window
width : 0
clientWidth : 0
height : 0
heightVH : 0

content
left : 0
width : 0
padding : 0

column
left : 0
width : 0
gap : 0

암호학

18 Contents

최신순

[카오스 짧강] 동형암호 VS 양자컴퓨터! 최후의 승자는?!

양자 컴퓨팅의 개념은 과거 폰 노이만 등에 의해 제시되었으나, 본격적인 주목을 받은 것은 1994년 쇼어 알고리즘의 등장이었습니다. 쇼어 알고리즘은 가상의 양자 원리를 이용해 소인수분해를 다항식 시간 내에 해결할 수 있음을 증명하며 강력한 동기부여를 제공했습니다. 이는 과거 튜링 머신이 암호 해독을 위해 탄생했던 것과 유사한 궤적을 그리며, 기존 암호 체계의 붕괴에 대한 우려와 함께 새로운 보안 기술의 필요성을 불러일으켰습니다. 수학의 7대 난제 중 하나인 P 대 NP 문제는 암호학의 안전성을 지탱하는 핵심 가설입니다. 특히 NP-난해 문제는 해결될 경우 연관된 모든 난제가 풀리는 강력한 특성을 지닙니다. 조사 결과 기존의 소인수분해 문제는 이 범주에서 중간 정도의 난이도에 해당함이 밝혀졌고, 이에 따라 더 강력한 난제에 기반한 암호 체계가 요구되었습니다. 2016년부터 미국 국립표준기술연구소(NIST)는 양자 컴퓨터에도 안전한 양자 내성 암호를 공모하여 최근 표준 후보를 발표하기에 이르렀습니다. 동형암호는 현재 우리가 보유한 수학 체계 내에서 양자 컴퓨터로도 풀기 어려운 강력한 보안성을 자랑합니다. 기존의 이산대수 문제나 타원곡선 암호는 양자 알고리즘에 의해 무너질 가능성이 크지만, 새로운 암호 체계는 이러한 공격을 견뎌낼 수 있도록 설계되었습니다. 양자 컴퓨터의 실제 등장 시기는 예측하기 어려우나, 보안 기술은 이미 그 너머를 바라보며 진화하고 있습니다. 만약 양자 기술이 완성된다면 가상자산 시장의 급격한 변화가 그 증거가 될 것입니다.

[카오스 짧강] 동형암호 VS 양자컴퓨터! 최후의 승자는?!

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 제 4세대 암호 : AI 시대의 동형암호

암호 기술은 현대 정보 사회의 근간을 이루지만, 역설적으로 데이터가 처리되는 순간 가장 취약해집니다. 대부분의 시스템은 데이터를 저장하거나 전송할 때는 강력한 암호화 과정을 거치지만, 정작 계산을 수행할 때는 암호를 해독하여 평문 상태로 되돌려야 하기 때문입니다. 이 짧은 찰나에 데이터가 탈취될 위험이 존재하며, 비밀키가 기기 내부에 저장되어 있다는 점도 보안상의 허점으로 작용합니다. 결국 진정한 보안을 달성하기 위해서는 데이터를 풀지 않고도 계산할 수 있는 기술이 필요합니다. 이러한 한계를 극복하기 위해 등장한 것이 바로 4세대 암호인 '동형암호'입니다. 동형암호는 암호화된 상태 그대로 연산을 수행해도 그 결과가 암호를 풀어서 계산한 것과 동일한 형태를 유지하는 기술을 의미합니다. 이를 비유하자면 투명하고 말랑말랑한 금고와 같습니다. 금고를 열지 않고도 외부에서 손을 넣어 내부의 물건을 조립하거나 조작할 수 있는 것과 같은 원리입니다. 사용자는 결과물만 안전하게 꺼내 볼 수 있으며, 작업을 수행하는 주체는 내용물을 전혀 알 수 없습니다. 동형암호의 개념은 1978년 처음 제안되었으나, 수학적 난제를 해결하여 실제 구현에 성공하기까지는 무려 35년이라는 시간이 걸렸습니다. 2009년 스탠퍼드 대학교의 크레이그 젠트리가 처음으로 안전한 모델을 제시한 이후, 지난 15년간 기술은 비약적으로 발전했습니다. 초기에는 연산 속도가 매우 느려 실용성이 낮다는 평가를 받았지만, 현재는 딥러닝이나 복잡한 데이터 분석에 활용될 수 있을 만큼 최적화되었습니다. 이제는 이론의 영역을 넘어 상용화의 기로에 서 있는 최첨단 보안 기술로 자리 잡았습니다. 특히 인공지능과 빅데이터 시대에 동형암호의 가치는 더욱 빛을 발합니다. 의료 데이터와 같은 민감한 정보를 암호화된 상태로 딥러닝 모델에 학습시키면, 개인정보 유출 걱정 없이 새로운 치료법을 개발할 수 있습니다. 또한 챗GPT와 같은 서비스에 질문을 던질 때도 동형암호를 적용하면 서비스 제공자조차 사용자가 무엇을 물었는지 알 수 없게 됩니다. 이는 사용자의 프라이버시를 완벽하게 보호하면서도 인공지능의 편리함을 누릴 수 있는 혁신적인 해결책이 됩니다. 나아가 동형암호는 인공지능에 대한 인간의 제어권을 확보하는 데에도 중요한 역할을 할 수 있습니다. 방대한 국가 데이터를 학습에 활용할 때, 데이터 자체를 암호화된 상태로 유지함으로써 모델이 원본 데이터를 무단으로 복제하거나 오용하는 것을 방지할 수 있기 때문입니다. 신뢰나 약속에 기반한 보안이 아니라 수학적 원리에 기반한 보안을 구축함으로써, 인공지능이 인간의 능력을 넘어서는 특이점의 시대에도 우리는 데이터를 안전하게 관리하고 기술을 통제할 수 있는 힘을 갖게 될 것입니다.

[카오스 짧강] 제 4세대 암호 : AI 시대의 동형암호

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 암호의 수학적 원리 : 소인수분해가 그렇게 풀기 어려워?

현대 암호 체계의 핵심은 '비대칭 암호'에 있습니다. 우리가 흔히 사용하는 3세대 암호는 누구나 금고를 잠글 수는 있지만, 정해진 열쇠가 없으면 누구도 열 수 없는 일방향성을 기반으로 설계되었습니다. 이러한 비대칭 암호를 생성하는 대표적인 수학적 원리가 바로 소인수분해입니다. 두 개의 큰 소수를 곱하는 연산은 컴퓨터로도 매우 순식간에 처리할 수 있지만, 그 결괏값을 보고 원래의 두 소수를 찾아내는 과정은 현대의 슈퍼컴퓨터를 동원하더라도 수만 년 이상의 시간이 걸릴 만큼 극도로 어렵기 때문입니다. 현재 우리가 일상에서 사용하는 공인인증서나 보안 시스템은 보통 500자리에서 700자리에 달하는 거대한 숫자를 활용합니다. 이 숫자를 소인수분해하기 위해서는 천문학적인 계산량이 필요하며, 이는 사실상 해킹이 불가능함을 의미합니다. 암호를 만드는 사람은 자신만이 아는 두 소수를 비밀리에 간직하고, 그 곱셈 결과만을 공개키로 제공함으로써 보안을 유지합니다. 이러한 정수론 기반의 알고리즘은 오랜 시간 동안 디지털 세계의 안전을 지탱해 온 든든한 버팀목 역할을 수행하며 우리 사회의 신뢰를 구축해 왔습니다. 수학자들은 정수론을 넘어 더 복잡한 구조인 '군론'을 암호학에 접목하기 시작했습니다. 1987년 헨드릭 렌스트라 교수는 암호 해독을 연구하던 중 타원곡선이라는 개념을 도입했는데, 이는 암호학의 새로운 지평을 열었습니다. 타원곡선 역시 수처럼 연산이 가능한 '군(Group)'의 성질을 가지고 있어, 이를 이용해 비대칭 암호를 만들 수 있다는 사실이 밝혀진 것입니다. 처음에는 해독 도구로 주목받았으나, 곧 이 자체가 기존 방식보다 훨씬 강력하고 효율적인 암호 체계가 될 수 있음이 증명되면서 현대 암호학의 주류로 자리 잡게 되었습니다. 타원곡선 암호의 가장 큰 장점은 뛰어난 '효율성'에 있습니다. 기존 RSA 방식이 2048비트의 길이를 가져야 확보할 수 있는 안전성을 타원곡선 암호는 단 200비트 정도의 짧은 길이로도 충분히 구현해 낼 수 있습니다. 데이터의 크기가 작다는 것은 연산 속도가 빠르고 저장 공간을 적게 차지한다는 의미입니다. 덕분에 처리 능력이 제한적인 스마트폰과 같은 모바일 기기에서도 높은 수준의 보안을 유지하며 원활하게 작동할 수 있게 되었고, 이는 현대 모바일 통신 환경에서 필수적인 기술적 토대가 되었습니다. 최근 각광받는 비트코인과 같은 블록체인 기술에서도 타원곡선 암호는 핵심적인 역할을 수행합니다. 수만 대의 컴퓨터가 동시에 계산을 수행해야 하는 네트워크 특성상, 계산 비용과 전력 소모를 줄이는 것은 매우 중요한 과제입니다. 만약 무거운 암호 체계를 사용했다면 막대한 에너지가 낭비되었겠지만, 타원곡선 암호의 효율성 덕분에 지구 환경을 보호하면서도 안전한 거래 시스템을 유지할 수 있습니다. 이처럼 고도의 수학적 원리는 디지털 보안을 넘어 지속 가능한 기술 발전에도 크게 기여하고 있습니다.

