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[카오스 짧강] 대수와 기하의 만남, 대수기하학! 그 시작은 데카르트의 파리?

정지된 대상을 연구하는 것은 비교적 수월하지만, 움직이고 변화하는 대상을 파악하기 위해서는 수천 년에 걸친 인류의 사색과 탐구가 필요했습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 시대에는 도형 그 자체만을 다루었을 뿐, 이를 수식으로 표현하는 대수학과의 접점은 부족했습니다. 하지만 기하학적 문제를 대수학적 영역으로 옮기려는 시도가 시작되면서 수학의 역사는 새로운 국면을 맞이하게 됩니다. 이러한 변화의 중심에는 기하학적 형상을 수의 체계로 변환하려는 혁신적인 상상력이 자리 잡고 있었습니다. 데카르트는 천장에 붙어 움직이는 파리의 위치를 어떻게 설명할 수 있을지 고민했습니다. 단순히 '벽에 붙어 있다'는 모호한 표현 대신, 특정 기준점으로부터의 거리를 숫자로 나타내는 방식을 고안해낸 것입니다. 이것이 바로 우리가 오늘날 당연하게 사용하는 좌표평면의 시작입니다. 오른쪽으로 몇 미터, 위쪽으로 몇 미터라는 구체적인 수치는 물리적인 위치 정보를 수학적 데이터로 변환해 주었습니다. 이처럼 좌표라는 도구는 눈에 보이는 기하학적 대상을 추상적인 숫자의 세계로 연결하는 가교 역할을 했습니다. 좌표평면의 도입으로 인해 파리의 움직임은 더 이상 단순한 그림이 아닌 숫자들의 모임이나 수식의 변화로 표현될 수 있게 되었습니다. 파리가 이동하며 그리는 곡선은 이제 대수학적 방정식으로 변환되어 분석이 가능해졌습니다. 이는 수학의 세계가 아닌 물리적 현상을 숫자로 표시할 수 있게 된 획기적인 사건이었습니다. 대수학과 기하학이라는 서로 다른 두 영역이 만나면서, 기하학적 직관과 대수학적 엄밀함이 결합된 대수기하학의 기초가 마련된 것입니다. 대수학과 기하학의 만남은 단순히 표현의 변화에 그치지 않고 문제 해결의 강력한 도구가 되었습니다. 두 영역은 서로를 보완하며 수학적 사고의 지평을 넓혀주었습니다. 완전히 별개로 존재하던 두 세계가 연결되면서 한쪽에서 보이지 않던 해답이 다른 쪽에서 선명하게 드러나기 시작한 것입니다. 이러한 상호 보완적인 관계는 현대 수학의 수많은 난제를 해결하는 핵심적인 열쇠가 되었으며, 수학자들이 세상을 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 대표적인 사례로 페르마의 마지막 정리를 들 수 있습니다. 수백 년 동안 풀리지 않던 이 대수학적 난제는 결국 기하학적 접근을 통해 해결되었습니다. 만약 방정식에 자연수 해가 존재한다면 그에 대응하는 특정한 곡선이 나타나야 하는데, 연구 결과 그러한 곡선은 수학적으로 존재할 수 없다는 사실이 밝혀진 것입니다. 즉, 대수학적 문제를 기하학적 영역인 타원 곡선의 문제로 치환하여 모순을 찾아낸 셈입니다. 이러한 수학적 상상력은 서로 다른 분야를 연결함으로써 인류가 직면한 거대한 지적 장벽을 허무는 열쇠가 되었습니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 2_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 두 번째 이야기 | 4강 ②

