 최솟값' 문제에 직면하기도 합니다. 이를 극복하기 위해 현대 인공지능은 무작위성을 도입한 '확률적 경사하강법'과 같은 고도화된 기법을 사용합니다. 수학적 엄밀함과 실험적 최적화가 결합된 이러한 노력들은 인공지능이 인간의 지능을 모방하고 초월하는 데 결정적인 역할을 수행하고 있습니다.

권도현

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 문제를 어떻게 뒤집어요? 역문제, 결과에서 원인 찾기 1_by 임미경 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 6강 첫 번째 이야기 | 6강 ①

수학에서 '역문제'란 결과로부터 원인을 추론하는 과정을 의미합니다. 보통의 수학 문제가 주어진 조건에서 답을 구하는 '순문제'라면, 역문제는 측정값을 바탕으로 그 결과를 만들어낸 원래의 상태나 규칙을 찾아내는 방식입니다. 일상 속의 스도쿠나 네모로직 같은 퍼즐도 일종의 역문제로 볼 수 있습니다. 제한된 정보를 조합하여 전체의 그림을 완성해 나가는 과정이 역문제의 본질과 맞닿아 있기 때문입니다. 역문제는 현대 과학에서 '비침습 탐지'라는 중요한 역할을 수행합니다. 직접 땅을 파거나 물체를 부수지 않고도 내부 구조를 파악할 수 있게 해주는 것입니다. 예를 들어 지진이 발생했을 때 관측된 지진파를 분석하여 진앙의 위치를 역으로 추적하거나, 지표면 아래의 싱크홀 유무를 판단하는 연구가 대표적입니다. 이는 우리가 직접 눈으로 볼 수 없는 영역의 진실을 수학적 추론을 통해 밝혀내는 강력한 도구가 됩니다. 우주 탐사 분야에서도 역문제는 빛을 발합니다. 태양계의 행성인 해왕성의 발견은 관찰보다 수학적 계산이 앞선 '기획된 발견'의 사례입니다. 천왕성의 궤도가 이론적 예측과 다르게 움직이는 것을 보고, 그 바깥에 영향을 주는 또 다른 행성이 존재해야만 한다는 결론을 내린 것입니다. 수학자들은 계산을 통해 새로운 행성이 나타날 위치와 시간을 정확히 예측했고, 실제 관측을 통해 그 존재가 증명되면서 수학적 확신의 힘을 보여주었습니다. 의료 현장에서 필수적인 CT나 MRI 촬영 역시 역문제의 원리를 이용합니다. 신체 외부에서 엑스레이나 자기장을 쏘아 투과된 정보를 수집하고, 이를 바탕으로 몸속 장기의 단면 이미지를 재구성하는 것입니다. 여러 각도에서 측정값들을 모아 3차원 형상으로 만들어내는 과정에는 고도의 수학적 알고리즘이 필요합니다. 이를 통해 의사들은 환자의 몸에 칼을 대지 않고도 내부의 질병이나 이상 유무를 정밀하게 진단할 수 있게 되었습니다. 이러한 의료 영상 기술의 핵심에는 '라돈 변환'이라는 수학적 개념이 자리 잡고 있습니다. 엑스레이가 인체를 통과할 때 각 지점의 밀도에 따라 에너지가 줄어드는 정도를 적분하여 측정값으로 변환하는 과정입니다. 수학자들은 이렇게 얻은 측정값에 푸리에 변환과 같은 기법을 적용하여 원래의 밀도 분포를 역으로 계산해 냅니다. 복잡한 수식과 기호들로 이루어진 이 과정은 보이지 않는 내부의 밀도 지도를 그리는 정교한 설계도와 같습니다. 하지만 결과로부터 원인을 찾는 과정이 항상 완벽한 것은 아닙니다. 때로는 서로 다른 원인이 동일한 결과를 만들어낼 수도 있기 때문입니다. 예를 들어 특정 방향에서 본 그림자가 사람의 형상일지라도, 실제 물체는 전혀 다른 금속 조각들의 조합일 수 있습니다. 따라서 정확한 해답을 얻기 위해서는 충분한 양의 정보와 함께 현상을 정확하게 설명할 수 있는 정교한 모델링이 필수적입니다. 이론과 기술의 병행 발전이 역문제 해결의 열쇠가 되는 이유입니다. 역문제 연구는 경제적으로도 큰 가치를 지닙니다. 고가의 의료 장비를 새로 구입하는 대신, 기존 장비에 적용되는 수학적 알고리즘을 개선함으로써 영상의 선명도를 획기적으로 높일 수 있기 때문입니다. 하드웨어의 한계를 소프트웨어적인 수학적 접근으로 극복하는 방식은 가성비 높은 혁신을 가능하게 합니다. 이처럼 수학은 순수 학문을 넘어 공학, 의학 등 다양한 분야와 협업하며 실생활의 문제를 해결하는 실천적인 학문으로 진화하고 있습니다.

임미경

카오스재단카오스강연

수학

[대담] QnA 탐험 톡(TALK)! | 제 32회 서울대 자연과학 공개강연_'과학의 탐험' by 안진호, 유종희, 김장수, 이유경 l 서울대학교&카오스재단

최근 화제가 된 요리 경연 프로그램처럼, 과학 연구 역시 저마다의 독특한 '맛'을 지니고 있습니다. 과학자들은 수의 세계나 광활한 우주를 탐험하며 각기 다른 즐거움을 느낍니다. 마치 우리가 좋아하는 음식이 다르듯, 탐험가들도 자신만의 가장 좋아하는 연구 분야에 중독되어 살아갑니다. 이러한 탐험의 맛은 단순히 지식을 습득하는 것을 넘어, 세상에 없던 새로운 발견을 향해 나아가는 과정에서 오는 짜릿한 희열과도 같습니다. 남극의 엘리펀트 모레인 지역은 마치 외계 행성에 발을 디딘 듯한 신비로운 풍경을 선사합니다. 영하 25도의 추위와 강한 바람 속에서도 푸른 얼음 위로 날리는 눈발은 탐험가에게 잊지 못할 시각적 맛을 제공합니다. 거대한 산도 없이 끝없이 펼쳐진 자갈밭은 빙하의 흐름이 만들어낸 자연의 걸작입니다. 이러한 극한의 환경에서 마주하는 낯선 풍경은 과학자들에게 탐험의 본질이 무엇인지 다시금 깨닫게 하는 소중한 순간이 됩니다. 수학적 아이디어가 떠오르는 순간은 육체적인 허기를 잊게 할 만큼 강력한 만족감을 줍니다. UC 버클리의 아름다운 경치를 배경으로 난제를 해결할 실마리를 찾았을 때의 기분은 그 어떤 산해진미보다 달콤합니다. 아내와 함께한 저녁 식사 자리에서 음식에는 손도 대지 못한 채 연구 이야기만 늘어놓았다는 일화는 지적 탐구가 주는 즐거움이 얼마나 큰지를 잘 보여줍니다. 배가 부르지 않아도 마음이 가득 차는 것, 그것이 바로 수학 탐험의 맛입니다. 때로는 계획대로 되지 않는 상황에서 '의외의 맛'을 발견하기도 합니다. 기상 악화로 비행기가 뜨지 않아 우연히 시작된 북극 식물 관찰이 북극 식물 도감 발간으로 이어진 사례가 대표적입니다. 전공 분야가 아니더라도 호기심을 가지고 주변을 살피다 보면, 이름 없던 식물에 이름을 붙여주는 의미 있는 결실을 맺게 됩니다. 예상치 못한 경로에서 마주치는 새로운 연구 주제는 탐험의 여정을 더욱 풍성하게 만들어주는 양념과도 같은 역할을 합니다. 과학 탐험은 혼자만의 고독한 싸움이 아니라 동료들과 함께하는 협동의 과정입니다. 수학자들은 공동 연구를 통해 서로의 부족한 점을 보완하고, 물리학자들은 치열한 논쟁을 통해 이론의 논리를 견고히 다집니다. 보어와 아인슈타인의 사례처럼, 서로의 주장을 반박하고 방어하는 과정은 감정싸움이 아닌 학문적 성장을 위한 필수적인 대련입니다. 자연이라는 공정한 심판 앞에서 진리를 추구하는 이들에게 동료는 가장 든든한 조력자이자 자극제가 됩니다. 필드 과학의 현장에서는 수억 년 전의 기록을 담은 빙하나 우주에서 온 운석을 직접 만질 수 있습니다. 남극의 지의류는 극한 환경에서도 살아남아 미래 우주 개척의 실마리를 제공하며, 운석의 절단면은 우주의 기원을 연구하는 소중한 단서가 됩니다. 이러한 실물 시료들은 교과서 속의 지식이 아닌 살아있는 과학의 역사를 보여줍니다. 자연과학은 우리 주변의 하늘과 바다, 땅을 연구 대상으로 삼아 세상의 비밀을 하나씩 풀어나가는 역동적인 학문입니다. 미래의 탐험가를 꿈꾸는 학생들에게 수학이나 과학은 결코 단번에 이해해야 하는 높은 벽이 아닙니다. 이해의 과정은 0과 1로 나뉘는 것이 아니라 연속적으로 깊어지는 것이기에, 당장 어렵더라도 반복해서 학습하다 보면 어느덧 높은 수준에 도달하게 됩니다. 유행을 좇기보다 자신이 진정으로 좋아하는 분야를 찾는 데 시간을 투자하시길 바랍니다. 연구가 취미가 되고, 그 즐거움에 대한 보상까지 따르는 삶은 탐험가만이 누릴 수 있는 최고의 축복입니다.

김장수, 안진호, 유종희, 이유경

카오스재단카오스크로스

물리학
천문학

[카오스 짧강] 방정식에 숨어 있는 대칭, 대칭을 표현하는 군론

정삼각형의 대칭성을 이해하는 것은 군론의 기초를 다지는 흥미로운 출발점입니다. 정삼각형을 120도, 240도, 혹은 360도 회전시켰을 때 원래의 모양과 완벽하게 겹쳐지는 회전 대칭을 발견할 수 있습니다. 또한 삼각형의 꼭짓점을 지나는 대칭축을 중심으로 뒤집는 대칭 이동도 가능합니다. 이러한 이동 방법들을 하나씩 세어보면 정삼각형이 가진 고유한 대칭 구조를 파악할 수 있게 됩니다. 이는 단순히 도형을 돌리는 행위를 넘어 수학적 구조를 탐구하는 첫걸음이 됩니다. 군론에서 가장 중요한 개념 중 하나는 서로 다른 연산이 결과적으로 동일한 상태를 만든다면 이를 같게 취급한다는 점입니다. 예를 들어 정삼각형을 480도 회전시키는 행위는 한 바퀴를 돌고 난 뒤 다시 120도를 더 돌린 것과 같으므로, 수학적으로는 120도 회전과 동일한 원소로 간주합니다. 이처럼 무한히 반복될 수 있는 회전의 과정을 유한한 대칭의 원소로 묶어내는 것이 군론의 핵심입니다. 이러한 추상화 과정을 통해 복잡한 대칭의 세계를 체계적인 언어로 설명할 수 있습니다. 대칭의 개념은 기하학적 도형을 넘어 대수학의 영역인 방정식으로 확장됩니다. 우리가 흔히 접하는 이차방정식의 근의 공식을 떠올려 보면, 제곱근 기호 앞에 붙은 플러스-마이너스 기호를 발견할 수 있습니다. 이는 두 개의 근이 서로 대칭적인 관계에 있음을 시각적으로 보여주는 장치입니다. 즉, 방정식의 해가 단순히 개별적인 숫자의 나열이 아니라 특정한 구조적 대칭성을 내포하고 있다는 사실을 암시합니다. 이러한 통찰은 방정식의 본질을 이해하는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 더 나아가 방정식의 차수가 높아짐에 따라 근들이 보여주는 기하학적 배치는 더욱 정교해집니다. x의 제곱이 1이 되는 근이 1과 -1로서 서로 반대 방향을 향하듯, 세제곱이나 네제곱의 근들도 복소평면 위에서 정다각형의 꼭짓점과 같은 위치에 자리 잡습니다. 비록 눈에 보이지 않는 추상적인 수의 세계일지라도, 그 근저에는 완벽한 균형과 대칭의 법칙이 흐르고 있는 것입니다. 이는 방정식의 차수가 높아질수록 더욱 풍성하고 아름다운 기하학적 구조를 만들어내는 원동력이 됩니다. 과거의 수학자들이 방정식의 정확한 해를 구하는 데 몰두했다면, 현대 수학은 그 근들이 가진 대칭적인 구조를 이해하는 데 더 큰 가치를 둡니다. 군론은 바로 이러한 대칭을 분석하고 설명하기 위한 강력한 언어로서 활용됩니다. 방정식의 근들이 이루는 정삼각형이나 정오각형 같은 구조를 파악함으로써 우리는 수의 세계에 숨겨진 질서를 발견하게 됩니다. 결국 수학은 단순한 계산을 넘어 우주와 자연이 가진 대칭의 아름다움을 논리적으로 증명해 나가는 숭고한 과정이라고 할 수 있습니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 대수학이 뭐지?

수학이라는 단어만 들어도 거부감을 느끼는 사람들이 많습니다. 특히 '대수학'이라는 용어는 그 이름만으로도 무겁고 어렵게 다가오기 마련입니다. 많은 이들이 대수학의 '대'자를 '클 대(大)'로 오해하여, 마치 거대하고 심오한 학문일 것이라는 막연한 두려움을 갖기도 합니다. 하지만 대수학은 우리를 괴롭히기 위해 존재하는 복잡한 학문이 아니라, 오히려 복잡한 세상을 명쾌하게 정리해 주는 도구에 가깝습니다. 우리가 일상에서 마주하는 수많은 문제들을 논리적으로 풀어내기 위한 첫걸음이 바로 이 생소한 이름의 학문에서 시작됩니다. 대수학에서 '대'는 '대신할 대(代)자'를 사용합니다. 우리가 문법에서 명사를 대신해 '그'나 '그녀' 같은 대명사를 쓰는 것과 같은 원리입니다. 즉, 구체적인 숫자가 무엇인지 당장 알 수 없거나 상황에 따라 변할 수 있을 때, 이를 미지수로 대신 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 예를 들어, 어떤 모임의 인원수를 정확히 모를 때 이를 임의의 미지수로 두고 계산을 이어가는 방식입니다. 이러한 접근법은 구구절절한 설명 없이도 문제의 본질을 꿰뚫어 보게 하며, 복잡한 상황을 하나의 수식으로 단순화하는 마법 같은 힘을 발휘합니다. 대수학은 현실 세계의 복잡한 관계들을 수식으로 변환하여 우리가 답을 찾을 수 있도록 도와줍니다. 결국 이 학문은 낯설고 어려운 이론이 아니라, 우리가 세상을 더 명확하게 이해할 수 있도록 돕는 유용한 언어인 셈입니다. 이 학문의 본질을 이해한다면 수학을 향한 막연한 공포도 조금은 덜어낼 수 있을 것입니다. 단순히 숫자를 계산하는 것을 넘어, 보이지 않는 관계를 미지수로 정의하고 풀어내는 과정은 우리에게 세상을 바라보는 새로운 관점을 제시해 줍니다. 어렵게만 느껴졌던 수식들이 사실은 소통의 도구였음을 깨닫는 순간 수학은 다시 보이기 시작합니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] 교육AI를 탄생시킨 놀라운 수학적 아이디어 1_by 노현빈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 6강 첫 번째 이야기 | 6강 ①

수학은 논리적 구조가 층층이 쌓여가는 학문입니다. 따라서 학년을 낮추더라도 빈틈없이 이해하고 넘어가는 과정이 무엇보다 중요합니다. 단순히 공식을 외우는 것이 아니라, 누군가를 가르치듯 내용을 되새기며 자신의 언어로 번역하는 과정은 수학적 사고력을 기르는 최고의 방법입니다. 이러한 기초적인 학습 태도는 수학이라는 거대한 탑을 쌓아 올리는 단단한 지반이 되며, 학습자에게 성취감과 동기를 부여하는 강력한 토대가 됩니다. 수학적 구멍을 메우는 과정은 결국 더 높은 단계의 논리를 수용할 수 있는 그릇을 만드는 일입니다. 흔히 순수 수학은 실생활과 동떨어진 '무용'의 영역으로 오해받곤 합니다. 하지만 역사적으로 위대한 과학적 발견은 당장 어디에 쓰일지 고민하지 않았던 순수 수학의 토대 위에서 꽃을 피웠습니다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 리만 기하학을 통해 완성되고, 헤르츠의 전자기파 이론이 현대 무선 통신의 시초가 된 사례가 이를 증명합니다. 수학자가 구축한 정교한 이론 체계는 시간이 흐른 뒤 '미들맨'이라 불리는 응용 학자들에 의해 인류의 삶을 바꾸는 혁신적인 기술로 재탄생합니다. 무용해 보이는 지식이 가장 유용한 가치로 변모하는 셈입니다. 현대 기술의 정점인 인공지능 역시 그 근간에는 수학적 원리가 깊게 뿌리내리고 있습니다. 특히 미분은 인공지능이 방대한 데이터 속에서 최적의 해답을 찾아내는 '최적화' 과정의 핵심 도구입니다. 인공지능 모델이 얼마나 정확한지 채점하고, 더 나은 방향으로 스스로를 수정해 나가는 과정은 결국 미분값이 0이 되는 지점을 찾는 수학적 여정과 같습니다. 우리가 배우는 미적분이 단순히 시험을 위한 도구가 아니라, 미래 산업을 이끄는 인공지능의 심장을 뛰게 하는 원동력이라는 사실은 수학의 실천적 가치를 다시금 깨닫게 합니다. 수학의 세계는 학년이 올라갈수록 세상을 설명하는 언어의 범위를 확장해 나갑니다. 고등학교 수준의 극한 개념이 대학에서 엡실론-델타 논법으로 정교해지듯, 수학은 끊임없이 기존의 틀을 깨고 더 큰 체계를 구축합니다. 그 정점에 있는 대수기하학은 인류가 가진 가장 거대한 사고의 틀이자 '언어의 언어'라고 불리는 범주론을 포괄합니다. 대수기하학이라는 광활한 언어 체계를 갖추는 것은 복잡한 세상의 문제들 속에서 정신을 잃지 않고 논리적으로 사고할 수 있는 강력한 무기를 얻는 것과 같습니다. 이는 인간의 사고가 도달할 수 있는 가장 높은 경지의 언어입니다. 수학 공부를 통해 길러진 논리적 근력은 다른 학문을 탐구하는 데에도 결정적인 역할을 합니다. 복잡한 수학적 구조를 이해해 본 경험은 사고의 한계를 넓혀주며, 이는 새로운 분야를 학습할 때 비교할 수 없는 속도와 깊이를 제공합니다. 허준이 교수가 조합 대수기하학을 통해 난제를 해결했듯이, 수학은 서로 다른 영역을 잇는 가교가 되어 인류 지식의 지평을 넓힙니다. 결국 수학은 단순한 계산을 넘어, 세상을 바라보는 새로운 틀을 제시하고 미래를 설계하는 가장 기초적인 체력입니다. 수학을 포기하지 않는 것은 곧 자신의 사고 가능성을 포기하지 않는 것과 같습니다.

노현빈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 1_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 첫 번째 이야기 | 4강 ①

위대한 과학자의 길은 흔히 고독한 연구의 연속이라 생각하기 쉽습니다. 하지만 물리학자 이휘소 박사를 추모하는 강연에서 만난 젊은 트호프트 박사의 이야기는 이러한 편견을 깨뜨려 주었습니다. 그는 동료 과학자들과의 깊은 유대감과 공동의 성취가 얼마나 큰 가치를 지니는지 강조했습니다. 학문적 성과 뒤에 숨겨진 뜨거운 동지애는 누군가에게는 평생을 바칠 학문의 길로 들어서는 결정적인 전환점이 되기도 합니다. 과학은 혼자 하는 것이 아니라, 서로의 지혜를 나누며 함께 나아가는 과정임을 깨닫는 순간 새로운 세계가 열립니다. 이휘소 박사는 한국인 물리학자 중 노벨상에 가장 근접했다는 평가를 받는 인물입니다. 화학공학으로 시작해 물리학으로 전향한 그는 유학 시절 탁월한 재능을 인정받아 세계적인 연구소에서 수많은 업적을 남겼습니다. 비록 40대 초반이라는 젊은 나이에 안타까운 사고로 생을 마감했지만, 그가 남긴 학문적 유산은 여전히 후대 과학자들에게 큰 영감을 주고 있습니다. 그의 삶은 단순한 천재성을 넘어, 진리를 향한 열정과 헌신이 무엇인지를 보여주는 상징과도 같습니다. 이러한 위대한 선구자의 발자취는 다음 세대의 꿈을 키우는 밑거름이 됩니다. 수학의 세계에는 '빅 매스(Big Math)'라는 화두가 존재합니다. 이는 단순히 논문을 쓰기 위한 지엽적인 연구가 아니라, 학문의 근본적인 흐름을 바꾸는 거대한 주제에 도전하는 정신을 의미합니다. 20세기 최고의 수학적 기획이라 불리는 '랭글랜즈 프로그램'은 수많은 수학자에게 영감을 주었으며, 이를 통해 수학의 여러 분야가 하나로 연결되는 놀라운 경험을 선사했습니다. 방황하던 시기에 만난 이러한 거대한 비전은 한 개인의 인생을 수학자의 길로 이끄는 강력한 이정표가 됩니다. 큰 꿈을 품고 본질을 꿰뚫는 연구에 매진하는 태도는 모든 학문의 지향점입니다. 한국 수학계의 거목인 이임학 교수와 그의 제자 임덕상 교수의 이야기는 역경을 이겨낸 학문적 의지를 잘 보여줍니다. 전쟁과 가난이라는 혹독한 환경 속에서도 주경야독하며 학업을 이어간 이들은 짧은 유학 기간에도 불구하고 세계적인 학문적 성취를 이루어냈습니다. 특히 대수학 분야에서 이들이 남긴 족적은 한국 수학의 위상을 높이는 데 결정적인 역할을 했습니다. 스승의 가르침이 제자에게 이어지고, 그 제자가 다시 세계적인 학자로 성장하는 과정은 학문의 계보가 어떻게 형성되는지를 보여주는 감동적인 사례입니다. 현대 수학의 주요 분야인 대수기하학은 기하학적 대상을 대수적인 방법으로 분석하는 학문입니다. 이는 마치 칸딘스키나 몬드리안 같은 추상 화가들이 사물의 외형 너머에 숨겨진 본질적인 구조를 탐색하는 과정과 닮아 있습니다. 미술 작품 속의 점, 선, 면이 이루는 조화는 수학자가 추구하는 구조의 명징성과 궤를 같이합니다. 복잡한 현상 속에서 명확한 질서를 찾아내려는 노력은 예술과 수학 모두가 공유하는 가치입니다. 이러한 시각으로 세상을 바라볼 때, 우리는 수학이 단순한 계산을 넘어 세상을 이해하는 아름다운 언어임을 깨닫게 됩니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 1_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

일상에서 흔히 쓰이는 용어들이 수학의 세계에서는 전혀 다른 의미와 깊이를 지니는 경우가 많습니다. 예를 들어 '무리수'는 일상에서 이치에 맞지 않는 행동을 뜻하지만, 수학에서는 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 의미합니다. '함수' 역시 국어사전에서는 기능을 뜻하나, 수학에서는 상자 안에 무언가를 넣었을 때 결과가 나오는 '블랙박스'와 같은 구조를 상징합니다. 이러한 용어의 차이를 이해하는 것은 수학이라는 낯선 언어와 친해지는 첫걸음이 됩니다. 고대 그리스인들이 정수의 비율을 유리수로 여겼던 역사를 되짚어보면, 수학 용어 하나하나에 담긴 철학적 배경을 발견할 수 있습니다. 군론은 대칭을 연구하는 학문으로, 기하학적인 움직임을 대수적인 정보로 변환하는 강력한 도구입니다. 정사각형을 90도 회전시키거나 대각선을 축으로 뒤집는 행위는 단순한 움직임처럼 보이지만, 이를 표로 정리하면 정교한 곱셈 체계가 형성됩니다. 이 과정에서 결합 법칙과 같은 수학적 원리가 자연스럽게 드러나며, 복잡한 모양의 세계가 숫자의 세계로 치환됩니다. 컴퓨터는 사각형을 직접 보지 않고도 이 표를 통해 대칭성을 완벽하게 이해할 수 있습니다. 결국 군론은 눈에 보이는 형태의 변화를 추상적인 정보의 논리로 바꾸어 놓음으로써, 수학이 세상을 바라보는 독특한 방식을 보여줍니다. 인류가 방정식의 해를 구하기 위해 노력해 온 역사는 무려 4,000년에 달합니다. 기원전 2000년경부터 시작된 이 여정은 서기 200년경 디오판토스가 등장하며 커다란 전환점을 맞이했습니다. 그가 저술한 '산학(Arithmetica)'은 추상 대수학의 초기 형태를 제시하며 유럽 수학 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다. 방정식을 푼다는 것은 단순히 미지수의 값을 찾는 행위를 넘어, 수의 체계와 논리적 구조를 탐구하는 과정입니다. 3차 이상의 고차 방정식으로 넘어갈수록 수학자들조차 어려움을 겪었지만, 이러한 도전은 수천 년 동안 수학적 사고를 확장하는 원동력이 되었습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나로, 디오판토스의 책 여백에 남겨진 짧은 메모에서 시작되었습니다. 앤드루 와일스가 이를 최종적으로 증명하기까지 350년이라는 긴 시간이 걸렸으며, 그 과정은 결코 순탄치 않았습니다. 와일스 역시 초기 증명에서 오류가 발견되는 시련을 겪었으나, 동료와 제자의 도움을 받아 이를 극복해 냈습니다. 이는 수학이 천재 한 명의 고독한 작업이 아니라, 세대를 거쳐 지식을 공유하고 보완하는 협력의 산물임을 보여줍니다. 완벽해 보이는 수학적 증명 뒤에는 인간적인 실수와 이를 바로잡으려는 끈질긴 노력이 숨어 있습니다. 디오판토스가 제시한 문제들은 현대 수학의 핵심 분야인 타원 곡선 이론으로 이어집니다. 주어진 수를 특정 조건에 맞게 나누는 고대의 질문들이 오늘날 정수론과 기하학이 만나는 지점을 형성한 것입니다. 수학은 과거의 문제를 해결하는 과정에서 새로운 이론을 탄생시키며 끊임없이 진화합니다. 페르마가 고민했던 정수해의 존재 여부는 이제 타원 곡선의 성질을 탐구하는 고도의 학문적 영역으로 확장되었습니다. 이처럼 수천 년 전의 방정식에서 시작된 탐구는 현대 수학의 지평을 넓히는 밑거름이 되었으며, 우리가 세상을 이해하는 논리적 틀을 더욱 견고하게 만들어 줍니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 1_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 첫 번째 이야기 | 1강 ①

많은 이들이 수학을 막연한 두려움이나 적개심의 대상으로 여기곤 합니다. 하지만 수학자들 역시 수학이 무섭고 때로는 고통스러운 존재라고 고백합니다. 그들은 우리 모두가 어느 시점에서 포기하느냐가 다를 뿐, 본질적으로는 모두가 '수포자'와 같은 심정을 공유한다고 말합니다. 이러한 공감대는 수학이 단순히 천재들만의 전유물이 아니라, 좌절을 견디고 도전하는 과정에서 얻는 아주 드문 희열을 동력으로 삼는 인간적인 학문임을 보여줍니다. 수학자에 대한 고정관념 중 하나는 그들이 오직 문제 풀이에만 몰두하는 괴짜 천재라는 점입니다. 하지만 실제 수학자들은 테니스나 게임을 즐기고, 장르를 가리지 않는 독서광이기도 합니다. 어떤 이는 프로게이머를 꿈꿨을 만큼 평범한 취미에 진심을 다하기도 합니다. 이러한 인간적인 면모는 수학이라는 학문이 차가운 수식의 나열이 아니라, 다양한 개성을 가진 사람들이 각자의 방식으로 세상을 이해하려는 노력의 산물임을 깨닫게 해줍니다. 대수학은 흔히 어렵게 느껴지지만, 사실 '숫자를 대신한다'는 단순한 원리에서 시작됩니다. 복잡한 현실의 문제를 x, y와 같은 문자로 단순화하여 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 역사적으로 방정식은 땅의 넓이를 재거나 건물을 짓는 실용적인 목적에서 발전해 왔습니다. 사회가 고도화되고 금융과 화폐 경제가 발달하면서 복리 계산과 같은 더 높은 차원의 방정식이 필요해졌고, 이는 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지를 잘 보여줍니다. 수 세기 동안 수학자들은 이차 방정식의 근의 공식처럼 5차 이상의 고차 방정식에서도 일반적인 해법을 찾고자 분투했습니다. 그러나 노르웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아라는 두 젊은 천재는 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 공식을 찾지 못한 것이 아니라, 수학적 구조상 불가능함을 밝혀낸 혁명적인 사건이었습니다. 이들의 발견은 인류가 2,000년 동안 품어온 질문에 종지부를 찍으며 수학의 새로운 지평을 열었습니다. 갈루아는 고차 방정식의 해법을 연구하는 과정에서 '군론(Group Theory)'이라는 새로운 수학적 언어를 창조했습니다. 그는 방정식의 근들이 가진 대칭성과 구조를 분석함으로써 문제의 본질에 접근했습니다. 군론은 단순히 계산을 넘어 추상적인 구조를 다루는 현대 대수학의 시초가 되었으며, 오늘날 물리학과 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 보이지 않는 질서를 수식으로 포착하려 했던 젊은 수학자의 열정은 현대 과학의 근간을 이루는 위대한 유산이 되었습니다. 한국 수학계의 선구자인 이임학 교수는 일제강점기와 해방 직후의 척박한 환경 속에서도 세계적인 업적을 남겼습니다. 그는 독학으로 최신 수학 잡지를 탐독하며 당시의 난제들을 해결했고, 한국인 최초로 국제 학술지에 논문을 발표하는 쾌거를 이루었습니다. 특히 군론 분야에서 그가 발견한 '리 군(Ree Group)'은 현대 수학의 중요한 성과로 인정받고 있습니다. 정식 대학원 교육조차 받기 어려웠던 시절, 오로지 학문에 대한 열정 하나로 세계 무대에 우뚝 선 그의 삶은 경이로움 그 자체입니다. 이임학 교수의 생애는 한국 근현대사의 비극과 맞닿아 있습니다. 냉전 시대의 정치적 상황으로 인해 국적을 박탈당하고 캐나다에서 무국적자로 살아야 했던 시련 속에서도 그는 연구를 멈추지 않았습니다. 그는 자신의 성취에 머물지 않고 후학들을 위해 교재를 번역하며 한국 수학의 기틀을 닦는 데 헌신했습니다. 세계가 인정한 천재였으나 조국에서는 오랫동안 잊혔던 그의 이야기는, 진리를 향한 순수한 열정이 시대의 아픔을 어떻게 초월할 수 있는지를 우리에게 깊은 울림으로 전해줍니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[2024 봄 카오스강연] 현실 자각 제대로 한 카오스 수학자 3인방

많은 학생이 수학을 단순히 시험을 위한 도구로 여기며, 그 과정에서 느끼는 즐거움보다는 막막함을 먼저 경험하곤 합니다. 강연 현장에서 만난 학생들의 솔직한 고백은 수학을 가르치는 교수자들에게 큰 충격과 반성을 안겨주었습니다. 우리가 당연하게 여겼던 수학의 아름다움과 유용함이 학습자들에게는 높은 벽으로 다가왔던 것입니다. 이는 단순히 지식의 전달 문제를 넘어, 수학이라는 학문이 대중과 소통하는 방식에 근본적인 변화가 필요함을 시사합니다. 수학은 본래 정지된 상태를 넘어 움직이는 세상을 설명하기 위해 탄생한 언어입니다. 17세기 이전의 수학이 고정된 도형에 집중했다면, 미적분은 천체의 움직임과 같은 역동적인 변화를 다루기 위한 필연적인 결과였습니다. 하지만 오늘날의 교육은 이러한 맥락을 생략한 채 기계적인 문제 풀이에만 치중하는 경향이 있습니다. 수학의 본질적인 가치를 전달해야 할 책임은 학습자가 아닌 교수자에게 있으며, 서술 방식의 변화를 통해 수학의 흥미로운 이면을 보여주어야 합니다. 대중에게 다가가는 수학 콘텐츠는 내용만큼이나 '포장'이 중요합니다. 군론이나 대수기하와 같은 난해한 전문 용어는 시작도 하기 전에 대중의 마음을 닫게 만드는 요인이 됩니다. 전문 용어를 직접 노출하기보다는 그 안에 담긴 핵심적인 아이디어를 일상적인 언어로 풀어내는 지혜가 필요합니다. 특히 온라인 중심의 콘텐츠 소비 환경에서는 짧은 요약 콘텐츠만으로도 충분한 재미를 느낄 수 있도록 구성하여, 대중이 스스로 전체 내용을 찾아보게 만드는 동기 부여가 핵심입니다. 현대 수학은 이미 완성된 학문이 아니라, 여전히 우리가 모르는 미지의 영역을 탐구하는 역동적인 분야입니다. 수백 년 동안 해결되지 않았던 난제를 풀기 위해 고군분투했던 수학자들의 이야기는 그 자체로 한 편의 드라마와 같습니다. 각자의 삶에서 나름의 싸움을 이어가는 대중에게, 수학자들의 인간적인 고뇌와 투쟁의 과정을 공유하는 것은 깊은 공감을 불러일으킬 수 있습니다. '인간의 얼굴을 한 수학'은 차가운 수식 너머의 따뜻한 생명력을 전달하는 통로가 될 것입니다. 수학을 이해한다는 것은 세상을 바라보는 해상도를 높이는 일과 같습니다. 인공지능과 같은 첨단 기술의 근간에도 수학적 원리가 깊이 뿌리내리고 있으며, 이를 깨닫는 순간 수학은 비로소 '맛있는' 학문으로 다가옵니다. 과학이 특정 집단의 전유물이 아닌 사회 전체의 공유 가치가 될 때, 학문 자체의 발전과 생존도 보장될 수 있습니다. 더 많은 사람이 수학에 대한 두려움을 허물고 그 즐거움을 함께 나누는 세상은 우리 모두의 삶을 더욱 윤택하게 만들어 줄 것입니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[2024 봄 카오스강연] 수학 좋아해요? 아주대 학생에게 물어보았습니다!

현대 수학의 심오한 세계를 대중에게 전달하려는 시도는 전문가와 학습자 사이의 인식 차이를 확인하는 것에서 시작됩니다. 교수님들은 통계학이나 선형대수학 같은 기초 학문에 대해 학생들이 어느 정도 지식을 갖추고 있을 것이라 기대하시지만, 실제 현장의 목소리는 조금 다릅니다. 자발적으로 관련 과목을 선택한 학생들조차 현대 수학의 복잡한 이론 앞에서는 막막함을 느끼는 경우가 많습니다. 따라서 대중 강연 콘텐츠의 핵심은 단순히 지식을 전달하는 것을 넘어, 수학이 우리 삶과 어떻게 연결되는지 설득력 있게 제시하는 데 있습니다. 대학 강의실에서 만난 학생들의 전공과 수학에 대한 태도는 매우 다양합니다. 수학의 중요성을 인지하고 흥미를 느끼는 학생들도 존재하지만, 상당수는 전공 필수라는 의무감 때문에 학업을 이어가고 있습니다. 특히 고등학교 시절의 과도한 학습량과 대학 진학 후 마주하는 새로운 즐거움들은 수학과의 거리를 더욱 멀어지게 만드는 요인이 되기도 합니다. 수학을 공부하는 기쁨이 단순한 과제 해결의 고통으로 치부되는 현실 속에서, 학생들이 진정으로 즐길 수 있는 수학적 유희가 무엇인지 고민하는 과정이 반드시 필요합니다. 수학 용어에 대한 낯섦은 대중화의 가장 큰 걸림돌 중 하나입니다. 대수기하학이나 타원곡선, 대수위상학과 같은 용어들은 전공자가 아닌 이들에게는 마치 외계어처럼 들리기도 합니다. 심지어 익숙해 보이는 용어조차 그 본질적인 의미를 오해하는 경우가 많습니다. 이러한 인식의 차이는 수학적 개념이 대중에게 도달하는 과정에서 발생하는 전형적인 오류를 보여줍니다. 따라서 전문적인 개념을 대중이 이해할 수 있는 방식으로 가공하는 과정은 수학 콘텐츠 제작의 필수적인 단계라고 할 수 있습니다. 미분과 같은 기초적인 개념조차 시험을 위한 도구로만 소비될 뿐, 그 실질적인 의미를 체감하는 학생은 드뭅니다. 자동차 속도계의 수치가 미분의 결괏값이라는 사실을 직관적으로 받아들이지 못하는 현실은 수식 위주 교육의 한계를 여실히 드러냅니다. 대중이 수학 콘텐츠에 기대하는 것은 단순한 지식의 나열이 아닙니다. 일상 속의 사례를 통해 수학적 원리를 발견하고, 그 과정에서 지적인 즐거움을 느낄 수 있는 구성이 시청자의 관심을 끌어모으고 수학에 대한 거부감을 줄이는 결정적인 역할을 하게 됩니다. 수학을 포기하게 되는 과정은 개인마다 다르지만, 공통적으로는 이해하기 어려운 설명과 학습 동기의 부재가 자리 잡고 있습니다. 이공계 학생들조차 왜 배우는지 모른 채 억지로 공부하는 경우가 많으며, 교수님의 설명이 이해되지 않아 외부 영상 매체를 찾아보는 것이 일상이 되었습니다. 결국 수학 대중화의 성공은 수포자가 생기지 않도록 처음부터 친절하게 길을 안내해 주는 콘텐츠의 유무에 달려 있습니다. 누구나 수학의 아름다움을 발견할 수 있도록 돕는 세심한 접근이 현대 수학 교육의 새로운 지향점이 되어야 합니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[연구뭐하지?] 뇌는 어떻게 정보를 처리하는가? 수학으로 서술하는 뇌인지연구 _곽지현 교수 | 서울대학교 “신경계산 연구실”

우리 뇌는 외부 환경에서 받아들이는 감각 정보와 공간 정보를 전기 신호로 변환하여 처리합니다. 수많은 신경세포가 생성하는 전기 신호들이 합산되고 정교하게 계산됨으로써 정보가 기억으로 저장되는 것입니다. 이러한 뇌의 계산 원리를 밝혀내는 연구는 새로운 정보처리 이론을 정립하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 특히 주변 환경을 인지하고 길을 탐색하며 학습하는 과정에서 다양한 뇌세포들이 어떻게 상호작용하는지 이해하는 것이 이 연구의 주요 목적입니다. 컴퓨터 환경에 작은 뇌를 구현하는 시뮬레이션 연구는 뇌의 복잡한 정보처리 과정을 이해하는 중요한 도구입니다. 뇌 신경세포와 회로를 모사하여 인공신경망을 구축함으로써, 왜 특정 방식으로 세포들이 연결되어야 하는지 그 필연성을 유추할 수 있습니다. 뇌는 1,000억 개의 신경세포가 시공간적으로 끊임없이 신호를 주고받는 생물학적 컴퓨터와 같습니다. 최근 측정 기술의 발달로 확보된 방대한 데이터를 효율적으로 분석하기 위해서는 수리 모델을 통한 검증이 필수적입니다. 신경과학의 역사에서 수학적 접근은 노벨 생리의학상 수상으로 그 가치를 증명한 바 있습니다. 호지킨과 헉슬리는 신경세포의 전기 신호 생성 기전을 미분 방정식으로 수식화하여 생명 현상을 가장 완벽하게 모사했다는 평가를 받습니다. 이러한 선구적인 연구는 인간의 마음이 작동하는 원리까지도 수학적으로 규명할 수 있다는 희망을 줍니다. 개별 세포의 작동 기전이 수식으로 표현될 수 있다면, 시냅스로 연결된 거대한 신경회로망의 정보처리 과정 역시 수리적으로 모델링하여 뇌의 이론적 토대를 마련할 수 있습니다. 뇌 연구는 단순히 이론에 그치지 않고 인지 기능 향상과 질병 치료를 위한 실질적인 방안을 제시합니다. 약물을 이용한 일시적인 처방보다는 특정 신경세포를 직접 조절하여 기억력을 회복시키는 연구가 활발히 진행되고 있습니다. 예를 들어 알츠하이머 모델에서 특정 세포의 활성도를 조절함으로써 감소된 기억을 복원하는 성과를 거두기도 했습니다. 또한 실제 뇌의 복잡한 연결성을 모사하는 연구는 획일화된 구조를 가진 현재의 인공지능 알고리즘을 한 단계 진화시키는 데 중요한 영감을 제공합니다. 뇌의 공간 정보 계산 원리를 명확히 이해한다면 자율주행 자동차와 같은 첨단 산업 분야에도 혁신적인 기술을 적용할 수 있습니다. 과학 연구에서 가장 중요한 동력은 새로운 현상을 발견하고자 하는 재미와 열정입니다. 연구실은 다양한 테크닉과 연구 방법을 갖춘 뷔페와 같은 환경을 제공하여 학생들이 주도적으로 자신의 주제를 탐구할 수 있도록 돕습니다. 학부 과정에서 접하기 어려운 뇌과학의 특성상, 인턴십을 통해 실제 실험 기법을 익히고 학문적 적성을 확인하는 과정은 미래의 과학자로 성장하는 소중한 발판이 됩니다.

곽지현

카오스재단연구뭐하지

뇌인지과학

[강연] 배달앱 안의 과학: 데이터과학과 경영과학의 만남 _ by채민우｜제30회 서울대 자연과학대학 공개강연 | 2강

현대 과학에서 혁신적인 성과는 기존 지식의 틀을 벗어나 전혀 다른 분야 사이의 연결고리를 찾아낼 때 발생하곤 합니다. 데이터 과학과 경영과학의 만남이 바로 그러한 사례 중 하나입니다. 데이터 과학은 방대한 데이터로부터 유용한 지식을 추출하는 학문이며, 경영과학은 복잡한 경영 문제에서 최적의 의사결정을 내리기 위한 분석적 방법을 다룹니다. 이 두 분야가 결합하면 배달 서비스와 같은 일상적인 플랫폼 비즈니스에서 발생하는 복합적인 문제들을 과학적으로 해결할 수 있는 강력한 도구가 됩니다. 데이터 과학은 현대 산업과 과학 전반에 걸쳐 막대한 영향을 미치고 있는 핵심 분야입니다. 특히 인공지능 기술의 발전과 함께 데이터 과학의 중요성은 더욱 커졌는데, 이는 수억 건의 데이터를 효과적으로 분석하여 유의미한 패턴을 찾아내는 기술 덕분입니다. 단순히 데이터를 쌓아두는 것에 그치지 않고, 하드웨어의 발전과 정교한 알고리즘을 통해 데이터 속에 숨겨진 가치를 발견함으로써 기업은 새로운 부가가치를 창출하고 서비스의 질을 획기적으로 개선할 수 있게 되었습니다. 경영과학은 제2차 세계대전 당시 군사 작전을 효율적으로 수행하기 위해 발달한 '경영과학'에 뿌리를 두고 있습니다. 이는 한정된 자원을 어떻게 배치해야 최소의 비용으로 최대의 효과를 낼 수 있을지 고민하는 최적화의 학문입니다. 복잡한 현실 문제를 수학적 함수로 변환하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 과정은 오늘날 기업 경영의 핵심적인 의사결정 수단이 되었습니다. 특히 배달원 배치나 물류 운송 선단 편성 등 효율성이 생명인 분야에서 경영과학은 필수적인 역할을 수행합니다. 배달 앱 서비스 내부에는 수많은 과학적 요소가 숨어 있습니다. 주문이 발생했을 때 어떤 배달원에게 업무를 할당할지, 예상 배달 시간을 어떻게 산출할지, 그리고 마케팅 프로모션의 할인 폭을 어느 정도로 설정할지 등의 문제는 모두 정교한 의사결정을 필요로 합니다. 이러한 문제들은 배달원, 식당, 고객이라는 세 주체의 이해관계가 복합적으로 얽혀 있어 단순한 직관만으로는 해결하기 어렵습니다. 따라서 각 요소 간의 상관관계를 분석하고 전체 시스템의 효율을 높이는 과학적 접근이 요구됩니다. 과학의 핵심은 복잡한 현상을 간단한 수식으로 모델링하여 우리가 풀 수 있는 형태로 만드는 것입니다. 배달 수요와 배달원의 가용 인원, 지역별 교통 상황 등을 변수로 설정하여 선형계획법과 같은 수학적 모델을 구축하면 최적의 해답을 찾을 수 있습니다. 1940년대 개발된 단체법(Simplex Method)과 같은 알고리즘은 수만 개의 변수가 얽힌 복잡한 최적화 문제도 해결할 수 있게 해주었습니다. 이러한 모델링 과정은 현실의 중요한 성질만을 추출하여 논리적인 해법을 제시하는 공학적 사고의 정수라고 할 수 있습니다. 하지만 현실 세계에는 항상 불확실성이 존재합니다. 갑작스러운 기상 변화나 예상치 못한 수요 폭증은 고정된 수식만으로는 대응하기 어렵습니다. 이를 해결하기 위해 확률적 최적화 기법이 도입됩니다. 비가 올 확률이나 요일별 수요 변동을 확률 변수로 설정하여 기대 수익을 최대화하는 방향으로 모델을 확장하는 것입니다. 데이터가 부족한 신규 지역의 경우에도 베이지안 방법론과 같은 통계적 기법을 활용하면 기존의 사전 지식과 결합하여 나름의 합리적이고 과학적인 추정을 내릴 수 있습니다. 데이터 과학자는 단순히 수치를 계산하는 사람이 아니라 데이터 이면에 숨겨진 진실을 파악하는 전문가입니다. 여러 변수가 복합적으로 작용할 때 나타나는 '심슨의 역설'과 같은 통계적 오류를 피하고, 데이터의 불확실성을 정량화하여 의사결정의 리스크를 줄이는 역할을 합니다. 비록 하루아침에 수익을 두 배로 올리는 마법은 아닐지라도, 이탈률을 단 1%만 줄이는 작은 변화가 장기적으로는 시장 점유율을 두 배로 벌리는 거대한 결과로 이어집니다. 결국 데이터와 경영과학의 융합은 지속 가능한 성장을 위한 필수 조건입니다.

