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[카오스 짧강] 대수기하의 출발점: 베주 정리

대수기하학의 기틀을 마련한 중요한 원리 중 하나인 베주 정리는 그 기원이 매우 깊습니다. 이 정리는 1687년 아이작 뉴턴이 발표한 불후의 명저 《프린키피아》에서 처음 언급되었습니다. 당시 뉴턴은 두 곡선이 만나는 지점에 대한 기하학적 통찰을 기록했으나, 이를 수학적으로 완벽하게 정립하는 과정까지는 나아가지 못했습니다. 이 원리는 오랜 시간 동안 수많은 연구자들 사이에서 끊임없이 회자되며 기하학의 발전에 지대한 영향을 미쳤으며, 현대 수학의 기초를 다지는 데 기여했습니다. 이 정리의 핵심은 평면 위에서 두 곡선이 만나는 교점의 개수를 각 곡선이 가진 방정식의 차수만으로 계산할 수 있다는 점에 있습니다. 구체적으로 m차 평면 곡선과 n차 평면 곡선이 만날 때, 이들이 가지는 교점의 개수는 두 차수의 곱인 mn개가 된다는 법칙입니다. 예를 들어 1차 곡선인 직선과 3차 곡선이 만나면 세 개의 교점이 생기며, 직선과 2차 곡선인 원이 만나는 경우에는 최대 두 개의 교점이 발생하게 됩니다. 이처럼 도형의 배치를 수치적 연산으로 치환하여 결과를 도출하는 방식은 대수학이 가진 강력한 도구가 됩니다. 베주 정리는 단순히 교점의 개수를 구하는 공식을 넘어, 현대 수학의 핵심 분야인 대수기하학의 출발점으로서 매우 큰 의미를 지닙니다. 예를 들어 2차 곡선끼리 만날 때 네 개의 교점이 생긴다는 사실을 통해 도형과 방정식의 결합을 보여줍니다. 이러한 접근 방식은 이후 수많은 수학적 발견으로 이어졌으며, 오늘날에도 복잡한 곡선과 곡면의 성질을 연구하는 데 필수적인 기초가 되고 있습니다. 결국 베주 정리는 수식과 형태 사이의 보이지 않는 연결 고리를 밝혀낸 위대한 수학적 유산이라 할 수 있습니다.

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[카오스 짧강] 한국의 수학자 임덕상 교수, 대수기하학을 발전시키다

훌륭한 학자는 자신의 학문적 성취뿐만 아니라 후학에게 큰 영향을 주어 또 다른 대학자를 길러내기도 합니다. 한국 수학계의 거목 이임학 교수님 역시 그런 스승이었습니다. 그가 배출한 제자 중 임덕상 교수는 특히 주목할 만한 인물입니다. 그는 전쟁과 가난이라는 척박한 환경 속에서도 학업을 포기하지 않았습니다. 낮에는 고등학교 교사로 일하며 가족의 생계를 책임지고, 밤에는 공부에 매진하는 주경야독의 삶을 8년이나 이어가며 서울대학교를 졸업했습니다. 이러한 끈기와 의지는 그를 세계적인 수학자로 이끄는 원동력이 되었습니다. 임덕상 교수는 유학을 떠난 지 단 2년 만에 박사 학위를 취득하며 스승인 이임학 교수와 닮은꼴 행보를 보였습니다. 당시 한국인 수학자들은 주로 대수학 분야에서 세계적인 두각을 나타냈는데, 임 교수는 그중에서도 대수기하학이라는 분야의 권위자가 되었습니다. 대수기하학은 기하학적인 문제를 해결하기 위해 대수적인 방법을 사용하는 학문으로, 서로 다른 두 영역을 연결하는 가교 역할을 합니다. 이는 당시 척박했던 한국 수학계가 세계적인 수준으로 도약하는 데 중요한 학문적 토대가 되었으며, 후대 연구자들에게도 깊은 영감을 주었습니다. 기하학의 어원을 살펴보면 그 의미가 더욱 흥미롭습니다. 영어 단어 '지오메트리'는 그리스어로 땅을 뜻하는 '게오'와 측량을 뜻하는 '메트리아'가 합쳐진 말로, 본래 땅을 측정한다는 의미를 담고 있습니다. 이것이 중국으로 건너오면서 발음이 유사한 '기하'라는 한자로 번역되었습니다. '얼마 기'와 '어찌 하'를 사용하는 이 단어는 '얼마를 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 내포합니다. 국문학자 양주동 선생은 이 한자어의 뜻을 풀이한 '몇어찌'라는 수필을 통해 유클리드 기하학을 처음 접했을 때의 경이로움과 학문적 흥분을 생생하게 전달하기도 했습니다.

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[카오스 짧강] 대수와 기하의 만남, 대수기하학! 그 시작은 데카르트의 파리?

정지된 대상을 연구하는 것은 비교적 수월하지만, 움직이고 변화하는 대상을 파악하기 위해서는 수천 년에 걸친 인류의 사색과 탐구가 필요했습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 시대에는 도형 그 자체만을 다루었을 뿐, 이를 수식으로 표현하는 대수학과의 접점은 부족했습니다. 하지만 기하학적 문제를 대수학적 영역으로 옮기려는 시도가 시작되면서 수학의 역사는 새로운 국면을 맞이하게 됩니다. 이러한 변화의 중심에는 기하학적 형상을 수의 체계로 변환하려는 혁신적인 상상력이 자리 잡고 있었습니다. 데카르트는 천장에 붙어 움직이는 파리의 위치를 어떻게 설명할 수 있을지 고민했습니다. 단순히 '벽에 붙어 있다'는 모호한 표현 대신, 특정 기준점으로부터의 거리를 숫자로 나타내는 방식을 고안해낸 것입니다. 이것이 바로 우리가 오늘날 당연하게 사용하는 좌표평면의 시작입니다. 오른쪽으로 몇 미터, 위쪽으로 몇 미터라는 구체적인 수치는 물리적인 위치 정보를 수학적 데이터로 변환해 주었습니다. 이처럼 좌표라는 도구는 눈에 보이는 기하학적 대상을 추상적인 숫자의 세계로 연결하는 가교 역할을 했습니다. 좌표평면의 도입으로 인해 파리의 움직임은 더 이상 단순한 그림이 아닌 숫자들의 모임이나 수식의 변화로 표현될 수 있게 되었습니다. 파리가 이동하며 그리는 곡선은 이제 대수학적 방정식으로 변환되어 분석이 가능해졌습니다. 이는 수학의 세계가 아닌 물리적 현상을 숫자로 표시할 수 있게 된 획기적인 사건이었습니다. 대수학과 기하학이라는 서로 다른 두 영역이 만나면서, 기하학적 직관과 대수학적 엄밀함이 결합된 대수기하학의 기초가 마련된 것입니다. 대수학과 기하학의 만남은 단순히 표현의 변화에 그치지 않고 문제 해결의 강력한 도구가 되었습니다. 두 영역은 서로를 보완하며 수학적 사고의 지평을 넓혀주었습니다. 완전히 별개로 존재하던 두 세계가 연결되면서 한쪽에서 보이지 않던 해답이 다른 쪽에서 선명하게 드러나기 시작한 것입니다. 이러한 상호 보완적인 관계는 현대 수학의 수많은 난제를 해결하는 핵심적인 열쇠가 되었으며, 수학자들이 세상을 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 대표적인 사례로 페르마의 마지막 정리를 들 수 있습니다. 수백 년 동안 풀리지 않던 이 대수학적 난제는 결국 기하학적 접근을 통해 해결되었습니다. 만약 방정식에 자연수 해가 존재한다면 그에 대응하는 특정한 곡선이 나타나야 하는데, 연구 결과 그러한 곡선은 수학적으로 존재할 수 없다는 사실이 밝혀진 것입니다. 즉, 대수학적 문제를 기하학적 영역인 타원 곡선의 문제로 치환하여 모순을 찾아낸 셈입니다. 이러한 수학적 상상력은 서로 다른 분야를 연결함으로써 인류가 직면한 거대한 지적 장벽을 허무는 열쇠가 되었습니다.

