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[강연] 불확실과 확실, 그 사이의 외줄타기 : 확률 1_by 서인석 | 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 7강 첫 번째 이야기 | 7강 ①

확률은 일상에서 흔히 쓰이는 친숙한 개념처럼 보이지만, 사실 수학적으로 정립된 지는 100년도 채 되지 않은 생소한 분야입니다. 우리는 동전을 던지거나 일기예보를 볼 때 직관적으로 확률을 이해한다고 믿지만, 인류가 이 개념을 명확히 깨닫기까지는 수천 년의 시간이 필요했습니다. 확률의 역사는 단순히 숫자를 계산하는 법을 배운 과정이 아니라, 세상을 바라보는 관점이 근본적으로 변화해 온 과정이라 할 수 있습니다. 고대 유적에서는 기원전 6000년경의 주사위가 발견될 정도로 인류는 오래전부터 우연을 이용한 놀이를 즐겼습니다. 하지만 놀랍게도 16세기 이전까지는 확률이라는 개념 자체가 존재하지 않았습니다. 당시 사람들은 주사위 눈이 나오는 결과를 우연이 아닌 신의 뜻이나 운명으로 여겼기 때문입니다. 불확실한 미래를 계량화하려는 시도 대신 신앙에 의존했던 사회적 분위기가 확률의 등장을 늦추는 결정적인 요인이 되었습니다. 르네상스 시대를 거치며 상업과 보험이 발달하자 인류는 위험을 회피하기 위해 우연을 과학적으로 분석하기 시작했습니다. 확률론의 본격적인 시작은 17세기 파스칼과 페르마가 주고받은 편지에서 비롯되었습니다. 중단된 도박의 상금을 어떻게 배분할 것인가라는 지극히 현실적인 고민이 수학적 논의로 이어졌고, 이를 통해 '전체 경우의 수 대비 해당 경우의 수'라는 확률의 기초적인 정의가 인류 역사상 처음으로 정립되었습니다. 19세기에 이르러 라플라스는 확률을 인간의 지식 부족을 보완하는 도구로 정의했습니다. 그는 우주의 모든 입자의 위치와 운동량을 아는 존재가 있다면 미래는 확정되어 있지만, 인간은 그 복잡한 상호작용을 모두 계산할 수 없기에 확률을 사용한다고 보았습니다. 이러한 관점은 우연을 신의 영역에서 떼어내 세속화하는 계기가 되었으며, 수많은 데이터를 다루는 통계학이 확률과 함께 비약적으로 발전하는 토대가 되었습니다. 확률이 어려운 이유는 우리의 직관과 충돌하는 경우가 많기 때문입니다. 예를 들어 두 자녀 중 한 명이 딸이라는 정보가 있을 때 모두 딸일 확률을 구하는 문제는 조건에 따라 결과가 판이하게 달라집니다. 특히 '월요일에 태어난 딸'과 같은 추가 정보가 주어지면 확률이 예상치 못한 수치로 변하는 현상은 전문가들조차 직관적으로 설명하기 힘들어합니다. 이는 인간의 직관이 얼마나 허약한지를 보여주며, 왜 엄밀한 수학적 접근이 필요한지를 증명합니다. 몬티 홀 문제나 두 개의 봉투 역설 역시 확률적 사고가 얼마나 까다로운지를 잘 보여줍니다. 선택을 바꾸는 것이 유리하다는 결론이나 기댓값이 무한히 증폭되는 논리적 오류는 단순한 계산 이상의 깊은 통찰을 요구합니다. 20세기에 들어서야 확률이 수학적 공리계 위에서 정의될 수 있었던 이유는, 이처럼 직관을 배제하고 논리적 엄밀함을 갖추는 과정이 그만큼 험난했기 때문입니다. 확률은 단순한 운이 아니라 정교한 논리의 산물입니다. 확률에 대한 오해는 때로 사회적 비극을 초래하기도 합니다. 영국의 샐리 클락 사건처럼 독립적이지 않은 사건의 확률을 잘못 계산하여 무고한 사람에게 유죄를 선고한 사례는 확률적 문해력의 중요성을 일깨워줍니다. 우리는 확률을 잘 안다고 착각하기 쉽지만, 사실은 여전히 낯설고 생소한 영역임을 인정해야 합니다. 불확실한 세상에서 확실한 판단을 내리기 위해 수학이라는 도구로 우리의 빈약한 직관을 끊임없이 보강해야 하는 이유가 여기에 있습니다.

서인석

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수학

[카오스 짧강] 4색 문제

1960년대 수학계에서 활발하게 활동했던 볼프강 하켄은 복잡한 3차원 공간을 이해하는 독창적인 방법을 제시했습니다. 그는 면이라는 도구를 마치 날카로운 칼처럼 사용하여 공간을 잘라 나가는 방식을 제안했습니다. 이러한 과정을 반복하다 보면 아무리 복잡한 형태의 공간이라도 결국에는 아주 단순하고 다루기 쉬운 형태로 변모하게 됩니다. 이는 위상수학 분야에서 공간의 구조를 분석하고 분류하는 데 있어 매우 중요한 기초를 마련한 혁신적인 아이디어로 평가받고 있습니다. 하켄의 업적은 기하학에만 국한되지 않았습니다. 그는 대중적으로도 널리 알려진 '4색 정리'를 해결하는 데 결정적인 기여를 했습니다. 4색 정리란 평면 위에 그려진 어떤 지도라도 단 네 가지 색만 사용하면 인접한 국가들이 서로 겹치지 않게 칠할 수 있다는 수학적 난제입니다. 오랫동안 증명되지 않았던 이 가설은 하켄의 연구를 통해 비로소 명확한 해답을 얻게 되었습니다. 이 문제는 푸앵카레 추측만큼이나 수학사에서 거대한 비중을 차지하며 많은 이들의 호기심을 자극해 왔습니다. 볼프강 하켄은 서로 다른 수학 분야를 넘나들며 놀라운 성과를 거둔 인물입니다. 이산수학계에서는 그가 푸앵카레 추측에 기여한 바보다 4색 정리를 해결한 업적을 훨씬 더 높게 평가하기도 합니다. 공간의 위상적 성질을 탐구하는 것부터 복잡한 네트워크와 지도의 채색 문제를 해결하는 것까지, 그의 연구는 현대 수학의 여러 갈래에 깊은 영감을 주었습니다. 한 명의 수학자가 이토록 상이한 영역에서 동시에 역사적인 족적을 남겼다는 사실은 오늘날까지도 많은 학자들에게 경이로움을 선사합니다.

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[카오스 짧강] 권경환 교수의 업적 (Feat. 위상수학)

유클리드 공간은 우리가 흔히 접하는 1차원 선이나 2차원 평면, 3차원 공간을 일컫는 기하학의 가장 기초적인 단위입니다. 마치 정수를 구성하는 소수처럼, 유클리드 공간은 복잡한 기하학적 대상인 다양체를 형성하는 근본적인 원소 역할을 수행합니다. 권경환 교수는 이 단순해 보이는 기초 공간을 새로운 시각으로 바라보았습니다. 그는 가장 기본적인 단위로 여겨졌던 유클리드 공간이 사실은 두 개의 다른 공간의 곱으로 분해될 수 있다는 사실을 수학적으로 증명해냈습니다. 이는 당시 수학계에 큰 충격을 안겨준 혁신적인 발견으로, 기하학적 대상을 바라보는 기존의 고정관념을 완전히 뒤바꾸어 놓은 중요한 업적으로 평가받고 있습니다. 수학에서 불변량은 기하학적 대상이 변형되어도 바뀌지 않는 본질적인 특성을 수치나 구조로 나타낸 것입니다. 예를 들어 구멍의 개수를 의미하는 지너스나 호몰로지 같은 개념들이 이에 해당하며, 이는 대상의 핵심 정보를 담고 있습니다. 권경환 교수는 다양체의 중요한 불변량 중 하나인 '화이트헤드 토션'에 주목했습니다. 그는 이 불변량이 군 구조 내에서 덧셈과 곱셈 연산을 거칠 때 어떻게 변화하고 유지되는지를 명확하게 규명하였습니다. 이러한 연구는 복잡한 다양체의 성질을 체계적으로 이해하는 데 기여하였으며, 불변량을 통해 기하학적 구조의 본질을 파악하려는 현대 수학의 흐름에서 매우 중요한 위치를 차지하고 있습니다. 권경환 교수의 학문적 여정은 1960년대 중반에 이르러 독보적인 성취를 이루는 시기를 맞이하게 됩니다. 그는 단순히 기존의 이론을 답습하는 데 그치지 않고, 조각적 선형 다양체의 범주를 새롭게 정의하며 자신만의 독창적인 연구 분야를 개척해 나갔습니다. 이러한 다양체들을 분류하고 그 특성을 체계화하는 작업은 해당 분야에서 선구적인 역할을 했으며, 이후 수많은 후학에게 영감을 주는 이정표가 되었습니다. 평생에 걸쳐 학문의 경계를 넓히고 새로운 길을 제시한 그의 노력은 한국 수학계가 세계적인 수준으로 도약하는 데 든든한 밑거름이 되었으며, 오늘날까지도 그가 남긴 학술적 자산은 기하학 연구의 핵심적인 토대로 남아 있습니다.

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[카오스 짧강] 위상수학의 거목, 권경환 교수

포항공과대학교 수학과에는 '권경환 석좌교수'라는 매우 영예로운 직함이 존재합니다. 이는 우수한 연구 실적을 낸 교원에게 주어지는 특별한 직책으로, 서구권과 달리 한국에서는 인명을 딴 직함이 드물기에 그 상징성이 더욱 큽니다. 권경환 교수님은 퇴임 당시 자신의 퇴직금 전액을 기부하여 후학들을 위한 연구 지원 재원을 마련하셨습니다. 평생을 바쳐 일군 결실을 다시 학계에 환원한 교수님의 고귀한 뜻은 오늘날까지도 많은 수학자에게 깊은 울림과 영감을 주고 있습니다. 1929년 마산에서 태어난 권경환 교수님은 한국 근현대사의 격동기를 온몸으로 겪어낸 인물입니다. 6·25 전쟁의 참화 속에서 서울대학교 수학과에 입학한 그는 1953년 무렵 유학길에 올랐습니다. 나라가 어렵고 궁핍한 시기에 수학 연구에 매진하는 것을 스스로 죄스럽게 여겼을 만큼, 그는 학문적 성취 이전에 인간적인 고뇌와 책임감을 지닌 분이었습니다. 주변 동료와 후배들을 세심하게 챙겼던 그의 따뜻한 인품은 지금까지도 많은 이들 사이에서 아름다운 미담으로 회자되고 있습니다. 권경환 교수님은 위상수학 분야에서 세계적인 업적을 남긴 석학이었습니다. 그는 학계에서 최고 권위를 인정받는 학술지인 '애널스 오브 매스매틱스'에 두 편의 논문을 실었으며, '인벤티오네스 마테마티카에' 등 유수의 저널에 총 40여 편의 연구 결과를 발표했습니다. 단 한 편의 논문만으로도 학계에서 독보적인 영향력을 확보할 수 있는 권위 있는 지면에 다수의 기록을 남긴 것은 경이로운 성취입니다. 한국 수학의 위상을 세계적인 수준으로 끌어올린 그의 학문적 발자취는 후대 수학자들이 나아가야 할 이정표가 되고 있습니다.

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[카오스 짧강] 한국의 수학자 임덕상 교수, 대수기하학을 발전시키다

훌륭한 학자는 자신의 학문적 성취뿐만 아니라 후학에게 큰 영향을 주어 또 다른 대학자를 길러내기도 합니다. 한국 수학계의 거목 이임학 교수님 역시 그런 스승이었습니다. 그가 배출한 제자 중 임덕상 교수는 특히 주목할 만한 인물입니다. 그는 전쟁과 가난이라는 척박한 환경 속에서도 학업을 포기하지 않았습니다. 낮에는 고등학교 교사로 일하며 가족의 생계를 책임지고, 밤에는 공부에 매진하는 주경야독의 삶을 8년이나 이어가며 서울대학교를 졸업했습니다. 이러한 끈기와 의지는 그를 세계적인 수학자로 이끄는 원동력이 되었습니다. 임덕상 교수는 유학을 떠난 지 단 2년 만에 박사 학위를 취득하며 스승인 이임학 교수와 닮은꼴 행보를 보였습니다. 당시 한국인 수학자들은 주로 대수학 분야에서 세계적인 두각을 나타냈는데, 임 교수는 그중에서도 대수기하학이라는 분야의 권위자가 되었습니다. 대수기하학은 기하학적인 문제를 해결하기 위해 대수적인 방법을 사용하는 학문으로, 서로 다른 두 영역을 연결하는 가교 역할을 합니다. 이는 당시 척박했던 한국 수학계가 세계적인 수준으로 도약하는 데 중요한 학문적 토대가 되었으며, 후대 연구자들에게도 깊은 영감을 주었습니다. 기하학의 어원을 살펴보면 그 의미가 더욱 흥미롭습니다. 영어 단어 '지오메트리'는 그리스어로 땅을 뜻하는 '게오'와 측량을 뜻하는 '메트리아'가 합쳐진 말로, 본래 땅을 측정한다는 의미를 담고 있습니다. 이것이 중국으로 건너오면서 발음이 유사한 '기하'라는 한자로 번역되었습니다. '얼마 기'와 '어찌 하'를 사용하는 이 단어는 '얼마를 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 내포합니다. 국문학자 양주동 선생은 이 한자어의 뜻을 풀이한 '몇어찌'라는 수필을 통해 유클리드 기하학을 처음 접했을 때의 경이로움과 학문적 흥분을 생생하게 전달하기도 했습니다.

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[강연] "수학과 친해졌나요?" 상반기 총결산 1 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 10강 첫 번째 이야기 | 10강 ①

가우스는 18세기 이후 수학사에서 오일러와 함께 양대 산맥으로 꼽히는 위대한 인물입니다. 다작으로 유명했던 오일러와 달리, 가우스는 '적지만 최고만을'이라는 철학을 고수하며 완벽주의적인 면모를 보였습니다. 그는 수많은 수학적 발견을 자신의 일기장에만 기록하고, 스스로 완벽하다고 판단되는 극히 일부만을 논문으로 발표했습니다. 이러한 성향 때문에 발표된 논문의 수는 적었지만, 그 하나하나가 수학계에 거대한 파장을 일으키며 인류의 지성사를 바꾸어 놓았습니다. 가우스의 천재성은 어린 시절부터 남달랐습니다. 초등학생 시절, 선생님이 학생들을 조용히 시키기 위해 1부터 100까지의 합을 구하라는 문제를 냈을 때, 그는 단 몇 초 만에 정답인 5050을 도출해 냈습니다. 등차수열의 원리를 스스로 깨달아 암산으로 해결한 이 일화는 그의 비범함을 보여주는 대표적인 사례입니다. 그는 단순히 계산이 빠른 것을 넘어, 수의 체계와 규칙을 꿰뚫어 보는 통찰력을 지니고 있었으며, 이는 훗날 그가 '수학의 왕자'로 불리는 밑거름이 되었습니다. 가우스는 추상적인 수의 개념을 시각화하는 데에도 큰 공헌을 했습니다. 그는 제곱해서 음수가 되는 허수를 포함한 복소수를 평면 위의 좌표로 나타내는 '복소평면'을 체계화했습니다. 이를 통해 모든 다항 방정식은 그 차수만큼의 해를 가진다는 '대수학의 기본 정리'를 증명해 냈습니다. 숫자를 직선상의 점이 아닌 평면상의 위치로 확장한 그의 발상은 현대 수학뿐만 아니라 전자기력과 같은 물리학 분야를 설명하는 데 필수적인 도구가 되었으며, 과학 기술 발전의 결정적인 계기가 되었습니다. 가우스가 수학자의 길을 걷기로 결심한 결정적인 계기는 정17각형의 작도 가능성을 증명한 사건이었습니다. 고대 그리스 이후 수천 년 동안 해결되지 않았던 이 난제를 그는 불과 19세의 나이에 대수적인 방법으로 해결했습니다. 그는 이 업적을 너무나 자랑스럽게 여겨 자신의 묘비에 정17각형을 새겨달라고 유언을 남길 정도였습니다. 이는 단순한 기하학적 성과를 넘어, 작도의 문제를 군론의 기초가 되는 방정식의 성질과 연결한 혁신적인 시도였으며, 현대 대수학의 문을 여는 중요한 열쇠가 되었습니다. 가우스의 영향력은 순수 수학을 넘어 통계학과 현대 과학 전반에 깊숙이 스며들어 있습니다. 자연 현상이나 실험 데이터의 분포를 설명하는 '정규 분포'는 그의 이름을 따서 '가우스 분포'라고도 불립니다. 이는 우주의 기본 법칙과도 같아서, 오늘날 인공지능의 생성 모델이나 기계 학습 연구에서도 핵심적인 수학적 근간으로 활용되고 있습니다. 18세기에 활동했던 한 천재의 이론이 21세기 첨단 기술의 뿌리가 되고 있다는 사실은, 가우스가 남긴 족적이 얼마나 거대하고 영원한지를 잘 보여줍니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 위상수학의 놀라운 응용, 데이터도 모양이 있다? 1_by 최수영 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 9강 첫 번째 이야기 | 9강 ①

수학은 영화 속에서 천재들의 삶을 조명하거나 거대한 우주의 신비를 푸는 열쇠로 자주 등장합니다. 영화 '인터스텔라'에서 종이를 접어 펜을 꽂는 장면은 광활한 우주를 단순한 기하학적 대상이 아닌, 접고 펼 수 있는 위상수학적 공간으로 이해하게 해줍니다. 이처럼 수학은 우리가 세상을 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓습니다. 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 공간의 본질적인 구조를 탐구하는 위상수학은 현대 과학의 다양한 분야에서 새로운 영감을 제공하며 그 영역을 넓혀가고 있습니다. 위상수학은 기존의 관점과는 완전히 다른 새로운 시각으로 공간을 바라보는 학문입니다. 과거에는 너무 난해하여 실생활 응용이 어려울 것이라 여겨졌으나, 최근에는 물리학과 데이터 분석 등 여러 분야에서 놀라운 성과를 거두고 있습니다. 2016년 노벨 물리학상 수상이나 허준이 교수의 필즈상 수상 배경에도 위상수학적 관점이 핵심적인 역할을 했습니다. 복잡한 데이터 속에서 유의미한 구조를 찾아내는 '위상 데이터 분석(TDA)'은 현대 사회의 방대한 정보를 해석하는 강력한 도구로 자리 잡으며 수학의 실용성을 증명하고 있습니다. 18세기 수학자 오일러는 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이에 일정한 규칙이 있음을 발견했습니다. 그는 친구 골드바흐에게 보낸 편지에서 꼭짓점의 수에서 모서리의 수를 빼고 면의 수를 더하면 항상 2가 된다는 사실을 밝히며, 왜 이 간단한 진리를 이제야 알았는지 한탄하기도 했습니다. 이 공식은 단순한 산술적 계산을 넘어 공간의 연결 관계를 정의하는 '오일러 지표'의 시초가 되었습니다. 이는 기하학이 길이와 각도라는 고전적 틀에서 벗어나, 공간의 본질적인 연결성에 주목하게 된 역사적인 전환점이었습니다. 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 하나는 '불변량'입니다. 이는 공간을 구부리거나 늘려도 변하지 않는 고유한 값을 의미합니다. 예를 들어, 동그란 고무줄을 가위로 자르면 그 형태가 선으로 변하면서 오일러 지표가 달라지게 됩니다. 수학적으로 두 공간의 불변량이 다르다는 것은, 아무리 주무르고 변형해도 결코 같은 모양이 될 수 없음을 뜻합니다. 이러한 원리는 우리가 일상에서 마주하는 다양한 형태들이 본질적으로 어떻게 다른지를 명확하게 구분해 주는 강력한 논리적 근거가 되며, 공간에 대한 인류의 이해를 한 차원 높여주었습니다. 수학자들은 수식에서 단순한 계산 이상의 아름다움을 발견하곤 합니다. 세상에서 가장 아름다운 정리로 꼽히는 오일러 공식은 전혀 관련 없어 보이는 다섯 가지 상수인 0, 1, e, i, π를 하나의 짧은 식으로 완벽하게 연결합니다. 또한, 두 번째로 아름답다고 평가받는 오일러 다면체 공식은 복잡한 입체 도형의 본질을 꿰뚫는 간결함을 보여줍니다. 이처럼 추상적이고 고차원적인 개념들이 서로 맞물려 하나의 진리로 수렴하는 과정에서 수학자들은 깊은 희열을 느낍니다. 수학은 결국 복잡한 세상을 가장 단순하고 우아한 언어로 설명하려는 노력의 산물입니다.

최수영

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[강연] 수학자들을 괴롭힌 100년의 난제, 푸앵카레 추측 1_by 김상현 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 8강 첫 번째 이야기 | 8강 ①

위상수학은 공간의 형태와 성질을 탐구하는 현대 기하학의 핵심 분야입니다. 20세기 초 앙리 푸앵카레는 수학을 '서로 다른 대상에 같은 이름을 붙이는 학문'이라 정의하며, 공간을 부드럽게 변형해도 변하지 않는 본질적인 특성에 주목했습니다. 삼각형이나 사각형을 원과 같은 존재로 간주하는 이 독특한 관점은 우리가 사는 세상을 이해하는 새로운 틀을 제공했습니다. 복잡한 수식 너머에 존재하는 공간의 연결 상태와 구조를 파악함으로써, 수학자들은 보이지 않는 우주의 이면을 논리적으로 설계하고 증명해 나가는 지적인 여정을 시작하게 되었습니다. 인류는 아주 오래전부터 우리가 발을 딛고 있는 공간의 전체적인 모양을 궁금해해 왔습니다. 천문학자가 별을 관측하며 우주의 끝을 상상했다면, 수학자들은 논리적 가설을 통해 공간의 기하학적 구조를 탐색했습니다. 특히 유한하면서도 끝이 없는 공간에 대한 탐구는 수학적 상상력의 정점을 보여줍니다. 아인슈타인이 우주의 무한성에 대해 의문을 던졌듯, 수학자들은 경계에 부딪히지 않고도 되돌아올 수 있는 닫힌 공간의 가능성을 연구했습니다. 이는 단순히 추상적인 유희를 넘어, 우리가 속한 우주의 본질적인 형태를 규명하려는 거대한 시도였습니다. 푸앵카레 추측은 3차원 공간에서 유한하고 끝이 없는 공간은 본질적으로 '3차원 구' 하나뿐이라는 대담한 가설입니다. 이 난제는 100년이 넘는 시간 동안 수많은 수학자를 매료시키며 수학사의 거대한 이정표가 되었습니다. 마치 아폴로 프로젝트가 달 착륙이라는 목표를 넘어 수많은 과학적 부산물을 낳았듯, 푸앵카레 추측을 증명하려는 노력은 현대 수학의 여러 분야를 비약적으로 발전시켰습니다. 비록 그 과정은 험난했지만, 하나의 문제를 풀기 위해 전 세계 수학자들이 매달린 이 사건은 지식의 지평을 넓히고 새로운 패러다임을 형성하는 계기가 되었습니다. 고차원의 공간을 이해하기 위해 수학자들은 종종 낮은 차원의 비유를 활용합니다. 소설 '플랫랜드'에 등장하는 2차원 벌레의 시선으로 세상을 바라보면, 자신이 사는 공간이 구면인지 혹은 도넛 모양의 토러스인지 구분하는 법을 배울 수 있습니다. 빛이 공간을 따라 직진하여 자신의 뒤통수를 비추는 현상이나, 특정 방향으로 던진 고무줄이 한 점으로 수축하지 않고 걸리는 현상은 공간의 위상적 차이를 드러냅니다. 이러한 사고 실험은 우리가 직접 관측할 수 없는 3차원 이상의 공간 구조를 직관적으로 이해하게 하며, 보이지 않는 세계를 시각화하는 강력한 도구가 됩니다. 공간의 다양성은 단순히 구나 도넛 모양에 그치지 않고 쌍곡 공간과 같은 기하학적 세계로 확장됩니다. 예술가 에셔의 작품 '천사와 악마'는 이러한 쌍곡 공간의 특성을 시각적으로 완벽하게 구현해 낸 사례로 꼽힙니다. 중심에서 멀어질수록 크기가 작아지는 것처럼 보이지만, 실제로는 동일한 크기의 문양들이 지수함수적으로 팽창하는 공간의 성질을 담고 있습니다. 이처럼 수학은 예술과 결합하여 인간의 인지 한계를 넘어서는 공간의 풍경을 그려냅니다. 결국 위상수학은 우리가 상상할 수 있는 모든 세상의 규칙과 패턴을 찾아내어 우주의 지도를 완성해 가는 과정이라 할 수 있습니다.