채민우

카오스재단서울대자연과학공개강연

수학
융합

[해썰이 있는 과학뉴스] 핵심만 알려주는 2022 필즈상

최근 대한민국 수학계는 허준이 교수의 필즈상 수상이라는 역사적인 쾌거를 맞이했습니다. 수학은 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 우리 주변의 다양한 대상 속에 숨겨진 질서와 구조를 탐구하는 학문입니다. 특히 조합론은 순열이나 그래프와 같이 셀 수 있는 이산적인 대상들을 연구하며, 그 구조를 통해 개수를 세거나 반대로 개수를 통해 구조를 파악하는 학문입니다. 이러한 수학적 사고는 복잡한 현상 속에서 명확한 규칙을 찾아내는 강력한 도구가 됩니다. 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상은 4년마다 40세 이하의 젊은 수학자들에게 수여됩니다. 이는 과거의 업적뿐만 아니라 미래의 가능성을 함께 평가하는 상으로, 수학자들에게는 최고의 영예로 통합니다. 반면 노르웨이 왕실에서 제정된 아벨상은 연령 제한 없이 일생의 업적을 기린다는 점에서 노벨상과 더욱 유사한 성격을 띱니다. 허준이 교수의 수상은 한국 수학계의 성숙도를 증명하는 계기가 되었으며, 향후 아벨상 수상자 배출에 대한 기대감도 높이고 있습니다. 허준이 교수의 핵심 연구 분야는 조합론과 대수기하학을 결합한 조합 대수기하학입니다. 그는 서로 다른 두 분야 사이에 다리를 놓아 한쪽의 관점으로 다른 쪽의 난제를 해결하는 독창적인 방식을 보여주었습니다. 특히 '로그 오목성'이라는 성질을 깊이 있게 탐구하여, 수십 년간 해결되지 않았던 리드 추측을 비롯한 수많은 난제들을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 문제를 푸는 것에 그치지 않고 새로운 수학적 방법론을 제시했다는 점에서 학계에 엄청난 파급력을 미쳤습니다. 그래프 이론에서 채색 다항식은 그래프의 꼭짓점을 인접한 것끼리 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 나타냅니다. 허준이 교수는 이 다항식의 계수들이 일정한 패턴을 그리며 증가하다 감소하는 '단봉성'과 그보다 강력한 조건인 '로그 오목성'을 가진다는 사실을 증명했습니다. 이러한 연구는 매트로이드라고 불리는 조합론의 핵심 대상에 대한 기하학적 이해를 가능하게 했습니다. 이는 추상적인 수학 이론이 어떻게 구체적인 구조적 특징으로 나타나는지를 보여주는 대표적인 사례입니다. 허준이 교수의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 실용적인 가치도 지니고 있습니다. 그의 이론은 복잡한 네트워크 구조에서 완벽 매칭의 개수를 빠르게 세는 알고리즘 개발에 기여하는 등 컴퓨터 과학 분야에도 영향을 미치고 있습니다. 수학은 인간의 이해를 무한히 확장해 나가는 과정이며, 하나의 난제를 해결하는 것은 더 넓은 미지의 세계로 나아가는 문을 여는 것과 같습니다. 이번 성과를 발판 삼아 기초 과학 전반에서 한국의 위상이 더욱 높아지기를 기대해 봅니다.

국립과천과학관요즘과학👏

수학

[페스티벌+어스] 필즈상 수상자 허준이교수와 함께 하는 수학콘서트 by 허준이 ㅣ 2022 대한민국 과학축제(페스티벌 어스)

2022년 필즈상 수상자 허준이 교수는 수학의 대중적 관심을 이끌어낸 상징적인 인물입니다. 그는 동료 수학자인 김재원 교수와 함께 유학 시절의 추억을 나누며 수학자가 되기까지의 과정을 회상합니다. 수학은 단순히 어려운 문제를 푸는 학문이 아니라, 사람과 사람이 만나 아이디어를 나누고 함께 성장하는 과정임을 보여줍니다. 그의 이야기는 천재적인 면모 뒤에 숨겨진 평범하고 인간적인 매력을 드러내며 많은 이들에게 깊은 영감을 줍니다. 필즈상은 흔히 '수학계의 노벨상'이라 불리지만, 40세 이하라는 독특한 나이 제한이 있습니다. 이는 수상자가 젊은 나이에 명성을 얻어 이후 오랜 기간 사회에 선한 영향력을 행사하고 학문 발전을 이끌도록 장려하기 위함입니다. 허 교수는 이러한 상의 무게감을 인지하면서도, 대중의 관심과 댓글을 직접 확인하며 소통하는 소탈한 모습을 보입니다. 수학적 업적만큼이나 그가 가진 사회적 역할에 대한 책임감이 돋보이는 대목이라 할 수 있습니다. 수학자는 크게 새로운 이론을 정립하는 '이론가'와 난제를 해결하는 '문제 해결사'로 나뉩니다. 허준이 교수는 자신을 그 중간 지점에 위치한 수학자로 정의합니다. 그는 조합론과 대수기하학이라는 서로 다른 두 분야를 연결하여 수학계에 새로운 놀이터를 제공했습니다. 이는 단순히 정답을 찾는 것을 넘어, 후대 수학자들이 마음껏 뛰어놀 수 있는 새로운 언어와 틀을 개발했다는 점에서 학술적으로 매우 큰 의미를 가집니다. 수학 연구에서 공동 연구는 이제 필수적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 다른 과학 분야가 프로젝트를 나누어 수행하는 분업 형태라면, 수학은 하나의 문제를 두고 서로의 아이디어를 주고받으며 한 발짝씩 나아가는 과정입니다. 허 교수는 공동 연구의 핵심으로 인간적인 유대감을 꼽습니다. 서로 충분히 친해지고 마음이 열렸을 때 비로소 각자가 가진 퍼즐 조각을 맞추어 하나의 정교한 그림을 완성할 수 있기 때문입니다. 수학자의 일상은 업무와 휴식의 경계가 모호하다는 특징이 있습니다. 소파에 누워 눈을 감고 생각에 잠긴 순간조차 수학자에게는 치열한 연구의 시간입니다. 허 교수는 젊은 시절 스스로를 조절하는 데 어려움을 겪기도 했지만, 이제는 가족과 시간을 보내며 적절한 휴식을 취하는 법을 터득했습니다. 유연한 시간 활용은 수학자라는 직업이 가진 큰 장점이자, 끊임없는 사고를 이어가야 하는 이들에게 반드시 필요한 덕목입니다. 허준이 교수와 김재원 교수가 연구하는 조합론은 유한한 집합들 사이의 관계와 패턴을 탐구하는 학문입니다. 허 교수가 현미경으로 아주 작은 대상을 관찰하듯 세밀한 패턴을 찾아낸다면, 김 교수는 망원경으로 거대 구조를 보듯 전체적인 경향성을 연구합니다. 이처럼 같은 분야 안에서도 수학자들은 각기 다른 시각으로 세상을 바라봅니다. 이들의 연구는 서로 다른 대상들이 가진 원초적인 공통점을 발견해 나가는 즐거운 여정입니다. 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 지식 습득 그 자체보다 생각하는 힘을 기르는 데 있습니다. 현대 사회에서 수학은 과학과 기술의 기초 언어일 뿐만 아니라, 자신의 논리를 타인에게 엄밀하게 전달하고 설득하는 소통의 도구입니다. 허 교수는 수학적 사고가 인생 전반에 걸쳐 유용한 기술이 될 수 있음을 강조합니다. 정답을 맞히는 기술을 넘어, 세상을 논리적으로 이해하고 소통하는 법을 배우는 것이 바로 수학의 본질입니다.

허준이

카오스재단2022 대한민국 과학축제 ㅣ 페스티벌 어스

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[질문과 토론의 과학 #18] 💻인공지능 시대의 우리의 대처

수학은 단순히 복잡한 공식을 풀거나 정답을 찾아내는 학문이 아닙니다. 오히려 우리가 세상을 바라보는 논리적인 틀을 제공하며, 보이지 않는 질서를 발견하는 과정에 가깝습니다. 많은 이들이 수학을 어렵고 딱딱한 과목으로만 여기지만, 사실 그 이면에는 끊임없는 호기심과 탐구 정신이 자리잡고 있습니다. 수학적 사고는 복잡한 현상을 단순화하고, 그 안에서 변하지 않는 원리를 찾아내는 힘을 길러줍니다. 이러한 과정은 우리 삶의 다양한 문제를 해결하는 데 필수적인 기초가 됩니다. 과학의 발전사에서 가장 중요한 역할을 한 것은 정답이 아니라 질문이었습니다. 좋은 질문은 새로운 시각을 열어주고, 기존의 고정관념을 깨뜨리는 시작점이 됩니다. 수학자들은 하나의 문제를 해결하기 위해 수많은 질문을 던지며, 그 과정에서 논리의 빈틈을 찾아내고 보완합니다. 질문은 단순히 모르는 것을 묻는 행위를 넘어, 지식의 경계를 확장하는 강력한 도구입니다. 우리가 일상에서 마주하는 사소한 의문들이 때로는 거대한 과학적 발견의 씨앗이 되기도 한다는 점을 잊지 말아야 합니다. 토론은 수학적 사고를 완성하는 중요한 과정 중 하나입니다. 혼자만의 생각에 갇히지 않고 타인의 의견을 경청하며 자신의 논리를 검증하는 과정에서 더 깊은 통찰이 생겨납니다. 서로 다른 관점이 충돌하고 융합될 때, 예상치 못한 창의적인 해결책이 도출되기도 합니다. 수학적 토론은 단순히 누가 옳은지를 가리는 싸움이 아니라, 함께 진리에 다가가는 협력의 여정입니다. 이러한 소통의 문화는 과학 공동체가 건강하게 성장하고 지속적인 혁신을 이룰 수 있게 만드는 핵심적인 동력이 됩니다. 현대 사회에서 수학적 사고의 중요성은 더욱 커지고 있습니다. 데이터가 넘쳐나는 시대에 정보를 비판적으로 수용하고 논리적으로 분석하는 능력은 생존을 위한 필수 역량입니다. 수학은 우리에게 현상의 본질을 꿰뚫어보는 눈을 길러주며, 감정에 휘둘리지 않고 객관적인 근거를 바탕으로 판단할 수 있게 돕습니다. 이는 비단 학문적인 영역에만 국한되지 않고, 경제, 사회, 기술 등 우리 삶의 모든 분야에서 합리적인 의사결정을 내리는 데 큰 도움을 줍니다. 수학은 세상을 이해하는 가장 정교한 도구입니다. 결국 과학과 수학의 본질은 정해진 답을 외우는 것이 아니라, 끊임없이 의심하고 탐구하는 태도에 있습니다. 질문과 토론이 활발하게 이루어지는 환경에서 비로소 창의적인 사고가 꽃피울 수 있습니다. 우리는 결과보다는 과정에 집중하고, 실패를 두려워하지 않는 도전 정신을 가져야 합니다. 수학자들의 탐구 방식이 우리에게 주는 교훈은 명확합니다. 세상을 향한 열린 마음과 논리적인 분석력을 갖출 때, 우리는 더 나은 미래를 설계할 수 있습니다. 지적 호기심을 잃지 않는 삶이야말로 진정한 과학적 삶의 모습입니다.

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[질문과 토론의 과학 #17] 🔗우리 곁의 알고리즘

알고리즘이라는 용어는 10세기 페르시아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래되었습니다. 그는 방정식의 해를 구하는 절차를 체계적으로 정리하였으며, 이 과정이 유럽으로 전해져 라틴어로 번역되는 과정에서 오늘날의 알고리즘이라는 단어가 탄생했습니다. 하지만 그 개념적 뿌리는 훨씬 이전으로 거슬러 올라갑니다. 2,000년 전 유클리드가 제안한 최대공약수 계산법(유클리드 호제법)은 현대의 공인인증서 체계에서도 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 이처럼 알고리즘은 컴퓨터라는 기계가 발명되기 훨씬 전부터 인류의 사고와 생활 속에 깊이 자리 잡고 있었습니다. 컴퓨터의 등장은 수학 연구에 양적, 질적 변화를 동시에 가져왔습니다. 과거에는 평생을 바쳐도 수천 자리에 불과했던 원주율 계산이 이제는 컴퓨터를 통해 수조 자리까지 가능해졌습니다. 질적인 측면에서는 부흐베르거 알고리즘과 같은 새로운 도구가 등장하여 복잡한 다변수 방정식의 구조를 파악할 수 있게 되었습니다. 이는 과거 수학자들이 손으로 계산할 수 없었던 영역을 탐구할 수 있게 함으로써, 대수기하학과 같은 고등 수학 분야에서 연구의 지평을 획기적으로 넓히는 강력한 무기가 되었습니다. 현대 수학에서 컴퓨터는 단순한 계산 도구를 넘어 새로운 발견을 이끄는 실험 장비로 활용됩니다. 수학자들은 복잡한 수식이나 집합의 구조를 컴퓨터로 시뮬레이션하며 일반적인 원칙을 찾아내고 체계화합니다. 조합론이나 리만 가설과 같은 고도의 이론적 연구에서도 컴퓨터를 통한 실험적 접근은 가설의 타당성을 검토하고 새로운 영감을 얻는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 변화는 수학이 정적인 증명의 학문을 넘어, 끊임없는 실험과 관찰을 통해 진리를 찾아가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 수학자들이 컴퓨터를 사용하는 방식은 일반적인 인식과는 차이가 있습니다. 단순히 결괏값을 얻기 위함이 아니라, 그 결과를 도출하기 위한 논리적 과정을 설계하는 데 집중하기 때문입니다. 컴퓨터에 복잡한 계산 과정을 어떻게 이식할지 고민하는 과정 자체가 고도의 수학적 사고를 요구합니다. 따라서 도구에 대한 의존도가 높아진다고 해서 사고력이 둔화되는 것이 아니라, 오히려 계산이라는 번거로운 작업에서 벗어나 문제의 본질과 구조를 더 깊이 있게 통찰할 수 있는 환경이 조성되는 것입니다. 모든 수학적 문제가 알고리즘으로 해결될 수 있는 것은 아닙니다. 앨런 튜링과 힐베르트의 10번째 문제를 통해 증명되었듯, 계산 불가능한 영역은 여전히 존재하며 이는 수학자들의 창의적 사고를 자극합니다. 동시에 알고리즘은 증명의 완전성을 검증하는 새로운 수단으로도 진화하고 있습니다. 복잡한 논리 단계를 컴퓨터가 하나씩 확인하는 '코크(Coq)'와 같은 프로그램은 인간의 실수를 방지하고 증명의 신뢰도를 높여줍니다. 이처럼 알고리즘은 수학의 한계를 규명하는 동시에 그 영역을 실생활의 다양한 응용 분야로 확장하고 있습니다.

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[질문과 토론의 과학 #11] 🤔데이터과학이란?

수학과 통계학은 뿌리는 같지만 발전해 온 방향에서 뚜렷한 차이를 보입니다. 수학이 공리적 체계와 엄밀한 증명을 통해 지식을 쌓아 올리는 학문이라면, 통계학은 실제 세상의 문제를 해결하기 위한 실용성에서 출발했습니다. 현대의 데이터 과학은 이러한 수학적 토대 위에 컴퓨터 과학의 계산 능력과 도메인 지식이 결합된 융합 학문입니다. 단순히 이론에 머물지 않고 다양한 학문과 소통하며 실질적인 답을 찾아가는 과정이 데이터 과학의 진정한 핵심이라 할 수 있습니다. 데이터 과학을 요리에 비유하자면, 고가의 조리 기구와 완벽한 레시피가 없어도 훌륭한 음식을 만들 수 있는 것과 같습니다. 수학, 프로그래밍, 도메인 지식이라는 세 가지 축을 모두 완벽하게 갖춘 전문가는 드뭅니다. 대신 자신이 가진 강점을 바탕으로 부족한 부분을 보완하며 문제에 접근하는 유연함이 필요합니다. 중요한 것은 도구의 화려함이 아니라, 주어진 재료인 데이터를 어떻게 해석하고 가공하여 우리 삶에 가치 있는 결과물을 만들어내느냐에 달려 있습니다. 통계학자의 중요한 임무는 세상의 복잡한 현상을 분석 가능한 통계 모형으로 정립하는 것입니다. 예를 들어 우주의 팽창 속도나 질병의 위험도 같은 거대하고 추상적인 질문을 받았을 때, 이를 정교한 통계 모형으로 설계하고 데이터를 대입하여 구체적인 해답을 도출해냅니다. 이 과정에서 다른 분야의 전문가들과 협력하며 그들의 언어를 이해하고 설득하는 과정이 필수적입니다. 통계학은 결국 서로 다른 학문적 영역을 연결하고 문제를 구체화하는 가교 역할을 수행합니다. 최근 빅데이터와 인공지능의 발달로 선거 예측이나 범죄 예방 분야에서 통계학의 위상이 더욱 높아졌습니다. 하지만 단순히 데이터의 양이 많다고 해서 항상 정확한 예측이 가능한 것은 아닙니다. 2016년 미국 대선 사례처럼 데이터 이면의 구조와 메커니즘을 오해하면 잘못된 결론에 도달할 수 있습니다. 진정한 통계적 분석은 결과의 맞고 틀림을 넘어, 예측의 오차를 어떻게 줄이고 데이터의 공백을 어떻게 과학적으로 메울 것인지 고민하는 비판적인 태도에서 비롯됩니다. 미래 사회에서 통계학은 불확실성을 완화하는 가장 강력한 도구가 될 것입니다. 넷플릭스의 추천 시스템부터 범죄 발생 지역 예측에 이르기까지, 통계는 이미 우리 삶 깊숙이 들어와 의사결정을 돕고 있습니다. 완벽한 예측은 불가능할지라도, 데이터를 통해 오류의 가능성을 조금씩 줄여나가는 노력은 인류가 미래의 불안감을 극복하는 데 큰 도움을 줍니다. 융합적 사고를 바탕으로 한 통계학적 접근은 앞으로도 제4차 산업혁명 시대의 중추적인 역할을 수행할 것입니다.

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[질문Q] 리만가설이 애초에 틀렸다면? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설

인공지능 기술이 비약적으로 발전함에 따라 수학의 미래에 대한 논의도 활발해지고 있습니다. 현재의 인공지능(AI)은 보조적인 수단에 불과하지만, 기술적 진보가 계속된다면 언젠가는 인간의 지적 능력을 넘어서는 수준에서 수학적 난제를 해결할 날이 올 것입니다. 특히 리만 가설과 같은 거대한 난제가 인공지능에 의해 해결된다면, 이는 수학계에 엄청난 변화를 몰고 올 것입니다. 이는 단순히 계산의 속도를 넘어, 기계가 고도의 추상적 사고 영역에 진입함을 의미하는 사건이 될 것입니다. 현대 수학자들 사이에서 리만 가설이 참일 것이라는 믿음은 매우 확고합니다. 비록 일부 저명한 수학자들이 연구 과정에서의 한계나 지침으로 인해 가설의 오류 가능성을 제기하기도 했지만, 대다수의 학계는 이를 심각하게 받아들이지 않는 분위기입니다. 리만 가설은 단순히 하나의 문제를 넘어 정수론의 수많은 정리들과 긴밀하게 연결되어 있기 때문입니다. 만약 이 가설이 틀린 것으로 판명된다면 정수론 학자들은 큰 충격에 빠지겠지만, 그 과정조차 수학의 새로운 지평을 여는 계기가 될 것입니다. 리만 가설이 거짓으로 드러나는 상황을 가정해 보는 것도 흥미로운 일입니다. 가설이 틀렸다는 것은 실수부가 1/2이 아닌 지점에서 비자명한 영점이 발견된다는 의미이며, 그 영점에는 발견한 수학자의 이름이 영원히 새겨질 것입니다. 어쩌면 가설이 참으로 증명될 때보다 거짓으로 판명될 때 세상은 더 큰 지적 자극을 받을지도 모릅니다. 비록 순수 수학의 근간이 흔들리는 듯한 혼란이 찾아올 수도 있겠지만, 수학은 그 과정에서 발견된 새로운 예외를 통해 더욱 풍성한 학문으로 거듭날 것입니다. 리만 제타 함수는 정수론의 중심에 있는 뿌리와 같은 존재입니다. 이 함수에 대한 가설이 해결된다면 이는 단지 하나의 결론에 도달하는 것이 아니라, 수많은 관련 제타 함수와 L-함수의 비밀을 푸는 시작점이 될 것입니다. 리만 가설의 해결은 정수론 분야의 폭발적인 발전을 이끌어낼 것이며, 우리가 자연수와 소수의 성질에 대해 가지고 있는 정보를 비약적으로 정밀하게 만들어 줄 것입니다. 수학의 여러 분야가 서로 얽히는 과정에서 리만 가설은 광범위한 연관성을 지닌 핵심적인 고리 역할을 수행합니다. 수학적 난제에 도전하는 이들에게 가장 중요한 덕목은 끊임없이 탐구하는 자세와 문제의 해결 가능성에 대한 확고한 믿음입니다. 리만 가설은 결코 도달할 수 없는 먼 곳에 있는 신기루가 아니라, 매우 견고하고 응집력 있는 구조를 가진 실체적인 문제입니다. 복잡한 수리 논리의 세계에서도 결국 진리는 발견되기 마련이며, 이러한 긍정적인 믿음은 새로운 공부를 시작하거나 한계에 도전하는 이들에게 강력한 동기를 부여합니다. 난제를 향한 탐구는 결국 인간 지성의 지평을 넓히는 숭고한 여정이 될 것입니다.

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[질문Q] 천재적 수학자라면 카지노나 주식시장에서 쉽게 돈을 벌 수 있지 않을까요? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 2강 | 자연에 숨어 있는 질서를 찾아서

수학적 이론이 실제 금융 시장에서 승리를 보장하는지에 대해서는 여전히 의견이 분분합니다. 과거 천재 경제학자들이 모여 만든 '롱텀 캐피털(LTCM)'은 이론과 현실의 괴리로 인해 3년 만에 파산했지만, 짐 사이먼스의 '르네상스 테크놀로지'는 오직 수학적 기법만으로 막대한 부를 쌓았습니다. 이는 수학이 시장을 해석하는 강력한 도구임은 분명하나, 그 적용 방식과 상황에 따라 결과가 극명하게 갈릴 수 있음을 시사합니다. 결국 수학적 완결성만큼이나 현실의 변동성을 이해하는 유연함이 중요합니다. 연구자의 길은 때로 예상치 못한 우연에 의해 결정되기도 합니다. 2007년 미국 메릴랜드 대학으로 연구 파견을 떠났을 당시, 원래 계획했던 주제는 '양자 키네틱 방정식'이었습니다. 하지만 현지에서 우연히 접하게 된 '플로킹 현상'에 매료되어 기존의 연구 계획을 뒤로한 채 새로운 분야에 몰입하게 되었습니다. 부업처럼 시작했던 이 연구는 지난 10년 동안 제 학문적 여정의 중심이 되었고, 이는 집중할 수 있는 시간과 환경이 주어졌을 때 비로소 가능한 변화였습니다. 금융 위기 상황에서 주식 시장의 변동성은 독특한 양상을 보입니다. 2008년 세계 금융 위기 당시의 데이터를 분석해 보면, 서로 다른 주식들의 변동성이 마치 새 떼가 무리 지어 이동하는 것처럼 동시에 급격하게 움직이는 '동기화' 현상이 나타납니다. 이러한 플로킹 이론을 금융에 접목하여 개발한 것이 바로 '플로킹 변동성 지수(FVI)'입니다. 비록 기존 경제학계의 비판도 있었지만, 수학적 통찰력을 통해 시장의 위기 징후를 포착하려는 시도는 여전히 중요한 연구 과제로 남아 있습니다. 오늘날 한국의 수학 수준은 세계적인 학자들과 견주어도 손색이 없을 만큼 비약적인 발전을 이루었습니다. 특히 편미분 방정식 분야는 국내에서 공부한 연구자들이 해외 유수 대학의 교수진으로 임용될 정도로 그 역량을 인정받고 있습니다. 과거에는 유학이 필수적인 과정으로 여겨졌으나, 이제는 인터넷을 통해 방대한 자료를 공유하고 활발한 학술 교류가 가능해지면서 국내에서도 충분히 깊이 있는 연구가 가능해졌습니다. 중요한 것은 장소가 아니라 본인의 의지와 연구 환경입니다. 순수 수학의 가치는 당장의 실용성보다는 그 이론이 지닌 잠재력에 있습니다. 1900년대 초반에 개발된 '룬게-쿠타 방법'은 컴퓨터가 존재하지 않던 시절의 산물이지만, 오늘날 시뮬레이션의 핵심 도구로 쓰이고 있습니다. 또한 위상수학의 추상적인 개념들이 현대의 데이터 분석 기법인 위상적 데이터 분석(TDA)으로 재탄생한 사례는 수학적 호기심에서 시작된 탐구가 어떻게 산업의 근간을 바꿀 수 있는지 보여줍니다. 좋은 수학은 시대를 초월하여 언젠가 반드시 그 유용성을 증명해 내기 마련입니다.

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[질문과 토론의 과학 #5] 👓🎓수학 천재, 재능일까? 노력일까?

수학을 잘하기 위해 필요한 가장 중요한 재능은 무엇일까요? 많은 이들이 계산력이나 논리력을 떠올리지만, 그 핵심에는 상상력이 자리 잡고 있습니다. 집합론의 창시자 칸토어가 무한의 크기를 비교하며 일대일 대응이라는 획기적인 아이디어를 낸 것은 영화 '인셉션'의 감독이 발휘한 상상력 그 이상이었습니다. 이처럼 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 보이지 않는 세계를 머릿속에 그려내고 그 안에서 새로운 질서를 찾아내는 창의적인 과정이라 할 수 있습니다. 물론 위대한 성취를 위해서는 천부적인 재능이 필요할 수 있지만, 우리가 일상에서 마주하는 수학은 노력으로 충분히 정복 가능합니다. 실제로 성공한 수학자들 중에는 학창 시절 수학 성적이 좋지 않았으나 대학에서 추상적인 개념에 매료되어 끊임없는 노력 끝에 결실을 맺은 사례가 많습니다. 수학자들에게 노력은 삶의 일부이며, 잠자는 시간을 제외한 거의 모든 순간을 수학적 사고에 몰입합니다. 이러한 끈기는 재능을 후천적으로 꽃피우게 만드는 가장 강력한 동력이 됩니다. 수학적 사고력을 키우는 비결은 정답을 빨리 맞히는 것이 아니라, 문제를 충분히 즐기며 고민하는 시간에 있습니다. 예를 들어 동물들의 다리 개수를 맞히는 간단한 문제를 아이들에게 던져주고, 스스로 원리를 깨달을 때까지 몇 달이고 기다려주는 여유가 필요합니다. 연립방정식이라는 용어를 몰라도 그림을 그리며 논리를 세워가는 과정 자체가 수학적 재능을 기르는 훈련입니다. 틀린 문제를 제시해 아이가 스스로 오류를 찾아내게 하는 경험은 수학에 대한 자신감과 즐거움을 동시에 선사합니다. 안타깝게도 많은 학생이 수학을 포기하는 '수포자'가 되는 이유는 수학의 추상성과 지루한 연습 과정 때문입니다. 개념을 체득하기까지는 많은 시간과 노력이 필요한데, 현실적인 보상은 오직 성적으로만 주어지다 보니 가성비를 따지게 되는 것입니다. 수학을 싫어해서가 아니라, 더 잘하고 싶은 마음과 현실 사이의 괴리 때문에 사랑하지만 이별을 택하는 상황인 셈입니다. 따라서 교육 환경은 학생들이 수학의 본질적인 재미를 느낄 수 있도록 결과 중심에서 과정 중심으로 변화해야 합니다. 수학은 단순한 교과목을 넘어 과학의 언어이자 사고의 틀입니다. 미국의 한 대학에서는 수학을 제2외국어 영역에 포함시키기도 했는데, 이는 수학이 소통의 도구일 뿐만 아니라 세상을 바라보는 프레임을 형성하기 때문입니다. 수학적 언어는 명료하고 논리적인 문법을 가지고 있어 오해의 소지를 없애고 현상을 정확하게 기술하게 해줍니다. 일상적인 단어의 정의가 모호할 때 수학적 정의의 명확함을 깨닫는 순간, 우리의 의식은 한 단계 더 확장되는 경험을 하게 됩니다. 수학의 보편성은 지구를 넘어 우주로까지 확장됩니다. 1974년 외계 지적 생명체에게 보낸 '아레시보 메시지'는 이진법과 소수의 원리를 기초로 제작되었습니다. 소수 두 개의 곱으로 이루어진 화소 수는 외계인이 메시지를 직사각형 형태로 복원할 수 있게 돕는 유일한 단서가 됩니다. 이처럼 수학은 우주 공통의 언어로서, 지능을 가진 존재라면 누구나 이해할 수 있는 논리적 기반이 됩니다. 자연과 우주의 질서를 설명하는 가장 아름답고도 강력한 도구가 바로 수학인 것입니다. 수학자가 되는 결정적인 순간은 거창한 사건보다 가랑비에 옷 젖듯 찾아오는 감동의 순간들입니다. 소수가 무한히 많다는 사실을 귀류법으로 증명했을 때의 전율이나, 복소평면을 통해 수의 세계가 평면으로 확장되는 것을 목격했을 때의 경이로움이 그 예입니다. 정수 전체를 대표하는 숫자로 묶어내는 잉여류의 구조처럼, 복잡한 세상을 단순하고 명쾌한 질서로 정리하는 수학의 매력은 끝이 없습니다. 이러한 지적 유희를 경험한다면 누구나 수학이라는 드넓은 바다를 항해하는 즐거움을 누릴 수 있습니다.

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[인터뷰] 여준현_복잡계 분야가 처음으로 노벨상을 받은 이유

통계물리학은 수많은 구성원이 모여 있는 다체계의 물리적 현상을 연구하는 학문으로, 거대한 집단이 보여주는 복합적인 성질을 이해하려는 독특한 방법론을 제시합니다. 이는 단순히 개별 입자의 움직임을 관찰하는 것을 넘어, 물질의 근본적인 성질을 탐구하며 자연계가 작동하는 원리를 가장 합리적이고 체계적인 법칙으로 기술하는 것을 목표로 합니다. 전통적인 물리학의 틀 안에서 물질의 특성을 연구하며, 우리 주변의 다양한 현상을 논리적으로 설명해 내는 과정은 이 학문의 핵심적인 가치라고 할 수 있습니다. 물리학이라는 학문은 자연 현상을 최대한 정확하게 기술하려는 시도이며, 그 과정에서 확률적인 방법론을 적극적으로 활용하기도 합니다. 자연계가 어떻게 돌아가는지를 명확하게 설명하려는 노력은 정답이 존재하는 세계를 탐구하는 것과 같습니다. 복잡해 보이는 현상 이면에 숨겨진 단순한 법칙을 찾아내고, 이를 체계적인 방법으로 정립하는 과정은 결코 답답한 일이 아닙니다. 오히려 가장 합리적인 방식으로 세상의 이치를 깨달아가는 과정이며, 과학자들은 이를 통해 자연의 질서를 명확하게 규명하고자 노력합니다. 최근 통계물리학 분야에서는 과거 거시적인 열기관을 다루던 열역학의 원리를 양자역학이 지배하는 미시 세계로 확장하려는 시도가 활발히 이루어지고 있습니다. 이른바 양자 열역학이라 불리는 이 연구 분야는 아주 작은 미시적 수준에서 열과 일의 개념을 새롭게 정의하고 정립하는 것을 목표로 합니다. 에너지의 흐름과 변환이 양자역학적 효과와 결합했을 때 어떤 양상을 보이는지 탐구하는 것은 현대 물리학의 중요한 과제입니다. 이러한 연구는 미시 세계의 물리적 법칙을 이해하는 데 있어 새로운 지평을 열어줄 것으로 기대됩니다. 우리가 일상에서 흔히 목격하는 얼음이 녹아 물이 되는 현상은 통계물리학에서 '상전이'라고 부르는 대표적인 거시적 변화입니다. 수많은 분자가 모여 상호작용하다가 특정 조건에서 물질의 상태가 급격히 변하는 이 현상을 설명하는 것은 통계물리학의 가장 큰 업적 중 하나입니다. 최근 복잡계 연구가 노벨 물리학상을 통해 그 가치를 인정받은 것 역시, 다체계가 보여주는 복잡한 현상을 단순하고 명쾌한 원리로 설명하려는 과학적 노력을 높게 평가한 결과입니다. 이는 복잡함 속에서 질서를 찾아내는 물리학의 힘을 잘 보여주는 사례입니다. 과학을 진지하게 탐구하고자 하는 미래의 과학도들에게 가장 강조하고 싶은 조언은 수학에 대한 깊은 관심을 가지라는 것입니다. 현대 사회에서는 수학과 과학을 서로 다른 영역처럼 분리하여 생각하는 경향이 있으나, 수학은 자연의 법칙을 기술하는 가장 정교한 언어입니다. 물리학을 비롯한 모든 과학적 사고의 기초는 수학적 논리 위에 세워져 있습니다. 따라서 과학을 깊이 있게 공부하고 싶다면 수학을 멀리하기보다, 수학적 사고력을 기르는 것부터 시작해야 합니다. 이것이 자연의 신비를 풀어나가는 가장 확실하고 진지한 출발점이기 때문입니다.

여준현

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물리학

[인터뷰] 윤성철_의식을 가진 생명체가 만든 문명에서 발견되는 공통현상은?

별의 탄생과 죽음은 우주의 역사를 이해하는 핵심적인 열쇠입니다. 특히 별이 생애의 마지막 단계에서 보여주는 초신성은 우주에서 가장 역동적인 현상 중 하나로 꼽힙니다. 초신성은 그 밝기와 형태가 제각각인데, 이는 별이 죽기 직전의 구조와 성질에 따라 결정됩니다. 과학자들은 이러한 폭발의 특성을 역추적하여 별이 어떤 진화 경로를 거쳐왔는지 연구하며, 이를 통해 보이지 않는 우주의 과거를 재구성하는 흥미로운 탐구를 이어가고 있습니다. 이러한 연구는 단순히 별의 종말을 보는 것이 아니라 우주 구성 물질의 기원을 찾는 과정이기도 합니다. 외계 생명체의 존재 가능성은 인류의 오랜 호기심을 자극해 왔습니다. 만약 외계에 생명체가 존재한다면 그들은 어떤 모습일까요? 지구의 돌고래가 육지 동물의 후손임에도 물속 환경에 적응하며 물고기와 비슷한 외형을 갖게 된 것처럼, 외계 생명체 역시 물리 법칙의 영향 아래 유사한 형태로 진화했을 가능성이 큽니다. 이는 진화의 방향성이 환경과 물리적 제약에 의해 결정된다는 '수렴 진화'의 원리를 보여줍니다. 결국 우주 어디에서든 생명은 보편적인 물리 법칙 안에서 그 형태를 갖추게 될 것이며, 이는 외계 생명체의 모습을 예측하는 중요한 근거가 됩니다. 우주적 관점에서 지성체의 문명화 과정에는 공통적인 패턴이 존재할 가능성이 큽니다. 외계 지성체와 조우한다면 우리는 양자역학의 해석이나 블랙홀 사건의 지평선 내부의 물리적 특성에 대해 깊이 있는 대화를 나눌 수 있을 것입니다. 아직 인류가 도달하지 못한 뇌과학이나 인공지능의 고도화된 영역에 대해 그들은 이미 해답을 찾았을지도 모릅니다. 이러한 지적 교류는 인간의 의식이 우주에서 얼마나 보편적인 현상인지, 그리고 우리가 가진 감정이 생명 진화의 필연적인 결과인지를 확인하는 계기가 될 것이며, 이는 인류가 우주에서 차지하는 위치를 재정의하게 할 것입니다. 과학의 발전은 수많은 시행착오와 실패를 자양분 삼아 이루어집니다. 우주 발사체 개발과 같은 거대 과학 프로젝트에서 성공과 실패를 이분법적으로 나누기보다, 그 과정에서 무엇을 배웠는가에 집중하는 태도가 필요합니다. 특히 천문학과 같은 기초 과학은 국민의 세금으로 연구가 진행되는 만큼, 과학자들은 자신의 연구가 왜 중요하고 어떤 가치를 지니는지 대중에게 설명할 의무가 있습니다. 과학적 진실을 왜곡하지 않으면서도 대중과 진정성 있게 소통하는 것은 현대 과학자가 짊어져야 할 중요한 사회적 책임 중 하나이며, 이를 통해 과학에 대한 사회적 합의를 이끌어내야 합니다. 현대 문명은 과학 기술이라는 견고한 토대 위에 세워져 있습니다. 하지만 그 이면에 숨겨진 과학적 원리를 제대로 이해하지 못한다면 의사 과학이나 잘못된 정보에 휘둘려 사회적 에너지를 낭비하게 될 위험이 큽니다. 과학은 단순히 지식의 나열이 아니라 인류가 성취한 가장 위대한 문화적 유산입니다. 상대성 이론이나 빅뱅 이론과 같은 경이로운 발견을 온전히 즐기고 향유하는 것은 현대인을 풍요롭게 만드는 권리이기도 합니다. 과학을 통해 미래의 비전을 제시하고 대중과 함께 호흡하는 문화가 정착될 때 우리 사회는 지성적인 성숙함과 함께 한 단계 더 도약할 수 있습니다.

윤성철

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천문학
융합

[인터뷰] 허준이X수학유튜버_수학에서 '잘한다'의 의미는? 수학발전은 수학 천재만 할 수 있다는 건 오해?

수학은 사회에 매우 중요한 기여를 하지만, 그 영향력이 대중의 피부에 와닿기까지는 여러 세대가 걸리기도 합니다. 이러한 간접적이고 추상적인 학문의 가치를 사회가 인정하고 큰 상을 수여한다는 것은, 그 사회가 학문적 다양성과 깊이를 수용할 수 있을 만큼 성숙했다는 증거이기도 합니다. 수학자로서 이러한 인정을 받는 것은 개인적인 영광을 넘어 학문적 책임감을 느끼게 하는 계기가 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문이 아니라, 우리 사회의 지적 토대를 단단하게 다지는 보이지 않는 힘으로 작용하며 인류의 지평을 넓혀가고 있습니다. 최근 주목받는 로렌츠 다항식은 현대 수학의 여러 분야를 잇는 중요한 가교 역할을 합니다. 이 이론의 매력은 대수기하학 같은 고도의 전문 지식이 없어도 미적분학과 선형대수학이라는 기초적인 도구만으로도 그 본질에 접근할 수 있다는 점에 있습니다. 기초적인 원리에서 시작하여 표현론이나 조합론 같은 복잡한 분야로 확장되는 과정은 수학이 가진 논리적 연결성을 잘 보여줍니다. 누구나 함께 즐길 수 있는 수학적 주제를 통해 학문의 문턱을 낮추고, 다양한 분야의 연구자들이 공통의 언어로 소통할 수 있는 장을 마련하는 것은 현대 수학이 지향해야 할 중요한 방향 중 하나입니다. 수학은 그 자체로 하나의 언어이지만, 우리가 일상에서 사용하는 언어와도 긴밀하게 상호작용합니다. 한국어와 영어처럼 서로 다른 언어 체계로 수학적 사고를 전개할 때, 특정 언어에서는 풀리지 않던 증명이 다른 언어에서는 자연스럽게 해결되는 흥미로운 경험을 하기도 합니다. 추상적인 대상을 다루는 수학적 사고의 대부분은 언어로 구성되어 있기에, 어떤 언어를 선택하느냐에 따라 사고의 흐름과 문제 해결의 방식이 달라질 수 있습니다. 이는 수학이 단순히 기계적인 계산이 아니라, 인간의 언어적 직관과 깊이 연결된 창의적인 활동임을 시사하며 다국어적 사고가 수학적 통찰에 큰 장점이 될 수 있음을 보여줍니다. 현대 수학의 흐름은 과거의 엄격한 분야 구분을 넘어 통합과 융합으로 나아가고 있습니다. 대수학, 해석학, 기하학 등 서로 다른 영역 사이의 경계를 허물고 새로운 구조를 찾아내는 작업은 고차원적인 패턴 인식의 과정이라 할 수 있습니다. 이러한 경계 넘기 작업을 성공적으로 수행하기 위해서는 역설적으로 각 분야에 대한 깊이 있는 이해가 선행되어야 합니다. 수많은 사례와 패턴을 부지런히 학습하고 데이터베이스를 쌓아 올릴 때, 비로소 서로 다른 분야를 매개하는 핵심적인 원리를 발견할 수 있습니다. 끊임없는 학습과 정보 습득은 수학적 직관을 날카롭게 다듬는 가장 확실한 방법입니다. 흔히 수학의 발전이 소수의 천재에 의해 이루어진다고 생각하기 쉽지만, 실제 수학의 역사는 수많은 연구자가 조금씩 쌓아 올린 거대한 건축물과 같습니다. 마치 개미 떼가 모여 백 층짜리 빌딩을 짓는 것처럼, 평범한 수학자들이 매일 기울이는 노력이 모여 학문의 거대한 볼륨을 형성합니다. 겉으로 보기에는 패러다임을 바꾸는 획기적인 발견처럼 보여도, 그 이면에는 이미 그러한 발견이 가능하도록 다져진 학문적 토양과 선행 연구들의 축적이 존재합니다. 따라서 천재성에 대한 막연한 공포를 갖기보다는, 매일의 꾸준한 연구가 인류의 지적 자산을 풍요롭게 만드는 소중한 벽돌 한 장이 된다는 믿음을 갖는 것이 중요합니다. 수학자에 대한 고정관념과 달리, 대다수의 프로 수학자들은 일상의 평범함을 즐기며 동료들과 소통하는 사회적인 존재들입니다. 수학을 잘한다는 것은 단순히 계산 능력이 뛰어난 것을 넘어, 자신이 모르는 부분에 대해 정확하게 질문하고 모호한 개념을 대화를 통해 명확하게 다듬어가는 소통 능력을 갖추는 것을 의미합니다. 또한, 하나에 몰입하여 오랫동안 고민할 수 있는 인내심과 수학 자체를 순수하게 즐기는 마음가짐이 무엇보다 중요합니다. 수학은 고립된 천재의 전유물이 아니라, 명확한 논리를 바탕으로 타인과 생각을 나누고 함께 진리를 탐구해 나가는 즐거운 유희이자 소통의 과정입니다. 수학자로서의 전성기는 단순히 젊은 시절에 국한되지 않으며, 풍부한 경험과 원숙함이 더해진 50대와 60대에도 충분히 꽃피울 수 있습니다. 아이를 키우고 일상을 꾸려나가는 인간적인 삶의 궤적 속에서 수학적 영감은 더욱 단단해지며, 동료들과 함께 문제를 풀며 쌓은 즐거운 추억들은 연구를 지속하게 하는 원동력이 됩니다. 또한 후학을 가르치는 과정은 자신이 알고 있던 지식을 재점검하고 새로운 시각을 얻는 소중한 기회가 됩니다. 미래에 대한 호기심을 잃지 않고 배움의 즐거움을 유지하며, 어제보다 조금 더 깊은 통찰을 얻기 위해 노력하는 삶이야말로 수학자이자 한 인간으로서 지향해야 할 진정한 성공의 모습일 것입니다.

허준이

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수학

[인터뷰] 허준이_수학, 예술이 될 수 있을까? 공부와 연구의 차이는?