[카오스 짧강] 암호의 수학적 원리 : 소인수분해가 그렇게 풀기 어려워?

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 제 3세대 암호 : 일방향 함수를 이용한 비대칭 공개키

2세대 암호 체계는 송신자와 수신자가 동일한 비밀키를 공유해야 한다는 전제가 있었습니다. 하지만 현대의 인터넷 쇼핑처럼 모르는 상대와 거래할 때는 미리 키를 나누는 것이 불가능합니다. 이러한 한계를 극복하기 위해 1970년대 인터넷의 발달과 함께 등장한 것이 바로 3세대 암호인 공개키 암호입니다. 이는 수학자들이 풀기 어려운 난제를 활용하여 설계한 혁신적인 방식으로, 물리적으로 만나지 않고도 안전하게 정보를 주고받을 수 있는 기틀을 마련했습니다. 3세대 암호의 핵심 원리는 수학적 개념에 기반합니다. 이를 일상 속의 돼지 저금통에 비유할 수 있는데, 누구든지 돈을 넣을 수는 있지만 안의 내용물을 꺼내려면 주인만이 가진 열쇠가 필요한 것과 같습니다. 암호화 과정은 누구나 수행할 수 있도록 공개되어 있지만, 그 역과정인 복호화는 오직 비밀키를 가진 사람만이 할 수 있도록 설계된 것입니다. 이러한 비대칭성은 보안의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았으며, 현대 통신 보안의 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 인터넷에서 안전한 통신 채널을 형성하는 과정을 '시큐어 핸드셰이크'라고 부릅니다. 사용자가 자신만의 비밀키로 열 수 있는 일방향 금고를 제작해 서버에 보내면, 서버는 앞으로 사용할 통신용 비밀키를 그 금고에 넣어 다시 돌려줍니다. 이 과정에서 금고는 누구나 볼 수 있는 공개된 경로로 이동하지만, 내부의 키를 확인할 수 있는 사람은 오직 금고 제작자뿐입니다. 이를 통해 두 당사자는 제3자의 도청 걱정 없이 안전하게 비밀키를 공유하고 본격적인 암호 통신을 시작하게 됩니다. 우리가 웹사이트 주소창에서 흔히 보는 HTTPS의 'S'는 바로 이러한 안전한 악수가 이루어졌음을 의미합니다. 과거에는 중요한 정보만 선별적으로 암호화하려 했으나, 현재는 프라이버시 보호를 위해 모든 통신 과정을 통째로 암호화하는 '터널링' 방식을 주로 사용합니다. 이는 공용 와이파이나 라우터를 거치는 과정에서 발생할 수 있는 데이터 탈취를 원천적으로 차단합니다. 개인의 검색어나 시청 기록조차도 이제는 보호받아야 할 중요한 프라이버시가 되었기 때문입니다. 3세대 암호 기술은 전자 서명 분야에서도 활발히 활용됩니다. 공개키 암호의 원리를 응용하여, 서명자만이 가진 비밀키로 정보를 암호화하고 누구나 공개키로 이를 검증하게 함으로써 신원을 증명하는 방식입니다. 2세대 암호가 대칭키를 사용하여 효율성을 강조했다면, 3세대 암호는 비대칭키를 통해 보안성과 편의성을 동시에 확보했습니다. 이처럼 수학적 난제에서 시작된 암호 기술은 오늘날 디지털 세상의 신뢰를 지탱하는 가장 강력한 방패가 되어 우리 일상을 지켜주고 있습니다.

[카오스 짧강] 제 3세대 암호 : 일방향 함수를 이용한 비대칭 공개키

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 제 2세대 암호 : 암호화와 대칭키, 제2차 세계대전의 승패를 가르다

2세대 암호는 데이터를 암호화하여 암호문으로 바꾸는 과정을 의미합니다. 이때 사용되는 핵심 요소는 바로 '비밀키'입니다. 금고에 소중한 물건을 넣고 열쇠로 잠그는 것처럼, 데이터 역시 비밀키를 이용해 안전하게 보호할 수 있습니다. 동일한 비밀키가 있어야만 암호문에서 원래의 평문을 복호화할 수 있는 구조이기에, 클라우드와 같은 외부 공간에 데이터를 저장하더라도 비밀키만 안전하게 관리한다면 정보 유출의 걱정 없이 데이터를 보관할 수 있습니다. 역사상 최초의 암호 중 하나로 꼽히는 '시저 암호'는 알파벳을 일정 간격 뒤의 문자로 치환하는 단순한 방식을 사용했습니다. 예를 들어 알파벳을 세 칸씩 뒤로 밀어 A를 D로, B를 E로 바꾸는 식입니다. 시저는 가족이나 측근들과 소통할 때 이 방식을 활용했으며, 이는 약 2천 년 동안 널리 쓰였습니다. 하지만 치환 규칙의 가짓수가 적어 모든 경우를 조사하는 전수조사에 취약하다는 단점이 있었고, 이를 보완하기 위해 26개의 알파벳을 무작위로 섞어 치환하는 더 복잡한 방식이 고안되기도 했습니다. 제2차 세계대전 당시 독일군이 사용한 '에니그마'는 공학적으로 매우 정교한 암호화 기계였습니다. 타자기처럼 생긴 이 장치는 글자를 입력할 때마다 내부의 비밀키 설정이 바뀌어, 첫 번째 글자와 두 번째 글자의 암호화 규칙이 매번 달라지는 복잡한 구조를 가졌습니다. 당시 무선 통신의 발달로 적군이 아군의 통신 내용을 도청하기 쉬워진 상황에서, 에니그마는 독일군의 전략과 전술을 보호하는 핵심적인 역할을 수행했습니다. 이는 암호학적 우수성뿐만 아니라 사용의 편리함까지 갖춘 고전 암호의 정점으로 평가받습니다. 난공불락으로 여겨졌던 에니그마를 해독하는 데 결정적인 기여를 한 인물은 수학자 앨런 튜링입니다. 그는 독일군이 암호문의 시작 부분에 날씨 정보를 포함하는 등의 특정 패턴을 사용한다는 점에 착안하여, 암호문과 평문의 대응 관계를 역으로 추적하는 수학적 이론을 정립했습니다. 튜링은 이를 효율적으로 처리하기 위해 '콜로서스'라는 기계를 제작했는데, 이는 현대 컴퓨터의 원형으로 불립니다. 암호 해독을 위한 이러한 노력은 전쟁의 승패를 가르는 중요한 분수령이 되었으며 정보공학의 발전을 이끌었습니다. 현대에는 'AES(Advanced Encryption Standard)'와 같은 고도화된 2세대 암호 표준이 널리 사용되고 있습니다. 현대 암호 기술이 지향하는 안전성은 우주의 수명이 다할 때까지 해독을 시도해도 풀기 어려울 정도의 절대적인 수준을 목표로 합니다. 이미 충분한 안전성을 확보했음에도 불구하고 암호학 연구가 계속되는 이유는, 단순히 보안을 강화하는 것을 넘어 사용자가 더 편리하게 데이터를 관리할 수 있는 기능성을 추가하기 위함입니다. 이처럼 암호는 인류의 역사와 함께 끊임없이 진화하며 우리의 정보를 지키고 있습니다.

[카오스 짧강] 제 2세대 암호 : 암호화와 대칭키, 제2차 세계대전의 승패를 가르다

카오스재단질토과 + 짧강

[카오스 짧강] 제 1세대 암호 : 패스워드, 안전하게 만드는 방법 대공개!