김상현

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] '모양(shape)' 연구의 대가 - In Memory of 권경환 1_by 김연응 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 7강 첫 번째 이야기 | 7강 ①

수학의 세계에서 위대한 업적을 남긴 권경환 교수는 한국 수학계의 거목으로 기억됩니다. 그는 포항공과대학교에서 자신의 퇴직금을 전액 기부하여 '권경환 석좌교수'라는 영예로운 직함을 만드는 데 기여했습니다. 이는 단순히 금전적 기부를 넘어 후배 연구자들에게 학문적 자부심과 연구 환경을 제공하려는 숭고한 뜻이 담긴 사례입니다. 권 교수는 어려운 시기에도 수학 연구에 매진하며 인품과 실력을 겸비한 학자로 칭송받았으며, 그의 삶은 오늘날 많은 수학자에게 큰 귀감이 되고 있습니다. 위상수학은 우리가 흔히 아는 기하학과 본질적인 차이를 가집니다. 기하학이 물체의 굽은 정도나 면과 면이 만나는 각도와 같은 구체적인 수치를 중요하게 여긴다면, 위상수학은 물체의 형태를 연속적으로 변형했을 때 변하지 않는 성질에 집중합니다. 즉, 어느 정도 휘었는지는 중요하지 않으며, 하나의 대상을 끊거나 붙이지 않고 다른 모양으로 만들어낼 수 있는지가 핵심입니다. 이러한 관점은 공간을 이해하는 새로운 틀을 제공하며, 복잡한 형태 속에서 숨겨진 본질을 꿰뚫어 보게 합니다. 위상수학의 개념적 뿌리는 오일러가 해결한 쾨니히스베르크의 다리 문제에서 찾을 수 있습니다. 일곱 개의 다리를 한 번씩만 건너 모두 지날 수 있는지를 탐구하던 오일러는, 지형의 구체적인 크기나 거리가 아닌 지점 간의 연결 상태가 문제의 핵심임을 발견했습니다. 이는 복잡한 현실 세계를 추상화하여 본질적인 연결 구조만을 추출하는 과정이었으며, 현대 위상수학이 탄생하는 결정적인 출발점이 되었습니다. 거리가 멀어도 연결 방식이 같다면 수학적으로는 동일한 구조로 간주하는 것입니다. 우리가 일상에서 접하는 지하철 노선도는 위상수학적 사고가 반영된 대표적인 사례입니다. 실제 지형을 그대로 반영한 지도와 달리, 노선도는 역과 역 사이의 연결 관계라는 핵심 정보만을 도식화하여 보여줍니다. 노선이 직선인지 곡선인지, 혹은 역 사이의 실제 거리가 얼마인지는 중요하지 않습니다. 정보의 연결성이 동일하다면 두 지도는 ‘위상적 동치’라고 부르며, 이는 복잡한 시스템을 효율적으로 이해하게 돕습니다. 형태가 바뀌어도 정보의 본질은 유지된다는 원리가 담겨 있습니다. 위상수학에서 물체를 분류하는 중요한 기준 중 하나는 '구멍의 개수'입니다. 이를 수학적 용어로 '지너스(Genus)'라고 부릅니다. 예를 들어, 구멍이 없는 끈이나 하트 모양의 찰흙은 지너스가 0인 반면, 구멍이 하나인 팔찌나 빨대는 지너스가 1인 대상입니다. 직관적으로는 매우 다르게 보이는 물체들이라도 구멍의 개수가 같다면 위상적으로는 같은 종류로 분류될 수 있습니다. 이는 모양의 겉모습보다 구조적 특징을 우선시하는 방식이며, 사물을 바라보는 수학자들의 독특한 시각을 잘 보여줍니다. 물체를 변형할 때 ‘연속적 변환’을 유지하는 것은 위상수학의 대전제입니다. 변환 과정에서 물체를 가위로 자르거나, 떨어져 있던 부분을 억지로 붙이는 행위는 허용되지 않습니다. 고무줄을 늘리거나 찰흙을 주무르는 것처럼 형태를 부드럽게 바꾸는 것만이 연속적 변환에 해당합니다. 만약 변형 과정에서 파괴적인 행위가 일어난다면, 그것은 더 이상 원래의 물체와 같은 성질을 공유한다고 볼 수 없으며 위상적 동치 관계도 깨지게 됩니다. 이러한 엄격한 규칙 아래에서 수학적 '같음'이 정의됩니다. 수학자들은 공간의 성질을 더욱 엄밀하게 정의하기 위해 '기본군'이라는 개념을 도입합니다. 이는 공간 내에서 시작점과 끝점이 같은 경로인 '루프'를 만들어 그 특성을 분석하는 방법입니다. 구멍이 없는 공간에서는 모든 루프를 하나의 점으로 수축시킬 수 있지만, 구멍이 있는 공간에서는 루프가 구멍에 걸려 수축되지 않는 경우가 발생합니다. 이러한 루프들의 집합이 이루는 군 구조를 통해 우리는 공간의 구조를 수학적으로 완벽하게 설명할 수 있습니다. 결국 위상수학은 보이지 않는 연결의 법칙을 찾는 여정입니다.

김연응

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 1_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 첫 번째 이야기 | 5강 ①

수학자라고 하면 흔히 우리와 다른 세상에 살거나 복잡한 계산을 척척 해내는 천재를 떠올리곤 합니다. 하지만 실제 수학자들은 계산기 없이는 간단한 셈도 불안해하거나, 일상에서는 멍하니 생각에 잠겨 바보 같다는 소리를 듣기도 하는 평범한 면모를 지니고 있습니다. 수학의 본질은 단순한 암산이 아니라 기호와 논리를 통해 세상을 이해하는 과정에 있기 때문입니다. 이들은 MBTI의 'T' 성향처럼 이성적일 때도 있지만, 새로운 아이디어를 위해 끊임없이 상상하는 'N'의 면모도 함께 갖추고 있습니다. 수학은 다른 학문과 달리 기존의 이론이 폐기되지 않고 켜켜이 쌓여 거대한 탑을 이루는 독특한 학문입니다. 경제학이나 다른 사회과학이 시대의 흐름에 따라 패러다임이 바뀌며 이전 이론을 대체하는 것과 대조적입니다. 특히 대수기하학은 중고등학교 과정부터 접할 수 있는 익숙한 분야이면서도, 인류 역사상 가장 뛰어난 천재들의 업적이 층층이 쌓여 만들어진 매우 깊고 매력적인 학문입니다. 한 층이 완성되면 다음 천재가 그 위에 새로운 층을 올리는 방식으로 수학의 지평은 계속해서 넓어지고 있습니다. 현대에 이르러 인공지능이 수학적 난제를 해결할 것이라는 기대가 높지만, 수학의 진정한 가치는 문제를 해결할 때 느끼는 인간의 희열에 있습니다. 인공지능은 방대한 데이터를 계산하고 새로운 패턴이나 반례를 찾는 데 탁월한 능력을 발휘하며 수학자들에게 새로운 도구를 제공합니다. 그러나 어려운 문제를 며칠 밤낮 고민하다가 마침내 해답을 찾아냈을 때의 그 통쾌함과 행복은 기계가 결코 흉내 낼 수 없는 영역입니다. 이러한 성취감은 수학을 단순한 공부가 아닌 즐거운 놀이이자 예술로 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 즐거움을 보여주는 대표적인 사례로 '바리뇽의 정리'가 있습니다. 아무렇게나 그린 못생긴 사각형이라도 각 변의 중점을 연결하면 마법처럼 완벽한 평행사변형이 나타납니다. 처음에는 우연처럼 보이지만, 대각선이라는 보조선 하나를 긋는 순간 닮음의 원리가 명확히 드러나며 해답이 벼락처럼 머릿속을 스칩니다. 이처럼 보이지 않던 구조를 발견하고 논리적으로 증명해 나가는 과정은 마치 마술의 비밀을 알아내는 것과 같은 짜릿한 쾌감을 선사하며, 이것이 바로 수학자들이 연구에 몰두하는 이유입니다. 오일러가 해결한 '쾨니히스베르크의 다리 문제'는 복잡한 현실을 단순화하여 구조를 파악하는 수학적 사고의 정수를 보여줍니다. 그는 지형의 구체적인 수치 대신 연결 관계에만 집중하여 '그래프 이론'이라는 새로운 분야를 개척했습니다. 이러한 발상의 전환은 오늘날 물류 시스템, 데이터 네트워크 설계, 지하철 노선도 등 현대 산업 전반에 걸쳐 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 복잡한 세상 속에서 우리에게 정말 중요한 데이터가 무엇인지 선별해 주는 강력한 도구입니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 1_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 첫 번째 이야기 | 4강 ①

위대한 과학자의 길은 흔히 고독한 연구의 연속이라 생각하기 쉽습니다. 하지만 물리학자 이휘소 박사를 추모하는 강연에서 만난 젊은 트호프트 박사의 이야기는 이러한 편견을 깨뜨려 주었습니다. 그는 동료 과학자들과의 깊은 유대감과 공동의 성취가 얼마나 큰 가치를 지니는지 강조했습니다. 학문적 성과 뒤에 숨겨진 뜨거운 동지애는 누군가에게는 평생을 바칠 학문의 길로 들어서는 결정적인 전환점이 되기도 합니다. 과학은 혼자 하는 것이 아니라, 서로의 지혜를 나누며 함께 나아가는 과정임을 깨닫는 순간 새로운 세계가 열립니다. 이휘소 박사는 한국인 물리학자 중 노벨상에 가장 근접했다는 평가를 받는 인물입니다. 화학공학으로 시작해 물리학으로 전향한 그는 유학 시절 탁월한 재능을 인정받아 세계적인 연구소에서 수많은 업적을 남겼습니다. 비록 40대 초반이라는 젊은 나이에 안타까운 사고로 생을 마감했지만, 그가 남긴 학문적 유산은 여전히 후대 과학자들에게 큰 영감을 주고 있습니다. 그의 삶은 단순한 천재성을 넘어, 진리를 향한 열정과 헌신이 무엇인지를 보여주는 상징과도 같습니다. 이러한 위대한 선구자의 발자취는 다음 세대의 꿈을 키우는 밑거름이 됩니다. 수학의 세계에는 '빅 매스(Big Math)'라는 화두가 존재합니다. 이는 단순히 논문을 쓰기 위한 지엽적인 연구가 아니라, 학문의 근본적인 흐름을 바꾸는 거대한 주제에 도전하는 정신을 의미합니다. 20세기 최고의 수학적 기획이라 불리는 '랭글랜즈 프로그램'은 수많은 수학자에게 영감을 주었으며, 이를 통해 수학의 여러 분야가 하나로 연결되는 놀라운 경험을 선사했습니다. 방황하던 시기에 만난 이러한 거대한 비전은 한 개인의 인생을 수학자의 길로 이끄는 강력한 이정표가 됩니다. 큰 꿈을 품고 본질을 꿰뚫는 연구에 매진하는 태도는 모든 학문의 지향점입니다. 한국 수학계의 거목인 이임학 교수와 그의 제자 임덕상 교수의 이야기는 역경을 이겨낸 학문적 의지를 잘 보여줍니다. 전쟁과 가난이라는 혹독한 환경 속에서도 주경야독하며 학업을 이어간 이들은 짧은 유학 기간에도 불구하고 세계적인 학문적 성취를 이루어냈습니다. 특히 대수학 분야에서 이들이 남긴 족적은 한국 수학의 위상을 높이는 데 결정적인 역할을 했습니다. 스승의 가르침이 제자에게 이어지고, 그 제자가 다시 세계적인 학자로 성장하는 과정은 학문의 계보가 어떻게 형성되는지를 보여주는 감동적인 사례입니다. 현대 수학의 주요 분야인 대수기하학은 기하학적 대상을 대수적인 방법으로 분석하는 학문입니다. 이는 마치 칸딘스키나 몬드리안 같은 추상 화가들이 사물의 외형 너머에 숨겨진 본질적인 구조를 탐색하는 과정과 닮아 있습니다. 미술 작품 속의 점, 선, 면이 이루는 조화는 수학자가 추구하는 구조의 명징성과 궤를 같이합니다. 복잡한 현상 속에서 명확한 질서를 찾아내려는 노력은 예술과 수학 모두가 공유하는 가치입니다. 이러한 시각으로 세상을 바라볼 때, 우리는 수학이 단순한 계산을 넘어 세상을 이해하는 아름다운 언어임을 깨닫게 됩니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 2_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 두 번째 이야기 | 1강 ②

군론은 현대 대수학의 핵심적인 분야로, 집합과 그 위에서 정의된 이항 연산이 특정 조건을 만족하는 구조를 연구하는 학문입니다. 흔히 인공지능이나 교과서에서는 이를 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 역원이라는 네 가지 기본 조건으로 설명하곤 합니다. 하지만 수식 너머의 군론은 단순히 추상적인 기호의 나열이 아니라, 우리 주변의 대칭성과 패턴을 수학적으로 체계화한 강력한 도구입니다. 이는 수학뿐만 아니라 물리학, 컴퓨터과학 등 다양한 학문에서 구조를 이해하는 열쇠로 활용됩니다. 일상에서 대칭은 균형과 안정감을 의미합니다. 건축물의 견고함이나 생명체의 세포 분열 과정에서도 대칭은 필수적인 요소로 작용하며, 군론은 이러한 대칭이라는 직관적인 개념을 수학적으로 정의합니다. 예를 들어 정삼각형을 회전시키거나 뒤집어도 모양이 유지되는 모든 이동 방법을 모아놓은 것이 바로 대칭군입니다. 480도 회전이 120도 회전과 같다는 통찰처럼, 군론은 복잡한 변화 속에서도 변하지 않는 본질적인 구조를 찾아내어 세상을 더 단순하고 명확하게 바라보게 합니다. 방정식의 해를 구하는 과정에도 대칭의 원리가 숨어 있습니다. 이차방정식의 근의 공식에 나타나는 플러스-마이너스 기호는 해의 대칭성을 상징하며, 고차 방정식으로 갈수록 근들은 복소평면 위에서 정다각형과 같은 기하학적 구조를 이룹니다. 흥미로운 점은 5차 이상의 방정식에는 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실입니다. 이는 정다면체가 우주에 단 다섯 개뿐인 것처럼, 대칭 구조 자체가 가진 복잡성과 한계 때문에 발생하는 수학적 필연성을 보여주는 대표적인 사례입니다. 군론의 응용 범위는 상상을 초월하여 우리 삶의 도처에 스며들어 있습니다. 화학에서는 다이아몬드나 흑연의 분자 구조를 분석하여 물질의 안정성을 파악하고, 생물학에서는 바이러스의 대칭적인 복제 메커니즘을 이해하는 데 쓰입니다. 특히 디지털 통신 분야의 오류 정정 부호는 군론의 정수라 할 수 있습니다. 데이터 전송 중 발생하는 손상을 대칭 구조를 통해 감지하고 복원함으로써, 우리가 매일 사용하는 메신저나 동영상 스트리밍이 정확하게 전달될 수 있도록 돕는 핵심적인 역할을 수행합니다. 한국이 낳은 세계적인 수학자 이임학 교수는 군론의 역사에 거대한 족적을 남겼습니다. 그는 모든 유한군의 기본 단위가 되는 '유한 단순군' 연구에 기여하며, 자신의 이름을 딴 '이 군(Ree groups)'을 발견했습니다. 이는 화학의 주기율표에서 새로운 원소를 찾아낸 것과 비견되는 업적으로, 150년 넘게 이어진 거대 프로젝트의 핵심 퍼즐을 맞춘 것입니다. 이처럼 군론은 보이지 않는 곳에서 우주의 질서를 설명하며, 추상적인 논리가 어떻게 현실의 기술과 과학으로 연결되는지를 완벽하게 증명하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 1_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 첫 번째 이야기 | 1강 ①

많은 이들이 수학을 막연한 두려움이나 적개심의 대상으로 여기곤 합니다. 하지만 수학자들 역시 수학이 무섭고 때로는 고통스러운 존재라고 고백합니다. 그들은 우리 모두가 어느 시점에서 포기하느냐가 다를 뿐, 본질적으로는 모두가 '수포자'와 같은 심정을 공유한다고 말합니다. 이러한 공감대는 수학이 단순히 천재들만의 전유물이 아니라, 좌절을 견디고 도전하는 과정에서 얻는 아주 드문 희열을 동력으로 삼는 인간적인 학문임을 보여줍니다. 수학자에 대한 고정관념 중 하나는 그들이 오직 문제 풀이에만 몰두하는 괴짜 천재라는 점입니다. 하지만 실제 수학자들은 테니스나 게임을 즐기고, 장르를 가리지 않는 독서광이기도 합니다. 어떤 이는 프로게이머를 꿈꿨을 만큼 평범한 취미에 진심을 다하기도 합니다. 이러한 인간적인 면모는 수학이라는 학문이 차가운 수식의 나열이 아니라, 다양한 개성을 가진 사람들이 각자의 방식으로 세상을 이해하려는 노력의 산물임을 깨닫게 해줍니다. 대수학은 흔히 어렵게 느껴지지만, 사실 '숫자를 대신한다'는 단순한 원리에서 시작됩니다. 복잡한 현실의 문제를 x, y와 같은 문자로 단순화하여 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 역사적으로 방정식은 땅의 넓이를 재거나 건물을 짓는 실용적인 목적에서 발전해 왔습니다. 사회가 고도화되고 금융과 화폐 경제가 발달하면서 복리 계산과 같은 더 높은 차원의 방정식이 필요해졌고, 이는 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지를 잘 보여줍니다. 수 세기 동안 수학자들은 이차 방정식의 근의 공식처럼 5차 이상의 고차 방정식에서도 일반적인 해법을 찾고자 분투했습니다. 그러나 노르웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아라는 두 젊은 천재는 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 공식을 찾지 못한 것이 아니라, 수학적 구조상 불가능함을 밝혀낸 혁명적인 사건이었습니다. 이들의 발견은 인류가 2,000년 동안 품어온 질문에 종지부를 찍으며 수학의 새로운 지평을 열었습니다. 갈루아는 고차 방정식의 해법을 연구하는 과정에서 '군론(Group Theory)'이라는 새로운 수학적 언어를 창조했습니다. 그는 방정식의 근들이 가진 대칭성과 구조를 분석함으로써 문제의 본질에 접근했습니다. 군론은 단순히 계산을 넘어 추상적인 구조를 다루는 현대 대수학의 시초가 되었으며, 오늘날 물리학과 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 보이지 않는 질서를 수식으로 포착하려 했던 젊은 수학자의 열정은 현대 과학의 근간을 이루는 위대한 유산이 되었습니다. 한국 수학계의 선구자인 이임학 교수는 일제강점기와 해방 직후의 척박한 환경 속에서도 세계적인 업적을 남겼습니다. 그는 독학으로 최신 수학 잡지를 탐독하며 당시의 난제들을 해결했고, 한국인 최초로 국제 학술지에 논문을 발표하는 쾌거를 이루었습니다. 특히 군론 분야에서 그가 발견한 '리 군(Ree Group)'은 현대 수학의 중요한 성과로 인정받고 있습니다. 정식 대학원 교육조차 받기 어려웠던 시절, 오로지 학문에 대한 열정 하나로 세계 무대에 우뚝 선 그의 삶은 경이로움 그 자체입니다. 이임학 교수의 생애는 한국 근현대사의 비극과 맞닿아 있습니다. 냉전 시대의 정치적 상황으로 인해 국적을 박탈당하고 캐나다에서 무국적자로 살아야 했던 시련 속에서도 그는 연구를 멈추지 않았습니다. 그는 자신의 성취에 머물지 않고 후학들을 위해 교재를 번역하며 한국 수학의 기틀을 닦는 데 헌신했습니다. 세계가 인정한 천재였으나 조국에서는 오랫동안 잊혔던 그의 이야기는, 진리를 향한 순수한 열정이 시대의 아픔을 어떻게 초월할 수 있는지를 우리에게 깊은 울림으로 전해줍니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[페스티벌+어스] 필즈상 수상자 허준이교수와 함께 하는 수학콘서트 by 허준이 ㅣ 2022 대한민국 과학축제(페스티벌 어스)

2022년 필즈상 수상자 허준이 교수는 수학의 대중적 관심을 이끌어낸 상징적인 인물입니다. 그는 동료 수학자인 김재원 교수와 함께 유학 시절의 추억을 나누며 수학자가 되기까지의 과정을 회상합니다. 수학은 단순히 어려운 문제를 푸는 학문이 아니라, 사람과 사람이 만나 아이디어를 나누고 함께 성장하는 과정임을 보여줍니다. 그의 이야기는 천재적인 면모 뒤에 숨겨진 평범하고 인간적인 매력을 드러내며 많은 이들에게 깊은 영감을 줍니다. 필즈상은 흔히 '수학계의 노벨상'이라 불리지만, 40세 이하라는 독특한 나이 제한이 있습니다. 이는 수상자가 젊은 나이에 명성을 얻어 이후 오랜 기간 사회에 선한 영향력을 행사하고 학문 발전을 이끌도록 장려하기 위함입니다. 허 교수는 이러한 상의 무게감을 인지하면서도, 대중의 관심과 댓글을 직접 확인하며 소통하는 소탈한 모습을 보입니다. 수학적 업적만큼이나 그가 가진 사회적 역할에 대한 책임감이 돋보이는 대목이라 할 수 있습니다. 수학자는 크게 새로운 이론을 정립하는 '이론가'와 난제를 해결하는 '문제 해결사'로 나뉩니다. 허준이 교수는 자신을 그 중간 지점에 위치한 수학자로 정의합니다. 그는 조합론과 대수기하학이라는 서로 다른 두 분야를 연결하여 수학계에 새로운 놀이터를 제공했습니다. 이는 단순히 정답을 찾는 것을 넘어, 후대 수학자들이 마음껏 뛰어놀 수 있는 새로운 언어와 틀을 개발했다는 점에서 학술적으로 매우 큰 의미를 가집니다. 수학 연구에서 공동 연구는 이제 필수적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 다른 과학 분야가 프로젝트를 나누어 수행하는 분업 형태라면, 수학은 하나의 문제를 두고 서로의 아이디어를 주고받으며 한 발짝씩 나아가는 과정입니다. 허 교수는 공동 연구의 핵심으로 인간적인 유대감을 꼽습니다. 서로 충분히 친해지고 마음이 열렸을 때 비로소 각자가 가진 퍼즐 조각을 맞추어 하나의 정교한 그림을 완성할 수 있기 때문입니다. 수학자의 일상은 업무와 휴식의 경계가 모호하다는 특징이 있습니다. 소파에 누워 눈을 감고 생각에 잠긴 순간조차 수학자에게는 치열한 연구의 시간입니다. 허 교수는 젊은 시절 스스로를 조절하는 데 어려움을 겪기도 했지만, 이제는 가족과 시간을 보내며 적절한 휴식을 취하는 법을 터득했습니다. 유연한 시간 활용은 수학자라는 직업이 가진 큰 장점이자, 끊임없는 사고를 이어가야 하는 이들에게 반드시 필요한 덕목입니다. 허준이 교수와 김재원 교수가 연구하는 조합론은 유한한 집합들 사이의 관계와 패턴을 탐구하는 학문입니다. 허 교수가 현미경으로 아주 작은 대상을 관찰하듯 세밀한 패턴을 찾아낸다면, 김 교수는 망원경으로 거대 구조를 보듯 전체적인 경향성을 연구합니다. 이처럼 같은 분야 안에서도 수학자들은 각기 다른 시각으로 세상을 바라봅니다. 이들의 연구는 서로 다른 대상들이 가진 원초적인 공통점을 발견해 나가는 즐거운 여정입니다. 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 지식 습득 그 자체보다 생각하는 힘을 기르는 데 있습니다. 현대 사회에서 수학은 과학과 기술의 기초 언어일 뿐만 아니라, 자신의 논리를 타인에게 엄밀하게 전달하고 설득하는 소통의 도구입니다. 허 교수는 수학적 사고가 인생 전반에 걸쳐 유용한 기술이 될 수 있음을 강조합니다. 정답을 맞히는 기술을 넘어, 세상을 논리적으로 이해하고 소통하는 법을 배우는 것이 바로 수학의 본질입니다.