수학은 기초가 탄탄해야 다음 단계로 나아갈 수 있는 학문이지만, 연구의 세계에서는 조금 늦게 시작해도 괜찮다는 격려를 전합니다. 대학원 이상의 과정에서 다루는 수학의 양은 방대하여, 특정 연구에 필요한 이론을 미리 완벽히 알고 있을 확률은 매우 낮기 때문입니다. 결국 연구자에게 중요한 것은 과거에 얼마나 공부했느냐보다, 필요한 순간에 새로운 이론을 마주하고 이를 이해해 나가는 태도입니다. 이해라는 과정은 찰나와 같아 시간이 지나면 잊히기 마련이므로, 끊임없이 새로 공부하며 채워가는 과정 자체가 수학 연구의 본질이라 할 수 있습니다. 많은 이들이 진로를 결정할 때 거창한 포부나 확신을 기대하지만, 때로는 우연한 계기가 평생의 업으로 이어지기도 합니다. 학부 시절 다양한 학문에 관심을 가졌던 한 수학자는 우연히 수강한 수학 과목에서 예상치 못한 즐거움을 발견하며 수학의 길로 들어섰습니다. 특별한 환상보다는 공부하는 과정 자체가 주는 소소한 재미가 다음 단계로 이끄는 동력이 되었고, 그러한 흐름이 자연스럽게 석사와 박사 과정을 거쳐 연구자의 삶으로 연결되었습니다. 자신이 무엇을 잘하는지 모르는 혼란스러운 시기에도 눈앞에 놓인 배움의 즐거움에 집중하다 보면, 어느덧 자신만의 길 위에 서 있는 자신을 발견하게 됩니다. 수학은 흔히 건조한 논리의 학문으로 여겨지지만, 본질적으로는 시나 음악과 같은 예술 활동과 궤를 같이합니다. 음악이 모티프의 변주를 통해 감동을 주듯, 수학 또한 수많은 명제 속에서 의미 있는 패턴을 찾아내고 이를 증명이라는 과정을 통해 아름답게 엮어내는 작업입니다. 세상의 모든 참인 명제 중 우리가 특별히 '재미있다'고 느끼는 것들은 극히 일부분이며, 이러한 명제들 사이의 관계를 탐구하며 구조를 세워가는 과정은 예술적 창조와 매우 닮아 있습니다. 논리적인 증명 위에 새로운 명제가 얹어지며 만들어지는 수학적 변주는 연구자들에게 깊은 미적 울림과 만족감을 선사합니다. 현대 예술이 대중과 어느 정도 괴리를 겪고 있듯이, 수학 역시 현재는 소수의 전문가만이 그 아름다움을 온전히 누리는 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 과거에 소수만이 향유하던 문학이나 시가 시간이 흘러 고전이 되고 대중적인 예술로 자리 잡았듯, 수학 또한 인류의 문화적 역사가 깊어짐에 따라 더 많은 이들에게 울림을 주는 날이 올 것입니다. 우리가 수학이 지닌 고유한 가치를 포기하지 않고 계속해서 탐구해 나간다면, 먼 미래에는 수학적 발견이 주는 감동이 보편적인 정서로 받아들여질 수 있습니다. 수학의 아름다움이 대중의 삶 속에 자연스럽게 스며드는 미래는 결코 불가능한 꿈이 아닙니다. 수학 공부가 기존의 곡을 완벽하게 소화하여 들려주는 연주와 같다면, 연구는 세상에 없던 새로운 곡을 써 내려가는 작곡과도 같습니다. 연주와 작곡이 서로 밀접한 연관을 맺으며 시너지를 내듯, 탄탄한 학습 능력은 창의적인 연구를 수행하는 데 훌륭한 밑거름이 됩니다. 특히 연구 과정에서 타인과 소통하고 협력하는 능력은 매우 중요한데, 이는 단순히 지식을 주고받는 차원을 넘어 인간적인 유대감을 바탕으로 합니다. 마음이 잘 맞는 동료와 편안하게 대화를 나누는 과정에서 본인도 미처 깨닫지 못했던 아이디어가 마법처럼 떠오르기도 하며, 이러한 관계 맺음은 고독한 연구의 길을 지탱해 주는 큰 힘이 됩니다.

허준이

카오스재단석학인터뷰

수학

[강연] 도대체 '계산'이란 무엇인가? '계산'의 놀라운 정의 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 3강 | 3강

계산이란 단순히 숫자를 더하고 빼는 산술적 행위를 넘어, 정해진 논리적 규칙에 따라 정보를 변환하고 구조화하는 근본적인 과정입니다. 우리는 일상 속에서 무의식적으로 수많은 계산을 수행하며 살아가지만, 수학적 관점에서 계산의 본질을 깊이 들여다보면 그것은 우주의 질서를 이해하고 체계화하는 고도의 지적 활동임을 알 수 있습니다. 이러한 과정은 현대 문명을 지탱하는 기술적 토대가 되며, 복잡한 문제를 해결하는 가장 강력한 도구로 작용합니다. 과거 오일러와 같은 수학자들이 정립한 정수론의 원리들은 오늘날 디지털 세상의 보안을 책임지는 공개키 암호의 핵심이 되었습니다. 순수 수학적 호기심에서 시작된 정수론의 정리가 수백 년이 지난 지금, 전 세계의 금융 거래와 개인 정보를 보호하는 실용적인 기술로 변모한 것입니다. 이는 추상적인 수학적 사고가 어떻게 현실의 구체적인 문제를 해결하는 계산적 도구로 진화할 수 있는지를 보여주는 완벽한 사례라고 할 수 있습니다. 알고리즘은 계산을 수행하기 위한 명확한 절차이자 약속입니다. 어떤 입력값이 주어졌을 때 원하는 결과에 도달하기까지의 과정을 단계별로 정의한 이 설계도는, 현대 컴퓨터 과학의 심장과도 같습니다. 효율적인 알고리즘을 찾는 과정은 단순히 속도를 높이는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫는 통찰력을 요구합니다. 수학자들은 가장 간결하면서도 강력한 논리적 경로를 찾아냄으로써, 불가능해 보이던 계산의 영역을 가능의 영역으로 확장해 왔습니다. 하지만 모든 문제가 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 계산 복잡도 이론은 어떤 문제는 해결하는 데 우주의 수명보다 긴 시간이 걸릴 수 있음을 시사합니다. 이러한 한계는 우리에게 효율성의 중요성을 일깨워주는 동시에, 계산 가능한 것과 그렇지 않은 것 사이의 경계를 탐구하게 만듭니다. 우리는 이러한 제약 안에서 최적의 해답을 찾기 위해 끊임없이 노력하며, 이는 수학적 사고가 직면한 가장 흥미로운 도전 중 하나로 남아 있습니다. 계산의 기초는 엄밀한 수학적 논리 체계 위에 세워져 있습니다. 기호 논리학과 집합론은 계산이 이루어지는 언어를 제공하며, 이를 통해 우리는 모호함 없이 사고를 전개할 수 있습니다. 형식적인 체계 안에서 증명과 계산은 서로 긴밀하게 연결되어 있으며, 하나의 참인 명제를 도출해내는 과정 자체가 정교한 계산의 연속이라고 볼 수 있습니다. 이러한 논리적 엄밀함은 계산 결과에 대한 신뢰성을 보장하는 가장 강력한 근거가 됩니다. 인공지능 기술의 비약적인 발전은 계산에 대한 우리의 인식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 과거에는 인간만의 고유한 영역이라 여겨졌던 추론과 창의적 판단조차, 이제는 거대한 데이터와 복잡한 수치 계산의 조합으로 구현되고 있습니다. 이는 '생각한다는 것'과 '계산한다는 것' 사이의 경계를 모호하게 만들며, 지능의 본질에 대한 새로운 질문을 던집니다. 기계가 수행하는 방대한 계산은 인간의 인지 능력을 확장하는 새로운 지평을 열어주고 있습니다. 결국 계산이란 인간이 세상을 이해하고 통제하기 위해 만들어낸 가장 정교한 언어입니다. 수학적 사고를 통해 다듬어진 계산의 원리들은 과학 기술의 발전뿐만 아니라, 우리 사회의 의사결정 구조와 철학적 사유에도 깊은 영향을 미치고 있습니다. 미래의 계산은 더욱 복잡하고 정교해지겠지만, 그 중심에는 여전히 논리적 일관성과 진리를 향한 인간의 탐구 정신이 자리 잡고 있을 것입니다. 우리는 계산을 통해 미지의 세계를 정복해 나갈 것입니다.

김민형

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수학

[석학인터뷰] 허준이X금종해_수학자가 묻고 수학자가 답하다! - 수학과 과학의 관계는? 수학 연구방법의 추세는 공동연구?

수학자의 일상은 흔히 상상하는 것처럼 비범하거나 특별한 것만은 아닙니다. 수학자 또한 보통의 사람들과 다를 바 없이 지루한 일상을 견디고, 때로는 집중력이 흐트러져 휴식을 취하기도 합니다. 이상적인 하루는 아침부터 점심까지 긴 호흡이 필요한 연구에 몰입하고, 오후에는 행정 업무나 강의 준비를 병행하는 것입니다. 연구가 잘 풀리지 않을 때는 억지로 매달리기보다 기꺼이 노는 시간을 가짐으로써 재충전의 기회를 얻기도 합니다. 이러한 유연함은 마치 운동선수가 시즌과 비시즌을 나누어 관리하듯, 장기적인 학문적 성취를 위한 필수적인 과정이 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 인간의 지적 활동을 통해 패턴의 반복 속에서 의미를 찾아내는 예술이자 인문학에 가깝습니다. 과학이 외부 자연에 이미 존재하는 법칙을 실험을 통해 발견한다면, 수학은 인간 내부의 이성과 상상력을 바탕으로 새로운 질서를 창조하거나 발견해 나가는 과정입니다. 이러한 발견은 개인의 통찰에서 시작되어 공동체의 검증을 거치며 보편적인 진리로 자리 잡게 됩니다. 결국 수학은 우리가 얼마나 깊이 사고할 수 있는지, 그리고 그 사고의 결과물을 어떻게 정교하게 전달할 수 있는지를 탐구하는 본질적인 인간에 대한 학문입니다. 많은 이들이 수학을 명확하고 딱딱한 결과물로만 인식하지만, 그 이면에는 시적인 은유와 모호한 아이디어가 공존합니다. 새로운 이론이 탄생하기 전의 초기 단계에서 수학자들은 직관과 상상력을 동원해 은유를 주고받으며 소통합니다. 이러한 직관과 영감은 타고난 재능이라기보다 반복적인 훈련을 통해 길러지는 능력에 가깝습니다. 계산 능력을 키우듯 직관의 영역 또한 꾸준한 사고의 반복을 통해 뇌의 신경망을 조직함으로써 강화될 수 있습니다. 따라서 수학 교육은 단순한 계산법 습득을 넘어, 보이지 않는 구조를 꿰뚫어 보는 통찰력을 기르는 방향으로 나아가야 합니다. 현대 수학의 가장 큰 특징 중 하나는 개인의 고립된 연구에서 벗어나 집단지성을 활용하는 공동 연구로 패러다임이 전환되었다는 점입니다. 과거에는 종이와 펜만 있으면 혼자서도 충분하다고 여겨졌으나, 이제는 여러 연구자의 뇌를 공동으로 사용하는 연결성이 성패를 좌우합니다. 동료와의 대화는 자신이 무엇을 모르는지, 혹은 무엇을 말하고 싶었는지를 명확하게 깨닫게 해주는 거울 역할을 합니다. 이러한 상호작용은 단순히 지식을 나누는 것을 넘어 인간적인 신뢰를 바탕으로 이루어지며, 인류 전체가 하나의 팀이 되어 거대한 수학적 난제를 해결해 나가는 원동력이 됩니다. 수학의 여러 분야 중 호지 이론은 서로 무관해 보이는 다양한 수학적 대상들 사이에서 공통된 대수적 구조를 발견하는 학문입니다. 조합론적 관점에서 그래프나 다면체 같은 이산적인 대상들을 연구할 때, 호지 이론이 제시하는 아름다운 구조는 예상치 못한 통찰을 제공합니다. 예를 들어 평면 위의 점과 선의 개수 관계처럼 단순해 보이는 문제조차 고차원적인 호지 이론의 구조를 통해서만 증명될 수 있는 경우가 많습니다. 이처럼 복잡한 이론이 지극히 기초적인 명제들과 연결되는 지점은 수학이 가진 최고의 매력이며, 지금 이 순간에도 수학은 전례 없는 속도로 팽창하며 새로운 역사를 쓰고 있습니다.

금종해, 허준이

카오스재단석학인터뷰

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융합

[강연] 풀기 힘든 계산이 풀기 힘든 암호로 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 2강 | 2강

인공지능의 시대는 곧 계산의 시대라고 할 수 있습니다. 많은 이들이 수학자는 계산을 잘할 것이라 오해하거나, 반대로 계산을 단순한 작업으로 치부하기도 합니다. 하지만 계산은 그 자체로 매우 심오하고 미묘한 세계를 품고 있습니다. 고대 바빌로니아 시절부터 현대의 디지털 보안에 이르기까지, 인류는 더 효율적이고 정교한 계산법을 찾기 위해 끊임없이 노력해 왔습니다. 이러한 계산의 본질을 탐구하는 과정은 현대 과학기술의 근간을 이해하는 열쇠가 됩니다. 역사 속에는 수천 년 전부터 전해 내려온 놀라운 알고리즘들이 존재합니다. 바빌로니아의 거듭제곱근 계산법이나 유클리드의 최대공약수 알고리즘은 현대의 관점에서도 더 이상 향상시키기 어려울 만큼 완벽한 효율성을 자랑합니다. 반면, 어떤 수의 소인수를 찾는 소인수분해 계산법은 개념적으로는 단순해 보이지만, 숫자가 커질수록 기하급수적으로 많은 시간이 소요되는 비효율성을 지니고 있습니다. 이처럼 계산의 효율성은 단순히 귀찮음의 문제를 넘어 학문적 난제로 다루어집니다. 나머지 연산, 즉 모듈로 연산은 현대 수학과 암호학에서 가장 중요한 도구 중 하나입니다. 이는 어떤 수를 특정 숫자로 나누었을 때 남는 값에 집중하는 방식인데, 우리가 일상에서 사용하는 10진법이나 시계의 시간 계산과도 밀접한 관련이 있습니다. 나머지 연산의 가장 큰 특징은 덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱과 같은 연산이 일반적인 수 체계보다 훨씬 쉽고 빠르게 이루어진다는 점입니다. 복잡한 큰 수의 계산도 끝자리나 나머지 규칙을 활용하면 놀라울 정도로 단순해집니다. 거듭제곱 연산의 효율성은 나머지 연산의 진가를 보여주는 사례입니다. 예를 들어 2를 100만 번 곱한 값의 마지막 자릿수를 구하는 문제는 일반적인 방식으로는 불가능에 가깝지만, 나머지 연산의 성질을 이용하면 암산으로도 해결이 가능합니다. 지수 법칙과 반복적인 나머지 계산을 결합하면, 아무리 거대한 지수를 가진 수라도 순식간에 그 결과를 도출할 수 있습니다. 이러한 계산의 용이성은 방대한 데이터를 처리해야 하는 현대 컴퓨터 공학에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 하지만 나머지 연산에는 흥미로운 비대칭성이 존재합니다. 거듭제곱은 매우 쉬운 반면, 그 역연산인 거듭제곱근을 구하는 과정은 극도로 어렵습니다. 일반적인 수 체계에서는 숫자의 크기를 통해 거듭제곱근의 범위를 짐작할 수 있지만, 나머지 연산에서는 크기에 대한 정보가 완전히 사라지기 때문입니다. 결과값만 보고 원래 어떤 수를 곱했는지 찾아내려면 사실상 모든 가능성을 하나씩 대입해 보는 수밖에 없습니다. 이러한 연산의 난해함이 바로 현대 보안의 기초가 됩니다. 우리가 매일 사용하는 인터넷 보안의 핵심인 공개키 암호 알고리즘은 바로 이 계산의 비대칭성을 활용합니다. 누구나 암호를 만들 수 있도록 공개된 숫자를 제공하지만, 이를 해독하기 위해 필요한 소인수분해나 거듭제곱근 계산은 현대의 슈퍼컴퓨터로도 수만 년이 걸릴 만큼 어렵게 설계되어 있습니다. 오일러의 정리와 같은 수학적 원리는 암호를 만든 주인만이 비밀 통로를 통해 메시지를 복원할 수 있게 해줍니다. 결국 수학적 계산의 어려움이 우리의 소중한 정보를 지켜주는 든든한 방어벽이 되는 셈입니다. 수학의 궁극적인 목적은 단순히 정답을 계산해 내는 것이 아니라, 현상의 이면에 숨겨진 원리를 깊이 이해하는 데 있습니다. 증명이라는 과정 또한 이미 밝혀진 사실을 확인하는 작업을 넘어, 그 현상이 왜 발생하는지를 통찰하는 도구로 사용됩니다. 괴델의 불완전성 정리가 보여주듯, 수학의 세계는 몇 가지 공리만으로 모두 설명할 수 없을 만큼 복잡하고 광활합니다. 계산의 효율성을 탐구하고 논리의 한계를 마주하는 과정은 인간의 지성이 도달할 수 있는 가장 아름다운 여정 중 하나입니다.

김민형

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[강연] 쉬운 계산 & 어려운 계산 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 1강 | 1강

수학자들은 종종 자신들이 계산을 잘하지 못한다고 말하곤 합니다. 이는 수학이 단순한 산술 이상의 학문임을 강조하기 위한 표현이지만, 실제로는 일반인보다 뛰어난 계산 능력을 갖춘 경우가 많습니다. 축구선수가 팔을 주력으로 쓰지 않더라도 전신 운동을 통해 일반인보다 강한 팔 힘을 가지는 것과 비슷한 원리입니다. 수학적 사고를 지속하는 과정에서 계산 능력은 자연스럽게 단련되며, 이는 수학이라는 거대한 체계를 지탱하는 기초적인 체력이 됩니다. 따라서 수학과 계산은 떼려야 뗄 수 없는 밀접한 관계를 맺고 있습니다. 현대 사회는 인공지능과 4차 산업혁명의 시대로 접어들면서 수학의 역할이 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 특히 교육 현장에서는 인공지능 시대에 걸맞은 수학 교육의 방향성에 대한 고민이 깊어지고 있습니다. 단순히 공식을 암기하고 문제를 푸는 것을 넘어, 계산의 본질을 이해하고 이를 어떻게 활용할 것인가에 대한 고찰이 필요합니다. 계산은 하찮은 기계적 작업이 아니라, 복잡한 세상을 논리적으로 구조화하고 해결책을 찾아가는 핵심적인 과정이기 때문입니다. 이러한 시대적 흐름 속에서 수학과 계산의 관계를 재점검하는 일은 매우 중요합니다. 계산의 중요성은 역사적 고찰과 교육적 측면 모두에서 두드러집니다. 어떤 이들은 계산을 사고력이 부족한 이들이나 하는 기계적인 일로 치부하기도 하지만, 이는 계산의 진정한 가치를 간과한 것입니다. 현대 과학은 우주와 같은 거대하고 추상적인 구조조차 계산의 영역으로 끌어들이고 있습니다. 추상적인 수학적 구조를 계산 가능한 형태로 변환하고, 이를 효율적으로 수행할 기계를 설계하는 일은 고도의 수학적 사고를 필요로 합니다. 즉, 계산은 추상적 이론을 구체적인 현실로 구현하는 강력한 도구이자 과학적 탐구의 핵심입니다. 고대 바빌로니아인들은 이미 수천 년 전에 놀라울 정도로 정밀한 제곱근 계산법을 알고 있었습니다. 기원전 1700년경의 점토판에는 루트 2의 근삿값을 구하는 구체적인 과정이 기록되어 있는데, 이는 현대의 관점에서도 매우 효율적인 알고리즘입니다. 임의의 근삿값에서 시작해 평균을 취하며 오차를 줄여나가는 이 방식은 계산이 단순히 숫자를 다루는 기술을 넘어, 논리적인 절차와 구조를 갖춘 지적 활동임을 보여줍니다. 이러한 역사적 사례는 인류가 아주 오래전부터 효율적인 계산을 위해 얼마나 깊이 고민해 왔는지를 잘 증명해 줍니다. 소수가 무한하다는 유클리드의 정리는 수학적 증명이 어떻게 새로운 계산법으로 이어지는지 보여주는 좋은 예시입니다. 증명 과정에 포함된 소수 생성법을 실제로 구현해 보면, 우리는 끊임없이 새로운 소수를 찾아낼 수 있습니다. 하지만 이 과정에서 필수적인 소인수분해는 현대 수학에서도 매우 비효율적인 계산 영역에 속합니다. 숫자의 자릿수가 늘어날수록 계산 시간이 기하급수적으로 증가하기 때문에, 아무리 강력한 컴퓨터를 사용하더라도 한계에 부딪히게 됩니다. 이는 계산의 효율성이 알고리즘의 구조에 따라 얼마나 크게 달라질 수 있는지를 시사합니다. 소인수분해와 대조적으로 최대공약수를 구하는 유클리드 호제법은 효율적인 알고리즘의 대표적인 사례로 꼽힙니다. 아주 큰 두 수의 최대공약수를 찾을 때, 소인수분해를 이용하면 엄청난 시간이 걸리지만 호제법을 사용하면 순식간에 답을 얻을 수 있습니다. 큰 수를 나머지로 대체하며 크기를 줄여나가는 이 방식은 복잡한 문제를 단순화하는 수학적 지혜의 정수를 보여줍니다. 효율적인 계산법은 단순히 시간을 단축하는 것을 넘어, 우리가 다룰 수 있는 데이터의 범위를 무한히 확장하며 현대 기술의 근간을 형성하고 있습니다. 인공지능 시대의 수학 교육은 이러한 계산법의 원리와 효율성을 이해하는 방향으로 나아가야 합니다. 손으로 직접 계산하는 경험도 중요하지만, 컴퓨터 프로그램을 활용해 거대한 숫자를 다루며 전체적인 수의 흐름과 구조를 파악하는 시야를 기르는 것이 필요합니다. 계산 도구를 자유자재로 활용하면서 알고리즘의 본질을 탐구하는 과정은 학생들에게 더 넓은 수학적 세계를 경험하게 해 줄 것입니다. 결국 계산에 대한 깊은 이해는 논리적 사고력을 증진시키고, 급변하는 기술 사회에서 문제를 해결하는 핵심 역량이 될 것입니다.

김민형

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[인터뷰] 김민형 ─ 김민형 교수가 말하는 수학, 역사, 그리고 계산 | 2021 마스터클래스 '수학과 계산'

수학적 재능은 사람마다 다양하게 분포되어 있으며, 이는 각자가 탐구하는 연구 분야를 결정하는 중요한 요인이 됩니다. 계산에 능숙한 학자가 있는 반면, 개념적이고 철학적인 사고를 선호하는 학자도 존재합니다. 저 또한 스스로를 완벽한 천재라기보다 사고가 흐트러질 때마다 같은 질문으로 되돌아오는 나름의 테크닉을 사용하는 연구자로 정의합니다. 이러한 역량의 차이는 우열의 문제가 아니라, 자신에게 가장 잘 맞는 수학적 탐구의 길을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 드러나는 개성이라 할 수 있습니다. 현대 사회에서 유튜브와 같은 플랫폼은 수학을 공부하려는 이들에게 매우 유용한 도구가 되고 있습니다. 저 또한 유튜브를 통해 기상천외한 동물들의 영상을 보며 자연계에 대한 선입견을 깨곤 하는데, 이는 수학적 사고를 확장하는 데에도 큰 영감을 줍니다. 일반인이나 아이들이 수학에 접근할 때 이러한 다양한 시각 자료를 활용하는 것은 매우 효과적입니다. 배움의 기회는 도처에 널려 있으며, 우리가 세상을 바라보는 고정관념을 탈피할 때 비로소 새로운 수학적 통찰이 시작된다는 점을 시사합니다. '수인가, 모양인가'라는 질문은 저의 오랜 연구 주제이자 영원한 화두입니다. 우리가 세상을 인지하고 기억하는 모든 과정에는 일종의 계산과 수적 표현이 포함되어 있습니다. 인간의 뉴런 네트워크 자체가 수적인 구조를 지니고 있기에, 현실 세계를 대수적으로 창조하거나 기하학적 구조와의 관계를 밝히는 일은 매우 근본적인 탐구입니다. 수와 모양의 경계를 허물고 이를 구체화할 수 있는 프레임워크를 만들어가는 과정은, 단순히 수학적 문제를 푸는 것을 넘어 우주의 본질을 이해하려는 시도와 맞닿아 있습니다. 수학은 20세기 이후 세상을 이해하기 위한 필수적인 언어가 되었습니다. 저는 대학 시절 철학을 전공하려 했으나, 결국 수학을 선택했습니다. 철학이나 문학이 주는 통찰도 훌륭하지만, 수학은 젊은 시절에 배우지 않으면 그 깊이를 체득하기가 점점 더 어려워지기 때문입니다. 최근에는 고대 역사 속 수학의 역할에도 깊은 관심을 두고 있습니다. 피타고라스나 아르키메데스에 얽힌 전설 뒤에 숨겨진 역사적 근거를 파악하는 일은, 수학이 인류 문명사에서 차지하는 위치를 재조명하는 흥미로운 작업이 됩니다. 인공지능과 4차 산업혁명 시대가 도래하면서 계산의 중요성은 역설적으로 더욱 커지고 있습니다. 모든 인공지능의 근간에는 컴퓨터의 계산 과정이 자리 잡고 있기 때문입니다. 따라서 현대의 수학교육은 단순히 공식을 외우는 것을 넘어, 계산에 대한 깊이 있는 사고 능력을 길러주는 방향으로 나아가야 합니다. 한국 청중은 철학적 담론에 익숙하고 수학적 수준도 높지만, 이제는 구체적인 계산의 원리를 파악하고 이를 활용하는 감각을 키워야 합니다. 이것이 바로 미래 시대를 대비하는 수학적 태도의 핵심입니다.

김민형

카오스재단석학인터뷰

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[강연] 수학으로 맞서는 불확실한 세계 by서인석｜2021 서울대 자연과학 공개강연 '불확실한 세계, 그래서 과학' | 1강

현실 세계의 불확실성은 너무나 복잡하여 그 전체를 완벽히 이해하는 것은 불가능에 가깝습니다. 하지만 수학을 도구로 삼으면 복잡함 속에서도 변하지 않는 '보편적 원리'를 발견할 수 있습니다. 이는 개별적인 움직임에 매몰되지 않고 전체를 관관통하는 공통의 법칙을 찾는 과정입니다. 마치 기체 분자 하나하나의 움직임을 다 알지 못해도 기체의 전체적인 성질을 파악할 수 있는 것과 같습니다. 이러한 보편적 원리는 거친 현실의 불확실성 속에서 우리가 나아가야 할 방향을 알려주는 나침반 역할을 수행합니다. 첫 번째 보편적 원리는 '대수의 법칙'입니다. 주사위를 던지는 횟수가 늘어날수록 상황은 복잡해지는 듯 보이지만, 눈의 평균값은 이론적 기댓값인 3.5에 점점 가까워집니다. 이 원리는 잘 설계된 수학 실험뿐만 아니라 성인 남성의 몸무게와 같은 현실의 거친 데이터에서도 동일하게 성립합니다. 데이터가 충분히 쌓이면 불확실성이 줄어들고 유의미한 예측이 가능해지는 것입니다. 보편성을 가진 이 법칙 덕분에 우리는 무작위해 보이는 수치들 속에서 신뢰할 수 있는 정보를 추출하고 분석할 수 있게 됩니다. 두 번째 원리는 '갈톤-왓슨 수형도'를 통해 알 수 있는 확산의 법칙입니다. 성씨의 번성이나 바이러스의 전파처럼 확률적으로 뻗어 나가는 구조에서 가장 중요한 것은 전체가 멸종할지 혹은 무한히 확장할지 여부입니다. 놀랍게도 이를 결정하는 것은 각 개체의 복잡한 특성이 아니라, 한 명이 평균적으로 몇 명을 감염시키는지를 나타내는 '감염 재생산 지수(R)'입니다. R이 1 이하로 유지되면 확산은 결국 멈추게 됩니다. 이 보편적 원리는 정부가 방역 정책을 수립하고 상황을 점검하는 데 있어 결정적인 지표가 됩니다. 세 번째 원리는 '퍼콜레이션' 모형에서 나타나는 '상전이 현상'입니다. 격자에서 점을 지우는 비율이 특정 임계값을 넘어서는 순간, 거대했던 연결 구조가 갑자기 작은 클러스터들로 부서지는 현상을 말합니다. 이는 물이 특정 온도에서 갑자기 끓는 것과 유사한 원리입니다. 격자의 모양이 바뀌어도 이러한 급격한 변화가 일어난다는 사실 자체는 변하지 않는 보편성을 가집니다. 이러한 상전이의 원리는 다공성 매질의 배수 특성을 이해하거나, 감염병 확산을 막기 위한 집단 면역의 임계치를 계산하는 데 핵심적인 근거를 제공합니다. 수학의 세계에는 이외에도 수많은 보편적 원리가 존재합니다. 우리가 수학적 소양을 기르는 이유는 단순히 공식을 외우기 위함이 아니라, 불확실성으로 가득한 현실을 더 투명하게 바라보기 위해서입니다. 복잡한 현상 뒤에 숨겨진 단순하고 강력한 법칙을 이해할 때, 우리는 비로소 거대한 불확실성에 맞설 용기와 지혜를 얻게 됩니다. 보편적 원리는 혼란스러운 세계 속에서 우리가 길을 잃지 않도록 돕는 가장 정교한 지도이자 나침반입니다. 수학을 통해 세상을 보는 눈을 넓힌다면 불확실성은 더 이상 두려움의 대상이 아닐 것입니다.

서인석

카오스재단서울대자연과학공개강연

수학

[강연] 제28회 2021 서울대 자연과학 공개강연_'불확실한 세계, 그래서 과학'

현대 사회는 거대하고 복잡한 불확실성으로 가득 차 있습니다. 기후 변화부터 감염병의 확산까지, 우리가 마주하는 현실은 한 개인이 온전히 이해하기에는 너무나 방대합니다. 이러한 혼돈 속에서 과학은 단순한 지식의 나열을 넘어, 세상을 투명하게 바라보게 하는 나침반 역할을 수행합니다. 과학자들은 보편적 원리를 탐구함으로써 복잡한 현상 이면에 숨겨진 불변의 법칙을 찾아내고, 이를 통해 미래를 예측하며 인류가 나아갈 방향을 제시합니다. 불확실한 세계일수록 과학적 사고는 더욱 빛을 발하며 우리 삶의 근간을 지탱하는 강력한 도구가 됩니다. 수학은 불확실성 속에서 질서를 찾아내는 가장 강력한 언어입니다. 주사위를 던지는 사소한 행위부터 바이러스의 확산 경로를 예측하는 일까지, 수학은 '큰 수의 법칙'이나 '감염 재생산 지수'와 같은 개념을 통해 복잡한 데이터를 유의미한 정보로 변환합니다. 특히 확률적 모델을 통해 집단 면역의 임계점을 계산하거나 상전이를 이해하는 과정은 수학이 현실 세계와 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지를 잘 보여줍니다. 수학적 소양을 기르는 것은 단순히 공식을 외우는 것이 아니라, 세상의 겉모습에 현혹되지 않고 그 중심에 흐르는 보편적 원리를 꿰뚫어 보는 통찰력을 갖추는 과정입니다. 지구 표면의 대부분을 차지하는 바다는 여전히 인류에게 미지의 영역으로 남아 있습니다. 전 세계 바다의 80% 이상이 아직 탐사되지 않았으며, 심해의 지형은 달의 표면보다도 덜 알려져 있습니다. 하지만 아르고 플로트와 같은 첨단 무인 관측 장비와 인공위성을 활용한 현대 해양학은 바다의 운동과 기후 변화의 상관관계를 정밀하게 추적하고 있습니다. 바다는 지구에 축적된 열에너지의 90%를 흡수하며 기후 조절자 역할을 수행합니다. 해류의 흐름과 수온 변화를 이해하는 것은 엘니뇨와 같은 기상 이변에 대비하고, 해양 생태계와 인류의 공존을 도모하는 데 필수적인 과제입니다. 우리 몸의 설계도인 DNA는 G, A, T, C라는 네 종류의 염기로 기록된 방대한 정보의 집합체입니다. 31억 자에 달하는 인간 유전체를 해독하기 위한 '인간 게놈 프로젝트'는 생명과학의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 유전체 지도를 확보함으로써 인류는 희귀 질환의 원인을 규명하고 환자 맞춤형 정밀 의료를 실현할 수 있는 기반을 마련했습니다. 특히 최근의 시퀀싱 기술 발전은 코로나19 바이러스의 정체를 신속히 파악하고 백신을 단기간에 설계하는 데 결정적인 기여를 했습니다. 유전 정보의 해독은 생명의 신비를 밝히는 것을 넘어 인류의 건강과 생존을 지키는 핵심 기술로 자리 잡았습니다. 효소는 생명체 내에서 일어나는 거의 모든 화학 반응을 관장하는 정교한 촉매제입니다. 수백 년이 걸릴 수 있는 소화 과정을 단 몇 시간으로 단축하는 효소의 능력은 현대 과학 기술로도 완벽히 모사하기 어려울 만큼 경이롭습니다. 과학자들은 '유도 진화'와 같은 혁신적인 기법을 통해 자연계에 존재하는 효소의 기능을 개량하거나, 플라스틱을 분해하는 새로운 효소를 설계하는 등 환경 문제 해결에 도전하고 있습니다. 아미노산 서열의 미묘한 변화가 거대한 구조적 차이를 만들어내는 효소의 세계는 마치 작은 우주와 같습니다. 이러한 거대 분자에 대한 연구는 지속 가능한 미래를 위한 화학적 해답을 제시합니다. 현대 과학의 성과는 수학, 해양학, 생명과학, 화학 등 서로 다른 분야의 지식이 융합될 때 더욱 극대화됩니다. 수학적 모델링은 감염병 방역 정책의 근거가 되고, 해양 관측 데이터는 기후 위기 대응의 기초가 되며, 유전체 분석과 효소 공학은 신약 개발의 핵심이 됩니다. 과학자들은 각자의 영역에서 미지의 세계를 탐구하지만, 결국 그들의 목적지는 인류가 직면한 불확실성을 해소하고 더 나은 세상을 만드는 것이라는 점에서 일치합니다. 학문 간의 경계를 허무는 협력과 소통은 복잡해지는 지구촌 문제를 해결하기 위한 가장 효과적인 전략이며, 과학이 가진 진정한 힘은 바로 이러한 연결에서 나옵니다. 과학의 출발점은 주변 현상에 대한 사소한 호기심이며, 그 결실을 맺게 하는 동력은 포기하지 않는 끈기입니다. 보이지 않는 심해를 탐사하고, 보이지 않는 유전자를 읽어내며, 보이지 않는 분자의 세계를 설계하는 과정은 끊임없는 도전의 연속입니다. 불확실한 세계는 우리에게 두려움을 주기도 하지만, 동시에 과학이라는 도구를 통해 탐험할 수 있는 무한한 기회를 제공합니다. 질문을 멈추지 않고 진리를 찾아 나가는 과학적 태도는 미래 세대가 갖추어야 할 가장 소중한 가치입니다. 호기심을 잃지 않고 학문에 정진할 때, 우리는 비로소 불확실성을 확신으로 바꾸며 새로운 시대를 열어갈 수 있을 것입니다.

나한나, 서인석, 송윤주, 장혜식

카오스재단서울대자연과학공개강연

화학
생명과학
지구환경과학
수학

[과학자가 쓴 과학책#14] 연결과 확률의 중요성 | 박형주 _ 배우고 생각하고 연결하고 | KAOS X 공원생활 특집

새로운 환경에 적응하며 학문에 매진하던 유학 시절, 연구의 벽에 부딪혀 좌절을 경험한 적이 있습니다. 노력만으로는 해결되지 않는 결과의 부재는 깊은 무력감을 안겨주었고, 설상가상으로 경제적 위기까지 겹치며 학업을 포기해야 할 상황에 놓였습니다. 하지만 인생의 가장 낮은 지점에서 마주한 뜻밖의 기회는 '연결'이라는 가치를 깨닫게 해주었습니다. 한 분야에서 도저히 풀리지 않던 난제가 다른 분야에서는 이미 해결된 상식일 수 있다는 사실을 직접 경험하며, 타인의 목소리에 귀를 기울이는 태도가 얼마나 중요한지 실감하게 되었습니다. 절망적인 상황에서 우연히 엿듣게 된 공학자들의 대화는 인생의 전환점이 되었습니다. 그들이 고민하던 디지털 신호처리의 난제는 수학계에서 이미 수십 년 전에 증명된 정리와 맞닿아 있었습니다. 낯선 분야의 대화에 용기 내어 끼어든 작은 행동은 단순한 오지랖을 넘어, 서로 다른 학문의 언어를 잇는 가교가 되었습니다. 수학적 지식이 공학적 문제의 실마리가 될 수 있음을 확인한 순간, 개인의 위기는 공동 연구라는 새로운 가능성으로 변모했습니다. 이는 자신의 전문 분야에만 갇혀 있어서는 결코 보지 못했을 넓은 시야를 선사했습니다. 서로 다른 언어를 사용하는 전문가들이 소통하지 못할 때 지식의 단절이 발생합니다. 공학자의 언어와 수학자의 언어가 다르기에 같은 문제를 두고도 서로의 해답을 알아보지 못하는 경우가 많습니다. 하지만 타 분야의 언어를 이해하려 노력하고 대화에 참여할 때, 비로소 근본적인 난제 해결의 문이 열립니다. 수학적 이론을 공학적 실무에 적용하며 다차원 신호처리 전문가로 거듭났던 경험은, 현대 사회에서 '연결'과 '협력'이 단순한 구호를 넘어 생존과 성장을 위한 필수적인 동력임을 증명하는 살아있는 사례가 되었습니다. 역사 속에서도 위대한 성취는 서로 다른 분야의 천재들이 협력할 때 탄생했습니다. 르네상스 시대를 풍미한 레오나르도 다빈치와 수학자 루카 파초올리의 만남이 대표적입니다. 경험을 통해 배우던 예술가 다빈치는 수학적 계산만으로 결과를 예측하는 파초올리의 지식에 매료되었고, 두 사람은 기하학과 미술을 결합한 명저를 남겼습니다. 예술적 직관과 논리적 엄밀함이 결합하여 시대의 패러다임을 바꾼 것입니다. 이처럼 우연한 만남에서 시작된 학문 간의 교류는 인류 지성사에 지대한 영향을 미치는 결과물을 만들어내곤 합니다. 현대 확률론의 탄생 역시 두 천재 수학자, 페르마와 파스칼의 서신 교환이라는 협력의 산물입니다. 200년 동안 풀리지 않았던 '점수 문제'를 해결하기 위해 그들은 과거의 데이터가 아닌 미래의 가능성에 주목했습니다. 중단된 게임의 판돈을 어떻게 나눌 것인가라는 질문에 대해, 각자가 이길 확률이라는 '기댓값'의 개념을 도입하며 발상의 전환을 이뤄냈습니다. 두 사람이 주고받은 편지는 단순한 문제 풀이를 넘어, 불확실한 미래를 수학적으로 계량화하는 현대 확률론의 기초를 세웠으며 이는 오늘날 금융과 과학 전반의 근간이 되었습니다. 오늘날 수학의 난제들은 무작위성이라는 개념을 통해 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 정수론의 오랜 숙제였던 소수 등차수열 문제나 쌍둥이 소수 가설 등은 해석학이나 확률론적 접근을 통해 해결의 실마리를 찾고 있습니다. 테렌스 타오나 장이탕 같은 수학자들은 자신의 전공 분야에 매몰되지 않고 다양한 수학적 도구를 연결하여 불가능해 보이던 증명을 해냈습니다. 특히 늦은 나이에 학문적 성취를 이룬 사례는 지식의 탐구에 경계가 없음을 보여줍니다. 무작위성이라는 강력한 무기는 이제 인공지능과 같은 첨단 기술의 핵심 원리로도 확장되고 있습니다. 확률과 정보의 연결은 현대 정보 이론의 핵심인 엔트로피 개념으로 이어집니다. 클로드 섀넌은 사건이 발생할 확률이 낮을수록 그 정보의 가치가 크다는 사실을 정립했습니다. 당연한 사실보다는 희귀한 사건이 더 많은 정보를 담고 있다는 통찰은 데이터를 효율적으로 전송하고 저장하는 기술적 토대가 되었습니다. 자주 발생하는 신호는 짧게, 드문 신호는 길게 부호화하는 방식은 우리가 매일 사용하는 디지털 통신의 경제성을 보장합니다. 17세기 수학자들의 호기심에서 시작된 확률의 개념이 오늘날 초연결 사회를 지탱하는 정보 이론의 뿌리가 된 셈입니다.

박형주

카오스재단읽다과학

수학

[석학인터뷰] 박형주 총장의 수학이 불완전한 세상에 대처하는 방법

물리학은 수학이라는 추상적인 언어를 현실의 구체적인 문제와 연결해 주는 가교 역할을 합니다. 수학자가 공학자들의 실무적인 대화를 이해하고 세상의 복잡한 현상을 수식으로 해석하기 위해서는 물리학적 관점이 반드시 필요합니다. 단지 이론적인 수치에만 매몰되지 않고 물리학을 통해 세상을 바라보는 훈련을 한다면, 이전에는 접근할 수 없었던 새로운 학문적 영역에 도전할 소중한 기회를 얻게 됩니다. 이러한 학문 간의 융합은 우리가 가진 지식을 실질적인 가치로 바꾸는 중요한 열쇠가 됩니다. 현대 과학에서 무작위성과 확률은 매우 난해하지만 동시에 대단히 유용한 개념입니다. 인공지능이 방대한 시나리오 중 최적의 수를 찾는 과정이나 열역학의 복잡한 체계를 설명할 때 무작위성을 활용한 샘플링 기법은 필수적입니다. 특히 딥러닝의 핵심인 최적화 이론은 수학적 기반 위에서 작동하며, 선형대수학과 같은 기초 학문은 인공지능을 자신의 분야에 창의적으로 활용할 수 있게 돕습니다. 인공지능의 부상은 결국 수학적 사고의 중요성을 다시금 일깨워주고 있습니다. 수학적 난제에 도전하는 과정은 때로 악마적이라 불릴 만큼 고통스럽지만, 인류는 끊임없이 이를 정복해 왔습니다. 페르마의 마지막 정리를 해결한 앤드루 와일스의 사례처럼, 때로는 문제에만 매몰되기보다 잠시 거리를 두고 다른 분야를 탐구할 때 예상치 못한 해답이 선물처럼 찾아오기도 합니다. 해결되지 않는 문제로 인한 스트레스를 관리하기 위해서는 새로운 시각으로 전환하는 유연함이 필요합니다. 익숙한 틀에서 벗어나 타인의 세상을 엿보는 경험은 학문적 성취를 넘어 삶을 더욱 풍요롭게 만듭니다. 온라인 교육 플랫폼인 무크(MOOC)의 확산으로 지식 습득의 장벽이 낮아지면서 전통적인 대학의 존재 가치에 대한 고민이 깊어지고 있습니다. 이제 대학은 단순한 이론 교육을 넘어 실제 현장의 프로젝트를 수행하며 실질적인 역량을 길러주는 공간으로 거듭나야 합니다. 기업이 진정으로 원하는 인재는 높은 성적보다 복잡한 상황에서 결과를 도출할 수 있는 실전 감각을 갖춘 사람입니다. 대학이 지식 습득은 온라인에 맡기고 오프라인에서는 문제 해결 경험을 극대화하는 방향으로 나아간다면 새로운 시대의 교육 모델을 정립할 수 있을 것입니다. 과학을 연극이나 음악처럼 하나의 공연으로 즐길 수 있다는 발상은 카오스(KAOS) 재단의 탄생으로 이어졌습니다. 대중이 지식 공유를 위해 기꺼이 시간과 비용을 투자할 준비가 되어 있다는 사실은 과학 커뮤니케이션의 새로운 가능성을 보여주었습니다. '무대 위에서 깨어나는 지식'이라는 의미를 담은 카오스는 학자들만의 폐쇄적인 세계를 넘어 대중과 지적으로 소통하는 장을 마련했습니다. 이러한 시도는 우리 사회의 지적 갈증을 해소하고 과학이 문화의 일부로 자리 잡는 데 중요한 역할을 하고 있습니다.

박형주

카오스재단석학인터뷰

수학

[강연] 문명과 수학의 기원(3)_박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ③

수학의 역사는 추상과 실용이라는 두 축이 서로 대립하고 극복하며 발전해 온 과정입니다. 21세기에 들어서며 실용은 수학의 영역을 확장하는 모습으로, 추상은 난제 해결의 형태로 진화하고 있습니다. 특히 그리스적 전통을 잇는 추상 수학은 수학적 우주 그 자체의 깊이를 탐구하며, 기존 체계로는 해결할 수 없는 난관을 돌파하는 과정에서 비약적인 발전을 이룹니다. 이는 단순히 지식의 양이 늘어나는 점진적 과정이 아니라, 새로운 패러다임이 출현하는 불연속적인 혁명의 역사라고 할 수 있습니다. 수학적 난제는 기존 체계의 불완전성을 드러내는 동시에 새로운 사고의 틀을 구축하는 강력한 동기가 됩니다. 대표적인 예로 5차 방정식의 근의 공식을 찾는 과정에서 탄생한 '군론'을 들 수 있습니다. 10대의 천재 수학자 갈루아는 이 난제를 해결하기 위해 완전히 새로운 수학적 구조를 설계했으며, 이는 훗날 화학의 결정 구조나 물리학의 대칭성을 설명하는 핵심 도구가 되었습니다. 하나의 난제를 해결함으로써 수학의 내적 틀이 바뀌고, 그것이 다시 자연과학의 지평을 넓히는 기폭제가 된 것입니다. 현대 수학은 힐베르트의 문제들이나 밀레니엄 난제들을 통해 여전히 미지의 영역에 도전하고 있습니다. 소수들로 이루어진 등차수열의 존재를 증명한 테렌스 타오의 사례처럼, 난제 해결은 우리가 소수의 성질을 얼마나 모르고 있었는지를 깨닫게 하며 수학적 우주의 조밀함을 이해하게 합니다. 이러한 도전은 단순히 상금을 목적으로 하는 것이 아니라, 우리가 왜 이 문제를 풀지 못하는지 그 근본적인 이유를 들여다봄으로써 수학이라는 학문의 한계를 시험하고 새로운 지적 영토를 개척하는 숭고한 과정입니다. 반면 바빌로니아적 전통을 계승한 실용 수학은 물리적 우주의 복잡한 문제들을 해결하며 그 가치를 증명합니다. 픽사의 애니메이션 제작부터 베를린의 교통 체증 해결, 심지어 선거 결과 예측과 의료용 MRI의 역문제 해결에 이르기까지 수학은 현대 사회의 보이지 않는 엔진 역할을 합니다. 때로는 버스 대수를 줄여야 교통이 원활해진다는 결과처럼 우리의 상식을 뒤엎는 해답을 제시하기도 합니다. 이는 수학적 논리가 현실의 복잡성을 관통하여 가장 효율적인 최적의 경로를 찾아낼 수 있음을 보여줍니다. 수학과 기술은 서로 영향을 주고받으며 변증법적으로 발전합니다. 무선 통신의 발달이 암호학이라는 새로운 수학 분야를 촉발했듯이, 물리적 우주의 성취가 수학적 우주에 새로운 영감을 불어넣기도 합니다. 한국의 수학은 그동안 서구의 이론을 이식하고 학습하는 단계에 집중해 왔으나, 이제는 추상적인 수학적 우주와 구체적인 물리적 우주 사이의 상호작용에 더 큰 관심을 기울여야 합니다. 두 세계가 긴밀하게 소통할 때 비로소 수학은 박제된 이론을 넘어 시대를 이끄는 진정한 생명력을 얻게 될 것입니다.

