비선형방정식

3 Contents

[강연] 수치해석학, 근사와 과학계산의 예술 1_by 홍영준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 5강 첫 번째 이야기 | 5강 ①

수치해석학은 현실의 복잡한 문제를 해결하기 위해 정확한 해 대신 근사해를 구하는 학문입니다. 우리가 흔히 수학이라고 하면 단 하나의 정답만을 떠올리기 쉽지만, 실제 세상의 문제들은 너무나 방대하고 복잡하여 수식만으로 완벽한 답을 내기 어려운 경우가 많습니다. 이때 수치해석학은 우리가 허용할 수 있는 오차 범위 내에서 가장 정답에 가까운 값을 찾아내는 길잡이 역할을 합니다. 단순히 값을 구하는 것에 그치지 않고, 그 근삿값이 실젯값과 얼마나 차이가 나는지 엄밀하게 분석하는 과정까지 포함하는 것이 이 학문의 본질입니다. 무리수인 루트 2를 예로 들면, 이는 소수점 아래로 무한히 이어지는 숫자입니다. 이를 이해하기 위해 수치해석에서는 점화식과 같은 알고리즘을 활용합니다. 특정 수식에 초기값을 대입하고 그 결과를 다시 대입하는 과정을 반복하면, 결괏값은 점차 루트 2의 실젯값에 무한히 가까워집니다. 이러한 반복적인 계산 과정은 수치해석의 가장 기초적이면서도 핵심적인 원리입니다. 현대에는 이러한 방대한 반복 계산을 컴퓨터가 대신 수행함으로써 과거에는 상상할 수 없었던 정밀한 수치 계산이 가능해졌으며, 이는 모든 공학적 설계의 기초가 됩니다. 수치해석학의 응용 분야는 우리 실생활과 밀접하게 맞닿아 있습니다. 포탄의 궤적을 계산하거나 인공위성을 쏘아 올릴 때, 혹은 심장의 혈류 흐름을 분석할 때도 수치해석적 기법이 필수적으로 사용됩니다. 특히 분야에 따라 허용되는 오차의 범위가 다르다는 점이 흥미롭습니다. 포탄의 경우 수십 센티미터의 오차가 큰 문제가 되지 않을 수 있지만, 의료 분야나 정밀 공학에서는 아주 미세한 오차도 치명적인 결과를 초래할 수 있습니다. 따라서 수치해석학은 상황에 맞는 정밀도를 확보하기 위해 오차의 크기를 수학적으로 엄격하게 관리하고 예측합니다. 기상 예보의 역사는 수치해석학의 발전 과정을 잘 보여주는 대표적인 사례입니다. 과거 아리스토텔레스 시대에는 구름의 모양을 보고 날씨를 예측하는 패턴 매칭 방식이 주를 이루었습니다. 