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[카오스 짧강] 그래프로 타원곡선을 더하는 법!

타원곡선은 수학적으로 매우 흥미로운 기하학적 형태를 지니고 있습니다. 예를 들어 $y(6-y) = x^3 - x$와 같은 방정식을 컴퓨터 프로그램을 통해 시각화하면 독특하고 아름다운 곡선 모양이 나타나는데, 이는 해당 방정식을 만족하는 모든 점 (x, y)의 집합체입니다. 이러한 곡선은 단순히 시각적인 아름다움을 넘어, 현대 수학의 핵심적인 개념인 '군'을 형성하는 중요한 기초가 됩니다. 복잡해 보이는 수식이라도 그래프로 구현하면 점들 사이의 유기적인 관계를 시각적으로 명확하게 이해할 수 있는 훌륭한 토대가 마련됩니다. 타원곡선 위에서는 점들 사이의 특별한 기하학적 연산이 가능합니다. 곡선 위의 서로 다른 두 점 A와 B를 선택하고 이를 잇는 직선을 그으면, 3차 방정식의 수학적 특성상 이 직선은 곡선과 만나는 세 번째 점 C를 반드시 가지게 됩니다. 이 교점 C에서 수직선을 그어 곡선과 다시 만나는 지점을 찾으면, 이를 두 점의 합인 A+B라고 정의합니다. 이는 타원곡선이라는 공간 안에서 점들이 이동하며 새로운 위치를 찾아가는 고유하고 엄밀한 덧셈 법칙이라고 할 수 있습니다. 만약 서로 다른 두 점이 아니라 하나의 점 A를 자기 자신과 더하고 싶다면 접선의 개념을 활용해야 합니다. 곡선 위의 한 점 A에서 그은 접선이 곡선의 또 다른 부분과 만나는 지점을 찾고, 앞선 방식과 마찬가지로 그 교점에서 수직선을 그어 새로운 점을 구하는 방식입니다. 이 과정을 통해 도출된 결과가 바로 A+A가 됩니다. 이러한 기하학적 규칙을 적용하면 곡선 위의 어떤 점이라도 연산을 무한히 반복할 수 있으며, 이를 통해 곡선 위의 새로운 위치에 놓인 점들을 체계적으로 생성해낼 수 있습니다. 이러한 독특한 연산 체계는 수학에서 정의하는 '군(Group)'의 구조를 완벽하게 충족합니다. 군이란 특정 집합 내의 원소들이 연산에 대해 닫혀 있으며 일정한 결합 법칙을 따르는 수학적 체계를 의미합니다. 타원곡선 위의 점들은 기하학적인 덧셈 연산을 통해 서로 긴밀하게 연결되며, 어떤 연산을 수행하더라도 그 결과가 항상 다시 곡선 위의 점이 된다는 강력한 성질을 보유하고 있습니다. 이는 무질서해 보이는 점들의 집합에 엄밀한 수학적 질서를 부여하며, 복잡한 대수학적 문제를 기하학적으로 풀어낼 수 있는 열쇠가 됩니다. 타원곡선의 군 구조는 디오판토스 방정식과 같은 난해한 수론 문제를 해결하는 데 결정적인 역할을 수행합니다. 정수 해와 같은 비교적 단순한 점으로부터 시작해 연산을 반복적으로 수행하면, 인간의 직관이나 단순 계산으로는 도저히 찾아낼 수 없는 매우 복잡한 형태의 유리수 해들이 줄줄이 생성되기 때문입니다. 이러한 해들은 모두 하나의 군이라는 울타리 안에 속해 있으므로, 수학자들은 이 체계적인 연산의 지도를 따라 수의 세계 깊숙이 숨겨진 정답들을 그 어느 때보다 효율적이고 정확하게 탐색해 나갈 수 있습니다.

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[심화 강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 심화 2_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 심화 두 번째 이야기 | 5강

리만 이후 대수 기하학은 이탈리아 학파와 독일 학파라는 두 가지 큰 흐름으로 나뉘어 발전했습니다. 이탈리아 학파는 리만의 업적을 계승하여 대수적 곡면 연구에서 눈부신 성과를 거두었으나, 엄밀한 증명보다는 직관과 진리 발견의 기쁨을 우선시하는 독특한 학풍을 지니고 있었습니다. 비록 당시에는 엄밀성 부족으로 비판받기도 했지만, 이들이 발견한 아름다운 정리들은 훗날 현대 수학의 정교한 증명을 통해 그 가치를 인정받았습니다. 특히 1980년대 모리 시게후미의 '모리 프로그램'은 이들의 연구를 3차원 다양체로 확장하며 오늘날까지도 필즈상 수상자를 배출하는 중요한 연구 분야로 이어지고 있습니다. 19세기 수학의 정점으로 불리는 불변량 이론은 현대 수학과 물리학의 근간을 이루는 핵심적인 분야입니다. 다항식의 좌표 변환에도 변하지 않는 성질을 탐구하는 이 이론은 다비트 힐베르트라는 천재 수학자를 통해 혁명적인 전환점을 맞이했습니다. 당시 28세였던 다비트 힐베르트는 구체적인 계산 대신 추상적인 대수학 기법을 도입하여 불변량의 유한성을 증명해냈습니다. 이는 기존의 계산 중심 수학에서 벗어나 현대 추상 대수학의 기틀을 마련한 사건이었습니다. 비록 당시 권위자였던 고르단으로부터 '수학이 아닌 신학'이라는 비판을 듣기도 했으나, 존재성 증명이라는 새로운 패러다임은 수학적 사고의 지평을 넓히는 결정적인 계기가 되었습니다. 이탈리아 학파가 직관에 의존했다면, 독일 학파는 추상 대수학이라는 단단한 토대 위에 대수 기하학을 재건하고자 노력했습니다. 데데킨트, 다비트 힐베르트, 뇌터와 같은 수학자들은 엄밀한 대수학적 기초를 세워 이탈리아 학파의 결과들을 증명하고 더 넓은 영역으로 확장했습니다. 이 과정에서 점을 단순한 기하학적 대상이 아닌 대수적 구조인 '아이디얼'로 이해하는 현대적 관점이 정립되었습니다. 또한 리만의 내재적 접근법을 완벽히 구현하여, 외부 좌표 공간 없이도 대수적 다양체 그 자체를 독립적으로 이해할 수 있는 이론적 기틀이 마련되었습니다. 이는 20세기 중반 앙드레 베유와 세르 등을 거치며 추상 대수 기하학의 정립으로 이어졌습니다. 20세기 중반, 알렉산더 그로텐디크는 대수 기하학의 토대를 획기적으로 확장하며 진정한 혁명을 일으켰습니다. 그는 다항식의 틀을 넘어 더 일반적인 대수적 대상에 기하학적 의미를 부여함으로써, 정수론의 난제들을 기하학의 언어로 번역할 수 있는 길을 열었습니다. 푸앵카레가 예언했던 '정수론을 품은 대수 기하학'이 알렉산더 그로텐디크에 의해 완벽하게 구현된 것입니다. 이러한 이론적 진보는 1980년대 이후 페르마의 마지막 정리 해결과 같은 역사적인 성과로 이어졌습니다. 대상을 추상화하고 일반화함으로써 서로 다른 수학 분야를 하나로 묶어낸 그의 업적은 현대 수학이 나아갈 방향을 제시한 이정표가 되었습니다. 현대 대수 기하학은 이제 순수 수학의 영역을 넘어 이론 물리학과 긴밀하게 상호작용하고 있습니다. 1980년대 양-밀스 이론을 대수 기하학적으로 분석한 연구를 기점으로, 초끈 이론과 거울 대칭성 등 물리학의 핵심 개념들이 대수 기하학의 도구를 통해 엄밀하게 증명되고 있습니다. 수학자들은 낮에는 엄밀한 논증에 몰두하고 밤에는 우주의 신비를 꿈꾸며, 학문적 동지들과 함께 이름 없는 헌신을 이어가고 있습니다. 고대 그리스의 기하학에서 시작해 현대 물리학까지 아우르는 대수 기하학의 여정은 인류가 우주의 질서를 이해하기 위해 쌓아 올린 가장 거대하고 아름다운 지적 건축물 중 하나라고 할 수 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[심화 강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 심화 1_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 심화 첫 번째 이야기 | 5강