허준이

카오스재단2022 대한민국 과학축제 ㅣ 페스티벌 어스

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[질문Q] 수포자가 되지 않는 방법은? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여

수학 교육 현장에서 '수포자'라는 단어가 유행처럼 번지는 현실은 매우 안타까운 일입니다. 이는 학생들이 수학을 이해하지 못해서라기보다, 비정상적으로 꼬여 있는 문제나 지엽적인 기술만을 강조하는 교육 방식에 기인한 측면이 큽니다. 수학을 거대한 틀에서 바라보지 못하게 하고 상상력을 제한하는 현재의 입시 중심 교육은 수학을 즐거운 탐구가 아닌 고통스러운 노동으로 변질시킵니다. 양적인 학습보다는 수학적 의미를 되새기고 흥미를 느낄 수 있는 동기 부여의 시간이 절실합니다. 수학을 연구하는 과정에서 겪는 막막함은 비단 학생들만의 고민이 아닙니다. 세계적인 수학자들조차 자신의 재능을 의심하거나 독창적인 연구를 해낼 수 있을지 고뇌하는 순간을 마주하곤 합니다. 중요한 것은 이러한 어려움 속에서도 자신이 가치 있다고 믿는 문제를 향해 꾸준히 나아가는 태도입니다. 수학은 단기적인 성과보다 장기적인 흥미와 즐거움이 더 큰 힘을 발휘하는 학문입니다. 스스로에 대한 확신을 가지고 단계를 넘어서다 보면 결국 자신만의 가치 있는 답을 찾게 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름 중 하나인 랭랜즈 프로그램은 서로 다른 수학 분야들을 하나의 체계로 통합하려는 원대한 시도입니다. 지난 수십 년간 수학은 정수론적 문제를 해결하기 위해 해석학이나 기하학의 도구를 동원하는 등 분야 간의 경계가 점점 옅어지는 방향으로 발전해 왔습니다. 이러한 통합이 완벽히 이루어지기까지는 수백 년의 시간이 더 걸릴지도 모르지만, 복잡하게 얽힌 수학적 구조를 보다 근본적으로 이해하려는 노력은 지금 이 순간에도 끊임없이 이어지고 있습니다. 수학의 여러 분야가 서로의 도구를 공유하며 융합되는 추세임에도 불구하고, 각 분야 고유의 정체성은 여전히 중요한 의미를 지닙니다. 어떤 도구를 사용하느냐보다 궁극적으로 무엇을 알고 싶어 하는가에 따라 수학자의 정체성이 결정되기 때문입니다. 마치 하나의 국가 안에서도 지역마다 고유한 특색이 살아있듯, 수학 또한 거대한 통합의 길을 지향하면서도 각 세부 분야만의 독특한 시각과 해석 방식을 유지합니다. 이러한 다양성은 수학이라는 학문을 더욱 풍요롭고 거대하게 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 지식을 대중에게 전달하는 방식에 있어서도 새로운 변화가 필요합니다. 단순하고 얕은 수준의 정보 전달을 넘어, 조금 더 깊이 있고 본질적인 수학의 아름다움을 다루는 고급 강연이 많아져야 합니다. 랭랜즈 프로그램이나 리만 가설과 같은 거대한 난제들이 서로 어떻게 연결되어 있는지 아직 명확히 밝혀지지 않은 부분들이 많습니다. 이러한 미지의 영역을 탐구하려는 호기심을 자극하고, 영상과 같은 효과적인 매체를 통해 수학의 가치를 공유하는 일은 미래 수학 발전의 밑거름이 될 것입니다.

카오스재단명강리뷰&질문Q

[질문과 토론의 과학 #12] 🙄수학자에 대한 오해

수학계에서 가장 권위 있는 상으로 꼽히는 필즈상은 흔히 '수학의 노벨상'이라 불리지만 그 성격은 사뭇 다릅니다. 4년에 한 번, 40세 이하의 젊은 수학자에게만 수여되는 이 상은 최고의 업적을 기리는 동시에 장래가 촉망되는 신진 연구자를 독려하는 의미를 담고 있습니다. 반면 노르웨이에서 제정된 아벨상은 나이 제한 없이 평생의 학문적 공헌을 평가하여 매년 수여되기에, 노벨상의 형식과 더 유사하다고 볼 수 있습니다. 이처럼 수학계의 상들은 연구자의 성장 단계와 업적의 깊이에 따라 각기 다른 가치를 부여하며 학문의 발전을 이끌고 있습니다. 많은 이들이 수학을 천재들만의 전유물로 오해하곤 하지만, 실제 수학 연구의 현장은 치열한 노력의 산물입니다. 위대한 발견이 어느 날 갑자기 하늘에서 떨어진 계시처럼 보일 수 있으나, 그 이면에는 상상하기 힘들 정도의 고뇌와 반복된 탐구가 숨겨져 있습니다. 논문이라는 결과물에는 연구 과정에서의 수많은 시행착오와 노력이 직접적으로 드러나지 않기에 외부에서는 이를 천재성으로 치부하기 쉽습니다. 하지만 진정한 수학적 성취는 타고난 지능보다도 포기하지 않고 끝까지 파고드는 끈기 있는 노력에서 비롯된다는 점을 기억해야 합니다. 수학적 개념을 습득하는 데 있어 적절한 시기의 학습은 외국어를 배우는 과정과 매우 흡사합니다. 특정 개념을 자연스럽게 받아들일 수 있는 시기에 이를 접하면 마치 모국어처럼 자유자재로 구사할 수 있게 되지만, 그 시기를 놓치면 습득에 훨씬 더 많은 에너지가 소모됩니다. 이는 단순히 조기 교육의 중요성을 말하는 것이 아니라, 인간의 사고 체계가 유연한 시기에 수학적 언어를 체득하는 것이 얼마나 효율적인지를 보여줍니다. 따라서 어린 시절에 접하는 다양한 수학적 경험은 훗날 복잡한 이론을 깊이 있게 이해하는 데 결정적인 밑거름이 됩니다. 수학자라고 해서 모든 수학 분야에 능통한 것은 아니며, 개인마다 특화된 재능과 선호하는 사고방식이 다릅니다. 어떤 이는 기하학적인 시각화에 뛰어난 반면, 다른 이는 복잡한 수식 계산이나 조합론적 사고에서 강점을 보입니다. 이러한 다양성은 수학 연구에서 협업이 중요한 이유가 되기도 합니다. 자신이 부족한 부분을 다른 전문가와의 교류를 통해 보완함으로써 더 거대한 수학적 진리에 다가갈 수 있기 때문입니다. 수학은 단일한 능력을 측정하는 시험이 아니라, 각자의 고유한 재능이 어우러져 완성되는 다채로운 학문의 장이라 할 수 있습니다. 최근 교육 현장에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대해 많은 수학자가 우려를 표하고 있습니다. 기하학은 단순히 도형을 배우는 과목을 넘어, 물리학을 비롯한 자연과학의 언어이자 미적분 등 다른 수학 분야를 깊이 있게 이해하도록 돕는 기초 체력과 같습니다. 기하학적 직관 없이 공식 위주의 계산에만 매몰되면 학문의 진정한 본질을 놓치기 쉽습니다. 논리적 엄밀성과 상상력을 동시에 길러주는 기하학은 우리 사고의 지평을 넓혀주는 필수적인 도구입니다. 따라서 입시 제도의 변화와 무관하게 기하학적 사고를 꾸준히 연마하는 태도가 필요합니다.

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[질문Q] 리만가설이 애초에 틀렸다면? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설

인공지능 기술이 비약적으로 발전함에 따라 수학의 미래에 대한 논의도 활발해지고 있습니다. 현재의 인공지능(AI)은 보조적인 수단에 불과하지만, 기술적 진보가 계속된다면 언젠가는 인간의 지적 능력을 넘어서는 수준에서 수학적 난제를 해결할 날이 올 것입니다. 특히 리만 가설과 같은 거대한 난제가 인공지능에 의해 해결된다면, 이는 수학계에 엄청난 변화를 몰고 올 것입니다. 이는 단순히 계산의 속도를 넘어, 기계가 고도의 추상적 사고 영역에 진입함을 의미하는 사건이 될 것입니다. 현대 수학자들 사이에서 리만 가설이 참일 것이라는 믿음은 매우 확고합니다. 비록 일부 저명한 수학자들이 연구 과정에서의 한계나 지침으로 인해 가설의 오류 가능성을 제기하기도 했지만, 대다수의 학계는 이를 심각하게 받아들이지 않는 분위기입니다. 리만 가설은 단순히 하나의 문제를 넘어 정수론의 수많은 정리들과 긴밀하게 연결되어 있기 때문입니다. 만약 이 가설이 틀린 것으로 판명된다면 정수론 학자들은 큰 충격에 빠지겠지만, 그 과정조차 수학의 새로운 지평을 여는 계기가 될 것입니다. 리만 가설이 거짓으로 드러나는 상황을 가정해 보는 것도 흥미로운 일입니다. 가설이 틀렸다는 것은 실수부가 1/2이 아닌 지점에서 비자명한 영점이 발견된다는 의미이며, 그 영점에는 발견한 수학자의 이름이 영원히 새겨질 것입니다. 어쩌면 가설이 참으로 증명될 때보다 거짓으로 판명될 때 세상은 더 큰 지적 자극을 받을지도 모릅니다. 비록 순수 수학의 근간이 흔들리는 듯한 혼란이 찾아올 수도 있겠지만, 수학은 그 과정에서 발견된 새로운 예외를 통해 더욱 풍성한 학문으로 거듭날 것입니다. 리만 제타 함수는 정수론의 중심에 있는 뿌리와 같은 존재입니다. 이 함수에 대한 가설이 해결된다면 이는 단지 하나의 결론에 도달하는 것이 아니라, 수많은 관련 제타 함수와 L-함수의 비밀을 푸는 시작점이 될 것입니다. 리만 가설의 해결은 정수론 분야의 폭발적인 발전을 이끌어낼 것이며, 우리가 자연수와 소수의 성질에 대해 가지고 있는 정보를 비약적으로 정밀하게 만들어 줄 것입니다. 수학의 여러 분야가 서로 얽히는 과정에서 리만 가설은 광범위한 연관성을 지닌 핵심적인 고리 역할을 수행합니다. 수학적 난제에 도전하는 이들에게 가장 중요한 덕목은 끊임없이 탐구하는 자세와 문제의 해결 가능성에 대한 확고한 믿음입니다. 리만 가설은 결코 도달할 수 없는 먼 곳에 있는 신기루가 아니라, 매우 견고하고 응집력 있는 구조를 가진 실체적인 문제입니다. 복잡한 수리 논리의 세계에서도 결국 진리는 발견되기 마련이며, 이러한 긍정적인 믿음은 새로운 공부를 시작하거나 한계에 도전하는 이들에게 강력한 동기를 부여합니다. 난제를 향한 탐구는 결국 인간 지성의 지평을 넓히는 숭고한 여정이 될 것입니다.

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[명강리뷰] 미래의 수학자 by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강

수학의 역사는 기원전 300년경 유클리드 《원론》에서 시작된 '증명'의 역사라고 해도 과언이 아닙니다. 증명이란 우리가 공통으로 약속한 정의와 모두가 참이라고 믿는 공리로부터 출발하여, 완벽하게 논리적인 과정을 통해 새로운 사실을 이끌어내는 과정입니다. 현대 수학의 모든 체계는 이처럼 100% 정확한 유도 과정을 통해 구축됩니다. 독일의 수학자 힐베르트는 수학적 대상의 이름이 무엇이든 상관없이 오직 논리적 관계만으로 모든 것이 설명되어야 한다고 강조하며 증명의 엄밀함을 주장했습니다. 하지만 증명의 엄밀함을 극한까지 추구하다 보면 예상치 못한 난관에 봉착하기도 합니다. 화이트헤드와 러셀은 수학의 기초를 다지기 위해 '1+1=2'라는 당연한 사실을 증명하는 데 무려 360페이지를 할애했습니다. 이처럼 모든 과정을 완벽하게 기록하는 것은 현실적으로 매우 어렵기에, 현대 수학에서는 훈련된 전문가가 중간 과정을 검토하고 동의하는 것을 증명으로 인정하곤 합니다. 그러나 증명이 너무 방대하고 복잡해져 인간의 인지 능력을 넘어서게 되면, 과연 그것을 진정한 증명이라 부를 수 있을지에 대한 의문이 생깁니다. 1611년 제기된 케플러 추측은 수백 년간 미해결 상태였다가 1998년 토머스 헤일스에 의해 해결되었습니다. 하지만 그의 증명은 250쪽의 논문과 더불어 방대한 컴퓨터 계산 데이터를 포함하고 있었습니다. 수학계의 권위 있는 검토 위원들이 4년 동안 매달렸음에도 불구하고, 이들은 증명의 99%는 맞는 것 같지만 100% 확신할 수는 없다는 이례적인 결론을 내렸습니다. 이는 인간이 컴퓨터 프로그램의 모든 계산 과정을 일일이 검증하는 데 한계가 있음을 보여주는 상징적인 사건이 되었습니다. 이러한 한계를 극복하기 위해 토머스 헤일스는 컴퓨터가 직접 증명의 논리적 타당성을 검증하는 '플라이스펙(Flyspeck)' 프로젝트를 시작했습니다. 11년의 노력 끝에 2014년, 컴퓨터는 케플러 추측이 공리와 정의로부터 정확히 유도되었음을 확인하며 형식 증명을 완성했습니다. 한편, 인터넷을 통한 집단 지성의 활용도 새로운 가능성을 열었습니다. 티머시 가워스 교수가 주도한 '폴리매스(Polymath)' 프로젝트는 수많은 수학자가 블로그 댓글로 토론하며 난제를 6주 만에 해결하는 성과를 거두며, 수학 연구 방식의 획기적인 변화를 예고했습니다. 이제 컴퓨터는 단순히 답을 내놓는 수준을 넘어 증명의 중간 과정까지 제시하며 수학자의 동반자로 자리 잡고 있습니다. 물론 컴퓨터 프로그램 자체의 오류나 버그 가능성 때문에 그 결과를 100% 신뢰할 수 있는지에 대한 논란은 여전히 존재합니다. 물리학자의 예측이 컴퓨터 계산 오류로 인해 부정당했다가 나중에야 진실로 밝혀진 사례는 기술적 도구의 활용에 신중함이 필요함을 시사합니다. 미래의 수학자들은 컴퓨터와의 협업 속에서 증명의 정의를 새롭게 정립하며, 인간의 직관과 기계의 정밀함을 조화시키는 길을 걷게 될 것입니다.

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[인터뷰] 허준이X수학유튜버_수학에서 '잘한다'의 의미는? 수학발전은 수학 천재만 할 수 있다는 건 오해?

수학은 사회에 매우 중요한 기여를 하지만, 그 영향력이 대중의 피부에 와닿기까지는 여러 세대가 걸리기도 합니다. 이러한 간접적이고 추상적인 학문의 가치를 사회가 인정하고 큰 상을 수여한다는 것은, 그 사회가 학문적 다양성과 깊이를 수용할 수 있을 만큼 성숙했다는 증거이기도 합니다. 수학자로서 이러한 인정을 받는 것은 개인적인 영광을 넘어 학문적 책임감을 느끼게 하는 계기가 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문이 아니라, 우리 사회의 지적 토대를 단단하게 다지는 보이지 않는 힘으로 작용하며 인류의 지평을 넓혀가고 있습니다. 최근 주목받는 로렌츠 다항식은 현대 수학의 여러 분야를 잇는 중요한 가교 역할을 합니다. 이 이론의 매력은 대수기하학 같은 고도의 전문 지식이 없어도 미적분학과 선형대수학이라는 기초적인 도구만으로도 그 본질에 접근할 수 있다는 점에 있습니다. 기초적인 원리에서 시작하여 표현론이나 조합론 같은 복잡한 분야로 확장되는 과정은 수학이 가진 논리적 연결성을 잘 보여줍니다. 누구나 함께 즐길 수 있는 수학적 주제를 통해 학문의 문턱을 낮추고, 다양한 분야의 연구자들이 공통의 언어로 소통할 수 있는 장을 마련하는 것은 현대 수학이 지향해야 할 중요한 방향 중 하나입니다. 수학은 그 자체로 하나의 언어이지만, 우리가 일상에서 사용하는 언어와도 긴밀하게 상호작용합니다. 한국어와 영어처럼 서로 다른 언어 체계로 수학적 사고를 전개할 때, 특정 언어에서는 풀리지 않던 증명이 다른 언어에서는 자연스럽게 해결되는 흥미로운 경험을 하기도 합니다. 추상적인 대상을 다루는 수학적 사고의 대부분은 언어로 구성되어 있기에, 어떤 언어를 선택하느냐에 따라 사고의 흐름과 문제 해결의 방식이 달라질 수 있습니다. 이는 수학이 단순히 기계적인 계산이 아니라, 인간의 언어적 직관과 깊이 연결된 창의적인 활동임을 시사하며 다국어적 사고가 수학적 통찰에 큰 장점이 될 수 있음을 보여줍니다. 현대 수학의 흐름은 과거의 엄격한 분야 구분을 넘어 통합과 융합으로 나아가고 있습니다. 대수학, 해석학, 기하학 등 서로 다른 영역 사이의 경계를 허물고 새로운 구조를 찾아내는 작업은 고차원적인 패턴 인식의 과정이라 할 수 있습니다. 이러한 경계 넘기 작업을 성공적으로 수행하기 위해서는 역설적으로 각 분야에 대한 깊이 있는 이해가 선행되어야 합니다. 수많은 사례와 패턴을 부지런히 학습하고 데이터베이스를 쌓아 올릴 때, 비로소 서로 다른 분야를 매개하는 핵심적인 원리를 발견할 수 있습니다. 끊임없는 학습과 정보 습득은 수학적 직관을 날카롭게 다듬는 가장 확실한 방법입니다. 흔히 수학의 발전이 소수의 천재에 의해 이루어진다고 생각하기 쉽지만, 실제 수학의 역사는 수많은 연구자가 조금씩 쌓아 올린 거대한 건축물과 같습니다. 마치 개미 떼가 모여 백 층짜리 빌딩을 짓는 것처럼, 평범한 수학자들이 매일 기울이는 노력이 모여 학문의 거대한 볼륨을 형성합니다. 겉으로 보기에는 패러다임을 바꾸는 획기적인 발견처럼 보여도, 그 이면에는 이미 그러한 발견이 가능하도록 다져진 학문적 토양과 선행 연구들의 축적이 존재합니다. 따라서 천재성에 대한 막연한 공포를 갖기보다는, 매일의 꾸준한 연구가 인류의 지적 자산을 풍요롭게 만드는 소중한 벽돌 한 장이 된다는 믿음을 갖는 것이 중요합니다. 수학자에 대한 고정관념과 달리, 대다수의 프로 수학자들은 일상의 평범함을 즐기며 동료들과 소통하는 사회적인 존재들입니다. 수학을 잘한다는 것은 단순히 계산 능력이 뛰어난 것을 넘어, 자신이 모르는 부분에 대해 정확하게 질문하고 모호한 개념을 대화를 통해 명확하게 다듬어가는 소통 능력을 갖추는 것을 의미합니다. 또한, 하나에 몰입하여 오랫동안 고민할 수 있는 인내심과 수학 자체를 순수하게 즐기는 마음가짐이 무엇보다 중요합니다. 수학은 고립된 천재의 전유물이 아니라, 명확한 논리를 바탕으로 타인과 생각을 나누고 함께 진리를 탐구해 나가는 즐거운 유희이자 소통의 과정입니다. 수학자로서의 전성기는 단순히 젊은 시절에 국한되지 않으며, 풍부한 경험과 원숙함이 더해진 50대와 60대에도 충분히 꽃피울 수 있습니다. 아이를 키우고 일상을 꾸려나가는 인간적인 삶의 궤적 속에서 수학적 영감은 더욱 단단해지며, 동료들과 함께 문제를 풀며 쌓은 즐거운 추억들은 연구를 지속하게 하는 원동력이 됩니다. 또한 후학을 가르치는 과정은 자신이 알고 있던 지식을 재점검하고 새로운 시각을 얻는 소중한 기회가 됩니다. 미래에 대한 호기심을 잃지 않고 배움의 즐거움을 유지하며, 어제보다 조금 더 깊은 통찰을 얻기 위해 노력하는 삶이야말로 수학자이자 한 인간으로서 지향해야 할 진정한 성공의 모습일 것입니다.

허준이

카오스재단석학인터뷰

수학

[석학인터뷰] 허준이X금종해_수학자가 묻고 수학자가 답하다! - 수학과 과학의 관계는? 수학 연구방법의 추세는 공동연구?

수학자의 일상은 흔히 상상하는 것처럼 비범하거나 특별한 것만은 아닙니다. 수학자 또한 보통의 사람들과 다를 바 없이 지루한 일상을 견디고, 때로는 집중력이 흐트러져 휴식을 취하기도 합니다. 이상적인 하루는 아침부터 점심까지 긴 호흡이 필요한 연구에 몰입하고, 오후에는 행정 업무나 강의 준비를 병행하는 것입니다. 연구가 잘 풀리지 않을 때는 억지로 매달리기보다 기꺼이 노는 시간을 가짐으로써 재충전의 기회를 얻기도 합니다. 이러한 유연함은 마치 운동선수가 시즌과 비시즌을 나누어 관리하듯, 장기적인 학문적 성취를 위한 필수적인 과정이 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 인간의 지적 활동을 통해 패턴의 반복 속에서 의미를 찾아내는 예술이자 인문학에 가깝습니다. 과학이 외부 자연에 이미 존재하는 법칙을 실험을 통해 발견한다면, 수학은 인간 내부의 이성과 상상력을 바탕으로 새로운 질서를 창조하거나 발견해 나가는 과정입니다. 이러한 발견은 개인의 통찰에서 시작되어 공동체의 검증을 거치며 보편적인 진리로 자리 잡게 됩니다. 결국 수학은 우리가 얼마나 깊이 사고할 수 있는지, 그리고 그 사고의 결과물을 어떻게 정교하게 전달할 수 있는지를 탐구하는 본질적인 인간에 대한 학문입니다. 많은 이들이 수학을 명확하고 딱딱한 결과물로만 인식하지만, 그 이면에는 시적인 은유와 모호한 아이디어가 공존합니다. 새로운 이론이 탄생하기 전의 초기 단계에서 수학자들은 직관과 상상력을 동원해 은유를 주고받으며 소통합니다. 이러한 직관과 영감은 타고난 재능이라기보다 반복적인 훈련을 통해 길러지는 능력에 가깝습니다. 계산 능력을 키우듯 직관의 영역 또한 꾸준한 사고의 반복을 통해 뇌의 신경망을 조직함으로써 강화될 수 있습니다. 따라서 수학 교육은 단순한 계산법 습득을 넘어, 보이지 않는 구조를 꿰뚫어 보는 통찰력을 기르는 방향으로 나아가야 합니다. 현대 수학의 가장 큰 특징 중 하나는 개인의 고립된 연구에서 벗어나 집단지성을 활용하는 공동 연구로 패러다임이 전환되었다는 점입니다. 과거에는 종이와 펜만 있으면 혼자서도 충분하다고 여겨졌으나, 이제는 여러 연구자의 뇌를 공동으로 사용하는 연결성이 성패를 좌우합니다. 동료와의 대화는 자신이 무엇을 모르는지, 혹은 무엇을 말하고 싶었는지를 명확하게 깨닫게 해주는 거울 역할을 합니다. 이러한 상호작용은 단순히 지식을 나누는 것을 넘어 인간적인 신뢰를 바탕으로 이루어지며, 인류 전체가 하나의 팀이 되어 거대한 수학적 난제를 해결해 나가는 원동력이 됩니다. 수학의 여러 분야 중 호지 이론은 서로 무관해 보이는 다양한 수학적 대상들 사이에서 공통된 대수적 구조를 발견하는 학문입니다. 조합론적 관점에서 그래프나 다면체 같은 이산적인 대상들을 연구할 때, 호지 이론이 제시하는 아름다운 구조는 예상치 못한 통찰을 제공합니다. 예를 들어 평면 위의 점과 선의 개수 관계처럼 단순해 보이는 문제조차 고차원적인 호지 이론의 구조를 통해서만 증명될 수 있는 경우가 많습니다. 이처럼 복잡한 이론이 지극히 기초적인 명제들과 연결되는 지점은 수학이 가진 최고의 매력이며, 지금 이 순간에도 수학은 전례 없는 속도로 팽창하며 새로운 역사를 쓰고 있습니다.

