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[강연] 다시 돌아본 2024년 "세상에 나쁜 수학은 없다" 2 | 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 9강 두 번째 이야기 | 9강 ②

열 방정식은 열이라는 물리적 대상이 시간에 따라 공간 속에서 어떻게 확산되는지를 정교하게 묘사하는 도구입니다. 초승달 모양의 열판에 열이 가해졌을 때 시간이 흐르며 열이 고르게 퍼져나가는 현상을 수식으로 나타낸 것이죠. 이 방정식의 핵심은 온도의 시간적 변화율이 공간에 대한 이계도함수와 연결된다는 점에 있습니다. 이는 단순히 열의 이동을 설명하는 것을 넘어 입자의 운동이나 현대 인공지능의 확산 모델에까지 응용되는 기초 원리가 됩니다. 확산 현상을 바라보는 관점은 거시적일 수도, 미시적일 수도 있습니다. 미시적 관점에서는 입자가 무작위로 움직이는 '무작위 행보'나 '브라운 운동'으로 설명됩니다. 동전을 던져 앞면이 나오면 왼쪽, 뒷면이 나오면 오른쪽으로 가는 무작위 행보의 확률을 미분의 정의와 테일러 전개를 통해 계산하면 놀랍게도 거시적인 열 방정식이 유도됩니다. 이는 개별 입자의 불확실한 움직임이 모여 전체적인 확산이라는 규칙적인 흐름을 만들어냄을 보여주는 수학적 증거입니다. 최근 주목받는 인공지능의 확산 모델 역시 열 방정식의 원리를 활용합니다. 이미지에 무작위 노이즈를 추가하는 과정은 열이 퍼지는 순방향 확산 과정과 닮아 있으며, 이를 역방향 확산 과정으로 추적해 노이즈를 제거하면 새로운 이미지가 생성됩니다. 이러한 복잡한 수학적 원리를 시각적으로 이해하기 위해 '이매지너리'와 같은 플랫폼이 활용되기도 합니다. 수식 속에 숨겨진 정보의 흐름을 눈으로 확인하며 화산재의 확산이나 바람의 방향 같은 실제 자연 현상을 시뮬레이션할 수 있습니다. 정보의 시대를 지탱하는 또 다른 강력한 도구는 특이값 분해(SVD)입니다. 행렬은 하나의 벡터를 다른 벡터로 변환하는 연산자 역할을 하는데, 특이값 분해(SVD)는 이 복잡한 변환을 회전과 늘림, 그리고 다시 회전이라는 세 가지 단계로 쪼개어 분석합니다. 임의의 행렬을 세 개의 특수한 행렬 곱으로 분해함으로써 데이터가 가진 본질적인 구조를 파악할 수 있게 됩니다. 이는 복잡하게 얽힌 정보들 사이에서 핵심적인 기저가 무엇인지 찾아내는 과정이라 할 수 있습니다. 특이값 분해(SVD)의 가장 대표적인 응용 분야는 데이터 압축과 차원 축소입니다. 이미지의 픽셀 정보를 행렬로 나타낸 뒤 특이값 분해(SVD)를 적용하면, 중요도가 낮은 정보들을 과감히 제거하고 핵심적인 특이값들만 남겨 원래 이미지를 효율적으로 재구성할 수 있습니다. 또한 주성분 분석(PCA)을 통해 고차원의 데이터를 저차원으로 축소함으로써 복잡한 데이터 속에 내재된 패턴을 찾아냅니다. 예를 들어 여러 과목의 성적 데이터에서 학생의 문과적 혹은 이과적 성향이라는 핵심 지표를 추출하는 식입니다. 코시-슈바르츠 부등식은 벡터 공간을 이해하는 가장 기본적인 관계식입니다. 두 벡터의 내적값이 각 벡터의 길이의 곱을 절대 넘을 수 없다는 이 절대 부등식은 기하학적으로 두 벡터 사이의 각도와 투영의 개념을 담고 있습니다. 내적을 통해 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지, 혹은 서로 독립적인지를 수치화할 수 있습니다. 이는 단순히 수학적 정리를 넘어 데이터 사이의 유사도를 측정하는 핵심적인 척도가 되어 현대 과학의 다양한 분야에서 활용됩니다. 이러한 내적의 개념과 코시-슈바르츠 부등식은 오늘날 OTT 서비스의 영화 추천 알고리즘이나 챗GPT 같은 자연어 처리 모델의 근간이 됩니다. 사용자의 선호도 벡터와 콘텐츠 벡터 사이의 상관관계를 분석하여 최적의 결과를 도출해내는 것이죠. 열 방정식부터 특이값 분해(SVD), 그리고 코시-슈바르츠 부등식에 이르기까지, 이들은 서로 다른 형태를 띠고 있지만 복잡한 세상을 단순화하고 그 속에 숨겨진 근본적인 질서를 찾아낸다는 공통점을 가집니다. 수학은 이처럼 보이지 않는 곳에서 세상을 움직이고 있습니다.