대수기하학의 첫 번째 중요한 도약은 유클리드 공간에 경계를 더해 사영 공간을 도입한 것입니다. 이는 르네상스 시대 미술의 원근법에서 영감을 얻은 개념으로, 화가의 눈과 대상을 잇는 직선을 하나의 점으로 간주하는 방식입니다. 사영 공간을 활용하면 평행한 두 직선이 무한대에서 만난다고 정의할 수 있어, 교점이 사라지는 예외 상황을 방지합니다. 덕분에 베주 정리와 같은 기하학적 원리들이 일관성을 갖게 되었으며, 이는 현대의 컴퓨터 비전이나 3D 스캔 기술의 수학적 토대가 되었습니다. 파스칼은 철학자이자 수학자인 동시에 화가로서 사영 공간의 필요성을 깊이 이해했던 인물입니다. 그는 2차 곡선 위의 여섯 점을 연결해 만들어지는 교점들이 한 직선 위에 놓인다는 '파스칼의 정리'를 남겼습니다. 이 정리는 사영 변환을 통해 복잡한 타원을 단순한 원으로 바꾸어 증명할 수 있는데, 이는 사영 공간에서 대칭군이 커지며 발생하는 편리함을 잘 보여줍니다. 이처럼 사영 기하학은 서로 달라 보이는 대상들을 동일한 관점에서 바라볼 수 있게 함으로써 기하학적 탐구의 효율성을 극대화했습니다. 대수기하학의 두 번째 업그레이드는 복소수를 체계 안으로 품은 것입니다. 19세기 초 가우스와 오일러에 의해 복소수가 자연스러운 수학적 대상으로 받아들여지면서, 실수 범위에서는 해결하기 어려웠던 문제들이 명쾌하게 풀리기 시작했습니다. 예를 들어 실수 평면에서는 방정식의 조건에 따라 해가 존재하지 않는 경우가 생기지만, 복소수 범위에서는 모든 것이 균일하고 깔끔한 답을 제공합니다. 이러한 수 체계의 확장은 대수적 다양체를 분석할 때 발생하는 수많은 변칙적 현상을 제거하고 체계적인 이론 전개를 가능하게 했습니다. 리만은 복소함수론을 대수기하학에 도입하여 현대 수학의 근간을 마련했습니다. 그는 복소수 미적분학을 통해 대수적 곡선의 구조를 내재적인 관점에서 탐구할 수 있는 길을 열었습니다. 이전까지는 도형을 특정 좌표 공간에 종속된 존재로 보았으나, 리만은 대수적 다양체 자체의 성질에 집중하는 혁신적인 시각을 제시했습니다. 그의 연구는 오늘날 대수기하학자들이 매일같이 사용하는 필수적인 도구가 되었으며, 정수론의 난제인 리만 가설 또한 이러한 복소함수론적 사고의 연장선상에서 탄생한 위대한 유산입니다. 수학적 발견은 때로 다른 학문의 결정적인 돌파구가 되기도 합니다. 아인슈타인이 일반상대성 이론을 정립하며 수학적 도구의 부재로 한계에 부딪혔을 때, 리만이 닦아놓은 기하학적 토대와 힐베르트의 수학적 조력이 그 해답을 제공했습니다. 힐베르트는 리만의 이론을 활용해 물리적 아이디어를 수학적으로 완결 지었으며, 이는 수학과 물리학이 만나는 역사적인 순간이 되었습니다. 이처럼 대수기하학의 발전은 단순히 숫자의 유희에 그치지 않고 우주의 원리를 이해하는 강력한 언어로서 그 역할을 다하고 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 교육AI를 탄생시킨 놀라운 수학적 아이디어 2_by 노현빈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 6강 두 번째 이야기 | 6강 ②

최근 인공지능 열풍의 중심에는 챗GPT와 같은 거대 언어 모델(LLM)이 있습니다. 하지만 LLM의 본질은 단순히 문맥상 가장 적절한 다음 단어를 예측하여 나열하는 것에 불과합니다. 교육 현장에서 인공지능이 진정한 가치를 발휘하기 위해서는 단순히 말을 잘하는 것을 넘어, 학생을 가르친다는 행위의 본질과 교육적 맥락을 깊이 이해해야 합니다. 이를 위해 대수기하학의 정교한 수학적 도구들이 교육 인공지능의 근본적인 모델을 설계하는 데 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 효과적인 교육을 위한 첫걸음은 학생의 현재 상태를 정확히 파악하는 것입니다. 교육학에서는 이를 구조주의와 구성주의라는 두 가지 관점에서 접근합니다. 구조주의는 지식의 선후 관계를 연결한 '지식 그래프'를 통해 학생의 성취도를 측정하며, 구성주의는 학생마다 지식을 받아들이는 방식이 다르다는 점에 주목합니다. 인공지능은 이러한 관점들을 결합하여 학생이 수행한 다양한 과업 데이터를 분석하고, 이를 바탕으로 학생의 실력을 다각도로 진단하고 이해하는 과정을 거칩니다. 학생에게 수만 개의 문제를 풀게 하는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에, 인공지능은 적은 수의 샘플 테스트만으로도 전체 실력을 예측하는 모델을 활용합니다. 이는 '스무고개' 게임처럼 정보량을 극대화할 수 있는 최적의 질문을 던져 후보군을 좁혀나가는 원리와 같습니다. 이를 통해 생성된 '열지도(Heatmap)'는 학생이 특정 개념을 맞힐 확률을 시각화하여 보여줍니다. 결과적으로 중학생이 몇 문제만 풀어도 고등학교 과정에서 겪을 어려움까지 미리 예측할 수 있게 됩니다. 딥러닝 모델은 흔히 내부 작동 원리를 알 수 없는 '블랙박스'에 비유되곤 합니다. 하지만 교육 현장, 특히 공교육에서는 평가의 근거를 설명할 수 있는 투명성이 매우 중요합니다. 이를 해결하기 위해 수학의 공리적 접근법이 도입됩니다. 학생들 간의 실력을 비교 가능한 좌표계로 변환하고, 공정한 평가 기준을 수립함으로써 블랙박스 모델의 한계를 보완합니다. 이러한 수학적 장치는 학부모와 학생이 인공지능의 평가 결과를 신뢰하고 받아들일 수 있는 논리적 토대가 됩니다. 인공지능의 학습 추천 알고리즘은 알파고의 승률 계산 방식과 유사한 최적화 과정을 거칩니다. 단순히 약점을 보완하거나 난이도를 조절하는 수준을 넘어, 특정 문제를 풀었을 때 기대되는 점수 상승 폭을 계산하여 최단 시간 내에 실력을 올릴 수 있는 경로를 찾아냅니다. 흥미로운 점은 이러한 수학적 최적화 결과가 인간의 직관인 망각 곡선이나 선수 지식 체계와도 일맥상통한다는 것입니다. 이는 수학적 모델이 교육의 본질적인 효율성을 정교하게 포착하고 있음을 시사합니다. 수많은 학습 경로 중 최적의 조합을 찾는 것은 계산적으로 매우 복잡한 문제입니다. 하지만 교육 평가 모델을 '서브모듈러(Submodular)'라는 수학적 성질을 만족하도록 설계하면, 매 순간 최선의 선택을 하는 것만으로도 전체적인 최적해에 근접할 수 있습니다. 이는 햄버거 세트 메뉴의 가격 정책처럼 추가적인 학습의 효용을 수학적으로 정의하는 방식입니다. 이러한 설계를 통해 인공지능은 방대한 데이터 속에서도 학생에게 가장 효과적인 교육 과정을 실시간으로 제시할 수 있게 됩니다. 인공지능 기술의 궁극적인 지향점은 인간의 잠재력을 최대한으로 끌어올리는 데 있습니다. 수학적으로 모든 인간은 자신만의 고유한 지표에서 누구보다 뛰어난 '맥시멀(Maximal)'한 존재입니다. 인공지능은 교사가 학생 개개인에게 더 깊은 관심을 기울일 수 있도록 돕는 강력한 보조 도구가 되어야 합니다. 기술이 제안하는 맞춤형 처방과 인간 교사의 정서적 교감이 결합될 때, 학생들은 자신의 독창성을 발견하고 잠재력을 꽃피우는 진정한 교육의 가치를 경험하게 될 것입니다.

