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[카오스 짧강] 대수학이 뭐지?

수학이라는 단어만 들어도 거부감을 느끼는 사람들이 많습니다. 특히 '대수학'이라는 용어는 그 이름만으로도 무겁고 어렵게 다가오기 마련입니다. 많은 이들이 대수학의 '대'자를 '클 대(大)'로 오해하여, 마치 거대하고 심오한 학문일 것이라는 막연한 두려움을 갖기도 합니다. 하지만 대수학은 우리를 괴롭히기 위해 존재하는 복잡한 학문이 아니라, 오히려 복잡한 세상을 명쾌하게 정리해 주는 도구에 가깝습니다. 우리가 일상에서 마주하는 수많은 문제들을 논리적으로 풀어내기 위한 첫걸음이 바로 이 생소한 이름의 학문에서 시작됩니다. 대수학에서 '대'는 '대신할 대(代)자'를 사용합니다. 우리가 문법에서 명사를 대신해 '그'나 '그녀' 같은 대명사를 쓰는 것과 같은 원리입니다. 즉, 구체적인 숫자가 무엇인지 당장 알 수 없거나 상황에 따라 변할 수 있을 때, 이를 미지수로 대신 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 예를 들어, 어떤 모임의 인원수를 정확히 모를 때 이를 임의의 미지수로 두고 계산을 이어가는 방식입니다. 이러한 접근법은 구구절절한 설명 없이도 문제의 본질을 꿰뚫어 보게 하며, 복잡한 상황을 하나의 수식으로 단순화하는 마법 같은 힘을 발휘합니다. 대수학은 현실 세계의 복잡한 관계들을 수식으로 변환하여 우리가 답을 찾을 수 있도록 도와줍니다. 결국 이 학문은 낯설고 어려운 이론이 아니라, 우리가 세상을 더 명확하게 이해할 수 있도록 돕는 유용한 언어인 셈입니다. 이 학문의 본질을 이해한다면 수학을 향한 막연한 공포도 조금은 덜어낼 수 있을 것입니다. 단순히 숫자를 계산하는 것을 넘어, 보이지 않는 관계를 미지수로 정의하고 풀어내는 과정은 우리에게 세상을 바라보는 새로운 관점을 제시해 줍니다. 어렵게만 느껴졌던 수식들이 사실은 소통의 도구였음을 깨닫는 순간 수학은 다시 보이기 시작합니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] 교육AI를 탄생시킨 놀라운 수학적 아이디어 1_by 노현빈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 6강 첫 번째 이야기 | 6강 ①

수학은 논리적 구조가 층층이 쌓여가는 학문입니다. 따라서 학년을 낮추더라도 빈틈없이 이해하고 넘어가는 과정이 무엇보다 중요합니다. 단순히 공식을 외우는 것이 아니라, 누군가를 가르치듯 내용을 되새기며 자신의 언어로 번역하는 과정은 수학적 사고력을 기르는 최고의 방법입니다. 이러한 기초적인 학습 태도는 수학이라는 거대한 탑을 쌓아 올리는 단단한 지반이 되며, 학습자에게 성취감과 동기를 부여하는 강력한 토대가 됩니다. 수학적 구멍을 메우는 과정은 결국 더 높은 단계의 논리를 수용할 수 있는 그릇을 만드는 일입니다. 흔히 순수 수학은 실생활과 동떨어진 '무용'의 영역으로 오해받곤 합니다. 하지만 역사적으로 위대한 과학적 발견은 당장 어디에 쓰일지 고민하지 않았던 순수 수학의 토대 위에서 꽃을 피웠습니다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 리만 기하학을 통해 완성되고, 헤르츠의 전자기파 이론이 현대 무선 통신의 시초가 된 사례가 이를 증명합니다. 수학자가 구축한 정교한 이론 체계는 시간이 흐른 뒤 '미들맨'이라 불리는 응용 학자들에 의해 인류의 삶을 바꾸는 혁신적인 기술로 재탄생합니다. 무용해 보이는 지식이 가장 유용한 가치로 변모하는 셈입니다. 현대 기술의 정점인 인공지능 역시 그 근간에는 수학적 원리가 깊게 뿌리내리고 있습니다. 특히 미분은 인공지능이 방대한 데이터 속에서 최적의 해답을 찾아내는 '최적화' 과정의 핵심 도구입니다. 인공지능 모델이 얼마나 정확한지 채점하고, 더 나은 방향으로 스스로를 수정해 나가는 과정은 결국 미분값이 0이 되는 지점을 찾는 수학적 여정과 같습니다. 우리가 배우는 미적분이 단순히 시험을 위한 도구가 아니라, 미래 산업을 이끄는 인공지능의 심장을 뛰게 하는 원동력이라는 사실은 수학의 실천적 가치를 다시금 깨닫게 합니다. 수학의 세계는 학년이 올라갈수록 세상을 설명하는 언어의 범위를 확장해 나갑니다. 고등학교 수준의 극한 개념이 대학에서 엡실론-델타 논법으로 정교해지듯, 수학은 끊임없이 기존의 틀을 깨고 더 큰 체계를 구축합니다. 그 정점에 있는 대수기하학은 인류가 가진 가장 거대한 사고의 틀이자 '언어의 언어'라고 불리는 범주론을 포괄합니다. 대수기하학이라는 광활한 언어 체계를 갖추는 것은 복잡한 세상의 문제들 속에서 정신을 잃지 않고 논리적으로 사고할 수 있는 강력한 무기를 얻는 것과 같습니다. 이는 인간의 사고가 도달할 수 있는 가장 높은 경지의 언어입니다. 수학 공부를 통해 길러진 논리적 근력은 다른 학문을 탐구하는 데에도 결정적인 역할을 합니다. 복잡한 수학적 구조를 이해해 본 경험은 사고의 한계를 넓혀주며, 이는 새로운 분야를 학습할 때 비교할 수 없는 속도와 깊이를 제공합니다. 허준이 교수가 조합 대수기하학을 통해 난제를 해결했듯이, 수학은 서로 다른 영역을 잇는 가교가 되어 인류 지식의 지평을 넓힙니다. 결국 수학은 단순한 계산을 넘어, 세상을 바라보는 새로운 틀을 제시하고 미래를 설계하는 가장 기초적인 체력입니다. 수학을 포기하지 않는 것은 곧 자신의 사고 가능성을 포기하지 않는 것과 같습니다.

노현빈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

가상현실? 게임? 야!👋 너도 만들 수 있어! 프로그램 메이커 코딩💻ㅣ해썰이 있는 과학뉴스

코딩은 현대 사회에서 매우 익숙한 용어가 되었지만, 그 본질은 컴퓨터 프로그래밍과 맞닿아 있습니다. 프로그래밍이란 컴퓨터가 특정 작업을 수행할 수 있도록 일련의 명령어들을 순서대로 작성하는 과정을 의미합니다. 우리가 일상적으로 사용하는 스마트폰의 애플리케이션이나 컴퓨터의 운영체제인 윈도우 역시 모두 이러한 프로그램의 일종입니다. 결국 코딩은 우리가 원하는 기능을 구현하기 위해 컴퓨터와 소통하며 새로운 프로그램을 만들어내는 창조적인 작업이라고 할 수 있습니다. 프로그램을 만드는 과정에서 가장 중요한 첫 단계는 해결하고자 하는 문제를 명확히 정의하고 이를 해결할 아이디어를 구상하는 것입니다. 이를 '알고리즘'이라고 부르는데, 이는 어떤 문제를 해결하기 위한 논리적인 절차나 방법을 뜻합니다. 알고리즘은 반드시 복잡한 코드로 작성될 필요는 없으며, 일상적인 언어나 그림 형태의 순서도, 혹은 약속된 기호를 사용한 의사코드로도 표현될 수 있습니다. 이러한 논리적 설계가 탄탄해야 비로소 효율적인 프로그램이 탄생할 수 있습니다. 알고리즘이 설계되었다면 이를 컴퓨터가 이해할 수 있는 프로그래밍 언어로 변환해야 합니다. 세상에는 수많은 언어가 존재하며, 각 언어는 용도에 따라 특화된 강점을 가집니다. 최근 가장 주목받는 언어인 파이썬은 데이터 처리와 인공지능 분야에서 압도적인 성능을 발휘하며 프로그래밍 세계의 대세로 자리 잡았습니다. 이외에도 시스템 구축에 강한 C 언어나 범용성이 높은 자바 등 개발 목적에 맞는 적절한 도구를 선택하는 것이 성공적인 코딩의 핵심입니다. 단순히 결과가 나온다고 해서 모두 좋은 프로그램이라고 할 수는 없습니다. 우수한 프로그램은 '시간 복잡도'와 '공간 복잡도'라는 성능 평가 기준을 충족해야 합니다. 즉, 같은 결과를 내더라도 더 적은 연산으로 빠르게 처리하고, 메모리 자원을 효율적으로 사용하는 것이 중요합니다. 또한, 나중에 코드를 수정하거나 기능을 개선할 때 사람이 쉽게 읽고 이해할 수 있도록 가독성을 높이는 작업도 필수적입니다. 주석을 달거나 구조를 깔끔하게 정리하는 습관이 필요한 이유입니다. 4차 산업혁명 시대를 살아가는 우리에게 코딩은 이제 특정 전문가만의 영역이 아닌 필수적인 기본 소양으로 자리 잡고 있습니다. 코딩 교육의 목적은 단순히 복잡한 문법을 외우는 것이 아니라, 컴퓨터의 사고방식을 이해하고 논리적으로 문제를 해결하는 능력을 기르는 데 있습니다. 인공지능이 코드를 대신 작성해 주는 시대가 오더라도, 문제를 정의하고 해결 절차를 설계하는 인간의 논리적 사고는 여전히 중요합니다. 따라서 코딩은 디지털 세상을 살아가는 우리 모두에게 강력한 도구가 될 것입니다.

