수학자 윌리엄 서스턴은 3차원 공간의 구조를 이해하는 획기적인 관점을 제시했습니다. 그는 '기하화 추측'의 핵심인 8가지 기하학적 구조가 존재하며, 임의의 모든 3차원 공간을 적절히 분해하면 각각의 조각이 이 8가지 중 하나에 해당한다고 주장했습니다. 이는 마치 복잡한 레고 성을 분해했을 때 결국 몇 종류의 기본 블록으로 나뉘는 것과 유사합니다. 서스턴은 이 연구를 통해 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상을 수상하며 3차원 위상수학의 새로운 지평을 열었습니다.

빨간 로켓이 앞면을 탈출하는 순간 뒷면으로 들어오고, 노란 비행기가 아랫면으로 나가는 순간 윗면에서 다시 나타나는 공간을 상상해 보십시오.

이러한 8가지 기하학적 구조 중 대표적인 예시로 '3차원 토러스'라는 공간을 들 수 있습니다. 이는 우리가 흔히 아는 2차원 도넛 모양의 토러스를 3차원으로 확장한 개념입니다. 속이 꽉 찬 정육면체 주사위의 마주 보는 면들이 서로 연결되어 있다고 가정해 봅시다. 만약 어떤 물체가 오른쪽 면을 통과해 밖으로 나간다면, 그 물체는 별도의 이동 과정 없이 즉시 왼쪽 면을 통해 다시 내부로 진입하게 됩니다. 이러한 구조는 경계가 없으면서도 유한한 부피를 가진 독특한 공간의 성질을 잘 보여줍니다.

이러한 공간에 거주하는 존재가 보는 풍경은 매우 독특합니다. 자신의 앞뒤, 좌우, 위아래로 자신의 모습이 끝없이 반복되는 3차원 격자 형태의 풍경을 목격하게 될 것입니다. 수학적으로 '군'이라는 개념은 이러한 풍경의 대칭성을 설명하는 도구가 됩니다. 기본군은 그 공간에 살고 있는 존재가 느끼는 풍경의 대칭성을 정의하며, 서스턴의 기하학적 통찰은 푸앵카레 추측을 증명하는 데 결정적인 연결 고리를 제공했습니다. 공간의 기하학적 구조와 위상적 성질이 대칭성을 통해 하나로 묶인 셈입니다.