노현빈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 2_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 두 번째 이야기 | 5강 ②

대수기하학은 이름 그대로 대수학과 기하학의 상호작용을 탐구하는 학문입니다. 중고등학교 시절 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구하거나, 이차 방정식의 근을 그래프로 확인하던 경험이 그 출발점이라 할 수 있습니다. 기하학적 문제를 대수적 방법으로 풀고, 반대로 대수적 문제를 기하학적 형상으로 시각화하여 해결하는 과정이 바로 대수기하학의 핵심입니다. 하지만 안타깝게도 현대 교육에서는 이러한 학문적 맥락보다는 단순한 문제 풀이에 집중하는 경향이 있어, 그 깊은 역사적 흐름과 본질적인 의미를 놓치기 쉽습니다. 이 학문의 역사는 인류 문명의 발달과 궤를 같이합니다. 고대 그리스의 탈레스는 피라미드의 높이를 구하기 위해 삼각형의 닮음이라는 기하학적 성질을 대수적 비례식으로 표현해냈습니다. 피타고라스 역시 직각삼각형이라는 기하학적 대상에서 세 변의 관계를 나타내는 대수적 방정식을 발견하며 세상의 질서를 설명하려 했습니다. 이후 유클리드는 당대의 수학적 지식을 집대성한 '기하학 원론'을 통해 논증 기하학의 기틀을 마련했습니다. 이처럼 고대 수학자들이 형상과 수 사이의 긴밀한 관계를 본능적으로 이해하고 이를 학문적 토대로 발전시켰습니다. 중세 유럽이 학문의 암흑기를 겪는 동안, 아시아와 이슬람 세계에서는 대수학이 눈부시게 발전했습니다. 알콰리즈미와 같은 수학자들에 의해 방정식의 해법이 체계화되었고, 이는 훗날 서구의 기하학 전통과 다시 만나게 됩니다. 17세기 데카르트는 좌표계라는 혁신적인 도구를 도입하여 대수학과 기하학 사이의 장벽을 완전히 무너뜨렸습니다. 그는 기하학적 대상을 방정식으로, 방정식을 좌표 평면 위의 도형으로 완벽하게 번역할 수 있는 사전을 제공했습니다. 이를 통해 수학은 추상적인 수식과 구체적인 형상이 하나로 통합되는 새로운 시대를 맞이하게 되었습니다. 현대 대수기하학의 주요 연구 대상은 '대수적 다양체'입니다. 이는 여러 개의 다항식을 동시에 만족하는 점들의 집합을 의미하며, 원이나 타원, 포물선 같은 곡선들이 대표적인 예시입니다. 대수기하학의 기초가 되는 베주 정리에 따르면, n차 곡선과 m차 곡선은 일반적으로 두 차수의 곱만큼의 점에서 만납니다. 예를 들어 이차 곡선인 원과 일차 곡선인 직선은 최대 두 점에서 만나게 됩니다. 이처럼 복잡한 기하학적 교차의 문제를 다항식의 차수라는 대수적 성질로 명쾌하게 설명해내는 것이 대수기하학이 가진 논리적 아름다움이자 강력한 힘입니다. 오늘날 대수기하학은 그 영토를 무한히 확장하며 수학의 핵심 분야로 자리 잡았습니다. 특히 최근 필즈상을 수상한 허준이 교수는 조합론적 구조 내에서 대수기하학적 원리를 발견하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 이는 대수기하학의 토대가 정수론을 넘어 조합론에 이르기까지 광범위하게 확장될 수 있음을 시사합니다. 비록 학문이 방대해지면서 세부 분야 간의 소통이 어려워지는 위기도 존재하지만, 전체를 관통하는 거대한 구조를 파악하려는 노력은 계속되고 있습니다. 대수기하학은 이제 인공지능 교육 등 실생활의 응용 분야로까지 뻗어 나가며 새로운 전성기를 구가하고 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 1_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 첫 번째 이야기 | 5강 ①

수학자라고 하면 흔히 우리와 다른 세상에 살거나 복잡한 계산을 척척 해내는 천재를 떠올리곤 합니다. 하지만 실제 수학자들은 계산기 없이는 간단한 셈도 불안해하거나, 일상에서는 멍하니 생각에 잠겨 바보 같다는 소리를 듣기도 하는 평범한 면모를 지니고 있습니다. 수학의 본질은 단순한 암산이 아니라 기호와 논리를 통해 세상을 이해하는 과정에 있기 때문입니다. 이들은 MBTI의 'T' 성향처럼 이성적일 때도 있지만, 새로운 아이디어를 위해 끊임없이 상상하는 'N'의 면모도 함께 갖추고 있습니다. 수학은 다른 학문과 달리 기존의 이론이 폐기되지 않고 켜켜이 쌓여 거대한 탑을 이루는 독특한 학문입니다. 경제학이나 다른 사회과학이 시대의 흐름에 따라 패러다임이 바뀌며 이전 이론을 대체하는 것과 대조적입니다. 특히 대수기하학은 중고등학교 과정부터 접할 수 있는 익숙한 분야이면서도, 인류 역사상 가장 뛰어난 천재들의 업적이 층층이 쌓여 만들어진 매우 깊고 매력적인 학문입니다. 한 층이 완성되면 다음 천재가 그 위에 새로운 층을 올리는 방식으로 수학의 지평은 계속해서 넓어지고 있습니다. 현대에 이르러 인공지능이 수학적 난제를 해결할 것이라는 기대가 높지만, 수학의 진정한 가치는 문제를 해결할 때 느끼는 인간의 희열에 있습니다. 인공지능은 방대한 데이터를 계산하고 새로운 패턴이나 반례를 찾는 데 탁월한 능력을 발휘하며 수학자들에게 새로운 도구를 제공합니다. 그러나 어려운 문제를 며칠 밤낮 고민하다가 마침내 해답을 찾아냈을 때의 그 통쾌함과 행복은 기계가 결코 흉내 낼 수 없는 영역입니다. 이러한 성취감은 수학을 단순한 공부가 아닌 즐거운 놀이이자 예술로 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 즐거움을 보여주는 대표적인 사례로 '바리뇽의 정리'가 있습니다. 아무렇게나 그린 못생긴 사각형이라도 각 변의 중점을 연결하면 마법처럼 완벽한 평행사변형이 나타납니다. 처음에는 우연처럼 보이지만, 대각선이라는 보조선 하나를 긋는 순간 닮음의 원리가 명확히 드러나며 해답이 벼락처럼 머릿속을 스칩니다. 이처럼 보이지 않던 구조를 발견하고 논리적으로 증명해 나가는 과정은 마치 마술의 비밀을 알아내는 것과 같은 짜릿한 쾌감을 선사하며, 이것이 바로 수학자들이 연구에 몰두하는 이유입니다. 오일러가 해결한 '쾨니히스베르크의 다리 문제'는 복잡한 현실을 단순화하여 구조를 파악하는 수학적 사고의 정수를 보여줍니다. 그는 지형의 구체적인 수치 대신 연결 관계에만 집중하여 '그래프 이론'이라는 새로운 분야를 개척했습니다. 이러한 발상의 전환은 오늘날 물류 시스템, 데이터 네트워크 설계, 지하철 노선도 등 현대 산업 전반에 걸쳐 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 복잡한 세상 속에서 우리에게 정말 중요한 데이터가 무엇인지 선별해 주는 강력한 도구입니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 2_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 두 번째 이야기 | 4강 ②