국립과천과학관요즘과학👏

수학
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[페스티벌+어스] 필즈상 수상자 허준이교수와 함께 하는 수학콘서트 by 허준이 ㅣ 2022 대한민국 과학축제(페스티벌 어스)

2022년 필즈상 수상자 허준이 교수는 수학의 대중적 관심을 이끌어낸 상징적인 인물입니다. 그는 동료 수학자인 김재원 교수와 함께 유학 시절의 추억을 나누며 수학자가 되기까지의 과정을 회상합니다. 수학은 단순히 어려운 문제를 푸는 학문이 아니라, 사람과 사람이 만나 아이디어를 나누고 함께 성장하는 과정임을 보여줍니다. 그의 이야기는 천재적인 면모 뒤에 숨겨진 평범하고 인간적인 매력을 드러내며 많은 이들에게 깊은 영감을 줍니다. 필즈상은 흔히 '수학계의 노벨상'이라 불리지만, 40세 이하라는 독특한 나이 제한이 있습니다. 이는 수상자가 젊은 나이에 명성을 얻어 이후 오랜 기간 사회에 선한 영향력을 행사하고 학문 발전을 이끌도록 장려하기 위함입니다. 허 교수는 이러한 상의 무게감을 인지하면서도, 대중의 관심과 댓글을 직접 확인하며 소통하는 소탈한 모습을 보입니다. 수학적 업적만큼이나 그가 가진 사회적 역할에 대한 책임감이 돋보이는 대목이라 할 수 있습니다. 수학자는 크게 새로운 이론을 정립하는 '이론가'와 난제를 해결하는 '문제 해결사'로 나뉩니다. 허준이 교수는 자신을 그 중간 지점에 위치한 수학자로 정의합니다. 그는 조합론과 대수기하학이라는 서로 다른 두 분야를 연결하여 수학계에 새로운 놀이터를 제공했습니다. 이는 단순히 정답을 찾는 것을 넘어, 후대 수학자들이 마음껏 뛰어놀 수 있는 새로운 언어와 틀을 개발했다는 점에서 학술적으로 매우 큰 의미를 가집니다. 수학 연구에서 공동 연구는 이제 필수적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 다른 과학 분야가 프로젝트를 나누어 수행하는 분업 형태라면, 수학은 하나의 문제를 두고 서로의 아이디어를 주고받으며 한 발짝씩 나아가는 과정입니다. 허 교수는 공동 연구의 핵심으로 인간적인 유대감을 꼽습니다. 서로 충분히 친해지고 마음이 열렸을 때 비로소 각자가 가진 퍼즐 조각을 맞추어 하나의 정교한 그림을 완성할 수 있기 때문입니다. 수학자의 일상은 업무와 휴식의 경계가 모호하다는 특징이 있습니다. 소파에 누워 눈을 감고 생각에 잠긴 순간조차 수학자에게는 치열한 연구의 시간입니다. 허 교수는 젊은 시절 스스로를 조절하는 데 어려움을 겪기도 했지만, 이제는 가족과 시간을 보내며 적절한 휴식을 취하는 법을 터득했습니다. 유연한 시간 활용은 수학자라는 직업이 가진 큰 장점이자, 끊임없는 사고를 이어가야 하는 이들에게 반드시 필요한 덕목입니다. 허준이 교수와 김재원 교수가 연구하는 조합론은 유한한 집합들 사이의 관계와 패턴을 탐구하는 학문입니다. 허 교수가 현미경으로 아주 작은 대상을 관찰하듯 세밀한 패턴을 찾아낸다면, 김 교수는 망원경으로 거대 구조를 보듯 전체적인 경향성을 연구합니다. 이처럼 같은 분야 안에서도 수학자들은 각기 다른 시각으로 세상을 바라봅니다. 이들의 연구는 서로 다른 대상들이 가진 원초적인 공통점을 발견해 나가는 즐거운 여정입니다. 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 지식 습득 그 자체보다 생각하는 힘을 기르는 데 있습니다. 현대 사회에서 수학은 과학과 기술의 기초 언어일 뿐만 아니라, 자신의 논리를 타인에게 엄밀하게 전달하고 설득하는 소통의 도구입니다. 허 교수는 수학적 사고가 인생 전반에 걸쳐 유용한 기술이 될 수 있음을 강조합니다. 정답을 맞히는 기술을 넘어, 세상을 논리적으로 이해하고 소통하는 법을 배우는 것이 바로 수학의 본질입니다.

허준이

카오스재단2022 대한민국 과학축제 ㅣ 페스티벌 어스

수학

[과수다]멋진신세계

과학은 단순히 지식의 나열이 아니라 세상을 바라보는 하나의 틀입니다. 많은 이들이 과학을 어렵고 딱딱한 학문으로만 여기지만, 사실 우리 주변의 모든 현상에는 과학적 원리가 숨어 있습니다. 책을 통해 과학을 접하는 것은 전문가의 시선을 빌려 우주와 생명, 그리고 인간의 본질을 탐구하는 흥미로운 여정입니다. 이러한 과정은 우리에게 논리적 사고를 길러줄 뿐만 아니라, 미지의 세계에 대한 경외심을 갖게 합니다. 국립과천과학관과 같은 공간은 대중이 과학에 더 친숙하게 다가갈 수 있도록 돕는 가교 역할을 합니다. 이곳에서 이루어지는 다양한 프로그램 중에서도 과학 책을 매개로 한 대화는 지식의 깊이를 더해줍니다. 책 속에 담긴 복잡한 이론들이 대화를 통해 일상의 언어로 번역될 때, 과학은 비로소 우리의 삶 속으로 들어옵니다. 독서는 저자와의 대화이며, 그 대화가 확장되어 타인과 공유될 때 새로운 통찰이 태어납니다. 과학 책을 읽는 즐거움은 정답을 찾는 데 있지 않고 질문을 던지는 과정에 있습니다. 당연하게 여겼던 현상들에 대해 '왜?'라는 의문을 품는 순간, 일상은 탐구의 대상이 됩니다. 최신 과학 기술의 발전부터 고전적인 물리 법칙까지, 책은 우리가 직접 경험하지 못한 영역까지 상상력을 넓혀줍니다. 이러한 지적 자극은 뇌를 활성화하고 세상을 더 넓은 관점에서 이해할 수 있는 힘을 제공합니다. 함께 책을 읽고 의견을 나누는 소통의 시간은 과학적 사고를 사회적으로 확장하는 행위입니다. 서로 다른 배경을 가진 사람들이 하나의 주제를 놓고 토론하며 각자의 해석을 덧붙일 때, 지식은 입체적으로 변합니다. 이는 단순히 정보를 습득하는 것을 넘어, 과학적 사실이 우리 사회에 어떤 의미를 갖는지 성찰하게 합니다. 소통을 통해 다듬어진 지식은 개인의 삶을 풍요롭게 만드는 소중한 자산이 됩니다. 결국 과학 독서는 세상을 더 깊이 사랑하기 위한 방법 중 하나입니다. 복잡한 수식이나 난해한 용어에 가로막히기보다, 그 이면에 담긴 자연의 질서와 아름다움을 발견하는 것이 중요합니다. 꾸준히 과학 책을 가까이하며 질문을 멈추지 않는다면, 우리는 변화하는 시대 속에서도 흔들리지 않는 지적 중심을 잡을 수 있습니다. 과학과 함께하는 일상은 매일 새로운 발견으로 가득 찬 모험이 될 것입니다.