하지만 19세기 이후 물리 법칙을 담은 방정식이 등장하면서 수치적인 접근이 시작되었습니다. 루이스 리처드슨은 6만 4천 명의 사람이 동시에 계산한다면 날씨를 예측할 수 있을 것이라는 거대한 상상을 하기도 했습니다. 이는 오늘날 슈퍼컴퓨터가 수행하는 복잡한 기상 수치 모델링의 원형이 되었으며, 현대 기상학이 과학적 예측의 영역으로 들어오는 결정적인 계기가 되었습니다. 현대 기상 예보의 핵심인 슈퍼컴퓨터는 폰 노이만의 에니악 등장 이후 비약적으로 발전했습니다. 우리나라도 독자적인 기상 예측 모델인 '한국형 수치예보모델(KIM)'을 개발하여 한국 지형의 특성에 최적화된 예보를 수행하고 있습니다. 기상 모델링은 자연계의 복잡한 현상을 수많은 변수로 표현해야 하기에 매우 난도가 높습니다. 관측 데이터의 오차와 모델 자체의 한계를 극복하며 정확도를 높여가는 과정은 수치해석학이 직면한 거대한 도전이자 성과입니다. 이는 단순한 계산을 넘어 국가적 기술력의 상징이자 재난 대비를 위한 필수적인 과학적 자산이라 할 수 있습니다. 구체적인 기법으로는 뉴턴-랩슨 방법과 수치 적분이 대표적입니다. 뉴턴-랩슨 방법은 비선형 방정식의 해를 찾기 위해 접선을 이용해 정답에 빠르게 접근하는 방식입니다. 반복할수록 오차가 제곱 단위로 줄어드는 놀라운 수렴 속도를 자랑합니다. 또한, 복잡한 곡선의 면적을 구하는 적분 역시 사다리꼴 공식이나 가우스-르장드르 구적법을 통해 효율적으로 계산할 수 있습니다. 이러한 기법들은 무한한 연속의 세계를 컴퓨터가 처리할 수 있는 유한한 이산의 세계로 변환하는 핵심 기술이며, 가성비 높은 계산을 가능하게 하여 공학적 효율성을 극복합니다. 마지막으로 오일러 방법은 미분 방정식을 푸는 가장 직관적인 수치 해법입니다. 시간의 흐름에 따른 변화를 작은 단위로 쪼개어 다음 단계의 상태를 예측하는 이 방식은 현대 인공지능의 기계 학습 원리와도 깊은 연관이 있습니다. 수치해석학은 정답이 없는 것이 아니라, 정답을 향해 끊임없이 다가가는 역동적인 학문입니다. 복잡한 현실 세계를 수학이라는 언어로 번역하고, 이를 다시 컴퓨터가 이해할 수 있는 수치로 바꾸는 이 과정은 미래 과학 기술 발전의 든든한 뿌리가 되고 있습니다. 수치해석은 결국 인간의 지혜를 컴퓨터의 연산력으로 치환하는 가교입니다.