박형주

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 조화해석학, 음의 세계를 해부하다 2_by 오창근 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 3강 두 번째 이야기 | 3강 ②

조화해석학의 핵심은 복잡해 보이는 모든 함수가 단순한 삼각함수들의 결합으로 이루어져 있다는 통찰에서 시작됩니다. 이는 정수론에서 모든 자연수가 소수들의 곱으로 분해되는 원리와 매우 유사합니다. 예를 들어 숫자 6이 2와 3의 곱으로 표현되듯, 우리가 마주하는 복잡한 파동이나 데이터 역시 기본적인 원자인 사인과 코사인 함수의 합으로 쪼개어 이해할 수 있습니다. 이러한 관점은 수학적 대상을 개별적인 단위로 분석하고 재구성할 수 있게 해주는 강력한 도구가 됩니다. 푸리에 급수는 이러한 철학을 수식으로 구현한 것입니다. 급수란 수열을 무한히 더해가는 과정을 의미하며, 푸리에 급수는 특정 함수를 나타내기 위해 다양한 주파수를 가진 삼각함수들을 차례로 쌓아 올립니다. 이때 각 삼각함수 앞에 붙는 계수들은 해당 성분이 전체 함수에서 차지하는 비중을 결정합니다. 기하학적으로 이 계수들은 함수 그래프와 축 사이의 면적을 계산하는 적분 과정을 통해 얻어지며, 이는 복잡한 전체 형상에서 특정 주파수의 에너지가 얼마나 포함되어 있는지를 정밀하게 측정하는 작업과 같습니다. 푸리에의 가설은 당시로서는 매우 파격적이었습니다. 어떤 형태의 함수라도 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다는 그의 주장은 이후 100년이 넘는 시간 동안 수학자들의 도전 과제가 되었습니다. 결국 20세기 중반 카를레손에 의해 이 가설은 '거의 모든 곳'에서 성립한다는 사실이 증명되었습니다. 비록 극히 예외적인 경우를 제외하더라도, 우리가 일상에서 접하는 대부분의 연속적인 신호와 현상들이 푸리에의 원리 안에서 완벽하게 설명될 수 있다는 점은 현대 과학기술의 든든한 기초가 되었습니다. 이 이론은 현대의 디지털 생활에 깊숙이 침투해 있습니다. 대표적인 사례가 음성 파일의 압축과 노이즈 캔슬링 기술입니다. 