기하학의 어원은 그리스어 '게오메트리아'에서 시작되었습니다. 이는 '땅을 측정하다'라는 의미를 담고 있는데, 고대 이집트에서 나일강의 범람 이후 토지를 공정하게 재분배하기 위해 측량 기술이 발달한 것과 맥을 같이 합니다. 동양에서는 이를 '기하(幾何)'라고 번역했는데, 이는 '얼마나, 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 한자로 옮긴 것입니다. 이처럼 기하학은 단순히 도형을 연구하는 학문을 넘어, 고대 국가의 통치와 권력을 유지하기 위한 필수적인 제왕의 학문으로 자리 잡았습니다. 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 읽힌 책으로 꼽히는 유클리드의 '기하학 원론'은 서양 지성사의 근간을 이루었습니다. 아인슈타인이 마음의 평화를 얻기 위해 항상 곁에 두었다는 이 책은, 한 개인의 업적이라기엔 너무나 방대하여 여러 학자의 공동 저작이라는 설이 있을 정도입니다. 유클리드는 자명한 진리인 '공리'로부터 논리적 추론을 통해 결론을 도출하는 체계적인 방식을 정립했습니다. 이러한 사고 체계는 수학을 넘어 철학, 정치, 심지어 미국의 독립선언서 작성에까지 깊은 영감을 주었습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 2,000년의 시간은 정적인 수학의 시대였습니다. 하지만 17세기 천체 운동에 대한 관심이 높아지면서 변화하는 세계를 설명할 새로운 도구가 필요해졌습니다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 증명하고 행성의 궤도를 계산하는 과정에서 정적인 기하학의 한계를 절감했고, 결국 변화를 다루는 '미적분'을 탄생시켰습니다. 이는 인류의 세계관이 멈춰 있는 대상에 대한 탐구에서 움직이고 변화하는 역동적인 세계로 확장되었음을 의미하는 중요한 전환점이자 수학적 진보였습니다. 대수학과 기하학의 역사적인 만남은 데카르트의 기발한 상상력에서 시작되었습니다. 천장에 붙은 파리의 위치를 숫자로 표현할 수 없을까 고민하던 그는 좌표평면이라는 개념을 창안했습니다. 이를 통해 도형이라는 기하학적 대상을 수식이라는 대수적 언어로 변환할 수 있게 되었습니다. 이제 파리의 움직임은 곡선이라는 그림인 동시에 숫자들의 변화를 담은 방정식이 되었습니다. 이 혁신적인 결합은 복잡한 기하 문제를 명쾌한 수식 풀이로 해결할 수 있는 대수기하학이라는 새로운 지평을 열었습니다. 현대 수학은 서로 다른 영역이 연결될 때 난제를 해결하는 강력한 힘을 발휘합니다. 페르마의 마지막 정리가 대수적 문제를 기하학적 곡선의 성질로 치환하여 해결된 사례는 수학적 상상력의 정수를 보여줍니다. 이처럼 보이지 않는 규칙들을 연결해 나가는 과정을 '빅 매스(Big Math)'라 부를 수 있습니다. 수학은 사물의 구조를 탐구하는 대수학과 대상 간의 관계를 살피는 해석학으로 나뉩니다. 이 두 축을 이해하는 것은 우리가 세상을 바라보는 논리적 틀을 완성하고 자연의 질서를 깊이 있게 통찰하는 과정과도 같습니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 1_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 첫 번째 이야기 | 4강 ①

위대한 과학자의 길은 흔히 고독한 연구의 연속이라 생각하기 쉽습니다. 하지만 물리학자 이휘소 박사를 추모하는 강연에서 만난 젊은 트호프트 박사의 이야기는 이러한 편견을 깨뜨려 주었습니다. 그는 동료 과학자들과의 깊은 유대감과 공동의 성취가 얼마나 큰 가치를 지니는지 강조했습니다. 학문적 성과 뒤에 숨겨진 뜨거운 동지애는 누군가에게는 평생을 바칠 학문의 길로 들어서는 결정적인 전환점이 되기도 합니다. 과학은 혼자 하는 것이 아니라, 서로의 지혜를 나누며 함께 나아가는 과정임을 깨닫는 순간 새로운 세계가 열립니다. 이휘소 박사는 한국인 물리학자 중 노벨상에 가장 근접했다는 평가를 받는 인물입니다. 화학공학으로 시작해 물리학으로 전향한 그는 유학 시절 탁월한 재능을 인정받아 세계적인 연구소에서 수많은 업적을 남겼습니다. 비록 40대 초반이라는 젊은 나이에 안타까운 사고로 생을 마감했지만, 그가 남긴 학문적 유산은 여전히 후대 과학자들에게 큰 영감을 주고 있습니다. 그의 삶은 단순한 천재성을 넘어, 진리를 향한 열정과 헌신이 무엇인지를 보여주는 상징과도 같습니다. 이러한 위대한 선구자의 발자취는 다음 세대의 꿈을 키우는 밑거름이 됩니다. 수학의 세계에는 '빅 매스(Big Math)'라는 화두가 존재합니다. 이는 단순히 논문을 쓰기 위한 지엽적인 연구가 아니라, 학문의 근본적인 흐름을 바꾸는 거대한 주제에 도전하는 정신을 의미합니다. 20세기 최고의 수학적 기획이라 불리는 '랭글랜즈 프로그램'은 수많은 수학자에게 영감을 주었으며, 이를 통해 수학의 여러 분야가 하나로 연결되는 놀라운 경험을 선사했습니다. 방황하던 시기에 만난 이러한 거대한 비전은 한 개인의 인생을 수학자의 길로 이끄는 강력한 이정표가 됩니다. 큰 꿈을 품고 본질을 꿰뚫는 연구에 매진하는 태도는 모든 학문의 지향점입니다. 한국 수학계의 거목인 이임학 교수와 그의 제자 임덕상 교수의 이야기는 역경을 이겨낸 학문적 의지를 잘 보여줍니다. 전쟁과 가난이라는 혹독한 환경 속에서도 주경야독하며 학업을 이어간 이들은 짧은 유학 기간에도 불구하고 세계적인 학문적 성취를 이루어냈습니다. 특히 대수학 분야에서 이들이 남긴 족적은 한국 수학의 위상을 높이는 데 결정적인 역할을 했습니다. 스승의 가르침이 제자에게 이어지고, 그 제자가 다시 세계적인 학자로 성장하는 과정은 학문의 계보가 어떻게 형성되는지를 보여주는 감동적인 사례입니다. 현대 수학의 주요 분야인 대수기하학은 기하학적 대상을 대수적인 방법으로 분석하는 학문입니다. 이는 마치 칸딘스키나 몬드리안 같은 추상 화가들이 사물의 외형 너머에 숨겨진 본질적인 구조를 탐색하는 과정과 닮아 있습니다. 미술 작품 속의 점, 선, 면이 이루는 조화는 수학자가 추구하는 구조의 명징성과 궤를 같이합니다. 복잡한 현상 속에서 명확한 질서를 찾아내려는 노력은 예술과 수학 모두가 공유하는 가치입니다. 이러한 시각으로 세상을 바라볼 때, 우리는 수학이 단순한 계산을 넘어 세상을 이해하는 아름다운 언어임을 깨닫게 됩니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 2_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 두 번째 이야기 | 2강 ②