국립과천과학관과학책📚수다

융합

[강연] 문명과 수학의 기원 (4) - 패널토의 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ④

수학은 시와 닮은 점이 많습니다. 푸앵카레는 시인이 같은 대상을 보며 다르게 표현한다면, 수학자는 서로 다른 대상에서 공통된 본질을 찾아내어 같게 이야기한다고 말했습니다. 물리적 우주에서 무질서하게 보이는 현상들을 수학적 언어로 정리하면 놀랍게도 하나의 질서로 수렴됩니다. 이러한 함축성은 수학이 가진 가장 강력한 무기이며, 복잡한 세상을 가장 단순하고 명료하게 설명할 수 있는 도구가 됩니다. 추상적인 수식 속에 우주의 원리를 담아내는 과정은 예술적 승화와도 같습니다. 수학을 정의하는 방식은 시대에 따라 변해왔지만, 현대에 이르러서는 '관계의 과학'이라는 정의가 널리 받아들여지고 있습니다. 이는 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 물리적 대상들 사이의 논리적 관계를 기술하는 체계임을 의미합니다. 과학이 자연 현상을 탐구한다면, 수학은 그 탐구를 가능하게 하는 수학적 우주를 제공합니다. 이 두 세계는 서로 독립적인 듯 보이지만, 상호작용을 통해 끊임없이 발전하며 인류가 세상을 이해하는 논리적 지평을 넓혀주는 역할을 수행합니다. 수학의 역사는 거대한 난제들과의 끊임없는 사투였습니다. 쌍둥이 소수 추측이나 리만 가설 같은 문제들은 수천 년 동안 수학자들을 괴롭혀 왔지만, 동시에 학문을 진보시키는 동력이 되었습니다. 이러한 난제들은 단순히 지적 유희에 그치지 않습니다. 이를 해결하는 과정에서 갈루아의 군론과 같은 혁신적인 이론이 탄생했으며, 이는 현대 물리학과 암호학의 기초가 되었습니다. 수학적 우주 내부의 논리적 충돌이 해결될 때마다 인류의 지식 체계는 이전과는 비교할 수 없는 비약적인 도약을 이뤄냅니다. 20세기 후반부터 인류는 '데이터'라는 새로운 무기를 갖게 되었습니다. 방대한 정보를 저장하고 처리하는 능력이 발전하면서, 무질서한 데이터 속에서 질서를 찾아내는 최적화 이론이 핵심적인 수학 영역으로 떠올랐습니다. 아카데미 시상식의 수많은 시나리오를 예측하거나 개인의 건강 상태를 분석하는 일은 모두 정교한 수학적 도구를 통해 가능해집니다. 데이터 시대의 수학은 이제 상아탑 안의 학문을 넘어, 실용적 가치를 통해 인류의 삶을 근본적으로 바꾸고 예측 가능한 미래를 설계하는 데 기여하고 있습니다. 수학의 발전은 추상과 실용이라는 두 축의 끊임없는 대립과 극복의 과정입니다. 고대 그리스의 순수 기하학이 논리적 완결성을 추구했다면, 뉴턴의 미적분학은 천체 운동이라는 물리적 필요에 의해 탄생했습니다. 추상적인 이론이 물리적 우주에 적용되고, 다시 그 실용적 요구가 새로운 수학적 질문을 던지는 변증법적 상호작용이 수학을 진화시키는 원동력입니다. 이 두 세계가 서로를 견제하고 보완하는 균형을 이룰 때, 수학은 비로소 문명을 지탱하는 가장 단단한 기초 학문으로서의 위상을 공고히 하게 됩니다. 많은 이들이 실생활에서 쓰이지 않는 고등 수학을 왜 배워야 하는지 의문을 갖습니다. 하지만 21세기는 지식 자체보다 '배우는 능력'이 더 중요한 시대입니다. 수학 교육의 본질은 공식을 암기하는 것이 아니라, 문제를 해결하기 위한 논리적 사고의 과정을 훈련하는 데 있습니다. 수학의 역사적 배경과 맥락을 함께 이해할 때, 학생들은 수학이 단순한 계산이 아닌 인류 문명의 정수임을 깨닫게 됩니다. 이러한 사고의 훈련은 급변하는 미래 사회에서 새로운 지식을 습득하고 적응하는 가장 강력한 기초 체력이 됩니다. 수학에는 기원은 있으나 끝은 존재하지 않습니다. 무한이라는 개념을 다루는 한, 새로운 문제는 끊임없이 출현할 것이며 인류는 이를 해결하며 진보할 것입니다. 한국의 수학계 또한 순수 수학 분야에서 괄목할 만한 성취를 이루었으며, 이제는 산업과 경제 등 실용적 영역과의 연계를 통해 새로운 도약을 준비하고 있습니다. 수학적 우주와 물리적 우주가 만나는 지점에서 우리는 미래를 이끌어갈 새로운 지혜를 발견하게 될 것입니다. 인류의 호기심이 멈추지 않는 한, 수학의 진화는 영원히 계속될 필연적인 여정입니다.

고계원, 박형주, 성기원, 유정아

카오스재단카오스강연

수학

[카오스 술술수학] 기하를 빼지 말아주세요 (재수정본_6/12)

기원전 4세기 아테네, 철학자 플라톤은 '아카데미아'를 설립하며 입구에 "기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 마라"는 문구를 내걸었습니다. 이는 단순한 허세나 과장이 아니었습니다. 플라톤은 기하학이 인간의 사고를 단련하고 진리에 도달하게 하는 필수적인 관문이라고 믿었기 때문입니다. 당시 아카데미아는 단순한 지식 전달을 넘어, 세상을 올바르게 통치할 수 있는 철학적 소양을 기르는 곳이었으며, 그 기초가 바로 수학과 기하학이었습니다. 플라톤의 저서 《국가》에서 소크라테스는 이상 국가의 시민들이 반드시 배워야 할 학문으로 수학을 첫손에 꼽습니다. 그는 평면 기하학과 입체 기하학을 필수 과목으로 언급하며, 감각에 의존하는 지식이 아닌 순수한 사유를 통한 지식 습득의 중요성을 역설했습니다. 이러한 수학적 토대 위에 천문학과 화성학이 더해질 때 비로소 학문의 기본기가 완성된다고 보았으며, 이는 통치자가 갖춰야 할 철학적 사고를 위한 필수적인 예비 교육이었습니다. 하지만 현대 한국의 교육 현장에서는 이와 상반된 흐름이 나타나고 있습니다. 수능에서 기하학 과목이 제외된다는 결정이 내려진 것입니다. 학생들의 학습 부담을 줄이고 사교육비를 경감하겠다는 취지였으나, 이는 학계와 전문가들 사이에서 큰 우려를 낳았습니다. 기하학은 단순히 도형을 배우는 과목이 아니라, 논리적 사고와 직관력을 기르는 핵심적인 도구이기 때문입니다. 고대 철학자들이 강조했던 기하학의 가치가 현대 교육 행정에서는 가볍게 취급받고 있는 실정입니다. 현장의 수학자들은 기하학의 부재가 가져올 부작용을 경고합니다. 황준묵 교수는 미국 대학에서의 경험을 빌려, 고등학교에서 기하학을 제대로 배우지 못한 학생들이 미적분학을 이해하는 데 큰 어려움을 겪는다고 지적했습니다. 또한 위대한 수학자 다비드 힐베르트 역시 그의 저서에서 수학을 직관적으로 이해하기 위해서는 기하학적 상상력이 무엇보다 중요하다고 말하며, 기하학이 모든 학문의 기초이자 사고의 틀임을 분명히 했습니다. 기하학을 경시하는 태도는 단순히 한 과목의 제외를 넘어, 학문의 본질과 전문가의 견해를 무시하는 관료적 행정의 단면을 보여줍니다. 복잡한 교육 문제를 근본적인 성찰 없이 손쉬운 방법으로 해결하려는 시도는 장기적으로 국가의 학문적 경쟁력을 약화시킬 수 있습니다. 우리가 자녀들을 대학에 보내 전문가로 키우려 노력하면서도, 정작 그 전문가들의 목소리에는 귀를 닫고 있는 것은 아닌지 되돌아봐야 합니다. 기하학의 문을 닫는 것은 곧 깊이 있는 사유의 문을 닫는 것과 같습니다.