금종해, 허준이

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[강연] 풀기 힘든 계산이 풀기 힘든 암호로 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 2강 | 2강

인공지능의 시대는 곧 계산의 시대라고 할 수 있습니다. 많은 이들이 수학자는 계산을 잘할 것이라 오해하거나, 반대로 계산을 단순한 작업으로 치부하기도 합니다. 하지만 계산은 그 자체로 매우 심오하고 미묘한 세계를 품고 있습니다. 고대 바빌로니아 시절부터 현대의 디지털 보안에 이르기까지, 인류는 더 효율적이고 정교한 계산법을 찾기 위해 끊임없이 노력해 왔습니다. 이러한 계산의 본질을 탐구하는 과정은 현대 과학기술의 근간을 이해하는 열쇠가 됩니다. 역사 속에는 수천 년 전부터 전해 내려온 놀라운 알고리즘들이 존재합니다. 바빌로니아의 거듭제곱근 계산법이나 유클리드의 최대공약수 알고리즘은 현대의 관점에서도 더 이상 향상시키기 어려울 만큼 완벽한 효율성을 자랑합니다. 반면, 어떤 수의 소인수를 찾는 소인수분해 계산법은 개념적으로는 단순해 보이지만, 숫자가 커질수록 기하급수적으로 많은 시간이 소요되는 비효율성을 지니고 있습니다. 이처럼 계산의 효율성은 단순히 귀찮음의 문제를 넘어 학문적 난제로 다루어집니다. 나머지 연산, 즉 모듈로 연산은 현대 수학과 암호학에서 가장 중요한 도구 중 하나입니다. 이는 어떤 수를 특정 숫자로 나누었을 때 남는 값에 집중하는 방식인데, 우리가 일상에서 사용하는 10진법이나 시계의 시간 계산과도 밀접한 관련이 있습니다. 나머지 연산의 가장 큰 특징은 덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱과 같은 연산이 일반적인 수 체계보다 훨씬 쉽고 빠르게 이루어진다는 점입니다. 복잡한 큰 수의 계산도 끝자리나 나머지 규칙을 활용하면 놀라울 정도로 단순해집니다. 거듭제곱 연산의 효율성은 나머지 연산의 진가를 보여주는 사례입니다. 예를 들어 2를 100만 번 곱한 값의 마지막 자릿수를 구하는 문제는 일반적인 방식으로는 불가능에 가깝지만, 나머지 연산의 성질을 이용하면 암산으로도 해결이 가능합니다. 지수 법칙과 반복적인 나머지 계산을 결합하면, 아무리 거대한 지수를 가진 수라도 순식간에 그 결과를 도출할 수 있습니다. 이러한 계산의 용이성은 방대한 데이터를 처리해야 하는 현대 컴퓨터 공학에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 하지만 나머지 연산에는 흥미로운 비대칭성이 존재합니다. 거듭제곱은 매우 쉬운 반면, 그 역연산인 거듭제곱근을 구하는 과정은 극도로 어렵습니다. 일반적인 수 체계에서는 숫자의 크기를 통해 거듭제곱근의 범위를 짐작할 수 있지만, 나머지 연산에서는 크기에 대한 정보가 완전히 사라지기 때문입니다. 결과값만 보고 원래 어떤 수를 곱했는지 찾아내려면 사실상 모든 가능성을 하나씩 대입해 보는 수밖에 없습니다. 이러한 연산의 난해함이 바로 현대 보안의 기초가 됩니다. 우리가 매일 사용하는 인터넷 보안의 핵심인 공개키 암호 알고리즘은 바로 이 계산의 비대칭성을 활용합니다. 누구나 암호를 만들 수 있도록 공개된 숫자를 제공하지만, 이를 해독하기 위해 필요한 소인수분해나 거듭제곱근 계산은 현대의 슈퍼컴퓨터로도 수만 년이 걸릴 만큼 어렵게 설계되어 있습니다. 오일러의 정리와 같은 수학적 원리는 암호를 만든 주인만이 비밀 통로를 통해 메시지를 복원할 수 있게 해줍니다. 결국 수학적 계산의 어려움이 우리의 소중한 정보를 지켜주는 든든한 방어벽이 되는 셈입니다. 수학의 궁극적인 목적은 단순히 정답을 계산해 내는 것이 아니라, 현상의 이면에 숨겨진 원리를 깊이 이해하는 데 있습니다. 증명이라는 과정 또한 이미 밝혀진 사실을 확인하는 작업을 넘어, 그 현상이 왜 발생하는지를 통찰하는 도구로 사용됩니다. 괴델의 불완전성 정리가 보여주듯, 수학의 세계는 몇 가지 공리만으로 모두 설명할 수 없을 만큼 복잡하고 광활합니다. 계산의 효율성을 탐구하고 논리의 한계를 마주하는 과정은 인간의 지성이 도달할 수 있는 가장 아름다운 여정 중 하나입니다.

김민형

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[강연] 쉬운 계산 & 어려운 계산 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 1강 | 1강

수학자들은 종종 자신들이 계산을 잘하지 못한다고 말하곤 합니다. 이는 수학이 단순한 산술 이상의 학문임을 강조하기 위한 표현이지만, 실제로는 일반인보다 뛰어난 계산 능력을 갖춘 경우가 많습니다. 축구선수가 팔을 주력으로 쓰지 않더라도 전신 운동을 통해 일반인보다 강한 팔 힘을 가지는 것과 비슷한 원리입니다. 수학적 사고를 지속하는 과정에서 계산 능력은 자연스럽게 단련되며, 이는 수학이라는 거대한 체계를 지탱하는 기초적인 체력이 됩니다. 따라서 수학과 계산은 떼려야 뗄 수 없는 밀접한 관계를 맺고 있습니다. 현대 사회는 인공지능과 4차 산업혁명의 시대로 접어들면서 수학의 역할이 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 특히 교육 현장에서는 인공지능 시대에 걸맞은 수학 교육의 방향성에 대한 고민이 깊어지고 있습니다. 단순히 공식을 암기하고 문제를 푸는 것을 넘어, 계산의 본질을 이해하고 이를 어떻게 활용할 것인가에 대한 고찰이 필요합니다. 계산은 하찮은 기계적 작업이 아니라, 복잡한 세상을 논리적으로 구조화하고 해결책을 찾아가는 핵심적인 과정이기 때문입니다. 이러한 시대적 흐름 속에서 수학과 계산의 관계를 재점검하는 일은 매우 중요합니다. 계산의 중요성은 역사적 고찰과 교육적 측면 모두에서 두드러집니다. 어떤 이들은 계산을 사고력이 부족한 이들이나 하는 기계적인 일로 치부하기도 하지만, 이는 계산의 진정한 가치를 간과한 것입니다. 현대 과학은 우주와 같은 거대하고 추상적인 구조조차 계산의 영역으로 끌어들이고 있습니다. 추상적인 수학적 구조를 계산 가능한 형태로 변환하고, 이를 효율적으로 수행할 기계를 설계하는 일은 고도의 수학적 사고를 필요로 합니다. 즉, 계산은 추상적 이론을 구체적인 현실로 구현하는 강력한 도구이자 과학적 탐구의 핵심입니다. 고대 바빌로니아인들은 이미 수천 년 전에 놀라울 정도로 정밀한 제곱근 계산법을 알고 있었습니다. 기원전 1700년경의 점토판에는 루트 2의 근삿값을 구하는 구체적인 과정이 기록되어 있는데, 이는 현대의 관점에서도 매우 효율적인 알고리즘입니다. 임의의 근삿값에서 시작해 평균을 취하며 오차를 줄여나가는 이 방식은 계산이 단순히 숫자를 다루는 기술을 넘어, 논리적인 절차와 구조를 갖춘 지적 활동임을 보여줍니다. 이러한 역사적 사례는 인류가 아주 오래전부터 효율적인 계산을 위해 얼마나 깊이 고민해 왔는지를 잘 증명해 줍니다. 소수가 무한하다는 유클리드의 정리는 수학적 증명이 어떻게 새로운 계산법으로 이어지는지 보여주는 좋은 예시입니다. 증명 과정에 포함된 소수 생성법을 실제로 구현해 보면, 우리는 끊임없이 새로운 소수를 찾아낼 수 있습니다. 하지만 이 과정에서 필수적인 소인수분해는 현대 수학에서도 매우 비효율적인 계산 영역에 속합니다. 숫자의 자릿수가 늘어날수록 계산 시간이 기하급수적으로 증가하기 때문에, 아무리 강력한 컴퓨터를 사용하더라도 한계에 부딪히게 됩니다. 이는 계산의 효율성이 알고리즘의 구조에 따라 얼마나 크게 달라질 수 있는지를 시사합니다. 소인수분해와 대조적으로 최대공약수를 구하는 유클리드 호제법은 효율적인 알고리즘의 대표적인 사례로 꼽힙니다. 아주 큰 두 수의 최대공약수를 찾을 때, 소인수분해를 이용하면 엄청난 시간이 걸리지만 호제법을 사용하면 순식간에 답을 얻을 수 있습니다. 큰 수를 나머지로 대체하며 크기를 줄여나가는 이 방식은 복잡한 문제를 단순화하는 수학적 지혜의 정수를 보여줍니다. 효율적인 계산법은 단순히 시간을 단축하는 것을 넘어, 우리가 다룰 수 있는 데이터의 범위를 무한히 확장하며 현대 기술의 근간을 형성하고 있습니다. 인공지능 시대의 수학 교육은 이러한 계산법의 원리와 효율성을 이해하는 방향으로 나아가야 합니다. 손으로 직접 계산하는 경험도 중요하지만, 컴퓨터 프로그램을 활용해 거대한 숫자를 다루며 전체적인 수의 흐름과 구조를 파악하는 시야를 기르는 것이 필요합니다. 계산 도구를 자유자재로 활용하면서 알고리즘의 본질을 탐구하는 과정은 학생들에게 더 넓은 수학적 세계를 경험하게 해 줄 것입니다. 결국 계산에 대한 깊은 이해는 논리적 사고력을 증진시키고, 급변하는 기술 사회에서 문제를 해결하는 핵심 역량이 될 것입니다.

김민형

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[인터뷰] 김민형 ─ 김민형 교수가 말하는 수학, 역사, 그리고 계산 | 2021 마스터클래스 '수학과 계산'

수학적 재능은 사람마다 다양하게 분포되어 있으며, 이는 각자가 탐구하는 연구 분야를 결정하는 중요한 요인이 됩니다. 계산에 능숙한 학자가 있는 반면, 개념적이고 철학적인 사고를 선호하는 학자도 존재합니다. 저 또한 스스로를 완벽한 천재라기보다 사고가 흐트러질 때마다 같은 질문으로 되돌아오는 나름의 테크닉을 사용하는 연구자로 정의합니다. 이러한 역량의 차이는 우열의 문제가 아니라, 자신에게 가장 잘 맞는 수학적 탐구의 길을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 드러나는 개성이라 할 수 있습니다. 현대 사회에서 유튜브와 같은 플랫폼은 수학을 공부하려는 이들에게 매우 유용한 도구가 되고 있습니다. 저 또한 유튜브를 통해 기상천외한 동물들의 영상을 보며 자연계에 대한 선입견을 깨곤 하는데, 이는 수학적 사고를 확장하는 데에도 큰 영감을 줍니다. 일반인이나 아이들이 수학에 접근할 때 이러한 다양한 시각 자료를 활용하는 것은 매우 효과적입니다. 배움의 기회는 도처에 널려 있으며, 우리가 세상을 바라보는 고정관념을 탈피할 때 비로소 새로운 수학적 통찰이 시작된다는 점을 시사합니다. '수인가, 모양인가'라는 질문은 저의 오랜 연구 주제이자 영원한 화두입니다. 우리가 세상을 인지하고 기억하는 모든 과정에는 일종의 계산과 수적 표현이 포함되어 있습니다. 인간의 뉴런 네트워크 자체가 수적인 구조를 지니고 있기에, 현실 세계를 대수적으로 창조하거나 기하학적 구조와의 관계를 밝히는 일은 매우 근본적인 탐구입니다. 수와 모양의 경계를 허물고 이를 구체화할 수 있는 프레임워크를 만들어가는 과정은, 단순히 수학적 문제를 푸는 것을 넘어 우주의 본질을 이해하려는 시도와 맞닿아 있습니다. 수학은 20세기 이후 세상을 이해하기 위한 필수적인 언어가 되었습니다. 저는 대학 시절 철학을 전공하려 했으나, 결국 수학을 선택했습니다. 철학이나 문학이 주는 통찰도 훌륭하지만, 수학은 젊은 시절에 배우지 않으면 그 깊이를 체득하기가 점점 더 어려워지기 때문입니다. 최근에는 고대 역사 속 수학의 역할에도 깊은 관심을 두고 있습니다. 피타고라스나 아르키메데스에 얽힌 전설 뒤에 숨겨진 역사적 근거를 파악하는 일은, 수학이 인류 문명사에서 차지하는 위치를 재조명하는 흥미로운 작업이 됩니다. 인공지능과 4차 산업혁명 시대가 도래하면서 계산의 중요성은 역설적으로 더욱 커지고 있습니다. 모든 인공지능의 근간에는 컴퓨터의 계산 과정이 자리 잡고 있기 때문입니다. 따라서 현대의 수학교육은 단순히 공식을 외우는 것을 넘어, 계산에 대한 깊이 있는 사고 능력을 길러주는 방향으로 나아가야 합니다. 한국 청중은 철학적 담론에 익숙하고 수학적 수준도 높지만, 이제는 구체적인 계산의 원리를 파악하고 이를 활용하는 감각을 키워야 합니다. 이것이 바로 미래 시대를 대비하는 수학적 태도의 핵심입니다.

김민형

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[과학자가 쓴 과학책#14] 연결과 확률의 중요성 | 박형주 _ 배우고 생각하고 연결하고 | KAOS X 공원생활 특집

새로운 환경에 적응하며 학문에 매진하던 유학 시절, 연구의 벽에 부딪혀 좌절을 경험한 적이 있습니다. 노력만으로는 해결되지 않는 결과의 부재는 깊은 무력감을 안겨주었고, 설상가상으로 경제적 위기까지 겹치며 학업을 포기해야 할 상황에 놓였습니다. 하지만 인생의 가장 낮은 지점에서 마주한 뜻밖의 기회는 '연결'이라는 가치를 깨닫게 해주었습니다. 한 분야에서 도저히 풀리지 않던 난제가 다른 분야에서는 이미 해결된 상식일 수 있다는 사실을 직접 경험하며, 타인의 목소리에 귀를 기울이는 태도가 얼마나 중요한지 실감하게 되었습니다. 절망적인 상황에서 우연히 엿듣게 된 공학자들의 대화는 인생의 전환점이 되었습니다. 그들이 고민하던 디지털 신호처리의 난제는 수학계에서 이미 수십 년 전에 증명된 정리와 맞닿아 있었습니다. 낯선 분야의 대화에 용기 내어 끼어든 작은 행동은 단순한 오지랖을 넘어, 서로 다른 학문의 언어를 잇는 가교가 되었습니다. 수학적 지식이 공학적 문제의 실마리가 될 수 있음을 확인한 순간, 개인의 위기는 공동 연구라는 새로운 가능성으로 변모했습니다. 이는 자신의 전문 분야에만 갇혀 있어서는 결코 보지 못했을 넓은 시야를 선사했습니다. 서로 다른 언어를 사용하는 전문가들이 소통하지 못할 때 지식의 단절이 발생합니다. 공학자의 언어와 수학자의 언어가 다르기에 같은 문제를 두고도 서로의 해답을 알아보지 못하는 경우가 많습니다. 하지만 타 분야의 언어를 이해하려 노력하고 대화에 참여할 때, 비로소 근본적인 난제 해결의 문이 열립니다. 수학적 이론을 공학적 실무에 적용하며 다차원 신호처리 전문가로 거듭났던 경험은, 현대 사회에서 '연결'과 '협력'이 단순한 구호를 넘어 생존과 성장을 위한 필수적인 동력임을 증명하는 살아있는 사례가 되었습니다. 역사 속에서도 위대한 성취는 서로 다른 분야의 천재들이 협력할 때 탄생했습니다. 르네상스 시대를 풍미한 레오나르도 다빈치와 수학자 루카 파초올리의 만남이 대표적입니다. 경험을 통해 배우던 예술가 다빈치는 수학적 계산만으로 결과를 예측하는 파초올리의 지식에 매료되었고, 두 사람은 기하학과 미술을 결합한 명저를 남겼습니다. 예술적 직관과 논리적 엄밀함이 결합하여 시대의 패러다임을 바꾼 것입니다. 이처럼 우연한 만남에서 시작된 학문 간의 교류는 인류 지성사에 지대한 영향을 미치는 결과물을 만들어내곤 합니다. 현대 확률론의 탄생 역시 두 천재 수학자, 페르마와 파스칼의 서신 교환이라는 협력의 산물입니다. 200년 동안 풀리지 않았던 '점수 문제'를 해결하기 위해 그들은 과거의 데이터가 아닌 미래의 가능성에 주목했습니다. 중단된 게임의 판돈을 어떻게 나눌 것인가라는 질문에 대해, 각자가 이길 확률이라는 '기댓값'의 개념을 도입하며 발상의 전환을 이뤄냈습니다. 두 사람이 주고받은 편지는 단순한 문제 풀이를 넘어, 불확실한 미래를 수학적으로 계량화하는 현대 확률론의 기초를 세웠으며 이는 오늘날 금융과 과학 전반의 근간이 되었습니다. 오늘날 수학의 난제들은 무작위성이라는 개념을 통해 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 정수론의 오랜 숙제였던 소수 등차수열 문제나 쌍둥이 소수 가설 등은 해석학이나 확률론적 접근을 통해 해결의 실마리를 찾고 있습니다. 테렌스 타오나 장이탕 같은 수학자들은 자신의 전공 분야에 매몰되지 않고 다양한 수학적 도구를 연결하여 불가능해 보이던 증명을 해냈습니다. 특히 늦은 나이에 학문적 성취를 이룬 사례는 지식의 탐구에 경계가 없음을 보여줍니다. 무작위성이라는 강력한 무기는 이제 인공지능과 같은 첨단 기술의 핵심 원리로도 확장되고 있습니다. 확률과 정보의 연결은 현대 정보 이론의 핵심인 엔트로피 개념으로 이어집니다. 클로드 섀넌은 사건이 발생할 확률이 낮을수록 그 정보의 가치가 크다는 사실을 정립했습니다. 당연한 사실보다는 희귀한 사건이 더 많은 정보를 담고 있다는 통찰은 데이터를 효율적으로 전송하고 저장하는 기술적 토대가 되었습니다. 자주 발생하는 신호는 짧게, 드문 신호는 길게 부호화하는 방식은 우리가 매일 사용하는 디지털 통신의 경제성을 보장합니다. 17세기 수학자들의 호기심에서 시작된 확률의 개념이 오늘날 초연결 사회를 지탱하는 정보 이론의 뿌리가 된 셈입니다.

박형주

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[석학인터뷰] 금종해 ─ 10년 내에 수학계 노벨상 나온다!

수학은 많은 이들에게 어렵고 딱딱한 학문으로 인식되곤 합니다. 최근 우리나라에서는 '수포자'라는 용어가 유행하며 수학 교육과정을 약화시키려는 움직임도 있지만, 단순히 내용을 줄인다고 해서 수학을 포기하는 학생들이 사라지는 것은 아닙니다. 오히려 과거에 비해 기초과학의 인기가 줄어든 상황에서도 우수한 학생들이 수학과로 몰리는 현상은 주목할 만합니다. 이는 수학이 단순히 학문적 탐구에 그치지 않고, 대학원 등 더 높은 단계에서 의미 있고 재미있는 일을 할 수 있는 강력한 도구가 될 것이라는 기대감이 반영된 결과라고 볼 수 있습니다. 현재 우리나라의 수학 교육과정은 과거에 비해 상당히 쉬워졌으며 교과서의 두께도 얇아졌습니다. 초등학교에 도입된 스토리텔링 수학은 본래 흥미를 유발하려는 목적이었으나, 이를 평가와 연결하면서 오히려 학생과 학부모들에게 또 다른 부담으로 작용하고 있습니다. 한때 미국 대통령들이 한국의 수학 교육을 모범 사례로 언급하던 시절도 있었지만, 이제는 더 이상 세계적인 벤치마킹 대상이 되지 못할 정도로 교육의 질적 수준이 약화되었습니다. 아이들에게 배움의 기회를 박탈하기보다, 제대로 가르치되 평가의 방식을 개선하는 방향으로 나아가야 합니다. 수학자가 되기 위해 가장 필요한 자질은 빠른 계산 능력이나 암기력이 아닙니다. 진정한 수학자는 수학적 상황 자체를 즐기고 분석하는 과정을 사랑하는 사람입니다. 학교 시험처럼 정해진 시간 내에 문제를 풀어내는 능력은 수학적 연구를 수행하는 데 필수적인 요소가 아닙니다. 계산이 틀리는 것은 주변의 도움이나 도구로 충분히 보완할 수 있는 부분입니다. 중요한 것은 어려운 문제에 직면했을 때 이를 포기하지 않고 끈기 있게 매달리는 태도입니다. 수학을 좋아하는 마음을 잃지 않고 꾸준히 탐구하는 과정 자체가 수학자의 길로 이어지는 비결입니다. 한국의 수학은 짧은 역사에도 불구하고 비약적인 발전을 거듭하여 현재 세계 10위권 내외의 위상을 확보하고 있습니다. 특히 대수기하학 분야에서 한국인 수학자들의 활약은 눈부시며, 머지않은 미래에 필즈상 수상자가 배출될 것으로 기대됩니다. 필즈상은 마흔 살 이전의 젊은 수학자에게 주어지는 영예로운 상으로, 현재 한국에는 그 자격을 갖춘 우수한 인재들이 존재합니다. 이러한 성과는 특정 분야에 국한되지 않고 여러 학문을 융합하여 새로운 길을 찾아내려는 수학자들의 끊임없는 도전과 연구가 뒷받침되었기에 가능한 일이었습니다. 과학계와 우리 사회 전반에 필요한 것은 합리적인 의사결정과 결과에 승복하는 문화입니다. 과학적 지식을 확산하는 것만큼이나 중요한 것은 전문가의 의견을 존중하고 합리적으로 행동하는 태도입니다. 정치 지도자들이 모든 과학 분야를 깊이 있게 알기는 어렵지만, 해당 분야의 전문가 커뮤니티에 자문을 구하고 그들의 판단을 정책에 반영하는 시스템이 정착되어야 합니다. 수학과 과학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 끊임없이 새로운 문제를 발견하고 탐구하는 끝없는 여정입니다. 이러한 학문적 열정이 국가 경쟁력의 근간이 될 것입니다.

금종해

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[석학인터뷰] 현동훈_ 지도교수님 曰 "누가 수학을 재미로 하냐?" 그래도 재밌습니다. | 2020 가을 카오스강연 'Ai X'

순수 수학에 몰두하던 학자가 시야를 넓혀 응용 분야인 컴퓨터 비전에 입문하게 된 과정은 흥미롭습니다. 많은 수학자가 이론의 순수성에 집중하느라 실용적인 응용을 간과하곤 하지만, 컴퓨터 비전은 그 자체로 매우 수학적인 토대를 가지고 있습니다. 이는 수학자로서의 정체성과 자부심을 유지하면서도, 연구 결과가 사회에 실질적이고 가시적인 기여를 할 수 있다는 확신을 줍니다. 추상적인 수식 속에 머물던 아이디어가 현실의 문제를 해결하는 도구로 변모하는 과정은 수학자에게 새로운 즐거움을 선사합니다. 대수기하학은 다항식의 근을 통해 기하학적 구조를 연구하는 학문으로, 예를 들어 원의 방정식을 통해 도형을 이해하는 것과 같습니다. 이러한 학문적 기초는 컴퓨터 비전의 핵심인 '다중관점 기하학'으로 이어집니다. 하나의 물체를 서로 다른 각도에서 바라볼 때 나타나는 형태의 변화를 수학적으로 정교하게 기술하는 것이 이 분야의 핵심입니다. 결국 컴퓨터에게 사물을 보는 법을 가르치는 과정은 대수기하학적 원리를 현실 세계의 시각 데이터에 적용하는 고도의 지적 작업이라고 할 수 있습니다. 컴퓨터의 탄생 자체가 앨런 튜링과 알론조 처치 같은 수학자들의 손에서 시작되었듯이, 수학과 컴퓨터 과학은 떼려야 뗄 수 없는 관계입니다. 최근 전 세계적인 관심을 받는 딥러닝 역시 그 근간에는 단순하고 명료한 수학적 아이디어가 자리 잡고 있습니다. 현재 수학자들은 딥러닝이 왜 뛰어난 성능을 보이는지 그 원리를 규명하고, 이를 더욱 효과적으로 개선하기 위한 연구에 매진하고 있습니다. 특히 컴퓨터 비전 분야는 그 구성 요소의 절반 이상이 기하학적 원리로 이루어져 있어 수학적 통찰이 필수적입니다. 연구의 길은 항상 즐겁기만 한 것은 아니며, 때로는 문제 해결이 되지 않아 괴로운 순간을 마주하기도 합니다. 새로운 지식을 배우는 것은 즐거운 일이지만, 아무도 가보지 않은 길을 개척하는 연구는 차원이 다른 인내를 요구합니다. "수학을 누가 재미로 하느냐, 그냥 하는 것이다"라는 격언처럼, 끈기 있게 문제를 붙들고 늘어지는 태도가 중요합니다. 하지만 이상적인 환경에서 자유롭게 사고하며 무궁무진한 가능성을 탐구하는 과정은 수학만이 줄 수 있는 독특한 매력이며, 이는 창업이나 기술 개발 같은 실천적 도전의 원동력이 됩니다. 우리가 영화 '미션 임파서블'이나 '아이언맨'에서 보았던 첨단 기술들은 더 이상 상상 속의 영역에만 머물지 않습니다. 현장에서 즉석으로 마스크를 제작하기 위한 3D 스캐닝이나 화려한 홀로그래픽 디스플레이의 이면에는 복잡한 수학적 계산과 기하학적 모델링이 숨어 있습니다. 이러한 기술적 진보를 깊이 있게 이해하기 위해서는 그 바탕이 되는 수학적 원리를 파악하는 것이 중요합니다. 수학은 단순히 교과서 속의 학문을 넘어, 우리가 꿈꾸는 미래의 시각 기술을 현실로 구현하는 가장 강력한 언어로서 기능하고 있습니다.