박형주

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수학

[석학인터뷰] 금종해 ─ 10년 내에 수학계 노벨상 나온다!

수학은 많은 이들에게 어렵고 딱딱한 학문으로 인식되곤 합니다. 최근 우리나라에서는 '수포자'라는 용어가 유행하며 수학 교육과정을 약화시키려는 움직임도 있지만, 단순히 내용을 줄인다고 해서 수학을 포기하는 학생들이 사라지는 것은 아닙니다. 오히려 과거에 비해 기초과학의 인기가 줄어든 상황에서도 우수한 학생들이 수학과로 몰리는 현상은 주목할 만합니다. 이는 수학이 단순히 학문적 탐구에 그치지 않고, 대학원 등 더 높은 단계에서 의미 있고 재미있는 일을 할 수 있는 강력한 도구가 될 것이라는 기대감이 반영된 결과라고 볼 수 있습니다. 현재 우리나라의 수학 교육과정은 과거에 비해 상당히 쉬워졌으며 교과서의 두께도 얇아졌습니다. 초등학교에 도입된 스토리텔링 수학은 본래 흥미를 유발하려는 목적이었으나, 이를 평가와 연결하면서 오히려 학생과 학부모들에게 또 다른 부담으로 작용하고 있습니다. 한때 미국 대통령들이 한국의 수학 교육을 모범 사례로 언급하던 시절도 있었지만, 이제는 더 이상 세계적인 벤치마킹 대상이 되지 못할 정도로 교육의 질적 수준이 약화되었습니다. 아이들에게 배움의 기회를 박탈하기보다, 제대로 가르치되 평가의 방식을 개선하는 방향으로 나아가야 합니다. 수학자가 되기 위해 가장 필요한 자질은 빠른 계산 능력이나 암기력이 아닙니다. 진정한 수학자는 수학적 상황 자체를 즐기고 분석하는 과정을 사랑하는 사람입니다. 학교 시험처럼 정해진 시간 내에 문제를 풀어내는 능력은 수학적 연구를 수행하는 데 필수적인 요소가 아닙니다. 계산이 틀리는 것은 주변의 도움이나 도구로 충분히 보완할 수 있는 부분입니다. 중요한 것은 어려운 문제에 직면했을 때 이를 포기하지 않고 끈기 있게 매달리는 태도입니다. 수학을 좋아하는 마음을 잃지 않고 꾸준히 탐구하는 과정 자체가 수학자의 길로 이어지는 비결입니다. 한국의 수학은 짧은 역사에도 불구하고 비약적인 발전을 거듭하여 현재 세계 10위권 내외의 위상을 확보하고 있습니다. 특히 대수기하학 분야에서 한국인 수학자들의 활약은 눈부시며, 머지않은 미래에 필즈상 수상자가 배출될 것으로 기대됩니다. 필즈상은 마흔 살 이전의 젊은 수학자에게 주어지는 영예로운 상으로, 현재 한국에는 그 자격을 갖춘 우수한 인재들이 존재합니다. 이러한 성과는 특정 분야에 국한되지 않고 여러 학문을 융합하여 새로운 길을 찾아내려는 수학자들의 끊임없는 도전과 연구가 뒷받침되었기에 가능한 일이었습니다. 과학계와 우리 사회 전반에 필요한 것은 합리적인 의사결정과 결과에 승복하는 문화입니다. 과학적 지식을 확산하는 것만큼이나 중요한 것은 전문가의 의견을 존중하고 합리적으로 행동하는 태도입니다. 정치 지도자들이 모든 과학 분야를 깊이 있게 알기는 어렵지만, 해당 분야의 전문가 커뮤니티에 자문을 구하고 그들의 판단을 정책에 반영하는 시스템이 정착되어야 합니다. 수학과 과학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 끊임없이 새로운 문제를 발견하고 탐구하는 끝없는 여정입니다. 이러한 학문적 열정이 국가 경쟁력의 근간이 될 것입니다.

금종해

카오스재단석학인터뷰

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[석학인터뷰] 현동훈_ 지도교수님 曰 "누가 수학을 재미로 하냐?" 그래도 재밌습니다. | 2020 가을 카오스강연 'Ai X'

순수 수학에 몰두하던 학자가 시야를 넓혀 응용 분야인 컴퓨터 비전에 입문하게 된 과정은 흥미롭습니다. 많은 수학자가 이론의 순수성에 집중하느라 실용적인 응용을 간과하곤 하지만, 컴퓨터 비전은 그 자체로 매우 수학적인 토대를 가지고 있습니다. 이는 수학자로서의 정체성과 자부심을 유지하면서도, 연구 결과가 사회에 실질적이고 가시적인 기여를 할 수 있다는 확신을 줍니다. 추상적인 수식 속에 머물던 아이디어가 현실의 문제를 해결하는 도구로 변모하는 과정은 수학자에게 새로운 즐거움을 선사합니다. 대수기하학은 다항식의 근을 통해 기하학적 구조를 연구하는 학문으로, 예를 들어 원의 방정식을 통해 도형을 이해하는 것과 같습니다. 이러한 학문적 기초는 컴퓨터 비전의 핵심인 '다중관점 기하학'으로 이어집니다. 하나의 물체를 서로 다른 각도에서 바라볼 때 나타나는 형태의 변화를 수학적으로 정교하게 기술하는 것이 이 분야의 핵심입니다. 결국 컴퓨터에게 사물을 보는 법을 가르치는 과정은 대수기하학적 원리를 현실 세계의 시각 데이터에 적용하는 고도의 지적 작업이라고 할 수 있습니다. 컴퓨터의 탄생 자체가 앨런 튜링과 알론조 처치 같은 수학자들의 손에서 시작되었듯이, 수학과 컴퓨터 과학은 떼려야 뗄 수 없는 관계입니다. 최근 전 세계적인 관심을 받는 딥러닝 역시 그 근간에는 단순하고 명료한 수학적 아이디어가 자리 잡고 있습니다. 현재 수학자들은 딥러닝이 왜 뛰어난 성능을 보이는지 그 원리를 규명하고, 이를 더욱 효과적으로 개선하기 위한 연구에 매진하고 있습니다. 특히 컴퓨터 비전 분야는 그 구성 요소의 절반 이상이 기하학적 원리로 이루어져 있어 수학적 통찰이 필수적입니다. 연구의 길은 항상 즐겁기만 한 것은 아니며, 때로는 문제 해결이 되지 않아 괴로운 순간을 마주하기도 합니다. 새로운 지식을 배우는 것은 즐거운 일이지만, 아무도 가보지 않은 길을 개척하는 연구는 차원이 다른 인내를 요구합니다. "수학을 누가 재미로 하느냐, 그냥 하는 것이다"라는 격언처럼, 끈기 있게 문제를 붙들고 늘어지는 태도가 중요합니다. 하지만 이상적인 환경에서 자유롭게 사고하며 무궁무진한 가능성을 탐구하는 과정은 수학만이 줄 수 있는 독특한 매력이며, 이는 창업이나 기술 개발 같은 실천적 도전의 원동력이 됩니다. 우리가 영화 '미션 임파서블'이나 '아이언맨'에서 보았던 첨단 기술들은 더 이상 상상 속의 영역에만 머물지 않습니다. 현장에서 즉석으로 마스크를 제작하기 위한 3D 스캐닝이나 화려한 홀로그래픽 디스플레이의 이면에는 복잡한 수학적 계산과 기하학적 모델링이 숨어 있습니다. 이러한 기술적 진보를 깊이 있게 이해하기 위해서는 그 바탕이 되는 수학적 원리를 파악하는 것이 중요합니다. 수학은 단순히 교과서 속의 학문을 넘어, 우리가 꿈꾸는 미래의 시각 기술을 현실로 구현하는 가장 강력한 언어로서 기능하고 있습니다.

현동훈

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수학

[과학자가 쓴 과학책#8] 그래픽디자이너 유지원의 아틀리에: 미래 디자인의 핵심은 수학!? | 뉴턴의 아틀리에 북토크(2)

디자인은 단순히 아름다움을 추구하는 행위를 넘어, 과학과 수학의 원리를 실천적으로 구현하는 과정입니다. '뉴턴의 아틀리에'가 우리의 생각을 텍스트로 담아낸 것이라면, '튜링의 아틀리에'는 디자이너로서 과학적 사고를 어떻게 작업에 투영할 것인가에 대한 실천적 강령이라 할 수 있습니다. 과거에는 예술과 과학의 차이를 부각하거나 추상적인 융합에 머무는 경우가 많았지만, 이제는 구체적인 결과물을 통해 그 효용성을 증명해야 합니다. 지식을 쌓고 경험을 확장하는 여정은 결국 더 좋은 작업을 통해 세상과 소통하기 위함이며, 이는 창작자가 물리 세계의 법칙을 깊이 이해할 때 비로소 완성됩니다. 우리가 마주하는 모든 형태는 중력과 같은 물리적 조건과 유기적인 관계를 맺고 있습니다. 영화 '컨택트'에 등장하는 외계 생명체 헵타포드의 방사형 대칭 구조는 그들이 사는 행성의 중력 환경을 암시하며, 이는 곧 그들의 언어와 비선형적 시간관으로까지 이어집니다. 이처럼 조형은 단순한 모양 이상의 의미를 내포하며, 디자이너는 사물의 외형을 통해 그 이면의 조건을 추정해 나가는 눈을 가져야 합니다. 인간의 신체 조건이 선형적 시간관을 만들었듯, 물리적 환경은 예술적 표현의 근간이 됩니다. 따라서 물리와 미술은 별개의 영역이 아니라, 우리가 세상을 인지하고 가시화하는 방식을 결정짓는 상호 보완적인 관계에 있습니다. 타이포그래피는 글자라는 시각적 요소를 통해 의미를 재구성하는 비주얼 커뮤니케이션의 핵심입니다. 셰익스피어 전집 작업에서 수학적 그리드를 활용해 도형을 추출하고 이를 디자인에 적용한 사례는, 순수한 수학적 접근이 어떻게 문학적 감수성과 연결될 수 있는지를 잘 보여줍니다. 때로는 기성 폰트의 문장 부호가 주는 이질감을 해결하기 위해 직접 문장 부호를 디자인하기도 하는데, 이는 독자의 시선을 사로잡는 세밀한 조형적 완성도를 추구하는 과정입니다. 아무도 알아채지 못하는 미세한 차이라 할지라도, 디자이너는 그 속에서 아름다움을 발견하고 행복을 느낍니다. 이러한 집요함이 모여 책이라는 매체의 경험적 지평을 넓히게 됩니다. 현대의 디자이너는 감각적인 영역을 넘어 소프트웨어를 조정하고 코딩을 활용하는 공학적 역량을 요구받고 있습니다. 수백 페이지에 달하는 책의 숫자 간격을 일일이 조정하는 대신, 폰트 소프트웨어의 내부 설정을 변경하여 문제를 해결하는 방식은 이공계적 사고방식의 실천적 예시입니다. 이는 단순한 노동의 효율화를 넘어, 기술적 도구를 창의적으로 제어함으로써 디자인의 질서를 바로잡는 일입니다. '유지원의 발바움'과 같은 커스텀 폰트의 탄생은 디자이너가 기술의 수동적 사용자에 머물지 않고, 자신의 의도를 관철하기 위해 도구를 재정의하는 주체임을 보여줍니다. 이러한 기술적 이해는 복잡한 시각적 문제를 해결하는 강력한 무기가 됩니다. 디지털 환경은 대개 사각형의 좌표 체계를 기반으로 구축되어 있어, 삼각형과 같은 비정형적 구조를 다룰 때 예기치 못한 기술적 한계에 부딪히기도 합니다. 정삼각형의 높이를 계산할 때 발생하는 무리수와 그로 인한 미세한 오차의 누적은 작업자에게 고통을 안겨주지만, 동시에 기술이 인간의 자연스러운 인지를 어떻게 제약하는지 질문하게 만듭니다. 예술가는 이러한 기술적 불편함을 민감하게 포착하고, '컴퓨터가 우리로부터 앗아간 세계'에 대해 의문을 던지는 사람입니다. 규격화된 세계가 주는 편리함 뒤에 숨겨진 생동감을 되찾기 위해, 디자이너는 끊임없이 도구의 한계를 시험하고 새로운 조형적 가능성을 탐색해야 합니다. 앨런 튜링은 수학을 생물학에 접목하여 동물의 무늬가 형성되는 원리를 수식으로 풀어낸 선구자였습니다. 그의 '튜링 패턴' 개념은 오늘날 제너레이티브 디자인의 근간이 되어, 동일한 알고리즘 안에서도 개체마다 조금씩 다른 변주를 만들어내는 미래형 디자인을 가능케 합니다. 산업 시대의 디자인이 하나의 설계도로 똑같은 제품을 찍어내는 방식이었다면, 디지털 시대의 디자이너는 원칙이 되는 알고리즘을 설계하여 무한한 다양성을 창조합니다. 이는 마치 자연의 현무암이 저마다 다른 구멍을 가지듯, 기술을 통해 유기적인 생명력을 조형물에 부여하는 과정입니다. 이제 디자이너는 제임스 와트의 후예에서 앨런 튜링의 후예로 거듭나고 있습니다. 과학적 원리를 기반으로 한 조형은 단순히 형태를 흉내 내는 것이 아니라, 그 이면의 메커니즘을 이해하고 적용하는 일입니다. 해마의 꼬리가 사각형 구조를 통해 유연성과 강한 악력을 동시에 확보한다는 사실을 깨달을 때, 우리는 비로소 단순한 모방을 넘어선 혁신적인 디자인을 도출할 수 있습니다. 수학을 어렵게만 느끼던 학생들도 자연 속에 숨겨진 수학의 얼굴을 발견하는 순간 창의적인 영감을 얻게 됩니다. 프랭크 게리가 항공 공학의 기술을 빌려 유선형 건축의 새 지평을 열었듯, 우리 역시 과학자들과 소통하며 무엇이든 직접 만들어보는 실천적 태도를 가져야 합니다. 이러한 시도들이 모여 디자인의 미래는 더욱 풍요롭고 유기적인 모습으로 진화할 것입니다.

김상욱, 유지원

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물리학
수학
융합

[석학인터뷰] 김상우 ─ DNA는 대부분 쓰레기다?! | 2020 봄 카오스강연 '첨단기술의 과학'

2000년대 이후 생물학은 비약적인 변화를 맞이했습니다. 과거에는 단일 유전자나 단백질의 기능을 깊이 있게 분석하는 연구가 주를 이루었으나, 현재는 유전체 활동과 염기서열 정보를 포함한 방대한 데이터가 쏟아지고 있습니다. 이러한 흐름 속에서 컴퓨터 기술은 단순한 도구를 넘어 생명 현상을 해석하기 위한 필수적인 요소가 되었습니다. 데이터를 능숙하게 다루고 분석할 수 있는 능력은 특정 질병에 국한되지 않고 생명 전체의 원리를 조망할 수 있는 넓은 시야를 제공하며, 이는 현대 과학자들에게 커다란 축복과도 같습니다. 이제 생물학은 복잡한 데이터를 정교하게 해석하는 정보 과학의 시대로 접어들었습니다. 눈에 보이지 않는 미세한 DNA를 관찰하기 위해서는 생화학이나 나노기술의 정교함이 필요하며, 여기서 얻은 거대한 데이터를 유의미한 정보로 바꾸기 위해서는 수학과 통계학, 그리고 전산학의 엄밀함이 요구됩니다. 자칫 잘못된 발견으로 이어질 수 있는 오류를 방지하기 위해 정교한 계산이 필수적이기 때문입니다. 결국 이러한 과정을 거쳐 도출된 결과는 다시 생물학과 의학의 영역으로 회귀하여 질병 치료와 같은 실질적인 응용 단계로 나아가게 됩니다. 이처럼 DNA 연구는 현대 과학의 정수를 모아 생명의 본질에 다가가는 숭고한 여정이라 할 수 있습니다. 생명의 설계도인 DNA를 연구하는 과정은 과학자로서의 태도와 철학을 정립하는 여정이기도 합니다. 칼 세이건의 '코스모스'가 생명 진화의 경이로움을 일깨워주었다면, 리처드 도킨스의 저작들은 엄밀한 탐구 정신을 견지하는 데 큰 영향을 주었습니다. 이러한 영감과 과학적 태도를 바탕으로 유전 변이를 탐지하고 질병의 원인을 밝혀내는 노력은 인류가 직면한 한계를 극복하는 열쇠가 됩니다. 결국 DNA 연구는 생명의 근원을 이해하고 더 나은 미래를 설계하기 위한 숭고한 도전입니다. 우리는 이러한 탐구를 통해 질병의 고통에서 벗어나 더 건강한 삶을 향한 발걸음을 내딛고 있습니다.

김상우

카오스재단카오스강연

생명과학

[과학자가 쓴 과학책#1] 떨림과 울림 by김상욱 | KAOS X 공원생활 특집 | 김태훈의 게으른 책읽기

물리학은 단순히 딱딱한 학문이 아니라 만물의 이치를 탐구하는 학문입니다. 고대 철학자 탈레스가 만물의 근원을 물이라 정의했듯, 인류는 끊임없이 세상이 무엇으로 구성되어 있는지 질문해 왔습니다. 현대 물리학은 이 거대한 우주를 수학적 법칙으로 설명하려는 노력을 이어가고 있습니다. 이는 보이지 않는 근원적인 질서가 존재할 것이라는 믿음에서 출발하며, 복잡한 현상 이면의 본질을 꿰뚫어 보려는 철학적 태도와도 맞닿아 있습니다. 우리는 흔히 우리가 보고 느끼는 것이 객관적인 실체라고 믿지만, 물리학의 관점에서 보면 이는 감각 기관을 통한 해석의 결과일 뿐입니다. 빛이 물체에 반사되어 망막에 맺히고 전기 신호로 변환되는 과정은 본질을 이해하기 위한 물리적 절차입니다. 렌즈를 통과한 빛이 굴절되듯 우리의 인식도 왜곡될 수 있음을 깨닫는 순간, 비로소 사물의 본질에 다가갈 수 있습니다. 물리학은 이처럼 건조한 기계적 진동의 세계를 인간적인 영역으로 연결하는 가교 역할을 합니다. 과학은 인류가 우주의 중심이 아니라는 사실을 깨닫게 하며 문명을 성숙시켜 왔습니다. 인간은 38억 년이라는 긴 진화의 역사 속에서 탄생한 수많은 생명체 중 하나이며, 광활한 우주의 작은 행성에 거주하는 원자의 집합체입니다. 이러한 사실은 때로 인간의 자존심을 건드리며 불편함을 주기도 하지만, 우리가 누구인지에 대한 명확한 답을 제시합니다. 과학이 알려주는 존재의 본질을 바탕으로 우리는 어떻게 살 것인가라는 인문학적 질문에 대한 답을 스스로 찾아나가야 합니다. 사회적 위기 상황에서 과학적 사고는 더욱 빛을 발합니다. 팬데믹과 같은 혼란 속에서 인간은 공포를 해소하기 위해 희생양을 찾으려는 본능적인 속성을 드러내곤 합니다. 그러나 과학은 진정한 적이 누구인지 명확히 지목해 줍니다. 바이러스라는 실체를 규명하고 대응 방안을 제시함으로써, 근거 없는 미신이나 혐오에 빠지지 않도록 돕는 것입니다. 호모 사피엔스 전체가 단결하여 공동의 적과 싸워야 한다는 이성적인 판단은 바로 과학적 사실에 근거할 때 가능해집니다. 우주가 수학이라는 언어로 기술된다는 사실은 그 자체로 기적과 같습니다. 인간의 뇌는 광활한 우주를 이해하기보다는 지구라는 환경에서 생존하고 사회적 관계를 맺는 데 최적화되어 진화했습니다. 따라서 양자역학이나 시공간의 휘어짐 같은 개념이 우리의 상식과 충돌하는 것은 당연한 결과입니다. 하지만 인간의 이해 범위를 넘어서는 현상일지라도 수학적 법칙 안에서 완벽하게 작동한다면, 우리는 자신의 한계를 인정하고 우주의 법칙에 맞추어 사고를 확장하는 노력을 기울여야 합니다. 물리학은 세상을 바라보는 두 가지 흥미로운 방식을 제안합니다. 하나는 현재의 상태가 다음 순간을 결정한다는 인과론적 관점이며, 다른 하나는 시작과 끝을 정해두고 전체 경로를 조망하는 목적론적 관점입니다. 후자의 방식은 마치 미래를 알고 현재를 사는 듯한 시각을 제공하며, 우리의 선형적인 시간 개념을 뒤흔듭니다. 이러한 물리적 통찰은 테드 창의 소설처럼 인문학적 상상력과 결합하여, 삶과 우주를 바라보는 우리의 시야를 다차원적으로 넓혀주는 계기가 됩니다. 결국 물리학을 공부한다는 것은 세상을 더 선명하게 바라보는 눈을 갖는 과정입니다. 비록 물리학이 인간의 복잡한 사회적 문제나 감정적인 갈등을 직접 해결해 줄 수는 없지만, 우리가 발을 딛고 서 있는 세계의 규칙을 이해하게 함으로써 삶의 불확실성을 걷어내 줍니다. 객관적인 물리 세계와 주관적인 인문학적 가치가 조화를 이룰 때, 우리는 비로소 우주라는 거대한 무대 위에서 자신의 위치를 정확히 파악하고 더 나은 삶의 방향을 설정할 수 있게 될 것입니다.

김상욱

카오스재단읽다과학

물리학

[강연] AI / 머신러닝 _ by오혜연, 강명주 | 2020 봄 카오스강연 '첨단기술의 과학' 3강 | 3강

인공지능은 인간이 어렵게 느끼는 복잡한 지식 탐색이나 독해 능력에서 놀라운 성과를 보여줍니다. IBM의 왓슨이 퀴즈쇼에서 우승하거나 머신러닝 모델이 고난도 독해 평가에서 인간을 앞서는 사례가 이를 증명합니다. 하지만 정작 인간에게 너무나 쉬운 일상적인 대화나 사진 속 상황을 파악하는 일에는 서툰 모습을 보이기도 합니다. 이러한 역설은 인공지능이 언어를 이해하는 방식이 인간의 직관이나 경험과는 근본적으로 다르다는 점을 시사하며, 기술 발전의 새로운 과제를 던져줍니다. 일상적인 대화가 인공지능에게 어려운 이유는 데이터의 부재와 상황의 모호성에 있습니다. 우리가 나누는 대화는 대부분 기록되지 않는 사적인 영역이며, 그 안에는 대화 상대와의 관계나 장소, 계절 같은 수많은 외부 맥락이 생략되어 있습니다. 인공지능은 방대한 데이터를 학습하여 확률적으로 다음 단어를 예측하지만, 데이터에 명시되지 않은 인간의 본능적인 사회적 감각까지 완벽히 따라 하기는 어렵습니다. 결국 문제 정의가 명확하지 않은 영역에서 인공지능의 한계가 드러나는 것입니다. 최신 언어 모델인 BERT는 문맥을 양방향으로 파악하며 비약적인 발전을 이루었지만, 여전히 데이터에 내재된 편향성 문제를 안고 있습니다. 인공지능은 인터넷상의 방대한 문서를 학습하며 인간의 고정관념이나 당연하게 여겨지는 상식의 부재를 그대로 흡수합니다. 예를 들어 '노란 바나나'라는 표현이 드문 이유는 바나나가 당연히 노랗기 때문이지만, 인공지능은 이를 학습하지 못해 편향된 결과를 낼 수 있습니다. 이는 기술적 완성도를 넘어 윤리적이고 사회적인 성찰이 필요한 지점입니다. 인공지능과 딥러닝의 눈부신 발전 밑바탕에는 견고한 수학적 토대 자리 잡고 있습니다. 흔히 인공지능을 전산학의 전유물로 생각하기 쉽지만, 사실 미분과 선형대수학 같은 수학적 원리가 없었다면 현대의 인공지능은 존재할 수 없었을 것입니다. 과거 뉴턴이나 오일러가 정립한 이론들이 수 세기를 지나 오늘날 데이터를 처리하고 최적의 해를 찾는 핵심 도구로 부활한 셈입니다. 산업이 고도화될수록 복잡한 현상을 모델링하고 해결하는 수학의 역할은 더욱 중요해지고 있습니다. 수학의 힘은 영화 산업의 시뮬레이션 기술에서도 명확히 드러납니다. '겨울왕국'의 자연스러운 눈 입자나 '아이언맨'의 역동적인 물의 흐름은 모두 나비에-스토크스 방정식과 같은 복잡한 물리 법칙을 수학적으로 풀어낸 결과입니다. 슈퍼컴퓨터조차 직접 풀기 어려운 거대한 행렬 방정식을 수치적인 방법으로 근사하여 해결함으로써, 우리는 가상 세계에서 실제와 다름없는 물리적 현상을 구현할 수 있게 되었습니다. 이는 수학이 추상적인 이론을 넘어 현실을 재창조하는 도구임을 보여줍니다. 딥러닝의 핵심은 수많은 데이터를 통해 최적의 가중치를 찾아내는 최적화 과정에 있습니다. 수백만 차원의 복잡한 함수에서 오차를 최소화하는 지점을 찾는 일은 마치 거대한 산맥에서 가장 낮은 골짜기를 찾는 것과 같습니다. 이 과정에서 인공지능은 행렬 연산을 반복하며 스스로 특징을 학습하지만, 왜 그런 결과가 도출되었는지 논리적으로 설명하기는 여전히 어렵습니다. 이러한 '블랙박스' 문제를 해결하고 시스템의 신뢰성을 확보하기 위해 수학자들은 지금도 치열한 연구를 이어가고 있습니다. 미래의 인공지능은 단순히 높은 정확도를 기록하는 것을 넘어, 자신의 판단 근거를 인간에게 논리적으로 설명할 수 있는 '설명 가능한 AI(XAI)'로 진화해야 합니다. 이를 위해서는 데이터 기반의 학습과 수학적 논리가 완벽하게 통합되어야 하며, 다양한 분야의 전문가들이 소통하며 창의적인 해결책을 모색해야 합니다. 인공지능이 인간의 언어를 완벽히 이해하고 수학적으로 투명해지는 날, 우리는 기술이 주는 혜택을 더욱 안전하고 풍요롭게 누리게 될 것입니다.

강명주, 오혜연

카오스재단카오스강연

뇌인지과학

[인터뷰] 강명주 ─ 겨울왕국 그래픽에 수학공식이 사용된 이유! | 2020 봄 카오스강연 '첨단기술의 과학'

많은 이들이 수학을 입시를 위한 도구로만 여기지만, 사실 수학은 우리 사회 곳곳에서 유용하게 쓰이고 있습니다. 순수 수학의 이론적 아름다움을 넘어, 실생활에 직접적인 영향을 미치는 응용 수학의 세계는 무궁무진합니다. 예를 들어 우리가 즐겨 보는 애니메이션 '겨울왕국' 속 눈의 질감이나 움직임은 정교한 수학 방정식으로 구현된 결과물입니다. 단순한 스케치로는 표현할 수 없는 극사실적인 묘사가 수학적 원리를 통해 완성되는 것입니다. 이처럼 스마트폰의 영상 처리 기능부터 복잡한 그래픽 기술에 이르기까지, 우리가 누리는 현대 문명의 편리함 뒤에는 언제나 보이지 않는 수학적 기초가 튼튼하게 자리 잡고 있습니다. 최근 화두가 되고 있는 인공지능은 단순히 로봇을 만드는 기술을 넘어 매우 광범위한 개념을 포괄합니다. 인공지능이라는 거대한 틀 안에는 데이터를 통해 스스로 학습하는 기계학습이 존재하며, 그중에서도 가장 핵심적인 역할을 수행하는 것이 바로 딥러닝입니다. 1980년대부터 시작된 기계학습의 개념은 기술의 발전을 거듭하며 오늘날의 딥러닝으로 진화하였고, 이는 현재 가장 유용하고 강력한 성능을 발휘하는 기술로 자리매김했습니다. 결국 인공지능의 눈부신 성과는 수학적 알고리즘이 뒷받침된 기계학습과 딥러닝의 유기적인 결합 덕분이라고 할 수 있습니다. 이러한 기술적 위계 구조를 이해하는 것은 현대 과학 기술의 흐름을 파악하는 첫걸음이 됩니다. 인공지능의 발전사는 응용 수학의 발전 궤적과 그 흐름을 같이합니다. 1980년대부터 본격적으로 연구된 응용 수학의 이론들이 연결 고리가 되어 현재의 딥러닝 기술을 탄생시켰기 때문입니다. 인공지능 연구에 있어 어떤 수학적 원리가 필요한지, 그리고 현재 직면한 문제점은 무엇인지 파악하는 과정은 매우 중요합니다. 수학은 인공지능이 가진 한계를 극복하고 더 높은 단계로 도약하게 만드는 핵심 열쇠입니다. 앞으로 인공지능이 어떤 방향으로 나아가고 우리 삶을 어떻게 변화시킬지는 수학적 탐구의 깊이에 달려 있습니다. 이러한 학문적 연결 고리를 이해함으로써 우리는 미래 기술에 대한 더욱 명확한 통찰을 얻을 수 있을 것입니다.

강명주

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 데이터 세상에서 수학으로 살아남기 by천정희 | #47분26초_꼭_봐야하는_영상｜2020 서울대 자연과학 공개강연 '과학으로 살아남기' | 2강

현대 사회에서 데이터는 '미래의 원유'이자 새로운 통화로 불릴 만큼 그 가치가 비약적으로 상승했습니다. 과거 시가총액 상위권을 차지하던 기업들이 석유나 금융 중심이었다면, 이제는 애플, 구글, 아마존과 같은 데이터 기반 IT 기업들이 그 자리를 대신하고 있습니다. 이는 우리가 데이터를 얼마나 잘 수집하고 활용하느냐에 따라 기업과 국가의 경쟁력이 결정되는 시대에 살고 있음을 의미하며, 데이터는 단순한 정보를 넘어 경제의 핵심 동력이 되었습니다. 하지만 데이터 활용이 늘어날수록 개인정보 유출이라는 심각한 부작용도 뒤따르고 있습니다. 의료 정보나 상업적 이용을 목적으로 한 민감한 정보들이 해킹이나 무단 판매를 통해 유출되는 사고가 빈번하게 발생하고 있습니다. 기계 학습을 위해 더 많은 데이터가 필요해질수록 보안의 중요성은 더욱 커지며, 데이터를 안전하게 보호하면서도 그 가치를 추출해낼 수 있는 기술적 대안이 절실해진 상황입니다. 활용과 보호라는 두 마리 토끼를 잡는 것이 시대적 과제가 된 것입니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 등장한 혁신적인 기술이 바로 '동형암호'입니다. 동형암호는 데이터를 암호화한 상태 그대로 연산할 수 있게 해주는 기술로, 데이터를 복호화하지 않고도 필요한 분석을 수행할 수 있습니다. 이는 마치 보석 원석을 투명하고 단단한 상자에 넣은 채로 가공하는 것과 같아서, 작업자는 내용물을 훔칠 수 없지만 주인은 가공된 결과물을 안전하게 돌려받을 수 있습니다. 비밀을 알지 못하면서도 주인이 원하는 일을 완벽히 수행하는 '완벽한 하인'인 셈입니다. 동형암호의 안전성은 수학적으로 매우 풀기 어려운 난제에 기반을 두고 있습니다. 근사 최대공약수 문제나 격자 기반의 암호 체계는 현대의 슈퍼컴퓨터는 물론 미래의 양자 컴퓨터로도 해결하기 어려운 NP-하드 문제로 분류됩니다. 이러한 수학적 견고함 덕분에 동형암호는 데이터의 기밀성을 완벽하게 보장하며, 암호화된 상태에서 덧셈과 곱셈 같은 복잡한 연산을 수행하더라도 정보가 외부에 노출될 위험이 거의 없습니다. 수학이 데이터 세상을 지키는 가장 강력한 방패가 되는 것입니다. 초기 동형암호는 연산 속도가 매우 느리고 데이터 크기가 커지는 단점이 있었으나, 최근 수학적 알고리즘의 발전으로 비약적인 성능 향상을 이루었습니다. 특히 '근사 계산 동형암호(HEAAN)' 기술은 실수 연산이 잦은 기계 학습 분야에 최적화되어 세계적인 주목을 받았습니다. 이 기술은 연산 과정에서 발생하는 오차를 효율적으로 관리하며, 기존 방식보다 수백 배 빠른 속도로 대규모 데이터를 처리할 수 있는 길을 열어주었습니다. 이는 한국 연구진의 기여가 돋보이는 분야이기도 합니다. 현재 동형암호는 DNA 분석과 같은 정밀 의료 분야부터 금융 서비스의 데이터 결합에 이르기까지 폭넓게 적용되고 있습니다. 개인의 유전 정보를 암호화한 상태로 질병 예측 모델을 돌리거나, 서로 다른 기관의 금융 데이터를 개인정보 침해 없이 결합하여 분석하는 것이 가능해졌습니다. 정부의 규제 샌드박스를 통한 임시 면허 부여 등 제도적 뒷받침이 더해지며, 이론을 넘어 실질적인 서비스 단계로 빠르게 진입하고 있습니다. 이는 데이터 부족 문제를 해결하고 안전한 유통 생태계를 만드는 초석이 됩니다. 결국 데이터 세상에서 수학은 단순한 계산 도구를 넘어 개인의 권리와 정보를 지키는 핵심적인 역할을 수행합니다. 대수학, 정수론, 해석학 등 다양한 수학적 원리들이 결합하여 탄생한 동형암호는 인공지능 기술과 조화를 이루며 '프라이빗 AI' 시대를 견인할 것입니다. 인간과 인공지능이 서로의 신뢰를 바탕으로 공존하는 미래를 만들기 위해, 수학은 앞으로도 데이터의 가치를 안전하게 꽃피우는 생명선이 될 것입니다. 새로운 수학적 발견이 가져올 안전한 데이터 세상을 기대해 봅니다.

천정희

카오스재단서울대자연과학공개강연

수학

[석학인터뷰] 천정희_ 2등은 살아남기 어려운 시대, 그래서 산업수학! | 2020 서울대 자연과학대 공개강연 '과학으로 살아남기'

현대 사회에서 수학의 중요성은 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 초연결 시대를 맞이하여 지식과 과학의 발전이 전 세계로 빠르게 전파되면서, 작은 수학적 개선만으로도 거대한 경제적 효과를 창출할 수 있게 되었기 때문입니다. 과거에는 물리적인 제약으로 인해 이론에 머물렀던 수학적 사고들이 이제는 기술적 발전을 통해 현실에서 직접 구현될 가능성이 커졌습니다. 이러한 변화는 수학이 단순한 학문을 넘어 세상에 실질적인 부가가치를 제공하는 핵심 동력으로 자리 잡게 만들었습니다. 수학의 가장 큰 매력은 논리적인 추론과 가정이라는 틀 안에서 어떠한 제한도 없이 자유롭게 사고할 수 있다는 점에 있습니다. 특히 암호학은 순수한 수학적 이론이 현실 세계에 어떻게 강력한 영향을 미칠 수 있는지를 보여주는 대표적인 분야입니다. 암호학의 문제는 현실의 필요에서 발생하지만, 그 해결책은 오직 순수한 수학적 사고를 통해 도출됩니다. 이러한 과정은 수학이 추상적인 영역에만 머무는 것이 아니라, 우리 삶의 안전과 질서를 유지하는 데 결정적인 역할을 수행함을 증명합니다. 4차 산업혁명과 데이터 과학의 시대를 지탱하는 근간은 결국 수학입니다. 데이터 과학을 성공적으로 수행하기 위해서는 대수학, 해석학, 정수론, 위상수학, 기하학 등 수학의 여러 분야를 유기적으로 융합하는 능력이 필수적입니다. 최근에는 데이터의 형태를 분석하는 위상수학이나 공간 객체를 표현하는 기하학이 새롭게 각광받고 있습니다. 따라서 미래의 인재 양성을 위해서는 개별 분야에 대한 깊이 있는 연구와 더불어, 다양한 수학적 원리를 통합하여 실무에 적용할 수 있는 교육적 보완이 절실합니다. 기술 혁신의 속도가 빨라지면서 산업계와 수학계의 거리는 급격히 좁아지고 있습니다. 과거에는 수학적 성과가 과학과 공학을 거쳐 산업에 적용되기까지 오랜 시간이 걸렸지만, 이제는 수학적 성과가 산업 현장에 즉각적으로 투입되어 가치를 창출해야 하는 시대입니다. 이러한 흐름 속에서 탄생한 '산업 수학'은 산업계의 복잡한 문제들을 수학적 모델링을 통해 직접 해결하려는 시도입니다. 이는 수학이 상아탑을 벗어나 기업의 경쟁력을 결정짓는 핵심적인 원천으로 작용하고 있음을 보여주는 중요한 변화입니다. 인류의 역사를 통찰하는 과정에서도 과학적 사고와 인문학적 소양의 결합은 매우 중요합니다. 유발 하라리의 '사피엔스'와 같은 저작은 인지 혁명부터 과학 혁명에 이르기까지 인류의 지식 지형도가 어떻게 변화해 왔는지를 명확하게 보여줍니다. 이러한 통섭적 시각은 우리가 현재 마주한 지식 산업 혁명의 본질을 이해하는 데 큰 도움을 줍니다. 수학적 사고를 바탕으로 인류 문명의 흐름을 읽어내는 능력은, 급변하는 미래 사회에서 우리가 나아가야 할 방향을 제시하는 소중한 나침반이 될 것입니다.

천정희

카오스재단석학인터뷰

수학

[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-2: 무한의 탐구

게오르크 칸토어는 무한의 신비를 풀기 위해 '일대일 대응'이라는 혁신적인 방법을 제시했습니다. 이는 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 크기를 비교하는 방식입니다. 예를 들어, 좌석 수와 관객 수를 비교할 때 직접 숫자를 세지 않고 관객을 자리에 모두 앉혀보는 것과 같습니다. 칸토어는 이 원리를 무한 집합에 적용하여, 자연수 집합과 그 부분집합인 짝수나 홀수 집합의 크기가 같다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 무한의 세계에서는 전체와 부분이 같을 수 있다는 갈릴레이의 역설을 해결한 중요한 열쇠가 되었습니다. 유리수 집합은 자연수보다 훨씬 촘촘하고 많아 보이지만, 칸토어는 유리수 역시 셀 수 있는 무한임을 증명했습니다. 그는 분수들을 표 형태로 나열한 뒤, 대각선 방향으로 순서를 매겨 모든 유리수를 빠짐없이 열거하는 천재적인 방법을 고안했습니다. 이 과정을 통해 유리수 집합이 자연수 집합과 일대일 대응이 가능하다는 것이 입증되었습니다. 결국 유리수 호텔의 무한한 손님들도 1층짜리 자연수 호텔로 모두 옮길 수 있다는 결론에 도달하게 됩니다. 칸토어는 이처럼 셀 수 있는 가장 작은 무한의 단위를 히브리어 첫 글자를 따서 '알레프 제로'라고 명명했습니다. 하지만 칸토어는 여기서 멈추지 않고 더 큰 무한의 존재를 탐구했습니다. 그는 0과 1 사이의 실수가 자연수보다 더 큰 무한임을 '대각선 논법'을 통해 증명했습니다. 만약 실수를 모두 나열했다고 가정하더라도, 각 숫자의 특정 자릿수를 변형하여 목록에 없는 새로운 실수를 언제나 만들어낼 수 있다는 논리입니다. 이는 실수가 자연수와 일대일 대응이 될 수 없음을 의미하며, 셀 수 없는 무한인 '알레프 원'의 존재를 세상에 알렸습니다. 무한에도 층위가 있으며, 우리가 상상하는 것보다 훨씬 거대한 무한이 존재한다는 사실이 수학적으로 밝혀진 것입니다. 알레프 제로와 알레프 원의 차이는 건축 방식의 차이와도 같습니다. 알레프 제로 호텔은 객실 사이에 유한한 방이 존재하지만, 알레프 원 호텔은 어떤 두 객실 사이에도 무한한 방이 존재하는 '연속'의 개념을 담고 있습니다. 힐베르트의 역설에 따르면 무한한 막대로 3차원 공간을 채울 수 있지만, 연속적인 실수의 무한은 그보다 훨씬 거대합니다. 칸토어는 무한을 단순히 끝없는 상태가 아니라, 하나의 완성된 실체인 '실무한'으로 다루었습니다. 이러한 연속 무한의 개념은 수학적 사고의 지평을 우주적 규모로 확장하는 계기가 되었습니다. 칸토어의 연구는 무한을 극한이라는 가상의 개념에서 끌어내어 '초한수'라는 실체적인 수로 정립시켰습니다. 당시 수학계에서 이단아 취급을 받기도 했지만, 그의 이론은 인류가 무한의 실체를 인정하고 체계적으로 다루게 된 결정적인 전환점이 되었습니다. 제논의 역설이 무한을 현실과 대비시키며 발생한 모순이었다면, 칸토어의 초한수는 무한 그 자체로 완결된 새로운 세계를 구축한 진실의 역설입니다. 인간의 이해를 넘어서는 무한의 영역이 존재한다는 사실은 우리에게 지적 경외감과 동시에 탐구의 즐거움을 선사합니다.

카오스재단'도대체'시리즈

물리학

[카오스 술술과학] 도대체 '무한'이란 무엇인가? (1) - 인피니티 워 (Infinity War)

무한은 우리 주변 어디에나 있는 듯하지만, 정작 현실에서 그 실체를 마주하기는 어렵습니다. 밤하늘의 광활함이나 현미경 속 미세한 세계에서도 우리는 결코 무한히 크거나 작은 것을 직접 목격할 수 없습니다. 점이나 선과 같은 수학적 대상은 크기가 없다고 정의되지만, 이는 관념 속의 존재일 뿐 물리적 실체는 아닙니다. 결국 무한은 외부 세계의 대응물 없이 오직 인간의 머릿속에서 탄생한 독특한 개념이라 할 수 있습니다. 예술가들은 원근법이나 프랙탈 구조를 통해 이를 암시하려 노력해 왔으나, 이는 어디까지나 유한한 틀 안에 담긴 무한의 그림자에 불과합니다. 수학의 세계로 들어서면 무한은 비로소 구체적인 형상을 갖추기 시작합니다. 우리는 자연수를 하나씩 세어 나가며 아무리 큰 수라도 그보다 더 큰 수가 존재한다는 사실을 자연스럽게 깨닫게 됩니다. 이러한 직관은 수학적 귀납법이라는 강력한 도구를 통해 무한히 늘어선 도미노를 단숨에 쓰러뜨리는 지적 쾌거로 이어집니다. 또한, 직접 증명하기 어려운 대상을 우회하여 증명하는 귀류법은 무한의 벽을 넘는 영리한 전략이 되어줍니다. 이처럼 수학은 무한을 단순히 상상하는 것에 그치지 않고, 논리라는 정교한 틀 안에서 이를 다루고 증명할 수 있는 유일한 영역으로 자리매김했습니다. 반면 물리학의 관점에서 무한은 해결해야 할 난제이자 위험한 경고 신호로 받아들여집니다. 현대 과학은 물질을 무한히 쪼갤 수 없으며 시간과 길이에도 최소 단위가 존재한다고 말합니다. 만약 물리 법칙의 계산 결과에서 무한대가 등장한다면, 이는 대개 이론에 결함이 있거나 새로운 지식이 필요하다는 신호입니다. 블랙홀의 중심인 특이점이나 우주 탄생의 순간인 빅뱅이 대표적인 예입니다. 밀도가 무한해지는 지점에서 기존의 시공간 개념은 무너지고 맙니다. 물리학자들은 이러한 '벌거벗은 무한'을 가리기 위해 우주 검열 가설을 제안하며, 자연이 스스로 무한의 노출을 막고 있다고 생각하기도 합니다. 인류 역사 속에서 무한을 둘러싼 논쟁은 '인피니티 워'라 불릴 만큼 치열했습니다. 고대 그리스에서는 무리수의 존재를 두고 목숨을 건 갈등이 벌어졌으며, 아리스토텔레스는 무한을 잠재적 무한으로만 인정하며 실제적 무한의 존재를 부정했습니다. 중세에 이르러 무한은 신의 영역으로 옮겨가 신학적 사변의 중심이 되었습니다. 신의 완전함을 증명하기 위해 무한이라는 개념이 동원되었고, 인간의 유한한 지성으로 무한한 신을 이해할 수 있는지에 대한 철학적 탐구가 이어졌습니다. 이 시기의 무한은 지상에서 하늘로 비상하여 신의 속성을 대변하는 거룩한 상징으로 여겨졌습니다. 19세기 말, 무한은 다시 수학의 영역으로 돌아와 칸토어에 의해 집합론이라는 새로운 지평을 열었습니다. 그는 무한에도 서로 다른 크기가 있다는 사실을 밝혀내며 초한수라는 개념을 정립했지만, 이는 당대 수학자들의 거센 비난을 샀습니다. 무한을 정복하려 했던 칸토어와 그의 뒤를 이은 괴델은 평생을 바쳐 절대적 무한에 매달렸으나, 그 과정에서 겪은 정신적 고통은 비극적인 결말로 이어지기도 했습니다. 그럼에도 불구하고 그들이 개척한 무한의 세계는 오늘날 수학의 낙원이 되어 우리에게 무궁무진한 영감을 제공합니다. 무한은 여전히 인간 지성이 도달하고자 하는 궁극의 경계선으로 남아 있습니다.