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[석학인터뷰] 이광근_ 튜링은 천재가 아니다? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

현대 사회에서 코딩 교육의 진정한 목적은 단순히 기술적인 엔지니어를 양성하거나 노벨상과 같은 가시적인 성과를 빠르게 내는 데 있지 않습니다. 우리를 둘러싼 디지털 환경은 끊임없이 변화하며 역동적으로 움직이고 있습니다. 이러한 복잡한 환경을 올바르게 바라보고 이해할 수 있는 시각을 형성하는 것이 코딩 교육의 핵심입니다. 즉, 코딩은 논리적인 사고를 통해 세상을 구체적으로 파악하고 디지털 문명을 주체적으로 수용할 수 있도록 돕는 중요한 도구라고 할 수 있습니다. 컴퓨터의 아버지라 불리는 앨런 튜링은 흔히 뉴턴과 같은 천재 수학자로 기억되곤 합니다. 하지만 그의 설계 청사진을 면밀히 추적해 보면, 그의 업적이 단순히 하늘이 점지해 준 천부적인 재능만으로 이루어진 것은 아님을 알 수 있습니다. 튜링이 남긴 구체적인 작업 과정과 논리적 근거들은 그가 어떻게 원천적인 아이디어를 구체화했는지 명확히 보여줍니다. 이는 천재성이라는 모호한 단어 뒤에 숨겨진 치열한 고민과 체계적인 사고의 과정을 다시금 깊이 있게 생각하게 만드는 대목입니다. 원천적인 아이디어는 어느 날 갑자기 나타나는 영감이 아니라, 일정한 단계를 거쳐 일궈낸 결과물에 가깝습니다. 튜링의 사례에서 볼 수 있듯이, 혁신적인 성취는 한 개인의 독보적인 천재성에만 의존하는 것이 아니라 논리적인 설계와 구체적인 증거들을 쌓아가는 과정에서 탄생합니다. 이러한 관점은 우리에게 큰 희망을 줍니다. 누구나 올바른 시각을 가지고 체계적으로 접근한다면, 복잡한 디지털 세상 속에서 자신만의 창의적인 해답을 찾아낼 수 있다는 가능성을 시사하기 때문입니다.

이광근

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

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골드버그 밋업데이 강연 1

골드버그 장치는 아주 단순한 목표를 달성하기 위해 세상에서 가장 복잡하고 어려운 과정을 거치도록 설계된 기계 장치를 말합니다. 이 장치의 이름은 미국의 만화가 루브 골드버그의 이름에서 유래되었으며, 그는 현대 사회의 복잡성을 풍자하기 위해 기계 장치들이 얽히고설켜 결국 아주 사소한 일을 해내는 모습을 만화로 그렸습니다. 예를 들어 풍선을 터뜨리거나 수염을 닦는 간단한 일을 위해 수십 가지의 기계적 단계를 거치는 식입니다. 이러한 발상은 현대에 이르러 단순한 만화를 넘어 공학적 창의성과 과학적 원리를 겨루는 독특한 교육 분야로 자리 잡게 되었습니다. 미국의 퍼듀 대학교에서 시작된 골드버그 장치 대회는 이제 전 세계 고등학생과 대학생들이 창의성을 겨루는 거대한 장이 되었습니다. 장치를 구성할 때는 지렛대의 원리나 경사면의 법칙, 도르래의 활용 같은 기초적인 기계 작동 원리가 필수적으로 활용됩니다. 각 단계를 '스텝'이라고 부르며, 한 단계가 다음 단계로 에너지를 전달하는 과정에서 논리적인 흐름이 매우 중요합니다. 단순히 복잡하게 만드는 것이 아니라, 각 장치가 왜 그렇게 움직여야 하는지에 대한 과학적 근거와 창의적인 설계가 완벽한 조화를 이루어야 진정한 골드버그 장치로서 가치를 인정받을 수 있습니다. 골드버그 장치는 과학적 원리를 넘어 예술과 엔터테인먼트의 영역으로도 활발히 확장되고 있습니다. 조셉 허셔와 같은 작가들은 장치에 고유한 이야기를 담아 '키네틱 아트'로서의 가치를 보여줍니다. 단순히 공이 굴러가는 것에 그치지 않고, 케이크 한 조각을 가져오는 과정에 유머와 서사를 결합하여 관객에게 깊은 인상을 남깁니다. 또한 스프라이스라는 인물은 골드버그 장치를 활용해 오디션 프로그램에서 준우승을 차지하고 수많은 기네스 세계 기록을 세우는 등, 이 분야를 하나의 전문적인 직업이자 매력적인 영상 콘텐츠로 발전시키며 전 세계적인 관심을 끌어모으고 있습니다. 창의성의 핵심은 거창하고 비싼 재료가 아니라 주변의 사소한 것들을 새로운 시각으로 바라보는 데 있습니다. 루브 골드버그의 손녀는 '한 트럭의 쓰레기'만 있다면 무엇이든 만들 수 있다고 말하며 재활용품의 가치를 강조했습니다. 새로운 부품을 구매하기보다 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 생활용품이나 폐품을 활용해 장치를 구성하는 것이 골드버그 장치의 진정한 묘미입니다. 쓸모없어 보이는 물건들에 새로운 역할을 부여하고 논리적인 연결 고리를 찾아내는 과정에서 인간의 상상력은 한계 없이 확장될 수 있으며, 이는 곧 문제 해결 능력을 키우는 밑거름이 됩니다. 골드버그 장치는 국가별 문화에 따라 독특한 특징을 보입니다. 미국의 장치들이 넓은 공간을 활용해 웅장하고 복잡한 구성을 보여준다면, 일본의 '피타고라 스위치'는 좁은 공간에서 선을 중심으로 한 정교하고 아기자기한 설계를 강조합니다. 최근에는 기업의 홍보 영상이나 뮤직비디오, 스마트폰 게임 등 다양한 매체에서 골드버그 장치가 활용되며 대중적인 사랑을 받고 있습니다. 결국 중요한 것은 어떤 도구를 쓰느냐가 아니라, 자신만의 독창적인 아이디어를 어떻게 기계적인 장치로 구현해 내느냐에 달려 있으며, 이는 우리에게 끊임없는 도전 정신을 일깨워 줍니다.

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물리학
융합

[카오스 술술수학] 수학의 성배 - 기하를 지켜라!

최근 교육부가 수능 출제 범위에서 기하를 제외하겠다고 발표하면서 교육계와 과학계에 큰 파장이 일고 있습니다. 교육부는 기하가 선택과목으로 변경되었고 수험생의 학습 부담을 완화해야 한다는 점을 주요 근거로 내세웠습니다. 하지만 수학의 본질이 수와 모양에 있다는 점을 고려할 때, 기하를 배제하는 것은 수학의 절반을 포기하는 것과 다름없습니다. 어린아이들이 손가락으로 수를 세고 종이에 끊임없이 그림을 그리는 행위에서 알 수 있듯이, 기하는 인간의 본능적인 탐구 영역이자 수학적 사고의 핵심적인 축을 담당하고 있습니다. 4차 산업혁명 시대를 맞이하여 기하의 중요성은 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 인공지능, 로봇 공학, 3D 프린팅, 자율주행차 등 현대 과학기술의 최전선에 있는 분야들은 모두 기하적 원리를 기반으로 작동합니다. 수천 개의 드론이 하늘에서 정교한 형상을 만들어내는 드론 쇼나 인간의 형상을 구현하는 3D 홀로그램 기술 역시 기하 없이는 불가능한 영역입니다. 고대 플라톤이 기하를 우주와 지혜를 담는 성배로 여겼던 것처럼, 오늘날의 첨단 기술 사회에서도 기하는 선택이 아닌 필수적인 학문적 토대로서 그 가치를 증명하고 있습니다. 국내 석학들은 기하 교육의 약화가 학생들의 공간적 개념과 입체적 사고 능력을 저하시킬 것이라며 우려의 목소리를 높이고 있습니다. 미국, 일본, 영국 등 주요 선진국들이 입시에서 심화된 기하 영역을 다루는 것과 달리, 우리나라는 오히려 교육 내용을 2차원으로 한정하며 시대의 흐름에 역행하고 있다는 지적입니다. 21세기는 단순한 지식 습득을 넘어 사유를 통한 통찰의 시대이며, 기하는 합리적인 결론을 도출하는 사고 과정을 훈련하는 데 최적의 과목입니다. 미래 세대가 글로벌 경쟁력을 갖추기 위해서는 수능에서 기하를 복원하고 올바른 수학 교육 환경을 조성해야 합니다.