고대 수학자 디오판토스의 저서 『산수』에는 오늘날의 수식과는 달리 문장으로 표현된 복잡한 문제들이 가득합니다. 예를 들어 주어진 수를 두 조각으로 나누어 그 곱이 정육면체의 부피에서 변의 길이를 뺀 값과 같게 만드는 문제는 현대의 대수학적 기호를 빌리면 훨씬 명료해집니다. 과거의 수학자들이 말로 풀어서 설명했던 난해한 조건들을 기호화하는 과정은 인간의 사고를 효율적으로 만들었습니다. 이러한 수식화는 단순히 계산을 돕는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫고 해를 찾는 새로운 길을 열어주는 수학적 언어의 탄생을 의미합니다. 디오판토스가 제시한 방정식은 현대 수학에서 '타원곡선'이라는 개념으로 이어집니다. 타원곡선은 3차 방정식의 해를 좌표평면 위에 점으로 나타낸 기하학적 형상입니다. 컴퓨터를 활용해 이 곡선을 그려보면 특유의 대칭적인 모양이 나타나는데, 이 곡선 위의 점들은 곧 방정식의 유리수 해를 의미합니다. 과거에는 단순히 숫자를 대입하며 해를 찾으려 애썼지만, 이제는 기하학적 구조를 통해 해의 분포와 성질을 시각적으로 파악할 수 있게 되었습니다. 이는 대수학과 기하학이 결합하여 복잡한 수의 세계를 탐구하는 강력한 도구가 되었음을 보여줍니다. 타원곡선 상의 점들은 수학적으로 '군(Group)'의 구조를 형성하며, 이는 정수론의 난제들을 해결하는 핵심적인 열쇠가 됩니다. 닫혀 있는 연산의 특성상 하나의 해로부터 무수히 많은 새로운 해를 생성해낼 수 있기 때문입니다. 겉보기에는 무작위해 보이는 유리수 해들이 사실은 정교한 수학적 규칙 아래 서로 연결되어 있다는 사실은 매우 놀랍습니다. 이러한 군 구조의 발견은 복잡한 방정식의 해를 체계적으로 탐구할 수 있는 이론적 바탕을 마련해 주었으며, 현대 대수학의 지평을 넓히는 계기가 되었습니다. 20세기 초 모델(Mordell)은 타원곡선의 모든 유리수 해가 유한 개의 생성 요소들로부터 만들어진다는 정리를 증명했습니다. 이는 아무리 많은 해가 존재하더라도 몇 개의 기본 소자만 알면 나머지를 모두 찾아낼 수 있다는 희망적인 소식이었습니다. 하지만 현대 수학에는 여전히 거대한 장벽이 남아 있습니다. 바로 그 유한 개의 생성 요소를 일반적으로 찾아내는 알고리즘이 아직 완벽히 밝혀지지 않았기 때문입니다. 이 문제를 다루는 'BSD 추측'은 밀레니엄 난제 중 하나로 꼽히며, 오늘날에도 수많은 수학자가 학문적 성취를 위해 도전하고 있습니다. 타원곡선 이론은 순수 수학의 영역을 넘어 현대 사회의 보안과 기술 발전에도 결정적인 기여를 하고 있습니다. 앤드류 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 타원곡선은 결정적인 아이디어를 제공했으며, 오늘날에는 암호론의 핵심 기술로 자리 잡았습니다. 타원곡선 위의 복잡한 연산 구조는 정보를 안전하게 보호하는 4세대 암호 체계의 근간이 됩니다. 인공지능 시대에 개인 정보를 보호하면서도 효율적인 데이터 처리를 가능케 하는 수학적 방패로서, 타원곡선은 보이지 않는 곳에서 우리의 디지털 세상을 지탱하는 든든한 기초가 되고 있습니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[해썰이 있는 과학뉴스] 핵심만 알려주는 2022 필즈상

최근 대한민국 수학계는 허준이 교수의 필즈상 수상이라는 역사적인 쾌거를 맞이했습니다. 수학은 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 우리 주변의 다양한 대상 속에 숨겨진 질서와 구조를 탐구하는 학문입니다. 특히 조합론은 순열이나 그래프와 같이 셀 수 있는 이산적인 대상들을 연구하며, 그 구조를 통해 개수를 세거나 반대로 개수를 통해 구조를 파악하는 학문입니다. 이러한 수학적 사고는 복잡한 현상 속에서 명확한 규칙을 찾아내는 강력한 도구가 됩니다. 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상은 4년마다 40세 이하의 젊은 수학자들에게 수여됩니다. 이는 과거의 업적뿐만 아니라 미래의 가능성을 함께 평가하는 상으로, 수학자들에게는 최고의 영예로 통합니다. 반면 노르웨이 왕실에서 제정된 아벨상은 연령 제한 없이 일생의 업적을 기린다는 점에서 노벨상과 더욱 유사한 성격을 띱니다. 허준이 교수의 수상은 한국 수학계의 성숙도를 증명하는 계기가 되었으며, 향후 아벨상 수상자 배출에 대한 기대감도 높이고 있습니다. 허준이 교수의 핵심 연구 분야는 조합론과 대수기하학을 결합한 조합 대수기하학입니다. 그는 서로 다른 두 분야 사이에 다리를 놓아 한쪽의 관점으로 다른 쪽의 난제를 해결하는 독창적인 방식을 보여주었습니다. 특히 '로그 오목성'이라는 성질을 깊이 있게 탐구하여, 수십 년간 해결되지 않았던 리드 추측을 비롯한 수많은 난제들을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 문제를 푸는 것에 그치지 않고 새로운 수학적 방법론을 제시했다는 점에서 학계에 엄청난 파급력을 미쳤습니다. 그래프 이론에서 채색 다항식은 그래프의 꼭짓점을 인접한 것끼리 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 나타냅니다. 허준이 교수는 이 다항식의 계수들이 일정한 패턴을 그리며 증가하다 감소하는 '단봉성'과 그보다 강력한 조건인 '로그 오목성'을 가진다는 사실을 증명했습니다. 이러한 연구는 매트로이드라고 불리는 조합론의 핵심 대상에 대한 기하학적 이해를 가능하게 했습니다. 이는 추상적인 수학 이론이 어떻게 구체적인 구조적 특징으로 나타나는지를 보여주는 대표적인 사례입니다. 허준이 교수의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 실용적인 가치도 지니고 있습니다. 그의 이론은 복잡한 네트워크 구조에서 완벽 매칭의 개수를 빠르게 세는 알고리즘 개발에 기여하는 등 컴퓨터 과학 분야에도 영향을 미치고 있습니다. 수학은 인간의 이해를 무한히 확장해 나가는 과정이며, 하나의 난제를 해결하는 것은 더 넓은 미지의 세계로 나아가는 문을 여는 것과 같습니다. 이번 성과를 발판 삼아 기초 과학 전반에서 한국의 위상이 더욱 높아지기를 기대해 봅니다.