현동훈

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[인생과학책 #2] 누구나 좋아하는 자서전적 과학책

과학자의 삶을 들여다보는 자서전은 단순한 지식 전달을 넘어 그들의 사고 체계와 세상을 바라보는 독특한 시선을 공유하게 해줍니다. 그중에서도 리처드 파인만의 '파인만 씨, 농담도 잘하시네!'는 전 세계적인 스테디셀러로 사랑받고 있습니다. 리처드 파인만은 노벨 물리학상 수상자임에도 불구하고 격식에 얽매이지 않는 파격적인 기행과 진솔한 고백으로 대중에게 다가갔습니다. 그는 어려운 과학 이론을 설명하기보다 과학도로서 가졌던 호기심과 괴짜 같은 면모를 가감 없이 드러내며, 과학이라는 학문이 얼마나 역동적이고 인간적인지를 몸소 보여주었습니다. 히로나카 헤이스케의 '학문의 즐거움'은 천재성보다 끈기를 강조하며 많은 이들에게 용기를 주는 책입니다. 늦깎이 수학자로 시작해 필즈상을 거머쥐기까지의 과정은 동양적인 지혜와 도의 정신을 느끼게 합니다. 한편, 베르너 하이젠베르크의 '부분과 전체'는 양자역학의 탄생 비화뿐만 아니라 과학과 정치, 종교를 아우르는 지식인의 고뇌를 담고 있습니다. 동료들과의 치열한 토론을 통해 자연의 본질을 탐구했던 베르너 하이젠베르크의 기록은 과학이 사회와 어떻게 연결되는지 깊이 있게 성찰하게 만듭니다. 이러한 거장들의 기록은 독자들에게 학문적 성취 이상의 감동을 선사합니다. 제임스 왓슨의 '이중나선'은 DNA 구조 발견 과정을 마치 스릴러 영화처럼 긴박하게 묘사하여 과학계에 큰 파장을 일으켰습니다. 20대의 젊은 과학자가 겪은 경쟁과 갈등, 그리고 발견의 순간을 일기 형식으로 담아낸 이 책은 과학 연구의 이면에 숨겨진 인간적인 욕망과 열정을 적나라하게 보여줍니다. 제임스 왓슨의 서술 방식은 당시 영국 과학계에서 논란이 되기도 했지만, 결과적으로 대중이 과학적 발견의 현장을 생생하게 체험할 수 있도록 도왔습니다. 이는 과학자가 자신의 연구 과정을 기록하고 공유하는 것이 대중적 인지도에 얼마나 큰 영향을 미치는지 보여주는 사례이기도 합니다. 제임스 왓슨과 함께 노벨상을 받은 프랜시스 크릭은 훗날 '열광의 탐구'를 통해 보다 학술적이고 차분한 시각으로 당시를 회고했습니다. 하지만 DNA 발견의 역사에서 결코 잊어서는 안 될 인물은 바로 로잘린드 프랭클린입니다. 그녀는 뛰어난 X선 회절 사진을 통해 결정적인 단서를 제공했음에도 불구하고, 여성 과학자에 대한 차별과 이른 죽음으로 인해 생전에 충분한 예우를 받지 못했습니다. 암 투병 중에도 연구를 멈추지 않았던 로잘린드 프랭클린의 불굴의 의지는 오늘날 많은 이들에게 깊은 울림을 주며, 과학의 역사 속에 가려진 진실과 헌신을 다시금 되새기게 합니다. 과학 자서전을 읽는 것은 단순히 과거의 업적을 확인하는 것이 아니라, 거장들이 가졌던 탐구의 자세를 배우는 과정입니다. 리처드 파인만이 제안한 '이해할 때까지 처음부터 다시 읽는' 독서법이나, 논리적 토대를 통해 외로움을 극복한다는 히로나카 헤이스케의 철학은 우리 삶의 태도에도 큰 시사점을 줍니다. 과학은 차가운 공식의 나열이 아니라 인간의 뜨거운 열정과 고뇌가 빚어낸 예술과도 같습니다. 이러한 책들을 통해 과학자의 마음을 들여다본다면, 우리는 세상을 이전보다 더 넓고 깊은 시선으로 바라볼 수 있게 될 것입니다.

고계원, 김성근, 류형돈, 오세정, 이정은

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[카오스 술술수학] 리만가설(3): 악마와 리만가설

서울대학교 김용원 교수의 웹툰을 바탕으로 한 이 이야기는 20년 넘게 리만 가설에 매달려 온 한 수학자의 깊은 고뇌를 다룹니다. 리만 가설은 수학계에서 가장 악명 높은 난제 중 하나로, 수많은 천재들이 도전했지만 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 이야기 속 수학자는 오랜 연구 끝에 막다른 골목에 다다라 절망에 빠지게 되며, 바로 그 순간 영혼을 거래하려는 악마가 그의 앞에 나타나며 기묘한 거래가 시작됩니다. 절망에 빠진 수학자에게 나타난 악마는 영혼을 대가로 소원을 들어주겠다고 제안합니다. 수학자는 지푸라기라도 잡는 심정으로 리만 가설의 증명을 알려달라고 말하지만, 수학을 전혀 모르는 악마에게 그 요청은 외계어처럼 들릴 뿐이었습니다. 결국 수학자는 악마에게 미적분학부터 해석적 정수론에 이르기까지 방대한 수학 지식을 먼저 공부하고 오라고 일갈합니다. 악마는 실적을 올리기 위해 밤을 새워 수학 공부에 매진하게 됩니다. 놀라운 능력을 가진 악마는 단 며칠 만에 고등 수학 과정을 모두 섭렵하고 다시 수학자를 찾아옵니다. 이때부터 인류 역사상 유례없는 수학자와 악마의 공동 연구가 시작됩니다. 수학자는 지난 20년 동안 자신이 겪었던 모든 시행착오와 연구 데이터가 담긴 노트를 악마에게 넘겨주며 함께 해답을 찾기 위해 고군분투합니다. 하지만 악마의 초자연적인 능력조차도 리만 가설이라는 거대한 벽 앞에서는 무력해 보이기만 합니다. 공동 연구가 시작된 지 2년이 지났음에도 불구하고, 악마는 여전히 리만 가설을 해결하지 못한 채 괴로워합니다. 악마조차 "이것만 해결하면 되는데"라며 웅얼거릴 정도로 리만 가설은 그 난도가 상상을 초월합니다. 결국 악마는 수학자를 찾아온 것을 후회하며 자신의 처지를 한탄하게 됩니다. 이 이야기는 리만 가설이 인간의 지성을 넘어 악마에게조차 얼마나 가혹하고 어려운 문제인지를 해학적으로 보여주며 그 위엄을 다시금 일깨워 줍니다. 20년이 넘는 긴 시간 동안 하나의 난제에 매달릴 수 있었던 원동력에 대해 수학자는 '성격'을 꼽습니다. 단순히 수학을 좋아한다는 마음만으로는 3년에서 5년 정도가 한계일 것이라고 그는 말합니다. 그 이상의 시간을 견디며 끝까지 밀고 나가는 힘은 결국 개인의 성격과 끈기에서 나온다는 것입니다. 리만 가설은 단순한 지적 유희를 넘어, 한 인간의 삶과 성격이 온전히 투영되어야만 비로소 마주할 수 있는 거대한 산과 같습니다.

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[카오스 술술수학] 리만가설(2): 리만가설에 미치다

리만 가설은 수학 역사상 가장 매혹적이면서도 고통스러운 수수께끼로 남아 있습니다. 독일의 수학자 힐베르트는 사후 500년 뒤에 깨어난다면 가장 먼저 이 가설의 증명 여부를 묻고 싶다고 했으며, 하디는 자신의 첫 번째 소망으로 이를 꼽았습니다. 라마누잔과 존 내쉬 같은 천재들조차 이 문제로 인해 육체적, 정신적 고통을 겪었을 만큼 그 위력은 대단합니다. 페르마의 마지막 정리와 푸앵카레 추측이 해결된 지금도 리만 가설은 여전히 난공불락의 요새처럼 버티고 있습니다. 소수의 규칙성을 찾으려는 노력은 유클리드와 오일러를 거쳐 가우스에 이르러 큰 전환점을 맞이했습니다. 1792년 가우스는 소수의 개수를 추측할 수 있는 '소수 정리'를 제안하며, 수가 커질수록 소수의 밀도가 로그 함수에 반비례한다는 사실을 통찰했습니다. 하지만 가우스는 이를 직관적으로 추측했을 뿐 엄밀하게 증명하지는 못했습니다. 이후 수많은 수학적 거성들이 릴레이를 하듯 이 소수의 분포 문제를 해결하기 위해 자신의 생애를 바치며 연구에 매달려 왔습니다. 가우스의 제자였던 리만은 1859년 발표한 논문에서 '리만 제타 함수'를 도입하며 소수 정리 증명의 실마리를 제공했습니다. 리만 가설은 단순히 소수의 개수를 대략적으로 파악하는 것을 넘어, n까지의 소수를 정확하게 셀 수 있는 유일한 식을 완성하려는 시도입니다. 오늘날 이 가설에는 10억 원의 상금이 걸려 있으며, 19세기 수학자들 사이에서는 이를 증명하는 자가 영생을 얻는다는 말이 돌 정도로 수학계에서 차지하는 위상이 절대적이라고 할 수 있습니다. 리만 가설의 핵심은 제타 함수의 무한히 많은 영점들이 복소평면상의 1/2 축 위에 일렬로 늘어서 있다는 가정에 있습니다. 이 영점들은 각각 소리의 파동과 같은 역할을 수행하며, 이 파동들을 모두 합치면 소수 분포의 오차가 점차 줄어들어 결국 0에 수렴하게 됩니다. 마치 악기를 목표 음에 맞춰 미세하게 조율하는 과정과도 같습니다. 만약 단 하나의 영점이라도 이 축을 벗어난다면 파동이 너무 커져 조율이 불가능해지며, 소수의 불규칙성을 설명할 방법도 사라지게 됩니다. 역설적이게도 리만 제타 함수 영점들의 완벽한 질서는 소수가 가진 극도의 무질서와 임의성을 대변합니다. 가우스가 예견했듯 소수는 동전 던지기와 같은 무작위성을 띠고 있으며, 리만 가설은 바로 그 임의성을 수학적으로 설명해 줍니다. 만약 이 가설이 거짓으로 판명된다면 현대 수학의 근간이 흔들리는 대재앙이 닥칠 것이라는 우려가 나올 정도입니다. 전 세계 수학자들을 잠 못 들게 하는 이 난제는 여전히 인류가 정복해야 할 가장 거대한 지적 산맥으로 남아 있습니다.

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[강연] 2018 필즈상 해설 강연 2일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 김완수, 임선희 교수 | 1편

정수론은 인류가 숫자를 다루기 시작한 고대부터 존재해 온 가장 기초적이면서도 심오한 학문입니다. 기원전 메소포타미아의 점토판에 기록된 피타고라스 정리의 해부터 현대의 복잡한 방정식에 이르기까지, 정수론은 단순한 계산을 넘어 수의 체계 속에 숨겨진 근본적인 질서를 탐구해 왔습니다. 최근의 정수론은 고대의 직관적인 문제에서 벗어나 고도로 추상화된 기하학적 방법론을 도입하며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 이러한 변화는 우리가 수를 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 현대 수학의 가장 역동적인 분야 중 하나로 자리 잡았습니다. 페르마의 마지막 정리는 정수론의 발전을 이끌어온 거대한 동력이었습니다. 350년 동안 수많은 수학자를 괴롭혔던 이 난제는 앤드루 와일즈에 의해 증명되었으며, 그 과정에서 개발된 이론들은 현대 정수론의 새로운 지평을 열었습니다. 2018년 필즈상 수상자인 페터 숄체 역시 16세의 어린 나이에 와일즈의 증명을 접하며 수학적 영감을 얻었습니다. 그는 증명을 이해하기 위해 필요한 배경 지식을 역으로 추적하며 공부했고, 이는 훗날 그가 산술 기하학 분야에서 혁신적인 업적을 남기는 밑거름이 되었습니다. 난제를 해결하려는 의지가 새로운 수학적 세계를 창조한 셈입니다. 현대 정수론의 핵심 도구 중 하나인 p진수는 우리가 흔히 아는 실수의 거리 개념과는 전혀 다른 수 체계입니다. 소수 p를 기준으로 정의되는 이 체계에서는 숫자가 p의 거듭제곱으로 나누어질수록 0에 더 가깝다고 간주합니다. 이러한 비아르키메데스적 절댓값은 정수의 합동 성질을 기하학적인 거리로 변환하여 다룰 수 있게 해줍니다. p진수 세계에서는 모든 삼각형이 이등변 삼각형이 되는 등 기묘한 현상이 일어나지만, 이는 정수론적 문제를 기하학적으로 시각화하고 분석하는 데 결정적인 역할을 합니다. 추상적인 수의 성질이 공간의 언어로 번역되는 순간입니다. 페터 숄체는 '퍼펙토이드 공간'이라는 개념을 도입하여 p진 기하학의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 퍼펙토이드 공간은 무한히 많은 변수와 거듭제곱근을 포함하는 복잡한 구조를 가지고 있지만, 이를 통해 p진수 해 공간에서의 미적분학을 가능하게 합니다. 숄체의 이론은 갈로아 표현론과 같은 정수론의 난제들을 해결하는 강력한 도구가 되었으며, 산술 기하학 전반에 걸쳐 혁명적인 변화를 불러일으켰습니다. 그의 연구는 기존의 관점을 재해석하는 수준을 넘어, 수학자들이 미지의 영역을 탐험할 수 있는 정교한 지도를 제공한 것과 다름없습니다. 또 다른 필즈상 수상자인 악샤이 벤카테시는 해석적 정수론과 균질 동역학을 결합하여 독창적인 연구 세계를 구축했습니다. 동역학은 특정 공간 위에서 움직이는 궤도의 패턴을 연구하는 학문으로, 벤카테시는 이를 통해 자연수와 소수의 분포 속에 숨겨진 규칙을 찾아냈습니다. 그는 당구대 위에서 공이 튕기는 궤적이나 휘어진 쌍곡 공간에서의 움직임을 분석하여, 이를 복잡한 L-함수의 성질과 연결시켰습니다. 서로 무관해 보이는 분야들을 하나로 엮어내는 그의 통찰력은 수학적 대상들이 가진 보편적인 연결성을 증명하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 벤카테시의 연구에서 중요한 비중을 차지하는 균질 공간은 격자들의 집합으로 이루어진 고차원적인 구조입니다. 그는 이러한 공간 위에서 궤도가 얼마나 고르게 분포하는지를 연구함으로써, 정수론의 오랜 난제인 L-함수의 하위 볼록성 문제를 해결하는 실마리를 제공했습니다. 이는 북을 쳤을 때 발생하는 소리의 스펙트럼을 분석하여 공간의 기하학적 정보를 알아내는 것과 유사한 원리입니다. 추상적인 대수 구조와 역동적인 움직임이 만나는 지점에서 탄생한 그의 업적은, 현대 수학이 얼마나 다양한 언어로 우주의 질서를 묘사할 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 보이지 않는 구조 속에서 아름다움을 발견하는 예술과도 같습니다. 필즈상 수상자들의 업적은 당장의 실용성을 넘어 인류의 지적 지평을 넓히는 데 기여하며, 수천 년 후에는 우리가 당연하게 여기는 상식이 될 것입니다. 수학자들이 느끼는 아름다움은 복잡한 수식 속에 숨겨진 자연스러운 질서와 논리적 완결성에서 비롯됩니다. 끊임없는 질문과 탐구를 통해 미지의 영역을 개척해 나가는 이들의 노력은, 인류가 가진 호기심의 위대함을 증명하며 미래 세대에게 새로운 영감을 불어넣고 있습니다.

김완수, 임선희

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

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[강연] 2018 필즈상 해설 강연 1일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 박지훈, 하승열 교수 | 2편

수학은 수천 년의 역사를 지닌 학문이지만, 여전히 우리에게 깊은 경외심과 동시에 막연한 두려움을 안겨줍니다. 세계 최고의 수학적 업적에 수여되는 필즈상은 단순히 개인의 천재성을 기리는 자리가 아니라, 인류가 지성의 한계를 어떻게 극복해왔는지를 보여주는 이정표입니다. 수학을 공부하며 마주하는 난해함은 피할 수 없는 과정이지만, 이를 지속적으로 접하며 익숙해지는 과정 자체가 수학적 사고의 핵심입니다. 부분적인 이해에서 시작해 전체적인 통찰로 나아가는 노력은 수학자뿐만 아니라 우리 모두에게 필요한 태도입니다. 2018년 필즈상 수상자인 코처 비르카는 대수기하학의 난제인 '파노 다양체의 유한성'을 증명하며 수학계에 큰 족적을 남겼습니다. 대수 다양체란 다변수 다항식의 해집합으로 이루어진 기하학적 구조를 의미하는데, 그중에서도 차수가 낮은 특수한 다양체를 파노 다양체라 부릅니다. 코처 비르카는 최소 모델 프로그램이라는 도구를 활용하여, 특정한 조건을 만족하는 파노 다양체의 종류가 유한하다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 복잡한 기하학적 대상들을 체계적으로 분류하고 이해하려는 수학자들의 오랜 꿈에 한 걸음 더 다가간 결과입니다. 수학적 발견은 결코 고립된 천재 한 명의 힘으로 이루어지지 않습니다. 코처 비르카의 업적 역시 델 페초와 지노 파노에서 시작되어 이스콥스키흐, 시게후미 모리 등으로 이어지는 거대한 학문적 흐름 위에 서 있습니다. 수많은 수학자가 쌓아 올린 이론적 토대와 협력의 문화가 있었기에 현대의 난제 해결이 가능했던 것입니다. 전 세계의 학자들이 이메일과 논문을 통해 실시간으로 소통하며 아이디어를 주고받는 개방적인 연구 환경은, 현대 수학이 과거보다 더욱 역동적으로 발전할 수 있는 원동력이 되고 있습니다. 또 다른 수상자인 알레시오 피갈리는 '최적 운송 이론'의 대가로 불립니다. 최적 운송 이론이란 자원을 한 분포에서 다른 분포로 옮길 때 비용을 최소화하는 방법을 연구하는 분야입니다. 18세기 가스파르 몽주가 제기한 모래 더미 옮기기 문제에서 시작된 이 이론은, 현대에 이르러 확률론과 편미분 방정식의 결합을 통해 비약적으로 발전했습니다. 알레시오 피갈리는 몽주-앙페르 방정식의 정칙성 문제를 해결함으로써, 추상적인 수학 이론이 실제 물리적 현상을 설명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 입증했습니다. 알레시오 피갈리의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 기상학, 유체 역학, 양자 역학 등 다양한 응용 분야에서 빛을 발하고 있습니다. 대기의 흐름을 설명하는 준지균 방정식을 3차원으로 확장하거나, 기하학적 부등식의 안정성을 증명하는 과정에서 최적 운송 이론은 핵심적인 역할을 수행합니다. 이는 복잡한 자연 현상 이면에 숨겨진 단순하고 아름다운 최적화 원리를 찾아내는 과정이기도 합니다. 수학적 통찰이 어떻게 타 학문과 상호작용하며 인류의 지식 지평을 넓히는지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다. 수학의 본질이 문제 풀이에 있는지, 아니면 새로운 이론을 정립하는 데 있는지에 대한 논의는 끊이지 않습니다. 어떤 수학자는 거대한 산을 정복하듯 난제를 해결하는 데 집중하고, 어떤 수학자는 산을 오르기 위한 길을 닦듯 정교한 이론 체계를 구축합니다. 중요한 것은 이 두 가지 접근 방식이 서로 보완하며 수학이라는 거대한 유기체를 성장시킨다는 점입니다. 난제 해결은 이론의 유효성을 검증하는 실험이 되고, 새로운 이론은 이전에 풀지 못했던 문제에 접근할 수 있는 새로운 시각을 제공합니다. 현대 사회에서 기하학을 비롯한 수학 교육의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 핵심 기술인 인공지능, 로봇 공학, 자율주행 등은 모두 고도의 기하학적 사고를 바탕으로 합니다. 수학은 단순히 공식을 암기하고 계산하는 학문이 아니라, 논리적인 체계를 세우고 세상을 바라보는 통찰력을 기르는 도구입니다. 학생들이 수학의 어려움에 매몰되기보다 그 이면에 숨겨진 질서와 조화를 발견하며 스스로 생각하는 힘을 기를 때, 비로소 수학은 우리 삶을 풍요롭게 만드는 지적 자산이 될 것입니다.

박지훈, 하승열

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

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[석학인터뷰] 신석우_ 수학자 말고 카페 사장 할까봐요? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학이라는 학문은 흔히 차갑고 딱딱하게 느껴지지만, 사실은 사람과 사람 사이의 따뜻한 대화로 이어질 수 있는 주제입니다. 언젠가 수학 이야기를 가볍게 나눌 수 있는 카페를 열어 손님들에게 직접 내린 커피를 대접하며 소통하는 풍경을 그려보곤 합니다. 어려운 수식이나 복잡한 증명에 매몰되기보다는, 일상의 여유 속에서 수학의 즐거움을 가볍게 나누는 공간은 많은 이들에게 새로운 영감을 줄 것입니다. 이러한 소통의 장은 수학이 우리 삶과 얼마나 가까이 닿아 있는지를 깨닫게 해주는 소중한 기회가 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름인 랭랜즈 프로그램은 파편화된 여러 분야를 하나의 통합적 관점으로 묶어내는 시도입니다. 당장은 큰 연관성이 없어 보이는 대상들을 넓은 관점에서 바라보며, 그 속에 숨겨진 체계를 찾아내는 과정은 수학자들에게 새로운 정보를 제공하는 희망적인 이정표가 됩니다. 이처럼 서로 다른 영역을 하나로 잇는 통합적 사고는 학문의 경계를 허물고 더 깊은 진리에 다가가는 열쇠가 되며, 복잡한 수식 너머에 존재하는 거대한 질서를 깨닫게 해줍니다. 수학자의 삶은 어두운 동굴 속에서 금맥을 찾는 광부의 모습과 닮아 있습니다. 산속 어딘가에 금이 묻혀 있다는 확신은 있지만, 정확한 위치를 알 수 없기에 수많은 시행착오를 겪으며 땅을 파내려 가야 합니다. 연구 시간의 대부분이 성과 없는 헛손질로 끝나는 것처럼 보일지라도, 그 고된 과정 끝에 찾아내는 한 조각의 진리는 그간의 모든 노력을 보상해 줍니다. 돌멩이들 사이에서 빛나는 금을 찾아내듯, 수학자들은 보이지 않는 진리를 발견하기 위해 묵묵히 자신만의 길을 개척하며 학문적 탐구를 이어갑니다.