카오스재단술술과학

수학

[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (1) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ①

우리의 일상은 수많은 알고리즘으로 둘러싸여 있습니다. 가장 대표적인 예가 내비게이션입니다. 내비게이션의 핵심은 화려한 그래픽이나 음성 안내가 아니라, 최적의 경로를 찾아내는 알고리즘에 있습니다. 알고리즘이란 특정 목표를 달성하기 위한 유한한 절차나 규칙의 모임을 의미합니다. 이는 단순히 컴퓨터 프로그램에 국한된 개념이 아니라, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하기 위해 인간이 설계한 체계적인 문제 해결 방식의 정수라고 할 수 있습니다. 경로 탐색의 효율성을 극대화한 사례로 '패스트 마칭 알고리즘'을 들 수 있습니다. 과거에는 모든 경우의 수를 일일이 계산하려 했으나, 이는 데이터가 늘어날수록 계산량이 기하급수적으로 증가하는 한계가 있었습니다. 하지만 수학자들은 이를 미분 방정식의 관점에서 접근하여 사고의 전환을 이뤄냈습니다. 속도의 역수를 시간의 흐름으로 파악하고, 마치 물결이 퍼져나가는 것처럼 최단 시간을 계산하는 방식은 복잡한 경로 문제를 획기적으로 해결했습니다. 이러한 수학적 알고리즘은 단순히 길 찾기에만 머물지 않습니다. 동일한 원리가 의료 영상에서 뇌의 구조를 분리해내는 이미지 분할 기술이나, 로봇 팔이 장애물을 피해 움직이는 6차원 궤적 계산에도 적용됩니다. 하나의 잘 설계된 알고리즘이 전혀 다른 분야의 난제들을 해결하는 열쇠가 되는 것입니다. 이는 프로그램의 외형보다 그 내면에 숨겨진 수학적 원리와 이를 새로운 문제에 적용하는 창의적 사고가 얼마나 중요한지를 잘 보여줍니다. 컴퓨터의 역사를 되짚어보면 흥미로운 사실을 발견하게 됩니다. 1960년대까지만 해도 '컴퓨터'는 기계가 아니라 복잡한 수식을 계산하는 사람의 직업을 일컫는 말이었습니다. 당시 NASA와 같은 기관에서는 수학적 재능을 가진 여성들이 직접 손으로 계산을 수행하며 우주 탐사의 초석을 다졌습니다. 오늘날 우리가 사용하는 전자계산기나 노트북이 보급되기 전부터, 인간의 지성은 이미 알고리즘적 사고를 통해 거대한 과학적 성취를 이뤄내고 있었습니다. 현대 컴퓨터의 논리적 토대를 마련한 것은 앨런 튜링의 '튜링 머신'입니다. 튜링 머신은 실제로 제작된 기계가 아니라, 수학적 증명을 위해 고안된 가상의 장치였습니다. 0과 1을 기록하고 칸을 이동하는 지극히 단순한 규칙만으로 모든 계산 가능한 문제를 풀 수 있다는 이 개념은 현대 컴퓨터 공학의 시초가 되었습니다. 수학적 상상력에서 탄생한 이 사고 실험은 불가능해 보이던 논리적 한계를 규명하고, 디지털 시대의 문을 여는 결정적인 계기가 되었습니다. 컴퓨터 공학이라는 학문이 정립되기 훨씬 전부터, 핵심적인 계산 알고리즘의 대부분은 수학자들에 의해 개발되었습니다. 20세기 과학 계산의 주요 업적들을 살펴보면, 컴퓨터가 보급되지 않았던 시절에 이미 논리적 체계가 완성된 경우가 많습니다. 이는 수학이 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 세상에 없던 새로운 체계를 설계하는 근본적인 도구이기 때문입니다. 수학적 상상력은 기술적 한계를 뛰어넘어 미래를 설계하는 원동력이 되어왔습니다. 오늘날 계산 기술은 자연과학과 공학을 넘어 사회과학 전반에 걸쳐 필수적인 역할을 수행합니다. 과거의 과학이 이론과 실험이라는 두 축으로 지탱되었다면, 이제는 '계산'이 제3의 축으로 자리 잡았습니다. 비행기 설계부터 주가 예측, 질병 진단에 이르기까지 수많은 모델링이 컴퓨터를 통해 이루어집니다. 세상을 논리적으로 이해하려는 지적 탐구는 복잡한 현실 문제를 해결 가능한 형태로 변환하는 가장 강력한 동력이 됩니다.

이준엽

카오스재단카오스강연

수학

[석학인터뷰] 이준엽_ 수학은 즐거운 것 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

물리학을 전공하던 대학 시절, 뜻이 맞는 이들과 함께 수학 동아리를 만들었던 경험은 제 인생의 중요한 전환점이 되었습니다. 당시 우리는 수학을 단순히 딱딱한 학문으로 접근하기보다 즐거움의 대상으로 바라보며 그 핵심 가치를 탐구하는 동아리를 운영했습니다. 이 과정을 통해 수학이 얼마나 매력적이고 즐거운 학문인지 깊이 깨닫게 되었고, 이는 훗날 제가 수학자로서의 길을 걷게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 대중과 수학의 거리를 좁히려는 지금의 노력 또한 그 시절 느꼈던 순수한 즐거움에서 비롯된 것입니다. 수학적 사고의 중심에는 문제를 효율적으로 해결하기 위한 정해진 절차와 규칙의 모음인 알고리즘이 자리 잡고 있습니다. 이는 프로그래밍의 기초가 되기도 하지만, 본질적으로는 복잡한 난제를 논리적으로 풀어내는 가장 기본적인 도구입니다. 저는 스스로를 정의할 때, 이러한 수학적 원리를 바탕으로 세상의 난제들에 도전하는 사람이라고 생각합니다. 특히 수치해석적 방법을 적용하면 전 세계적으로 해결하기 어려운 문제들도 실마리를 찾을 수 있으며, 이는 현대 과학 기술 발전에 있어 매우 뜻깊은 역할을 수행합니다. 수학의 힘은 상아탑 안에서만 머물지 않고 실제 산업 현장의 복잡한 문제들을 해결하는 데에도 강력한 위력을 발휘합니다. 여러 수학자가 머리를 맞대고 현장의 목소리에 귀를 기울이며 최적의 답을 찾아가는 과정은 그 자체로 커다란 보람을 안겨줍니다. 제가 연구하고 실천하는 일들이 사회에 어떤 방식으로 기여하고 있는지, 그리고 그 과정이 갖는 진정한 의미가 무엇인지 더 많은 사람과 나누고 싶습니다. 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지 알리는 일은 앞으로도 제가 계속해서 이어갈 소중한 사명입니다.