기하학의 어원은 그리스어 '게오메트리아'에서 시작되었습니다. 이는 '땅을 측정하다'라는 의미를 담고 있는데, 고대 이집트에서 나일강의 범람 이후 토지를 공정하게 재분배하기 위해 측량 기술이 발달한 것과 맥을 같이 합니다. 동양에서는 이를 '기하(幾何)'라고 번역했는데, 이는 '얼마나, 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 한자로 옮긴 것입니다. 이처럼 기하학은 단순히 도형을 연구하는 학문을 넘어, 고대 국가의 통치와 권력을 유지하기 위한 필수적인 제왕의 학문으로 자리 잡았습니다. 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 읽힌 책으로 꼽히는 유클리드의 '기하학 원론'은 서양 지성사의 근간을 이루었습니다. 아인슈타인이 마음의 평화를 얻기 위해 항상 곁에 두었다는 이 책은, 한 개인의 업적이라기엔 너무나 방대하여 여러 학자의 공동 저작이라는 설이 있을 정도입니다. 유클리드는 자명한 진리인 '공리'로부터 논리적 추론을 통해 결론을 도출하는 체계적인 방식을 정립했습니다. 이러한 사고 체계는 수학을 넘어 철학, 정치, 심지어 미국의 독립선언서 작성에까지 깊은 영감을 주었습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 2,000년의 시간은 정적인 수학의 시대였습니다. 하지만 17세기 천체 운동에 대한 관심이 높아지면서 변화하는 세계를 설명할 새로운 도구가 필요해졌습니다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 증명하고 행성의 궤도를 계산하는 과정에서 정적인 기하학의 한계를 절감했고, 결국 변화를 다루는 '미적분'을 탄생시켰습니다. 이는 인류의 세계관이 멈춰 있는 대상에 대한 탐구에서 움직이고 변화하는 역동적인 세계로 확장되었음을 의미하는 중요한 전환점이자 수학적 진보였습니다. 대수학과 기하학의 역사적인 만남은 데카르트의 기발한 상상력에서 시작되었습니다. 천장에 붙은 파리의 위치를 숫자로 표현할 수 없을까 고민하던 그는 좌표평면이라는 개념을 창안했습니다. 이를 통해 도형이라는 기하학적 대상을 수식이라는 대수적 언어로 변환할 수 있게 되었습니다. 이제 파리의 움직임은 곡선이라는 그림인 동시에 숫자들의 변화를 담은 방정식이 되었습니다. 이 혁신적인 결합은 복잡한 기하 문제를 명쾌한 수식 풀이로 해결할 수 있는 대수기하학이라는 새로운 지평을 열었습니다. 현대 수학은 서로 다른 영역이 연결될 때 난제를 해결하는 강력한 힘을 발휘합니다. 페르마의 마지막 정리가 대수적 문제를 기하학적 곡선의 성질로 치환하여 해결된 사례는 수학적 상상력의 정수를 보여줍니다. 이처럼 보이지 않는 규칙들을 연결해 나가는 과정을 '빅 매스(Big Math)'라 부를 수 있습니다. 수학은 사물의 구조를 탐구하는 대수학과 대상 간의 관계를 살피는 해석학으로 나뉩니다. 이 두 축을 이해하는 것은 우리가 세상을 바라보는 논리적 틀을 완성하고 자연의 질서를 깊이 있게 통찰하는 과정과도 같습니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[질문Q] 우울할 때는 수학 문제를 풀어라! | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 세상 속의 수數다

수학의 세계에서 나이가 든다는 것은 단순히 기억력이 감퇴하는 과정이 아닙니다. 젊은 시절의 폭발적인 추진력과 암기력은 줄어들 수 있지만, 그 자리를 대신하는 것은 전체를 아우르는 수학적 통찰력과 깊은 상상력입니다. 노련한 수학자는 복잡한 수식 너머의 본질을 꿰뚫어 보며, 젊은 연구자들의 열정과 자신의 지혜를 결합해 새로운 세미나 문화를 만들어갑니다. 과거의 증명을 잠시 잊더라도 동료들과 함께 보완하며 나아가는 과정은 수학이 개인의 학문을 넘어 세대 간의 소통임을 보여줍니다. 현대 사회에서 수학은 더 이상 시험을 위한 도구가 아닌, 마음을 다스리는 예술이자 취미로 자리 잡고 있습니다. 최근에는 독서 클럽이나 과학 동호회를 통해 자발적으로 수학을 즐기는 성인들이 늘어나고 있습니다. 미적분학이나 정수론 같은 학부 수준의 수학을 성적에 대한 강박 없이 천천히 읽어 내려가는 것은 마치 뜨개질을 하거나 악기를 연주하는 것과 같은 정서적 안정을 제공합니다. 복잡한 연산을 반복하며 개념을 체화하는 과정은 우울한 마음을 가라앉히고 정신을 맑게 해주는 특별한 힘을 지니고 있습니다. 수학자로서의 삶은 끊임없는 자기 의심과 인내의 연속입니다. 매일 논문을 쏟아내는 것이 아니라, 오랜 시간 고민하던 문제가 어느 날 갑자기 해결되는 찰나의 기쁨을 위해 긴 침묵의 시간을 견뎌야 합니다. 많은 수학자가 자신의 역량에 한계를 느끼고 포기를 고민하기도 하지만, 결국 그들을 움직이는 것은 문제를 끝까지 밀고 나가는 끈기입니다. 동료들과 고민을 나누고 하나의 문제를 해결한 뒤 다시 다음 단계로 나아가는 과정 속에서, 수학은 단순한 학문을 넘어 삶을 지탱하는 단단한 뿌리가 되어줍니다. 여성 수학자에게 육아와 연구의 병행은 현실적인 장벽에 부딪히는 고된 여정입니다. 수학 연구는 짧은 틈을 내어 할 수 있는 일이 아니라, 최소 10시간 이상의 방해받지 않는 고독한 몰입의 시간을 필요로 하기 때문입니다. 아이를 키우며 학계의 흐름에서 뒤처지지 않으려 애쓰는 과정은 상상 이상의 노력을 요구합니다. 때로는 아이를 안고 강의실에 들어가야 하는 상황 속에서도 연구를 포기하지 않는 열정은, 개인의 성취를 넘어 동료와 가족의 지지 속에서 비로소 지속될 수 있는 숭고한 투쟁과도 같습니다. 여성 수학자들의 연대와 롤 모델의 존재는 다음 세대를 이끄는 중요한 등불이 됩니다. 과거 미국 여성수학회의 지원이 한 연구자의 경력을 지켜주었듯, 한국에서도 여성 수학자 네트워크는 육아와 연구라는 이중고를 겪는 이들에게 실질적인 힘이 되어왔습니다. 최근 수학과 내 여학생 비율의 변화와 같은 새로운 흐름 속에서도, 앞서 길을 걸어간 선배 수학자들의 모습은 후배들에게 큰 영감을 줍니다. 누군가의 롤 모델이 된다는 책임감은 수학계가 더욱 평등하고 풍요로운 학문의 장으로 나아가는 원동력이 됩니다.