홍영준

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 미분방정식과 충격파? 그 충격적인 관계 2_by 배명진 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 2강 두 번째 이야기 | 2강 ②

미분 방정식을 선형과 비선형으로 구분하는 이유는 초기 조건이 같더라도 해의 거동이 극적으로 달라지기 때문입니다. 선형 방정식은 초기 상태의 그래프 모양을 유지하며 시간에 따라 일정하게 이동하는 성질을 가집니다. 반면 비선형 방정식은 현재의 값에 따라 전파 속도가 달라지므로, 시간이 흐를수록 해의 형태가 복잡하게 변합니다. 이러한 차이는 우리가 자연 현상을 이해하고 미래를 예측하는 방식에 근본적인 영향을 미치며, 수학자들이 두 체계를 엄격히 나누어 연구하는 핵심적인 이유가 됩니다. 비선형 방정식의 대표적인 예인 버거스 방정식은 교통 흐름이나 유체의 움직임을 설명하는 데 사용됩니다. 비선형 체계에서는 값이 큰 부분은 빠르게 이동하고 작은 부분은 느리게 이동하면서 그래프가 점점 가팔라지게 됩니다. 결국 어느 시점에는 미분이 불가능한 절벽 상태인 '충격파'가 발생하게 되는데, 이는 초기 조건이 아무리 매끄럽더라도 비선형성으로 인해 미래 예측이 매우 어려워질 수 있음을 시사합니다. 이러한 현상은 현실 세계의 복잡성을 반영하는 중요한 수학적 특징입니다. 우리가 다루는 많은 미분 방정식은 물리적 보존 법칙에 근거하고 있습니다. 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙은 특정 공간 내 물질의 변화량이 경계면을 통해 드나드는 양, 즉 '플럭스'의 차이와 같다는 원리를 수학적으로 표현한 것입니다. 이러한 적분 방정식은 미적분학의 기본 정리를 통해 미분 방정식으로 변환되며, 이를 통해 우리는 복잡한 유체의 흐름이나 기상 변화를 수치적으로 모델링할 수 있게 됩니다. 이는 단순한 수식을 넘어 세상을 이해하기 위한 시도라고 할 수 있습니다. 유체 역학의 핵심인 나비에-스토크스 방정식과 오일러 방정식은 각각 점성이 있는 액체와 점성이 거의 없는 기체의 흐름을 설명합니다. 프랑스의 공학자 나비에와 아일랜드의 수학자 스토크스의 이름을 딴 이 방정식은 교량 건설부터 비행기 동체 설계까지 현대 공학의 필수적인 도구입니다. 점성의 유무에 따라 방정식의 형태와 풀이 방식이 달라지며, 이는 우리가 현실 세계의 물리적 현상을 얼마나 정밀하게 모방하느냐의 문제와 직결됩니다. 두 학자의 협력으로 탄생한 이 식은 유체 연구의 근간이 되었습니다. 나비에-스토크스 방정식은 세계 7대 수학 난제 중 하나로 꼽힐 만큼 매우 어렵습니다. 3차원 공간에서 모든 시간 동안 매끄러운 해가 존재하는지를 증명하는 문제는 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 짧은 시간 동안은 해의 안정성을 증명할 수 있지만, 시간이 길어질수록 비선형성과 점성 사이의 복잡한 상호작용으로 인해 해의 성질을 파악하기가 불가능에 가까워집니다. 이는 수학적 엄밀함과 현실적 응용 사이의 거대한 도전 과제이며, 수많은 수학자가 백만 달러의 상금을 넘어 진리 탐구를 위해 도전하는 분야입니다. 오일러 방정식은 기체의 압축성을 다루며 초음속 비행 시 발생하는 소닉 붐이나 로켓 엔진 내부의 충격파 현상을 연구하는 데 활용됩니다. 기체는 액체와 달리 수축과 팽창이 자유롭기 때문에 밀도를 상수가 아닌 함수로 다루어야 하며, 이로 인해 계산의 복잡성이 극대화됩니다. 비선형성과 압축성이 결합하여 나타나는 불연속적인 변이 현상을 수학적으로 증명하고 그 안정성을 분석하는 작업은 공학적 안전성을 확보하는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 이는 컴퓨터 시뮬레이션조차 쉽지 않은 고도의 학문적 영역입니다. 수학적 성취는 단순히 문제를 빨리 푸는 능력이 아니라 깊은 호기심과 끈기에서 비롯됩니다. 필즈상 수상자인 알레시오 피갈리처럼 대학에 진학해서야 미적분학을 처음 접하고도 위대한 업적을 남긴 사례는 우리에게 시사하는 바가 큽니다. 선행 학습의 압박에서 벗어나 자신만의 방식으로 생각하고 실패를 두려워하지 않는 태도가 중요합니다. 결과에 대한 걱정보다는 순수한 열정을 따라 도전하는 용기가 세상을 이해하는 진정한 수학적 사고의 시작이며, 이러한 마음가짐이 난제 해결의 열쇠가 될 것입니다.

배명진

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 미분방정식과 충격파? 그 충격적인 관계 1_by 배명진 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