이준엽

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[석학인터뷰] 황준묵_ 나는 킬러같은 수학자다 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

기하학은 단순히 수학의 한 분야를 넘어 세상을 바라보는 하나의 관점이라고 할 수 있습니다. 대개의 수학이 세밀한 분석을 통해 나무를 보는 작업에 집중한다면, 기하학은 전체적인 구조를 파악하며 숲을 조망하는 능력을 길러줍니다. 세계수학자대회에서 기조강연을 맡는 것은 수학자로서 인생의 정점에 도달했음을 의미하는 영광스러운 일이지만, 한편으로는 그 이후의 행보에 대한 고민을 안겨주기도 합니다. 기하학적 사고는 복잡한 수식 너머에 존재하는 본질적인 형태와 흐름을 이해하게 함으로써 수학적 통찰력을 완성하는 중요한 열쇠가 됩니다. 최근 교육 현장에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대해 우려의 목소리가 높습니다. 유클리드 기하학은 학생들에게 수학적 논리가 무엇인지 가장 선명하게 보여주는 도구이기 때문입니다. 명확한 정의에서 출발하여 논리적 단계를 밟아 증명해 나가는 과정은 사고의 체계를 세우는 데 필수적입니다. 기하학을 교육과정에서 제외하는 것은 수학의 균형을 무너뜨리는 결과를 초래할 수 있습니다. 논리적 사고의 기초를 닦는 기하학의 가치를 간과한다면, 학생들이 수학의 진정한 아름다움과 엄밀함을 경험할 기회를 잃게 될지도 모릅니다. 수학자로서 가장 큰 희열을 느끼는 순간은 복잡한 논리 체계 속에서 결정적인 해답을 찾아내는 때입니다. 학문적 탐구의 끝에서 마주하는 진리는 단순한 지식의 습득을 넘어 연구자에게 깊은 전율과 형언할 수 없는 성취감을 선사합니다. 이러한 지적 쾌감은 수학이라는 거대한 세계를 지탱하는 가장 강력한 원동력이자, 기하학적 통찰이 도달할 수 있는 아름다움의 본질이라 할 수 있습니다. 각 분야의 조화로운 탐구는 결국 수학의 진정한 가치를 완성하는 길로 우리를 안내하며 학문적 성장을 이끌어냅니다.

황준묵

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[강연] 세상 속의 수數다 (5) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ⑤

최근 우리 사회에서 '수포자'의 증가는 단순한 개인의 문제를 넘어선 일종의 사회적 현상으로 자리 잡았습니다. 수학이 다루는 대상과 기호가 매우 추상적이다 보니, 이를 온전히 이해하고 체화하는 과정은 지난하고 고통스러울 수밖에 없습니다. 특히 성적이 유일한 보상으로 여겨지는 현실에서 학생들은 시간 대비 효율을 따지게 되고, 결국 수학을 포기하는 선택을 하게 됩니다. 수학자들은 이러한 상황에 대해 미안함을 느끼며, 수학을 포기한 이들이 언젠가 다시 그 즐거움을 발견하기를 바라는 따뜻한 시선을 보내고 있습니다. 수학은 흔히 '과학의 언어'라고 불립니다. 이는 단순히 계산 도구를 넘어 우리의 생각을 정교하게 전달하고 논리적 사고의 틀을 형성하는 지적인 매체이기 때문입니다. 실제로 미국의 한 대학에서는 수학을 외국어 과목으로 인정하기도 했는데, 이는 수학이 과학적 지식을 습득하기 위한 필수적인 사고의 틀을 제공한다는 점을 인정한 결과입니다. 명확한 정의와 논리적인 문법을 가진 수학은 오해의 소지 없이 현상을 기술할 수 있는 가장 강력한 도구로서 우리 인간의 의식을 확장해 주는 역할을 수행합니다. 수학의 언어적 특성은 지구를 넘어 우주로까지 확장됩니다. 1974년 발사된 '아레시보 메시지'는 외계 지적 생명체와의 소통을 위해 철저히 수학적 사고에 기초하여 설계되었습니다. 이진법을 활용해 태양계와 인간의 형상을 담은 이 메시지는 1679개의 화소로 이루어져 있는데, 이는 두 소수인 23과 73의 곱입니다. 소수는 더 이상 분해되지 않기에 메시지를 수신한 존재가 직사각형 형태의 그림을 정확히 재구성할 수 있게 돕습니다. 이처럼 수학은 우주 어디에서나 통용될 수 있는 공통의 언어로서 존재합니다. 수학의 세계에서 '무한'은 매우 중요하면서도 난해한 개념입니다. 칸토어와 같은 수학자는 무한의 층위를 연구하며 집합마다 크기가 다를 수 있음을 밝혀냈지만, 그 과정에서 겪은 학계의 비판과 논리적 한계로 인해 고통받기도 했습니다. 무한은 단순히 끝이 없음을 의미하는 것이 아니라, 연속체 가설과 같은 심오한 질문을 던지며 수학의 기초를 흔드는 철학적 영역이기도 합니다. 비수학자들에게는 신비로운 영역으로 보일 수 있으나, 수학자들에게 무한은 끊임없이 도전하고 엄밀하게 증명해 나가야 할 논리의 장입니다. 인도의 천재 수학자 라마누잔은 무한을 가장 능수능란하게 다룬 인물 중 한 명입니다. 전문적인 교육 없이 직관만으로 수많은 공식을 발견한 그는 영국의 하디 교수와 교류하며 수학적 우정을 나누었습니다. 라마누잔이 직관적으로 내놓은 결과들을 하디가 논리적으로 증명해 나가는 과정은 수학의 직관과 논리가 어떻게 상호작용하는지를 잘 보여줍니다. 그가 남긴 정수 분할 이론과 마지막 편지의 수식들은 오늘날까지도 현대 수학의 중요한 연구 과제로 남아 많은 이들에게 지적인 영감을 주고 있습니다.

강순이, 고계원

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 세상 속의 수數다 (2) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ②

일상 속에서 수학적 사고는 때로 생명을 구하는 결정적인 역할을 합니다. 응급 상황에서 의사가 환자의 심장박동 이상을 갑상샘 항진증의 결과로만 단정 지으려 할 때, 수학적 관점은 다른 가능성을 열어줍니다. 특정 질환이 심장박동 이상을 일으킬 확률이 높더라도, 전체 심장박동 이상 환자 중에서 그 질환이 차지하는 비중은 작을 수 있기 때문입니다. 이러한 집합적 사고를 통해 의사는 간 손상이라는 진짜 원인을 찾아낼 수 있었고, 이는 직관에 의존한 판단이 얼마나 위험할 수 있는지를 잘 보여주는 사례입니다. 비즈니스 현장에서도 수학은 막연한 불안감을 확신으로 바꾸어 줍니다. 고객 충성도가 경쟁사보다 낮아 시장 점유율이 결국 0으로 수렴할 것이라는 공포는 마케팅 부서를 위축시키기 쉽습니다. 하지만 행렬 계산을 통해 미래의 시장 점유율 변화를 예측해 보면, 시장은 특정 지점에서 균형을 이루며 안정화된다는 사실을 알 수 있습니다. 당장의 수치에 일희일비하기보다 수학적 모델링을 통해 장기적인 추세를 정확히 파악함으로써, 기업은 더욱 냉철하고 전략적인 대응 방안을 마련하여 위기를 극복할 수 있는 근거를 얻게 됩니다. 법정에서의 판결 역시 수학적 논리에 의해 뒤바뀌기도 합니다. 희귀한 외모 특성을 가진 커플이 범인일 확률이 매우 높다는 검사의 주장은 언뜻 설득력 있게 들리지만, 수학자는 이를 다른 각도에서 바라봅니다. 전체 인구 집단 내에서 해당 조건을 만족하는 또 다른 커플이 존재할 확률을 계산해 보면, 그것이 결코 무시할 수 없는 수준임을 증명할 수 있기 때문입니다. 1,200만 분의 1이라는 낮은 확률 뒤에 숨겨진 20%의 가능성은 무고한 사람을 구제하는 강력한 근거가 되며, 이는 사법 정의 실현에 있어 수학이 가지는 가치를 증명합니다. 수학의 심오함은 의외로 단순한 원리에 뿌리를 두고 있습니다. 무한 집합의 크기를 비교하는 난해한 문제도 '일대일 대응'이라는 직관적인 개념으로 해결할 수 있습니다. 극장에서 관객 수와 의자 수를 일일이 세지 않고도 사람들이 모두 앉아 있는지를 확인하여 크기를 비교하듯, 수학자들은 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 봅니다. 이를 통해 정수 집합과 그 부분집합인 짝수 집합의 크기가 같다는 놀라운 결론에 도달하며, 복잡한 문제를 쉬운 모델로 치환하여 생각하는 수학적 사고의 정수를 보여줍니다. 미적분학의 핵심인 적분 또한 우리 삶의 움직임을 설명하는 유용한 도구입니다. 불규칙하게 변하는 속도로 달리는 자동차의 이동 거리를 계산해야 할 때, 적분은 울퉁불퉁한 곡선 아래의 면적을 구하는 방식으로 답을 제시합니다. 변화무쌍한 현상을 아주 미세한 단위로 쪼개어 다시 합치는 이 과정은 복잡한 현실을 정교하게 분석할 수 있게 해줍니다. 결국 수학은 추상적인 기호의 나열이 아니라, 세상을 더 정확하게 이해하고 문제를 합리적으로 해결하기 위해 반드시 필요한 사고의 틀이라고 할 수 있습니다.