국립과천과학관요즘과학👏

수학

[페스티벌+어스] 필즈상 수상자 허준이교수와 함께 하는 수학콘서트 by 허준이 ㅣ 2022 대한민국 과학축제(페스티벌 어스)

2022년 필즈상 수상자 허준이 교수는 수학의 대중적 관심을 이끌어낸 상징적인 인물입니다. 그는 동료 수학자인 김재원 교수와 함께 유학 시절의 추억을 나누며 수학자가 되기까지의 과정을 회상합니다. 수학은 단순히 어려운 문제를 푸는 학문이 아니라, 사람과 사람이 만나 아이디어를 나누고 함께 성장하는 과정임을 보여줍니다. 그의 이야기는 천재적인 면모 뒤에 숨겨진 평범하고 인간적인 매력을 드러내며 많은 이들에게 깊은 영감을 줍니다. 필즈상은 흔히 '수학계의 노벨상'이라 불리지만, 40세 이하라는 독특한 나이 제한이 있습니다. 이는 수상자가 젊은 나이에 명성을 얻어 이후 오랜 기간 사회에 선한 영향력을 행사하고 학문 발전을 이끌도록 장려하기 위함입니다. 허 교수는 이러한 상의 무게감을 인지하면서도, 대중의 관심과 댓글을 직접 확인하며 소통하는 소탈한 모습을 보입니다. 수학적 업적만큼이나 그가 가진 사회적 역할에 대한 책임감이 돋보이는 대목이라 할 수 있습니다. 수학자는 크게 새로운 이론을 정립하는 '이론가'와 난제를 해결하는 '문제 해결사'로 나뉩니다. 허준이 교수는 자신을 그 중간 지점에 위치한 수학자로 정의합니다. 그는 조합론과 대수기하학이라는 서로 다른 두 분야를 연결하여 수학계에 새로운 놀이터를 제공했습니다. 이는 단순히 정답을 찾는 것을 넘어, 후대 수학자들이 마음껏 뛰어놀 수 있는 새로운 언어와 틀을 개발했다는 점에서 학술적으로 매우 큰 의미를 가집니다. 수학 연구에서 공동 연구는 이제 필수적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 다른 과학 분야가 프로젝트를 나누어 수행하는 분업 형태라면, 수학은 하나의 문제를 두고 서로의 아이디어를 주고받으며 한 발짝씩 나아가는 과정입니다. 허 교수는 공동 연구의 핵심으로 인간적인 유대감을 꼽습니다. 서로 충분히 친해지고 마음이 열렸을 때 비로소 각자가 가진 퍼즐 조각을 맞추어 하나의 정교한 그림을 완성할 수 있기 때문입니다. 수학자의 일상은 업무와 휴식의 경계가 모호하다는 특징이 있습니다. 소파에 누워 눈을 감고 생각에 잠긴 순간조차 수학자에게는 치열한 연구의 시간입니다. 허 교수는 젊은 시절 스스로를 조절하는 데 어려움을 겪기도 했지만, 이제는 가족과 시간을 보내며 적절한 휴식을 취하는 법을 터득했습니다. 유연한 시간 활용은 수학자라는 직업이 가진 큰 장점이자, 끊임없는 사고를 이어가야 하는 이들에게 반드시 필요한 덕목입니다. 허준이 교수와 김재원 교수가 연구하는 조합론은 유한한 집합들 사이의 관계와 패턴을 탐구하는 학문입니다. 허 교수가 현미경으로 아주 작은 대상을 관찰하듯 세밀한 패턴을 찾아낸다면, 김 교수는 망원경으로 거대 구조를 보듯 전체적인 경향성을 연구합니다. 이처럼 같은 분야 안에서도 수학자들은 각기 다른 시각으로 세상을 바라봅니다. 이들의 연구는 서로 다른 대상들이 가진 원초적인 공통점을 발견해 나가는 즐거운 여정입니다. 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 지식 습득 그 자체보다 생각하는 힘을 기르는 데 있습니다. 현대 사회에서 수학은 과학과 기술의 기초 언어일 뿐만 아니라, 자신의 논리를 타인에게 엄밀하게 전달하고 설득하는 소통의 도구입니다. 허 교수는 수학적 사고가 인생 전반에 걸쳐 유용한 기술이 될 수 있음을 강조합니다. 정답을 맞히는 기술을 넘어, 세상을 논리적으로 이해하고 소통하는 법을 배우는 것이 바로 수학의 본질입니다.

허준이

카오스재단2022 대한민국 과학축제 ㅣ 페스티벌 어스

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[질문Q] 수포자가 되지 않는 방법은? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여

수학 교육 현장에서 '수포자'라는 단어가 유행처럼 번지는 현실은 매우 안타까운 일입니다. 이는 학생들이 수학을 이해하지 못해서라기보다, 비정상적으로 꼬여 있는 문제나 지엽적인 기술만을 강조하는 교육 방식에 기인한 측면이 큽니다. 수학을 거대한 틀에서 바라보지 못하게 하고 상상력을 제한하는 현재의 입시 중심 교육은 수학을 즐거운 탐구가 아닌 고통스러운 노동으로 변질시킵니다. 양적인 학습보다는 수학적 의미를 되새기고 흥미를 느낄 수 있는 동기 부여의 시간이 절실합니다. 수학을 연구하는 과정에서 겪는 막막함은 비단 학생들만의 고민이 아닙니다. 세계적인 수학자들조차 자신의 재능을 의심하거나 독창적인 연구를 해낼 수 있을지 고뇌하는 순간을 마주하곤 합니다. 중요한 것은 이러한 어려움 속에서도 자신이 가치 있다고 믿는 문제를 향해 꾸준히 나아가는 태도입니다. 수학은 단기적인 성과보다 장기적인 흥미와 즐거움이 더 큰 힘을 발휘하는 학문입니다. 스스로에 대한 확신을 가지고 단계를 넘어서다 보면 결국 자신만의 가치 있는 답을 찾게 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름 중 하나인 랭랜즈 프로그램은 서로 다른 수학 분야들을 하나의 체계로 통합하려는 원대한 시도입니다. 지난 수십 년간 수학은 정수론적 문제를 해결하기 위해 해석학이나 기하학의 도구를 동원하는 등 분야 간의 경계가 점점 옅어지는 방향으로 발전해 왔습니다. 이러한 통합이 완벽히 이루어지기까지는 수백 년의 시간이 더 걸릴지도 모르지만, 복잡하게 얽힌 수학적 구조를 보다 근본적으로 이해하려는 노력은 지금 이 순간에도 끊임없이 이어지고 있습니다. 수학의 여러 분야가 서로의 도구를 공유하며 융합되는 추세임에도 불구하고, 각 분야 고유의 정체성은 여전히 중요한 의미를 지닙니다. 어떤 도구를 사용하느냐보다 궁극적으로 무엇을 알고 싶어 하는가에 따라 수학자의 정체성이 결정되기 때문입니다. 마치 하나의 국가 안에서도 지역마다 고유한 특색이 살아있듯, 수학 또한 거대한 통합의 길을 지향하면서도 각 세부 분야만의 독특한 시각과 해석 방식을 유지합니다. 이러한 다양성은 수학이라는 학문을 더욱 풍요롭고 거대하게 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 지식을 대중에게 전달하는 방식에 있어서도 새로운 변화가 필요합니다. 단순하고 얕은 수준의 정보 전달을 넘어, 조금 더 깊이 있고 본질적인 수학의 아름다움을 다루는 고급 강연이 많아져야 합니다. 랭랜즈 프로그램이나 리만 가설과 같은 거대한 난제들이 서로 어떻게 연결되어 있는지 아직 명확히 밝혀지지 않은 부분들이 많습니다. 이러한 미지의 영역을 탐구하려는 호기심을 자극하고, 영상과 같은 효과적인 매체를 통해 수학의 가치를 공유하는 일은 미래 수학 발전의 밑거름이 될 것입니다.

