사물을 구부리거나 늘리는 물리적인 변화 속에서도 결코 변하지 않는 기하학적 속성을 연구하는 분야가 바로 위상수학입니다. 우리는 직관적으로 어떤 물체를 변형해도 그 본질이 유지된다고 느끼지만, 이를 수학적으로 엄밀하게 증명하기 위해서는 '기본군'이라는 도구가 필요합니다. 이를 이해하기 위한 핵심은 공간 내에서 특정 경로를 설정하여 그 변화 양상을 관찰하는 것입니다. 이러한 경로의 특성에 따라 공간이 가진 고유한 구조적 특징이 명확하게 드러나게 되며, 이는 공간의 구멍 유무를 판단하는 중요한 기준이 됩니다.

수학에서 루프란 특정 지점에서 출발하여 다시 제자리로 돌아오는 경로를 의미하며, 이는 공간의 성질을 파악하는 핵심 도구가 됩니다.

속이 꽉 찬 원판과 가운데 구멍이 뚫린 원판은 위상적으로 완전히 다른 성질을 가진 존재입니다. 속이 찬 원판의 경우, 그 안에서 어떤 형태의 루프를 그리더라도 이를 조금씩 툭툭 쳐서 변형하면 결국 하나의 점으로 수렴시키거나 다른 루프로 자유롭게 바꿀 수 있습니다. 즉, 이 공간에 존재하는 루프의 종류는 본질적으로 단 한 가지뿐이며, 수학적으로는 이를 원소가 하나뿐인 가장 단순한 형태인 '자명군'으로 표현합니다. 이는 공간 내에 아무런 장애물이 없어 모든 경로가 매끄럽게 하나로 통합될 수 있음을 시사합니다.

반면 구멍이 뚫린 원판에서는 루프가 구멍을 몇 번 감싸느냐에 따라 서로 절대로 섞일 수 없는 독립적인 성질을 갖게 됩니다. 가운데 뚫린 구멍이라는 장애물 때문에 특정 횟수만큼 회전한 경로를 아무리 당기고 펴도 다른 회전수를 가진 경로로 변환할 수 없으며, 이는 방향에 따라 양과 음의 체계를 형성합니다. 이러한 루프들의 집합은 정수 집합과 완벽하게 대응되며, 두 루프를 연속적으로 연결하는 과정은 수학적인 더하기 연산과 같은 군의 구조를 형성합니다. 이처럼 루프의 불변성을 통해 공간의 정체성을 밝히는 것이 기본군의 핵심입니다.