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[강연] 위상수학의 놀라운 응용, 데이터도 모양이 있다? 1_by 최수영 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 9강 첫 번째 이야기 | 9강 ①

수학은 영화 속에서 천재들의 삶을 조명하거나 거대한 우주의 신비를 푸는 열쇠로 자주 등장합니다. 영화 '인터스텔라'에서 종이를 접어 펜을 꽂는 장면은 광활한 우주를 단순한 기하학적 대상이 아닌, 접고 펼 수 있는 위상수학적 공간으로 이해하게 해줍니다. 이처럼 수학은 우리가 세상을 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓습니다. 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 공간의 본질적인 구조를 탐구하는 위상수학은 현대 과학의 다양한 분야에서 새로운 영감을 제공하며 그 영역을 넓혀가고 있습니다. 위상수학은 기존의 관점과는 완전히 다른 새로운 시각으로 공간을 바라보는 학문입니다. 과거에는 너무 난해하여 실생활 응용이 어려울 것이라 여겨졌으나, 최근에는 물리학과 데이터 분석 등 여러 분야에서 놀라운 성과를 거두고 있습니다. 2016년 노벨 물리학상 수상이나 허준이 교수의 필즈상 수상 배경에도 위상수학적 관점이 핵심적인 역할을 했습니다. 복잡한 데이터 속에서 유의미한 구조를 찾아내는 '위상 데이터 분석(TDA)'은 현대 사회의 방대한 정보를 해석하는 강력한 도구로 자리 잡으며 수학의 실용성을 증명하고 있습니다. 18세기 수학자 오일러는 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이에 일정한 규칙이 있음을 발견했습니다. 그는 친구 골드바흐에게 보낸 편지에서 꼭짓점의 수에서 모서리의 수를 빼고 면의 수를 더하면 항상 2가 된다는 사실을 밝히며, 왜 이 간단한 진리를 이제야 알았는지 한탄하기도 했습니다. 이 공식은 단순한 산술적 계산을 넘어 공간의 연결 관계를 정의하는 '오일러 지표'의 시초가 되었습니다. 이는 기하학이 길이와 각도라는 고전적 틀에서 벗어나, 공간의 본질적인 연결성에 주목하게 된 역사적인 전환점이었습니다. 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 하나는 '불변량'입니다. 이는 공간을 구부리거나 늘려도 변하지 않는 고유한 값을 의미합니다. 예를 들어, 동그란 고무줄을 가위로 자르면 그 형태가 선으로 변하면서 오일러 지표가 달라지게 됩니다. 수학적으로 두 공간의 불변량이 다르다는 것은, 아무리 주무르고 변형해도 결코 같은 모양이 될 수 없음을 뜻합니다. 이러한 원리는 우리가 일상에서 마주하는 다양한 형태들이 본질적으로 어떻게 다른지를 명확하게 구분해 주는 강력한 논리적 근거가 되며, 공간에 대한 인류의 이해를 한 차원 높여주었습니다. 수학자들은 수식에서 단순한 계산 이상의 아름다움을 발견하곤 합니다. 세상에서 가장 아름다운 정리로 꼽히는 오일러 공식은 전혀 관련 없어 보이는 다섯 가지 상수인 0, 1, e, i, π를 하나의 짧은 식으로 완벽하게 연결합니다. 또한, 두 번째로 아름답다고 평가받는 오일러 다면체 공식은 복잡한 입체 도형의 본질을 꿰뚫는 간결함을 보여줍니다. 이처럼 추상적이고 고차원적인 개념들이 서로 맞물려 하나의 진리로 수렴하는 과정에서 수학자들은 깊은 희열을 느낍니다. 수학은 결국 복잡한 세상을 가장 단순하고 우아한 언어로 설명하려는 노력의 산물입니다.