카오스재단명강리뷰&질문Q

[카오스 술술수학] 수학의 대혁명, 비유클리드 기하학

기원전 3세기 유클리드는 저서 《원론》을 통해 수학의 기초가 되는 다섯 가지 공리를 제시했습니다. 그중에서도 다섯 번째인 '평행선 공리'는 다른 공리들에 비해 구조가 복잡하여 오랜 시간 수학자들의 의구심을 자아냈습니다. 많은 학자가 이 공리가 독립적인 원리가 아니라 앞선 네 가지 공리로부터 유도될 수 있는 정리일 것이라 믿고 증명을 시도했습니다. 하지만 이러한 의문은 19세기에 이르러서야 가우스와 로바체프스키 등에 의해 해결되었으며, 이는 수학사의 거대한 전환점이 되었습니다. 평행선 공리가 다른 공리들로부터 유도될 수 없음이 증명되면서, 수학계에는 '비유클리드 기하학'이라는 혁신적인 영역이 열렸습니다. 이는 단순히 유클리드 기하학의 부정이 아니라, 오히려 유클리드 기하학을 특수한 경우로 포함하는 더 보편적인 체계의 발견이었습니다. 절대 불변의 존재로 여겨졌던 공간에 대한 관점이 무너지며, 철학자 칸트가 선언했던 보편적 공간 개념 또한 근본적인 변화를 맞이했습니다. 이러한 변화는 훗날 '기하학에서의 코페르니쿠스적 전환'이라 불릴 만큼 인류의 지적 지평을 넓혔습니다. 비유클리드 기하학의 토대를 정립한 리만은 4차원 이상의 고차원 기하학 가능성을 체계적으로 제시했습니다. 그는 고차원에서도 거리와 각도를 정의할 수 있음을 밝혔으며, 이는 아인슈타인의 상대성 이론이 탄생하는 데 결정적인 역할을 했습니다. 우리가 4차원 공간을 시각적으로 상상하기는 어렵지만, 수학적으로는 여러 변수의 집합을 하나의 공간으로 정의함으로써 이를 다룰 수 있습니다. 예를 들어 2차원 평면 위의 선분들을 결정하는 네 개의 변수를 모으면, 그 자체가 하나의 4차원 공간이 되는 원리입니다. 고차원 기하학은 멀리 있는 학문이 아니라 우리의 일상과 밀접하게 연결되어 있습니다. 우리가 두 눈으로 세상을 3차원으로 인식하는 과정 역시 뇌가 수행하는 고도의 기하학적 해석입니다. 양쪽 눈에 맺히는 서로 다른 2차원 영상을 뇌가 실시간으로 통합하여 입체적인 공간으로 재구성하는 것입니다. 이처럼 뇌는 무의식적으로 수많은 변수를 처리하며 우리를 둘러싼 공간을 이해하고 있습니다. 수학적으로 낯설게 느껴지는 고차원 개념은 사실 우리의 감각 기관이 매 순간 경험하고 있는 데이터 처리 방식과 닮아 있습니다. 인간의 복잡한 움직임 또한 고차원 공간에서의 한 점으로 설명할 수 있습니다. 야구 선수의 다이빙 캐치나 피아니스트의 정교한 손놀림은 수많은 관절의 움직임이라는 변수가 통합되어 하나의 유기적인 동작으로 나타나는 결과입니다. 반복된 연습을 통해 저차원의 개별 동작들이 고차원 공간의 한 점으로 수렴될 때, 우리는 비로소 의식하지 않고도 숙련된 퍼포먼스를 보여줄 수 있습니다. 결국 기하학이란 흩어진 데이터를 통합하여 하나의 점으로 상상하는 과정이며, 이는 우리 뇌가 세상을 학습하고 인지하는 본질적인 방식일지도 모릅니다.

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