인간의 귀가 듣지 못하는 고주파 성분을 푸리에 해석으로 찾아내어 제거함으로써 음질의 저하 없이 파일 용량을 획기적으로 줄일 수 있습니다. 또한 외부 소음의 파형을 분석하고 그와 반대되는 위상의 파동을 만들어 상쇄시키는 방식 역시 함수를 개별 주파수 성분으로 분해할 수 있다는 푸리에의 아이디어가 있었기에 가능했습니다. 수학적 추상이 실질적인 편의로 전환된 것입니다. 함수와 방정식의 관계를 이해하는 것 또한 중요합니다. 함수가 입력과 출력 사이의 유기적인 관계를 나타내는 자판기와 같다면, 방정식은 그 함수가 반드시 만족해야 하는 특정한 제약 조건이나 문제라고 할 수 있습니다. 푸리에는 열이 시간에 따라 어떻게 확산되는지를 설명하는 열방정식을 풀기 위해 고심했습니다. 복잡한 미분 방정식의 형태를 띤 이 문제를 해결하기 위해 그는 함수를 삼각함수의 합으로 분해하는 방식을 택했고, 이는 난해한 조건을 단순한 계산의 영역으로 끌어내리는 결정적인 계기가 되었습니다. 열방정식의 해결 과정은 조화해석학의 위력을 잘 보여줍니다. 온도 함수를 사인과 코사인의 무한 합으로 치환하면, 복잡한 미분 연산이 각 성분별 비교 작업으로 단순화됩니다. 이를 통해 특정 시간이 흐른 뒤의 온도 분포를 정확하게 예측할 수 있게 됩니다. 풀기 불가능해 보였던 물리적 현상을 우리가 잘 알고 있는 삼각함수들의 성질을 이용해 정복한 것입니다. 이러한 접근법은 오늘날 전자공학이나 물리학에서 복잡한 시스템의 변화를 예측하고 제어하는 데 필수적인 방법론으로 자리 잡았습니다. 마지막으로 푸리에 변환은 시간의 영역에서 관찰되던 신호를 주파수의 영역으로 옮겨놓는 마법을 부립니다. 이는 단순히 함수를 표현하는 방식을 바꾸는 것을 넘어, 현상을 바라보는 차원 자체를 이동시키는 작업입니다. 시간의 흐름에 따라 변하는 복잡한 파동을 주파수 공간에서의 단순한 점이나 선으로 변환함으로써, 우리는 데이터의 본질적인 특징을 더욱 명확하게 파악할 수 있습니다. 결국 푸리에 해석은 세상을 구성하는 보이지 않는 리듬을 읽어내고, 이를 수학이라는 언어로 재해석하여 인류의 지평을 넓힌 위대한 유산입니다.