암호의 역사는 생각보다 매우 깊습니다. 우리가 흔히 사용하는 비밀번호는 암호의 제1세대에 해당하며, 그 기원은 무려 3,000년 전으로 거슬러 올라갑니다. '알리바바와 40인의 도적'에 등장하는 "열려라 참깨"는 비밀번호의 가장 전형적인 원형이라고 볼 수 있습니다. 현대 사회에서 비밀번호를 사용하지 않는 사람은 거의 없지만, 역설적으로 완벽하게 안전한 비밀번호를 만드는 것은 여전히 어려운 과제로 남아 있습니다. 편리함과 보안성이라는 두 마리 토끼를 잡는 것은 암호학의 영원한 숙제와도 같습니다. 안전한 디지털 생활을 위해서는 비밀번호 관리에 전략이 필요합니다. 모든 웹사이트에 각기 다른 비밀번호를 설정하는 것이 가장 좋지만, 현실적으로 이를 모두 기억하기는 쉽지 않습니다. 이때 중요한 원칙은 보안 등급에 따라 비밀번호를 분류하는 것입니다. 금융 거래처럼 높은 보안이 요구되는 곳과 단순 취미용 웹사이트에 동일한 비밀번호를 사용하는 것은 매우 위험합니다. 보안이 취약한 사이트가 해킹당할 경우, 그 정보가 중요한 계정의 문을 여는 열쇠가 될 수 있기 때문입니다. 따라서 중요도에 따라 비밀번호의 복잡성을 차등화하는 지혜가 필요합니다. 우리는 흔히 짧은 비밀번호조차 기억하지 못하는 자신을 탓하곤 하지만, 이는 사실 인간의 인지 구조와 관련이 깊습니다. 인간은 의미가 통하는 말이나 일정한 법칙에 따라 배열된 정보는 잘 습득하지만, 아무런 맥락이 없는 정보에는 취약한 모습을 보입니다. 하지만 보안을 위해 '동해 물과 백두산이'처럼 익숙한 문장을 사용하는 것은 위험합니다. 앞부분만 노출되어도 전체를 쉽게 유추할 수 있기 때문입니다. 따라서 보안성을 높이려면 타인은 알 수 없지만 나에게는 의미 있는 독특한 조합을 찾아내는 전략이 필요합니다. 효과적인 비밀번호 생성 기법 중 하나는 자신만의 규칙을 담은 '초성'이나 '약어'를 활용하는 것입니다. 예를 들어 좋아하는 드라마 제목이나 꽃 이름의 초성을 조합하면, 겉보기에는 무작위적인 문자열처럼 보이지만 본인은 쉽게 기억할 수 있는 강력한 비밀번호가 됩니다. 이는 수학적으로 난수에서 일부를 추출하여 비밀번호를 만드는 원리와 유사하며, 정보의 상관관계를 끊어 보안성을 높이는 효과가 있습니다. 여기에 숫자나 특수문자를 자신만의 방식으로 섞는다면, 해커가 추측하기 거의 불가능한 수준의 높은 무질서도를 확보할 수 있습니다. 많은 사이트에서 권장하는 '주기적인 비밀번호 변경'이 반드시 보안을 강화하는 것은 아니라는 연구 결과도 있습니다. 2013년 마이크로소프트의 연구에 따르면, 비밀번호를 너무 자주 바꾸게 되면 사용자는 편의를 위해 오히려 비밀번호를 단순하게 만들거나 어딘가에 적어두는 경향을 보입니다. 과거 90일마다 비밀번호를 바꾸라는 규칙을 처음 제안했던 연구자조차 나중에는 이 규칙이 실효성이 낮음을 인정하며 후회하기도 했습니다. 결국 중요한 것은 변경 횟수보다, 타인이 유추할 수 없는 독창적이고 복잡한 비밀번호를 얼마나 잘 관리하느냐에 달려 있습니다.

[카오스 짧강] 제 1세대 암호 : 패스워드, 안전하게 만드는 방법 대공개!

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] AI의 역습! 암호가 세상을 구한다 2_by 천정희 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 3강 두 번째 이야기 | 3강 ②

인터넷의 발달은 서로 만난 적 없는 사람들 사이의 안전한 통신을 요구하게 되었습니다. 과거의 암호 방식은 송신자와 수신자가 동일한 대칭키를 공유해야 했지만, 현대의 온라인 쇼핑이나 금융 거래에서는 이것이 불가능합니다. 이를 해결하기 위해 수학자들은 공개키 암호라는 3세대 암호 체계를 고안해냈습니다. 이는 누구나 잠글 수 있지만 개인키를 가진 사람만이 열 수 있는 구조를 통해, 사전에 키를 공유하지 않고도 안전하게 정보를 주고받을 수 있는 혁신적인 기반을 마련했습니다. 공개키 암호의 원리는 돼지저금통에 비유할 수 있습니다. 저금통의 투입구는 누구나 돈을 넣을 수 있도록 열려 있지만, 아래의 자물쇠는 주인만이 열 수 있는 것과 같습니다. 수학적으로는 이를 일방향 함수라고 부르는데, 한쪽 방향으로의 계산은 쉽지만 그 반대 방향을 추론하는 것은 매우 어렵다는 특성을 이용합니다. 이러한 비대칭성은 인터넷상에서 '보안 핸드셰이크'라 불리는 과정을 가능하게 하여, 우리가 웹사이트에 접속하는 순간 자동으로 안전한 통신 채널을 형성하도록 돕습니다. 우리가 매일 사용하는 인터넷 주소창의 'HTTPS'는 이러한 암호 기술이 적용되었음을 의미합니다. 과거에는 중요한 금융 정보만 암호화했지만, 현대에는 개인의 검색 기록이나 시청 목록 같은 개인정보 보호를 위해 모든 통신을 암호화하는 추세입니다. 이는 중간에서 데이터를 가로채더라도 그 내용을 알 수 없게 만드는 '엔드투엔드' 암호화를 제공합니다. 덕분에 우리는 공공 Wi-Fi와 같은 개방된 네트워크 환경에서도 자신의 소중한 정보를 타인으로부터 안전하게 보호하며 자유롭게 인터넷을 이용할 수 있습니다. 3세대 암호의 핵심 수학 원리는 거대한 숫자의 소인수분해입니다. 두 소수를 곱하는 것은 쉽지만, 수백 자리의 결과값을 다시 원래의 소수로 나누는 작업은 슈퍼컴퓨터로도 수만 년이 걸릴 만큼 어렵습니다. 최근에는 더 효율적인 통신을 위해 타원 곡선 암호가 널리 쓰이고 있습니다. 이는 기존 방식보다 훨씬 짧은 키 길이로도 동일한 수준의 보안을 제공하여, 스마트폰이나 비트코인과 같은 모바일 및 블록체인 환경에서 연산 비용과 전력 소모를 줄이는 데 결정적인 역할을 하고 있습니다. 하지만 데이터가 저장되거나 전송될 때만 안전한 것으로는 충분하지 않습니다. 컴퓨터가 데이터를 계산하거나 분석하기 위해서는 복호화를 해야 하는데, 바로 이 순간이 보안의 가장 취약한 지점이 됩니다. 이를 해결하기 위해 등장한 4세대 암호가 바로 '동형 암호'입니다. 동형 암호는 데이터를 암호화된 상태 그대로 연산할 수 있게 해주는 기술로, 마치 말랑말랑한 금고 밖에서 손을 넣어 내부의 물건을 조립하는 것과 같습니다. 개인키를 노출하지 않고도 필요한 계산 결과를 얻을 수 있는 혁신적인 방식입니다. 동형 암호는 특히 인공지능과 빅데이터 분야에서 그 진가를 발휘합니다. 민감한 의료 기록이나 개인정보를 암호화된 상태로 딥러닝 모델에 학습시키면, 개인정보 유출 걱정 없이 새로운 치료법을 개발하거나 정교한 예측 서비스를 제공할 수 있습니다. 사용자가 챗GPT와 같은 서비스에 질문을 던질 때도 자신의 질문 내용을 서비스 제공자가 알 수 없도록 보호하면서 정확한 답변만 받아볼 수 있습니다. 이는 데이터의 활용과 개인정보 보호라는 두 마리 토끼를 동시에 잡을 수 있는 암호학의 성배와도 같습니다. 미래의 위협인 양자 컴퓨터의 등장은 기존 암호 체계에 큰 도전이 되고 있습니다. 양자 알고리즘은 현재의 소인수분해 기반 암호를 순식간에 해독할 수 있기 때문입니다. 이에 대비하여 전 세계적으로 '양자 내성 암호' 연구가 활발히 진행되고 있으며, 흥미롭게도 이 기술은 동형 암호와 수학적 뿌리를 공유합니다. 수학적 난제를 통해 보안성을 확보하는 이러한 노력은 인공지능이 인간을 지배하지 못하도록 데이터를 제어하는 수단이 되기도 합니다. 암호 기술은 단순한 보안을 넘어 디지털 세상의 안전과 신뢰를 지키는 최후의 보루입니다.

[강연] AI의 역습! 암호가 세상을 구한다 2_by 천정희 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 3강 두 번째 이야기

천정희

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] AI의 역습! 암호가 세상을 구한다 1_by 천정희 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 3강 첫 번째 이야기 | 3강 ①