카오스재단'도대체'시리즈

물리학

[석학인터뷰] 다니엘리_AI가 정말로 인간을 지배할 수 있다?! | 2019 가을 강연 '도대체 都大體'

한국은 풍부한 재능과 거대한 잠재력을 지닌 국가로, 새로운 기술이 탄생하고 발전하기에 최적의 환경을 갖추고 있습니다. 특히 인공지능과 로봇공학 분야에서 한국 학생들이 보여줄 미래는 매우 밝습니다. 흔히 인공지능과 로봇공학을 별개의 학문으로 구분하곤 하지만, 진정한 혁신은 이 둘을 하나의 통합된 시스템으로 바라볼 때 시작됩니다. 물리적인 세계에 구현된 지능은 단순한 소프트웨어를 넘어 강력한 가능성을 창출하며, 학생들이 수학과 과학적 기초를 탄탄히 다진다면 인공지능의 새로운 방향을 제시하는 훌륭한 아이디어를 낼 수 있을 것입니다. 인공지능은 앞으로도 인간의 일상생활을 개선하고 돕는 강력한 도구로서 존재할 것입니다. 비록 기술의 발전이 인간의 노동력을 일부 대체하며 사회적 마찰을 일으킬 수도 있지만, 이는 과거의 기술 혁신 과정에서도 늘 존재했던 현상입니다. 흥미롭게도 인공지능에게 쉬운 일이 인간에게는 어렵고, 반대로 인간에게 당연한 일이 인공지능에게는 매우 어려운 경우가 많습니다. 따라서 로봇이 모든 일자리를 완전히 대체하기까지는 아직 갈 길이 멀며, 인간은 기술의 진보에 맞춰 새로운 역량을 배우고 적응하며 기술과 공존하는 법을 익혀야 합니다. 미래를 설계하는 데 있어 가장 중요한 것은 상상력과 영감입니다. 공상과학 소설을 통해 미래의 가능성을 꿈꾸고, 위대한 과학자들의 삶을 통해 세상을 바꾸는 아이디어를 얻는 과정은 공학적 지식만큼이나 필수적입니다. 수학, 통계학, 컴퓨터 과학과 같은 기초 학문은 세상을 이해하는 도구가 되지만, 이를 움직이는 원동력은 결국 무엇을 만들고 싶은지에 대한 열망에서 나옵니다. 차세대 인재들이 선배 과학자들의 업적을 발판 삼아 더 큰 발전을 이루고, 인공지능과 로봇공학이라는 유망한 분야에서 세상을 놀라게 할 혁신을 이끌어내기를 기대합니다.

Daniel D.Lee(다니엘 리)

카오스재단카오스강연

뇌인지과학

[카오스 술술과학] 다중우주 (9) : 시뮬레이션 다중우주 & 궁극적 다중우주

우리가 살고 있는 이 거대한 우주가 사실은 고도로 발달한 문명이 만들어낸 정교한 컴퓨터 시뮬레이션일지도 모른다는 가설은 더 이상 공상과학 영화만의 전유물이 아닙니다. 현대 물리학과 정보이론의 발전은 우리가 인지하는 현실의 근간이 디지털 정보로 이루어져 있을 가능성을 진지하게 탐구하게 만들었습니다. 만약 우주가 시뮬레이션이라면, 이는 우리가 관측하는 물리법칙들이 사실은 프로그래밍된 코드의 결과물일 수 있음을 시사하며, 존재의 본질에 대한 근본적인 의문을 던집니다. 우주의 수학적 구조는 시뮬레이션 가설을 뒷받침하는 강력한 근거 중 하나로 거론됩니다. 자연계의 복잡한 현상들이 단순한 수학공식으로 설명되고, 양자역학의 불확정성이나 플랑크 길이와 같은 최소 단위의 존재는 마치 디지털 게임의 픽셀이나 연산 최적화 과정을 연상시킵니다. 관찰자가 존재할 때만 상태가 결정되는 양자중첩 현상은 자원의 효율적 사용을 위한 렌더링 방식과 유사하다는 해석도 존재하며, 이는 우주의 정보론적 기원에 힘을 실어줍니다. 시뮬레이션 가설은 필연적으로 다중우주 개념으로 확장됩니다. 하나의 문명이 시뮬레이션을 구동할 수 있다면, 수많은 하위 시뮬레이션을 동시에 실행하거나 서로 다른 변수를 가진 독립적인 우주들을 생성하는 것도 가능하기 때문입니다. 이러한 관점에서 볼 때, 우리가 속한 우주는 거대한 연산장치 속에서 실행되는 무수한 시나리오 중 하나에 불과할 수 있습니다. 이는 우주의 기원과 목적을 이해하는 방식에 있어 기존의 패러다임을 완전히 뒤바꾸는 혁신적인 시각을 제공합니다. 기술적 특이점에 도달한 문명은 행성 전체의 에너지를 활용하여 우주 규모의 시뮬레이션을 수행할 능력을 갖추게 될 것입니다. 인공지능과 컴퓨팅 파워의 기하급수적인 성장은 언젠가 의식을 가진 존재들이 거주하는 가상 세계를 창조하는 시점으로 우리를 인도할지도 모른마. 만약 인류가 미래에 그러한 시뮬레이션을 만들 수 있다면, 통계적으로 볼 때 우리 역시 이미 누군가에 의해 만들어진 시뮬레이션 속에서 살고 있을 확률이 압도적으로 높다는 논리가 성립하게 됩니다. 결국 시뮬레이션 다중우주론은 우리에게 현실이란 무엇인가라는 철학적 질문을 다시금 상기시킵니다. 설령 우리가 시뮬레이션 속의 존재라 할지라도, 우리가 느끼는 감정과 탐구하는 지식, 그리고 타인과 나누는 교감의 가치가 훼손되는 것은 아닙니다. 오히려 우주의 구조를 이해하려는 우리의 노력은 그 자체로 시뮬레이션의 한계를 넘어서려는 지적 생명체의 숭고한 도전이라 할 수 있습니다. 우리는 이 거대한 연산의 결과물 안에서 자신만의 의미를 찾아가는 여정을 계속하고 있습니다.

카오스재단'다중우주'시리즈

천문학

[카오스 술술수학] 리만가설(3): 악마와 리만가설

서울대학교 김용원 교수의 웹툰을 바탕으로 한 이 이야기는 20년 넘게 리만 가설에 매달려 온 한 수학자의 깊은 고뇌를 다룹니다. 리만 가설은 수학계에서 가장 악명 높은 난제 중 하나로, 수많은 천재들이 도전했지만 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 이야기 속 수학자는 오랜 연구 끝에 막다른 골목에 다다라 절망에 빠지게 되며, 바로 그 순간 영혼을 거래하려는 악마가 그의 앞에 나타나며 기묘한 거래가 시작됩니다. 절망에 빠진 수학자에게 나타난 악마는 영혼을 대가로 소원을 들어주겠다고 제안합니다. 수학자는 지푸라기라도 잡는 심정으로 리만 가설의 증명을 알려달라고 말하지만, 수학을 전혀 모르는 악마에게 그 요청은 외계어처럼 들릴 뿐이었습니다. 결국 수학자는 악마에게 미적분학부터 해석적 정수론에 이르기까지 방대한 수학 지식을 먼저 공부하고 오라고 일갈합니다. 악마는 실적을 올리기 위해 밤을 새워 수학 공부에 매진하게 됩니다. 놀라운 능력을 가진 악마는 단 며칠 만에 고등 수학 과정을 모두 섭렵하고 다시 수학자를 찾아옵니다. 이때부터 인류 역사상 유례없는 수학자와 악마의 공동 연구가 시작됩니다. 수학자는 지난 20년 동안 자신이 겪었던 모든 시행착오와 연구 데이터가 담긴 노트를 악마에게 넘겨주며 함께 해답을 찾기 위해 고군분투합니다. 하지만 악마의 초자연적인 능력조차도 리만 가설이라는 거대한 벽 앞에서는 무력해 보이기만 합니다. 공동 연구가 시작된 지 2년이 지났음에도 불구하고, 악마는 여전히 리만 가설을 해결하지 못한 채 괴로워합니다. 악마조차 "이것만 해결하면 되는데"라며 웅얼거릴 정도로 리만 가설은 그 난도가 상상을 초월합니다. 결국 악마는 수학자를 찾아온 것을 후회하며 자신의 처지를 한탄하게 됩니다. 이 이야기는 리만 가설이 인간의 지성을 넘어 악마에게조차 얼마나 가혹하고 어려운 문제인지를 해학적으로 보여주며 그 위엄을 다시금 일깨워 줍니다. 20년이 넘는 긴 시간 동안 하나의 난제에 매달릴 수 있었던 원동력에 대해 수학자는 '성격'을 꼽습니다. 단순히 수학을 좋아한다는 마음만으로는 3년에서 5년 정도가 한계일 것이라고 그는 말합니다. 그 이상의 시간을 견디며 끝까지 밀고 나가는 힘은 결국 개인의 성격과 끈기에서 나온다는 것입니다. 리만 가설은 단순한 지적 유희를 넘어, 한 인간의 삶과 성격이 온전히 투영되어야만 비로소 마주할 수 있는 거대한 산과 같습니다.

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수학

[카오스 술술수학] 리만가설(1): 악마의 동전던지기

소수는 1과 자기 자신만으로 나누어떨어지는 수로, 영어로는 '프라임 넘버(Prime Number)'라고 불립니다. 이는 근본적인 수라는 뜻을 담고 있으며, 한자로는 원소를 뜻하는 '소(素)' 자를 사용합니다. 칼 세이건의 소설 '콘택트'에서 외계 지성체가 보내는 신호로 등장할 만큼 소수는 우주적인 보편성을 지닌 수의 원소와 같습니다. 모든 자연수는 소수의 곱으로 분해될 수 있기에, 마치 물질이 원소로 이루어지듯 수의 세계를 구성하는 가장 기초적인 단위가 됩니다. 우리가 물을 수소와 산소로 분해하듯, 수를 소수의 곱으로 나타내는 소인수분해는 수의 본질을 파악하는 핵심적인 과정입니다. 자연계의 원소는 100여 개에 불과하지만, 소수는 무한히 존재합니다. 이미 2,300년 전 유클리드는 소수의 개수가 끝이 없음을 수학적으로 증명해 냈습니다. 하지만 수학자들은 단순히 무한하다는 사실에 만족하지 않고, 소수가 어떤 규칙으로 분포하는지에 대해 깊은 의문을 품었습니다. 소수는 수의 나열 속에서 완전히 불규칙하게 나타나는 것처럼 보이기 때문입니다. 특정 숫자까지 소수가 몇 개나 존재하는지 알아낼 수 있는 공식이 있는지, 아니면 그저 하나하나 세어보는 방법뿐인지에 대한 탐구는 수학 역사상 가장 매혹적인 과제 중 하나였습니다. 위대한 수학자 오일러조차 소수의 배열에서 어떤 질서도 찾을 수 없다며 인간의 지성이 범접할 수 없는 신비라고 탄식했습니다. 하지만 수학의 천재 가우스는 전혀 다른 관점에서 이 문제에 접근했습니다. 그는 소수의 출현을 동전 던지기와 같은 확률의 문제로 바라보았습니다. 동전을 던질 때 앞면이 나올지 뒷면이 나올지 예측할 수 없지만, 시행 횟수가 많아질수록 앞면이 나올 확률이 2분의 1에 수렴하듯, 소수 또한 숫자가 커질수록 특정한 확률적 규칙성을 띠게 될 것이라고 가정한 것입니다. 가우스는 숫자가 커질수록 소수가 나타나는 빈도가 줄어든다는 점에 주목하여, 그 확률이 대략 1/ln n이 될 것이라고 추측했습니다. 이는 숫자가 커질수록 소수가 될 확률이 낮아지는 복잡한 동전 던지기와 같습니다. 이 아이디어를 바탕으로 계산한 특정 수까지의 소수 개수는 실제 값과 놀라울 정도로 일치했습니다. 이것이 바로 가우스가 불과 15살 때 정립한 '소수 정리'입니다. 전혀 상관없어 보이는 소수의 분포가 자연상수 e와 관련된 자연로그 함수로 설명된다는 사실은 수학계에 엄청난 충격을 안겨주었습니다. 소수의 분포가 자연로그 함수를 따른다는 발견은 경이롭지만, 동시에 기괴한 구석이 있습니다. 수의 근본인 소수가 왜 하필 자연상수 e와 연결되는지에 대해서는 여전히 명확한 해답을 찾기 어렵기 때문입니다. 영국의 수학자 하디는 소수가 '악마적 속성'을 가지고 있다고 말하며 그 난해함에 혀를 내두르기도 했습니다. 숫자가 무한히 커져도 이 확률적 규칙이 변함없이 유지될지, 아니면 우리가 모르는 악마의 장난이 숨어 있을지는 여전히 미지의 영역입니다. 소수는 여전히 질서와 혼돈 사이에서 수학자들을 유혹하며 그 신비를 간직하고 있습니다.

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수학

[석학인터뷰] 임채영_ 통계는 근사한 답을 찾아나가는 과정｜ 2019 서울대 자연과학대 공개강연 '과학자의 꿈과 도전 : 과학 선율'

임채영 교수는 어린 시절부터 남다른 호기심을 가진 학생이었습니다. 초등학교 시절 B형 간염 예방주사는 B형 혈액형만 맞아야 하는지 질문했던 일화는 그의 엉뚱하면서도 탐구적인 면모를 잘 보여줍니다. 그는 본래 수학을 전공했으나, 공리로부터 이론을 쌓아가는 수학과 달리 현실의 불확실성 속에서 답을 찾아가는 통계학의 매력에 이끌려 진로를 변경하게 되었습니다. 관측된 데이터와 정보를 바탕으로 사람들이 납득할 수 있는 최선의 답을 도출하는 과정이 그에게 큰 흥미를 주었습니다. 통계학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어 다양한 전문 분야와의 협업이 필수적인 학문입니다. 임 교수는 혼자 해결할 수 없는 문제들을 다른 분야의 전문가들과 함께 풀어나가는 과정에서 통계학의 진정한 가치를 느낀다고 말합니다. 특히 인공지능 시대에 접어들면서 통계학의 역할은 더욱 중요해지고 있습니다. 방대한 데이터를 활용해 자동화를 구현하는 인공지능의 핵심 원리에는 데이터를 체계적으로 다루는 통계학적 방법론이 깊이 자리 잡고 있기 때문입니다. 이번 강연에서 임채영 교수는 통계학이 실생활, 특히 범죄 현장에서 어떻게 활용되는지 구체적으로 소개합니다. 범죄 현장에서 수집된 다양한 증거물들을 하나의 데이터로 간주하고, 이를 통계적으로 분석하여 유의미한 정보를 추출하는 과정을 다룹니다. 이는 추상적인 이론에 머물지 않고 실제 사회 문제를 해결하는 데 기여하는 통계학의 실천적 측면을 보여줍니다. 구체적인 사례를 통해 데이터 분석이 진실을 밝히는 강력한 도구가 될 수 있음을 강조할 예정입니다.

임채영

카오스재단석학인터뷰

수학
융합

[카오스 술술과학] 노벨상 vs 필즈상

1901년부터 시작된 노벨상은 물리, 화학, 생리의학 등 다양한 분야에서 인류에 공헌한 인물들에게 수여되어 왔습니다. 하지만 기초 과학의 근간이라 할 수 있는 수학 분야가 제외되어 있다는 점은 많은 이들의 궁금증을 자아냅니다. 수학이 노벨상 분야에서 빠진 이유에 대해서는 수학이 실용적이지 않다고 판단했다는 설부터 알프레드 노벨의 관심사 밖이었다는 의견까지 분분합니다. 비록 명확한 이유는 밝혀지지 않았지만, 이러한 공백은 수학계만의 독자적인 권위를 세우는 계기가 되었습니다. 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상은 캐나다의 수학자 존 찰스 필즈의 제안으로 탄생했습니다. 4년에 한 번 개최되는 세계수학자대회에서 수여되는 이 상은 노벨상보다 수상 조건이 훨씬 까다롭기로 유명합니다. 가장 큰 특징은 만 40세 이하의 젊은 수학자에게만 기회가 주어진다는 점입니다. 매년 시상하는 노벨상과 달리 4년이라는 긴 주기와 엄격한 연령 제한은 필즈상을 수학자들에게 있어 일생에 단 한 번뿐인 가장 영예롭고도 획득하기 어려운 목표로 만들었습니다. 두 상의 또 다른 차이점은 바로 상금의 규모에 있습니다. 노벨상은 약 12억 원에 달하는 거액의 상금을 수여하여 수상자의 연구를 전폭적으로 지원하는 반면, 필즈상의 상금은 약 1,250만 원 수준으로 상대적으로 소박한 편입니다. 이는 필즈상이 금전적 보상보다는 학문적 성취와 명예에 더 큰 가치를 두고 있음을 시사합니다. 상금의 액수나 대중적 인지도를 떠나, 두 상 모두 인류 지성의 정점을 상징하는 권위 있는 훈장임은 분명하며 앞으로 국내에서도 영광스러운 수상자가 탄생하기를 기대해 봅니다.

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물리학
화학
생명과학
수학

[강연] 문명과 수학의 기원 (4) - 패널토의 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ④

수학은 시와 닮은 점이 많습니다. 푸앵카레는 시인이 같은 대상을 보며 다르게 표현한다면, 수학자는 서로 다른 대상에서 공통된 본질을 찾아내어 같게 이야기한다고 말했습니다. 물리적 우주에서 무질서하게 보이는 현상들을 수학적 언어로 정리하면 놀랍게도 하나의 질서로 수렴됩니다. 이러한 함축성은 수학이 가진 가장 강력한 무기이며, 복잡한 세상을 가장 단순하고 명료하게 설명할 수 있는 도구가 됩니다. 추상적인 수식 속에 우주의 원리를 담아내는 과정은 예술적 승화와도 같습니다. 수학을 정의하는 방식은 시대에 따라 변해왔지만, 현대에 이르러서는 '관계의 과학'이라는 정의가 널리 받아들여지고 있습니다. 이는 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 물리적 대상들 사이의 논리적 관계를 기술하는 체계임을 의미합니다. 과학이 자연 현상을 탐구한다면, 수학은 그 탐구를 가능하게 하는 수학적 우주를 제공합니다. 이 두 세계는 서로 독립적인 듯 보이지만, 상호작용을 통해 끊임없이 발전하며 인류가 세상을 이해하는 논리적 지평을 넓혀주는 역할을 수행합니다. 수학의 역사는 거대한 난제들과의 끊임없는 사투였습니다. 쌍둥이 소수 추측이나 리만 가설 같은 문제들은 수천 년 동안 수학자들을 괴롭혀 왔지만, 동시에 학문을 진보시키는 동력이 되었습니다. 이러한 난제들은 단순히 지적 유희에 그치지 않습니다. 이를 해결하는 과정에서 갈루아의 군론과 같은 혁신적인 이론이 탄생했으며, 이는 현대 물리학과 암호학의 기초가 되었습니다. 수학적 우주 내부의 논리적 충돌이 해결될 때마다 인류의 지식 체계는 이전과는 비교할 수 없는 비약적인 도약을 이뤄냅니다. 20세기 후반부터 인류는 '데이터'라는 새로운 무기를 갖게 되었습니다. 방대한 정보를 저장하고 처리하는 능력이 발전하면서, 무질서한 데이터 속에서 질서를 찾아내는 최적화 이론이 핵심적인 수학 영역으로 떠올랐습니다. 아카데미 시상식의 수많은 시나리오를 예측하거나 개인의 건강 상태를 분석하는 일은 모두 정교한 수학적 도구를 통해 가능해집니다. 데이터 시대의 수학은 이제 상아탑 안의 학문을 넘어, 실용적 가치를 통해 인류의 삶을 근본적으로 바꾸고 예측 가능한 미래를 설계하는 데 기여하고 있습니다. 수학의 발전은 추상과 실용이라는 두 축의 끊임없는 대립과 극복의 과정입니다. 고대 그리스의 순수 기하학이 논리적 완결성을 추구했다면, 뉴턴의 미적분학은 천체 운동이라는 물리적 필요에 의해 탄생했습니다. 추상적인 이론이 물리적 우주에 적용되고, 다시 그 실용적 요구가 새로운 수학적 질문을 던지는 변증법적 상호작용이 수학을 진화시키는 원동력입니다. 이 두 세계가 서로를 견제하고 보완하는 균형을 이룰 때, 수학은 비로소 문명을 지탱하는 가장 단단한 기초 학문으로서의 위상을 공고히 하게 됩니다. 많은 이들이 실생활에서 쓰이지 않는 고등 수학을 왜 배워야 하는지 의문을 갖습니다. 하지만 21세기는 지식 자체보다 '배우는 능력'이 더 중요한 시대입니다. 수학 교육의 본질은 공식을 암기하는 것이 아니라, 문제를 해결하기 위한 논리적 사고의 과정을 훈련하는 데 있습니다. 수학의 역사적 배경과 맥락을 함께 이해할 때, 학생들은 수학이 단순한 계산이 아닌 인류 문명의 정수임을 깨닫게 됩니다. 이러한 사고의 훈련은 급변하는 미래 사회에서 새로운 지식을 습득하고 적응하는 가장 강력한 기초 체력이 됩니다. 수학에는 기원은 있으나 끝은 존재하지 않습니다. 무한이라는 개념을 다루는 한, 새로운 문제는 끊임없이 출현할 것이며 인류는 이를 해결하며 진보할 것입니다. 한국의 수학계 또한 순수 수학 분야에서 괄목할 만한 성취를 이루었으며, 이제는 산업과 경제 등 실용적 영역과의 연계를 통해 새로운 도약을 준비하고 있습니다. 수학적 우주와 물리적 우주가 만나는 지점에서 우리는 미래를 이끌어갈 새로운 지혜를 발견하게 될 것입니다. 인류의 호기심이 멈추지 않는 한, 수학의 진화는 영원히 계속될 필연적인 여정입니다.

고계원, 박형주, 성기원, 유정아

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 우주는 수인가 모양인가? by김민형 | 2018 여름 카오스 콘서트 '수학과 과학 42' 1부 | 1부

구글은 현대인에게 단순한 검색 엔진 이상의 의미를 지닙니다. 데이터 과학자 정하웅 교수는 이 거대한 플랫폼이 가진 정보의 힘에 주목하며, 우리가 일상에서 마주하는 수많은 질문과 고민을 해결해 주는 데이터의 가치를 강조합니다. 디지털 시대의 정보는 멀리 있는 존재가 아니라, 우리 손안의 스마트폰과 컴퓨터 화면 속에 상주하며 우리의 모든 궁금증을 실시간으로 해결해 주는 핵심적인 자원이 되었습니다. 이러한 정보의 흐름은 우리의 사고방식과 삶의 양식을 근본적으로 변화시키고 있습니다. 우리가 구글에 입력하는 검색어는 단순한 단어의 나열이 아닙니다. 그것은 우리의 욕망, 불안, 그리고 현재의 상태를 가장 솔직하게 드러내는 지표입니다. 친구나 가족에게도 말하지 못하는 은밀한 고민부터 사소한 궁금증까지, 구글은 인류의 집단지성과 개별적인 행동 양식을 고스란히 기록합니다. 이러한 방대한 데이터는 개별적으로는 파편화되어 보이지만, 이를 거시적으로 분석하면 인류 전체의 흐름을 읽어낼 수 있는 강력한 도구가 됩니다. 데이터는 이제 인간을 이해하는 새로운 언어가 되었습니다. 구글의 데이터 권력을 상징적으로 보여준 사례가 바로 '구글 독감 트렌드'입니다. 2008년 구글은 사람들이 독감 증상을 검색하는 빈도를 분석하여, 미국 질병통제예방센터보다 훨씬 빠르게 독감 유행 지역을 예측해 냈습니다. 전통적인 방식이 병원 보고를 집계하는 데 수주가 걸렸던 반면, 구글은 실시간 검색 데이터를 통해 즉각적인 결과를 도출했습니다. 이는 데이터가 이론이나 가설을 넘어 현실의 문제를 해결하는 강력한 수단이 될 수 있음을 증명한 사건이었으며, 빅데이터 시대의 서막을 알렸습니다. 빅데이터의 핵심은 '왜'라는 인과관계보다 '무엇이' 일어나는지에 대한 상관관계에 집중하는 데 있습니다. 구글은 독감이 왜 발생하는지 연구하는 대신, 독감에 걸린 사람들이 어떤 단어를 검색하는지에 주목했습니다. 이러한 접근 방식은 복잡한 현상을 단순화하여 빠르게 결론에 도달하게 해 줍니다. 데이터 과학은 수많은 변수가 얽힌 현실 세계에서 유의미한 패턴을 찾아내고, 이를 통해 미래를 예측하는 새로운 통찰력을 제공하며 학문의 패러다임을 바꾸어 놓았습니다. 이는 효율성을 극대화하는 현대 과학의 특징을 잘 보여줍니다. 그러나 데이터의 전지전능함에는 분명한 한계가 존재했습니다. 구글 독감 트렌드는 시간이 흐르면서 실제 독감 발생률을 과도하게 높게 예측하는 오류를 범하기 시작했습니다. 이는 검색 알고리즘의 변화와 사용자들의 행동 양식 변화를 데이터가 온전히 반영하지 못했기 때문입니다. 데이터는 과거의 기록일 뿐, 변화하는 미래를 완벽하게 보장하지는 않습니다. 기술적 결함이나 데이터의 편향성은 언제든 예측의 정확도를 떨어뜨릴 수 있으며, 이는 데이터 맹신에 대한 경종을 울리는 계기가 되었습니다. 결국 데이터 과학의 본질은 숫자가 아닌 인간에 대한 깊은 이해에 있습니다. 데이터는 인간의 활동이 남긴 흔적이며, 그 이면에는 복잡한 심리와 사회적 맥락이 숨어 있습니다. 데이터를 분석하는 과정에서 인간의 직관과 비판적 사고가 배제된다면, 우리는 숫자가 만들어낸 환상에 빠질 위험이 있습니다. 진정한 통찰은 방대한 데이터 속에서 유의미한 가치를 발견하고, 그것이 현실 세계와 어떻게 연결되는지를 파악하는 인간의 지혜로부터 나옵니다. 데이터는 결코 인간의 판단을 완전히 대체할 수 없습니다. 우리는 이제 데이터가 지배하는 세상을 살아가고 있습니다. 데이터가 우리 삶에 깊숙이 침투해 있다는 사실은 부정할 수 없는 현실입니다. 하지만 데이터는 도구일 뿐, 그 도구를 어떻게 활용하고 어떤 방향으로 나아갈지를 결정하는 것은 결국 인간의 몫입니다. 기술의 발전이 가져다주는 편리함을 누리되, 데이터 뒤에 숨겨진 진실을 탐구하려는 노력을 멈추지 말아야 합니다. 그것이 바로 인공지능과 빅데이터의 시대에 우리가 갖추어야 할 진정한 지성이며, 미래를 준비하는 올바른 자세일 것입니다.

김민형

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수학

[강연] 히치토론쇼 | 2018 여름 카오스 콘서트 '수학과 과학 42' 4부 | 4부

노벨상과 필즈상은 인류 지성의 정점을 상징하는 두 축입니다. 100년 넘는 역사를 지닌 노벨상이 인류 보편의 가치와 실용적 공헌을 중시한다면, 필즈상은 만 40세 이하라는 엄격한 나이 제한을 통해 수학적 잠재력과 순수한 학문적 성취를 기립니다. 두 상은 상금의 규모나 수여 주기에서 큰 차이를 보이지만, 인류가 우주의 비밀을 풀기 위해 걸어온 고귀한 여정을 증명한다는 점에서는 그 궤를 같이합니다. 학문적 권위의 우열을 가리기보다 각 상이 지닌 고유한 철학을 이해하는 것이 중요합니다. 산업혁명의 역사는 곧 기초과학 발전의 역사이기도 합니다. 증기기관이 이끈 1차 혁명은 열역학이, 전기를 활용한 2차 혁명은 전자기학이 그 토대가 되었습니다. 또한 컴퓨터와 인터넷이 주도한 3차 디지털 혁명의 이면에는 반도체 기술의 핵심인 양자역학이라는 현대 물리학의 정수가 자리 잡고 있습니다. 이처럼 새로운 과학적 발견은 단순한 기술적 진보를 넘어 사회 구조 전체를 뒤흔드는 거대한 변혁의 물결을 만들어왔으며, 우리는 그 혁명의 연쇄 속에서 살아가고 있습니다. 최근 화두가 되고 있는 4차 산업혁명에 대해서는 학계에서도 다양한 시각이 존재합니다. 인공지능과 빅데이터가 가져올 변화를 혁명으로 받아들이는 입장도 있지만, 이를 뒷받침할 새로운 기초과학적 토대가 아직 미진하다는 신중론도 만만치 않습니다. 진정한 의미의 혁명이 되기 위해서는 기술적 현상을 넘어 우주와 생명을 바라보는 근본적인 과학적 패러다임의 전환이 동반되어야 하기 때문입니다. 과학적 토대 없는 기술의 발전은 사상누각에 불과할 수 있다는 경고의 목소리에 귀를 기울여야 합니다. 자연이라는 거대한 책은 수학이라는 언어로 쓰여 있습니다. 물리학자들에게 수학은 우주와 대화하기 위한 필수적인 문법이며, 수학자들에게 과학은 그 문법을 통해 서술되는 경이로운 내용입니다. 수학이 실제 자연에 존재하지 않는 허수나 무리수를 다룸에도 불구하고 현실 세계를 이토록 완벽하게 설명해낸다는 사실은, 인간의 지성과 우주의 구조 사이에 깊은 연결고리가 있음을 암시합니다. 수학적 논리는 단순한 지적 유희를 넘어 자연의 본질을 꿰뚫는 가장 강력한 도구입니다. 수학적 구조가 우주의 본질인지, 아니면 인간의 두뇌가 우주를 이해하기 위해 만들어낸 도구인지에 대한 논쟁은 여전히 흥미롭습니다. 어떤 이들은 수학이 관찰과 실험을 넘어선 추상적 영역이라고 비판하기도 하지만, 역사적으로 수학적 아름다움을 쫓던 발견들이 훗날 물리적 실체로 증명된 사례는 수없이 많습니다. 결국 수학과 과학은 서로를 비추는 거울처럼 인류의 인식을 확장하는 상호보완적 관계에 있습니다. 이러한 융합적 사고는 우리가 직면한 복잡한 문제들을 해결하는 열쇠가 됩니다. 현대 물리학의 궁극적인 꿈은 자연계의 네 가지 힘을 하나로 통합하는 '모든 것의 이론'을 완성하는 것입니다. 전자기력과 약력, 강력은 표준모형을 통해 어느 정도 통합의 길을 찾았으나, 시공간의 휘어짐을 다루는 중력은 여전히 양자역학과의 결합을 거부하고 있습니다. 이 거대한 수수께끼를 풀기 위한 노력은 우주의 기원과 종말, 그리고 우리가 존재하는 이유에 대한 근원적인 해답을 찾는 과정입니다. 비록 완벽한 방정식이 모든 삶의 의미를 설명해주지는 못할지라도, 그 탐구 자체로 가치가 있습니다. 과학의 진정한 가치는 정해진 답을 얻는 것보다 더 나은 질문을 던지는 데 있습니다. 우주는 고정된 상태로 멈춰 있지 않고 끊임없이 요동치며 변화하는 역동적인 실체입니다. 이러한 변화의 흐름 속에서 우리가 던지는 질문들은 인류의 지평을 넓히는 등불이 됩니다. 세상이 왜 이토록 수학적인지, 그리고 우리는 왜 이 재미있는 과학을 탐구하는지 끊임없이 묻는 행위 자체가 인류 진보의 원동력입니다. 호기심을 잃지 않고 자신만의 질문을 찾아가는 과정이 곧 과학하는 마음의 본질입니다.

김민형, 박권, 송영조, 정하웅

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물리학
수학

[석학인터뷰] 김민형 ─ 이 세상 모든 것의 답 691 | 2018 카오스 콘서트 '수학과 과학 42'

수학과 과학은 인류 역사 속에서 매우 깊은 상호작용을 이어왔습니다. 수의 성질이나 기하학적 패턴을 탐구하는 과정은 그 자체로 가장 기초적인 과학의 출발점이었으며, 유클리드 기하학 같은 고전적인 분야들은 인류가 세상을 이해하는 근간이 되었습니다. 현대에 이르러 수학은 다른 과학 분야들이 복잡한 현상을 설명할 수 있도록 보편적인 언어와 도구를 제공하는 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 즉, 수학은 과학의 일부이면서도 동시에 과학을 지탱하는 견고한 프레임워크라고 할 수 있습니다. 수학의 역할은 크게 세 가지 측면으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 수학적 모델링을 통해 실제 현상을 기계처럼 다루는 공학적 측면이며, 둘째는 과학과 밀접하게 연결되면서도 독자적인 논리를 구축하는 과학적 측면입니다. 마지막으로 다른 과학들이 현상을 이해하는 데 필요한 언어와 프레임워크를 제공하는 도구적 측면이 있습니다. 이러한 다각적인 면모 덕분에 수학은 현대 과학의 다양한 학문적 충돌 사이에서 중심을 잡고 지식의 보편적 지표를 마련해 주는 강력한 힘을 가지게 됩니다. 학문을 대하는 태도에 있어 '아마추어'라는 표현은 새로운 것을 창출해야 한다는 압박보다 공부하는 과정 자체를 즐기는 마음을 의미합니다. 지식을 새롭게 만들어내는 것도 중요하지만, 이미 존재하는 깊은 원리를 탐구하고 배워나가는 과정에서 느끼는 순수한 즐거움은 학문의 본질적인 동력이 됩니다. 이러한 관점은 수학이 단순히 전문가들만의 전유물이 아니라, 배움을 갈망하는 모든 이들이 향유할 수 있는 열린 영역임을 시사합니다. 끊임없이 공부하는 자세야말로 진정한 학문적 탐구의 시작입니다. 수학이 철학적으로 느껴지는 이유는 그것이 인간이 자연스럽게 가지는 근본적인 질문들과 맞닿아 있기 때문입니다. 전문적인 철학자들이 다루는 난해한 문제들도 중요하지만, 삶의 의미나 존재의 본질에 대해 누구나 던질 수 있는 질문들이 수학적 사고의 출발점이 되기도 합니다. 일상적인 의문에서 시작하여 논리적인 체계를 세워나가는 과정은 수학과 철학이 공유하는 지점입니다. 이러한 접근 방식은 수학을 훨씬 더 친숙하게 만들며, 보통의 사람들이 수학을 통해 세상을 바라보는 새로운 시각을 갖게 합니다. 우리가 일상에서 사용하는 사칙연산이나 확률에 대한 이해는 인류가 오랜 시간 쌓아온 문화적 침전물의 결과입니다. 오늘 비가 올 확률을 이해하는 것조차 고등한 지성이 필요한 일이며, 이는 인류로서 자부심을 느낄 만한 성취입니다. 우주를 바라볼 때 고전역학적으로는 형체와 모양이 중요하지만, 양자역학의 미시 세계로 들어갈수록 모든 것은 수로 수렴됩니다. 결국 우주는 모양이자 수라는 두 가지 얼굴을 동시에 지니고 있으며, 모든 것이 수로 이루어져 있다는 통찰은 현대 과학에서도 여전히 유효합니다.

김민형

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수학

[석학인터뷰] 박권_ 모든 것들의 답을 아는 학문은? | 2018 카오스 콘서트 '수학과 과학 42'

수학은 단순한 학문을 넘어 우주와 인간이 대화를 나누기 위한 필수적인 언어입니다. 과학의 본질이 우주가 움직이는 원리를 파악하는 것이라면, 그 과정에서 주고받는 모든 질문과 답변은 수학이라는 형식을 빌려야만 성립됩니다. 우주는 자신의 비밀을 수학의 형태로 말하기 때문에, 우리가 이 언어를 이해하지 못한다면 우주와의 깊은 대화는 불가능에 가깝습니다. 결국 수학은 과학이라는 거대한 서사를 기록하고 전달하는 가장 정교한 그릇이자 소통의 도구라고 할 수 있습니다. 양자역학은 수학이라는 그릇에 담긴 가장 핵심적인 내용이자 우주의 실체를 설명하는 근본적인 원리입니다. 수학이 언어라면 양자역학은 그 언어로 쓰인 우주의 자서전과도 같습니다. 물리학자들은 양자역학이 세상의 모든 현상을 설명할 수 있는 궁극적인 답을 쥐고 있다고 믿습니다. 미시세계의 작은 입자부터 거대한 우주의 구조에 이르기까지, 양자역학의 원리를 깊이 이해하는 것은 곧 우주 만물의 작동 방식을 온전히 깨닫는 과정과 맞닿아 있습니다. 양자역학의 관점에서 바라본 우주의 가장 큰 특징은 모든 것이 끊임없이 요동친다는 사실입니다. 우리 눈에는 고정된 것처럼 보이는 물체나 우리 자신조차도 실제로는 입자인 동시에 파동의 성질을 지니고 있습니다. '모든 것은 요동친다'는 명제는 양자역학이 전하는 핵심적인 메시지이며, 이는 정적인 상태가 아닌 역동적인 변화가 우주의 본질임을 시사합니다. 이러한 요동은 우리가 세상을 바라보는 기존의 고정관념을 뒤흔들며 새로운 시각을 제시합니다. 우리가 일상에서 경험하는 고전역학은 사실 양자역학이라는 거대한 진실을 멀리서 바라본 근사치에 불과합니다. 뉴턴 방정식으로 설명되는 매끄러운 움직임들은 사실 미세하게 요동치는 파동들의 평균적인 모습이 겉으로 드러난 것일 뿐입니다. 돋보기를 들고 실체를 자세히 들여다보면 모든 것은 파동처럼 움직이고 있지만, 거시적 관점에서는 그 요동이 상쇄되어 직선적인 움직임처럼 보일 뿐입니다. 따라서 양자역학은 기괴한 이론이 아니라, 오히려 세상을 가장 정확하게 묘사하는 실체입니다. 양자역학의 '인크레더블'한 매력은 믿기 힘들 정도로 난해하지만, 이를 받아들이는 순간 우주의 경이로운 비밀이 열린다는 점에 있습니다. 영화 <컨택트> 속 외계인들이 보여주는 독특한 사고방식처럼, 양자역학은 우리에게 시간과 사건을 바라보는 완전히 새로운 시야를 제공합니다. 단순히 과학적 사실을 나열하는 것을 넘어, 존재의 근원을 탐구하고 우주와 깊이 교감하는 과정은 마치 슈퍼히어로의 능력을 얻는 것만큼이나 놀랍고 감동적인 경험이 될 것입니다.

박권

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물리학
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[석학인터뷰] 정하웅_ '신상' 학문을 연구하는 학자 | 2018 카오스 콘서트 '수학과 과학 42'

수학과 과학은 서로 떼려야 뗄 수 없는 밀접한 관계를 맺고 있습니다. 과학자의 시선에서 바라볼 때 과학은 수학보다 조금 더 큰 영역을 아우르는 존재로 느껴지기도 합니다. 최근 주목받는 데이터 과학은 이러한 학문적 토대 위에서 탄생한 새로운 흐름입니다. 비록 최신 학문처럼 보이지만, 사실 데이터 과학은 과거부터 존재해 온 여러 학문 분야가 현대적으로 재해석된 결과물입니다. 유행이 돌고 돌듯, 익숙한 기초 위에 세워진 이 새로운 학문은 현대 사회를 이해하는 가장 중요한 열쇠가 되고 있습니다. 우주와 삶에 대한 궁극적인 질문에 답하기 위해서는 진실을 마주하려는 용기가 필요합니다. 영화 '매트릭스'에서 주인공 네오가 빨간 약을 선택해 가상 세계의 안락함 대신 불편한 진실을 택했듯이, 우리 역시 우리가 발을 딛고 있는 세계의 본질을 탐구해야 합니다. 우리가 진짜 현실에 살고 있는지, 아니면 정교하게 설계된 시스템 속에 있는지 확인하는 과정은 지적 탐구의 시작점입니다. 이러한 '빨간 약'의 선택은 세상을 바라보는 관점을 근본적으로 바꾸어 놓으며, 진정한 지식의 세계로 우리를 인도합니다. 물리학은 사전적 정의 그대로 '세상 만물의 이치'를 다루는 학문입니다. 세상의 모든 현상을 설명할 수 있다는 점은 물리학이 가진 가장 큰 매력이자 힘입니다. 하지만 학문의 깊이가 깊다고 해서 반드시 권위적일 필요는 없습니다. 진정한 지식인은 자신이 모든 것을 알지 못한다는 사실을 인정하는 겸손함을 갖추고 있습니다. 모르는 것이 생겼을 때 현대의 방대한 정보망을 활용해 답을 찾아가는 유연한 태도는 대중과 더 가깝게 소통할 수 있는 기반이 됩니다. 지식은 나누고 소통할 때 비로소 그 가치가 빛나기 때문입니다. 통계물리학은 단순히 연구실 안에만 머무는 이론이 아니라 우리의 일상과 인연 속에도 깊이 스며들어 있습니다. 사람과 사람 사이의 연결 고리를 추적해 보면, 전혀 상관없어 보이는 유명인과도 불과 몇 단계 만에 연결될 수 있다는 사실을 발견하게 됩니다. 이는 복잡한 네트워크 속에서도 일정한 규칙이 작동하고 있음을 보여줍니다. 배우자를 만나는 과정이나 소중한 인연을 맺는 일조차 통계물리학적인 관점에서는 최적의 선택을 찾아가는 흥미로운 과정으로 해석될 수 있습니다. 일상의 모든 순간이 데이터와 물리 법칙의 조화인 셈입니다. 대중을 위한 과학 강연은 눈높이를 맞추는 것이 무엇보다 중요합니다. 많은 과학 강연이 어렵게 느껴지는 이유는 전달자와 수용자 사이의 간극 때문입니다. '모든 것의 이론'을 넘어 '모든 것들의 이론'을 지향하는 복잡계물리학은 세상의 다양한 현상을 가장 단순하면서도 재미있는 법칙으로 설명하고자 합니다. 복잡해 보이는 세상도 그 이면의 원리를 이해하면 명쾌하게 다가옵니다. 어렵게만 느껴졌던 과학의 문턱을 낮추고 즐겁게 소통할 때, 우리는 비로소 우주와 삶에 대한 더 깊은 통찰을 얻을 수 있을 것입니다.

정하웅

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[석학인터뷰] 신석우_ 수학자 말고 카페 사장 할까봐요? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학이라는 학문은 흔히 차갑고 딱딱하게 느껴지지만, 사실은 사람과 사람 사이의 따뜻한 대화로 이어질 수 있는 주제입니다. 언젠가 수학 이야기를 가볍게 나눌 수 있는 카페를 열어 손님들에게 직접 내린 커피를 대접하며 소통하는 풍경을 그려보곤 합니다. 어려운 수식이나 복잡한 증명에 매몰되기보다는, 일상의 여유 속에서 수학의 즐거움을 가볍게 나누는 공간은 많은 이들에게 새로운 영감을 줄 것입니다. 이러한 소통의 장은 수학이 우리 삶과 얼마나 가까이 닿아 있는지를 깨닫게 해주는 소중한 기회가 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름인 랭랜즈 프로그램은 파편화된 여러 분야를 하나의 통합적 관점으로 묶어내는 시도입니다. 당장은 큰 연관성이 없어 보이는 대상들을 넓은 관점에서 바라보며, 그 속에 숨겨진 체계를 찾아내는 과정은 수학자들에게 새로운 정보를 제공하는 희망적인 이정표가 됩니다. 이처럼 서로 다른 영역을 하나로 잇는 통합적 사고는 학문의 경계를 허물고 더 깊은 진리에 다가가는 열쇠가 되며, 복잡한 수식 너머에 존재하는 거대한 질서를 깨닫게 해줍니다. 수학자의 삶은 어두운 동굴 속에서 금맥을 찾는 광부의 모습과 닮아 있습니다. 산속 어딘가에 금이 묻혀 있다는 확신은 있지만, 정확한 위치를 알 수 없기에 수많은 시행착오를 겪으며 땅을 파내려 가야 합니다. 연구 시간의 대부분이 성과 없는 헛손질로 끝나는 것처럼 보일지라도, 그 고된 과정 끝에 찾아내는 한 조각의 진리는 그간의 모든 노력을 보상해 줍니다. 돌멩이들 사이에서 빛나는 금을 찾아내듯, 수학자들은 보이지 않는 진리를 발견하기 위해 묵묵히 자신만의 길을 개척하며 학문적 탐구를 이어갑니다.

신석우

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[석학인터뷰] 하승열_ 자연을 탐구하는 수학자 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학자들은 물리학자들에 비해 학문적 탐구의 영역에서 상대적으로 더 높은 자유로움을 누립니다. 물리학이 실제 존재하는 현상을 설명하고 증명하는 것에 일차적인 목적을 둔다면, 수학은 이론 그 자체의 논리적 완결성과 아름다움만으로도 충분한 가치를 지니기 때문입니다. 아무리 정교한 이론이라도 현실의 현상을 뒷받침하지 못하면 외면받기 쉬운 물리적 세계와 달리, 수학자들은 이론이 지닌 고유한 질서와 구조 속에서 순수한 즐거움을 발견합니다. 이러한 자유로운 사고의 확장은 수학이 단순한 계산을 넘어 하나의 예술적 경지에 도달하게 만드는 원동력이 됩니다. 복잡해 보이는 자연 현상 속에는 이를 관통하는 단순하고 명료한 공식들이 숨어 있습니다. 미분 방정식을 활용하면 수많은 변수가 얽힌 복잡한 시스템을 간결한 언어로 기술할 수 있으며, 이는 곧 보이지 않는 질서를 시각화하는 작업과도 같습니다. 복잡성 속에서 피어나는 다양성은 그 자체로 거대한 아름다움을 형성하며, 수학적 도구들은 이러한 자연의 신비를 해독하는 가장 강력한 열쇠가 되어 줍니다. 이러한 수학적 원리는 단순히 학문에 머물지 않고 실생활의 다양한 분야로 확장되어 새로운 가치를 창출하는 기반이 됩니다. 자연을 탐구하는 수학자로서의 삶은 눈에 보이는 생동감 넘치는 현상들로부터 시작됩니다. 하늘을 가로지르는 새들의 군무나 바닷속 물고기 떼의 일사불란한 움직임은 그 자체로 경이로운 연구의 대상이 됩니다. 이러한 생태적 현상들은 수학자의 마음을 움직이고 새로운 탐구의 영감을 제공하며, 추상적인 수식에 생명력을 불어넣습니다. 앞으로도 자연의 복잡한 결을 따라가며 그 속에 숨겨진 조화를 찾아내는 여정은 계속될 것입니다. 수학은 결국 자연이라는 거대한 캔버스 위에 그려진 정교한 밑그림을 이해하고 감상하는 가장 깊이 있는 방법이기 때문입니다.