신석우

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

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[석학인터뷰] 하승열_ 자연을 탐구하는 수학자 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학자들은 물리학자들에 비해 학문적 탐구의 영역에서 상대적으로 더 높은 자유로움을 누립니다. 물리학이 실제 존재하는 현상을 설명하고 증명하는 것에 일차적인 목적을 둔다면, 수학은 이론 그 자체의 논리적 완결성과 아름다움만으로도 충분한 가치를 지니기 때문입니다. 아무리 정교한 이론이라도 현실의 현상을 뒷받침하지 못하면 외면받기 쉬운 물리적 세계와 달리, 수학자들은 이론이 지닌 고유한 질서와 구조 속에서 순수한 즐거움을 발견합니다. 이러한 자유로운 사고의 확장은 수학이 단순한 계산을 넘어 하나의 예술적 경지에 도달하게 만드는 원동력이 됩니다. 복잡해 보이는 자연 현상 속에는 이를 관통하는 단순하고 명료한 공식들이 숨어 있습니다. 미분 방정식을 활용하면 수많은 변수가 얽힌 복잡한 시스템을 간결한 언어로 기술할 수 있으며, 이는 곧 보이지 않는 질서를 시각화하는 작업과도 같습니다. 복잡성 속에서 피어나는 다양성은 그 자체로 거대한 아름다움을 형성하며, 수학적 도구들은 이러한 자연의 신비를 해독하는 가장 강력한 열쇠가 되어 줍니다. 이러한 수학적 원리는 단순히 학문에 머물지 않고 실생활의 다양한 분야로 확장되어 새로운 가치를 창출하는 기반이 됩니다. 자연을 탐구하는 수학자로서의 삶은 눈에 보이는 생동감 넘치는 현상들로부터 시작됩니다. 하늘을 가로지르는 새들의 군무나 바닷속 물고기 떼의 일사불란한 움직임은 그 자체로 경이로운 연구의 대상이 됩니다. 이러한 생태적 현상들은 수학자의 마음을 움직이고 새로운 탐구의 영감을 제공하며, 추상적인 수식에 생명력을 불어넣습니다. 앞으로도 자연의 복잡한 결을 따라가며 그 속에 숨겨진 조화를 찾아내는 여정은 계속될 것입니다. 수학은 결국 자연이라는 거대한 캔버스 위에 그려진 정교한 밑그림을 이해하고 감상하는 가장 깊이 있는 방법이기 때문입니다.

하승열

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

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[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (1) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ①

수학의 '대통일 이론'이라 불리는 랭글랜즈 프로그램은 서로 무관해 보이는 수학의 여러 분야를 하나의 거대한 체계로 통합하려는 시도입니다. 1967년 로버트 랭글랜즈가 제시한 이 비전은 현대 수학에서 가장 야심 찬 연구 과제 중 하나로 손꼽히며, 그는 이 공로를 인정받아 2018년 수학계의 노벨상이라 불리는 아벨상을 수상했습니다. 이 프로그램은 단순히 이론적인 통합에 그치지 않고, 수론과 해석학, 기하학 사이의 숨겨진 연관성을 밝혀냄으로써 수백 년간 풀리지 않았던 난제들을 해결할 수 있는 강력한 열쇠를 제공합니다. 정수론의 핵심적인 질문은 주어진 방정식의 정수 해나 유리수 해를 구하는 것입니다. 실수의 범위에서는 비교적 쉽게 해를 찾을 수 있는 방정식이라도, 정수라는 제한된 조건 안에서 해를 찾는 일은 매우 까다롭고 복잡한 문제입니다. 예를 들어 피타고라스 방정식처럼 익숙한 형태조차 정수 해를 구하려 하면 그 난도가 급격히 상승하며, 때로는 해가 존재하는지조차 파악하기 어렵습니다. 이러한 정수 해의 희소성과 불규칙성은 수학자들에게 큰 도전 과제가 되었으며, 이를 해결하기 위해 수학자들은 방정식을 바라보는 새로운 관점을 고민하게 되었습니다. 복잡한 정수론 문제를 해결하기 위한 유용한 도구 중 하나는 '합동식'입니다. 이는 숫자를 특정 수로 나눈 나머지가 같으면 동일한 것으로 간주하는 개념으로, 우리가 일상에서 사용하는 시계의 원리와 유사합니다. 방정식을 직접 푸는 대신 소수 p로 나눈 나머지의 세계에서 해의 개수를 세어보는 방식은 문제의 난도를 낮추면서도 본질적인 정보를 보존합니다. 이러한 합동 방정식의 해를 분석하는 과정은 복잡한 수의 체계를 단순화하여 그 이면에 숨겨진 규칙성을 포착할 수 있게 해주며, 이는 현대 정수론 연구의 기초가 되는 중요한 접근법입니다. 수학자 가우스는 합동 방정식의 해가 존재하는지 여부를 결정하는 놀라운 규칙인 '이차 상호 법칙'을 발견했습니다. 이는 특정 소수에 대한 해의 존재 여부가 다른 수로 나눈 나머지에 의해 결정된다는 사실을 보여줍니다. 이러한 규칙성은 방정식이 가진 고유한 특성, 즉 '유전자'와 같습니다. 각 소수에 대해 해의 개수를 조사하고 그 데이터가 보여주는 패턴을 분석하면, 우리는 방정식의 정체를 파악할 수 있는 결정적인 단서를 얻게 됩니다. 이러한 유전적 정보는 서로 다른 수학적 대상들을 연결하는 가교 역할을 하며 대통일 이론의 토대를 형성합니다. 20세기 초반의 수학자들은 가우스의 법칙을 일반화한 '유체론'을 통해 많은 성과를 거두었지만, 여전히 모든 방정식을 설명하기에는 한계가 있었습니다. 특히 '타원 곡선'과 같은 복잡한 구조를 가진 방정식들은 기존의 이론적 틀을 벗어나 있었습니다. 타원 곡선은 현대 암호학에서도 중요하게 다뤄지는 대상으로, 이와 관련된 '버치-스위너턴다이어 추측'은 현대 수학의 7대 난제 중 하나로 꼽힙니다. 랭글랜즈 프로그램은 바로 이러한 한계를 극복하고, 타원 곡선을 포함한 더 넓은 범위의 수학적 대상들을 통합적인 관점에서 이해하려는 원대한 목표를 향해 나아가고 있습니다.

신석우

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (4) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ④

인공지능 시대의 도래는 단순히 인간의 업무를 기계가 대체하는 차원을 넘어섭니다. 과거에는 인간이 필요한 정보를 직접 기록하고 구전하며 관리할 수 있었지만, 현대 사회는 기계들이 쏟아내는 데이터의 양이 인간의 처리 능력을 아득히 초월했습니다. 이러한 데이터의 홍수 속에서 의미 있는 정보를 추출하고 분석하기 위해 인공지능은 필수적인 도구가 되었습니다. 즉, 인공지능은 인간의 한계를 보완하여 방대한 정보 속에서 가치를 찾아내는 새로운 지적 동반자로서 그 존재 이유를 가집니다. 인공지능의 화려한 성취 뒤에는 견고한 수학적 원리가 자리 잡고 있습니다. 알파고와 같은 사례에서 보듯, 인공지능이 보여주는 놀라운 결과물은 복잡한 알고리즘과 수학적 모델링의 산물입니다. 특히 딥러닝을 깊이 이해하기 위해서는 선형대수학이나 기하학과 같은 수학적 기초가 필수적입니다. 단순히 기술적인 구현에 그치지 않고 인공지능의 근본적인 작동 원리를 파악하기 위해서는 수학이라는 언어를 통해 그 내부를 들여다보는 노력이 필요하며, 이는 인공지능 시대를 주도하는 핵심 역량이 됩니다. 수학의 역사는 계산의 시대에서 이론의 시대를 거쳐, 이제는 컴퓨터와 협력하는 새로운 계산의 시대로 진입했습니다. 과거의 수학자가 수식을 직접 풀고 계산하는 데 집중했다면, 현대의 수학자는 어떤 계산을 시킬 것인지 설계하고 그 결과를 어떻게 해석할 것인지 고민하는 역할을 수행합니다. 인공지능이 발전함에 따라 수학자의 역할이 사라지는 것이 아니라, 오히려 가보지 않은 길을 개척하고 복잡한 시스템의 논리적 타당성을 검증하는 고차원적인 설계자로서의 위상이 더욱 강화되고 있는 것입니다. 최근 교육 현장에서 코딩 열풍이 불고 있지만, 진정한 핵심은 프로그래밍 언어의 문법을 익히는 것이 아니라 그 밑바탕에 깔린 수학적 사고력을 기르는 데 있습니다. 코딩은 논리적인 구조를 구현하는 수단일 뿐이며, 무엇을 어떻게 구현할 것인지를 결정하는 것은 결국 수학적 원리에 대한 이해입니다. 원리를 모른 채 복잡한 수식만 나열하는 것은 비효율적입니다. 따라서 미래 세대에게 필요한 교육은 단순한 기능 습득이 아니라, 문제를 효율적으로 정의하고 식의 의미를 파악하는 본질적인 사고의 힘을 길러주는 방향으로 나아가야 합니다. 인공지능의 신경망 구조가 인간의 뇌와 유사해짐에 따라 생명과 의식에 대한 철학적 질문도 제기됩니다. 예쁜꼬마선충의 뉴런 구조를 기계적으로 복제했을 때 생명체와 유사한 반응을 보이는 사례는 흥미로운 시사점을 던져줍니다. 하지만 인간의 뇌는 단순한 알고리즘의 집합을 넘어 끊임없는 경험과 학습을 통해 스스로를 변화시키는 복잡한 상태를 지닙니다. 인공지능이 인간의 지적 능력을 흉내 낼 수는 있어도, 주관적인 경험과 의식의 영역까지 완벽히 대체할 수 있는지에 대해서는 생물학적, 철학적 관점에서의 깊은 성찰이 동반되어야 합니다. 리만 가설과 같은 수학적 난제를 인공지능이 해결할 수 있을지에 대한 관심도 뜨겁습니다. 컴퓨터는 방대한 계산을 통해 반례를 찾거나 복잡한 미분방정식을 푸는 데 탁월한 성능을 발휘하지만, 문제의 본질을 꿰뚫는 통찰력을 제시하는 데는 여전히 한계가 있습니다. 인공지능은 인간이 미처 생각하지 못한 새로운 지평을 열어주는 보조적인 도구로서 강력한 힘을 발휘할 것입니다. 결국 수학적 난제의 해결은 기계의 압도적인 계산 능력과 인간의 창의적인 가설 설정이 조화를 이룰 때 비로소 가능해질 것으로 보입니다. 궁극적으로 수학을 공부하는 이유는 단순히 지식을 습득하는 것을 넘어, 권위에 맹종하지 않고 스스로 사고하는 힘을 기르기 위함입니다. 수학은 누구나 자신의 논리로 결과를 확인하고 검증할 수 있는 학문입니다. 인공지능이 제공하는 결과물에 의존하기만 하는 것이 아니라, 그것이 왜 옳은지 스스로 판단할 수 있는 비판적 사고력이 인공지능 시대에 더욱 절실해집니다. 스스로 생각하고 확인하는 수학적 태도는 급변하는 기술 사회 속에서 우리가 중심을 잡고 주체적인 삶을 살아갈 수 있게 돕는 가장 강력한 무기가 될 것입니다.

박부성, 이준엽

카오스재단카오스강연

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (1) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ①

우리의 일상은 수많은 알고리즘으로 둘러싸여 있습니다. 가장 대표적인 예가 내비게이션입니다. 내비게이션의 핵심은 화려한 그래픽이나 음성 안내가 아니라, 최적의 경로를 찾아내는 알고리즘에 있습니다. 알고리즘이란 특정 목표를 달성하기 위한 유한한 절차나 규칙의 모임을 의미합니다. 이는 단순히 컴퓨터 프로그램에 국한된 개념이 아니라, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하기 위해 인간이 설계한 체계적인 문제 해결 방식의 정수라고 할 수 있습니다. 경로 탐색의 효율성을 극대화한 사례로 '패스트 마칭 알고리즘'을 들 수 있습니다. 과거에는 모든 경우의 수를 일일이 계산하려 했으나, 이는 데이터가 늘어날수록 계산량이 기하급수적으로 증가하는 한계가 있었습니다. 하지만 수학자들은 이를 미분 방정식의 관점에서 접근하여 사고의 전환을 이뤄냈습니다. 속도의 역수를 시간의 흐름으로 파악하고, 마치 물결이 퍼져나가는 것처럼 최단 시간을 계산하는 방식은 복잡한 경로 문제를 획기적으로 해결했습니다. 이러한 수학적 알고리즘은 단순히 길 찾기에만 머물지 않습니다. 동일한 원리가 의료 영상에서 뇌의 구조를 분리해내는 이미지 분할 기술이나, 로봇 팔이 장애물을 피해 움직이는 6차원 궤적 계산에도 적용됩니다. 하나의 잘 설계된 알고리즘이 전혀 다른 분야의 난제들을 해결하는 열쇠가 되는 것입니다. 이는 프로그램의 외형보다 그 내면에 숨겨진 수학적 원리와 이를 새로운 문제에 적용하는 창의적 사고가 얼마나 중요한지를 잘 보여줍니다. 컴퓨터의 역사를 되짚어보면 흥미로운 사실을 발견하게 됩니다. 1960년대까지만 해도 '컴퓨터'는 기계가 아니라 복잡한 수식을 계산하는 사람의 직업을 일컫는 말이었습니다. 당시 NASA와 같은 기관에서는 수학적 재능을 가진 여성들이 직접 손으로 계산을 수행하며 우주 탐사의 초석을 다졌습니다. 오늘날 우리가 사용하는 전자계산기나 노트북이 보급되기 전부터, 인간의 지성은 이미 알고리즘적 사고를 통해 거대한 과학적 성취를 이뤄내고 있었습니다. 현대 컴퓨터의 논리적 토대를 마련한 것은 앨런 튜링의 '튜링 머신'입니다. 튜링 머신은 실제로 제작된 기계가 아니라, 수학적 증명을 위해 고안된 가상의 장치였습니다. 0과 1을 기록하고 칸을 이동하는 지극히 단순한 규칙만으로 모든 계산 가능한 문제를 풀 수 있다는 이 개념은 현대 컴퓨터 공학의 시초가 되었습니다. 수학적 상상력에서 탄생한 이 사고 실험은 불가능해 보이던 논리적 한계를 규명하고, 디지털 시대의 문을 여는 결정적인 계기가 되었습니다. 컴퓨터 공학이라는 학문이 정립되기 훨씬 전부터, 핵심적인 계산 알고리즘의 대부분은 수학자들에 의해 개발되었습니다. 20세기 과학 계산의 주요 업적들을 살펴보면, 컴퓨터가 보급되지 않았던 시절에 이미 논리적 체계가 완성된 경우가 많습니다. 이는 수학이 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 세상에 없던 새로운 체계를 설계하는 근본적인 도구이기 때문입니다. 수학적 상상력은 기술적 한계를 뛰어넘어 미래를 설계하는 원동력이 되어왔습니다. 오늘날 계산 기술은 자연과학과 공학을 넘어 사회과학 전반에 걸쳐 필수적인 역할을 수행합니다. 과거의 과학이 이론과 실험이라는 두 축으로 지탱되었다면, 이제는 '계산'이 제3의 축으로 자리 잡았습니다. 비행기 설계부터 주가 예측, 질병 진단에 이르기까지 수많은 모델링이 컴퓨터를 통해 이루어집니다. 세상을 논리적으로 이해하려는 지적 탐구는 복잡한 현실 문제를 해결 가능한 형태로 변환하는 가장 강력한 동력이 됩니다.

이준엽

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[석학인터뷰] 이준엽_ 수학은 즐거운 것 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

물리학을 전공하던 대학 시절, 뜻이 맞는 이들과 함께 수학 동아리를 만들었던 경험은 제 인생의 중요한 전환점이 되었습니다. 당시 우리는 수학을 단순히 딱딱한 학문으로 접근하기보다 즐거움의 대상으로 바라보며 그 핵심 가치를 탐구하는 동아리를 운영했습니다. 이 과정을 통해 수학이 얼마나 매력적이고 즐거운 학문인지 깊이 깨닫게 되었고, 이는 훗날 제가 수학자로서의 길을 걷게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 대중과 수학의 거리를 좁히려는 지금의 노력 또한 그 시절 느꼈던 순수한 즐거움에서 비롯된 것입니다. 수학적 사고의 중심에는 문제를 효율적으로 해결하기 위한 정해진 절차와 규칙의 모음인 알고리즘이 자리 잡고 있습니다. 이는 프로그래밍의 기초가 되기도 하지만, 본질적으로는 복잡한 난제를 논리적으로 풀어내는 가장 기본적인 도구입니다. 저는 스스로를 정의할 때, 이러한 수학적 원리를 바탕으로 세상의 난제들에 도전하는 사람이라고 생각합니다. 특히 수치해석적 방법을 적용하면 전 세계적으로 해결하기 어려운 문제들도 실마리를 찾을 수 있으며, 이는 현대 과학 기술 발전에 있어 매우 뜻깊은 역할을 수행합니다. 수학의 힘은 상아탑 안에서만 머물지 않고 실제 산업 현장의 복잡한 문제들을 해결하는 데에도 강력한 위력을 발휘합니다. 여러 수학자가 머리를 맞대고 현장의 목소리에 귀를 기울이며 최적의 답을 찾아가는 과정은 그 자체로 커다란 보람을 안겨줍니다. 제가 연구하고 실천하는 일들이 사회에 어떤 방식으로 기여하고 있는지, 그리고 그 과정이 갖는 진정한 의미가 무엇인지 더 많은 사람과 나누고 싶습니다. 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지 알리는 일은 앞으로도 제가 계속해서 이어갈 소중한 사명입니다.

이준엽

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

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[석학인터뷰] 황준묵_ 나는 킬러같은 수학자다 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

기하학은 단순히 수학의 한 분야를 넘어 세상을 바라보는 하나의 관점이라고 할 수 있습니다. 대개의 수학이 세밀한 분석을 통해 나무를 보는 작업에 집중한다면, 기하학은 전체적인 구조를 파악하며 숲을 조망하는 능력을 길러줍니다. 세계수학자대회에서 기조강연을 맡는 것은 수학자로서 인생의 정점에 도달했음을 의미하는 영광스러운 일이지만, 한편으로는 그 이후의 행보에 대한 고민을 안겨주기도 합니다. 기하학적 사고는 복잡한 수식 너머에 존재하는 본질적인 형태와 흐름을 이해하게 함으로써 수학적 통찰력을 완성하는 중요한 열쇠가 됩니다. 최근 교육 현장에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대해 우려의 목소리가 높습니다. 유클리드 기하학은 학생들에게 수학적 논리가 무엇인지 가장 선명하게 보여주는 도구이기 때문입니다. 명확한 정의에서 출발하여 논리적 단계를 밟아 증명해 나가는 과정은 사고의 체계를 세우는 데 필수적입니다. 기하학을 교육과정에서 제외하는 것은 수학의 균형을 무너뜨리는 결과를 초래할 수 있습니다. 논리적 사고의 기초를 닦는 기하학의 가치를 간과한다면, 학생들이 수학의 진정한 아름다움과 엄밀함을 경험할 기회를 잃게 될지도 모릅니다. 수학자로서 가장 큰 희열을 느끼는 순간은 복잡한 논리 체계 속에서 결정적인 해답을 찾아내는 때입니다. 학문적 탐구의 끝에서 마주하는 진리는 단순한 지식의 습득을 넘어 연구자에게 깊은 전율과 형언할 수 없는 성취감을 선사합니다. 이러한 지적 쾌감은 수학이라는 거대한 세계를 지탱하는 가장 강력한 원동력이자, 기하학적 통찰이 도달할 수 있는 아름다움의 본질이라 할 수 있습니다. 각 분야의 조화로운 탐구는 결국 수학의 진정한 가치를 완성하는 길로 우리를 안내하며 학문적 성장을 이끌어냅니다.

황준묵

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (4) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ④

수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상은 40세 이하의 젊은 수학자에게 수여되는 독특한 전통을 가지고 있습니다. 이는 초기 제정 당시 신진 연구자들을 독려하기 위한 취지였으나, 오늘날에는 세계 최고의 권위를 상징하는 상으로 자리 잡았습니다. 반면 노르웨이의 아벨상은 나이 제한 없이 평생의 업적을 기리는 방식으로 운영되어 노벨상의 형식과 더 유사합니다. 이처럼 수학계는 젊은 천재의 번뜩임과 노학자의 깊은 통찰을 모두 존중하며 학문의 발전을 이끌어오고 있습니다. 흔히 수학은 타고난 천재들만의 전유물이라고 생각하기 쉽지만, 실제 수학의 세계는 상상할 수 없는 노력의 산물입니다. 우리가 천재라고 부르는 이들의 결과물 뒤에는 논문에 드러나지 않는 수많은 시행착오와 인고의 시간이 숨겨져 있습니다. 특정 분야에서 두각을 나타내는 것은 천부적인 재능 덕분이라기보다, 적절한 시기에 해당 개념을 접하고 이를 체화하기 위해 쏟아부은 집중력의 결과인 경우가 많습니다. 결국 수학적 성취는 번뜩이는 영감보다는 끈기 있게 진리를 탐구하는 태도에서 비롯됩니다. 수학자라고 해서 모든 수학 분야에 능통한 것은 아닙니다. 어떤 이는 기하학적 시각화에 탁월한 반면, 다른 이는 복잡한 연산이나 조합론적 사고에 어려움을 느끼기도 합니다. 하지만 이러한 개인의 차이는 연구의 걸림돌이 되지 않습니다. 자신이 부족한 부분은 해당 분야에 강점을 가진 동료와의 협업을 통해 보완할 수 있기 때문입니다. 수학은 단일한 능력을 측정하는 시험이 아니라, 각기 다른 재능을 가진 이들이 모여 거대한 지식의 지도를 완성해 나가는 집단 지성의 과정이라 할 수 있습니다. 최근 교육 과정에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대한 우려가 큽니다. 기하학은 단순히 도형을 배우는 과목을 넘어, 물리학의 언어인 벡터를 이해하고 미적분의 개념을 시각적으로 구체화하는 핵심적인 토대입니다. 기하학적 사고가 결여된 상태에서의 수학 학습은 자칫 공식 암기 위주의 형식적인 공부에 그칠 위험이 있습니다. 상상력과 엄밀함을 동시에 길러주는 기하학은 사고의 틀을 형성하는 중요한 역할을 하므로, 입시를 넘어 학문의 깊이를 더하기 위해 반드시 거쳐야 할 필수적인 과정입니다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 수학과 물리학이 만나는 가장 아름다운 지점 중 하나입니다. 이 이론은 유클리드 기하학이 공리에서 출발하여 체계를 세운 것처럼, 광속 불변의 원리와 같은 몇 가지 가정을 바탕으로 우주의 구조를 설명합니다. 중력이 시공간의 곡률로 설명되는 이 거대한 체계는 기하학이라는 언어가 없었다면 탄생할 수 없었을 것입니다. 수학적 논리 체계가 어떻게 현실 세계의 물리 법칙을 규명하는 강력한 도구가 되는지를 보여주는 일반 상대성 이론은 현대 과학의 정수라 할 수 있습니다.