최수영

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 교육AI를 탄생시킨 놀라운 수학적 아이디어 1_by 노현빈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 6강 첫 번째 이야기 | 6강 ①

수학은 논리적 구조가 층층이 쌓여가는 학문입니다. 따라서 학년을 낮추더라도 빈틈없이 이해하고 넘어가는 과정이 무엇보다 중요합니다. 단순히 공식을 외우는 것이 아니라, 누군가를 가르치듯 내용을 되새기며 자신의 언어로 번역하는 과정은 수학적 사고력을 기르는 최고의 방법입니다. 이러한 기초적인 학습 태도는 수학이라는 거대한 탑을 쌓아 올리는 단단한 지반이 되며, 학습자에게 성취감과 동기를 부여하는 강력한 토대가 됩니다. 수학적 구멍을 메우는 과정은 결국 더 높은 단계의 논리를 수용할 수 있는 그릇을 만드는 일입니다. 흔히 순수 수학은 실생활과 동떨어진 '무용'의 영역으로 오해받곤 합니다. 하지만 역사적으로 위대한 과학적 발견은 당장 어디에 쓰일지 고민하지 않았던 순수 수학의 토대 위에서 꽃을 피웠습니다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 리만 기하학을 통해 완성되고, 헤르츠의 전자기파 이론이 현대 무선 통신의 시초가 된 사례가 이를 증명합니다. 수학자가 구축한 정교한 이론 체계는 시간이 흐른 뒤 '미들맨'이라 불리는 응용 학자들에 의해 인류의 삶을 바꾸는 혁신적인 기술로 재탄생합니다. 무용해 보이는 지식이 가장 유용한 가치로 변모하는 셈입니다. 현대 기술의 정점인 인공지능 역시 그 근간에는 수학적 원리가 깊게 뿌리내리고 있습니다. 특히 미분은 인공지능이 방대한 데이터 속에서 최적의 해답을 찾아내는 '최적화' 과정의 핵심 도구입니다. 인공지능 모델이 얼마나 정확한지 채점하고, 더 나은 방향으로 스스로를 수정해 나가는 과정은 결국 미분값이 0이 되는 지점을 찾는 수학적 여정과 같습니다. 우리가 배우는 미적분이 단순히 시험을 위한 도구가 아니라, 미래 산업을 이끄는 인공지능의 심장을 뛰게 하는 원동력이라는 사실은 수학의 실천적 가치를 다시금 깨닫게 합니다. 수학의 세계는 학년이 올라갈수록 세상을 설명하는 언어의 범위를 확장해 나갑니다. 고등학교 수준의 극한 개념이 대학에서 엡실론-델타 논법으로 정교해지듯, 수학은 끊임없이 기존의 틀을 깨고 더 큰 체계를 구축합니다. 그 정점에 있는 대수기하학은 인류가 가진 가장 거대한 사고의 틀이자 '언어의 언어'라고 불리는 범주론을 포괄합니다. 대수기하학이라는 광활한 언어 체계를 갖추는 것은 복잡한 세상의 문제들 속에서 정신을 잃지 않고 논리적으로 사고할 수 있는 강력한 무기를 얻는 것과 같습니다. 이는 인간의 사고가 도달할 수 있는 가장 높은 경지의 언어입니다. 수학 공부를 통해 길러진 논리적 근력은 다른 학문을 탐구하는 데에도 결정적인 역할을 합니다. 복잡한 수학적 구조를 이해해 본 경험은 사고의 한계를 넓혀주며, 이는 새로운 분야를 학습할 때 비교할 수 없는 속도와 깊이를 제공합니다. 허준이 교수가 조합 대수기하학을 통해 난제를 해결했듯이, 수학은 서로 다른 영역을 잇는 가교가 되어 인류 지식의 지평을 넓힙니다. 결국 수학은 단순한 계산을 넘어, 세상을 바라보는 새로운 틀을 제시하고 미래를 설계하는 가장 기초적인 체력입니다. 수학을 포기하지 않는 것은 곧 자신의 사고 가능성을 포기하지 않는 것과 같습니다.

노현빈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 2_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 두 번째 이야기 | 5강 ②