인공지능 기술이 비약적으로 발전하면서 우리 일상에 깊숙이 자리 잡았지만, 동시에 개인 정보와 데이터 보안에 대한 우려도 커지고 있습니다. 데이터를 안전하게 보호하기 위해 암호를 사용하지만, 인공지능이 데이터를 학습하고 활용하려면 결국 암호를 풀어야 한다는 딜레마에 직면하게 됩니다. 암호화된 상태를 유지하면서도 인공지능이 그 기능을 수행할 수 있게 만드는 기술은 현대 암호학이 해결해야 할 중요한 과제 중 하나입니다. 인공지능과 보안의 공존은 미래 기술 사회의 핵심적인 화두가 되고 있습니다. 암호의 기본 원리는 물리적인 금고와 유사합니다. 소중한 물건을 금고에 넣고 열쇠로 잠그면, 열쇠를 가진 사람만이 내용물을 확인할 수 있는 것과 같습니다. 디지털 세상에서도 데이터를 금고에 넣는 과정을 암호화라고 하며, 이를 다시 꺼내는 과정을 복호화라고 부릅니다. 이때 사용되는 열쇠가 바로 비밀키입니다. 클라우드에 데이터를 올릴 때 암호화를 거치면, 비밀키 없이는 누구도 그 내용을 엿볼 수 없는 안전한 상태가 유지됩니다. 이러한 방식은 데이터가 전송되거나 저장되는 과정에서 강력한 방어막이 됩니다. 암호학의 중심에는 수학이 자리 잡고 있습니다. 데이터를 암호화할 때는 비밀키 없이는 역과정을 수행하기 매우 어려운 '일방향 함수'가 필요합니다. 이는 수학적으로 풀기 어려운 난제를 기반으로 설계되며, 이러한 수학적 복잡성이 암호의 안전성을 보장하는 핵심 요소가 됩니다. 결국 우리가 사용하는 모든 보안 체계는 고도의 수학적 원리를 통해 구축된 셈이며, 수학은 보이지 않는 곳에서 우리의 디지털 자산을 지키는 든든한 방패 역할을 하고 있습니다. 수학적 난제가 곧 암호의 강도를 결정짓는 척도가 되는 것입니다. 우리는 일상 속에서 자신도 모르게 수많은 암호 기술을 사용하며 살아갑니다. 교통카드를 태그하거나 스마트폰으로 은행 업무를 볼 때, 그리고 온라인 쇼핑몰에서 신용카드 번호를 입력할 때도 암호화 기술이 작동합니다. 특히 비대면 금융 거래가 가능해진 것은 암호 기술 덕분에 정당한 사용자임을 인증하고 정보를 안전하게 주고받을 수 있게 되었기 때문입니다. 암호는 이제 특정 전문가들만의 영역이 아니라 현대 사회를 지탱하는 필수적인 기반 기술이 되었으며, 우리의 경제 활동을 안전하게 보호하고 있습니다. 가장 친숙한 1세대 암호는 비밀번호입니다. 하지만 인간의 뇌는 무작위 숫자를 기억하는 데 익숙하지 않아 보안과 편리함 사이에서 늘 갈등하게 됩니다. 안전한 비밀번호를 만들기 위해서는 자신만의 규칙을 정하는 것이 좋습니다. 예를 들어 좋아하는 문장의 초성만을 따서 조합하거나, 웹사이트의 중요도에 따라 보안 등급을 나누어 관리하는 방식입니다. 단순히 자주 바꾸는 것보다 유추하기 어려운 복잡한 구조를 설계하는 것이 보안 측면에서 더욱 효과적일 수 있으며, 이는 개인 정보 보호의 첫걸음이 됩니다. 2세대 암호는 데이터를 직접 암호문으로 바꾸어 저장하는 방식입니다. 최신 스마트폰에 적용된 디스크 암호화 기술이 대표적인 사례입니다. 과거의 컴퓨터는 하드디스크만 분리하면 내용을 쉽게 읽을 수 있었지만, 스마트폰은 모든 데이터를 난수 형태로 암호화하여 저장하므로 비밀번호를 모르면 물리적으로 데이터를 추출하기가 매우 어렵습니다. 이는 분실이나 도난 상황에서도 개인 정보를 보호할 수 있는 강력한 보안 장치로 작용하며, 현대 모바일 환경에서 사용자의 프라이버시를 지키는 핵심적인 기술로 자리 잡았습니다. 암호의 역사는 전쟁의 승패를 가를 만큼 결정적인 역할을 해왔습니다. 제2차 세계대전 당시 독일군이 사용한 에니그마는 매우 정교한 암호 기계였지만, 앨런 튜링을 비롯한 수학자들이 이를 해독해 내면서 전쟁의 흐름이 바뀌었습니다. 이 과정에서 암호 해독을 위해 만들어진 기계들은 현대 컴퓨터의 원형이 되었으며, 수학적 이론이 실제 기술로 구현되는 중요한 계기가 되었습니다. 과거의 암호 해독 노력이 오늘날 우리가 누리는 디지털 문명의 초석을 다진 셈이며, 암호학은 여전히 기술 발전의 최전선에 있습니다.

[강연] AI의 역습! 암호가 세상을 구한다 1_by 천정희 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 3강 첫 번째 이야기

천정희

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 2_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 두 번째 이야기 | 2강 ②

고대 수학자 디오판토스의 저서 『산수』에는 오늘날의 수식과는 달리 문장으로 표현된 복잡한 문제들이 가득합니다. 예를 들어 주어진 수를 두 조각으로 나누어 그 곱이 정육면체의 부피에서 변의 길이를 뺀 값과 같게 만드는 문제는 현대의 대수학적 기호를 빌리면 훨씬 명료해집니다. 과거의 수학자들이 말로 풀어서 설명했던 난해한 조건들을 기호화하는 과정은 인간의 사고를 효율적으로 만들었습니다. 이러한 수식화는 단순히 계산을 돕는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫고 해를 찾는 새로운 길을 열어주는 수학적 언어의 탄생을 의미합니다. 디오판토스가 제시한 방정식은 현대 수학에서 '타원곡선'이라는 개념으로 이어집니다. 타원곡선은 3차 방정식의 해를 좌표평면 위에 점으로 나타낸 기하학적 형상입니다. 컴퓨터를 활용해 이 곡선을 그려보면 특유의 대칭적인 모양이 나타나는데, 이 곡선 위의 점들은 곧 방정식의 유리수 해를 의미합니다. 과거에는 단순히 숫자를 대입하며 해를 찾으려 애썼지만, 이제는 기하학적 구조를 통해 해의 분포와 성질을 시각적으로 파악할 수 있게 되었습니다. 이는 대수학과 기하학이 결합하여 복잡한 수의 세계를 탐구하는 강력한 도구가 되었음을 보여줍니다. 타원곡선 상의 점들은 수학적으로 '군(Group)'의 구조를 형성하며, 이는 정수론의 난제들을 해결하는 핵심적인 열쇠가 됩니다. 닫혀 있는 연산의 특성상 하나의 해로부터 무수히 많은 새로운 해를 생성해낼 수 있기 때문입니다. 겉보기에는 무작위해 보이는 유리수 해들이 사실은 정교한 수학적 규칙 아래 서로 연결되어 있다는 사실은 매우 놀랍습니다. 이러한 군 구조의 발견은 복잡한 방정식의 해를 체계적으로 탐구할 수 있는 이론적 바탕을 마련해 주었으며, 현대 대수학의 지평을 넓히는 계기가 되었습니다. 20세기 초 모델(Mordell)은 타원곡선의 모든 유리수 해가 유한 개의 생성 요소들로부터 만들어진다는 정리를 증명했습니다. 이는 아무리 많은 해가 존재하더라도 몇 개의 기본 소자만 알면 나머지를 모두 찾아낼 수 있다는 희망적인 소식이었습니다. 하지만 현대 수학에는 여전히 거대한 장벽이 남아 있습니다. 바로 그 유한 개의 생성 요소를 일반적으로 찾아내는 알고리즘이 아직 완벽히 밝혀지지 않았기 때문입니다. 이 문제를 다루는 'BSD 추측'은 밀레니엄 난제 중 하나로 꼽히며, 오늘날에도 수많은 수학자가 학문적 성취를 위해 도전하고 있습니다. 타원곡선 이론은 순수 수학의 영역을 넘어 현대 사회의 보안과 기술 발전에도 결정적인 기여를 하고 있습니다. 앤드류 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 타원곡선은 결정적인 아이디어를 제공했으며, 오늘날에는 암호론의 핵심 기술로 자리 잡았습니다. 타원곡선 위의 복잡한 연산 구조는 정보를 안전하게 보호하는 4세대 암호 체계의 근간이 됩니다. 인공지능 시대에 개인 정보를 보호하면서도 효율적인 데이터 처리를 가능케 하는 수학적 방패로서, 타원곡선은 보이지 않는 곳에서 우리의 디지털 세상을 지탱하는 든든한 기초가 되고 있습니다.

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 2_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 두 번째 이야기

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 슈뢰딩거의 고양이를 이용한 빠른 소인수분해 계산ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 4강 | 4강