알베르트 아인슈타인은 세상이 특정한 시스템으로 이루어져 있으며, 이를 이해하기 위해 방정식을 사용한다고 말했습니다. 우리가 마주하는 현실은 끊임없이 변화하는 복잡한 요소들로 가득 차 있지만, 수학은 그 이면의 질서를 포착해내는 강력한 도구가 됩니다. 특히 세상을 이해하는 데 필수적인 도구로 꼽히는 미분 방정식은 단순한 수식을 넘어 사회 현상이나 물리적 변화를 설명하고 미래를 예측하는 데 중요한 역할을 수행합니다. 이는 현대 과학이 세상을 바라보는 가장 정교한 렌즈라고 할 수 있습니다. 미분 방정식의 기초가 되는 미적분은 본래 움직이는 세계를 이해하기 위해 탄생했습니다. 일주일 동안의 몸무게 변화를 예로 들면, 매 순간의 변화량을 따지는 것이 미분이고 그 변화량을 합산하여 전체적인 추이를 파악하는 것이 적분의 개념입니다. 인구 변화에서도 매달 늘어나는 인구수는 미분으로, 이를 바탕으로 연말의 총인구를 예측하는 것은 적분으로 이해할 수 있습니다. 이처럼 미적분은 우리 주변에서 일어나는 모든 동적인 변화를 수치화하고 분석할 수 있는 기본 틀을 제공합니다. 미분 방정식은 관찰된 현상을 수식화하여 미래를 예측하는 것을 궁극적인 목적으로 합니다. 하늘을 나는 글라이더의 매 순간 속도를 측정하여 앞으로의 궤적을 추적하는 과정이 대표적인 예시입니다. 현재의 데이터를 바탕으로 어떤 일이 벌어질지 미리 계산해내는 이 과정은 과학적 탐구의 핵심이라 할 수 있습니다. 단순한 현상 기록에 그치지 않고, 수립된 모델을 통해 아직 도달하지 않은 미래의 상태를 논리적으로 도출해낸다는 점에서 미분 방정식은 실용적인 가치와 학문적 깊이를 동시에 지닙니다. 미분 방정식은 포함된 변수의 개수에 따라 크게 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉩니다. 상미분 방정식은 함수가 시간과 같은 단 하나의 변수에만 의존하는 경우를 다루며, 비교적 단순한 시스템의 흐름을 설명할 때 주로 사용됩니다. 반면 편미분 방정식은 시간뿐만 아니라 3차원 공간의 위치처럼 여러 변수를 동시에 고려해야 하는 복잡한 현상을 설명하는 데 필수적입니다. 우리가 사는 세계는 다차원적이기 때문에, 분석하려는 현상의 특성에 맞춰 적절한 방정식을 선택하는 것이 연구의 시작이 됩니다. 감염병 확산 모델인 SIR 모델은 상미분 방정식의 대표적인 활용 사례입니다. 이는 인구 집단을 감염 가능 대상자, 감염자, 회복자의 세 그룹으로 나누어 시간에 따른 변화를 추적합니다. 감염자 수의 변화량은 현재 감염자와 감염 가능 대상자의 비율에 따라 결정되며, 이를 통해 팬데믹의 정점이나 종식 시점을 예측할 수 있습니다. 이러한 수학적 모델링은 실제 통계 자료와 결합하여 사회적 위기 상황에서 방역 정책을 수립하고 판단을 내리는 중요한 과학적 근거가 되어줍니다. 공간적 확산을 설명할 때는 편미분 방정식이 등장합니다. 물에 떨어진 잉크가 퍼져 나가는 현상을 관찰할 때, 특정 지점의 농도는 시간의 흐름뿐만 아니라 공간상의 위치에 따라서도 달라집니다. 이때 시간에 따른 농도 변화와 공간에 따른 확산 비율 사이의 관계를 물리 법칙으로 정립한 것이 바로 편미분 방정식입니다. 3차원 유체의 흐름이나 열의 전달처럼 시공간이 복잡하게 얽힌 물리 현상을 정확하게 묘사하기 위해서는 이러한 다변수 미분 구조에 대한 깊이 있는 이해가 반드시 필요합니다. 마지막으로 미분 방정식은 구조에 따라 선형과 비선형으로 구분됩니다. 선형 방정식은 입렧값의 합이 결괏값의 합과 일치하는 중첩의 원리가 적용되어 비교적 해를 구하기 쉽고 예측이 명확합니다. 하지만 실제 자연 현상의 많은 부분은 변수들이 복잡하게 얽힌 비선형 구조를 띠고 있습니다. 비선형 방정식은 작은 변화가 예상치 못한 큰 결과를 초래하기도 하여 분석이 매우 까다롭지만, 현실 세계의 역동성을 가장 정밀하게 담아낼 수 있다는 점에서 현대 수학과 과학의 핵심적인 연구 대상이 됩니다.

배명진

카오스재단카오스강연

수학