대수기하학은 이름 그대로 대수학과 기하학의 상호작용을 탐구하는 학문입니다. 중고등학교 시절 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구하거나, 이차 방정식의 근을 그래프로 확인하던 경험이 그 출발점이라 할 수 있습니다. 기하학적 문제를 대수적 방법으로 풀고, 반대로 대수적 문제를 기하학적 형상으로 시각화하여 해결하는 과정이 바로 대수기하학의 핵심입니다. 하지만 안타깝게도 현대 교육에서는 이러한 학문적 맥락보다는 단순한 문제 풀이에 집중하는 경향이 있어, 그 깊은 역사적 흐름과 본질적인 의미를 놓치기 쉽습니다. 이 학문의 역사는 인류 문명의 발달과 궤를 같이합니다. 고대 그리스의 탈레스는 피라미드의 높이를 구하기 위해 삼각형의 닮음이라는 기하학적 성질을 대수적 비례식으로 표현해냈습니다. 피타고라스 역시 직각삼각형이라는 기하학적 대상에서 세 변의 관계를 나타내는 대수적 방정식을 발견하며 세상의 질서를 설명하려 했습니다. 이후 유클리드는 당대의 수학적 지식을 집대성한 '기하학 원론'을 통해 논증 기하학의 기틀을 마련했습니다. 이처럼 고대 수학자들이 형상과 수 사이의 긴밀한 관계를 본능적으로 이해하고 이를 학문적 토대로 발전시켰습니다. 중세 유럽이 학문의 암흑기를 겪는 동안, 아시아와 이슬람 세계에서는 대수학이 눈부시게 발전했습니다. 알콰리즈미와 같은 수학자들에 의해 방정식의 해법이 체계화되었고, 이는 훗날 서구의 기하학 전통과 다시 만나게 됩니다. 17세기 데카르트는 좌표계라는 혁신적인 도구를 도입하여 대수학과 기하학 사이의 장벽을 완전히 무너뜨렸습니다. 그는 기하학적 대상을 방정식으로, 방정식을 좌표 평면 위의 도형으로 완벽하게 번역할 수 있는 사전을 제공했습니다. 이를 통해 수학은 추상적인 수식과 구체적인 형상이 하나로 통합되는 새로운 시대를 맞이하게 되었습니다. 현대 대수기하학의 주요 연구 대상은 '대수적 다양체'입니다. 이는 여러 개의 다항식을 동시에 만족하는 점들의 집합을 의미하며, 원이나 타원, 포물선 같은 곡선들이 대표적인 예시입니다. 대수기하학의 기초가 되는 베주 정리에 따르면, n차 곡선과 m차 곡선은 일반적으로 두 차수의 곱만큼의 점에서 만납니다. 예를 들어 이차 곡선인 원과 일차 곡선인 직선은 최대 두 점에서 만나게 됩니다. 이처럼 복잡한 기하학적 교차의 문제를 다항식의 차수라는 대수적 성질로 명쾌하게 설명해내는 것이 대수기하학이 가진 논리적 아름다움이자 강력한 힘입니다. 오늘날 대수기하학은 그 영토를 무한히 확장하며 수학의 핵심 분야로 자리 잡았습니다. 특히 최근 필즈상을 수상한 허준이 교수는 조합론적 구조 내에서 대수기하학적 원리를 발견하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 이는 대수기하학의 토대가 정수론을 넘어 조합론에 이르기까지 광범위하게 확장될 수 있음을 시사합니다. 비록 학문이 방대해지면서 세부 분야 간의 소통이 어려워지는 위기도 존재하지만, 전체를 관통하는 거대한 구조를 파악하려는 노력은 계속되고 있습니다. 대수기하학은 이제 인공지능 교육 등 실생활의 응용 분야로까지 뻗어 나가며 새로운 전성기를 구가하고 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[해썰이 있는 과학뉴스] 핵심만 알려주는 2022 필즈상