현대 보안의 핵심인 공개 키 암호 체계는 소인수분해가 매우 어렵다는 사실에 기반합니다. 거대한 두 소수의 곱으로 이루어진 수를 다시 원래의 소수로 되돌리는 과정은 슈퍼컴퓨터로도 수만 년이 걸릴 만큼 방대하기 때문입니다. 하지만 역설적이게도 수학자들은 이 난공불락의 문제를 더 빠르게 해결할 방법을 끊임없이 연구해 왔습니다. 이는 단순히 암호를 해독하기 위함이 아니라, 계산의 본질과 수의 체계를 깊이 이해하려는 학문적 열망에서 비롯된 도전이기도 합니다. 나머지 연산의 세계에서는 거듭제곱을 구하는 것은 매우 쉽지만, 그 역과정인 거듭제곱근을 찾는 것은 대단히 어렵습니다. 일반적인 수 체계와 달리 나머지 연산에서는 숫자의 크기에 대한 정보가 소멸하기 때문에, 원래의 수를 추적하려면 모든 가능성을 일일이 대조하는 비효율적인 과정을 거쳐야 합니다. 이러한 계산의 비대칭성이 바로 우리가 매일 사용하는 인터넷 보안의 튼튼한 성벽이 되어줍니다. 하지만 이 성벽을 무너뜨릴 수 있는 수학적 틈새는 분명히 존재합니다. 소인수분해를 빠르게 해결하는 핵심 열쇠 중 하나는 '가짜 -1'이라 불리는 특수한 수를 찾는 것입니다. 이는 제곱했을 때 나머지가 1이 되지만, 자기 자신은 1이나 -1이 아닌 수를 의미합니다. 이러한 수를 발견하면 인수분해 공식을 통해 원래 숫자의 약수를 추출해낼 수 있습니다. 결국 복잡한 소인수분해 문제는 이 '가짜 -1'을 얼마나 효율적으로 찾아내느냐는 문제로 귀결되며, 이는 다시 수의 '주기'를 찾는 과정으로 자연스럽게 연결됩니다. 수의 주기란 어떤 수를 거듭제곱했을 때 다시 나머지가 1로 돌아오는 최소한의 횟수를 말합니다. 고전적인 컴퓨터는 이 주기를 찾기 위해 숫자를 하나씩 대입하며 엄청난 횟수의 계산을 반복해야 합니다. 숫자가 커질수록 계산량은 기하급수적으로 늘어나 사실상 해결이 불가능해집니다. 하지만 만약 우리가 모든 거듭제곱의 결과를 한꺼번에 확인할 수 있는 마법 같은 도구를 갖게 된다면, 소인수분해의 난제는 순식간에 해결될 수 있는 결정적인 실마리를 얻게 됩니다. 여기서 등장하는 혁신적인 도구가 바로 양자 컴퓨터입니다. 양자 역학의 '중첩' 원리를 이용하면 슈뢰딩거의 고양이가 동시에 존재하는 것처럼, 기계의 상태를 여러 숫자가 동시에 존재하는 상태로 만들 수 있습니다. 이는 한 번의 연산으로 수많은 입력값에 대한 결과값을 동시에 도출할 수 있음을 의미합니다. 양자 컴퓨터는 이러한 특성을 활용하여 고전 컴퓨터가 수만 년 동안 수행해야 할 계산을 단 몇 분 만에 처리할 수 있는 놀라운 잠재력을 지니고 있습니다. 양자 컴퓨터를 활용한 소인수분해 알고리즘은 모든 거듭제곱 상태를 중첩시켜 주기를 단번에 찾아냅니다. 숫자의 크기에 비례하여 계산 시간이 늘어나는 것이 아니라, 숫자의 길이에 비례하여 연산이 수행되기 때문에 효율성이 극대화됩니다. 1990년대 피터 쇼어가 제안한 이 방식은 양자 컴퓨팅 분야에 엄청난 파급력을 불러일으켰습니다. 이론적으로는 현재의 모든 보안 체계를 무력화할 수 있는 이 기술은, 현대 과학이 도달하고자 하는 가장 뜨거운 연구 과제 중 하나가 되었습니다. 양자 컴퓨터의 실현은 기존 보안 체계에 위협이 될 수도 있지만, 동시에 인류에게 새로운 가능성의 문을 열어줄 것입니다. 원자력이 파괴적인 무기가 될 수도, 깨끗한 에너지가 될 수도 있는 것처럼 기술의 가치는 그것을 다루는 인간의 의지에 달려 있습니다. 빠른 소인수분해를 향한 여정은 단순한 계산의 속도 경쟁을 넘어, 우주의 근본 원리를 계산의 영역으로 끌어들이려는 인류의 위대한 도전입니다. 이 과정에서 탄생할 새로운 수학적 통찰이 우리 미래를 어떻게 바꿀지 기대됩니다.

[강연] 슈뢰딩거의 고양이를 이용한 빠른 소인수분해 계산ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 4강

김민형

카오스재단마스터클래스

수학

[강연] 도대체 '계산'이란 무엇인가? '계산'의 놀라운 정의 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 3강 | 3강

계산이란 단순히 숫자를 더하고 빼는 산술적 행위를 넘어, 정해진 논리적 규칙에 따라 정보를 변환하고 구조화하는 근본적인 과정입니다. 우리는 일상 속에서 무의식적으로 수많은 계산을 수행하며 살아가지만, 수학적 관점에서 계산의 본질을 깊이 들여다보면 그것은 우주의 질서를 이해하고 체계화하는 고도의 지적 활동임을 알 수 있습니다. 이러한 과정은 현대 문명을 지탱하는 기술적 토대가 되며, 복잡한 문제를 해결하는 가장 강력한 도구로 작용합니다. 과거 오일러와 같은 수학자들이 정립한 정수론의 원리들은 오늘날 디지털 세상의 보안을 책임지는 공개키 암호의 핵심이 되었습니다. 순수 수학적 호기심에서 시작된 정수론의 정리가 수백 년이 지난 지금, 전 세계의 금융 거래와 개인 정보를 보호하는 실용적인 기술로 변모한 것입니다. 이는 추상적인 수학적 사고가 어떻게 현실의 구체적인 문제를 해결하는 계산적 도구로 진화할 수 있는지를 보여주는 완벽한 사례라고 할 수 있습니다. 알고리즘은 계산을 수행하기 위한 명확한 절차이자 약속입니다. 어떤 입력값이 주어졌을 때 원하는 결과에 도달하기까지의 과정을 단계별로 정의한 이 설계도는, 현대 컴퓨터 과학의 심장과도 같습니다. 효율적인 알고리즘을 찾는 과정은 단순히 속도를 높이는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫는 통찰력을 요구합니다. 수학자들은 가장 간결하면서도 강력한 논리적 경로를 찾아냄으로써, 불가능해 보이던 계산의 영역을 가능의 영역으로 확장해 왔습니다. 하지만 모든 문제가 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 계산 복잡도 이론은 어떤 문제는 해결하는 데 우주의 수명보다 긴 시간이 걸릴 수 있음을 시사합니다. 이러한 한계는 우리에게 효율성의 중요성을 일깨워주는 동시에, 계산 가능한 것과 그렇지 않은 것 사이의 경계를 탐구하게 만듭니다. 우리는 이러한 제약 안에서 최적의 해답을 찾기 위해 끊임없이 노력하며, 이는 수학적 사고가 직면한 가장 흥미로운 도전 중 하나로 남아 있습니다. 계산의 기초는 엄밀한 수학적 논리 체계 위에 세워져 있습니다. 기호 논리학과 집합론은 계산이 이루어지는 언어를 제공하며, 이를 통해 우리는 모호함 없이 사고를 전개할 수 있습니다. 형식적인 체계 안에서 증명과 계산은 서로 긴밀하게 연결되어 있으며, 하나의 참인 명제를 도출해내는 과정 자체가 정교한 계산의 연속이라고 볼 수 있습니다. 이러한 논리적 엄밀함은 계산 결과에 대한 신뢰성을 보장하는 가장 강력한 근거가 됩니다. 인공지능 기술의 비약적인 발전은 계산에 대한 우리의 인식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 과거에는 인간만의 고유한 영역이라 여겨졌던 추론과 창의적 판단조차, 이제는 거대한 데이터와 복잡한 수치 계산의 조합으로 구현되고 있습니다. 이는 '생각한다는 것'과 '계산한다는 것' 사이의 경계를 모호하게 만들며, 지능의 본질에 대한 새로운 질문을 던집니다. 기계가 수행하는 방대한 계산은 인간의 인지 능력을 확장하는 새로운 지평을 열어주고 있습니다. 결국 계산이란 인간이 세상을 이해하고 통제하기 위해 만들어낸 가장 정교한 언어입니다. 수학적 사고를 통해 다듬어진 계산의 원리들은 과학 기술의 발전뿐만 아니라, 우리 사회의 의사결정 구조와 철학적 사유에도 깊은 영향을 미치고 있습니다. 미래의 계산은 더욱 복잡하고 정교해지겠지만, 그 중심에는 여전히 논리적 일관성과 진리를 향한 인간의 탐구 정신이 자리 잡고 있을 것입니다. 우리는 계산을 통해 미지의 세계를 정복해 나갈 것입니다.

[강연] 도대체 '계산'이란 무엇인가? '계산'의 놀라운 정의 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 3강

김민형

카오스재단마스터클래스

수학

‘공개키 암호’의 이해 | 2021 마스터클래스 '수학과 계산'

공개키 암호는 현대 보안의 핵심으로, 수학적 계산의 비대칭성에 그 뿌리를 두고 있습니다. 특히 나머지 연산에서의 거듭제곱근 계산과 거대한 수의 소인수분해라는 두 가지 난제가 암호의 안전성을 보장합니다. 일반적인 산술과 달리 나머지 연산 체계에서는 특정 값을 역으로 추적하는 것이 매우 비효율적이기 때문입니다. 이러한 수학적 장벽은 정당한 권한이 없는 제3자가 정보를 가로채더라도 그 내용을 쉽게 파악할 수 없도록 만드는 든든한 방패 역할을 수행하며, 복잡한 수의 세계를 안전한 통신의 도구로 변모시킵니다. 암호화된 정보를 해독하기 위한 비밀 병기는 바로 오일러 정리입니다. 이 정리는 어떤 수가 두 소수의 곱으로 이루어져 있고, 암호화하려는 값과 서로소 관계일 때 성립하는 특별한 수식을 제공합니다. 오일러 정리를 적절히 변형하면 복잡한 나머지 연산의 거듭제곱근 문제를 상대적으로 다루기 쉬운 거듭제곱의 문제로 전환할 수 있습니다. 이는 암호 설계자가 소인수분해 정보를 미리 알고 있을 때만 가능한 마법 같은 과정으로, 암호의 생성과 해독 과정에서 결정적인 가교 역할을 수행하게 됩니다. 공개키 암호 시스템에서 숫자의 구성 원리를 이해하는 것은 매우 중요합니다. 공개된 큰 숫자가 사실은 두 개의 소수를 곱해 만들어졌다는 사실이 핵심입니다. 실제 암호 체계에서는 이 소수들이 상상을 초월할 정도로 크기 때문에, 제3자가 이를 다시 소인수분해하여 원래의 소수들을 찾아내는 것은 현대의 컴퓨팅 기술로도 거의 불가능에 가깝습니다. 하지만 이 소수들을 알고 있는 설계자는 오일러 정리를 활용해 자신만의 비밀키를 생성할 수 있으며, 이를 통해 복잡하게 꼬인 암호문을 단숨에 풀어낼 수 있는 열쇠를 쥐게 됩니다. 실제 통신 상황에서 공개키 암호가 작동하는 방식은 매우 정교합니다. 정보를 받고자 하는 수신자가 먼저 공개키를 세상에 알리면, 송신자는 그 숫자를 이용해 자신의 메시지를 거듭제곱하여 암호화합니다. 이때 생성된 암호문은 나머지 연산의 특성상 거듭제곱근을 구하기가 극도로 어렵기 때문에 통로에서 가로채더라도 안전합니다. 오직 비밀키를 가진 수신자만이 자신만이 알고 있는 소인수분해 정보를 바탕으로 암호문을 자신의 비밀키로 다시 거듭제곱하여 원래의 정보를 복원해낼 수 있는 구조를 가집니다. 암호의 본질은 결국 풀기 힘들어야 한다는 점에 있습니다. 인류는 수학에서 가장 해결하기 어려운 난제 중 하나인 소인수분해 문제를 역설적으로 가장 안전한 보안의 수단으로 활용해 왔습니다. 암호에 응용된 정교한 수학적 계산 원리도 놀랍지만, 인간의 지혜가 이토록 어려운 문제를 일상의 안전을 지키는 도구로 승화시켰다는 사실은 깊은 감동을 줍니다. 수학적 불가능성을 가능성의 방패로 바꾼 공개키 암호는 현대 정보 사회를 지탱하는 가장 아름답고도 강력한 지적 설계물이라 할 수 있습니다.