오창근

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 조화해석학, 음의 세계를 해부하다 1_by 오창근 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 3강 첫 번째 이야기

조화해석학은 세상의 모든 함수가 삼각함수라는 기본 단위로 구성되어 있다는 가설에서 출발합니다. 고대 그리스의 데모크리토스가 모든 물질이 쪼개지지 않는 원자로 이루어져 있다고 주장했듯, 수학자들은 복잡한 함수를 원자 역할을 하는 사인 함수와 코사인 함수의 결합으로 바라봅니다. 이러한 관점은 단순히 수학적 이론에 그치지 않고, 복잡하게 얽힌 자연 현상을 가장 단순하고 본질적인 요소들의 합으로 분해하여 이해하려는 시도라고 할 수 있습니다. 이 학문은 실생활의 다양한 분야에서 강력한 도구로 활용됩니다. 악기의 소리를 분석하여 전자 악기를 구현하거나, 지진파를 분해하여 지진의 발생 원인을 파악하는 데 쓰입니다. 의료 분야의 CT 촬영 역시 여러 방향에서 얻은 정보를 조화해석학적으로 합성하여 신체 내부를 시각화하는 기술입니다. 심지어 주식 시장의 복잡한 가격 변동에서 불필요한 잡음을 제거하고 본질적인 흐름을 파악하여 미래의 트렌드를 예측하는 데도 이 이론이 핵심적인 역할을 수행합니다. 함수라는 개념은 추상적이지만 우리 주변 어디에나 존재합니다. 자판기에서 특정 버튼을 누르면 정해진 음료가 나오는 관계나, 리모컨 버튼에 따라 에어컨 온도가 조절되는 과정이 모두 함수의 예시입니다. 수학적으로는 입력값이 존재하는 영역인 정의역과 출력값이 위치하는 공역 사이의 대응 관계를 의미합니다. 이러한 관계를 그래프로 시각화하면 복잡한 수식 이면에 숨겨진 변화의 양상을 한눈에 파악할 수 있으며, 이는 추상적인 수학을 시각적인 정보로 변환하는 과정입니다. 조화해석학의 핵심 도구인 삼각함수는 직각삼각형의 변의 비율에서 시작하여 파동의 형태로 확장됩니다. 사인 함수와 코사인 함수는 일정한 주기를 가지고 반복되는 물결 모양의 그래프를 그리며, 진폭과 주파수라는 요소를 통해 파동의 크기와 빠르기를 결정합니다. 용수철의 움직임이나 밧줄의 떨림처럼 자연계에서 흔히 볼 수 있는 주기적인 현상들은 이러한 삼각함수의 조합을 통해 정밀하게 묘사될 수 있으며, 이는 소리와 빛 같은 파동 에너지를 이해하는 기초가 됩니다. 삼각함수의 역사는 2,000년 전 알렉산드리아 시대의 히파르코스로 거슬러 올라갑니다. 그는 삼각법을 이용해 지구에서 달까지의 거리를 최초로 계산해냈으며, 이는 인류가 우주를 측정하는 중요한 첫걸음이 되었습니다. 이후 대항해 시대에는 망망대해에서 자신의 위치를 파악하는 항해술의 핵심이 되었고, 오늘날 우리가 사용하는 GPS 기술의 원조 격인 역할을 수행했습니다. 이처럼 삼각함수는 인류가 미지의 세계를 탐험하고 공간을 정복하는 데 결정적인 기여를 해왔습니다. 소리의 세계에서도 삼각함수의 원리는 흥미로운 현상을 만들어냅니다. 주파수가 미세하게 다른 두 음이 만날 때 소리가 커졌다 작아졌다 반복하는 맥놀이 현상이 대표적입니다. 또한 외부의 주기적인 힘이 물체의 고유 주파수와 일치할 때 진폭이 급격히 커지는 공진 현상은 거대한 다리를 붕괴시킬 만큼 강력한 에너지를 발휘하기도 합니다. 이러한 현상들은 모두 여러 파동이 수학적으로 결합하고 간섭하는 과정에서 발생하는 결과물이며, 조화해석학은 이를 분석하는 열쇠가 됩니다. 근대 조화해석학의 기틀을 마련한 인물은 프랑스의 수학자 푸리에입니다. 그는 이집트 원정 중 사막의 극심한 일교차를 경험하며 열이 이동하는 원리에 주목했고, 이를 설명하기 위해 열 방정식을 연구했습니다. 푸리에는 모든 함수를 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다는 대담한 가설을 세워 복잡한 물리 문제를 해결했습니다. 그의 발견은 오늘날 디지털 신호 처리와 데이터 압축 등 현대 과학 기술의 근간을 이루는 위대한 유산이 되어 우리 삶의 모든 곳에 스며들어 있습니다.