하승열

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[카오스 술술수학] 기하를 빼지 말아주세요 (재수정본_6/12)

기원전 4세기 아테네, 철학자 플라톤은 '아카데미아'를 설립하며 입구에 "기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 마라"는 문구를 내걸었습니다. 이는 단순한 허세나 과장이 아니었습니다. 플라톤은 기하학이 인간의 사고를 단련하고 진리에 도달하게 하는 필수적인 관문이라고 믿었기 때문입니다. 당시 아카데미아는 단순한 지식 전달을 넘어, 세상을 올바르게 통치할 수 있는 철학적 소양을 기르는 곳이었으며, 그 기초가 바로 수학과 기하학이었습니다. 플라톤의 저서 《국가》에서 소크라테스는 이상 국가의 시민들이 반드시 배워야 할 학문으로 수학을 첫손에 꼽습니다. 그는 평면 기하학과 입체 기하학을 필수 과목으로 언급하며, 감각에 의존하는 지식이 아닌 순수한 사유를 통한 지식 습득의 중요성을 역설했습니다. 이러한 수학적 토대 위에 천문학과 화성학이 더해질 때 비로소 학문의 기본기가 완성된다고 보았으며, 이는 통치자가 갖춰야 할 철학적 사고를 위한 필수적인 예비 교육이었습니다. 하지만 현대 한국의 교육 현장에서는 이와 상반된 흐름이 나타나고 있습니다. 수능에서 기하학 과목이 제외된다는 결정이 내려진 것입니다. 학생들의 학습 부담을 줄이고 사교육비를 경감하겠다는 취지였으나, 이는 학계와 전문가들 사이에서 큰 우려를 낳았습니다. 기하학은 단순히 도형을 배우는 과목이 아니라, 논리적 사고와 직관력을 기르는 핵심적인 도구이기 때문입니다. 고대 철학자들이 강조했던 기하학의 가치가 현대 교육 행정에서는 가볍게 취급받고 있는 실정입니다. 현장의 수학자들은 기하학의 부재가 가져올 부작용을 경고합니다. 황준묵 교수는 미국 대학에서의 경험을 빌려, 고등학교에서 기하학을 제대로 배우지 못한 학생들이 미적분학을 이해하는 데 큰 어려움을 겪는다고 지적했습니다. 또한 위대한 수학자 다비드 힐베르트 역시 그의 저서에서 수학을 직관적으로 이해하기 위해서는 기하학적 상상력이 무엇보다 중요하다고 말하며, 기하학이 모든 학문의 기초이자 사고의 틀임을 분명히 했습니다. 기하학을 경시하는 태도는 단순히 한 과목의 제외를 넘어, 학문의 본질과 전문가의 견해를 무시하는 관료적 행정의 단면을 보여줍니다. 복잡한 교육 문제를 근본적인 성찰 없이 손쉬운 방법으로 해결하려는 시도는 장기적으로 국가의 학문적 경쟁력을 약화시킬 수 있습니다. 우리가 자녀들을 대학에 보내 전문가로 키우려 노력하면서도, 정작 그 전문가들의 목소리에는 귀를 닫고 있는 것은 아닌지 되돌아봐야 합니다. 기하학의 문을 닫는 것은 곧 깊이 있는 사유의 문을 닫는 것과 같습니다.

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수학

[강연] 컴퓨터과학의 원천 아이디어가 나오기까지 (4) _ by이광근 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 10강 | 10강 ④

우리가 일상에서 접하는 컴퓨터는 정답이 없는 복잡한 문제들을 해결하기 위해 '휴리스틱', 즉 일종의 직관적인 추론 방식을 사용하곤 합니다. 바둑과 같은 게임에서 알파고가 보여준 놀라운 실력도 사실은 완벽한 정답을 찾은 것이 아니라, 방대한 데이터를 바탕으로 최선의 수를 찾아가는 과정이었습니다. 이처럼 컴퓨터가 모든 문제에 대해 즉각적이고 완벽한 해답을 내놓는 것은 아니지만, 인간이 범접하기 어려운 수준의 계산 능력을 통해 실질적인 해결책을 제시하며 우리 삶의 깊숙한 곳까지 들어와 있습니다. 계산이란 무엇인가라는 근본적인 질문에 대해 앨런 튜링은 '튜링 기계'라는 개념을 통해 명쾌한 정의를 내렸습니다. 튜링 기계는 상태를 기록하는 테이프와 이를 읽고 쓰는 헤드, 그리고 정해진 규칙 표로 구성된 매우 단순한 장치입니다. 이 단순한 기계가 수행할 수 있는 모든 과정이 바로 우리가 말하는 계산의 본질입니다. 즉, 계산은 복잡한 전자 회로의 움직임 이전에, 논리적인 규칙에 따라 정보를 처리해 나가는 일련의 절차적 과정을 의미하는 것이라고 할 수 있습니다. 튜링과 비슷한 시기에 미국의 알론조 처치는 '람다 계산법'이라는 프로그래밍 언어의 시초와 같은 방식을 통해 계산을 정의했습니다. 흥미로운 점은 기계적인 접근을 시도한 튜링과 소프트웨어적인 접근을 시도한 처치의 방법론이 결국 동일한 문제를 풀고 있었다는 사실이 증명되었다는 것입니다. 오늘날 우리가 사용하는 스마트폰이나 컴퓨터는 튜링의 만능 기계를 하드웨어로 구현한 것이며, 그 안에서 돌아가는 수많은 앱은 처치의 람다 계산법과 맥을 같이하는 소프트웨어의 결과물입니다. 이론적인 관점에서 계산 가능성을 논할 때, 우리는 계산에 소요되는 시간을 고려하지 않습니다. 어떤 문제가 해결되는 데 천 년이 걸리든 만 년이 걸리든, 언젠가 결과가 나오기만 한다면 그것은 계산으로 풀 수 있는 문제라고 간주합니다. 시간은 상대적인 개념이며 충분한 에너지만 있다면 극복할 수 있는 요소이기 때문입니다. 따라서 계산의 핵심은 '얼마나 빨리'가 아니라 '논리적으로 답에 도달할 수 있는가'라는 본질적인 가능성 여부에 달려 있다고 보아야 합니다. 하지만 컴퓨터가 모든 수학적 난제를 해결할 수 있는 것은 아닙니다. '멈춤 문제'와 같이 튜링 기계로도 결코 해결할 수 없는 문제들이 존재하며, 이러한 불가능한 문제의 개수 또한 무한합니다. 수학자 괴델이 증명했듯이 인간의 논리 체계 안에는 증명할 수 없는 사실들이 존재하며, 이는 컴퓨터 과학에서도 동일하게 적용됩니다. 할 수 있는 일과 할 수 없는 일이 모두 무한하다는 사실은 계산의 세계가 우리가 상상하는 것보다 훨씬 더 깊고 오묘한 영역임을 시사합니다. 컴퓨터 과학의 본질은 추상적인 사고 과정을 논리적인 규칙으로 정립하여 기계가 수행할 수 있도록 만드는 과정을 의미합니다. 이러한 능력을 키우기 위해서는 수학적 사고력이 필수적입니다. 수학은 보이지 않는 개념을 논리적으로 다루는 근육을 단련시켜 주며, 이를 통해 다져진 컴퓨팅 사고력은 인공지능 시대를 살아가는 현대인들에게 읽기나 쓰기만큼이나 중요한 필수 역량이 되고 있습니다. 이는 단순히 기술을 배우는 것을 넘어 세상을 논리적으로 설계하는 힘을 기르는 과정입니다. 컴퓨터 과학은 이제 겨우 80년 정도의 역사를 가진 매우 젊은 학문입니다. 물리학의 역사와 비교하자면 지금의 컴퓨터 과학은 뉴턴이나 갈릴레오가 활동하던 고전 역학의 태동기와 비슷하다고 볼 수 있습니다. 지난 수십 년간 눈부신 발전을 이루었지만, 여전히 해결되지 않은 과제들이 산적해 있으며 앞으로 개척해야 할 영역은 무궁무진합니다. 알파고를 뛰어넘는 혁신적인 기술들이 앞으로 어떻게 펼쳐질지 기대하며, 우리는 이 새로운 과학의 시대를 맞이할 준비를 해야 합니다.

박성우, 이광근

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[강연] 컴퓨터과학의 원천 아이디어가 나오기까지 (1) _ by이광근 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 10강 | 10강 ①

컴퓨터는 인류가 발명한 도구 중에서도 매우 독특한 위치를 차지합니다. 칼이나 냉장고 같은 일반적인 도구들은 그 목적이 하나로 고정되어 있지만, 컴퓨터는 사용자가 어떤 명령을 입력하느냐에 따라 무궁무진한 역할을 수행할 수 있는 만능 도구이기 때문입니다. 우리는 이를 소프트웨어라고 부르며, 인간의 사고를 반영한 체계를 통해 기계가 복잡한 일을 수행하도록 만듭니다. 이러한 특성 때문에 컴퓨터는 단순한 기계를 넘어 인간의 지능을 확장하는 특별한 장치로 정의되기도 합니다. 흔히 앨런 튜링을 하늘이 내린 천재 수학자로만 기억하지만, 그의 위대한 업적은 사실 당대 수학계가 직면했던 거대한 좌절과 도전 속에서 탄생했습니다. 튜링은 단순히 새로운 것을 창조하려 했던 것이 아니라, 기존의 권위 있는 수학자들이 내놓은 문제들을 자신만의 방식으로 해결하고자 노력했습니다. 이러한 과정은 천재성이라는 모호한 단어보다는, 주어진 문제를 깊이 있게 파고들어 자신만의 논리를 구축해 나가는 탐구 정신의 결과물입니다. 이는 과학적 성취가 특별한 소수만의 전유물이 아님을 시사합니다. 20세기 초, 수학자 다비트 힐베르트는 모든 수학적 명제에 대한 기계적 판정 방법이 존재할 것이라는 원대한 꿈을 꾸었습니다. 하지만 1931년, 젊은 수학자 쿠르트 괴델은 기계적인 방식으로는 모든 수학적 사실을 증명할 수 없다는 것을 완벽하게 입증하며 수학계에 커다란 충격을 안겨주었습니다. 힐베르트의 꿈은 좌절되었지만, 이 사건은 오히려 '기계적 계산'이란 무엇인가에 대한 근본적인 질문을 던지는 계기가 되었습니다. 수학적 한계를 증명하는 과정에서 역설적으로 새로운 논리적 사고의 지평이 열리게 된 것입니다. 튜링은 불완전성 정리를 접한 뒤, 자신만의 스타일로 이를 재증명하기 위해 '기계적'이라는 개념을 구체적으로 정의하기 시작했습니다. 그는 무한한 테이프와 상태 표시 장치, 그리고 규칙표라는 네 가지 부품만으로 구성된 가상의 장치를 고안해 냈습니다. 이것이 바로 오늘날 컴퓨터의 원형인 '튜링 기계'입니다. 흥미로운 점은 튜링이 처음부터 컴퓨터를 발명하려 했던 것이 아니라, 수학적 불가능성을 증명하기 위한 하나의 도구로서 이 기계를 설계했다는 사실입니다. 논리적 증명을 돕기 위한 소품이 현대 정보 혁명의 핵심이 되었습니다. 1936년에 발표된 튜링의 논문은 수학적 난제를 해결하는 동시에 현대 컴퓨터 과학의 청사진을 제시했습니다. 계산 가능한 수의 범위를 정의하고 기계적 절차의 한계를 밝혀낸 그의 연구는, 오늘날 우리가 사용하는 모든 디지털 기기의 이론적 토대가 되었습니다. 수학의 좌절을 확인하는 과정에서 우연히 탄생한 이 아이디어는 인류의 삶을 송두리째 바꾸어 놓았습니다. 결국 컴퓨터 과학의 역사는 불가능에 도전했던 수학자들의 치열한 고민과, 그 과정에서 발견한 논리적 도구들이 빚어낸 위대한 우연의 산물이라고 할 수 있습니다.

이광근

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[카오스 술술수학] 수학의 성배 - 기하를 지켜라!

최근 교육부가 수능 출제 범위에서 기하를 제외하겠다고 발표하면서 교육계와 과학계에 큰 파장이 일고 있습니다. 교육부는 기하가 선택과목으로 변경되었고 수험생의 학습 부담을 완화해야 한다는 점을 주요 근거로 내세웠습니다. 하지만 수학의 본질이 수와 모양에 있다는 점을 고려할 때, 기하를 배제하는 것은 수학의 절반을 포기하는 것과 다름없습니다. 어린아이들이 손가락으로 수를 세고 종이에 끊임없이 그림을 그리는 행위에서 알 수 있듯이, 기하는 인간의 본능적인 탐구 영역이자 수학적 사고의 핵심적인 축을 담당하고 있습니다. 4차 산업혁명 시대를 맞이하여 기하의 중요성은 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 인공지능, 로봇 공학, 3D 프린팅, 자율주행차 등 현대 과학기술의 최전선에 있는 분야들은 모두 기하적 원리를 기반으로 작동합니다. 수천 개의 드론이 하늘에서 정교한 형상을 만들어내는 드론 쇼나 인간의 형상을 구현하는 3D 홀로그램 기술 역시 기하 없이는 불가능한 영역입니다. 고대 플라톤이 기하를 우주와 지혜를 담는 성배로 여겼던 것처럼, 오늘날의 첨단 기술 사회에서도 기하는 선택이 아닌 필수적인 학문적 토대로서 그 가치를 증명하고 있습니다. 국내 석학들은 기하 교육의 약화가 학생들의 공간적 개념과 입체적 사고 능력을 저하시킬 것이라며 우려의 목소리를 높이고 있습니다. 미국, 일본, 영국 등 주요 선진국들이 입시에서 심화된 기하 영역을 다루는 것과 달리, 우리나라는 오히려 교육 내용을 2차원으로 한정하며 시대의 흐름에 역행하고 있다는 지적입니다. 21세기는 단순한 지식 습득을 넘어 사유를 통한 통찰의 시대이며, 기하는 합리적인 결론을 도출하는 사고 과정을 훈련하는 데 최적의 과목입니다. 미래 세대가 글로벌 경쟁력을 갖추기 위해서는 수능에서 기하를 복원하고 올바른 수학 교육 환경을 조성해야 합니다.

카오스재단술술과학

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[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (3) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ③

수학은 끊임없이 새로운 지평을 열어가는 학문입니다. 우리가 마주하는 지식의 경계선에서는 모든 것이 복잡하고 어렵게 느껴지지만, 시야를 넓혀 전체를 조망하면 그 복잡함 속에 숨겨진 단순한 질서가 드러나기도 합니다. 랭랜즈 프로그램과 같은 거대한 연구 체계는 흩어져 있던 여러 수학적 개념들을 하나로 통합하여, 페르마의 마지막 정리와 같은 난제들을 보다 명료하게 바라볼 수 있는 틀을 제공하며 수학의 세계를 확장합니다. 수학자들이 고된 연구를 지속할 수 있는 원동력은 무엇일까요? 그것은 서로 관련 없어 보이던 두 대상 사이의 연결고리를 발견했을 때 느끼는 짜릿함에 있습니다. 개별적으로 존재하던 지식들이 하나로 통합되는 과정은 수학자들에게 커다란 정신적 보상을 제공합니다. 어려운 문제일수록 이를 해결했을 때의 성취감은 더욱 크며, 이러한 지적 즐거움은 일종의 중독성을 지니고 있어 연구자들이 끊임없이 새로운 도전에 나설 수 있게 만듭니다. 하지만 수학 연구의 과정이 늘 즐거운 것만은 아닙니다. 대개의 경우 정답을 찾지 못해 인고의 시간을 보내야 하며, 어디로 나아가야 할지 알 수 없는 불투명한 상황에 놓이기도 합니다. 이럴 때 수학자들은 잠시 문제를 내려놓고 산책을 하거나 음악을 듣는 등 전혀 다른 활동에 몰입하며 스트레스를 해소합니다. 역설적이게도 문제에서 멀어져 머릿속을 비우는 시간은 잠재의식이 작동하여 갑작스러운 아이디어를 떠올리게 하는 중요한 계기가 됩니다. 현대 수학은 크게 대수학, 기하학, 해석학, 위상수학으로 나뉩니다. 대수학은 수와 구조의 이론을 다루며, 기하학은 우리가 사는 공간과 고차원 공간을 이해하는 학문입니다. 해석학은 미적분학을 바탕으로 수의 연속성과 극한을 탐구합니다. 과거에는 이들 분야가 엄격히 구분되었으나, 현대에 이르러서는 그 경계가 점차 허물어지고 있습니다. 오늘날의 수학자들은 자신의 전공에 매몰되지 않고 다양한 분야를 넘나들며 협업을 통해 거대한 문제를 해결해 나갑니다. 특히 기하학은 우리가 세상을 인식하는 가장 기본적인 도구입니다. 어린아이가 숫자를 세기 전 모양을 먼저 인식하듯, 공간과 형태를 구별하는 능력은 수학적 사고의 시작점이라 할 수 있습니다. 최근 교육 과정에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대해 우려의 목소리가 높은 이유도 여기에 있습니다. 기하학적 사고가 결여되면 세상을 보는 시야가 좁아질 수밖에 없으며, 이는 현대 사회에서 더욱 중요해지는 다각적 문제 해결 능력을 저해할 수 있습니다. 수학은 전문가들만의 전유물이 아닙니다. 최근에는 일반인들도 수학의 매력을 느낄 수 있는 훌륭한 교양 서적들이 많이 출간되고 있습니다. 전문적인 계산이나 복잡한 증명에 얽매이기보다, 수학적 아이디어가 전하는 철학적 의미와 역사적 흐름을 따라가다 보면 누구나 수학이라는 거대한 지적 세계에 발을 들일 수 있습니다. 수학에 대한 흥미를 잃지 않고 자신만의 관점에서 문제를 바라보는 태도는 수학을 즐기는 가장 좋은 방법 중 하나입니다. 랭랜즈 프로그램은 수학의 여러 분야를 유기적으로 연결하는 '원대한 계획'과 같습니다. 이는 단순한 문제 풀이를 넘어 수학 전체를 관통하는 일관된 방향성을 제시합니다. 특히 '군'이라는 개념을 통해 대칭성을 수학적 언어로 표현하고, 이를 활용해 방정식의 해를 찾거나 함수의 특성을 분석하는 과정은 매우 경이롭습니다. 서로 다른 대상 사이의 쌍대성을 발견하고 이를 통합하려는 노력은 수학이 지닌 진정한 가치와 무한한 가능성을 잘 보여줍니다.

신석우, 정경훈

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (4) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ④

인공지능 시대의 도래는 단순히 인간의 업무를 기계가 대체하는 차원을 넘어섭니다. 과거에는 인간이 필요한 정보를 직접 기록하고 구전하며 관리할 수 있었지만, 현대 사회는 기계들이 쏟아내는 데이터의 양이 인간의 처리 능력을 아득히 초월했습니다. 이러한 데이터의 홍수 속에서 의미 있는 정보를 추출하고 분석하기 위해 인공지능은 필수적인 도구가 되었습니다. 즉, 인공지능은 인간의 한계를 보완하여 방대한 정보 속에서 가치를 찾아내는 새로운 지적 동반자로서 그 존재 이유를 가집니다. 인공지능의 화려한 성취 뒤에는 견고한 수학적 원리가 자리 잡고 있습니다. 알파고와 같은 사례에서 보듯, 인공지능이 보여주는 놀라운 결과물은 복잡한 알고리즘과 수학적 모델링의 산물입니다. 특히 딥러닝을 깊이 이해하기 위해서는 선형대수학이나 기하학과 같은 수학적 기초가 필수적입니다. 단순히 기술적인 구현에 그치지 않고 인공지능의 근본적인 작동 원리를 파악하기 위해서는 수학이라는 언어를 통해 그 내부를 들여다보는 노력이 필요하며, 이는 인공지능 시대를 주도하는 핵심 역량이 됩니다. 수학의 역사는 계산의 시대에서 이론의 시대를 거쳐, 이제는 컴퓨터와 협력하는 새로운 계산의 시대로 진입했습니다. 과거의 수학자가 수식을 직접 풀고 계산하는 데 집중했다면, 현대의 수학자는 어떤 계산을 시킬 것인지 설계하고 그 결과를 어떻게 해석할 것인지 고민하는 역할을 수행합니다. 인공지능이 발전함에 따라 수학자의 역할이 사라지는 것이 아니라, 오히려 가보지 않은 길을 개척하고 복잡한 시스템의 논리적 타당성을 검증하는 고차원적인 설계자로서의 위상이 더욱 강화되고 있는 것입니다. 최근 교육 현장에서 코딩 열풍이 불고 있지만, 진정한 핵심은 프로그래밍 언어의 문법을 익히는 것이 아니라 그 밑바탕에 깔린 수학적 사고력을 기르는 데 있습니다. 코딩은 논리적인 구조를 구현하는 수단일 뿐이며, 무엇을 어떻게 구현할 것인지를 결정하는 것은 결국 수학적 원리에 대한 이해입니다. 원리를 모른 채 복잡한 수식만 나열하는 것은 비효율적입니다. 따라서 미래 세대에게 필요한 교육은 단순한 기능 습득이 아니라, 문제를 효율적으로 정의하고 식의 의미를 파악하는 본질적인 사고의 힘을 길러주는 방향으로 나아가야 합니다. 인공지능의 신경망 구조가 인간의 뇌와 유사해짐에 따라 생명과 의식에 대한 철학적 질문도 제기됩니다. 예쁜꼬마선충의 뉴런 구조를 기계적으로 복제했을 때 생명체와 유사한 반응을 보이는 사례는 흥미로운 시사점을 던져줍니다. 하지만 인간의 뇌는 단순한 알고리즘의 집합을 넘어 끊임없는 경험과 학습을 통해 스스로를 변화시키는 복잡한 상태를 지닙니다. 인공지능이 인간의 지적 능력을 흉내 낼 수는 있어도, 주관적인 경험과 의식의 영역까지 완벽히 대체할 수 있는지에 대해서는 생물학적, 철학적 관점에서의 깊은 성찰이 동반되어야 합니다. 리만 가설과 같은 수학적 난제를 인공지능이 해결할 수 있을지에 대한 관심도 뜨겁습니다. 컴퓨터는 방대한 계산을 통해 반례를 찾거나 복잡한 미분방정식을 푸는 데 탁월한 성능을 발휘하지만, 문제의 본질을 꿰뚫는 통찰력을 제시하는 데는 여전히 한계가 있습니다. 인공지능은 인간이 미처 생각하지 못한 새로운 지평을 열어주는 보조적인 도구로서 강력한 힘을 발휘할 것입니다. 결국 수학적 난제의 해결은 기계의 압도적인 계산 능력과 인간의 창의적인 가설 설정이 조화를 이룰 때 비로소 가능해질 것으로 보입니다. 궁극적으로 수학을 공부하는 이유는 단순히 지식을 습득하는 것을 넘어, 권위에 맹종하지 않고 스스로 사고하는 힘을 기르기 위함입니다. 수학은 누구나 자신의 논리로 결과를 확인하고 검증할 수 있는 학문입니다. 인공지능이 제공하는 결과물에 의존하기만 하는 것이 아니라, 그것이 왜 옳은지 스스로 판단할 수 있는 비판적 사고력이 인공지능 시대에 더욱 절실해집니다. 스스로 생각하고 확인하는 수학적 태도는 급변하는 기술 사회 속에서 우리가 중심을 잡고 주체적인 삶을 살아갈 수 있게 돕는 가장 강력한 무기가 될 것입니다.

박부성, 이준엽

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (3) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ③

알고리즘이라는 용어는 비교적 최근의 것이지만, 그 개념은 인류의 역사와 궤를 같이합니다. 2,000년 전 유클리드가 제안한 최대공약수 알고리즘은 오늘날 공인인증서 체계의 핵심으로 여전히 살아 숨 쉬고 있습니다. 이처럼 알고리즘은 컴퓨터가 발명되기 훨씬 이전부터 인간의 사고 체계와 실생활에서 중요한 역할을 담당해 왔으며, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하려는 인류의 지혜가 담긴 결과물이라 할 수 있습니다. 컴퓨터의 등장은 수학 연구의 패러다임을 양적, 질적으로 완전히 바꾸어 놓았습니다. 과거 인간의 힘으로는 불가능했던 원주율의 수조 자리 계산이 가능해진 것은 양적인 변화의 대표적 사례입니다. 질적으로는 대수기하학의 부흐베르거 알고리즘처럼 복잡한 구조를 다루는 새로운 무기가 등장하며 수학자들에게 새로운 지평을 열어주었습니다. 이제 수학은 단순히 답을 내는 과정을 넘어, 컴퓨터를 통한 실험과 발견의 시대로 진입했습니다. 흔히 수학자가 계산을 잘할 것이라 오해하지만, 사실 그들은 결과보다 논리적인 과정에 더 집중합니다. 컴퓨터는 단순히 계산을 대신해 주는 도구가 아니라, 복잡한 논리를 알고리즘으로 기술하기 위해 더 깊은 사고를 유도하는 자극제 역할을 합니다. 학교 교육에서 강조하는 빠른 정답 찾기와 달리, 실제 수학의 세계에서는 알고리즘을 설계하는 과정 자체가 고도의 철학적 고민과 논리적 엄밀함을 요구하는 창의적인 작업입니다. 모든 수학적 난제가 알고리즘으로 해결될 수 있는 것은 아닙니다. 앨런 튜링은 계산 가능한 수학과 그렇지 않은 수학의 경계를 이론적으로 제시했으며, 힐베르트의 23가지 문제 중 일부는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명함으로써 해결되기도 했습니다. 이는 수학의 모든 영역이 기계적인 절차로 대체될 수 없음을 시사합니다. 알고리즘의 세계 밖에서도 수학자들은 여전히 인간만의 직관과 사유를 통해 진리를 탐구하고 있습니다. 최근 가장 주목받는 알고리즘의 응용 분야는 단연 블록체인입니다. 블록체인은 거래 내역을 담은 블록들을 체인처럼 연결하여 전 세계 사용자가 공유하는 분산 저장 기술입니다. 이 시스템의 핵심은 해시 함수와 작업 증명이라는 수학적 원리에 있습니다. 데이터의 미세한 변화도 감지해 내는 해시 함수는 정보의 위조를 방지하며, 복잡한 연산 과정을 거치는 작업 증명은 네트워크의 신뢰성을 담보하는 강력한 보안 장치가 됩니다. 블록체인의 보안을 지탱하는 또 다른 기둥은 타원 곡선 암호입니다. 이는 3차 방정식의 그래프에서 나타나는 수학적 구조를 이용한 공개키 암호 체계로, 누구나 암호화할 수 있지만 오직 주인만이 풀 수 있는 비대칭성을 가집니다. 이러한 고도의 정수론적 원리는 비트코인과 같은 암호화폐에서 본인 인증의 핵심 수단으로 활용됩니다. 현대 수학의 추상적인 이론들이 우리 실생활의 경제 시스템을 지탱하는 가장 구체적인 도구로 변모한 셈입니다. 블록체인의 가능성은 단순한 화폐 가치를 넘어 정보의 영구 보존과 투명한 사회 시스템 구축으로 확장되고 있습니다. 검열이 불가능한 기록 저장소로서의 기능은 사회적 메시지를 보호하는 수단이 되기도 하며, 전자 투표의 신뢰성을 높이는 대안으로도 거론됩니다. 비록 기술적 과제와 논란이 공존하지만, 알고리즘이 만들어낸 이 새로운 신뢰의 기술은 앞으로 우리가 세상을 바라보고 소통하는 방식을 근본적으로 변화시킬 잠재력을 지니고 있습니다.

박부성, 이준엽

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (2) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ②

수학은 복잡한 현실 세계의 문제를 추상화하여 해결하는 핵심적인 도구입니다. 심장의 박동이나 자동차의 움직임처럼 서로 전혀 다른 분야의 현상이라도, 이를 미분 방정식이라는 수학적 언어로 표현하면 동일한 논리 체계 안에서 해답을 찾을 수 있습니다. 수학자는 특정 분야에서 이룬 놀라운 성취를 다른 분야로 전파하는 매개체 역할을 수행하며, 모든 공학적 설계와 과학적 발견의 근간이 되는 알고리즘의 혁신을 이끌어냅니다. 이러한 수학적 기초는 현대 문명을 지탱하는 가장 강력한 힘입니다. 금융 시장의 복잡한 변화를 예측하는 데에도 수학은 결정적인 기여를 했습니다. 1940년대 일본의 수학자 이토 기요시가 정립한 '이토 미분'은 당시에는 추상적인 이론에 불과했으나, 30년 뒤 주식과 파생상품의 가치를 계산하는 금융공학의 핵심 도구로 재발견되었습니다. 이는 순수 수학적 아이디어가 고속 계산 알고리즘과 결합하여 거대한 산업적 변화를 일으킨 대표적인 사례로, 수학적 통찰이 시대를 앞서 새로운 경제적 가치를 창출할 수 있음을 보여주는 증거라고 할 수 있습니다. 구글의 성공 신화 뒤에는 선형대수학의 '고유치 문제'라는 수학적 원리가 숨어 있습니다. 초기 검색 엔진들이 단순히 단어의 유사성을 비교할 때, 구글은 웹페이지 간의 연결 관계를 수치화하여 정보의 권위와 중요도를 정량적으로 계산했습니다. 수많은 웹페이지를 이동하는 사용자의 확률적 분포를 계산하여 가장 가치 있는 정보를 상단에 배치하는 이 혁신적인 알고리즘은, 복잡한 네트워크 데이터를 수학적 관점으로 재해석함으로써 정보 검색의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 블록체인 기술은 수학적 암호화와 검증 과정을 통해 데이터의 신뢰성을 확보합니다. 각 블록은 이전 블록의 정보를 담은 해시값으로 연결되어 있으며, 복잡한 수학 문제를 풀어야만 새로운 블록을 생성할 수 있는 구조를 가집니다. 거래 내역을 직접 노출하지 않으면서도 공개키 암호와 해시 함수를 활용해 데이터의 무결성을 증명하는 이 방식은, 중앙 집중식 관리 없이도 전 세계 사용자가 동시에 정보를 신뢰하고 공유할 수 있는 새로운 디지털 생태계를 구축하는 기반이 되었습니다. 인공지능의 역사는 인간의 사고 과정을 기계로 구현하려는 수학적 도전에서 시작되었습니다. 앨런 튜링이 제안한 튜링 테스트부터 체스 챔피언을 이긴 딥 블루, 퀴즈 쇼에서 승리한 왓슨에 이르기까지 인공지능은 끊임없이 진화해 왔습니다. 특히 최근의 인공지능은 인간의 뇌 신경망을 모방한 인공 신경망 구조를 통해 데이터를 학습하며, 단순한 규칙 기반의 시스템을 넘어 스스로 패턴을 찾아내고 판단하는 수준에 도달하여 우리 삶의 모든 영역에 깊숙이 침투하고 있습니다. 알파고의 등장은 지식 기반 전문가 시스템과 데이터 기반 인공 신경망이 결합하여 이룬 놀라운 성취였습니다. 바둑의 방대한 경우의 수를 모두 계산하는 대신, 고수들의 기보를 학습한 정책망으로 유망한 수를 선택하고 가치망을 통해 승률을 예측하는 병렬 계산 방식을 도입했습니다. 하지만 이러한 딥러닝 기술이 왜 뛰어난 성능을 내는지, 얼마나 많은 데이터가 필요한지에 대한 수학적 이론은 여전히 미지의 영역으로 남아 있으며, 이는 현대 수학자들이 풀어야 할 새로운 과제가 되었습니다. 인류 문명의 발전 단계마다 그 시대를 이끄는 새로운 수학이 존재해 왔습니다. 농경 시대에는 기하학이, 산업 혁명기에는 해석학이 과학 기술의 발전을 견인했다면, 4차 산업 혁명 시대에는 비정형 데이터를 다루는 위상수학이나 확률 최적화 이론이 핵심적인 역할을 할 것입니다. 미래의 불확실한 세계를 탐험하기 위해서는 기존의 알고리즘을 넘어선 수학적 상상력이 필요하며, 이러한 학문적 탐구는 인공지능과 양자 컴퓨팅 등 미래 기술의 한계를 극복하는 열쇠가 될 것입니다.

이준엽

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (1) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ①

우리의 일상은 수많은 알고리즘으로 둘러싸여 있습니다. 가장 대표적인 예가 내비게이션입니다. 내비게이션의 핵심은 화려한 그래픽이나 음성 안내가 아니라, 최적의 경로를 찾아내는 알고리즘에 있습니다. 알고리즘이란 특정 목표를 달성하기 위한 유한한 절차나 규칙의 모임을 의미합니다. 이는 단순히 컴퓨터 프로그램에 국한된 개념이 아니라, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하기 위해 인간이 설계한 체계적인 문제 해결 방식의 정수라고 할 수 있습니다. 경로 탐색의 효율성을 극대화한 사례로 '패스트 마칭 알고리즘'을 들 수 있습니다. 과거에는 모든 경우의 수를 일일이 계산하려 했으나, 이는 데이터가 늘어날수록 계산량이 기하급수적으로 증가하는 한계가 있었습니다. 하지만 수학자들은 이를 미분 방정식의 관점에서 접근하여 사고의 전환을 이뤄냈습니다. 속도의 역수를 시간의 흐름으로 파악하고, 마치 물결이 퍼져나가는 것처럼 최단 시간을 계산하는 방식은 복잡한 경로 문제를 획기적으로 해결했습니다. 이러한 수학적 알고리즘은 단순히 길 찾기에만 머물지 않습니다. 동일한 원리가 의료 영상에서 뇌의 구조를 분리해내는 이미지 분할 기술이나, 로봇 팔이 장애물을 피해 움직이는 6차원 궤적 계산에도 적용됩니다. 하나의 잘 설계된 알고리즘이 전혀 다른 분야의 난제들을 해결하는 열쇠가 되는 것입니다. 이는 프로그램의 외형보다 그 내면에 숨겨진 수학적 원리와 이를 새로운 문제에 적용하는 창의적 사고가 얼마나 중요한지를 잘 보여줍니다. 컴퓨터의 역사를 되짚어보면 흥미로운 사실을 발견하게 됩니다. 1960년대까지만 해도 '컴퓨터'는 기계가 아니라 복잡한 수식을 계산하는 사람의 직업을 일컫는 말이었습니다. 당시 NASA와 같은 기관에서는 수학적 재능을 가진 여성들이 직접 손으로 계산을 수행하며 우주 탐사의 초석을 다졌습니다. 오늘날 우리가 사용하는 전자계산기나 노트북이 보급되기 전부터, 인간의 지성은 이미 알고리즘적 사고를 통해 거대한 과학적 성취를 이뤄내고 있었습니다. 현대 컴퓨터의 논리적 토대를 마련한 것은 앨런 튜링의 '튜링 머신'입니다. 튜링 머신은 실제로 제작된 기계가 아니라, 수학적 증명을 위해 고안된 가상의 장치였습니다. 0과 1을 기록하고 칸을 이동하는 지극히 단순한 규칙만으로 모든 계산 가능한 문제를 풀 수 있다는 이 개념은 현대 컴퓨터 공학의 시초가 되었습니다. 수학적 상상력에서 탄생한 이 사고 실험은 불가능해 보이던 논리적 한계를 규명하고, 디지털 시대의 문을 여는 결정적인 계기가 되었습니다. 컴퓨터 공학이라는 학문이 정립되기 훨씬 전부터, 핵심적인 계산 알고리즘의 대부분은 수학자들에 의해 개발되었습니다. 20세기 과학 계산의 주요 업적들을 살펴보면, 컴퓨터가 보급되지 않았던 시절에 이미 논리적 체계가 완성된 경우가 많습니다. 이는 수학이 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 세상에 없던 새로운 체계를 설계하는 근본적인 도구이기 때문입니다. 수학적 상상력은 기술적 한계를 뛰어넘어 미래를 설계하는 원동력이 되어왔습니다. 오늘날 계산 기술은 자연과학과 공학을 넘어 사회과학 전반에 걸쳐 필수적인 역할을 수행합니다. 과거의 과학이 이론과 실험이라는 두 축으로 지탱되었다면, 이제는 '계산'이 제3의 축으로 자리 잡았습니다. 비행기 설계부터 주가 예측, 질병 진단에 이르기까지 수많은 모델링이 컴퓨터를 통해 이루어집니다. 세상을 논리적으로 이해하려는 지적 탐구는 복잡한 현실 문제를 해결 가능한 형태로 변환하는 가장 강력한 동력이 됩니다.

이준엽

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[카오스 술술수학] 모양이란 무엇인가? 상상하는 모양? 실재 모양?

우리는 흔히 모양을 '겉으로 나타난 모습'이라 정의하고, 모습은 다시 '겉으로 나타난 모양'이라 정의하곤 합니다. 이러한 순환 논리는 기하학의 대상인 모양을 정의하는 것이 얼마나 어려운지를 잘 보여줍니다. 기하학은 모양을 연구하는 학문이지만, 정작 그 본질이 무엇인지에 대해서는 수학자들조차 깊이 고민하게 만듭니다. 19세기 수학자 펠릭스 클라인은 수학을 깊이 공부할수록 오히려 곡선이 무엇인지 모르게 된다고 말하며 기하학의 심오함을 강조했습니다. 도형이라고 하면 흔히 삼각형이나 원, 혹은 뫼비우스의 띠와 같은 시각적 이미지를 떠올립니다. 하지만 우리가 종이나 화면에 그리는 도형은 실제 수학적 대상이 아니라 이해를 돕기 위한 보조 수단에 불과합니다. 3차원 입체를 2차원 평면에 완벽히 구현할 수 없듯이, 우리가 보는 원이나 사각형도 돋보기로 들여다보면 불완전한 선들의 집합일 뿐입니다. 수학의 세계에서 진짜 그림이란 존재하지 않으며, 우리가 보는 것은 뇌가 만들어낸 심리적 환상에 가깝습니다. 유클리드는 이러한 시각적 한계를 넘어 기하학을 공리와 정리라는 논리적 체계로 정립했습니다. 그의 저서 '원론'은 도형이 아닌 사고의 체계가 기하학의 본질임을 시사합니다. 19세기의 다비드 힐베르트는 이 전통을 이어받아, 점, 선, 면과 같은 용어를 책상이나 의자로 바꾸어도 기하학적 논리 체계는 변하지 않는다고 주장했습니다. 현대의 기하학자들 역시 자신의 논문에 그림을 거의 쓰지 않으면서도 복잡한 기하학적 문제를 논리만으로 해결해 나가고 있습니다. 그렇다면 왜 기하학은 굳이 '모양'이라는 가상의 수단을 활용하는 것일까요? 그 답은 인간의 인지적 특성에 있습니다. 인간은 컴퓨터처럼 숫자와 논리만으로 세상을 이해하기보다, 시각화된 정보를 통해 직관적으로 파악할 때 훨씬 더 효율적으로 사고하도록 진화했습니다. 복잡한 수식보다 피타고라스의 정리를 증명하는 한 장의 그림이 우리에게 더 큰 깨달음을 주는 이유도 여기에 있습니다. 시각적 이미지는 우리가 보지 못했던 관계를 발견하게 돕는 강력한 도구입니다. 결국 기하학의 진정한 본질은 눈에 보이는 형태 그 자체가 아니라, 그 형태를 통해 사고를 확장하는 '상상력'에 있습니다. 영어 단어 'Imagination'이 이미지를 만든다는 의미를 내포하고 있듯이, 기하학은 보이지 않는 논리를 시각적 이미지로 변환하여 이해하는 과정입니다. 힐베르트가 자신의 저서 제목을 '기하학과 상상력'이라 지은 것도 같은 맥락입니다. 우리는 기하학을 통해 단순한 모양을 넘어, 논리와 직관이 결합된 고차원적인 상상의 세계를 탐험하게 됩니다.

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[카오스 술술수학] 수학, 사랑을 결정하다? 두근두근 짝짓기 알고리즘

우리는 일상에서 수많은 선택과 만남을 경험합니다. 만약 인기 아이돌 그룹 멤버들이 서로 짝을 맺어야 한다면, 단순히 좋아하는 순서대로 연결하는 것이 최선일까요? 이러한 의문에 답을 제시하는 학문이 바로 매칭이론입니다. 이는 2012년 로이드 섀플리와 앨빈 로스에게 노벨 경제학상을 안겨준 분야로, 복잡한 이해관계 속에서 최적의 짝을 찾아내는 알고리즘을 연구합니다. 그 중심에는 수학자 데이비드 게일과 경제학자 로이드 섀플리가 고안한 게일-섀플리 알고리즘이 자리 잡고 있습니다. 가장 단순한 상황을 가정해 봅시다. 두 쌍의 남녀가 서로 선호하는 순위가 겹칠 때, 우리는 두 가지 매칭 방식을 생각할 수 있습니다. 하나는 인기 있는 사람끼리 맺어주는 평행 매칭이고, 다른 하나는 이를 교차하여 연결하는 교차 매칭입니다. 행복의 총량이라는 관점에서는 두 방식 모두 만족하는 사람과 그렇지 못한 사람이 생기기에 차이가 없어 보일 수 있습니다. 하지만 과학적인 관점에서 상황을 바라보면, 단순히 감정적인 선호도를 넘어 자연 현상에서 더 빈번하게 발생하는 특정 규칙이 존재함을 발견하게 됩니다. 자연에서 더 많이 관찰되는 방식은 바로 안정성을 확보한 안정 매칭입니다. 교차 매칭의 경우, 현재의 파트너보다 서로를 더 선호하는 남녀가 존재한다면 기존의 관계를 깨고 새로운 짝을 찾으려는 유인이 발생합니다. 반면 안정 매칭은 외부의 작은 교란에도 관계가 유지되는 계곡 속의 공과 같은 상태를 의미합니다. 즉, 누군가는 조금 덜 행복할지라도 전체 시스템이 붕괴되지 않고 유지될 수 있는 구조가 과학적으로는 더 중요한 가치를 지니게 되는 것입니다. 이러한 안정성은 자연 현상을 설명하는 핵심 개념입니다. 그렇다면 이러한 안정 매칭 상태에 도달하기 위한 구체적인 방법은 무엇일까요? 게일-섀플리 알고리즘은 단계별 과정을 통해 이를 해결합니다. 먼저 남성들이 자신이 가장 선호하는 여성에게 청혼하고, 여성은 제안 중 가장 마음에 드는 상대를 선택해 잠정적인 약혼 상태를 유지합니다. 이후 선택받지 못한 남성들이 다음 순위의 여성에게 다시 청혼하는 과정을 반복합니다. 이 과정에서 여성은 더 나은 상대가 나타나면 기존의 약혼을 파기할 수 있으며, 최종적으로는 모든 구성원이 더 이상 이탈할 마음이 없는 안정적인 짝을 찾게 됩니다. 이 알고리즘이 위대한 이유는 단순히 짝짓기 문제를 해결했기 때문만이 아닙니다. 관찰을 통해 현상을 파악하고, 왜 그런 일이 발생하는지 질문하며, 구체적인 해결 방안을 도출해 검증하는 과학적 사고의 정수를 보여주기 때문입니다. 수학자들은 이 알고리즘이 어떤 상황에서도 항상 안정적인 결과를 도출한다는 사실을 논리적으로 증명해 냈습니다. 결국 매칭이론은 우리 삶의 복잡한 문제들을 논리적이고 체계적인 시각으로 바라볼 때 비로소 최선의 해답을 찾을 수 있음을 시사하며, 이는 수학적 사고가 가진 진정한 힘이라 할 수 있습니다.

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수학

[석학인터뷰] 이준엽_ 수학은 즐거운 것 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

물리학을 전공하던 대학 시절, 뜻이 맞는 이들과 함께 수학 동아리를 만들었던 경험은 제 인생의 중요한 전환점이 되었습니다. 당시 우리는 수학을 단순히 딱딱한 학문으로 접근하기보다 즐거움의 대상으로 바라보며 그 핵심 가치를 탐구하는 동아리를 운영했습니다. 이 과정을 통해 수학이 얼마나 매력적이고 즐거운 학문인지 깊이 깨닫게 되었고, 이는 훗날 제가 수학자로서의 길을 걷게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 대중과 수학의 거리를 좁히려는 지금의 노력 또한 그 시절 느꼈던 순수한 즐거움에서 비롯된 것입니다. 수학적 사고의 중심에는 문제를 효율적으로 해결하기 위한 정해진 절차와 규칙의 모음인 알고리즘이 자리 잡고 있습니다. 이는 프로그래밍의 기초가 되기도 하지만, 본질적으로는 복잡한 난제를 논리적으로 풀어내는 가장 기본적인 도구입니다. 저는 스스로를 정의할 때, 이러한 수학적 원리를 바탕으로 세상의 난제들에 도전하는 사람이라고 생각합니다. 특히 수치해석적 방법을 적용하면 전 세계적으로 해결하기 어려운 문제들도 실마리를 찾을 수 있으며, 이는 현대 과학 기술 발전에 있어 매우 뜻깊은 역할을 수행합니다. 수학의 힘은 상아탑 안에서만 머물지 않고 실제 산업 현장의 복잡한 문제들을 해결하는 데에도 강력한 위력을 발휘합니다. 여러 수학자가 머리를 맞대고 현장의 목소리에 귀를 기울이며 최적의 답을 찾아가는 과정은 그 자체로 커다란 보람을 안겨줍니다. 제가 연구하고 실천하는 일들이 사회에 어떤 방식으로 기여하고 있는지, 그리고 그 과정이 갖는 진정한 의미가 무엇인지 더 많은 사람과 나누고 싶습니다. 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지 알리는 일은 앞으로도 제가 계속해서 이어갈 소중한 사명입니다.