‘공개키 암호’의 이해 | 2021 마스터클래스 '수학과 계산'

카오스재단마스터클래스

수학

[강연] 풀기 힘든 계산이 풀기 힘든 암호로 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 2강 | 2강

인공지능의 시대는 곧 계산의 시대라고 할 수 있습니다. 많은 이들이 수학자는 계산을 잘할 것이라 오해하거나, 반대로 계산을 단순한 작업으로 치부하기도 합니다. 하지만 계산은 그 자체로 매우 심오하고 미묘한 세계를 품고 있습니다. 고대 바빌로니아 시절부터 현대의 디지털 보안에 이르기까지, 인류는 더 효율적이고 정교한 계산법을 찾기 위해 끊임없이 노력해 왔습니다. 이러한 계산의 본질을 탐구하는 과정은 현대 과학기술의 근간을 이해하는 열쇠가 됩니다. 역사 속에는 수천 년 전부터 전해 내려온 놀라운 알고리즘들이 존재합니다. 바빌로니아의 거듭제곱근 계산법이나 유클리드의 최대공약수 알고리즘은 현대의 관점에서도 더 이상 향상시키기 어려울 만큼 완벽한 효율성을 자랑합니다. 반면, 어떤 수의 소인수를 찾는 소인수분해 계산법은 개념적으로는 단순해 보이지만, 숫자가 커질수록 기하급수적으로 많은 시간이 소요되는 비효율성을 지니고 있습니다. 이처럼 계산의 효율성은 단순히 귀찮음의 문제를 넘어 학문적 난제로 다루어집니다. 나머지 연산, 즉 모듈로 연산은 현대 수학과 암호학에서 가장 중요한 도구 중 하나입니다. 이는 어떤 수를 특정 숫자로 나누었을 때 남는 값에 집중하는 방식인데, 우리가 일상에서 사용하는 10진법이나 시계의 시간 계산과도 밀접한 관련이 있습니다. 나머지 연산의 가장 큰 특징은 덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱과 같은 연산이 일반적인 수 체계보다 훨씬 쉽고 빠르게 이루어진다는 점입니다. 복잡한 큰 수의 계산도 끝자리나 나머지 규칙을 활용하면 놀라울 정도로 단순해집니다. 거듭제곱 연산의 효율성은 나머지 연산의 진가를 보여주는 사례입니다. 예를 들어 2를 100만 번 곱한 값의 마지막 자릿수를 구하는 문제는 일반적인 방식으로는 불가능에 가깝지만, 나머지 연산의 성질을 이용하면 암산으로도 해결이 가능합니다. 지수 법칙과 반복적인 나머지 계산을 결합하면, 아무리 거대한 지수를 가진 수라도 순식간에 그 결과를 도출할 수 있습니다. 이러한 계산의 용이성은 방대한 데이터를 처리해야 하는 현대 컴퓨터 공학에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 하지만 나머지 연산에는 흥미로운 비대칭성이 존재합니다. 거듭제곱은 매우 쉬운 반면, 그 역연산인 거듭제곱근을 구하는 과정은 극도로 어렵습니다. 일반적인 수 체계에서는 숫자의 크기를 통해 거듭제곱근의 범위를 짐작할 수 있지만, 나머지 연산에서는 크기에 대한 정보가 완전히 사라지기 때문입니다. 결과값만 보고 원래 어떤 수를 곱했는지 찾아내려면 사실상 모든 가능성을 하나씩 대입해 보는 수밖에 없습니다. 이러한 연산의 난해함이 바로 현대 보안의 기초가 됩니다. 우리가 매일 사용하는 인터넷 보안의 핵심인 공개키 암호 알고리즘은 바로 이 계산의 비대칭성을 활용합니다. 누구나 암호를 만들 수 있도록 공개된 숫자를 제공하지만, 이를 해독하기 위해 필요한 소인수분해나 거듭제곱근 계산은 현대의 슈퍼컴퓨터로도 수만 년이 걸릴 만큼 어렵게 설계되어 있습니다. 오일러의 정리와 같은 수학적 원리는 암호를 만든 주인만이 비밀 통로를 통해 메시지를 복원할 수 있게 해줍니다. 결국 수학적 계산의 어려움이 우리의 소중한 정보를 지켜주는 든든한 방어벽이 되는 셈입니다. 수학의 궁극적인 목적은 단순히 정답을 계산해 내는 것이 아니라, 현상의 이면에 숨겨진 원리를 깊이 이해하는 데 있습니다. 증명이라는 과정 또한 이미 밝혀진 사실을 확인하는 작업을 넘어, 그 현상이 왜 발생하는지를 통찰하는 도구로 사용됩니다. 괴델의 불완전성 정리가 보여주듯, 수학의 세계는 몇 가지 공리만으로 모두 설명할 수 없을 만큼 복잡하고 광활합니다. 계산의 효율성을 탐구하고 논리의 한계를 마주하는 과정은 인간의 지성이 도달할 수 있는 가장 아름다운 여정 중 하나입니다.

[강연] 풀기 힘든 계산이 풀기 힘든 암호로 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 2강

김민형

카오스재단마스터클래스

수학

[강연] 문명과 수학의 기원(3)_박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ③

수학의 역사는 추상과 실용이라는 두 축이 서로 대립하고 극복하며 발전해 온 과정입니다. 21세기에 들어서며 실용은 수학의 영역을 확장하는 모습으로, 추상은 난제 해결의 형태로 진화하고 있습니다. 특히 그리스적 전통을 잇는 추상 수학은 수학적 우주 그 자체의 깊이를 탐구하며, 기존 체계로는 해결할 수 없는 난관을 돌파하는 과정에서 비약적인 발전을 이룹니다. 이는 단순히 지식의 양이 늘어나는 점진적 과정이 아니라, 새로운 패러다임이 출현하는 불연속적인 혁명의 역사라고 할 수 있습니다. 수학적 난제는 기존 체계의 불완전성을 드러내는 동시에 새로운 사고의 틀을 구축하는 강력한 동기가 됩니다. 대표적인 예로 5차 방정식의 근의 공식을 찾는 과정에서 탄생한 '군론'을 들 수 있습니다. 10대의 천재 수학자 갈루아는 이 난제를 해결하기 위해 완전히 새로운 수학적 구조를 설계했으며, 이는 훗날 화학의 결정 구조나 물리학의 대칭성을 설명하는 핵심 도구가 되었습니다. 하나의 난제를 해결함으로써 수학의 내적 틀이 바뀌고, 그것이 다시 자연과학의 지평을 넓히는 기폭제가 된 것입니다. 현대 수학은 힐베르트의 문제들이나 밀레니엄 난제들을 통해 여전히 미지의 영역에 도전하고 있습니다. 소수들로 이루어진 등차수열의 존재를 증명한 테렌스 타오의 사례처럼, 난제 해결은 우리가 소수의 성질을 얼마나 모르고 있었는지를 깨닫게 하며 수학적 우주의 조밀함을 이해하게 합니다. 이러한 도전은 단순히 상금을 목적으로 하는 것이 아니라, 우리가 왜 이 문제를 풀지 못하는지 그 근본적인 이유를 들여다봄으로써 수학이라는 학문의 한계를 시험하고 새로운 지적 영토를 개척하는 숭고한 과정입니다. 반면 바빌로니아적 전통을 계승한 실용 수학은 물리적 우주의 복잡한 문제들을 해결하며 그 가치를 증명합니다. 픽사의 애니메이션 제작부터 베를린의 교통 체증 해결, 심지어 선거 결과 예측과 의료용 MRI의 역문제 해결에 이르기까지 수학은 현대 사회의 보이지 않는 엔진 역할을 합니다. 때로는 버스 대수를 줄여야 교통이 원활해진다는 결과처럼 우리의 상식을 뒤엎는 해답을 제시하기도 합니다. 이는 수학적 논리가 현실의 복잡성을 관통하여 가장 효율적인 최적의 경로를 찾아낼 수 있음을 보여줍니다. 수학과 기술은 서로 영향을 주고받으며 변증법적으로 발전합니다. 무선 통신의 발달이 암호학이라는 새로운 수학 분야를 촉발했듯이, 물리적 우주의 성취가 수학적 우주에 새로운 영감을 불어넣기도 합니다. 한국의 수학은 그동안 서구의 이론을 이식하고 학습하는 단계에 집중해 왔으나, 이제는 추상적인 수학적 우주와 구체적인 물리적 우주 사이의 상호작용에 더 큰 관심을 기울여야 합니다. 두 세계가 긴밀하게 소통할 때 비로소 수학은 박제된 이론을 넘어 시대를 이끄는 진정한 생명력을 얻게 될 것입니다.