최근 대한민국 수학계는 허준이 교수의 필즈상 수상이라는 역사적인 쾌거를 맞이했습니다. 수학은 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 우리 주변의 다양한 대상 속에 숨겨진 질서와 구조를 탐구하는 학문입니다. 특히 조합론은 순열이나 그래프와 같이 셀 수 있는 이산적인 대상들을 연구하며, 그 구조를 통해 개수를 세거나 반대로 개수를 통해 구조를 파악하는 학문입니다. 이러한 수학적 사고는 복잡한 현상 속에서 명확한 규칙을 찾아내는 강력한 도구가 됩니다. 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상은 4년마다 40세 이하의 젊은 수학자들에게 수여됩니다. 이는 과거의 업적뿐만 아니라 미래의 가능성을 함께 평가하는 상으로, 수학자들에게는 최고의 영예로 통합니다. 반면 노르웨이 왕실에서 제정된 아벨상은 연령 제한 없이 일생의 업적을 기린다는 점에서 노벨상과 더욱 유사한 성격을 띱니다. 허준이 교수의 수상은 한국 수학계의 성숙도를 증명하는 계기가 되었으며, 향후 아벨상 수상자 배출에 대한 기대감도 높이고 있습니다. 허준이 교수의 핵심 연구 분야는 조합론과 대수기하학을 결합한 조합 대수기하학입니다. 그는 서로 다른 두 분야 사이에 다리를 놓아 한쪽의 관점으로 다른 쪽의 난제를 해결하는 독창적인 방식을 보여주었습니다. 특히 '로그 오목성'이라는 성질을 깊이 있게 탐구하여, 수십 년간 해결되지 않았던 리드 추측을 비롯한 수많은 난제들을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 문제를 푸는 것에 그치지 않고 새로운 수학적 방법론을 제시했다는 점에서 학계에 엄청난 파급력을 미쳤습니다. 그래프 이론에서 채색 다항식은 그래프의 꼭짓점을 인접한 것끼리 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 나타냅니다. 허준이 교수는 이 다항식의 계수들이 일정한 패턴을 그리며 증가하다 감소하는 '단봉성'과 그보다 강력한 조건인 '로그 오목성'을 가진다는 사실을 증명했습니다. 이러한 연구는 매트로이드라고 불리는 조합론의 핵심 대상에 대한 기하학적 이해를 가능하게 했습니다. 이는 추상적인 수학 이론이 어떻게 구체적인 구조적 특징으로 나타나는지를 보여주는 대표적인 사례입니다. 허준이 교수의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 실용적인 가치도 지니고 있습니다. 그의 이론은 복잡한 네트워크 구조에서 완벽 매칭의 개수를 빠르게 세는 알고리즘 개발에 기여하는 등 컴퓨터 과학 분야에도 영향을 미치고 있습니다. 수학은 인간의 이해를 무한히 확장해 나가는 과정이며, 하나의 난제를 해결하는 것은 더 넓은 미지의 세계로 나아가는 문을 여는 것과 같습니다. 이번 성과를 발판 삼아 기초 과학 전반에서 한국의 위상이 더욱 높아지기를 기대해 봅니다.

국립과천과학관요즘과학👏

수학

[페스티벌+어스] 필즈상 수상자 허준이교수와 함께 하는 수학콘서트 by 허준이 ㅣ 2022 대한민국 과학축제(페스티벌 어스)