오성진, 황준묵

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (1) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ①

기원전 300년경 유클리드가 집대성한 '유클리드 원론'은 인류 지성사에 거대한 이정표를 세운 고전입니다. 이 책이 혁신적이었던 이유는 단순히 도형의 성질을 나열한 것이 아니라, 다섯 가지 공리라는 최소한의 약속으로부터 모든 명제를 논리적으로 이끌어내는 체계를 구축했기 때문입니다. 오늘날 우리가 배우는 수학의 논리적 구조는 바로 이 유클리드적 전통에 뿌리를 두고 있습니다. 당연해 보이는 사실조차 엄밀한 증명을 통해 확인하려는 태도는 학문으로서의 수학이 시작되는 지점이었습니다. 유클리드의 다섯 가지 공리 중 마지막인 '평행선 공리'는 앞선 네 개의 공리에 비해 문장이 복잡하고 직관적으로 덜 당연해 보였습니다. 이 때문에 수많은 수학자는 2,000년 동안 이 공리가 다른 공리들로부터 증명될 수 있는 정리일 것이라 믿고 매달렸습니다. 흥미로운 점은 우리가 잘 아는 피타고라스의 정리 역시 이 평행선 공리와 수학적으로 동치라는 사실입니다. 즉, 평행선 공리를 부정하면 우리가 당연하게 여겼던 삼각형의 성질들도 완전히 다른 모습으로 변하게 되며, 이는 기하학의 새로운 가능성을 시사합니다. 서기 500년경 철학자 보에티우스는 유클리드 원론을 번역하며 바쁜 세상에 증명이 무슨 소용이냐는 생각으로 증명 과정을 모두 생략했습니다. 이후 유럽은 약 600년 동안 증명 없는 기하학을 공부했는데, 이 시기는 공교롭게도 문명의 발달이 정체되었던 '암흑시대'와 겹칩니다. 이는 수학에서 증명이 단순히 정답을 확인하는 수단이 아니라, 사고의 논리적 엄밀함을 유지하고 새로운 지적 지평을 여는 핵심적인 동력임을 우리에게 시사하고 있습니다. 19세기 초, 가우스와 볼리아이, 로바체프스키는 평행선 공리가 성립하지 않으면서도 논리적으로 완벽한 '비유클리드 기하학'의 존재를 세상에 알렸습니다. 푸앵카레의 반평면 모델처럼 직선이 반원의 형태를 띠는 기이한 공간에서도 유클리드의 초기 공리들은 여전히 유효하게 작동합니다. 이러한 발견은 평행선 공리가 다른 공리들로부터 유도될 수 없음을 확증했을 뿐만 아니라, 우리가 발을 딛고 있는 평평한 유클리드 공간이 우주의 유일한 진리가 아님을 깨닫게 해주었습니다. 비유클리드 기하학의 등장은 공간에 대한 인류의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 이전까지 공간은 칸트의 철학처럼 우리에게 선험적으로 주어진 단 하나의 절대적인 틀이었으나, 이제는 연구 대상에 따라 다양하게 정의될 수 있는 수학적 대상이 되었습니다. 이는 아프리카 평원에 살던 이들이 바다와 산의 존재를 처음 알게 된 것과 같은 거대한 지적 확장이었습니다. 비유클리드 공간은 기괴한 예외가 아니라 훨씬 더 일반적인 세계이며, 유클리드 공간은 그중 아주 특수한 사례일 뿐입니다.

황준묵

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (6) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ⑥

리만 가설은 소수의 분포를 설명하는 수학계의 거대한 난제이자 인류 지성의 척도라고 할 수 있습니다. 만약 외계 지성체가 지구를 방문한다면, 우리는 그들이 이 가설을 알고 있는지 묻는 것만으로도 그들의 지적 수준을 가늠할 수 있을 것입니다. 리만 가설을 중요하게 여긴다는 것은 그들이 우리와 유사한 지적 한계와 유한성을 공유하고 있음을 의미합니다. 반면, 이 가설에 전혀 관심이 없다면 그들은 무한을 너무나 당연하게 다루는, 인간과는 차원이 다른 존재일 가능성이 큽니다. 인간이 리만 가설에 집착하는 근본적인 이유는 우리가 죽음을 피할 수 없는 유한한 존재이기 때문입니다. 우리는 제한된 삶 속에서 무한한 소수의 규칙성을 찾으려 끊임없이 애쓰며, 그 과정에서 수학이라는 도구를 통해 경이로운 상상력을 발휘합니다. 만약 모든 소수의 개수와 성질을 실시간으로 파악할 수 있을 만큼 전지전능한 존재라면, 리만 가설은 애초에 고민의 대상조차 되지 않았을 것입니다. 결국 이 난제는 인간의 유한함과 무한을 향한 갈망이 만나는 지점에 놓여 있으며, 우리의 지적 호기심을 자극합니다. 인공지능의 비약적인 발전이 리만 가설 해결의 새로운 열쇠가 될 수 있을지에 대해서는 학계에서도 의견이 분분합니다. 현재의 기술력으로는 수학 연구의 보조적인 수단에 불과하지만, 미래에 진정으로 수학적 사고를 수행하는 AI가 등장한다면 상황은 완전히 달라질 것입니다. 만약 AI가 인간 수학자를 능가하여 이 난제를 해결한다면, 이는 수학의 역사에서 거대한 전환점이 될 것입니다. 하지만 리만 가설이 단순히 계산적인 차원을 넘어 제타 함수론과 같은 심오한 이론적 토대 위에서 인간의 통찰력과 함께 해결되기를 바라는 것이 많은 수학자의 희망입니다. 만약 리만 가설이 참이 아니라 거짓으로 판명된다면 수학계는 어떤 변화를 맞이하게 될까요? 대부분의 수학자는 가설이 참일 것이라 굳게 믿지만, 만약 실수부가 1/2이 아닌 비자명 영점이 단 하나라도 발견된다면 그 충격은 상상 이상일 것입니다. 특히 정수론을 깊이 연구하는 학자들에게는 엄청난 상실감과 학문적 혼란을 안겨줄 수 있습니다. 그러나 역설적으로 가설이 틀렸음을 증명하는 과정에서 예상치 못한 새로운 수학적 발견이 이루어지고, 수학의 세계는 이전보다 훨씬 더 다채롭고 흥미로운 방향으로 흘러갈지도 모릅니다. 리만 가설은 단순히 하나의 문제를 넘어 현대 수학의 수많은 분야와 거미줄처럼 긴밀하게 연결되어 있습니다. 이를 해결하려는 끊임없는 시도는 제타 함수론이나 L-함수 이론의 폭발적인 발전을 이끌어냈으며, 이는 정수론의 정밀한 정보들을 이해하는 데 결정적인 역할을 하고 있습니다. 비록 수십 년간의 도전이 당장 눈에 보이는 결실을 보지 못했을지라도, 이 탐구 과정에서 파생된 수학적 개념들은 그 자체로 인류 지성사에 거대한 가치를 지닙니다. 리만 가설은 여전히 수학의 찬란한 성배로 남아 우리를 끝없는 무한의 세계로 인도하고 있습니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (5) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ⑤

리만 가설은 수학계에서 가장 악명 높은 난제 중 하나로 손꼽힙니다. 오죽하면 수학자와 공동 연구를 시작한 악마조차 며칠 밤을 새워 미적분학부터 해석적 정수론까지 통달했음에도 불구하고, 결국 해결의 실마리를 찾지 못해 절망했다는 우스갯소리가 있을 정도입니다. 이 이야기는 리만 가설이 단순히 지능의 문제를 넘어, 현대 수학의 모든 정수를 쏟아부어도 정복하기 힘든 거대한 장벽임을 시사합니다. 수많은 천재가 일생을 바쳤음에도 여전히 미지의 영역으로 남아 있는 이 가설은 인류 지성의 한계를 시험하는 상징적인 존재가 되었습니다. 이 가설이 이토록 난공불락인 이유는 수학의 여러 분야가 복잡하게 얽혀 있기 때문입니다. 리만 가설은 대수학과 해석학의 속성을 동시에 지니고 있으며, 어느 한쪽으로 깊이 파고들어도 명쾌한 해답을 내놓지 않습니다. 리만 제타 함수 외에도 수많은 제타 함수가 존재하지만, 그들 역시 고유의 수론적 성질을 간직한 채 리만 가설의 벽을 넘지 못하고 있습니다. 역사적으로 증명되었듯, 다양한 학문적 접근과 깊이 있는 통찰이 동시에 요구되기에 이 문제는 단순한 계산을 넘어선 고도의 추상적 사고를 필요로 합니다. 리만 가설을 시각적으로 표현하자면 사방이 절벽으로 둘러싸인 이스레엘의 마사다 요새와 같습니다. 도무지 어디로 접근해야 할지 길이 보이지 않는 이 요새는 로마군이 오랜 시간 공을 들여 비탈길을 만든 후에야 함락될 수 있었습니다. 수학자들 역시 리만 가설이라는 거대한 요새를 정복하기 위해 유효한 접근로를 찾으려 애쓰고 있습니다. 비록 지금은 그 길이 보이지 않아 막막할지라도, 수백 년의 세월이 흐르며 인류의 지식이 쌓이다 보면 언젠가는 성벽을 허물 수 있는 결정적인 경로가 발견될 것이라는 희망이 이 연구를 지속하게 합니다. 자연수의 성질을 다루는 정수론 문제에 복소수가 등장하는 것은 언뜻 생소해 보일 수 있습니다. 하지만 피보나치 수열의 일반항에 무리수가 포함되듯, 현대 수학에서는 단순한 대상을 설명하기 위해 더 고차원적인 도구를 사용하는 일이 빈번합니다. 특히 최근에는 컴퓨터가 수학 연구의 강력한 조력자로 부상했습니다. 인간이 수년 동안 매달려야 할 복잡한 계산이나 함수의 거동 파악을 단 몇 분 만에 해결함으로써 수학적 직관을 얻는 데 결정적인 역할을 합니다. 이러한 도구의 발전은 난제 해결을 위한 새로운 가능성을 열어주고 있습니다. 결국 리만 가설의 핵심은 소수의 개수를 정확하게 파악하는 부등식의 문제로 귀결됩니다. 소수의 실제 분포와 수학적 근삿값 사이의 오차가 특정 범위를 넘지 않는다는 것을 증명하는 것이 이 가설의 본질입니다. 만약 외계 지성체가 존재하여 시간의 흐름을 인식하고 수를 이해한다면, 그들 역시 필연적으로 소수를 발견하고 리만 가설에 도달했을 것입니다. 소수는 우주 공통의 언어이자 수의 근간이기 때문입니다. 리만 가설은 인류만의 고민이 아니라, 우주의 질서를 이해하려는 모든 지성체가 마주하게 될 궁극의 질문이라 할 수 있습니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

수학의 세계에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 많은 수학자들에게 도전의 대상이자 꿈의 정점입니다. 기하서 교수는 폴리아 추측을 해결하는 과정에서 이 거대한 산의 존재를 다시금 확인하게 되었습니다. 8년 동안 매달렸던 폴리아 추측을 동료와의 협력을 통해 단 넉 달 만에 해결하며 얻은 자신감은 그를 리만 가설이라는 더 큰 도전으로 이끌었습니다. 비록 그 길이 20년이라는 긴 세월을 요구할 것이라고는 당시에는 상상조차 하지 못했지만, 난제를 향한 순수한 열정은 그를 수학의 깊은 심연으로 안내하는 원동력이 되었습니다. 20년이라는 긴 시간 동안 하나의 문제에 매달리는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 기 교수는 이 과정을 고통스러운 인고의 시간이 아닌, 매일매일 마주하는 아름다운 순간들의 연속으로 기억합니다. 그는 자신의 직관을 확인하기 위해 전 세계의 저명한 수학자들을 찾아다니며 교류했습니다. 모토하시, 후지, 요시다 등 세계적인 석학들과의 대화는 리만 가설에 대한 다양한 시각을 제공해주었습니다. 이러한 상호작용은 수학 연구가 단순히 혼자만의 고립된 작업이 아니라, 전 세계 수학자들의 상상력이 교차하며 지평을 넓혀가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 연구 과정에서 마주한 가장 큰 전환점은 현대 수학의 거대한 흐름인 랭글랜즈 프로그램과의 만남이었습니다. 대수기하학적 기초 없이 리만 가설에 도전하는 것의 한계를 깨달은 그는, 늦은 시기임에도 불구하고 새로운 이론을 공부하기 시작했습니다. 특히 숄체 교수의 논문을 해독할 수 있게 된 시점부터 그는 지식의 갈증에서 벗어나 진정한 자유를 느꼈다고 회상합니다. 이는 수학자에게 필요한 것이 단순히 기존의 지식을 습득하는 것을 넘어, 끊임없이 변화하는 학문의 흐름을 수용하고 자신의 한계를 극복하려는 유연한 태도임을 시사합니다. 리만 가설과 같은 거대 난제를 다루기 위해서는 천재적인 지능만큼이나 독특한 성격적 특성이 요구됩니다. 기 교수는 수학자를 두 부류로 나누며, 자신을 '성격'으로 버티는 유형이라 정의합니다. 오랜 시간 공들여온 연구가 실패로 돌아갔음을 깨달은 순간에도 좌절하지 않고 다시 시작할 수 있는 마음가짐이 중요하기 때문입니다. 단순히 좋아한다는 감정만으로는 3년에서 5년의 한계를 넘기 어렵지만, 실패를 딛고 일어서는 회복탄력성은 수학자가 난제를 해결하기 위해 갖춰야 할 필수적인 자질입니다. 리만 가설의 역사는 1859년 베른하르트 리만이 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 시작되었습니다. 가우스가 15세의 나이에 예견했던 소수 정리를 보다 구체화하려 했던 리만은, 소수의 개수를 세는 '문학적'인 표현을 정교한 수학적 공식으로 변환하는 업적을 남겼습니다. 리만은 자신의 가설이 증명된다면 소수의 분포를 완벽히 이해할 수 있을 것이라 보았지만, 정작 그 증명은 후대의 몫으로 남겨두었습니다. 160년이 지난 지금까지도 이 가설이 수많은 수학자들을 매료시키고 괴롭히는 이유는, 그 안에 우주의 질서를 관통하는 소수의 비밀이 숨겨져 있기 때문일 것입니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (3) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ③

리만 가설은 수학계의 거대한 산과 같으며 이를 해결하기 위해서는 타고난 소질과 더불어 랭글랜즈 프로그램에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 폴리아는 리만 크시 함수를 도입하여 이 난제에 도전했던 대표적인 수학자입니다. 그는 복잡한 문제를 단순화된 모델로 변형하여 지식을 점진적으로 확장해 나가는 독특한 방법론을 사용했습니다. 비록 그의 방식이 리만 가설의 완전한 해결로 이어지지는 못했지만, 어려움 속에서도 동료 수학자들에게 음식을 보내며 도왔던 그의 따뜻한 인품은 후대 수학자들에게 큰 귀감이 되고 있습니다. 해석적 정수론의 거장인 비노그라도프와 셀베르그는 리만 가설의 임계 구역을 탐구하며 중요한 학문적 진전을 이루어냈습니다. 비노그라도프는 영점이 존재하지 않는 영역을 확장하는 데 독보적인 성과를 거두었으며, 셀베르그는 복소해석학을 배제한 초등적 방식으로 소수 정리를 증명하여 필즈상을 수상하는 영예를 안았습니다. 특히 셀베르그는 리만 제타 함수의 영점 중 상당수가 임계선 위에 존재한다는 사실을 최초로 증명하며 가설 해결을 위한 실질적인 토대를 마련했습니다. 이들의 연구는 오늘날까지도 깨지지 않는 강력한 결과로 남아 있습니다. 레빈슨은 뇌암 투병이라는 가혹한 환경 속에서도 제타 함수를 미분하는 혁신적인 아이디어를 통해 임계선 위에 영점의 3분의 1 이상이 존재한다는 놀라운 정리를 발표했습니다. 그의 연구는 현대 수학자들에게 매우 중요한 영감을 주었으며, 이후 들리뉴는 국소 리만 가설을 해결하며 대수학의 정점에 섰습니다. 최근에는 페터 숄체와 같은 젊은 천재 수학자들이 들리뉴의 계보를 이어받아 정수론 분야에서 눈부신 활약을 펼치고 있어 리만 가설 해결을 향한 새로운 전기가 마련될 것으로 기대됩니다. 이는 수학의 세대교체와 학문의 연속성을 보여주는 사례입니다. 인간은 역사적으로 소수의 개수를 직접 세는 데 한계를 보여왔으며, 리만 가설은 이러한 한계를 극복하기 위해 제타 함수라는 우회적인 경로를 선택한 결과물입니다. 현대 수학에서는 랭글랜즈 프로그램과 모티프 이론이 제타 함수의 본질을 파악하는 핵심 열쇠로 주목받고 있습니다. 비록 이 이론들이 아직 완전히 정립되지는 않았으나, 차수가 낮은 헤케 제타 함수 등에서 실마리를 찾는다면 일반화된 리만 가설의 해결도 결코 불가능한 꿈은 아닐 것입니다. 이러한 도전 정신은 수학이 단순한 계산을 넘어 우주의 질서를 탐구하는 과정임을 증명합니다. 리만 가설을 향한 여정은 개인의 고독한 연구를 넘어 수학자들 사이의 긴밀한 교류와 영감을 통해 이어집니다. 기하서 교수와 김영원 교수의 인연은 1997년 폴리아의 예상에 관한 강연에서 시작되었으며, 이는 한 수학자가 난제 해결에 평생을 매진하게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 복소해석학적 관점과 집합론적 배경이 어우러진 이들의 협력은 리만 가설이라는 거대한 목표를 향해 나아가는 현대 수학의 역동적인 모습을 잘 보여줍니다. 학문적 호기심에서 시작된 작은 만남이 거대한 수학적 성취를 위한 밑거름이 되고 있는 것입니다.

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (1) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ①

수학의 세계에서 정수론은 '수학의 여왕'이라 불릴 만큼 고결하면서도 난해한 분야로 손꼽힙니다. 가우스가 정의했듯 정수론은 수의 본질을 탐구하며, 리만 가설이나 골드바흐 추측과 같은 수많은 난제를 품고 있습니다. 이러한 문제들은 단순히 계산의 영역을 넘어 새로운 수학적 개념을 요구하며, 때로는 한 학자가 평생을 바쳐 연구해도 그 끝을 보기 어려울 정도로 깊은 인내를 필요로 합니다. 하나의 난제에 수십 년간 매달리는 수학자의 열정은 마치 구도자의 길과 같으며, 이는 수학이 단순한 학문을 넘어 진리를 향한 숭고한 여정임을 보여줍니다. 현대 수학에서 난제를 해결했다는 선언이 곧바로 정답으로 인정받는 것은 아닙니다. 2012년 발표된 ABC 예상의 증명 사례처럼, 수백 페이지에 달하는 복잡한 논리는 동료 수학자들의 철저한 검증 과정을 거쳐야 합니다. 새로운 수학적 체계를 도입한 증명은 때로 학계 내에서 거센 논쟁을 불러일으키기도 하며, 권위 있는 학자들 사이에서도 의견이 갈리는 경우가 빈번합니다. 이처럼 수학적 진실을 확정 짓는 과정은 매우 엄격하며, 모든 구성원이 공감할 수 있는 논리적 완결성을 갖추기까지는 예상보다 훨씬 긴 시간이 소요되기도 합니다. 수학의 거대한 탑은 수리 논리와 집합론이라는 견고한 토대 위에 세워져 있습니다. 칸토어와 괴델, 튜링과 같은 천재들이 다져놓은 공리계는 현대 수학이 나아갈 방향을 제시하는 나침반 역할을 합니다. 특히 ZFC라 불리는 공리계는 우리가 선택한 규칙 안에서 수학적 우주가 어떻게 작동하는지를 규정합니다. 논리적인 관점에서 본다면 수학적 발견이란 무에서 유를 창조하는 것이 아니라, 이미 공리 안에 내재되어 있는 진리들을 하나씩 찾아내어 질서정연하게 정리하는 과정이라고 할 수 있습니다. 모든 수학적 정리는 결국 이 단단한 논리의 지반 위에서 탄생합니다. 자연수의 근간을 이루는 소수는 수학자들에게 영원한 탐구의 대상입니다. 모든 자연수가 소수의 곱으로 분해된다는 소인수분해의 원리는 단순해 보이지만, 소수가 수의 체계 속에서 어떻게 분포하는지를 파악하는 일은 매우 복잡합니다. 19세기 가우스는 소수의 개수가 일정한 규칙성을 가지고 분포한다는 사실을 발견하고 이를 함수로 예측하려 시도했습니다. 비록 그는 이를 완벽하게 증명하지 못했으나, 소수의 분포을 이해하려는 그의 통찰은 이후 리만이 리만 제타 함수를 통해 더 깊은 수의 신비를 파헤치는 결정적인 계기가 되었습니다. 리만 가설은 가우스가 남긴 소수 분포의 수수께끼를 가장 정밀하게 해결하려는 시도입니다. 리만은 리만 제타 함수라는 도구를 도입하여 소수의 개수를 정확히 세는 방법을 제시했으며, 그 과정에서 특정한 가정이 성립한다면 소수의 분포 오차를 극적으로 줄일 수 있음을 발견했습니다. 비록 리만은 생전에 이 가설을 완벽히 증명하지 못하고 짧은 생을 마감했지만, 그가 남긴 유산은 현대 수학의 가장 중요한 이정표가 되었습니다. 오늘날에도 수많은 수학자들은 리만이 던진 이 질문을 풀기 위해 도전하며 수의 세계가 지닌 궁극적인 질서를 찾고 있습니다.

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[강연] 세상 속의 수數다 (6) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ⑥

자연수를 여러 수의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 정수 분할 문제는 수학에서 매우 흥미로운 주제입니다. 생성함수를 활용하면 복잡해 보이는 분할의 가짓수를 지수 법칙을 통해 체계적으로 관리할 수 있습니다. 예를 들어, 특정 조건을 만족하는 홀수나 짝수만의 합으로 자연수를 구성하는 방법도 생성함수의 계수를 통해 명확히 드러납니다. 이러한 방식은 복잡한 조합론적 문제를 대수적인 계산으로 변환하여 해결하는 강력한 도구가 되며, 서로 다른 자연수의 합과 홀수의 합이 같다는 놀라운 일대일 대응을 증명하는 데에도 핵심적인 역할을 수행합니다. 정수 분할 생성함수는 단순히 숫자의 나열을 넘어 현대 물리학의 분할 함수와도 깊은 연관을 맺고 있습니다. 여기에 특정 지수를 곱하면 수학과 물리학에서 중요하게 다뤄지는 데데킨트 에타 함수가 되는데, 이는 복소수 범위에서 주기성을 가지는 모듈러 형식의 일종입니다. 이러한 수학적 구조는 에셔의 예술 작품인 '원의 한계' 시리즈에서 시각적으로 잘 나타납니다. 원 안에서 반복되는 대칭성과 주기성은 추상적인 수학 공식이 가진 아름다움을 우리 눈앞에 생생하게 펼쳐 보이며, 수학과 예술이 만나는 지점에서 발생하는 경이로운 질서를 확인시켜 줍니다. 인도의 천재 수학자 라마누잔은 정수 분할의 근사치를 구하는 공식을 발견했을 뿐만 아니라, 원주율(π)을 계산하는 혁신적인 무한 합 공식을 제시했습니다. 과거에는 건축을 위해 소수점 몇 자리 정도의 정확도면 충분했지만, 현대의 로켓 궤도 계산이나 정밀 공학에서는 훨씬 높은 정확도가 요구됩니다. 라마누잔의 공식은 항을 하나씩 더할 때마다 소수점 아래 여덟 자리가 정확해질 정도로 수렴 속도가 매우 빠릅니다. 이 공식은 오늘날 슈퍼컴퓨터의 성능을 시험하는 알고리즘의 기초가 되어, 수십 년의 세월을 뛰어넘어 현대 과학 기술의 발전에 결정적으로 기여하고 있습니다. 수학자가 되는 과정은 거창한 계기보다 가랑비에 옷 젖듯 자연스럽게 이루어지기도 합니다. 소수가 무한하다는 증명을 한 달 동안 곱씹으며 느꼈던 경이로움이나, 복소평면 위에서 수의 세계가 확장되는 것을 목격했을 때의 전율은 수학만이 줄 수 있는 특별한 경험입니다. 하지만 최근 교육 과정에서 복소평면이나 잉여류 같은 영감을 주는 주제들이 제외되는 현실은 아쉬움을 남깁니다. 단순히 쉬운 문제를 푸는 기술을 익히는 것을 넘어, 수의 체계가 확장될 때 세상이 함께 넓어지는 느낌을 받는 것이야말로 수학 공부의 진정한 묘미이자 미래의 수학자들에게 필요한 영감이기 때문입니다. 성인이 되어 다시 접하는 수학은 시험을 위한 도구가 아니라 마음을 다스리는 지적인 취미가 될 수 있습니다. 수학 문제를 푸는 과정은 뜨개질이나 악기 연주처럼 잡념을 없애고 감정을 차분하게 가라앉히는 효과가 있습니다. 수학은 본질적으로 자기주도적인 학습이기에, 타인의 설명에 의존하기보다 스스로 개념을 체화하며 연습하는 과정에서 깊은 성취감을 느낄 수 있습니다. 바쁜 일상 속에서도 수학적 사고를 즐기며 세상을 바라보는 통찰력을 기른다면, 나이와 상관없이 수학이 주는 즐거움을 평생 누릴 수 있으며 이는 삶을 더욱 풍요롭게 만드는 소중한 자산이 될 것입니다.