이준엽

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[석학인터뷰] 김재경_ 생물학에 시간의 개념을 도입하다 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학은 단순한 숫자의 나열을 넘어 생명 현상의 복잡한 원리를 규명하는 강력한 도구로 활용됩니다. 특히 미분 방정식은 시간에 따라 변화하는 생체 내의 역동적인 움직임을 분석하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 예를 들어, 우리 몸속에서 암세포가 증식하는 속도나 전이 과정을 수학적 모델링을 통해 질병의 진행 양상을 정밀하게 예측할 수 있습니다. 이러한 접근 방식은 전통적인 생물학적 관찰만으로는 파악하기 어려운 생명 현상의 근본적인 속성들을 수치화하고 체계적으로 이해할 수 있는 새로운 지평을 열어줍니다. 생체 시계 연구는 기존 생물학 연구에서 상대적으로 간과되었던 '시간'이라는 개념을 중요한 변수로 도입했습니다. 항암제를 투여할 때 아침, 점심, 저녁 중 어느 시간대에 주느냐에 따라 치료 효과가 현저히 달라진다는 사실은 생체 시계의 중요성을 잘 보여줍니다. 우리 몸의 대사와 면역 체계가 시간에 따라 주기적으로 변화하기 때문에, 이러한 생체 시계를 수학적으로 분석하면 최적의 치료 시점을 결정하는 정밀 의료가 가능해집니다. 이는 생명 과학에 시간이라는 차원을 더해 더욱 입체적인 연구를 가능케 하는 혁신적인 시도라고 할 수 있습니다. 수학자로서의 정체성을 '친구'라고 정의하는 태도는 학문 간의 경계를 허무는 협력의 중요성을 시사합니다. 실험 연구자들이 난관에 부딪혔을 때 수학적 지식으로 도움을 주고, 언제든 고민을 나눌 수 있는 동반자가 되는 것이 현대 과학이 지향해야 할 모습입니다. 새로운 분야를 개척하는 과정에는 주변의 우려와 불확실성이 따르기 마련이지만, 타인과 소통하며 문제를 해결해 나가는 과정은 학문적 성취를 넘어 더 나은 과학 생태계를 만드는 밑거름이 됩니다. 결국 학문적 지식은 타인의 어려움을 해결하는 따뜻한 도구가 될 때 그 가치가 더욱 빛납니다.

김재경

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

생명과학
수학

[강연] 게임이론 - 인간의 행동을 예측하다 (4) _ by한순구 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 6강 | 6강 ④

경제학은 본질적으로 인간의 행복을 탐구하는 학문입니다. 행복이라는 광범위한 주제 중에서도 경제학자들은 특히 물질적 풍요에 집중하여, 어떻게 하면 인간을 더 풍요롭고 행복하게 만들 수 있을지 연구합니다. 인간의 행동 중 약 97~98%가 물질적 욕구에 의해 움직인다는 관점에서 볼 때, 경제학은 인간의 행동을 이해하고 예측하는 가장 강력한 도구가 됩니다. 결국 경제학은 우리 삶 그 자체를 분석하고 더 나은 방향을 제시하는 학문이라 할 수 있습니다. 경제학은 크게 미시경제학과 거시경제학으로 나뉩니다. 미시경제학이 인간의 장기 하나하나를 살피는 정밀 검진이라면, 거시경제학은 몸 전체의 열을 내리는 응급 처치와 같습니다. 국가 단위의 경제성장률이나 실업률을 다루는 거시경제학은 주식이나 부동산 투자와 같은 실생활에 유용한 정보를 제공하며, 개별 주체의 행동을 분석하는 미시경제학은 사회의 세밀한 작동 원리를 밝혀냅니다. 이 두 관점은 서로 보완하며 우리 사회의 건강 상태를 진단하고 적절한 처방을 내리는 역할을 수행합니다. 경제학에서 가정하는 '합리성'은 현실과 동떨어진 개념처럼 보일 수 있지만, 사실 우리 일상에 깊이 뿌리박혀 있습니다. 당구 선수가 복잡한 물리 법칙을 계산하지 않아도 기막힌 각도로 공을 보내듯, 사람들은 경제학 이론을 몰라도 자신의 삶에서 최선의 선택을 내리며 경제적 명제들을 구현해 나갑니다. 경제학자들은 이처럼 일상에서 이루어지는 합리적인 행동들을 수학적 모형으로 기술하여, 사회가 어떻게 효율적으로 작동하는지 설명하고 경쟁에서 도태되지 않는 방법을 연구합니다. 경제학적 사고의 유용성은 스포츠나 국가 경영 등 다양한 분야에서 증명됩니다. 영화 '머니볼'의 사례처럼, 적은 예산으로도 통계적 분석을 통해 저평가된 선수를 발굴함으로써 거대 자본을 가진 팀과 대등하게 경쟁할 수 있습니다. 이는 단순히 돈을 버는 문제를 넘어, 한정된 자원을 어떻게 배분해야 최소의 비용으로 최대의 효과를 낼 수 있는지에 대한 해답을 제시합니다. 국가의 성패 역시 이러한 경제학적 원리를 얼마나 적절히 적용하느냐에 따라 그 격차가 벌어지게 됩니다. 현대 경제학은 게임 이론을 통해 기업 간 경쟁이나 국가 간 외교 전략 등 복잡한 의사결정 과정을 분석합니다. 비록 현실의 모든 변수를 수학적으로 완벽하게 통제하기는 어렵지만, 게임 이론은 전략적 상황에서 발생할 수 있는 경우의 수를 체계적으로 열거하고 예측하는 데 큰 도움을 줍니다. 수학이라는 정교한 도구와 인간 사회에 대한 깊은 통찰이 결합할 때, 경제학은 불확실한 미래를 대비하고 더 나은 사회를 설계하는 나침반이 되어줄 것입니다. 학문의 발전은 계속해서 새로운 영역을 탐구하며 진화하고 있습니다.

김두얼, 한순구

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수학
융합

[강연] 게임이론 - 인간의 행동을 예측하다 (1) _ by한순구 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 6강 | 6강 ①

우주의 기원에 대한 탐구는 인류 역사상 가장 오래된 질문 중 하나입니다. 우리는 어디에서 왔으며, 이 거대한 우주는 어떻게 시작되었는지에 대한 해답을 찾기 위해 끊임없이 노력해 왔습니다. 현대 과학은 이 질문에 대해 '빅뱅 이론'이라는 강력한 설명을 제시합니다. 약 138억 년 전, 상상할 수 없을 만큼 작고 뜨거운 한 점에서 시작된 빅뱅은 시간과 공간, 그리고 물질의 탄생을 알리는 서막이었습니다. 이러한 과학적 통찰은 단순한 호기심을 넘어 존재의 근원을 이해하는 핵심적인 열쇠가 됩니다. 빅뱅 직후의 우주는 극도로 높은 에너지 상태였으며, 우리가 현재 알고 있는 물리 법칙들이 하나로 통합되어 있었습니다. 우주가 팽창하며 온도가 낮아짐에 따라 중력, 강력, 약력, 전자기력이라는 네 가지 기본 상호작용이 차례로 분리되었습니다. 이 과정은 우주의 구조를 결정짓는 결정적인 순간들이었으며, 물질이 존재할 수 있는 기초적인 환경을 조성했습니다. 초기 우주의 급격한 팽창인 인플레이션 이론은 오늘날 우리가 관측하는 우주의 균일성과 평탄성을 설명하는 데 중요한 역할을 합니다. 우주가 탄생하고 아주 짧은 시간이 흐른 뒤, 쿼크와 경입자 같은 기본 입자들이 등장하기 시작했습니다. 초기에는 너무 뜨거워 입자들이 결합하지 못하고 에너지가 소용돌이치는 상태였으나, 온도가 점차 내려가면서 쿼크들이 결합하여 양성자와 중성자를 형성했습니다. 이는 물질세계를 구성하는 가장 기본적인 벽돌이 만들어진 셈입니다. 이 시기의 역동적인 변화는 우주가 단순한 에너지의 집합체에서 구체적인 형태를 갖춘 물질의 세계로 진화해 나가는 중요한 전환점이 되었습니다. 빅뱅 후 약 3분 정도가 지났을 때, 우주의 온도는 핵융합이 일어날 수 있을 만큼 낮아졌습니다. 이때 수소 원자핵들이 결합하여 헬륨 원자핵이 만들어졌으며, 이는 오늘날 우주에 존재하는 원소 비율의 기초가 되었습니다. 그로부터 약 38만 년이 지나 우주가 충분히 식었을 때, 빛이 물질의 방해를 받지 않고 직진할 수 있게 된 '우주배경복사'가 발생했습니다. 이 빛은 오늘날 우리가 관측할 수 있는 가장 오래된 흔적으로, 초기 우주의 상태를 고스란히 간직한 화석과도 같은 존재입니다. 현대 물리학이 밝혀낸 우주의 역사는 인간의 지성이 도달한 위대한 성취 중 하나입니다. 우리는 아주 작은 입자들의 상호작용을 통해 거대한 은하와 별, 그리고 생명체의 기원을 추적할 수 있게 되었습니다. 하지만 여전히 암흑물질이나 암흑에너지와 같이 우리가 풀지 못한 숙제들이 많이 남아 있습니다. 우주의 기원을 연구하는 것은 단순히 과거를 돌아보는 일이 아니라, 우리가 살고 있는 세계의 본질을 이해하고 미래를 향한 새로운 지평을 여는 과정입니다. 과학은 오늘도 그 신비로운 베일을 하나씩 벗겨내고 있습니다.

한순구

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수학
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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (6) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ⑥

수학은 단순한 계산의 도구가 아니라, 물리적 세계만큼이나 실재하는 또 하나의 우주입니다. 연구자가 새로운 수학적 논리를 증명해낼 때 느끼는 감정은 무언가를 새로 만들어낸다는 성취감보다는, 이미 존재하던 진리를 처음으로 '발견'했다는 경이로움에 가깝습니다. 로저 펜로즈가 주장했듯, 우리에게는 물리적 세계와 정신적 세계 외에도 수학적 세계가 실재하며, 이는 우주를 탐험하는 것과 같은 가치를 지닙니다. 수학은 우리가 발을 딛고 있는 현실을 넘어, 보이지 않는 세계의 그림을 그려내는 강력한 렌즈가 되어줍니다. 우리가 흔히 접하는 실수는 사실 복소수라는 더 거대하고 완벽한 수 체계의 단편적인 그림자에 불과합니다. 고등학교 과정에서 배우는 허수는 단순히 '존재하지 않는 수'가 아니라, 수학적 현상을 온전히 이해하기 위해 반드시 필요한 본질적인 요소입니다. 많은 수학적 현상들은 복소수의 관점에서 바라볼 때 비로소 그 진면목을 드러내며, 실수의 세계에서는 보이지 않던 복잡한 인과관계가 명확해집니다. 이처럼 더 넓은 수 체계로 시야를 확장하는 것은 현상의 본질을 꿰뚫어 보는 수학적 통찰의 핵심이라 할 수 있습니다. 수학적 엄밀함은 물리적으로 관측할 수 없는 영역을 탐구하는 유일한 무기가 되기도 합니다. 대표적인 예로 블랙홀 내부의 사건을 다루는 '강한 우주 검열 가설'을 들 수 있습니다. 빛조차 빠져나올 수 없어 직접적인 관측이 불가능한 블랙홀 내부에서도 아인슈타인 방정식은 여전히 성립하며, 수학자들은 이 방정식을 끝까지 밀어붙여 그 안에서 벌어지는 일들을 논리적으로 규명해냅니다. 이는 보이지 않는 실체를 수학적으로 증명함으로써 역으로 물리적 의미를 찾아내는 과정이며, 인간의 지성이 도달할 수 있는 극한의 탐구 영역입니다. 차원에 대한 인식은 인류 역사와 함께 진화해 왔습니다. 고대 그리스의 플라톤과 소크라테스는 이미 평면 기하학과 공간 기하학의 차이를 명확히 인지하고 있었으며, 당장의 실용성을 넘어 공간 기하학 교육의 중요성을 강조했습니다. 이후 19세기에 이르러 리만은 3차원을 넘어선 고차원의 개념을 수학적으로 정립하며 가우스조차 놀라게 한 혁신을 이루어냈습니다. 시간과 공간을 통합적으로 바라보는 현대의 관점은 이러한 기하학적 사고의 확장이 있었기에 가능했으며, 이는 우리가 우주를 이해하는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 순수 수학의 가치는 당장의 응용성보다는 진리에 대한 갈망과 아름다움의 추구에 있습니다. 수학은 예술과 과학의 경계에서 우리 세계의 한계가 어디인지 가르쳐주는 역할을 합니다. 바다를 가보지 않고는 육지의 끝을 알 수 없듯이, 수학을 통해 더 넓은 고차원의 세계를 경험함으로써 비로소 우리가 사는 현실의 경계를 명확히 인식할 수 있습니다. 로봇 팔의 움직임부터 우주의 곡률까지, 수학은 복잡한 현상 속에 숨겨진 질서를 발견하고 새로운 기하학적 의미를 부여하며 인류의 지평을 끊임없이 넓혀가고 있습니다.

오성진, 황준묵

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (5) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ⑤

수학자 민코프스키는 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 접하고 이것이 단순한 물리 이론을 넘어선 새로운 기하학임을 직관했습니다. 그는 유클리드 기하학이 다루는 3차원 공간에 시간이라는 축을 더해 4차원 시공간의 개념을 정립했습니다. 이러한 시공간 기하학의 등장은 우리가 우주를 바라보는 관점을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 물리적 실체에 대한 새로운 정의를 내리게 했습니다. 그는 수학적 논리를 통해 우주의 구조를 새롭게 규정하며 기하학적 통합의 시대를 열었습니다. 일반 상대성 이론은 중력을 시공간의 휘어짐으로 해석하며 비유클리드 기하학의 원리를 물리 세계에 도입했습니다. 유클리드 기하학에서는 평행한 두 직선이 영원히 만나지 않지만, 중력이 작용하는 시공간에서는 이 평행선들이 서로 교차하게 됩니다. 아인슈타인은 물체들이 서로 끌어당기는 현상을 공간 자체가 휘어져 나타나는 기하학적 결과로 보았습니다. 즉, 중력이란 거대한 질량이 시공간의 지도를 바꾸어 놓음으로써 발생하는 자연스러운 흐름인 셈이며, 이는 우주의 구조를 이해하는 핵심 열쇠가 되었습니다. 아인슈타인 방정식은 시공간의 휘어짐과 물질의 분포 사이의 관계를 수학적으로 명확하게 규정합니다. 방정식의 좌변은 리만 곡률을 통해 시공간이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내고, 우변은 에너지-운동량 분포를 보여줍니다. 이 간결한 한 줄의 식 안에는 블랙홀의 탄생부터 우주의 팽창인 빅뱅에 이르기까지 우주 삼라만상의 물리 법칙이 모두 응축되어 있습니다. 이는 물리적 현상이 수학적 언어를 통해 얼마나 아름답고 정교하게 표현될 수 있는지를 보여주는 정수라 할 수 있으며, 현대 물리학의 가장 위대한 성취 중 하나로 꼽힙니다. 스티븐 호킹과 로저 펜로즈는 아인슈타인 방정식이 단순히 이론적인 가설에 그치지 않음을 수학적으로 증명해 냈습니다. 그들은 '호킹-펜로즈 특이점 정리'를 통해 블랙홀이나 빅뱅과 같은 특이점이 우주에 실제로 존재할 수밖에 없음을 논리적으로 밝혀냈습니다. 초기 과학자들은 특이점을 계산상의 오류나 특수한 사례로 치부하려 했으나, 호킹과 펜로즈는 이것이 물리 세계의 안정적인 구조임을 입증했습니다. 이들의 연구는 현대 우주론이 수학적 토대 위에서 더욱 견고해지는 계기가 되었으며, 인류가 우주의 기원을 탐구하는 데 결정적인 기여를 했습니다. 수학과 물리학은 서로에게 영감을 주며 발전해 온 밀접한 동반자 관계입니다. 19세기에 탄생한 리만 기하학이 당시에는 순수 수학적 유희로 여겨졌으나 훗날 일반 상대성 이론의 핵심 도구가 된 것처럼, 수학적 상상력은 때로 시대를 앞서 나갑니다. 반대로 물리학적 직관은 수학자들에게 새로운 탐구의 방향을 제시하며 논리적 한계를 뛰어넘는 충격적인 발견을 이끌어내기도 합니다. 당장 응용되지 않는 것처럼 보이는 고도의 수학이라 할지라도, 그것은 미래의 우주를 이해하는 가장 강력한 열쇠가 될 잠재력을 품고 있으며, 인류의 지적 지평을 넓히는 원동력이 됩니다.

오성진, 황준묵

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (1) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ①

기원전 300년경 유클리드가 집대성한 '유클리드 원론'은 인류 지성사에 거대한 이정표를 세운 고전입니다. 이 책이 혁신적이었던 이유는 단순히 도형의 성질을 나열한 것이 아니라, 다섯 가지 공리라는 최소한의 약속으로부터 모든 명제를 논리적으로 이끌어내는 체계를 구축했기 때문입니다. 오늘날 우리가 배우는 수학의 논리적 구조는 바로 이 유클리드적 전통에 뿌리를 두고 있습니다. 당연해 보이는 사실조차 엄밀한 증명을 통해 확인하려는 태도는 학문으로서의 수학이 시작되는 지점이었습니다. 유클리드의 다섯 가지 공리 중 마지막인 '평행선 공리'는 앞선 네 개의 공리에 비해 문장이 복잡하고 직관적으로 덜 당연해 보였습니다. 이 때문에 수많은 수학자는 2,000년 동안 이 공리가 다른 공리들로부터 증명될 수 있는 정리일 것이라 믿고 매달렸습니다. 흥미로운 점은 우리가 잘 아는 피타고라스의 정리 역시 이 평행선 공리와 수학적으로 동치라는 사실입니다. 즉, 평행선 공리를 부정하면 우리가 당연하게 여겼던 삼각형의 성질들도 완전히 다른 모습으로 변하게 되며, 이는 기하학의 새로운 가능성을 시사합니다. 서기 500년경 철학자 보에티우스는 유클리드 원론을 번역하며 바쁜 세상에 증명이 무슨 소용이냐는 생각으로 증명 과정을 모두 생략했습니다. 이후 유럽은 약 600년 동안 증명 없는 기하학을 공부했는데, 이 시기는 공교롭게도 문명의 발달이 정체되었던 '암흑시대'와 겹칩니다. 이는 수학에서 증명이 단순히 정답을 확인하는 수단이 아니라, 사고의 논리적 엄밀함을 유지하고 새로운 지적 지평을 여는 핵심적인 동력임을 우리에게 시사하고 있습니다. 19세기 초, 가우스와 볼리아이, 로바체프스키는 평행선 공리가 성립하지 않으면서도 논리적으로 완벽한 '비유클리드 기하학'의 존재를 세상에 알렸습니다. 푸앵카레의 반평면 모델처럼 직선이 반원의 형태를 띠는 기이한 공간에서도 유클리드의 초기 공리들은 여전히 유효하게 작동합니다. 이러한 발견은 평행선 공리가 다른 공리들로부터 유도될 수 없음을 확증했을 뿐만 아니라, 우리가 발을 딛고 있는 평평한 유클리드 공간이 우주의 유일한 진리가 아님을 깨닫게 해주었습니다. 비유클리드 기하학의 등장은 공간에 대한 인류의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 이전까지 공간은 칸트의 철학처럼 우리에게 선험적으로 주어진 단 하나의 절대적인 틀이었으나, 이제는 연구 대상에 따라 다양하게 정의될 수 있는 수학적 대상이 되었습니다. 이는 아프리카 평원에 살던 이들이 바다와 산의 존재를 처음 알게 된 것과 같은 거대한 지적 확장이었습니다. 비유클리드 공간은 기괴한 예외가 아니라 훨씬 더 일반적인 세계이며, 유클리드 공간은 그중 아주 특수한 사례일 뿐입니다.

황준묵

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수학

[강연] 디지털인문학과 데이터과학 (5) _ by장원철 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 4강 | 4강 ⑤

통계적 분석에서 불확실성을 관리하는 것은 매우 중요한 과제입니다. 특정 저자의 집필 습관을 분석할 때처럼 복잡한 문제에서도 통계적 검증은 유의 수준이라는 기준을 활용하여 결론의 신뢰도를 평가합니다. 예를 들어 유의 수준을 5%로 설정한다는 것은 동일한 테스트를 스무 번 반복했을 때 한 번 정도는 다른 결과가 나올 수 있는 불확실성을 허용한다는 의미입니다. 이는 통계학이 완벽한 정답을 제시하는 학문이라기보다, 데이터 속에 숨겨진 패턴을 발견하면서도 그 과정에 수반되는 오류의 가능성을 수치적으로 정의하고 관리하는 실용적인 학문임을 보여줍니다. 데이터 과학은 현대 사회의 복잡한 문제를 해결하기 위해 수학, 컴퓨터 과학, 그리고 도메인 지식이 결합된 융합 학문입니다. 전통적인 수학이 공리적 체계를 바탕으로 증명을 쌓아 올리는 방식이라면, 통계학은 실제 현장의 문제로부터 출발하여 실용적인 해결책을 모색하는 데 초점을 맞춥니다. 훌륭한 데이터 과학자가 되기 위해 모든 분야에서 완벽할 필요는 없지만, 자신의 강점을 바탕으로 타 분야 전문가와 소통할 수 있는 능력이 필수적입니다. 마치 좋은 요리 기구가 없어도 창의적인 레시피로 맛있는 음식을 만들 수 있듯이, 데이터 과학 역시 주어진 환경에서 최선의 통계적 통찰을 끌어내는 과정이라 할 수 있습니다. 통계학자의 핵심적인 역할 중 하나는 다양한 학문 분야의 거대한 질문을 통계적인 언어로 번역하는 것입니다. 천문학자가 우주의 팽창 속도에 대해 질문하거나 의사가 질병의 위험성을 예측하고자 할 때, 통계학자는 이를 시공간 데이터 분석이나 베이지안 모델링 같은 구체적인 수리적 문제로 변환합니다. 이 과정에서 통계학자는 다른 분야의 전문가들과 끊임없이 소통하며 데이터의 형태를 조율하고 모델의 적합성을 설득하는 과정을 거칩니다. 이러한 협업은 통계학이 단순히 숫자를 다루는 기술을 넘어, 현대 과학의 여러 분야를 연결하고 실질적인 의사결정을 돕는 중추적인 역할을 수행하게 합니다. 빅데이터 시대에 접어들면서 사회 현상 분석에 대한 기대가 높아지고 있지만, 예측의 성공 여부를 판단하는 기준은 매우 신중해야 합니다. 인공지능이나 구글 트렌드 같은 새로운 도구들이 주목받기도 하지만, 여전히 정교한 통계적 방법론을 활용한 분석이 더 높은 신뢰성을 보여주는 경우가 많습니다. 수많은 데이터 속에서 유의미한 신호를 찾아내는 것은 건초더미에서 바늘을 찾는 것과 같으며, 이 과정에서 발생하는 수많은 '거짓 경보'를 걸러내는 것이 통계학의 본질적인 과제입니다. 단순히 표면적인 결과를 맞혔느냐보다 분석 모델이 얼마나 정밀하게 현상을 설명하느냐가 중요합니다. 예측 모델의 오류를 완전히 제거하는 것은 불가능에 가깝기에, 통계학에서는 오차를 최소화하고 모델의 성능을 객관적으로 검증하는 방법을 사용합니다. 데이터를 학습 및 테스트 데이터로 나누어 모델의 예측력을 확인하는 교차 검증 방식이 대표적입니다. 이러한 방법론은 넷플릭스의 영화 추천 시스템부터 범죄 발생 가능 지역을 예측하는 치안 서비스에 이르기까지 우리 생활 곳곳에 적용되고 있습니다. 특히 시간과 공간이 결합된 범죄 패턴을 분석하여 순찰 경로를 최적화하는 사례는 통계학이 사회 안전을 지키는 실천적인 도구로 어떻게 진화하고 있는지를 잘 보여줍니다.

임채영, 장원철

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[강연] 자연에 숨어 있는 질서를 찾아서 (7) _ by하승열 | 2018 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 2강 | 2강 ⑦

최근 우리나라의 기초과학 분야는 눈부신 발전을 거듭하며 세계적인 수준에 도달했습니다. 특히 물리학이나 수학 같은 기초 학문 분야에서는 국내에서 학위를 마친 연구자들도 탁월한 연구 성과를 내놓고 있습니다. 과거에는 해외 유학이 필수적인 과정으로 여겨졌으나, 이제는 국내 연구 환경에서도 충분히 높은 경쟁력을 갖춘 인재들이 배출되고 있습니다. 이러한 변화는 우리 과학계의 자생력이 강화되었음을 보여주는 고무적인 현상이며, 앞으로의 발전 가능성을 더욱 밝게 비추고 있습니다. 자연이나 사회 현상에서 나타나는 군집 현상을 이해하려는 노력은 새로운 기술적 시도로 이어지고 있습니다. 평창 동계 올림픽에서 선보인 드론 쇼는 군집 현상을 공학적으로 구현한 대표적인 사례입니다. 아직은 이러한 기술이 다양한 제품이나 상품군으로 상용화된 사례가 많지 않지만, 드론을 활용한 불꽃놀이와 같은 창의적인 아이디어들이 제안되고 있습니다. 예술과 기술이 결합한 이러한 시도들은 군집 연구가 실생활에 응용될 수 있는 무궁무진한 가능성을 제시하며 대중의 관심을 끌고 있습니다. 산업 수학의 부상은 수학자가 단순히 계산을 돕는 보조적 역할을 넘어 새로운 패러다임을 주도할 수 있음을 보여줍니다. 위상적 데이터 분석이라 불리는 TDA의 사례처럼, 수학적 이론은 데이터의 본질을 파악하는 강력한 도구가 됩니다. 뛰어난 아이디어를 가진 수학자와 이를 상업화할 수 있는 감각을 지닌 전문가가 협력할 때, 학문적 성과는 비로소 산업적 가치로 전환됩니다. 이는 기초 학문이 현대 산업의 복잡한 문제를 해결하는 핵심적인 동력이 될 수 있음을 시사하며 수학의 위상을 높이고 있습니다. 순수 수학과 응용 수학의 경계는 우리가 생각하는 것보다 훨씬 모호하며 서로 긴밀하게 연결되어 있습니다. 1900년대 초반 수학자들이 순수한 호기심으로 연구했던 이론들이 오늘날 컴퓨터 시뮬레이션이나 데이터 분석의 핵심 기술로 쓰이고 있습니다. 당시에는 컴퓨터라는 개념조차 없었지만, 시대를 앞서간 수학적 통찰이 수십 년 뒤 산업의 필수적인 도구가 된 것입니다. 따라서 당장의 유용성을 따지기보다 학문 그 자체의 깊이를 추구하는 것이 결국 미래의 혁신을 위한 가장 단단한 밑거름이 됩니다. 수학적 모델링은 수학이 단순한 숫자의 나열이 아니라 세상을 설명하는 과학의 언어임을 증명합니다. 연구 과정에서 마주하는 수많은 난관과 증명의 어려움은 연구자에게 고통을 주기도 하지만, 이를 극복하고 얻어낸 결과는 무엇과도 바꿀 수 없는 보람을 선사합니다. 좋은 수학은 언젠가 반드시 유용하게 쓰일 것이라는 믿음 아래 묵묵히 연구에 매진하는 태도가 중요합니다. 이러한 끈기 있는 탐구 정신이야말로 기초과학이 인류 문명에 기여하는 가장 근본적인 방식이며 연구자가 지녀야 할 진정한 가치입니다.

배형옥, 하승열

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[강연] 자연에 숨어 있는 질서를 찾아서 (1) _ by하승열 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 2강 | 2강 ①

수학은 흔히 추상적이고 난해한 학문으로 여겨지지만, 사실 우리 삶과 자연의 질서를 이해하는 가장 강력한 도구입니다. 많은 이들이 학창 시절 수학을 공부하며 이 학문을 어디에 쓸 수 있을지 고민하곤 합니다. 하지만 수학은 공학이나 물리학 등 다양한 분야로 뻗어 나갈 수 있는 기초 체력을 제공합니다. 특히 실험에 소질이 없더라도 논리적인 사고와 수식만으로 세상의 원리를 탐구할 수 있다는 점은 수학만이 가진 독특한 매력입니다. 고등학교 시절 선생님의 조언처럼 수학을 먼저 공부하면 나중에 더 많은 일을 할 수 있다는 말은, 복잡한 현대 사회를 살아가는 우리에게 여전히 유효한 통찰을 제공합니다. 자연의 아름다움 속에는 우리가 미처 깨닫지 못한 정교한 질서가 숨어 있습니다. 스페인의 몬세라트 산이나 이탈리아의 해안 절벽처럼 경이로운 풍경들은 단순한 우연의 산물이 아닙니다. 천재 건축가 안토니 가우디는 자연의 모든 것이 곡선적이라는 사실에 주목하여, 당시의 직선적인 고딕 양식에서 탈피한 혁신적인 건축물들을 남겼습니다. 가우디가 추구했던 유기적인 형태는 자연이 가진 본연의 모습을 투영한 것이며, 이는 우리가 자연을 관찰할 때 느끼는 경외감의 원천이기도 합니다. 이러한 자연의 복잡한 곡선과 형태를 이해하려는 노력은 결국 과학과 수학의 탐구로 이어지게 됩니다. 수학은 자연의 현상을 설명하는 과학의 언어 역할을 수행합니다. 과학자들은 복잡한 자연 현상을 관찰한 뒤 이를 방정식으로 표현하는 '모델링' 과정을 거칩니다. 시간이 연속적으로 흐른다고 가정하는 상미분방정식이나, 시간을 이산적으로 파악하는 차분방정식 등이 대표적인 도구입니다. 이러한 수식들을 엄밀하게 증명하고 시뮬레이션하는 과정은 복잡한 시스템의 변화를 추적하는 핵심적인 단계가 됩니다. 이를 통해 우리는 눈에 보이지 않는 자연의 법칙을 구체적인 수치로 확인하고, 현상의 이면에 숨겨진 원리를 논리적으로 규명할 수 있는 힘을 얻게 됩니다. 우리가 살아가는 세상은 수많은 요소가 서로 얽혀 상호작용하는 '복잡계' 시스템입니다. 태양계의 행성 운동부터 도로 위의 교통 흐름, 그리고 우리 뇌 속 뉴런의 활동에 이르기까지 모든 것은 독립적으로 존재하지 않습니다. 이러한 복잡계에서는 개별 요소들의 합보다 더 큰 효과가 나타나는 '집단 현상'이 발생하곤 합니다. 새 떼의 군집 비행인 플로킹(Flocking)이나 여러 요소가 박자를 맞추는 동기화 현상이 그 예입니다. 서로 간의 긴밀한 관계와 협력을 통해 무질서 속에서 새로운 질서가 출현하는 과정은 복잡계 연구의 핵심이며, 이는 단순한 산술적 계산을 넘어선 관계의 중요성을 우리에게 일깨워 줍니다. 과거 영화 속 상상에 불과했던 자율주행 자동차나 하늘을 나는 이동 수단은 이제 현실로 다가오고 있습니다. 이러한 기술적 진보의 이면에는 복잡한 시스템 내의 무질서, 즉 카오스 속에서 질서를 찾아내려는 수학적 노력이 깃들어 있습니다. 최근에는 기계공학이나 통계학 등에서 각광받는 '불확실성 정량화(UQ)'라는 분야를 통해 예측 불가능한 변수들을 수학적으로 관리하려는 시도가 활발히 이루어지고 있습니다. 자연 속에 숨겨진 질서를 찾고 이를 기술로 구현하는 과정은 인류의 삶을 더욱 풍요롭게 만들 것입니다. 수학은 결국 미래를 여는 열쇠이자, 복잡한 세상을 이해하는 가장 정교한 지도입니다.

하승열

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[강연] 세상 속의 수數다 (4) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ④

수학 연구의 과정은 끊임없는 사고의 반복입니다. 문제를 마주하고 고민하며 다양한 방식으로 응용해 보는 시간은 길지만, 정작 해답을 찾아냈을 때 느끼는 행복은 찰나에 불과합니다. 하지만 이러한 인고의 과정은 비단 수학에만 국한되지 않습니다. 모든 학문적 연구와 기업의 업무 역시 비슷한 흐름을 가집니다. 중요한 것은 그 짧은 기쁨의 순간을 동력 삼아 다시 새로운 문제로 뛰어드는 열정입니다. 이러한 반복 속에서 우리는 학문적 가치를 발견하며 삶의 보람을 채워나갑니다. 이론 과학의 메카로 불리는 프린스턴 고등연구소는 아인슈타인과 폰 노이만 같은 위대한 과학자들이 머물렀던 곳입니다. 이곳은 겉으로 보기에는 매우 한적하고 평화로운 분위기를 자아내지만, 그 이면에는 지독하리만큼 치열한 학문적 탐구가 자리 잡고 있습니다. 연구자들이 누리는 여유는 단순히 쉬는 것이 아니라, 깊은 사고에 몰입할 수 있는 최적의 환경을 의미합니다. 치열함과 여유가 공존하는 이 특별한 공간은 새로운 이론이 탄생하는 밑거름이 되며, 현대 과학의 발전을 이끄는 중요한 축이 됩니다. 수학적 성취를 이루는 데 있어 재능과 노력 중 무엇이 더 중요한지에 대한 논의는 늘 뜨겁습니다. 일부 학자들은 수학에서 가장 중요한 재능으로 상상력을 꼽습니다. 논리적 사고나 계산력은 훈련을 통해 어느 정도 습득할 수 있지만, 기존의 틀을 깨는 획기적인 아이디어는 타고난 상상력에서 비롯된다는 시각입니다. 영화 '인셉션'의 감독이 보여준 창의성처럼, 수학 역시 무한의 크기를 비교하거나 새로운 체계를 설계할 때 고도의 상상력을 필요로 합니다. 이는 단순히 공식을 외우는 것 이상의 차원입니다. 흔히 노력형 수학자로 알려진 이들조차 사실은 엄청난 재능을 겸비한 경우가 많습니다. 수학은 알면 알수록 자신의 부족함을 깨닫게 만드는 학문이기에, 고수들 사이에서도 늘 겸손함을 유지하게 됩니다. 유명한 수학자들은 잠자는 시간을 제외한 거의 모든 일상을 수학적 사고에 할애하며, 이를 고통이 아닌 삶의 일부로 받아들입니다. 천재성이라는 바탕 위에 쉼 없는 노력이 더해질 때 비로소 인류의 지성사를 바꿀 위대한 업적이 탄생합니다. 결국 수학은 재능과 노력이 정교하게 맞물려 돌아가는 예술과도 같습니다. 아이들의 수학적 재능을 키워주기 위해서는 정답을 맞히는 것보다 문제를 가지고 노는 경험이 중요합니다. 다리 개수를 맞히는 간단한 퀴즈를 풀 때도 연립방정식 같은 공식을 강요하기보다, 스스로 그림을 그리며 추론할 시간을 충분히 주어야 합니다. 때로는 일부러 틀린 조건의 문제를 제시하여 아이가 논리적 모순을 스스로 발견하게 유도하는 것도 좋은 방법입니다. 이러한 과정에서 아이들은 홀수와 짝수의 개념을 자연스럽게 깨닫고 사고의 유연성을 기릅니다. 여유로운 대화 속에서 이루어지는 탐구는 수학을 즐거운 놀이로 인식하게 만듭니다.

고계원

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[강연] 세상 속의 수數다 (1) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ①

피타고라스는 '모든 것은 수다'라는 유명한 말을 남겼습니다. 이 철학적 명제는 단순히 숫자의 나열을 넘어 세상의 모든 현상이 수학적 원리로 연결되어 있음을 시사합니다. 우리가 마주하는 복잡한 자연 현상부터 사회적 관계에 이르기까지, 수학은 보이지 않는 곳에서 질서를 부여하고 세상을 이해하는 핵심적인 열쇠가 됩니다. 이번 강연 시리즈는 이러한 수학의 편재성을 탐구하며, 대중이 수학을 더 가깝고 친숙하게 느낄 수 있도록 기획되었습니다. 수학 대중화의 여정은 과거 '유리알 유희'라는 주제로 시작되었습니다. 이는 고고한 학문의 상아탑에서 내려와 현실 세계의 문제를 해결하고자 하는 의지를 담고 있었습니다. 시간이 흐르며 이러한 시도는 과학 전 분야로 확장되었고, 이제는 수학이 우리 삶에 미치는 심도 깊은 영향력을 다각도에서 조명하고 있습니다. 학문적 경계를 허물고 대중과 소통하려는 노력은 수학이 단순한 계산 도구가 아니라 세상을 바라보는 하나의 거대한 관점임을 일깨워 줍니다. 현대 수학은 리만 가설과 같은 고전적인 난제부터 데이터 과학, 게임 이론, 생명 수학에 이르기까지 방대한 영역을 아우릅니다. 특히 복잡한 사회 현상을 단순한 수학적 모델로 변환하여 분석하는 과정은 수학의 진정한 가치를 보여줍니다. 아인슈타인의 상대성 이론의 토대가 된 비유클리드 기하학이나 인공지능의 핵심인 알고리즘 역시 수학적 사고의 산물입니다. 이처럼 수학은 기초 학문을 넘어 첨단 기술과 사회 과학의 근간을 이루며 인류의 지평을 넓히고 있습니다. 수학적 개념은 학술적인 영역을 넘어 대중문화 속에서도 강력한 메시지를 전달합니다. 대중가요의 가사 속에 등장하는 '무한'이나 'DNA'와 같은 용어들은 과학적 원리가 우리 정서와 얼마나 밀접하게 맞닿아 있는지를 보여주는 좋은 사례입니다. 과학적 지식을 예술적 감성과 결합할 때 그 메시지는 더욱 강력한 힘을 발휘하며 대중에게 깊은 인상을 남깁니다. 이는 수학이 딱딱한 공식의 집합이 아니라, 우리의 상상력을 자극하고 세상을 표현하는 풍부한 언어임을 증명합니다. 실생활에서 수학의 힘이 가장 극명하게 드러나는 분야 중 하나는 바로 선거와 투표 시스템입니다. 투표 방식에 따라 승자가 바뀌는 현상은 수학적 구조가 사회적 의사결정에 얼마나 결정적인 영향을 미치는지 잘 보여줍니다. 단순히 표를 합산하는 방식을 넘어, 선호 순위를 반영하거나 특정 후보의 사퇴가 결과에 미치는 영향을 분석하는 과정에는 정교한 수학적 논리가 숨어 있습니다. 따라서 수학적 마인드를 갖추는 것은 복잡한 사회 현상을 정확히 파악하고 합리적인 선택을 내리는 데 필수적입니다.

고계원

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[강연] 2014 카오스 콘서트 수학의 본질 - '수' (1) | 1강

수학은 현대 문명의 기초이자 창조 경제의 핵심 동력으로 주목받고 있습니다. 특히 대한민국이 '수학의 해'로 선포되고 서울에서 세계수학자대회가 개최되었던 시기는 수학에 대한 사회적 관심이 그 어느 때보다 뜨거웠습니다. 이러한 흐름 속에서 열린 지식 나눔 콘서트는 수학의 본질을 탐구하고 대중과 소통하는 소중한 장이 되었습니다. 수많은 인파가 몰린 현장의 열기는 수학이 단순히 입시를 위한 도구가 아니라, 세상을 이해하는 깊이 있는 학문으로서 우리 곁에 살아 숨 쉬고 있음을 증명해 주었습니다. 우리는 일상에서 '수'를 공기처럼 당연하게 사용하지만, 막상 그 본질이 무엇인지 질문을 받으면 당혹감을 느끼곤 합니다. 예를 들어 펭귄 다섯 마리, 꽃 다섯 송이, 컵 다섯 개라는 서로 다른 대상에서 우리는 '다섯'이라는 공통점을 찾아냅니다. 외형이나 속성이 전혀 다른 물건들 사이에서 오직 수량이라는 추상적인 개념만을 추출해내는 과정은 수학적 사고의 시작이라고 할 수 있습니다. 이처럼 구체적인 사물의 형태를 지우고 남은 순수한 개념으로서의 수를 이해하는 것이 바로 수학의 본질에 다가가는 첫 번째 걸음입니다. 고대 수학의 선구자인 피타고라스는 '만물은 수이다'라는 명언을 남기며 수의 신비로움을 종교적인 차원까지 끌어올렸습니다. 당시 사람들은 수 그 자체의 추상성을 온전히 받아들이기 어려웠기에, 각 숫자에 구체적인 의미를 부여하여 이해하려 노력했습니다. 예를 들어 1은 이성, 2는 여성, 3은 남성, 5는 결혼이나 창조의 수라고 규정하는 식이었습니다. 이는 수라는 추상적 존재를 우리가 일상에서 느끼는 구체적인 성질이나 사물과 연결 지어 파악하고자 했던 인류의 초기 고뇌를 잘 보여주는 대목입니다. 시대가 흐르면서 인류는 수를 사물에 억지로 연결하지 않고도 그 자체로 사유할 수 있는 능력을 갖추게 되었습니다. 데카르트 시대를 거치며 수학적 방법론은 더욱 정교해졌고, 수는 점차 확고한 독립적 개념으로 자리 잡았습니다. 현대의 우리는 숫자를 써놓고 그것이 무엇인지 구체적으로 설명하지 못하면서도 이를 자유자재로 활용합니다. 이는 수의 본질에 대한 철학적 고민이 학문의 기초로 내재화되었음을 의미합니다. 추상화된 수의 개념은 이제 과학적 논리의 바탕이 되어 복잡한 세상을 설명하는 강력한 도구가 되었습니다. 수학의 본질은 단순히 숫자를 세는 것에 그치지 않고, 자연의 법칙을 설명하는 언어로서 그 진가를 발휘합니다. 뉴턴의 운동 법칙에서 힘과 질량, 가속도의 관계를 수식으로 표현하는 것처럼, 수학은 물리적 현상을 명쾌한 논리로 정리해 줍니다. 현대 과학의 눈부신 발전은 수라는 추상적 도구를 통해 우주의 질서를 파악하려 했던 끊임없는 시도의 결과물입니다. 결국 수학을 공부한다는 것은 세상을 바라보는 새로운 눈을 갖는 것이며, 보이지 않는 질서를 찾아내는 창조적 영감의 과정이라고 할 수 있습니다.

김민형

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[강연] 2012 카오스 콘서트 '유리알유희' 4강 | 3강 ②

수학자 김민형 교수는 독특한 교육적 배경을 가지고 있습니다. 초중고 졸업장 없이 홈스쿨링을 거친 그는 집에서 음악을 듣고 자유롭게 시간을 보냈던 경험이 수학적 사고의 밑거름이 되었다고 회상합니다. 물론 입시 공부나 사회적 관계 형성에서 어려움을 겪기도 했지만, 이러한 자유로운 환경은 그에게 선명한 기억과 독창적인 시각을 선물했습니다. 제도권 교육의 틀 밖에서 보낸 시간은 그가 수학이라는 심오한 세계를 탐구하는 데 있어 자신만의 속도를 유지하게 해준 소중한 자산이 되었습니다. 한국과 영국의 교육 시스템은 서로 다른 장단점을 지니고 있습니다. 한국은 두꺼운 교재를 바탕으로 철저한 연습과 기초 지식 습득을 강조하는 반면, 영국은 대표 강의 위주로 진행하며 학생 스스로 문제를 해결하는 독립적인 사고력을 중시합니다. 한국 학생들은 탄탄한 기초를 갖추고 있지만 임기응변이 다소 부족할 수 있고, 영국 학생들은 창의적 의지는 강하나 기초 계산 능력이 떨어지는 경우가 있습니다. 두 방식 중 어느 하나가 절대적으로 우월하기보다는 상황에 따라 필요한 기술이 다르다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 한국 학생들의 뛰어난 실력에도 불구하고 필즈상 수상자가 부재했던 이유는 연구 중심 대학의 역사가 짧기 때문입니다. 과거의 교육은 지식 전달 위주였으며, 창의적인 연구 문화가 정착된 지는 얼마 되지 않았습니다. 하지만 현재의 젊은 인재들은 과거보다 훨씬 똑똑하며 세계적인 수준의 경쟁력을 갖추고 있습니다. 이들이 본격적으로 학계에서 활동하며 연구 성과를 쌓아감에 따라, 자연스럽게 세계적인 권위의 상들도 뒤따라올 것입니다. 수학적 역량은 이미 충분하며 이제는 그 결실을 기다리는 단계에 와 있습니다. 학문의 발전은 특정 지역에 집중되기도 하고 전 세계로 분산되기도 합니다. 과거 유럽에서 미국으로, 다시 아시아로 학문의 중심지가 이동하는 경향이 있지만, 중요한 것은 각 나라가 자신만의 특성을 살려 세계 수학계에 기여하는 것입니다. 중앙화된 시스템은 효율적인 교류를 가능케 하고, 분산된 연구는 다양성을 보장합니다. 수학자들은 서로 협조하고 보완하며 학문의 지평을 넓혀갑니다. 세계가 서로 다른 강점을 가지고 발전할 때 수학이라는 거대한 지도는 더욱 풍성하게 채워질 수 있습니다. 순수 수학과 응용 수학, 혹은 융합 학문 사이에서 고민하는 이들에게 중요한 것은 자신의 분야에 충실하면서도 타 학문에 대한 열린 마음을 갖는 것입니다. 추상적인 개념을 다루는 순수 수학은 그 자체로 깊은 가치가 있으며, 다른 분야와 결합할 때 새로운 통찰을 제공합니다. 자신이 하는 일에 전문성을 갖추되 다른 학문의 '팬'이 되어 응원하다 보면 자연스럽게 융합의 기회가 찾아옵니다. 학문의 경계를 허무는 노력은 거창한 선택이 아니라, 주변의 다양한 현상에 호기심을 갖는 것에서 시작됩니다. 수학 실력은 재능의 차이가 있을 수 있으나 기본적으로 투입한 시간에 비례하여 성장하는 함수와 같습니다. 특히 한국 학생들은 고등학교 시절 이미 세계적인 수준의 수학적 훈련을 거치며 높은 평균 실력을 보유하고 있습니다. 스스로 수학을 못 한다고 자책하기보다 자신이 이미 가진 탄탄한 기초를 어떻게 활용할지 고민해야 합니다. 컴퓨터공학이나 생명공학 등 어떤 분야를 전공하더라도 수학적 사고방식은 문제를 해결하는 강력한 무기가 됩니다. 자신감을 가지고 꾸준히 시간을 투자한다면 수학은 인생의 자산이 될 것입니다. 게일-섀플리 알고리즘과 같은 수학적 모델은 복잡한 사회 현상을 단순화하여 핵심적인 구조를 들여다보게 해줍니다. 짝짓기 문제와 같은 인류의 오랜 난제를 수학적으로 분석하는 과정은 현실의 모든 문제를 즉각 해결해주지는 못하지만, 현상을 바라보는 통찰력을 획기적으로 높여줍니다. 핵심적인 부분을 파악해 모델을 만들고 이를 점차 정교하게 발전시켜 나가는 과정이 바로 수학적 모델링의 묘미입니다. 이러한 시도는 현대 문명 곳곳에서 보이지 않는 힘으로 작용하며 우리의 삶을 더욱 효율적으로 설계하는 데 기여하고 있습니다.