2022년 필즈상 수상자 허준이 교수는 수학의 대중적 관심을 이끌어낸 상징적인 인물입니다. 그는 동료 수학자인 김재원 교수와 함께 유학 시절의 추억을 나누며 수학자가 되기까지의 과정을 회상합니다. 수학은 단순히 어려운 문제를 푸는 학문이 아니라, 사람과 사람이 만나 아이디어를 나누고 함께 성장하는 과정임을 보여줍니다. 그의 이야기는 천재적인 면모 뒤에 숨겨진 평범하고 인간적인 매력을 드러내며 많은 이들에게 깊은 영감을 줍니다. 필즈상은 흔히 '수학계의 노벨상'이라 불리지만, 40세 이하라는 독특한 나이 제한이 있습니다. 이는 수상자가 젊은 나이에 명성을 얻어 이후 오랜 기간 사회에 선한 영향력을 행사하고 학문 발전을 이끌도록 장려하기 위함입니다. 허 교수는 이러한 상의 무게감을 인지하면서도, 대중의 관심과 댓글을 직접 확인하며 소통하는 소탈한 모습을 보입니다. 수학적 업적만큼이나 그가 가진 사회적 역할에 대한 책임감이 돋보이는 대목이라 할 수 있습니다. 수학자는 크게 새로운 이론을 정립하는 '이론가'와 난제를 해결하는 '문제 해결사'로 나뉩니다. 허준이 교수는 자신을 그 중간 지점에 위치한 수학자로 정의합니다. 그는 조합론과 대수기하학이라는 서로 다른 두 분야를 연결하여 수학계에 새로운 놀이터를 제공했습니다. 이는 단순히 정답을 찾는 것을 넘어, 후대 수학자들이 마음껏 뛰어놀 수 있는 새로운 언어와 틀을 개발했다는 점에서 학술적으로 매우 큰 의미를 가집니다. 수학 연구에서 공동 연구는 이제 필수적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 다른 과학 분야가 프로젝트를 나누어 수행하는 분업 형태라면, 수학은 하나의 문제를 두고 서로의 아이디어를 주고받으며 한 발짝씩 나아가는 과정입니다. 허 교수는 공동 연구의 핵심으로 인간적인 유대감을 꼽습니다. 서로 충분히 친해지고 마음이 열렸을 때 비로소 각자가 가진 퍼즐 조각을 맞추어 하나의 정교한 그림을 완성할 수 있기 때문입니다. 수학자의 일상은 업무와 휴식의 경계가 모호하다는 특징이 있습니다. 소파에 누워 눈을 감고 생각에 잠긴 순간조차 수학자에게는 치열한 연구의 시간입니다. 허 교수는 젊은 시절 스스로를 조절하는 데 어려움을 겪기도 했지만, 이제는 가족과 시간을 보내며 적절한 휴식을 취하는 법을 터득했습니다. 유연한 시간 활용은 수학자라는 직업이 가진 큰 장점이자, 끊임없는 사고를 이어가야 하는 이들에게 반드시 필요한 덕목입니다. 허준이 교수와 김재원 교수가 연구하는 조합론은 유한한 집합들 사이의 관계와 패턴을 탐구하는 학문입니다. 허 교수가 현미경으로 아주 작은 대상을 관찰하듯 세밀한 패턴을 찾아낸다면, 김 교수는 망원경으로 거대 구조를 보듯 전체적인 경향성을 연구합니다. 이처럼 같은 분야 안에서도 수학자들은 각기 다른 시각으로 세상을 바라봅니다. 이들의 연구는 서로 다른 대상들이 가진 원초적인 공통점을 발견해 나가는 즐거운 여정입니다. 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 지식 습득 그 자체보다 생각하는 힘을 기르는 데 있습니다. 현대 사회에서 수학은 과학과 기술의 기초 언어일 뿐만 아니라, 자신의 논리를 타인에게 엄밀하게 전달하고 설득하는 소통의 도구입니다. 허 교수는 수학적 사고가 인생 전반에 걸쳐 유용한 기술이 될 수 있음을 강조합니다. 정답을 맞히는 기술을 넘어, 세상을 논리적으로 이해하고 소통하는 법을 배우는 것이 바로 수학의 본질입니다.

허준이

카오스재단2022 대한민국 과학축제 ㅣ 페스티벌 어스

수학

[인터뷰] 허준이X수학유튜버_수학에서 '잘한다'의 의미는? 수학발전은 수학 천재만 할 수 있다는 건 오해?