고계원

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 2014 카오스 콘서트 수학의 본질 - '수' (6) | 5강

우리나라 교육 현장에서 만나는 학생들은 개개인의 역량이 매우 뛰어납니다. 특히 수학적 재능이 돋보이는 여학생들이 많으며, 이들의 잠재력은 세계적인 수준과 비교해도 결코 뒤처지지 않습니다. 흔히 스스로를 '수포자'라고 생각하는 학생들조차 실제로는 미국의 우수한 학생들과 견주어도 손색없는 실력을 갖춘 경우가 많습니다. 이는 우리가 가진 수학적 자산이 생각보다 훨씬 풍부하다는 점을 시사하며, 개별 학생들의 재능을 발견하고 키워주는 세밀한 시각이 필요함을 일깨워줍니다. 수학을 잘한다는 것의 본질적인 정의에 대해 깊이 고민해 볼 필요가 있습니다. 단순히 문제를 빠르게 푸는 기술을 넘어, 수학적 사고가 인간의 전반적인 사고 능력에 어떤 동력을 제공하는지가 중요합니다. 수학은 세상을 바라보는 시각을 변화시키며, 복잡한 인생의 문제들을 조합하고 해결하는 논리적 틀을 제공합니다. 이러한 사고의 훈련은 단순히 학문적 성취에 머무는 것이 아니라, 한 개인의 지적 성장을 이끄는 핵심적인 역할을 수행하게 됩니다. 수학적 창의성은 보이지 않는 세계를 탐구하는 과정에서 나타납니다. 예를 들어 선을 절단했을 때 나타나는 셀 수 없는 수의 개념이나 공간의 뺄셈과 같은 질문들은 우리의 상상력을 자극합니다. 이러한 추상적인 사고는 익숙한 사물을 새로운 관점에서 바라보게 하며, 논리적 근거를 바탕으로 독창적인 결론에 도달하게 합니다. 수학을 좋아하고 깊이 파고드는 과정 자체가 곧 창의적인 인간으로 성장하는 밑거름이 되는 것입니다. 수학은 사회 시스템을 이해하고 설계하는 데에도 결정적인 역할을 합니다. 투표의 수학에서 다루는 '불가능성 정리'는 완벽한 민주적 의사결정 체계를 구축하는 것이 얼마나 복잡한 문제인지를 수학적으로 증명합니다. 이는 수학이 단순히 숫자 놀이가 아니라 사회적 공정성과 효율성을 탐구하는 도구임을 보여줍니다. 우리가 일상에서 마주하는 다양한 선택과 결정의 이면에는 이처럼 정교한 수학적 원리가 숨어 있으며, 이를 이해하는 것은 더 나은 사회를 만드는 기초가 됩니다. 수의 본질을 탐구하는 여정은 마치 어둠 속에서 새로운 세계를 경험하는 것과 같습니다. 수학은 정답을 찾는 과정이기도 하지만, 끊임없이 질문을 던지고 사고를 확장하는 과정 그 자체에 더 큰 가치가 있습니다. 강연과 대화를 통해 수학의 깊이를 체험하는 시간은 우리에게 지적 즐거움을 선사합니다. 일상 속에서도 수학적 사고를 멈추지 않고 세상의 본질에 대해 고민하는 태도를 가질 때, 우리는 비로소 수학이 주는 진정한 가치를 깨달을 수 있을 것입니다.

김민형

카오스재단카오스콘서트

수학

[강연] 미래의 수학자 (4) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ④

현대 수학에서 증명의 영역은 더 이상 인간의 전유물이 아닙니다. 1980년대 이후 수치해석과 논리 체계가 결합하면서 'Coq'와 같은 소프트웨어가 등장했고, 이는 수학자들이 이론적으로 수행할 수 있는 모든 증명을 컴퓨터가 도울 수 있는 길을 열었습니다. 과거에는 수백 페이지의 논문과 방대한 프로그램을 별개로 취급했지만, 이제는 이를 동시에 처리하며 복잡한 난제를 해결하는 시대가 되었습니다. 비록 지식의 한계는 존재할지라도, 컴퓨터를 활용한 전수 조사는 수학적 탐구의 지평을 넓히는 강력한 도구가 되고 있습니다. 하지만 컴퓨터가 수행하는 증명을 완벽하게 신뢰할 수 있는지에 대해서는 신중한 접근이 필요합니다. 논리학자 괴델이 증명한 '불완전성 정리'에 따르면, 어떤 공리 체계 내에서도 참과 거짓을 판별할 수 없는 명제가 반드시 존재하기 때문입니다. 이는 아무리 정교한 프로그램을 설계하더라도 그 무오류성을 완벽하게 입증하는 프로그램을 찾는 것이 논리적으로 매우 어렵다는 점을 시사합니다. 결국 수학적 진리는 완벽한 시스템 구축보다는 끊임없는 검증과 보완의 과정 속에 존재한다고 볼 수 있습니다. 현실적인 관점에서 컴퓨터의 오류 가능성은 인간에 비해 현저히 낮습니다. 인간의 실수는 빈번하게 발생하지만, 컴퓨터가 내는 오류의 범위는 1조 분의 1 정도로 극히 미미합니다. 물론 우주 방사선이 메모리에 영향을 주어 비트가 바뀌는 하드웨어적 결함이나 소프트웨어 자체의 버그가 발생할 가능성은 여전히 남아 있습니다. 그럼에도 불구하고 현대 수학자들은 이러한 미세한 확률을 줄이기 위해 오류 정정 기술을 개발하고 있으며, 이는 인간의 직관이 놓치기 쉬운 정밀한 계산을 보완하는 핵심적인 역할을 수행합니다. 수학 연구를 흔히 천재들만의 전유물로 오해하곤 하지만, 실제로는 끈기 있는 노력과 협업이 무엇보다 중요합니다. 수십 페이지에 달하는 논문을 작성하며 수년간 오류를 수정하고 논리를 다듬는 과정은 인간의 인내심을 시험하는 작업입니다. 또한 현대 수학은 혼자만의 사색을 넘어 동료들과의 소통을 통해 완성됩니다. 서로 다른 언어와 사고방식을 가진 연구자들이 협력하며 문제를 해결해 나가는 과정은, 수학이 단순한 계산을 넘어 인간적인 교류와 열정이 집약된 학문임을 잘 보여줍니다. 수학자들이 추구하는 '아름다운 증명'이란 단순히 답을 찾는 것을 넘어 간결하고 효율적인 논리적 경로를 제시하는 것입니다. 여러 갈래의 길 중에서 가장 명쾌한 지름길을 찾아내고, 기하학적 문제를 대수적으로 풀어내는 것처럼 서로 다른 분야를 연결할 때 그 가치는 더욱 높게 평가됩니다. 또한 순수 수학적 호기심에서 시작된 연구가 공학적 난제를 해결하거나 실생활의 기술로 응용될 때 수학의 진정한 위력이 발휘됩니다. 즉, 좋은 증명이란 보편성과 확장성을 동시에 갖춘 논리의 예술이라 할 수 있습니다. 인공지능의 발전은 수학적 창의성에 대한 새로운 질문을 던집니다. 알파고와 같은 시스템이 놀라운 결과를 보여주지만, 이를 진정한 의미의 창의성으로 볼 수 있는지에 대해서는 의견이 갈립니다. 현재의 컴퓨터는 튜링 기계의 한계 내에서 작동하며, 스스로 이론을 정립하거나 자신의 한계를 인식하여 업그레이드하는 인간 특유의 창조적 능력을 완전히 대체하지는 못하고 있습니다. 결국 컴퓨터가 잘할 수 있는 영역과 인간만이 수행할 수 있는 창의적 모방의 영역을 구분하고 이해하는 것이 미래 수학의 중요한 과제가 될 것입니다. 마지막으로 우리 사회의 수학 교육은 결과 중심의 경쟁에서 벗어나 원리와 즐거움을 찾는 방향으로 나아가야 합니다. 많은 학생이 수학을 '스피드 퀴즈'처럼 여기며 공식 암기에 매달리지만, 진정한 수학적 사고는 문제를 천천히 씹어보고 자신의 생각을 타인에게 설명하는 과정에서 길러집니다. 정답을 맞히는 속도보다 중요한 것은 논리적 전개 과정을 스스로 깨닫는 경험입니다. 수학이 실생활의 다양한 기술을 지탱하는 기초임을 이해하고, 배운 것을 나누며 함께 성장하는 문화를 만들 때 수포자가 없는 즐거운 학습이 가능해질 것입니다.