카오스재단카오스강연

조화해석학, 음의 세계를 해부하다 | 3강 ①

조화해석학은 세상에 존재하는 모든 함수를 삼각함수, 즉 사인과 코사인 함수의 결합으로 표현할 수 있다는 가설에서 출발합니다. 이 학문은 고대 그리스 철학자 데모크리토스가 모든 물질이 원자로 이루어져 있다고 주장한 것처럼, 함수의 세계에서도 삼각함수가 일종의 '원자' 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 이러한 조화해석학의 기본 아이디어는 수학뿐 아니라 공학, 음악, 의료, 금융 등 다양한 분야에 응용되고 있습니다. 예를 들어, 피타고라스는 현악기의 진동을 통해 협화음의 원리를 밝혔고, 오늘날 전자악기는 단순음들의 결합 원리를 완전히 이해함으로써 개발될 수 있었습니다. 조화해석학의 응용은 음악을 넘어 지진파 분석, 의료 영상, 인공지능, 주식 시장 분석 등 실생활의 다양한 영역에서 발견됩니다. 예를 들어, 지진파를 사인 함수로 분해하면 지진의 발생 위치와 방식을 파악할 수 있고, CT 촬영에서는 여러 방향에서 얻은 정보를 조화해석학적으로 분해·합성하여 인체의 단면을 재구성합니다. 주식 시장의 가격 변동 역시 시간의 함수로 볼 수 있으며, 이를 사인 함수의 합으로 분해하면 시장의 본질적인 트렌드를 파악하는 데 도움이 됩니다. 이처럼 조화해석학은 복잡한 신호나 데이터를 단순한 구성 요소로 분해해 본질을 드러내는 강력한 도구입니다. 수학적으로는 입력값의 집합을 정의역, 출력값의 집합을 공역이라고 부르며, 함수는 이 두 집합 사이의 관계로 설명됩니다. 함수의 개념을 그래프로 시각화하면, 추상적인 수학적 관계를 보다 직관적으로 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 섭씨 온도를 화씨로 변환하는 공식 역시 함수의 한 예로, 이를 그래프로 나타내면 두 변수 사이의 선형 관계를 쉽게 파악할 수 있습니다. 삼각함수는 직각삼각형의 변의 길이와 각도의 관계에서 출발한 함수로, 사인과 코사인 함수가 대표적입니다. 이 함수들은 파동이나 진동 현상을 수학적으로 표현하는 데 매우 유용하며, 실제로 밧줄의 진동이나 용수철의 움직임 등 일상에서 쉽게 관찰할 수 있습니다. 삼각함수의 역사적 기원은 고대 알렉산드리아의 히파르코스까지 거슬러 올라가며, 대항해시대에는 항해술의 필수 도구로 활용되었습니다. 삼각함수의 이러한 특성은 조화해석학에서 복잡한 신호를 단순한 파동의 합으로 분해하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 삼각함수의 합성은 소리의 세계에서 흥미로운 현상을 만들어냅니다. 예를 들어, 440Hz와 441Hz의 소리를 동시에 들으면 맥놀이 현상이 발생하여 소리가 주기적으로 세졌다 약해졌다를 반복합니다. 이는 두 사인 함수를 더했을 때 나타나는 파형의 변화로 설명할 수 있습니다. 또한, 옥타브와 같은 음악적 개념도 진동수의 배수 관계에서 비롯되며, 이러한 원리는 공진 현상과도 연결됩니다. 공진은 외부에서 주기적인 힘이 가해질 때 시스템의 고유 주파수와 일치하면 진폭이 크게 증가하는 현상으로, 실제로 다리 붕괴와 같은 사고의 원인이 되기도 합니다. 조화해석학의 현대적 발전에는 프랑스 수학자 푸리에의 업적이 큰 역할을 했습니다. 푸리에는 열의 이동을 연구하면서 모든 함수를 사인과 코사인 함수의 합으로 표현할 수 있다는 가설을 세웠고, 이를 바탕으로 열 방정식을 풀 수 있었습니다. 열 방정식은 위치와 시간에 따라 온도가 어떻게 변하는지를 설명하는 편미분방정식으로, 조화해석학적 분해를 통해 복잡한 열의 이동을 단순한 파동의 합으로 분석할 수 있습니다. 푸리에의 이론은 이후 신호 처리, 잡음 제거, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 자리 잡았습니다. 조화해석학은 단순히 수학적 난제를 푸는 데 그치지 않고, 실생활의 복잡한 현상을 이해하고 예측하는 데 필수적인 역할을 합니다. 음악, 의료, 금융, 공학 등 다양한 분야에서 신호나 데이터를 분해하고 본질을 파악하는 데 활용되며, 현대 과학과 기술의 발전에 큰 기여를 하고 있습니다. 앞으로도 조화해석학은 새로운 문제를 해결하고, 세상을 더 깊이 이해하는 데 중요한 열쇠가 될 것입니다.

오창근

국립과천과학관카오스강연

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