수학은 사회에 매우 중요한 기여를 하지만, 그 영향력이 대중의 피부에 와닿기까지는 여러 세대가 걸리기도 합니다. 이러한 간접적이고 추상적인 학문의 가치를 사회가 인정하고 큰 상을 수여한다는 것은, 그 사회가 학문적 다양성과 깊이를 수용할 수 있을 만큼 성숙했다는 증거이기도 합니다. 수학자로서 이러한 인정을 받는 것은 개인적인 영광을 넘어 학문적 책임감을 느끼게 하는 계기가 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문이 아니라, 우리 사회의 지적 토대를 단단하게 다지는 보이지 않는 힘으로 작용하며 인류의 지평을 넓혀가고 있습니다. 최근 주목받는 로렌츠 다항식은 현대 수학의 여러 분야를 잇는 중요한 가교 역할을 합니다. 이 이론의 매력은 대수기하학 같은 고도의 전문 지식이 없어도 미적분학과 선형대수학이라는 기초적인 도구만으로도 그 본질에 접근할 수 있다는 점에 있습니다. 기초적인 원리에서 시작하여 표현론이나 조합론 같은 복잡한 분야로 확장되는 과정은 수학이 가진 논리적 연결성을 잘 보여줍니다. 누구나 함께 즐길 수 있는 수학적 주제를 통해 학문의 문턱을 낮추고, 다양한 분야의 연구자들이 공통의 언어로 소통할 수 있는 장을 마련하는 것은 현대 수학이 지향해야 할 중요한 방향 중 하나입니다. 수학은 그 자체로 하나의 언어이지만, 우리가 일상에서 사용하는 언어와도 긴밀하게 상호작용합니다. 한국어와 영어처럼 서로 다른 언어 체계로 수학적 사고를 전개할 때, 특정 언어에서는 풀리지 않던 증명이 다른 언어에서는 자연스럽게 해결되는 흥미로운 경험을 하기도 합니다. 추상적인 대상을 다루는 수학적 사고의 대부분은 언어로 구성되어 있기에, 어떤 언어를 선택하느냐에 따라 사고의 흐름과 문제 해결의 방식이 달라질 수 있습니다. 이는 수학이 단순히 기계적인 계산이 아니라, 인간의 언어적 직관과 깊이 연결된 창의적인 활동임을 시사하며 다국어적 사고가 수학적 통찰에 큰 장점이 될 수 있음을 보여줍니다. 현대 수학의 흐름은 과거의 엄격한 분야 구분을 넘어 통합과 융합으로 나아가고 있습니다. 대수학, 해석학, 기하학 등 서로 다른 영역 사이의 경계를 허물고 새로운 구조를 찾아내는 작업은 고차원적인 패턴 인식의 과정이라 할 수 있습니다. 이러한 경계 넘기 작업을 성공적으로 수행하기 위해서는 역설적으로 각 분야에 대한 깊이 있는 이해가 선행되어야 합니다. 수많은 사례와 패턴을 부지런히 학습하고 데이터베이스를 쌓아 올릴 때, 비로소 서로 다른 분야를 매개하는 핵심적인 원리를 발견할 수 있습니다. 끊임없는 학습과 정보 습득은 수학적 직관을 날카롭게 다듬는 가장 확실한 방법입니다. 흔히 수학의 발전이 소수의 천재에 의해 이루어진다고 생각하기 쉽지만, 실제 수학의 역사는 수많은 연구자가 조금씩 쌓아 올린 거대한 건축물과 같습니다. 마치 개미 떼가 모여 백 층짜리 빌딩을 짓는 것처럼, 평범한 수학자들이 매일 기울이는 노력이 모여 학문의 거대한 볼륨을 형성합니다. 겉으로 보기에는 패러다임을 바꾸는 획기적인 발견처럼 보여도, 그 이면에는 이미 그러한 발견이 가능하도록 다져진 학문적 토양과 선행 연구들의 축적이 존재합니다. 따라서 천재성에 대한 막연한 공포를 갖기보다는, 매일의 꾸준한 연구가 인류의 지적 자산을 풍요롭게 만드는 소중한 벽돌 한 장이 된다는 믿음을 갖는 것이 중요합니다. 수학자에 대한 고정관념과 달리, 대다수의 프로 수학자들은 일상의 평범함을 즐기며 동료들과 소통하는 사회적인 존재들입니다. 수학을 잘한다는 것은 단순히 계산 능력이 뛰어난 것을 넘어, 자신이 모르는 부분에 대해 정확하게 질문하고 모호한 개념을 대화를 통해 명확하게 다듬어가는 소통 능력을 갖추는 것을 의미합니다. 또한, 하나에 몰입하여 오랫동안 고민할 수 있는 인내심과 수학 자체를 순수하게 즐기는 마음가짐이 무엇보다 중요합니다. 수학은 고립된 천재의 전유물이 아니라, 명확한 논리를 바탕으로 타인과 생각을 나누고 함께 진리를 탐구해 나가는 즐거운 유희이자 소통의 과정입니다. 수학자로서의 전성기는 단순히 젊은 시절에 국한되지 않으며, 풍부한 경험과 원숙함이 더해진 50대와 60대에도 충분히 꽃피울 수 있습니다. 아이를 키우고 일상을 꾸려나가는 인간적인 삶의 궤적 속에서 수학적 영감은 더욱 단단해지며, 동료들과 함께 문제를 풀며 쌓은 즐거운 추억들은 연구를 지속하게 하는 원동력이 됩니다. 또한 후학을 가르치는 과정은 자신이 알고 있던 지식을 재점검하고 새로운 시각을 얻는 소중한 기회가 됩니다. 미래에 대한 호기심을 잃지 않고 배움의 즐거움을 유지하며, 어제보다 조금 더 깊은 통찰을 얻기 위해 노력하는 삶이야말로 수학자이자 한 인간으로서 지향해야 할 진정한 성공의 모습일 것입니다.

허준이

카오스재단석학인터뷰

수학

[인터뷰] 허준이_수학, 예술이 될 수 있을까? 공부와 연구의 차이는?