엄상일, 이계식, 이준엽

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수학

[강연] 미래의 수학자 (3) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ③

수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어 우리 삶의 복잡한 문제를 해결하는 강력한 도구입니다. 수치해석학은 컴퓨터를 활용해 비행기 설계와 같은 방대한 계산이 필요한 실생활의 문제를 빠르고 효율적으로 풀어내는 방법을 연구합니다. 과거에는 사람이 일일이 손으로 해결하기 어려웠던 문제들이 이제는 컴퓨터라는 도구를 통해 정교하게 다듬어지고 있습니다. 이러한 흐름은 수학이 상아탑 속에만 머무는 것이 아니라, 기술의 발전과 발맞추어 끊임없이 진화하고 있음을 보여줍니다. 인공지능 시대의 도래는 수학의 영역을 더욱 넓히고 있습니다. 과거 이집트의 측량 기술이 기하학으로 발전하고, 과학 혁명기에 천체의 움직임을 설명하기 위해 미적분학이 탄생했듯이, 현대의 정보 혁명은 새로운 수학적 추상화를 요구합니다. 우리가 마주한 0과 1의 디지털 정보들을 어떻게 더 깊이 있게 이해하고 다룰 것인가는 미래 수학의 핵심 과제입니다. 수학은 시대의 요구에 따라 새로운 지평을 열어왔으며, 지금 이 순간에도 우리가 경험하지 못한 새로운 세계를 탐험하고 있습니다. 컴퓨터와 인공지능의 발전은 수학자의 역할을 축소하는 것이 아니라 오히려 확장시키고 있습니다. 머신러닝이나 딥러닝 같은 기술은 수학적 문제를 해결하는 새로운 방식을 제시하며, 수치해석학이나 이산수학 분야에서 이전에는 상상하지 못했던 질문들을 던지게 합니다. 도구가 정교해질수록 우리가 다룰 수 있는 문제의 범위는 자동차에서 비행기, 우주선으로 넓어지듯 무한히 확장됩니다. 결국 기술의 발전은 수학자들에게 더 본질적이고 창의적인 문제를 고민할 수 있는 기회를 제공하는 셈입니다. 최근 강조되는 코딩 교육 역시 수학적 사고와 깊은 연관이 있습니다. 프로그래밍 언어는 컴퓨터와 소통하기 위한 일종의 외국어와 같으며, 그 기저에는 엄밀한 논리가 자리 잡고 있습니다. 코딩을 통해 자신의 생각을 논리적으로 전개하는 과정은 수학적 증명을 주고받는 과정과 본질적으로 다르지 않습니다. 단순히 기술적인 숙련도를 높이는 것을 넘어, 컴퓨터에게 자신의 논리를 설명할 수 있는 본질적인 사고력을 기르는 것이 중요합니다. 이러한 논리적 훈련은 수학적 실력을 향상시키는 밑거름이 됩니다. 수학자의 연구는 단순히 방 안에서 혼자 증명에 몰두하는 것에 그치지 않습니다. 좋은 문제를 찾아내기 위해 동료들과 끊임없이 대화하고 토론하며, 새로운 영감을 얻기 위해 노력합니다. 의미 있는 문제를 정의하고 이를 다른 이들과 공유하며 공감을 얻는 과정은 수학 연구에서 매우 중요한 부분을 차지합니다. 현대 수학은 개인의 천재성을 넘어 공동 연구와 협력을 통해 더욱 풍성해지고 있으며, 이러한 소통의 문화가 수학을 더욱 역동적인 학문으로 만들어가고 있습니다.

엄상일, 이계식, 이준엽

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[석학인터뷰] 고계원 ─ KAOS 과학위원(고등과학원 수학과 연구교수) 인터뷰 영상

어린 시절부터 수학은 삶의 자연스러운 일부분이었습니다. 고등학교 물리 교사였던 아버지와 수학을 전공한 언니의 영향으로 자연과학의 세계는 낯설지 않은 환경이었습니다. 당시에는 다른 학문에 대해 깊이 알 기회가 적어 선택한 길이었지만, 돌이켜보면 수학을 전공으로 삼은 것은 인생에서 가장 탁월한 선택 중 하나였습니다. 주변 환경이 주는 익숙함 속에서 시작된 학문적 여정은 시간이 흐를수록 더 깊은 확신으로 다가왔으며, 이는 평생을 바칠 연구의 든든한 토대가 되었습니다. 학문의 길을 걷는 과정에서 여성 수학자로서 마주하는 현실적인 어려움은 결코 적지 않았습니다. 우리 사회와 문화 전반에 깊이 뿌리박힌 무의식적인 차별은 의도하지 않았더라도 소수에게 큰 장벽이 되곤 합니다. 다수가 스스로의 편견을 자각하고 이해하는 것은 매우 어려운 일이며, 이를 해결하기 위해서는 문제를 공론화하고 끊임없이 의식적인 노력을 기울여야 합니다. 남성 중심의 학계에서 여성이 겪는 보이지 않는 차별을 직시하고, 서로를 배려하며 조심스럽게 행동하는 문화가 정착될 때 비로소 진정한 학문적 평등이 실현될 수 있습니다. 수학이 지닌 독특한 매력은 복잡한 현상을 고도로 농축하여 단순하게 표현하는 데 있습니다. 이는 시가 지닌 예술적 속성과도 맞닿아 있는데, 두 분야 모두 본질을 꿰뚫는 압축미를 공유하기 때문입니다. 아주 복잡해 보이는 현상을 간단하게 표현하는 과정은 깊은 이해를 필요로 하며, 이러한 고농축의 과정을 거쳐 세상을 더 명확하게 이해하려는 노력은 수학만이 줄 수 있는 지적인 즐거움입니다. 깊이 생각하고 가능하면 쉽게 보려고 노력하는 그 과정 자체가 학문으로서의 거부할 수 없는 매력으로 다가옵니다. 기초 과학의 대중화를 위해 노력하는 카오스재단의 활동은 한국 사회의 지적 수준을 높이는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 새로운 시작도 의미가 크지만, 무엇보다 중요한 것은 이러한 노력이 50년, 100년 이상 지속될 수 있는 생명력을 갖추는 일입니다. 많은 공익적 활동이 단기적인 성과에 그치는 경우가 많지만, 과학적 사고를 전파하는 일만큼은 꾸준한 지속성이 담보되어야 합니다. 이러한 지속적인 노력을 통해 우리 사회 구성원들이 보다 논리적이고 합리적인 사고방식을 갖추게 된다면, 그것이야말로 학문이 사회에 기여할 수 있는 최고의 가치가 될 것입니다. 학문적 영감을 주는 도서들은 지치기 쉬운 연구의 길에서 훌륭한 이정표가 되어줍니다. 히로나카 헤이스케의 '학문의 즐거움'은 고등학교 시절부터 깊은 감명을 주었던 책으로, 학문을 대하는 태도와 그 과정에서 얻는 기쁨을 농축된 언어로 전달합니다. 또한 경제학자의 시선으로 사회 현상을 통찰하는 자크 아탈리의 '미래를 위하여'와 같은 책들은 수학적 사고를 넘어 세상을 바라보는 시야를 넓혀줍니다. 이처럼 좋은 책들과 함께하는 깊은 사유의 시간은 우리가 더 나은 미래를 설계하고 합리적인 사회를 만들어가는 데 큰 힘이 됩니다.

고계원

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