[강연] 문명과 수학의 기원(3)_박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강

박형주

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 무한에서 시작하는 수수께끼 _ by한상근｜2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體' | 9강

우리는 세상을 살아가며 수많은 질문을 던집니다. 그중에서도 '도대체'라는 말로 시작하는 물음은 사물의 본질과 근원을 꿰뚫으려는 강렬한 지적 욕구를 담고 있습니다. 과학은 바로 이러한 근원적인 호기심에서 출발했습니다. 눈앞에 보이는 현상 너머에 숨겨진 원리를 찾고자 하는 노력은 인류 문명을 발전시킨 핵심 동력이 되었습니다. 우리는 이 질문을 통해 익숙한 세상을 낯설게 바라보고, 그 안에서 새로운 질서를 발견하는 즐거움을 누리게 됩니다. 질문은 멈추지 않는 탐구의 시작입니다. 고대 철학자들부터 현대의 과학자들에 이르기까지, 인류는 우주와 생명의 신비를 풀기 위해 끊임없이 탐구해 왔습니다. 밤하늘의 별을 보며 우주의 크기를 가늠하고, 아주 작은 원자의 세계를 들여다보며 물질의 구성을 이해하려 노력했습니다. 이러한 탐구 과정은 때로는 좌절을 안겨주기도 하지만, 미지의 영역을 하나씩 밝혀낼 때마다 인류의 지평은 넓어집니다. 과학적 사고는 단순히 지식을 쌓는 것을 넘어 세상을 객관적으로 바라보는 눈을 길러주며, 우리를 더 넓은 세계로 안내하는 나침반 역할을 합니다. 현대 과학은 그 범위가 매우 넓고 깊어져서 한 개인이 모든 분야를 완벽히 이해하기란 불가능에 가깝습니다. 물리학, 화학, 생물학 등 각 분야는 고도로 전문화되었으며, 최첨단 기술과 결합하여 매일 새로운 발견을 쏟아내고 있습니다. 하지만 이러한 전문화 속에서도 변하지 않는 가치는 바로 '질문하는 힘'입니다. 복잡한 수식과 실험 데이터 속에서도 우리가 진정으로 알고자 하는 것이 무엇인지 잊지 않는 태도가 현대 과학의 복잡성을 이겨내는 열쇠가 됩니다. 본질을 꿰뚫는 질문은 복잡함 속에서 길을 잃지 않게 도와줍니다. 최근의 과학적 성과들은 여러 학문 분야가 서로 경계를 허물고 협력할 때 더욱 빛을 발합니다. 뇌과학과 인공지능, 생명공학과 윤리학의 만남처럼 서로 다른 시각이 교차하는 지점에서 혁신적인 아이디어가 탄생합니다. 이러한 융합적 사고는 우리가 직면한 복잡한 사회 문제를 해결하는 데에도 필수적입니다. 과학은 고립된 섬이 아니라, 인문학적 성찰과 예술적 상상력이 함께 어우러질 때 비로소 인간을 위한 진정한 가치를 창출할 수 있습니다. 다양한 학문의 만남은 새로운 가능성의 문을 여는 열쇠가 됩니다. 대중과 과학이 소통하는 장은 과학의 대중화를 위해 매우 중요합니다. 전문가들만의 전유물로 여겨졌던 과학 지식이 강연과 매체를 통해 공유되면서, 많은 이들이 과학적 즐거움을 함께 나누고 있습니다. 과학 강연은 단순히 지식을 전달하는 자리가 아니라, 함께 고민하고 질문하며 사고의 폭을 넓히는 축제의 장입니다. 이러한 소통을 통해 과학은 우리 일상 속으로 깊숙이 들어오며, 합리적인 사회를 만드는 밑거름이 되어줍니다. 지식의 공유는 우리 모두를 지적으로 성장하게 만드는 소중한 기회입니다. 우리가 아직 알지 못하는 미지의 영역은 여전히 광활합니다. 암흑 물질의 정체나 생명의 기원, 의식의 본질과 같은 난제들은 여전히 과학자들의 도전 정신을 자극합니다. 모르는 것을 인정하고 그 너머를 궁금해하는 태도는 과학이 가진 가장 큰 매력 중 하나입니다. 정답을 찾는 것보다 중요한 것은 올바른 질문을 던지는 과정 그 자체에 있습니다. 불확실성 속에서도 진리를 향해 한 걸음씩 나아가는 과정은 그 자체로 숭고한 여정이며, 우리에게 겸손함과 동시에 무한한 가능성을 가르쳐 줍니다. 과학의 여정은 결코 끝이 나지 않는 마라톤과 같습니다. 하나의 답을 찾으면 그 뒤에는 또 다른 수많은 질문이 우리를 기다리고 있기 때문입니다. 하지만 이러한 끝없는 탐구야말로 인류를 진보하게 만드는 원동력입니다. 우리는 앞으로도 '도대체'라는 질문을 멈추지 않을 것입니다. 그 질문이 이끄는 곳이 어디든, 우리는 그 길 위에서 세상을 더 깊이 이해하고 사랑하는 법을 배우게 될 것입니다. 과학은 우리에게 세상을 향한 끝없는 설렘을 선사하며, 더 나은 미래를 꿈꾸게 하는 가장 강력한 도구입니다.

[강연] 무한에서 시작하는 수수께끼 _ by한상근｜2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體'

한상근

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 데이터 세상에서 수학으로 살아남기 by천정희 | #47분26초_꼭_봐야하는_영상｜2020 서울대 자연과학 공개강연 '과학으로 살아남기' | 2강

현대 사회에서 데이터는 '미래의 원유'이자 새로운 통화로 불릴 만큼 그 가치가 비약적으로 상승했습니다. 과거 시가총액 상위권을 차지하던 기업들이 석유나 금융 중심이었다면, 이제는 애플, 구글, 아마존과 같은 데이터 기반 IT 기업들이 그 자리를 대신하고 있습니다. 이는 우리가 데이터를 얼마나 잘 수집하고 활용하느냐에 따라 기업과 국가의 경쟁력이 결정되는 시대에 살고 있음을 의미하며, 데이터는 단순한 정보를 넘어 경제의 핵심 동력이 되었습니다. 하지만 데이터 활용이 늘어날수록 개인정보 유출이라는 심각한 부작용도 뒤따르고 있습니다. 의료 정보나 상업적 이용을 목적으로 한 민감한 정보들이 해킹이나 무단 판매를 통해 유출되는 사고가 빈번하게 발생하고 있습니다. 기계 학습을 위해 더 많은 데이터가 필요해질수록 보안의 중요성은 더욱 커지며, 데이터를 안전하게 보호하면서도 그 가치를 추출해낼 수 있는 기술적 대안이 절실해진 상황입니다. 활용과 보호라는 두 마리 토끼를 잡는 것이 시대적 과제가 된 것입니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 등장한 혁신적인 기술이 바로 '동형암호'입니다. 동형암호는 데이터를 암호화한 상태 그대로 연산할 수 있게 해주는 기술로, 데이터를 복호화하지 않고도 필요한 분석을 수행할 수 있습니다. 이는 마치 보석 원석을 투명하고 단단한 상자에 넣은 채로 가공하는 것과 같아서, 작업자는 내용물을 훔칠 수 없지만 주인은 가공된 결과물을 안전하게 돌려받을 수 있습니다. 비밀을 알지 못하면서도 주인이 원하는 일을 완벽히 수행하는 '완벽한 하인'인 셈입니다. 동형암호의 안전성은 수학적으로 매우 풀기 어려운 난제에 기반을 두고 있습니다. 근사 최대공약수 문제나 격자 기반의 암호 체계는 현대의 슈퍼컴퓨터는 물론 미래의 양자 컴퓨터로도 해결하기 어려운 NP-하드 문제로 분류됩니다. 이러한 수학적 견고함 덕분에 동형암호는 데이터의 기밀성을 완벽하게 보장하며, 암호화된 상태에서 덧셈과 곱셈 같은 복잡한 연산을 수행하더라도 정보가 외부에 노출될 위험이 거의 없습니다. 수학이 데이터 세상을 지키는 가장 강력한 방패가 되는 것입니다. 초기 동형암호는 연산 속도가 매우 느리고 데이터 크기가 커지는 단점이 있었으나, 최근 수학적 알고리즘의 발전으로 비약적인 성능 향상을 이루었습니다. 특히 '근사 계산 동형암호(HEAAN)' 기술은 실수 연산이 잦은 기계 학습 분야에 최적화되어 세계적인 주목을 받았습니다. 이 기술은 연산 과정에서 발생하는 오차를 효율적으로 관리하며, 기존 방식보다 수백 배 빠른 속도로 대규모 데이터를 처리할 수 있는 길을 열어주었습니다. 이는 한국 연구진의 기여가 돋보이는 분야이기도 합니다. 현재 동형암호는 DNA 분석과 같은 정밀 의료 분야부터 금융 서비스의 데이터 결합에 이르기까지 폭넓게 적용되고 있습니다. 개인의 유전 정보를 암호화한 상태로 질병 예측 모델을 돌리거나, 서로 다른 기관의 금융 데이터를 개인정보 침해 없이 결합하여 분석하는 것이 가능해졌습니다. 정부의 규제 샌드박스를 통한 임시 면허 부여 등 제도적 뒷받침이 더해지며, 이론을 넘어 실질적인 서비스 단계로 빠르게 진입하고 있습니다. 이는 데이터 부족 문제를 해결하고 안전한 유통 생태계를 만드는 초석이 됩니다. 결국 데이터 세상에서 수학은 단순한 계산 도구를 넘어 개인의 권리와 정보를 지키는 핵심적인 역할을 수행합니다. 대수학, 정수론, 해석학 등 다양한 수학적 원리들이 결합하여 탄생한 동형암호는 인공지능 기술과 조화를 이루며 '프라이빗 AI' 시대를 견인할 것입니다. 인간과 인공지능이 서로의 신뢰를 바탕으로 공존하는 미래를 만들기 위해, 수학은 앞으로도 데이터의 가치를 안전하게 꽃피우는 생명선이 될 것입니다. 새로운 수학적 발견이 가져올 안전한 데이터 세상을 기대해 봅니다.