수학은 기초가 탄탄해야 다음 단계로 나아갈 수 있는 학문이지만, 연구의 세계에서는 조금 늦게 시작해도 괜찮다는 격려를 전합니다. 대학원 이상의 과정에서 다루는 수학의 양은 방대하여, 특정 연구에 필요한 이론을 미리 완벽히 알고 있을 확률은 매우 낮기 때문입니다. 결국 연구자에게 중요한 것은 과거에 얼마나 공부했느냐보다, 필요한 순간에 새로운 이론을 마주하고 이를 이해해 나가는 태도입니다. 이해라는 과정은 찰나와 같아 시간이 지나면 잊히기 마련이므로, 끊임없이 새로 공부하며 채워가는 과정 자체가 수학 연구의 본질이라 할 수 있습니다. 많은 이들이 진로를 결정할 때 거창한 포부나 확신을 기대하지만, 때로는 우연한 계기가 평생의 업으로 이어지기도 합니다. 학부 시절 다양한 학문에 관심을 가졌던 한 수학자는 우연히 수강한 수학 과목에서 예상치 못한 즐거움을 발견하며 수학의 길로 들어섰습니다. 특별한 환상보다는 공부하는 과정 자체가 주는 소소한 재미가 다음 단계로 이끄는 동력이 되었고, 그러한 흐름이 자연스럽게 석사와 박사 과정을 거쳐 연구자의 삶으로 연결되었습니다. 자신이 무엇을 잘하는지 모르는 혼란스러운 시기에도 눈앞에 놓인 배움의 즐거움에 집중하다 보면, 어느덧 자신만의 길 위에 서 있는 자신을 발견하게 됩니다. 수학은 흔히 건조한 논리의 학문으로 여겨지지만, 본질적으로는 시나 음악과 같은 예술 활동과 궤를 같이합니다. 음악이 모티프의 변주를 통해 감동을 주듯, 수학 또한 수많은 명제 속에서 의미 있는 패턴을 찾아내고 이를 증명이라는 과정을 통해 아름답게 엮어내는 작업입니다. 세상의 모든 참인 명제 중 우리가 특별히 '재미있다'고 느끼는 것들은 극히 일부분이며, 이러한 명제들 사이의 관계를 탐구하며 구조를 세워가는 과정은 예술적 창조와 매우 닮아 있습니다. 논리적인 증명 위에 새로운 명제가 얹어지며 만들어지는 수학적 변주는 연구자들에게 깊은 미적 울림과 만족감을 선사합니다. 현대 예술이 대중과 어느 정도 괴리를 겪고 있듯이, 수학 역시 현재는 소수의 전문가만이 그 아름다움을 온전히 누리는 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 과거에 소수만이 향유하던 문학이나 시가 시간이 흘러 고전이 되고 대중적인 예술로 자리 잡았듯, 수학 또한 인류의 문화적 역사가 깊어짐에 따라 더 많은 이들에게 울림을 주는 날이 올 것입니다. 우리가 수학이 지닌 고유한 가치를 포기하지 않고 계속해서 탐구해 나간다면, 먼 미래에는 수학적 발견이 주는 감동이 보편적인 정서로 받아들여질 수 있습니다. 수학의 아름다움이 대중의 삶 속에 자연스럽게 스며드는 미래는 결코 불가능한 꿈이 아닙니다. 수학 공부가 기존의 곡을 완벽하게 소화하여 들려주는 연주와 같다면, 연구는 세상에 없던 새로운 곡을 써 내려가는 작곡과도 같습니다. 연주와 작곡이 서로 밀접한 연관을 맺으며 시너지를 내듯, 탄탄한 학습 능력은 창의적인 연구를 수행하는 데 훌륭한 밑거름이 됩니다. 특히 연구 과정에서 타인과 소통하고 협력하는 능력은 매우 중요한데, 이는 단순히 지식을 주고받는 차원을 넘어 인간적인 유대감을 바탕으로 합니다. 마음이 잘 맞는 동료와 편안하게 대화를 나누는 과정에서 본인도 미처 깨닫지 못했던 아이디어가 마법처럼 떠오르기도 하며, 이러한 관계 맺음은 고독한 연구의 길을 지탱해 주는 큰 힘이 됩니다.