강순이, 고계원

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[강연] 세상 속의 수數다 (4) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ④

수학 연구의 과정은 끊임없는 사고의 반복입니다. 문제를 마주하고 고민하며 다양한 방식으로 응용해 보는 시간은 길지만, 정작 해답을 찾아냈을 때 느끼는 행복은 찰나에 불과합니다. 하지만 이러한 인고의 과정은 비단 수학에만 국한되지 않습니다. 모든 학문적 연구와 기업의 업무 역시 비슷한 흐름을 가집니다. 중요한 것은 그 짧은 기쁨의 순간을 동력 삼아 다시 새로운 문제로 뛰어드는 열정입니다. 이러한 반복 속에서 우리는 학문적 가치를 발견하며 삶의 보람을 채워나갑니다. 이론 과학의 메카로 불리는 프린스턴 고등연구소는 아인슈타인과 폰 노이만 같은 위대한 과학자들이 머물렀던 곳입니다. 이곳은 겉으로 보기에는 매우 한적하고 평화로운 분위기를 자아내지만, 그 이면에는 지독하리만큼 치열한 학문적 탐구가 자리 잡고 있습니다. 연구자들이 누리는 여유는 단순히 쉬는 것이 아니라, 깊은 사고에 몰입할 수 있는 최적의 환경을 의미합니다. 치열함과 여유가 공존하는 이 특별한 공간은 새로운 이론이 탄생하는 밑거름이 되며, 현대 과학의 발전을 이끄는 중요한 축이 됩니다. 수학적 성취를 이루는 데 있어 재능과 노력 중 무엇이 더 중요한지에 대한 논의는 늘 뜨겁습니다. 일부 학자들은 수학에서 가장 중요한 재능으로 상상력을 꼽습니다. 논리적 사고나 계산력은 훈련을 통해 어느 정도 습득할 수 있지만, 기존의 틀을 깨는 획기적인 아이디어는 타고난 상상력에서 비롯된다는 시각입니다. 영화 '인셉션'의 감독이 보여준 창의성처럼, 수학 역시 무한의 크기를 비교하거나 새로운 체계를 설계할 때 고도의 상상력을 필요로 합니다. 이는 단순히 공식을 외우는 것 이상의 차원입니다. 흔히 노력형 수학자로 알려진 이들조차 사실은 엄청난 재능을 겸비한 경우가 많습니다. 수학은 알면 알수록 자신의 부족함을 깨닫게 만드는 학문이기에, 고수들 사이에서도 늘 겸손함을 유지하게 됩니다. 유명한 수학자들은 잠자는 시간을 제외한 거의 모든 일상을 수학적 사고에 할애하며, 이를 고통이 아닌 삶의 일부로 받아들입니다. 천재성이라는 바탕 위에 쉼 없는 노력이 더해질 때 비로소 인류의 지성사를 바꿀 위대한 업적이 탄생합니다. 결국 수학은 재능과 노력이 정교하게 맞물려 돌아가는 예술과도 같습니다. 아이들의 수학적 재능을 키워주기 위해서는 정답을 맞히는 것보다 문제를 가지고 노는 경험이 중요합니다. 다리 개수를 맞히는 간단한 퀴즈를 풀 때도 연립방정식 같은 공식을 강요하기보다, 스스로 그림을 그리며 추론할 시간을 충분히 주어야 합니다. 때로는 일부러 틀린 조건의 문제를 제시하여 아이가 논리적 모순을 스스로 발견하게 유도하는 것도 좋은 방법입니다. 이러한 과정에서 아이들은 홀수와 짝수의 개념을 자연스럽게 깨닫고 사고의 유연성을 기릅니다. 여유로운 대화 속에서 이루어지는 탐구는 수학을 즐거운 놀이로 인식하게 만듭니다.

고계원

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[카오스 술술수학] All Is Number!

피타고라스는 '모든 것은 수다'라고 선언하며 세상의 규칙을 수로 설명하려 했습니다. 그는 직각삼각형의 빗변과 나머지 두 변 사이의 관계를 밝혀낸 피타고라스의 정리를 발견하고 신에게 감사를 표할 정도로 수의 질서에 감탄했습니다. 반면 아리스토텔레스는 수에 과도한 의미를 부여하는 그를 비웃기도 했습니다. 현대 수학자 김민형 교수는 수의 본질이 단순한 숫자의 나열이 아닌 '연산'에 있다고 정의합니다. 특정 체계 안에서 계산을 통해 새로운 의미를 창출할 수 있는 구조만이 수의 자격을 갖춘다는 것이 그의 핵심적인 주장입니다. 우리는 흔히 숫자가 있어야만 수라고 생각하지만, 연산이 가능하다면 숫자가 없어도 수로 정의될 수 있습니다. 예를 들어 기하학적 대상인 점들도 기준점이 존재한다면 서로 더하거나 곱하여 새로운 점을 만들어낼 수 있습니다. 이러한 논리는 3차원 도형으로도 확장됩니다. 도넛 모양의 도형에 구를 더하는 연산이 가능하며, 이때 구는 숫자 0과 같은 역할을 수행합니다. 우리가 어린 시절 낯선 숫자의 덧셈을 익혔던 것처럼, 수의 본질이 숫자가 아닌 연산에 있다는 사실을 받아들이면 기하학적 대상들 또한 수의 범주에 포함된다는 사실을 깨닫게 됩니다. 수의 개념은 자연수에서 실수와 허수를 넘어 이제는 물리학의 영역까지 닿아 있습니다. 리처드 파인만이 고안한 '파인만 도형'은 전자와 양전자가 만나 빛이 되는 과정을 입자 연산으로 보여줍니다. 이는 우주를 구성하는 기본 입자들조차 수의 체계 안에서 작동하고 있음을 시사합니다. 과거 피타고라스가 외쳤던 통찰은 현대 수학과 물리학을 통해 증명되고 있습니다. 우주의 모든 만물이 입자로 이루어져 있고 그 입자가 연산 가능한 수라면, 결국 우리가 마주하는 거대한 우주 전체가 하나의 정교한 수의 집합체인 셈입니다.

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[강연] 2012 카오스 콘서트 '유리알유희' 4강 | 3강 ②

수학자 김민형 교수는 독특한 교육적 배경을 가지고 있습니다. 초중고 졸업장 없이 홈스쿨링을 거친 그는 집에서 음악을 듣고 자유롭게 시간을 보냈던 경험이 수학적 사고의 밑거름이 되었다고 회상합니다. 물론 입시 공부나 사회적 관계 형성에서 어려움을 겪기도 했지만, 이러한 자유로운 환경은 그에게 선명한 기억과 독창적인 시각을 선물했습니다. 제도권 교육의 틀 밖에서 보낸 시간은 그가 수학이라는 심오한 세계를 탐구하는 데 있어 자신만의 속도를 유지하게 해준 소중한 자산이 되었습니다. 한국과 영국의 교육 시스템은 서로 다른 장단점을 지니고 있습니다. 한국은 두꺼운 교재를 바탕으로 철저한 연습과 기초 지식 습득을 강조하는 반면, 영국은 대표 강의 위주로 진행하며 학생 스스로 문제를 해결하는 독립적인 사고력을 중시합니다. 한국 학생들은 탄탄한 기초를 갖추고 있지만 임기응변이 다소 부족할 수 있고, 영국 학생들은 창의적 의지는 강하나 기초 계산 능력이 떨어지는 경우가 있습니다. 두 방식 중 어느 하나가 절대적으로 우월하기보다는 상황에 따라 필요한 기술이 다르다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 한국 학생들의 뛰어난 실력에도 불구하고 필즈상 수상자가 부재했던 이유는 연구 중심 대학의 역사가 짧기 때문입니다. 과거의 교육은 지식 전달 위주였으며, 창의적인 연구 문화가 정착된 지는 얼마 되지 않았습니다. 하지만 현재의 젊은 인재들은 과거보다 훨씬 똑똑하며 세계적인 수준의 경쟁력을 갖추고 있습니다. 이들이 본격적으로 학계에서 활동하며 연구 성과를 쌓아감에 따라, 자연스럽게 세계적인 권위의 상들도 뒤따라올 것입니다. 수학적 역량은 이미 충분하며 이제는 그 결실을 기다리는 단계에 와 있습니다. 학문의 발전은 특정 지역에 집중되기도 하고 전 세계로 분산되기도 합니다. 과거 유럽에서 미국으로, 다시 아시아로 학문의 중심지가 이동하는 경향이 있지만, 중요한 것은 각 나라가 자신만의 특성을 살려 세계 수학계에 기여하는 것입니다. 중앙화된 시스템은 효율적인 교류를 가능케 하고, 분산된 연구는 다양성을 보장합니다. 수학자들은 서로 협조하고 보완하며 학문의 지평을 넓혀갑니다. 세계가 서로 다른 강점을 가지고 발전할 때 수학이라는 거대한 지도는 더욱 풍성하게 채워질 수 있습니다. 순수 수학과 응용 수학, 혹은 융합 학문 사이에서 고민하는 이들에게 중요한 것은 자신의 분야에 충실하면서도 타 학문에 대한 열린 마음을 갖는 것입니다. 추상적인 개념을 다루는 순수 수학은 그 자체로 깊은 가치가 있으며, 다른 분야와 결합할 때 새로운 통찰을 제공합니다. 자신이 하는 일에 전문성을 갖추되 다른 학문의 '팬'이 되어 응원하다 보면 자연스럽게 융합의 기회가 찾아옵니다. 학문의 경계를 허무는 노력은 거창한 선택이 아니라, 주변의 다양한 현상에 호기심을 갖는 것에서 시작됩니다. 수학 실력은 재능의 차이가 있을 수 있으나 기본적으로 투입한 시간에 비례하여 성장하는 함수와 같습니다. 특히 한국 학생들은 고등학교 시절 이미 세계적인 수준의 수학적 훈련을 거치며 높은 평균 실력을 보유하고 있습니다. 스스로 수학을 못 한다고 자책하기보다 자신이 이미 가진 탄탄한 기초를 어떻게 활용할지 고민해야 합니다. 컴퓨터공학이나 생명공학 등 어떤 분야를 전공하더라도 수학적 사고방식은 문제를 해결하는 강력한 무기가 됩니다. 자신감을 가지고 꾸준히 시간을 투자한다면 수학은 인생의 자산이 될 것입니다. 게일-섀플리 알고리즘과 같은 수학적 모델은 복잡한 사회 현상을 단순화하여 핵심적인 구조를 들여다보게 해줍니다. 짝짓기 문제와 같은 인류의 오랜 난제를 수학적으로 분석하는 과정은 현실의 모든 문제를 즉각 해결해주지는 못하지만, 현상을 바라보는 통찰력을 획기적으로 높여줍니다. 핵심적인 부분을 파악해 모델을 만들고 이를 점차 정교하게 발전시켜 나가는 과정이 바로 수학적 모델링의 묘미입니다. 이러한 시도는 현대 문명 곳곳에서 보이지 않는 힘으로 작용하며 우리의 삶을 더욱 효율적으로 설계하는 데 기여하고 있습니다.

김민형, 박형주

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[강연] 미래의 수학자 (3) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ③

수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어 우리 삶의 복잡한 문제를 해결하는 강력한 도구입니다. 수치해석학은 컴퓨터를 활용해 비행기 설계와 같은 방대한 계산이 필요한 실생활의 문제를 빠르고 효율적으로 풀어내는 방법을 연구합니다. 과거에는 사람이 일일이 손으로 해결하기 어려웠던 문제들이 이제는 컴퓨터라는 도구를 통해 정교하게 다듬어지고 있습니다. 이러한 흐름은 수학이 상아탑 속에만 머무는 것이 아니라, 기술의 발전과 발맞추어 끊임없이 진화하고 있음을 보여줍니다. 인공지능 시대의 도래는 수학의 영역을 더욱 넓히고 있습니다. 과거 이집트의 측량 기술이 기하학으로 발전하고, 과학 혁명기에 천체의 움직임을 설명하기 위해 미적분학이 탄생했듯이, 현대의 정보 혁명은 새로운 수학적 추상화를 요구합니다. 우리가 마주한 0과 1의 디지털 정보들을 어떻게 더 깊이 있게 이해하고 다룰 것인가는 미래 수학의 핵심 과제입니다. 수학은 시대의 요구에 따라 새로운 지평을 열어왔으며, 지금 이 순간에도 우리가 경험하지 못한 새로운 세계를 탐험하고 있습니다. 컴퓨터와 인공지능의 발전은 수학자의 역할을 축소하는 것이 아니라 오히려 확장시키고 있습니다. 머신러닝이나 딥러닝 같은 기술은 수학적 문제를 해결하는 새로운 방식을 제시하며, 수치해석학이나 이산수학 분야에서 이전에는 상상하지 못했던 질문들을 던지게 합니다. 도구가 정교해질수록 우리가 다룰 수 있는 문제의 범위는 자동차에서 비행기, 우주선으로 넓어지듯 무한히 확장됩니다. 결국 기술의 발전은 수학자들에게 더 본질적이고 창의적인 문제를 고민할 수 있는 기회를 제공하는 셈입니다. 최근 강조되는 코딩 교육 역시 수학적 사고와 깊은 연관이 있습니다. 프로그래밍 언어는 컴퓨터와 소통하기 위한 일종의 외국어와 같으며, 그 기저에는 엄밀한 논리가 자리 잡고 있습니다. 코딩을 통해 자신의 생각을 논리적으로 전개하는 과정은 수학적 증명을 주고받는 과정과 본질적으로 다르지 않습니다. 단순히 기술적인 숙련도를 높이는 것을 넘어, 컴퓨터에게 자신의 논리를 설명할 수 있는 본질적인 사고력을 기르는 것이 중요합니다. 이러한 논리적 훈련은 수학적 실력을 향상시키는 밑거름이 됩니다. 수학자의 연구는 단순히 방 안에서 혼자 증명에 몰두하는 것에 그치지 않습니다. 좋은 문제를 찾아내기 위해 동료들과 끊임없이 대화하고 토론하며, 새로운 영감을 얻기 위해 노력합니다. 의미 있는 문제를 정의하고 이를 다른 이들과 공유하며 공감을 얻는 과정은 수학 연구에서 매우 중요한 부분을 차지합니다. 현대 수학은 개인의 천재성을 넘어 공동 연구와 협력을 통해 더욱 풍성해지고 있으며, 이러한 소통의 문화가 수학을 더욱 역동적인 학문으로 만들어가고 있습니다.

엄상일, 이계식, 이준엽

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수학

[강연] 미래의 수학자 (2) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ②

수학의 세계에서는 인간의 직관을 넘어서는 거대한 증명의 시대가 열리고 있습니다. 로날드 그레이엄이 제기한 피타고라스 세쌍조 색칠 문제는 그 대표적인 사례입니다. 자연수를 두 가지 색으로 칠할 때 같은 색의 피타고라스 세쌍조가 존재하지 않도록 할 수 있는지에 대한 이 질문은, 결국 2016년 슈퍼컴퓨터를 통해 해결되었습니다. 1부터 7824까지는 가능하지만 7825부터는 불가능하다는 사실이 밝혀졌는데, 이 증명의 크기는 무려 200테라바이트에 달했습니다. 이는 인간이 일일이 검토할 수 없는 방대한 데이터를 통해 수학적 진실을 규명한 혁신적인 사건이었습니다. 평면을 빈틈없이 채우는 볼록 오각형 타일링 문제 역시 컴퓨터와 인간의 협업이 빛난 분야입니다. 1918년 독일 수학자가 5개를 찾은 이후, 수학자가 아닌 가정주부 마조리 라이스가 독자적인 연구로 4개의 새로운 패턴을 찾아내며 학계를 놀라게 했습니다. 이후 2015년 워싱턴 대학 연구팀이 15번째 패턴을 발견했고, 2017년에는 컴퓨터 프로그램을 통해 오직 15가지의 방법만이 존재한다는 사실이 최종적으로 증명되었습니다. 더 이상의 가능성이 없음을 확정 짓는 과정에서 컴퓨터는 수많은 경우의 수를 완벽하게 계산해내며 탐색의 종지부를 찍었습니다. 에르되시 어긋남 추측은 수열의 합이 무한히 커질 수 있는지를 묻는 난제였습니다. 이 문제 역시 초기에는 컴퓨터의 힘을 빌려 증명되었습니다. 특정 조건에서 수열의 길이가 1161에 도달하면 합의 절댓값이 2보다 커진다는 사실을 증명했는데, 당시 이 증명의 길이는 위키피디아 전체 용량보다도 컸습니다. 수학적 증명이 단순히 논리적 전개를 넘어 거대한 데이터의 집합체가 될 수 있음을 보여준 것입니다. 하지만 이러한 거대 증명은 결과의 정답 여부는 알려주지만, 왜 그러한 결과가 도출되었는지에 대한 인간적인 이해를 제공하기에는 한계가 있었습니다. 컴퓨터의 방대한 계산을 뛰어넘는 인간 통찰의 힘은 테렌스 타오 교수에 의해 증명되었습니다. 그는 2015년, 컴퓨터가 수천 페이지에 걸쳐 증명했던 에르되시 어긋남 추측을 단 한 줄의 군더더기 없는 논리로 모든 경우에 대해 해결했습니다. '수학계의 모차르트'라 불리는 그의 성취는 컴퓨터가 제시한 정답을 넘어, 보편적인 원리를 찾아내려는 수학자의 본질적인 역할을 상기시켰습니다. 이는 기계적인 계산이 줄 수 없는 우아하고 명쾌한 해답을 갈구하는 수학자들의 이상향을 보여주는 사례로 남았습니다. 현대 수학은 이제 고립된 연구를 넘어 대규모 협업의 시대로 나아가고 있습니다. 티모시 가워스 교수가 주도한 '폴리매스 프로젝트'는 인터넷을 통해 전 세계 수학자들이 집단 지성을 발휘하는 새로운 연구 방식을 제시했습니다. 블로그 댓글을 통해 실시간으로 토론하며 난제를 해결하는 이 방식은, 혼자서는 수년이 걸릴 문제를 단 몇 주 만에 풀어내는 놀라운 성과를 거두었습니다. 테렌스 타오 역시 이 프로젝트의 중간 성과를 바탕으로 자신의 증명을 완성할 수 있었으며, 이는 수학적 발견의 속도가 협업을 통해 비약적으로 빨라질 수 있음을 입증했습니다. 인공지능의 발전은 수학 연구의 미래에 대한 근본적인 질문을 던집니다. 전문가들은 향후 수십 년 내에 인공지능이 수학 경시대회 문제를 풀고, 나아가 최고 수준의 학술지에 실릴 만한 정리를 스스로 만들어낼 것이라고 예측합니다. 컴퓨터는 이제 단순한 계산 도구를 넘어 가설을 설정하고 증명하며, 심지어 인간이 작성한 증명의 오류를 검증하는 역할까지 수행하고 있습니다. 물론 가치 판단이나 문제의 중요성을 결정하는 영역은 여전히 인간의 몫으로 남아있지만, 인공지능이 수학적 창의성의 영역에 발을 들이고 있다는 사실은 부정할 수 없습니다. 결국 미래의 수학은 인간과 컴퓨터의 긴밀한 파트너십으로 정의될 것입니다. 필즈상 수상자인 보에보드스키는 인간의 실수를 방지하기 위해 모든 증명을 컴퓨터로 검증해야 한다고 주장한 반면, 다른 이들은 인간의 직관적 이해가 결여된 증명은 진정한 지식이라 보기 어렵다고 반박합니다. 하지만 분명한 것은 수학의 세계가 점점 더 복잡해짐에 따라 컴퓨터의 도움 없이는 완전한 검증이 불가능한 시대가 오고 있다는 점입니다. 인간은 더 고차원적인 질문을 던지고, 컴퓨터는 그 질문에 대한 정밀한 답을 찾아가는 과정에서 수학은 새로운 진화를 거듭할 것입니다.

엄상일

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[강연] 미래의 수학자 (1) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ①

수학은 흔히 연속적인 변화를 다루는 미적분을 떠올리게 하지만, 점과 점의 연결을 다루는 이산수학 또한 현대 사회에서 중요한 역할을 합니다. 지하철 노선도처럼 불연속적인 구조를 연구하는 이 분야는 인공지능 시대에 접어들며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 특히 수학자의 핵심 업무인 '증명'의 방식이 과거와는 확연히 달라지고 있다는 점에 주목해야 합니다. 미래의 수학자들은 단순히 펜과 종이로 논리를 전개하는 것을 넘어, 컴퓨터와 협력하여 진리를 탐구하는 새로운 시대를 살아가게 될 것입니다. 수학적 증명의 역사는 기원전 300년경 유클리드 원론에서 시작되었습니다. 이는 점과 선에 대한 정의와 증명 없이 맞다고 인정하는 공리로부터 시작해, 완벽하게 논리적인 과정을 거쳐 결론을 도출하는 작업입니다. 독일의 수학자 힐베르트는 수학적 대상의 이름이 무엇이든 논리적 관계만 성립한다면 엄밀한 수학이 될 수 있다고 강조했습니다. 이러한 엄밀함은 수학의 기초를 다지는 핵심이며, 현대 수학자들 또한 모든 유도 과정이 100% 정확해야 한다는 이상을 품고 연구에 매진하고 있습니다. 하지만 증명이 너무 길고 복잡해지면 인간의 인지 능력으로는 이를 완벽히 검증하기 어려워집니다. 화이트헤드와 러셀은 '1 더하기 1은 2'라는 당연한 사실을 증명하기 위해 무려 360페이지를 할애하기도 했습니다. 실제 연구 현장에서는 동료 수학자들이 논문을 읽고 검토하는 과정을 거치지만, 만약 증명을 읽는 데만 100년이 걸린다면 그 결과의 무결성을 확신하기란 불가능에 가깝습니다. 이러한 한계는 수학자들이 컴퓨터라는 새로운 도구에 눈을 돌리게 만든 결정적인 계기가 되었습니다. 케플러 추측은 공을 가장 빽빽하게 쌓는 방법에 관한 문제로, 1998년 토마스 헤일스에 의해 해결되었습니다. 그러나 그의 증명은 인간이 검토하기에는 너무나 방대했습니다. 250쪽의 논문 외에도 컴퓨터로 계산한 데이터가 3GB에 달했기 때문입니다. 12명의 검증 위원이 4년 동안 매달렸음에도 불구하고 99%의 확신만을 가질 뿐, 100% 완벽한 검증은 불가능하다는 결론을 내렸습니다. 이는 수학적 진실이 인간의 검토 범위를 넘어설 수 있음을 보여준 상징적인 사건이었습니다. 헤일스 교수는 자신의 증명을 완벽히 인정받기 위해 '플라이스펙' 프로젝트를 시작했습니다. 이는 공리와 정의로부터 모든 논리적 단계를 컴퓨터가 직접 검증하게 만드는 '형식 증명'의 과정이었습니다. 11년이라는 긴 시간 동안 매진한 끝에, 2014년 마침내 컴퓨터를 통해 증명의 모든 과정이 100% 확실하다는 것을 확인받았습니다. 이로써 1611년에 제기된 난제는 비로소 종지부를 찍게 되었습니다. 이제 수학은 인간의 직관을 넘어 기계적 엄밀함으로 무장한 새로운 검증의 시대로 진입했습니다. 지도 채색에 관한 '4색 문제' 또한 컴퓨터의 도움으로 해결된 대표적인 사례입니다. 1976년 처음 증명되었을 당시, 수학계에서는 컴퓨터의 결과를 신뢰할 수 있는지를 두고 뜨거운 논쟁이 벌어졌습니다. 하지만 기술이 발전함에 따라 '코크(Coq)'와 같은 증명 보조 프로그램이 등장했고, 수만 줄의 코드를 통해 증명의 무결성을 입증하는 방식이 점차 자리를 잡았습니다. 이제는 인간의 실수 가능성보다 컴퓨터의 논리적 정확성을 더 신뢰하는 흐름이 강화되고 있으며, 이는 수학의 확실성을 담보하는 중요한 수단이 되었습니다. 이러한 형식 증명 기술은 순수 수학을 넘어 실생활의 안전을 지키는 데에도 활용됩니다. 비행기 조종 소프트웨어나 CPU 설계처럼 작은 오류가 치명적인 사고로 이어질 수 있는 분야에서는 수학적으로 버그가 없음을 증명하는 과정이 필수적입니다. 미래의 수학자들은 컴퓨터와 협력하여 복잡한 시스템의 완벽함을 입증하는 역할을 수행하게 될 것입니다. 비록 수학자들이 여전히 짧고 아름다운 증명을 갈망할지라도, 컴퓨터를 통한 엄밀한 검증은 거스를 수 없는 시대적 흐름이 되었습니다.

엄상일

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