김민형, 박형주

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수학

[강연] 2012 카오스 콘서트 '유리알유희' 1강 | 1강

카오스 강연 시리즈는 '유리알 유희'라는 이름 아래 수학과 과학의 성취를 대중과 나누고자 기획되었습니다. 헤르만 헤세의 소설 제목에서 따온 이 명칭은 상아탑 속에 갇힌 학문적 성과를 세상 밖으로 끌어내어 보통 사람들의 삶 속에서 구현하려는 의지를 담고 있습니다. 수학은 단순한 계산을 넘어 현대 문명을 지탱하는 핵심적인 역할을 수행하며, 인문학과의 경계를 허무는 융합의 계기를 마련합니다. 지적 성찰과 대화가 살아 움직이는 무대를 통해 우리는 수학이 가진 진정한 가치를 재발견하게 됩니다. 많은 이들이 수학을 일상생활과는 거리가 먼, 어렵고 따분한 과목으로 여기곤 합니다. 하지만 수학적 사고는 복잡한 현대 사회를 이해하고 논리적으로 판단하는 데 필수적인 기초가 됩니다. 더하기와 빼기 같은 단순한 계산을 넘어, 세상의 이면을 관찰하고 그 속에 숨겨진 규칙을 발견하는 즐거움을 선사하기 때문입니다. 수학에 대한 막연한 거부감을 떨쳐내고 이를 친숙한 지적 탐구의 대상으로 받아들일 때, 우리는 비로소 현대 문명이 쌓아 올린 거대한 지식의 체계에 한 걸음 더 가까이 다가갈 수 있게 될 것입니다. 수학 분야에는 노벨상이 존재하지 않지만, 그에 버금가는 권위를 가진 필즈상이 4년마다 수여됩니다. 세계수학자대회는 전 세계 수학자들이 모여 학문적 성과를 공유하는 축제의 장으로, 특히 개발도상국의 젊은 수학자들을 지원하며 지식의 나눔을 실천합니다. 이러한 국제적인 교류는 수학이 특정 국가나 계층의 전유물이 아니라 인류 공동의 자산임을 보여줍니다. 수학적 성취를 사회와 나누려는 노력은 학문의 공익적 가치를 높이며, 미래 세대에게 새로운 영감과 기회를 제공하는 밑거름이 됩니다. 인류가 아주 오래전부터 직면해 온 난제 중 하나는 바로 '매칭' 문제입니다. 한정된 자원이나 인원을 어떻게 효율적이고 공정하게 배분할 것인가에 대한 고민은 현대에 이르러 수학적 모델을 통해 해결의 실마리를 찾았습니다. 2012년 노벨 경제학상을 받은 섀플리와 로스는 사실 수학적 방법론을 통해 이 문제를 해결한 학자들이었습니다. 이들의 연구는 단순한 남녀의 만남을 넘어 학교 배정이나 장기 기증 이식 등 사회 전반의 복잡한 매칭 시스템에 혁신적인 해결책을 제시하며 수학의 실천적 힘을 증명했습니다. 매칭 문제를 해결하기 위해 가장 먼저 필요한 것은 각 주체의 '선호도'에 대한 정보입니다. 누가 누구를 더 좋아하는지, 어떤 조건을 우선시하는지에 대한 데이터가 확보되어야 비로소 수학적 분석이 가능해집니다. 단순히 무작위로 짝을 짓는 것이 아니라, 개개인의 의사를 존중하면서도 전체적인 만족도를 높일 수 있는 최선의 조합을 찾아내는 것이 핵심입니다. 이는 감정적인 영역으로 치부되기 쉬운 선택의 문제를 과학적이고 체계적인 시각으로 접근하여, 모두가 납득할 수 있는 합리적인 결론을 도출하는 과정이라 할 수 있습니다. 수학적 매칭에서 가장 핵심적인 개념은 바로 '안정성'입니다. 이는 자연계의 물리적 평형 상태와도 유사한 개념으로, 외부의 작은 충격에도 쉽게 변하지 않고 유지되는 상태를 의미합니다. 불안정한 평형은 잠시 유지될 수 있으나 결국 붕괴하기 마련이지만, 안정적인 상태는 시스템 내의 구성원들이 현재의 결과에 만족하며 이탈할 동기가 없는 상태를 말합니다. 자연 현상을 관찰하여 이론을 정립하는 과학자들처럼, 매칭 문제에서도 어떤 상태가 지속 가능한 안정성을 확보하는지를 파악하는 것이 문제 해결의 결정적인 열쇠가 됩니다. 안정적인 매칭이란 구성원들이 서로 바람을 피울 기회나 동기가 없는 상태를 뜻합니다. 만약 현재의 파트너보다 서로를 더 선호하는 남녀 쌍이 존재한다면 그 시스템은 언제든 무너질 수 있는 불안정한 상태입니다. 반면, 자신이 원하는 상대가 이미 더 선호하는 파트너와 매칭되어 있다면 새로운 관계를 맺을 가능성이 차단되어 시스템은 안정적으로 유지됩니다. 섀플리와 로스의 알고리즘은 바로 이러한 안정적 매칭을 찾아내는 체계적인 방법론을 제공합니다. 이는 복잡한 이해관계 속에서도 질서를 찾으려는 수학적 노력의 결실입니다.

김민형

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수학

[강연] 2012 카오스 콘서트 '유리알유희' 3강 | 3강 ①

수학은 오랫동안 고립된 학문으로 여겨져 왔으나, 최근에는 상아탑을 넘어 세상과 대화하려는 시도가 늘고 있습니다. 헤르만 헤세의 소설 '유리알 유희'처럼 지적인 나눔을 통해 현실과 교류하려는 노력은 수학계에서도 중요한 흐름이 되었습니다. 혼자만의 공부에서 벗어나 다양한 분야와 소통할 때, 수학은 비로소 살아 있는 학문으로서의 가치를 증명하게 됩니다. 이러한 지적 나눔은 공부하는 이들에게 고립감을 해소해 주고 새로운 가능성을 열어 주는 소중한 기회가 됩니다. 수학의 '짝짓기 문제'는 경제학에서 매우 중요한 위치를 차지하고 있습니다. 실제로 이 주제는 노벨 경제학상 수상으로 이어질 만큼 그 가치를 인정받았습니다. 겉보기에는 단순한 짝짓기처럼 보이지만, 그 이면에는 자원을 효율적으로 배분하기 위한 정교한 수학적 알고리즘이 숨어 있습니다. 이는 구체적인 상황을 넘어 보편적인 구조를 탐구하는 수학의 특성을 잘 보여줍니다. 추상적인 수학적 관점이 현실의 복잡한 경제 문제를 해결하는 강력한 열쇠가 되는 셈입니다. 짝짓기 알고리즘은 실생활의 다양한 영역에 적용되고 있습니다. 뉴욕의 고등학교 배정 시스템이나 병원의 레지던트 배치, 심지어 장기 이식 대기자와 기증자를 연결하는 과정에서도 수학이 사용됩니다. 어떻게 하면 모든 참여자가 가장 만족할 수 있는 결과를 얻을 수 있을지를 수학적으로 증명하고 이를 실제 시스템에 도입하는 것입니다. 이는 수학이 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 사회 구성원들의 행복을 극대화하는 실천적인 도구로 활용될 수 있음을 시사합니다. 게임 이론은 현대 경제학의 근간을 이루는 수학적 이론 중 하나입니다. 영화 '뷰티풀 마인드'의 모델인 존 내쉬가 정립한 '내쉬 평형'은 개별 주체들이 서로의 전략을 고려할 때 도달하게 되는 안정적인 상태를 설명합니다. 노벨 경제학상 수상자 중 상당수가 게임 이론 분야에서 배출되었다는 사실은 수학과 경제학의 밀접한 관계를 잘 보여줍니다. 복잡한 사회적 상호작용을 수학적 모델로 분석함으로써, 우리는 인간의 의사결정 구조를 더욱 깊이 있게 이해할 수 있게 되었습니다. 데이터와 통계의 힘은 정치와 스포츠 분야에서도 혁신을 일으키고 있습니다. 미국의 선거 전문가 네이트 실버는 통계학적 방법론을 통해 50개 주의 선거 결과를 완벽하게 예측하며 세상을 놀라게 했습니다. 또한 야구계의 '머니볼' 사례처럼, 철저한 통계 분석을 통해 저평가된 선수를 발굴하고 팀을 승리로 이끄는 방식도 수학의 승리라고 할 수 있습니다. 과거의 방대한 데이터를 가공하고 조건부 확률을 적용하여 미래를 예측하는 일은 현대 사회에서 수학이 가진 가장 강력한 힘 중 하나입니다. 현대 마케팅 분야에서도 수학적 알고리즘의 중요성은 날로 커지고 있습니다. 특히 소셜 미디어 시대에 파워 블로거의 영향력을 분석하고, 제한된 자원으로 홍보 효과를 극대화할 수 있는 대상을 찾는 과정에 그래프 이론과 알고리즘이 활용됩니다. 단순히 친구가 많은 사람을 찾는 것이 아니라, 네트워크 구조 내에서 정보의 확산 기댓값이 가장 높은 지점을 수학적으로 찾아내는 것입니다. 이러한 연구는 기업의 마케팅 전략을 더욱 정교하게 만들며 사회적 현상을 수치화하여 분석하는 토대가 됩니다. 수학 교육의 본질은 단순한 문제 풀이의 반복이 아니라, 논리적 사고를 통해 세상을 이해하는 능력을 기르는 데 있습니다. 많은 학생이 수학을 실생활과 동떨어진 과목으로 느끼며 어려움을 겪지만, 수학은 경제, 정치, 스포츠, 마케팅 등 우리 삶의 모든 곳에 스며들어 있습니다. 수학을 하나의 놀이이자 세상을 바라보는 창으로 받아들일 때, 학생들은 비로소 수학의 진정한 가치를 발견할 수 있습니다. 융합의 시대에 수학적 사고력은 미래를 설계하는 가장 기초적이면서도 강력한 무기가 될 것입니다.

김민형, 박형주

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수학

[강연] 2014 카오스 콘서트 수학의 본질 - '수' (6) | 5강

우리나라 교육 현장에서 만나는 학생들은 개개인의 역량이 매우 뛰어납니다. 특히 수학적 재능이 돋보이는 여학생들이 많으며, 이들의 잠재력은 세계적인 수준과 비교해도 결코 뒤처지지 않습니다. 흔히 스스로를 '수포자'라고 생각하는 학생들조차 실제로는 미국의 우수한 학생들과 견주어도 손색없는 실력을 갖춘 경우가 많습니다. 이는 우리가 가진 수학적 자산이 생각보다 훨씬 풍부하다는 점을 시사하며, 개별 학생들의 재능을 발견하고 키워주는 세밀한 시각이 필요함을 일깨워줍니다. 수학을 잘한다는 것의 본질적인 정의에 대해 깊이 고민해 볼 필요가 있습니다. 단순히 문제를 빠르게 푸는 기술을 넘어, 수학적 사고가 인간의 전반적인 사고 능력에 어떤 동력을 제공하는지가 중요합니다. 수학은 세상을 바라보는 시각을 변화시키며, 복잡한 인생의 문제들을 조합하고 해결하는 논리적 틀을 제공합니다. 이러한 사고의 훈련은 단순히 학문적 성취에 머무는 것이 아니라, 한 개인의 지적 성장을 이끄는 핵심적인 역할을 수행하게 됩니다. 수학적 창의성은 보이지 않는 세계를 탐구하는 과정에서 나타납니다. 예를 들어 선을 절단했을 때 나타나는 셀 수 없는 수의 개념이나 공간의 뺄셈과 같은 질문들은 우리의 상상력을 자극합니다. 이러한 추상적인 사고는 익숙한 사물을 새로운 관점에서 바라보게 하며, 논리적 근거를 바탕으로 독창적인 결론에 도달하게 합니다. 수학을 좋아하고 깊이 파고드는 과정 자체가 곧 창의적인 인간으로 성장하는 밑거름이 되는 것입니다. 수학은 사회 시스템을 이해하고 설계하는 데에도 결정적인 역할을 합니다. 투표의 수학에서 다루는 '불가능성 정리'는 완벽한 민주적 의사결정 체계를 구축하는 것이 얼마나 복잡한 문제인지를 수학적으로 증명합니다. 이는 수학이 단순히 숫자 놀이가 아니라 사회적 공정성과 효율성을 탐구하는 도구임을 보여줍니다. 우리가 일상에서 마주하는 다양한 선택과 결정의 이면에는 이처럼 정교한 수학적 원리가 숨어 있으며, 이를 이해하는 것은 더 나은 사회를 만드는 기초가 됩니다. 수의 본질을 탐구하는 여정은 마치 어둠 속에서 새로운 세계를 경험하는 것과 같습니다. 수학은 정답을 찾는 과정이기도 하지만, 끊임없이 질문을 던지고 사고를 확장하는 과정 그 자체에 더 큰 가치가 있습니다. 강연과 대화를 통해 수학의 깊이를 체험하는 시간은 우리에게 지적 즐거움을 선사합니다. 일상 속에서도 수학적 사고를 멈추지 않고 세상의 본질에 대해 고민하는 태도를 가질 때, 우리는 비로소 수학이 주는 진정한 가치를 깨달을 수 있을 것입니다.

김민형

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수학

[강연] 미래의 수학자 (3) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ③

수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어 우리 삶의 복잡한 문제를 해결하는 강력한 도구입니다. 수치해석학은 컴퓨터를 활용해 비행기 설계와 같은 방대한 계산이 필요한 실생활의 문제를 빠르고 효율적으로 풀어내는 방법을 연구합니다. 과거에는 사람이 일일이 손으로 해결하기 어려웠던 문제들이 이제는 컴퓨터라는 도구를 통해 정교하게 다듬어지고 있습니다. 이러한 흐름은 수학이 상아탑 속에만 머무는 것이 아니라, 기술의 발전과 발맞추어 끊임없이 진화하고 있음을 보여줍니다. 인공지능 시대의 도래는 수학의 영역을 더욱 넓히고 있습니다. 과거 이집트의 측량 기술이 기하학으로 발전하고, 과학 혁명기에 천체의 움직임을 설명하기 위해 미적분학이 탄생했듯이, 현대의 정보 혁명은 새로운 수학적 추상화를 요구합니다. 우리가 마주한 0과 1의 디지털 정보들을 어떻게 더 깊이 있게 이해하고 다룰 것인가는 미래 수학의 핵심 과제입니다. 수학은 시대의 요구에 따라 새로운 지평을 열어왔으며, 지금 이 순간에도 우리가 경험하지 못한 새로운 세계를 탐험하고 있습니다. 컴퓨터와 인공지능의 발전은 수학자의 역할을 축소하는 것이 아니라 오히려 확장시키고 있습니다. 머신러닝이나 딥러닝 같은 기술은 수학적 문제를 해결하는 새로운 방식을 제시하며, 수치해석학이나 이산수학 분야에서 이전에는 상상하지 못했던 질문들을 던지게 합니다. 도구가 정교해질수록 우리가 다룰 수 있는 문제의 범위는 자동차에서 비행기, 우주선으로 넓어지듯 무한히 확장됩니다. 결국 기술의 발전은 수학자들에게 더 본질적이고 창의적인 문제를 고민할 수 있는 기회를 제공하는 셈입니다. 최근 강조되는 코딩 교육 역시 수학적 사고와 깊은 연관이 있습니다. 프로그래밍 언어는 컴퓨터와 소통하기 위한 일종의 외국어와 같으며, 그 기저에는 엄밀한 논리가 자리 잡고 있습니다. 코딩을 통해 자신의 생각을 논리적으로 전개하는 과정은 수학적 증명을 주고받는 과정과 본질적으로 다르지 않습니다. 단순히 기술적인 숙련도를 높이는 것을 넘어, 컴퓨터에게 자신의 논리를 설명할 수 있는 본질적인 사고력을 기르는 것이 중요합니다. 이러한 논리적 훈련은 수학적 실력을 향상시키는 밑거름이 됩니다. 수학자의 연구는 단순히 방 안에서 혼자 증명에 몰두하는 것에 그치지 않습니다. 좋은 문제를 찾아내기 위해 동료들과 끊임없이 대화하고 토론하며, 새로운 영감을 얻기 위해 노력합니다. 의미 있는 문제를 정의하고 이를 다른 이들과 공유하며 공감을 얻는 과정은 수학 연구에서 매우 중요한 부분을 차지합니다. 현대 수학은 개인의 천재성을 넘어 공동 연구와 협력을 통해 더욱 풍성해지고 있으며, 이러한 소통의 문화가 수학을 더욱 역동적인 학문으로 만들어가고 있습니다.

엄상일, 이계식, 이준엽

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물리학
수학

[강연] 미래의 수학자 (2) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ②

수학의 세계에서는 인간의 직관을 넘어서는 거대한 증명의 시대가 열리고 있습니다. 로날드 그레이엄이 제기한 피타고라스 세쌍조 색칠 문제는 그 대표적인 사례입니다. 자연수를 두 가지 색으로 칠할 때 같은 색의 피타고라스 세쌍조가 존재하지 않도록 할 수 있는지에 대한 이 질문은, 결국 2016년 슈퍼컴퓨터를 통해 해결되었습니다. 1부터 7824까지는 가능하지만 7825부터는 불가능하다는 사실이 밝혀졌는데, 이 증명의 크기는 무려 200테라바이트에 달했습니다. 이는 인간이 일일이 검토할 수 없는 방대한 데이터를 통해 수학적 진실을 규명한 혁신적인 사건이었습니다. 평면을 빈틈없이 채우는 볼록 오각형 타일링 문제 역시 컴퓨터와 인간의 협업이 빛난 분야입니다. 1918년 독일 수학자가 5개를 찾은 이후, 수학자가 아닌 가정주부 마조리 라이스가 독자적인 연구로 4개의 새로운 패턴을 찾아내며 학계를 놀라게 했습니다. 이후 2015년 워싱턴 대학 연구팀이 15번째 패턴을 발견했고, 2017년에는 컴퓨터 프로그램을 통해 오직 15가지의 방법만이 존재한다는 사실이 최종적으로 증명되었습니다. 더 이상의 가능성이 없음을 확정 짓는 과정에서 컴퓨터는 수많은 경우의 수를 완벽하게 계산해내며 탐색의 종지부를 찍었습니다. 에르되시 어긋남 추측은 수열의 합이 무한히 커질 수 있는지를 묻는 난제였습니다. 이 문제 역시 초기에는 컴퓨터의 힘을 빌려 증명되었습니다. 특정 조건에서 수열의 길이가 1161에 도달하면 합의 절댓값이 2보다 커진다는 사실을 증명했는데, 당시 이 증명의 길이는 위키피디아 전체 용량보다도 컸습니다. 수학적 증명이 단순히 논리적 전개를 넘어 거대한 데이터의 집합체가 될 수 있음을 보여준 것입니다. 하지만 이러한 거대 증명은 결과의 정답 여부는 알려주지만, 왜 그러한 결과가 도출되었는지에 대한 인간적인 이해를 제공하기에는 한계가 있었습니다. 컴퓨터의 방대한 계산을 뛰어넘는 인간 통찰의 힘은 테렌스 타오 교수에 의해 증명되었습니다. 그는 2015년, 컴퓨터가 수천 페이지에 걸쳐 증명했던 에르되시 어긋남 추측을 단 한 줄의 군더더기 없는 논리로 모든 경우에 대해 해결했습니다. '수학계의 모차르트'라 불리는 그의 성취는 컴퓨터가 제시한 정답을 넘어, 보편적인 원리를 찾아내려는 수학자의 본질적인 역할을 상기시켰습니다. 이는 기계적인 계산이 줄 수 없는 우아하고 명쾌한 해답을 갈구하는 수학자들의 이상향을 보여주는 사례로 남았습니다. 현대 수학은 이제 고립된 연구를 넘어 대규모 협업의 시대로 나아가고 있습니다. 티모시 가워스 교수가 주도한 '폴리매스 프로젝트'는 인터넷을 통해 전 세계 수학자들이 집단 지성을 발휘하는 새로운 연구 방식을 제시했습니다. 블로그 댓글을 통해 실시간으로 토론하며 난제를 해결하는 이 방식은, 혼자서는 수년이 걸릴 문제를 단 몇 주 만에 풀어내는 놀라운 성과를 거두었습니다. 테렌스 타오 역시 이 프로젝트의 중간 성과를 바탕으로 자신의 증명을 완성할 수 있었으며, 이는 수학적 발견의 속도가 협업을 통해 비약적으로 빨라질 수 있음을 입증했습니다. 인공지능의 발전은 수학 연구의 미래에 대한 근본적인 질문을 던집니다. 전문가들은 향후 수십 년 내에 인공지능이 수학 경시대회 문제를 풀고, 나아가 최고 수준의 학술지에 실릴 만한 정리를 스스로 만들어낼 것이라고 예측합니다. 컴퓨터는 이제 단순한 계산 도구를 넘어 가설을 설정하고 증명하며, 심지어 인간이 작성한 증명의 오류를 검증하는 역할까지 수행하고 있습니다. 물론 가치 판단이나 문제의 중요성을 결정하는 영역은 여전히 인간의 몫으로 남아있지만, 인공지능이 수학적 창의성의 영역에 발을 들이고 있다는 사실은 부정할 수 없습니다. 결국 미래의 수학은 인간과 컴퓨터의 긴밀한 파트너십으로 정의될 것입니다. 필즈상 수상자인 보에보드스키는 인간의 실수를 방지하기 위해 모든 증명을 컴퓨터로 검증해야 한다고 주장한 반면, 다른 이들은 인간의 직관적 이해가 결여된 증명은 진정한 지식이라 보기 어렵다고 반박합니다. 하지만 분명한 것은 수학의 세계가 점점 더 복잡해짐에 따라 컴퓨터의 도움 없이는 완전한 검증이 불가능한 시대가 오고 있다는 점입니다. 인간은 더 고차원적인 질문을 던지고, 컴퓨터는 그 질문에 대한 정밀한 답을 찾아가는 과정에서 수학은 새로운 진화를 거듭할 것입니다.

엄상일

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물리학
수학

[강연] 미래의 수학자 (1) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ①

수학은 흔히 연속적인 변화를 다루는 미적분을 떠올리게 하지만, 점과 점의 연결을 다루는 이산수학 또한 현대 사회에서 중요한 역할을 합니다. 지하철 노선도처럼 불연속적인 구조를 연구하는 이 분야는 인공지능 시대에 접어들며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 특히 수학자의 핵심 업무인 '증명'의 방식이 과거와는 확연히 달라지고 있다는 점에 주목해야 합니다. 미래의 수학자들은 단순히 펜과 종이로 논리를 전개하는 것을 넘어, 컴퓨터와 협력하여 진리를 탐구하는 새로운 시대를 살아가게 될 것입니다. 수학적 증명의 역사는 기원전 300년경 유클리드 원론에서 시작되었습니다. 이는 점과 선에 대한 정의와 증명 없이 맞다고 인정하는 공리로부터 시작해, 완벽하게 논리적인 과정을 거쳐 결론을 도출하는 작업입니다. 독일의 수학자 힐베르트는 수학적 대상의 이름이 무엇이든 논리적 관계만 성립한다면 엄밀한 수학이 될 수 있다고 강조했습니다. 이러한 엄밀함은 수학의 기초를 다지는 핵심이며, 현대 수학자들 또한 모든 유도 과정이 100% 정확해야 한다는 이상을 품고 연구에 매진하고 있습니다. 하지만 증명이 너무 길고 복잡해지면 인간의 인지 능력으로는 이를 완벽히 검증하기 어려워집니다. 화이트헤드와 러셀은 '1 더하기 1은 2'라는 당연한 사실을 증명하기 위해 무려 360페이지를 할애하기도 했습니다. 실제 연구 현장에서는 동료 수학자들이 논문을 읽고 검토하는 과정을 거치지만, 만약 증명을 읽는 데만 100년이 걸린다면 그 결과의 무결성을 확신하기란 불가능에 가깝습니다. 이러한 한계는 수학자들이 컴퓨터라는 새로운 도구에 눈을 돌리게 만든 결정적인 계기가 되었습니다. 케플러 추측은 공을 가장 빽빽하게 쌓는 방법에 관한 문제로, 1998년 토마스 헤일스에 의해 해결되었습니다. 그러나 그의 증명은 인간이 검토하기에는 너무나 방대했습니다. 250쪽의 논문 외에도 컴퓨터로 계산한 데이터가 3GB에 달했기 때문입니다. 12명의 검증 위원이 4년 동안 매달렸음에도 불구하고 99%의 확신만을 가질 뿐, 100% 완벽한 검증은 불가능하다는 결론을 내렸습니다. 이는 수학적 진실이 인간의 검토 범위를 넘어설 수 있음을 보여준 상징적인 사건이었습니다. 헤일스 교수는 자신의 증명을 완벽히 인정받기 위해 '플라이스펙' 프로젝트를 시작했습니다. 이는 공리와 정의로부터 모든 논리적 단계를 컴퓨터가 직접 검증하게 만드는 '형식 증명'의 과정이었습니다. 11년이라는 긴 시간 동안 매진한 끝에, 2014년 마침내 컴퓨터를 통해 증명의 모든 과정이 100% 확실하다는 것을 확인받았습니다. 이로써 1611년에 제기된 난제는 비로소 종지부를 찍게 되었습니다. 이제 수학은 인간의 직관을 넘어 기계적 엄밀함으로 무장한 새로운 검증의 시대로 진입했습니다. 지도 채색에 관한 '4색 문제' 또한 컴퓨터의 도움으로 해결된 대표적인 사례입니다. 1976년 처음 증명되었을 당시, 수학계에서는 컴퓨터의 결과를 신뢰할 수 있는지를 두고 뜨거운 논쟁이 벌어졌습니다. 하지만 기술이 발전함에 따라 '코크(Coq)'와 같은 증명 보조 프로그램이 등장했고, 수만 줄의 코드를 통해 증명의 무결성을 입증하는 방식이 점차 자리를 잡았습니다. 이제는 인간의 실수 가능성보다 컴퓨터의 논리적 정확성을 더 신뢰하는 흐름이 강화되고 있으며, 이는 수학의 확실성을 담보하는 중요한 수단이 되었습니다. 이러한 형식 증명 기술은 순수 수학을 넘어 실생활의 안전을 지키는 데에도 활용됩니다. 비행기 조종 소프트웨어나 CPU 설계처럼 작은 오류가 치명적인 사고로 이어질 수 있는 분야에서는 수학적으로 버그가 없음을 증명하는 과정이 필수적입니다. 미래의 수학자들은 컴퓨터와 협력하여 복잡한 시스템의 완벽함을 입증하는 역할을 수행하게 될 것입니다. 비록 수학자들이 여전히 짧고 아름다운 증명을 갈망할지라도, 컴퓨터를 통한 엄밀한 검증은 거스를 수 없는 시대적 흐름이 되었습니다.

엄상일

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수학

[강연] 패널토의 및 대담 | 2016 서울대 자연과학대학 공개강연 '무질서에서 질서로' (7)

2016년 서울대학교 자연과학 공개 강연의 대미를 장식한 대담은 '과학자의 꿈과 도전'이라는 주제로 진행되었습니다. 화학부 신석민 교수님의 사회 아래 물리천문학부 박혜윤 교수님, 수리과학부 이기헌 대학원생, 생명과학부 도경완 학부생이 한자리에 모여 과학에 대한 열정과 고민을 나누었습니다. 서로 다른 전공과 세대를 아우르는 이들은 과학이라는 공통분모를 통해 자신들의 삶과 학문적 지향점을 진솔하게 풀어내었습니다. 강연장의 열기는 마지막까지 식지 않았으며, 참석자들은 과학자들이 전하는 생생한 현장의 이야기에 깊이 공감하며 귀를 기울였습니다. 이번 강연의 핵심 키워드인 '무질서에서 질서로'에 대해 패널들은 각자의 학문적 관점을 제시했습니다. 수학은 복잡한 현상 속에서 단순한 패턴을 발견하고 이를 논리적인 언어로 서술하는 과정이며, 생명과학은 엔트로피 법칙 속에서도 질서를 유지하며 복잡성을 키워가는 생명체의 신비로움을 다룹니다. 무질서해 보이는 자연현상 이면에 숨겨진 아름다운 법칙을 찾아내는 과정이야말로 과학이 가진 진정한 매력임을 확인하는 시간이었습니다. 이러한 질서를 이해하려는 노력은 단순히 지식을 쌓는 것을 넘어 자연의 본질에 다가가는 숭고한 여정입니다. 과학자의 길을 걷게 된 계기는 거창한 이론보다는 소소한 호기심에서 시작된 경우가 많았습니다. 밤하늘의 별을 보며 우주를 동경하거나, 뇌의 작동 원리에 의문을 품고, 집 옥상에서 위험천만한 화학 실험을 감행하던 어린 시절의 기억들이 그들을 과학의 세계로 이끌었습니다. 다큐멘터리를 보며 생명의 경이로움을 느꼈던 경험이나 수학이 가진 근원적인 설명력에 매료된 순간들은, 불확실한 미래 속에서도 과학자라는 꿈을 포기하지 않게 만드는 강력한 원동력이 되었습니다. 작은 호기심의 씨앗이 자라나 인류의 지식 지평을 넓히는 거대한 나무가 된 셈입니다. 과학자로 성장하는 과정은 결코 순탄치만은 않습니다. 여성 과학자로서 겪는 환경적 제약이나 대학원 과정에서의 학문적 고뇌, 그리고 학부생이 느끼는 진로에 대한 불안감은 모든 과학도가 마주하는 현실적인 도전입니다. 하지만 패널들은 다양성이 존중될 때 과학이 더욱 풍요로워질 수 있다고 강조합니다. 남성 중심적인 문화에서 벗어나 새로운 시각을 도입하고, 한국인으로서 특정 분야의 전문가가 되겠다는 자부심을 갖는 것은 과학계의 발전을 위해 매우 중요한 요소입니다. 어려움 속에서도 긍정적인 마음가짐을 유지하는 것이 과학자에게 필요한 덕목임을 시사합니다. 꿈에 대한 확신이 서지 않을 때 어떻게 해야 하느냐는 질문에 대해, 신석민 교수님은 '함께 꾸는 꿈'의 중요성을 역설했습니다. 혼자서 모든 짐을 짊어지기보다는 동료들과 함께 고민하고 힘을 합칠 때, 불확실성은 도전의 기회로 바뀔 수 있습니다. 과학은 단순히 지식을 습득하는 과정이 아니라, 끊임없이 질문을 던지고 그 해답을 찾아가는 긴 여정입니다. 이 과정에서 동료들과 나누는 유대감과 격려는 연구의 고단함을 잊게 하고 다시금 앞으로 나아갈 수 있는 에너지를 제공합니다. 혼자가 아닌 함께일 때 과학자의 꿈은 더욱 견고해지고 현실에 가까워집니다. 자연과학을 전공하면 경제적으로 어려울 것이라는 편견에 대해서도 심도 있는 논의가 이루어졌습니다. 물리학이나 수학 같은 기초과학은 금융, 게임, IT 등 다양한 산업 분야로 진출할 수 있는 탄탄한 사고의 기초가 됩니다. 100세 시대를 살아가는 현대인에게 과학적 사고방식은 변화하는 환경에 적응하고 문제를 해결하는 핵심 역량이 됩니다. 단순히 일자리를 구하는 수단을 넘어, 세상을 바라보는 논리적인 틀을 갖추는 것이 과학 교육이 지향해야 할 진정한 가치입니다. 과학은 굶주림의 길이 아니라, 세상을 더 넓고 깊게 이해하며 자아를 실현하는 풍요로운 길입니다. 대담의 마무리는 미래 과학이 해결해야 할 도전적인 과제들로 채워졌습니다. 상대성이론과 양자역학을 통합할 수 있는 새로운 수학적 언어의 개발, 뇌의 신비를 밝히는 신경세포 연구, 그리고 생태학과 동물 행동학 같은 거시적 생물학 분야의 개척 등은 다음 세대 과학자들이 짊어져야 할 몫입니다. 과학자의 꿈은 정체된 것이 아니라 시대의 흐름에 따라 계속해서 진화하며, 이러한 도전을 멈추지 않을 때 인류의 지식 지평은 더욱 넓어질 것입니다. 오늘 대담에 참여한 학생들의 눈빛에서 우리는 인류의 미래를 밝힐 새로운 과학의 희망을 발견할 수 있었습니다.

박혜윤, 신석민

카오스재단서울대자연과학공개강연

물리학
화학
생명과학

[석학인터뷰] 고계원 ─ KAOS 과학위원(고등과학원 수학과 연구교수) 인터뷰 영상

어린 시절부터 수학은 삶의 자연스러운 일부분이었습니다. 고등학교 물리 교사였던 아버지와 수학을 전공한 언니의 영향으로 자연과학의 세계는 낯설지 않은 환경이었습니다. 당시에는 다른 학문에 대해 깊이 알 기회가 적어 선택한 길이었지만, 돌이켜보면 수학을 전공으로 삼은 것은 인생에서 가장 탁월한 선택 중 하나였습니다. 주변 환경이 주는 익숙함 속에서 시작된 학문적 여정은 시간이 흐를수록 더 깊은 확신으로 다가왔으며, 이는 평생을 바칠 연구의 든든한 토대가 되었습니다. 학문의 길을 걷는 과정에서 여성 수학자로서 마주하는 현실적인 어려움은 결코 적지 않았습니다. 우리 사회와 문화 전반에 깊이 뿌리박힌 무의식적인 차별은 의도하지 않았더라도 소수에게 큰 장벽이 되곤 합니다. 다수가 스스로의 편견을 자각하고 이해하는 것은 매우 어려운 일이며, 이를 해결하기 위해서는 문제를 공론화하고 끊임없이 의식적인 노력을 기울여야 합니다. 남성 중심의 학계에서 여성이 겪는 보이지 않는 차별을 직시하고, 서로를 배려하며 조심스럽게 행동하는 문화가 정착될 때 비로소 진정한 학문적 평등이 실현될 수 있습니다. 수학이 지닌 독특한 매력은 복잡한 현상을 고도로 농축하여 단순하게 표현하는 데 있습니다. 이는 시가 지닌 예술적 속성과도 맞닿아 있는데, 두 분야 모두 본질을 꿰뚫는 압축미를 공유하기 때문입니다. 아주 복잡해 보이는 현상을 간단하게 표현하는 과정은 깊은 이해를 필요로 하며, 이러한 고농축의 과정을 거쳐 세상을 더 명확하게 이해하려는 노력은 수학만이 줄 수 있는 지적인 즐거움입니다. 깊이 생각하고 가능하면 쉽게 보려고 노력하는 그 과정 자체가 학문으로서의 거부할 수 없는 매력으로 다가옵니다. 기초 과학의 대중화를 위해 노력하는 카오스재단의 활동은 한국 사회의 지적 수준을 높이는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 새로운 시작도 의미가 크지만, 무엇보다 중요한 것은 이러한 노력이 50년, 100년 이상 지속될 수 있는 생명력을 갖추는 일입니다. 많은 공익적 활동이 단기적인 성과에 그치는 경우가 많지만, 과학적 사고를 전파하는 일만큼은 꾸준한 지속성이 담보되어야 합니다. 이러한 지속적인 노력을 통해 우리 사회 구성원들이 보다 논리적이고 합리적인 사고방식을 갖추게 된다면, 그것이야말로 학문이 사회에 기여할 수 있는 최고의 가치가 될 것입니다. 학문적 영감을 주는 도서들은 지치기 쉬운 연구의 길에서 훌륭한 이정표가 되어줍니다. 히로나카 헤이스케의 '학문의 즐거움'은 고등학교 시절부터 깊은 감명을 주었던 책으로, 학문을 대하는 태도와 그 과정에서 얻는 기쁨을 농축된 언어로 전달합니다. 또한 경제학자의 시선으로 사회 현상을 통찰하는 자크 아탈리의 '미래를 위하여'와 같은 책들은 수학적 사고를 넘어 세상을 바라보는 시야를 넓혀줍니다. 이처럼 좋은 책들과 함께하는 깊은 사유의 시간은 우리가 더 나은 미래를 설계하고 합리적인 사회를 만들어가는 데 큰 힘이 됩니다.

고계원

카오스재단석학인터뷰

수학
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[강연] 문명과 수학의 기원 (1) - 예술과 수학의 탄생 _ 박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ①

인류 문명의 여명기에서 예술과 수학은 생존이라는 본능적 요구에 의해 동시에 탄생했습니다. 문자가 발명되기 훨씬 이전인 선사 시대에도 인류는 상징을 통해 희망을 표현하고 수량을 기록하는 지적 활동을 시작했습니다. 빌렌도르프의 비너스와 같은 유물은 종족 보존을 위한 다산의 기원을 담은 예술적 상징이었으며, 이샹고 뼈에 새겨진 눈금은 겨울을 나기 위한 사냥감의 수량을 파악하려는 수학적 셈의 흔적이었습니다. 이처럼 예술과 수학은 인류가 세상을 이해하고 생존을 도모하기 위해 선택한 가장 오래된 도구였습니다. 자연과 건축물에서 발견되는 황금비는 예술과 수학이 상호 작용하며 발전해 온 과정을 잘 보여줍니다. 앵무조개의 껍데기나 허리케인의 소용돌이에서 관찰되는 황금 나선은 자연계의 질서를 수학적 비율로 설명해 줍니다. 이러한 수학적 미학은 고대 이집트와 그리스의 건축물에도 반영되어 인간이 시각적으로 아름다움을 느끼는 기준이 되었습니다. 또한 중세 이슬람의 알람브라 궁전에서 볼 수 있는 정교한 타일 무늬는 평면을 빈틈없이 채우는 고도의 기하학적 원리가 예술적 창의성과 결합하여 탄생한 결과물이라 할 수 있습니다. 음악 역시 무엇이 귀에 듣기 좋은가라는 질문에 대해 수학적인 해답을 제시해 왔습니다. 고대 그리스의 피타고라스는 현의 길이와 주파수의 정수 비율이 협화음을 만든다는 사실을 발견하여 음악의 수학적 기초를 닦았습니다. 이후 18세기 요한 제바스티안 바흐는 이러한 원리를 바탕으로 온음계를 체계화하여 서양 음악의 기틀을 마련했습니다. 현대의 푸리에 이론에 따르면 서로 다른 소리들이 합쳐져 아름다운 화음을 이루는 현상은 파동의 수학적 중첩으로 명확히 설명됩니다. 이는 감성의 영역인 음악이 사실은 정교한 수학적 질서 위에 세워져 있음을 의미합니다. 수학의 역사는 물리적 우주를 다루는 실용적 관점과 수학적 우주를 탐구하는 추상적 관점의 대립으로 설명할 수 있습니다. 바빌로니아로 대표되는 실용 수학은 사과나 고양이와 같은 구체적인 대상을 다루며 현실의 문제를 해결하는 데 집중했습니다. 반면 그리스로 대표되는 추상 수학은 구체적인 사물에서 '3'이라는 숫자 자체의 성질을 추출하여 보편적인 원리를 탐구했습니다. 이러한 추상의 과정은 서로 다른 물리적 현상들을 하나의 수학적 모델로 통합하는 힘을 제공하며, 인류가 세상을 보다 깊이 있고 체계적으로 통찰할 수 있게 해주었습니다. 수학의 발전은 실용과 추상이라는 두 흐름이 충돌하고 극복되는 변증법적 과정을 통해 이루어졌습니다. 헤겔의 정반합 원리처럼, 현실의 필요에서 시작된 기술적 지식은 추상적인 과학적 원리와 대립하며 더 높은 차원의 학문적 성취로 나아갔습니다. 하이데거의 관점처럼 인류는 생존을 위한 기술을 먼저 습득했고, 그 과정에서 얻은 경험을 바탕으로 추상 수학이라는 지적 체계를 구축했습니다. 결국 수학은 물리적 세계의 복잡함을 단순한 원리로 꿰뚫어 보려는 인류의 끊임없는 노력이 빚어낸 문명의 정수라고 할 수 있습니다.

박형주

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 과학과 기술의 기원 (2) - 과학과 기술의 발전 : 이집트, 메소포타미아, 그리스 _ 홍성욱 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 4강 | 4강 ②

기원전 5천 년경, 지구 곳곳에서는 인류 문명의 서막이 올랐습니다. 이집트의 피라미드와 메소포타미아의 지구라트는 당시의 기술력과 종교적 신념을 보여주는 대표적인 유적입니다. 특히 이집트의 대피라미드는 수많은 시행착오의 산물이었습니다. 초기에는 각도를 너무 가파르게 설정해 붕괴하기도 했으나, 메이둠 피라미드와 같은 실패를 거치며 점차 안정적인 건축 노하우를 쌓아갔습니다. 이러한 과정은 단순한 건축을 넘어 국가의 역량을 결집하고 기술적 진보를 이루어내는 중요한 토대가 되었습니다. 피라미드 건설은 단순한 무덤 조성을 넘어 국가의 힘을 과시하고 결집하는 고도의 정치적 행위였습니다. 기술 사학자 루이스 멈포드는 이를 '메가 머신'이라는 개념으로 설명합니다. 이는 실제 기계가 아닌, 수많은 인력을 효율적으로 통제하고 명령하는 거대한 사회적 시스템 자체를 의미합니다. 파라오라는 정점을 중심으로 농한기의 인력을 동원해 거대 건축물을 세우는 과정은, 인류 역사상 최초로 거대한 조직적 힘이 기계처럼 작동하기 시작했음을 보여주는 상징적인 사건이라 할 수 있습니다. 이집트와 메소포타미아 문명은 실용적인 목적을 바탕으로 눈부신 과학적 성취를 이루었습니다. 이집트에서는 토지 측량을 위한 기하학과 의학이 발달했으며, 메소포타미아에서는 60진법을 활용한 정교한 수학과 천문학이 꽃을 피웠습니다. 특히 보름달이 뜨는 시점을 정확히 예측할 정도로 이들의 관측 기록은 매우 치밀했습니다. 하지만 이 시기의 과학은 현상을 설명하는 이론적 모델을 만들기보다는, 행정이나 농경, 종교적 의례 등 실생활의 문제를 해결하기 위한 도구적 성격이 강했습니다. 고대 그리스에 이르러 과학은 실용성을 넘어 본질에 대한 탐구로 진화했습니다. 최초의 과학자로 불리는 탈레스는 만물의 근원을 '물'이라 정의하며 자연의 근본 원리를 찾고자 했습니다. 그는 천문 지식을 이용해 큰 부를 쌓을 수 있었음에도 불구하고, 오로지 진리 탐구에만 몰두하여 하늘을 보다 우물에 빠지기도 했습니다. 그의 제자 아낙시만드로스는 스승의 이론을 비판하며 '무한자'라는 추상적 개념을 도입하고 최초의 기하학적 우주 모형을 제시하는 등, 비판적 사고를 통한 학문의 발전을 이끌었습니다. 그리스 과학의 핵심은 신의 개입이 없는 질서 정연한 세계, 즉 '코스모스'의 발견에 있습니다. 자연을 독자적인 규칙을 가진 탐구 대상으로 바라보기 시작한 것입니다. 또한 그리스 학자들은 국가의 지원 없이 스스로 제자를 모아야 했기에, 자신의 이론을 극단적으로 차별화하고 논리적으로 증명하려는 독특한 경쟁 문화를 형성했습니다. 이러한 배경 속에서 탄생한 논증적이고 추상적인 사고방식은, 실용적 기술에 머물렀던 이전 문명들과 차별화되는 서양 과학 전통의 뿌리가 되었습니다.

홍성욱

카오스재단카오스강연

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