[강연] 데이터 세상에서 수학으로 살아남기 by천정희 | #47분26초_꼭_봐야하는_영상｜2020 서울대 자연과학 공개강연 '과학으로 살아남기'

천정희

카오스재단서울대자연과학공개강연

수학

[석학인터뷰] 천정희_ 2등은 살아남기 어려운 시대, 그래서 산업수학! | 2020 서울대 자연과학대 공개강연 '과학으로 살아남기'

현대 사회에서 수학의 중요성은 그 어느 때보다 강조되고 있습니다. 초연결 시대를 맞이하여 지식과 과학의 발전이 전 세계로 빠르게 전파되면서, 작은 수학적 개선만으로도 거대한 경제적 효과를 창출할 수 있게 되었기 때문입니다. 과거에는 물리적인 제약으로 인해 이론에 머물렀던 수학적 사고들이 이제는 기술적 발전을 통해 현실에서 직접 구현될 가능성이 커졌습니다. 이러한 변화는 수학이 단순한 학문을 넘어 세상에 실질적인 부가가치를 제공하는 핵심 동력으로 자리 잡게 만들었습니다. 수학의 가장 큰 매력은 논리적인 추론과 가정이라는 틀 안에서 어떠한 제한도 없이 자유롭게 사고할 수 있다는 점에 있습니다. 특히 암호학은 순수한 수학적 이론이 현실 세계에 어떻게 강력한 영향을 미칠 수 있는지를 보여주는 대표적인 분야입니다. 암호학의 문제는 현실의 필요에서 발생하지만, 그 해결책은 오직 순수한 수학적 사고를 통해 도출됩니다. 이러한 과정은 수학이 추상적인 영역에만 머무는 것이 아니라, 우리 삶의 안전과 질서를 유지하는 데 결정적인 역할을 수행함을 증명합니다. 4차 산업혁명과 데이터 과학의 시대를 지탱하는 근간은 결국 수학입니다. 데이터 과학을 성공적으로 수행하기 위해서는 대수학, 해석학, 정수론, 위상수학, 기하학 등 수학의 여러 분야를 유기적으로 융합하는 능력이 필수적입니다. 최근에는 데이터의 형태를 분석하는 위상수학이나 공간 객체를 표현하는 기하학이 새롭게 각광받고 있습니다. 따라서 미래의 인재 양성을 위해서는 개별 분야에 대한 깊이 있는 연구와 더불어, 다양한 수학적 원리를 통합하여 실무에 적용할 수 있는 교육적 보완이 절실합니다. 기술 혁신의 속도가 빨라지면서 산업계와 수학계의 거리는 급격히 좁아지고 있습니다. 과거에는 수학적 성과가 과학과 공학을 거쳐 산업에 적용되기까지 오랜 시간이 걸렸지만, 이제는 수학적 성과가 산업 현장에 즉각적으로 투입되어 가치를 창출해야 하는 시대입니다. 이러한 흐름 속에서 탄생한 '산업 수학'은 산업계의 복잡한 문제들을 수학적 모델링을 통해 직접 해결하려는 시도입니다. 이는 수학이 상아탑을 벗어나 기업의 경쟁력을 결정짓는 핵심적인 원천으로 작용하고 있음을 보여주는 중요한 변화입니다. 인류의 역사를 통찰하는 과정에서도 과학적 사고와 인문학적 소양의 결합은 매우 중요합니다. 유발 하라리의 '사피엔스'와 같은 저작은 인지 혁명부터 과학 혁명에 이르기까지 인류의 지식 지형도가 어떻게 변화해 왔는지를 명확하게 보여줍니다. 이러한 통섭적 시각은 우리가 현재 마주한 지식 산업 혁명의 본질을 이해하는 데 큰 도움을 줍니다. 수학적 사고를 바탕으로 인류 문명의 흐름을 읽어내는 능력은, 급변하는 미래 사회에서 우리가 나아가야 할 방향을 제시하는 소중한 나침반이 될 것입니다.

[석학인터뷰] 천정희_ 2등은 살아남기 어려운 시대, 그래서 산업수학! | 2020 서울대 자연과학대 공개강연 '과학으로 살아남기'

천정희

카오스재단석학인터뷰

수학

[석학인터뷰] 한상근_양자암호, 그걸 해독한다고요? | 2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體'

양자 암호와 양자 통신은 흔히 혼용되곤 하지만, 실제로는 10여 년 전부터 상용화되어 기기가 거래되고 있는 기술입니다. 현재 학계와 산업계에서 집중하고 있는 분야는 양자 컴퓨터의 등장에도 안전성을 유지할 수 있는 '양자 내성 암호'의 표준화 과정입니다. 이 영역은 수학, 전산학, 물리학 등 다양한 학문이 융합되어 아직 정립되어 가는 단계에 있으며, 그만큼 무궁무진한 발전 가능성을 품고 있습니다. 전문가들은 여러 전공 분야의 지식을 모아 암호의 새로운 정의를 내리고 기술적 완성도를 높이기 위해 치열하게 논의하고 있습니다. 암호의 세계는 전문가만의 전유물이 아닙니다. 독립기념관의 자료를 살펴보면 과거 우리 조상들이 사용했던 초보적인 암호 제작법이 수백 건이나 발견될 정도로 그 역사가 깊습니다. 흥미로운 점은 아마추어가 만든 암호라고 해서 결코 해독이 쉽지 않다는 사실입니다. CIA 본부에 설치된 조각품 '크립토스'는 예술가가 만든 암호임에도 불구하고 수십 년간 일부가 풀리지 않은 채 남아 있습니다. 이는 암호를 만드는 창의성과 그것을 깨뜨리는 해독 기술 사이에 존재하는 거대한 간극을 잘 보여주는 사례라고 할 수 있습니다. 수학적 난제인 리만 가설은 인간의 상식적인 논리 구조를 넘어서는 무한의 영역을 다루고 있습니다. 리만 제타 함수를 이해하기 위해서는 방대한 배경지식이 필요하며, 이는 지식의 축적이 반드시 문제 해결로 직결되지 않음을 보여줍니다. 때로는 목적지를 눈앞에 두고도 먼 길을 돌아가야 하는 자동차 운전처럼, 현재 우리가 가진 증명 도구가 부족하여 정체되는 경우도 빈번합니다. 결국 수학의 발전은 단순히 시간의 흐름에 따른 결과가 아니라, 기존의 한계를 돌파할 수 있는 새로운 사고의 도구를 발견해 나가는 과정이라 할 수 있습니다. 괴델의 불완전성 정리는 현대 수학과 철학에 큰 충격을 주었습니다. 앨런 튜링은 컴퓨터가 수학적 정리를 무한히 출력할 수 있다고 보았지만, 괴델은 기계가 영원히 출력할 수 없는 '참인 명제'가 반드시 존재함을 논증했습니다. 이는 기계적인 계산의 영역과 진리의 영역 사이에 명확한 경계가 있음을 의미하고 있습니다. 21세기를 살아가는 우리에게 이러한 논리는 컴퓨터 자동화의 한계를 인식하게 함과 동시에, 기계가 대체할 수 없는 인간 지성만이 가진 독특한 가치를 이해하는 중요한 열쇠가 되어줍니다. 자연수의 무한함이 물리적 우주에 실재하는지에 대한 논의는 칸트의 철학적 사유와 맞닿아 있습니다. 칸트는 '순수이성비판'을 통해 인간의 이성으로 알 수 없는 영역이 존재함을 역설했는데, 이는 수학자들이 무한 너머의 세계를 다루는 방식과 유사한 측면이 있습니다. 칸토어의 무한 집합론에서 시작해 러셀의 역설을 거쳐 양자역학적 모순에 이르기까지, 인류는 언어와 이성의 한계를 끊임없이 마주해 왔습니다. 이러한 탐구는 결국 우리가 세상을 이해하기 위해 사용하는 언어의 틀을 확장하고, 보이지 않는 진리에 다가가려는 노력의 일환입니다.

[석학인터뷰] 한상근_양자암호, 그걸 해독한다고요? | 2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體'

한상근

카오스재단카오스강연

수학