허준이

카오스재단석학인터뷰

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[석학인터뷰] 허준이X금종해_수학자가 묻고 수학자가 답하다! - 수학과 과학의 관계는? 수학 연구방법의 추세는 공동연구?

수학자의 일상은 흔히 상상하는 것처럼 비범하거나 특별한 것만은 아닙니다. 수학자 또한 보통의 사람들과 다를 바 없이 지루한 일상을 견디고, 때로는 집중력이 흐트러져 휴식을 취하기도 합니다. 이상적인 하루는 아침부터 점심까지 긴 호흡이 필요한 연구에 몰입하고, 오후에는 행정 업무나 강의 준비를 병행하는 것입니다. 연구가 잘 풀리지 않을 때는 억지로 매달리기보다 기꺼이 노는 시간을 가짐으로써 재충전의 기회를 얻기도 합니다. 이러한 유연함은 마치 운동선수가 시즌과 비시즌을 나누어 관리하듯, 장기적인 학문적 성취를 위한 필수적인 과정이 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 인간의 지적 활동을 통해 패턴의 반복 속에서 의미를 찾아내는 예술이자 인문학에 가깝습니다. 과학이 외부 자연에 이미 존재하는 법칙을 실험을 통해 발견한다면, 수학은 인간 내부의 이성과 상상력을 바탕으로 새로운 질서를 창조하거나 발견해 나가는 과정입니다. 이러한 발견은 개인의 통찰에서 시작되어 공동체의 검증을 거치며 보편적인 진리로 자리 잡게 됩니다. 결국 수학은 우리가 얼마나 깊이 사고할 수 있는지, 그리고 그 사고의 결과물을 어떻게 정교하게 전달할 수 있는지를 탐구하는 본질적인 인간에 대한 학문입니다. 많은 이들이 수학을 명확하고 딱딱한 결과물로만 인식하지만, 그 이면에는 시적인 은유와 모호한 아이디어가 공존합니다. 새로운 이론이 탄생하기 전의 초기 단계에서 수학자들은 직관과 상상력을 동원해 은유를 주고받으며 소통합니다. 이러한 직관과 영감은 타고난 재능이라기보다 반복적인 훈련을 통해 길러지는 능력에 가깝습니다. 계산 능력을 키우듯 직관의 영역 또한 꾸준한 사고의 반복을 통해 뇌의 신경망을 조직함으로써 강화될 수 있습니다. 따라서 수학 교육은 단순한 계산법 습득을 넘어, 보이지 않는 구조를 꿰뚫어 보는 통찰력을 기르는 방향으로 나아가야 합니다. 현대 수학의 가장 큰 특징 중 하나는 개인의 고립된 연구에서 벗어나 집단지성을 활용하는 공동 연구로 패러다임이 전환되었다는 점입니다. 과거에는 종이와 펜만 있으면 혼자서도 충분하다고 여겨졌으나, 이제는 여러 연구자의 뇌를 공동으로 사용하는 연결성이 성패를 좌우합니다. 동료와의 대화는 자신이 무엇을 모르는지, 혹은 무엇을 말하고 싶었는지를 명확하게 깨닫게 해주는 거울 역할을 합니다. 이러한 상호작용은 단순히 지식을 나누는 것을 넘어 인간적인 신뢰를 바탕으로 이루어지며, 인류 전체가 하나의 팀이 되어 거대한 수학적 난제를 해결해 나가는 원동력이 됩니다. 수학의 여러 분야 중 호지 이론은 서로 무관해 보이는 다양한 수학적 대상들 사이에서 공통된 대수적 구조를 발견하는 학문입니다. 조합론적 관점에서 그래프나 다면체 같은 이산적인 대상들을 연구할 때, 호지 이론이 제시하는 아름다운 구조는 예상치 못한 통찰을 제공합니다. 예를 들어 평면 위의 점과 선의 개수 관계처럼 단순해 보이는 문제조차 고차원적인 호지 이론의 구조를 통해서만 증명될 수 있는 경우가 많습니다. 이처럼 복잡한 이론이 지극히 기초적인 명제들과 연결되는 지점은 수학이 가진 최고의 매력이며, 지금 이 순간에도 수학은 전례 없는 속도로 팽창하며 새로운 역사를 쓰고 있습니다.

금종해, 허준이

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