카오스재단명강리뷰&질문Q

[질토과+짧강] 👨‍💻군과 랭랜즈 프로그램 by 정경훈｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강

랭랜즈 프로그램은 단순한 수학적 추측이나 개별적인 문제를 넘어선 '원대한 기획'이라 할 수 있습니다. 이는 마치 컴퓨터 프로그램이 여러 하위 프로그램으로 구성되어 최종 결과를 도출하듯, 수학의 여러 분야를 유기적으로 연결하는 거대한 복합체입니다. 페르마의 마지막 정리조차 이 거대한 프로그램의 첫 번째 단계에 해당할 정도로 그 규모가 방대합니다. 수학자들은 이를 통해 흩어져 있던 문제들을 일관된 방향으로 정렬하고, 우리가 나아가야 할 길을 설득력 있게 제시받습니다. 수학사에는 랭랜즈 프로그램 외에도 다양한 '프로그램'이 존재해 왔습니다. 기하학을 군의 관점에서 분류하려 했던 에를랑겐 프로그램이나, 수학의 기초를 공리화하려 했던 힐베르트 프로그램이 대표적입니다. 최근에는 3차원 기하학의 분류를 다루는 서스턴의 프로그램이나 대수 방정식의 해 집합을 연구하는 모리 프로그램도 활발히 진행되고 있습니다. 이러한 기획들은 수학적 대상을 체계적으로 분류하고 연구하는 패러다임의 변화를 이끌며 학문의 발전을 견인해 왔습니다. 수학에서 '군'은 대칭성을 표현하는 언어입니다. 예를 들어 회전판을 특정 각도만큼 돌렸을 때 원래와 같은 모습을 유지한다면, 이는 회전에 대한 대칭성을 가진다고 말합니다. 이러한 대칭성은 단순히 도형의 성질에 그치지 않고 정수론의 나머지 개념과도 깊게 연결됩니다. 수학자들은 군이라는 도구를 통해 복잡한 대칭 구조를 엄밀하게 정의하고, 이를 바탕으로 수의 세계와 기하학적 세계 사이의 보이지 않는 연결 고리를 찾아내어 학문적 지평을 넓혀갑니다. 대칭성의 개념은 수학을 넘어 물리학과 화학 등 자연과학 전반에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 에미 뇌터의 정리에 따르면 물리계의 대칭성은 에너지 보존 법칙과 같은 보존 법칙과 직결됩니다. 화학에서는 분자 구조의 대칭성에 따라 물질의 극성이나 결정의 성질이 결정되기도 합니다. 심지어 방정식 자체에도 대칭성이 존재하며, 이를 찾아내는 과정은 현대 과학의 가장 중요한 방법론 중 하나입니다. 이처럼 대칭은 자연의 근본 원리를 이해하는 열쇠가 됩니다. 페르마의 소정리는 대칭성을 이용해 정수론의 문제를 해결하는 대표적인 사례입니다. 소수와 거듭제곱 사이의 관계를 다루는 이 정리는 언뜻 복잡해 보이지만, 회전판의 색칠 문제를 통한 대칭성 분석으로 명쾌하게 증명될 수 있습니다. 특정 색 조합을 회전시켰을 때 나타나는 중복성을 군의 관점에서 분류하면, 복잡한 계산 없이도 수의 성질을 파악할 수 있습니다. 이는 추상적인 수학 정리가 시각적이고 직관적인 대칭 구조와 어떻게 맞닿아 있는지를 잘 보여주는 대목입니다. 현대 물리학의 표준 모형은 군의 표현론을 극대화하여 활용한 결과물입니다. 물리학자 머리 겔만은 특정 군의 표현을 연구하던 중 쿼크의 존재를 예측하여 노벨 물리학상을 받기도 했습니다. '모든 것은 행렬이다'라는 관점에서 접근하는 표현론은 군의 대칭성을 벡터 공간 위에서 구현하며, 이는 소립자의 성질을 규명하는 결정적인 도구가 됩니다. 현재 과학계는 전자기력, 약력, 강력에 이어 중력까지 통합하는 대통일 이론을 향해 나아가며 새로운 수학적 군의 발견을 기다리고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 수학의 여러 분야를 통합하는 '대통일 이론'으로서의 가능성을 지니고 있습니다. 정수론, 표현론, 대수기하학이 서로 협력하며 방정식의 유전자를 이해하려는 이 여정은 수학의 끝이 아닌 새로운 시작을 의미합니다. 설령 미래에 이 프로그램이 예상과 다른 방향으로 전개되더라도, 그 과정에서 얻은 통찰은 인류의 지적 자산이 될 것입니다. 거대한 질문의 세계를 탐구하는 도전 정신은 수학을 단순한 학문을 넘어 인간 지성의 승리로 이끄는 원동력이 됩니다.

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[인터뷰] 허준이X수학유튜버_수학에서 '잘한다'의 의미는? 수학발전은 수학 천재만 할 수 있다는 건 오해?

수학은 사회에 매우 중요한 기여를 하지만, 그 영향력이 대중의 피부에 와닿기까지는 여러 세대가 걸리기도 합니다. 이러한 간접적이고 추상적인 학문의 가치를 사회가 인정하고 큰 상을 수여한다는 것은, 그 사회가 학문적 다양성과 깊이를 수용할 수 있을 만큼 성숙했다는 증거이기도 합니다. 수학자로서 이러한 인정을 받는 것은 개인적인 영광을 넘어 학문적 책임감을 느끼게 하는 계기가 됩니다. 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문이 아니라, 우리 사회의 지적 토대를 단단하게 다지는 보이지 않는 힘으로 작용하며 인류의 지평을 넓혀가고 있습니다. 최근 주목받는 로렌츠 다항식은 현대 수학의 여러 분야를 잇는 중요한 가교 역할을 합니다. 이 이론의 매력은 대수기하학 같은 고도의 전문 지식이 없어도 미적분학과 선형대수학이라는 기초적인 도구만으로도 그 본질에 접근할 수 있다는 점에 있습니다. 기초적인 원리에서 시작하여 표현론이나 조합론 같은 복잡한 분야로 확장되는 과정은 수학이 가진 논리적 연결성을 잘 보여줍니다. 누구나 함께 즐길 수 있는 수학적 주제를 통해 학문의 문턱을 낮추고, 다양한 분야의 연구자들이 공통의 언어로 소통할 수 있는 장을 마련하는 것은 현대 수학이 지향해야 할 중요한 방향 중 하나입니다. 수학은 그 자체로 하나의 언어이지만, 우리가 일상에서 사용하는 언어와도 긴밀하게 상호작용합니다. 한국어와 영어처럼 서로 다른 언어 체계로 수학적 사고를 전개할 때, 특정 언어에서는 풀리지 않던 증명이 다른 언어에서는 자연스럽게 해결되는 흥미로운 경험을 하기도 합니다. 추상적인 대상을 다루는 수학적 사고의 대부분은 언어로 구성되어 있기에, 어떤 언어를 선택하느냐에 따라 사고의 흐름과 문제 해결의 방식이 달라질 수 있습니다. 이는 수학이 단순히 기계적인 계산이 아니라, 인간의 언어적 직관과 깊이 연결된 창의적인 활동임을 시사하며 다국어적 사고가 수학적 통찰에 큰 장점이 될 수 있음을 보여줍니다. 현대 수학의 흐름은 과거의 엄격한 분야 구분을 넘어 통합과 융합으로 나아가고 있습니다. 대수학, 해석학, 기하학 등 서로 다른 영역 사이의 경계를 허물고 새로운 구조를 찾아내는 작업은 고차원적인 패턴 인식의 과정이라 할 수 있습니다. 이러한 경계 넘기 작업을 성공적으로 수행하기 위해서는 역설적으로 각 분야에 대한 깊이 있는 이해가 선행되어야 합니다. 수많은 사례와 패턴을 부지런히 학습하고 데이터베이스를 쌓아 올릴 때, 비로소 서로 다른 분야를 매개하는 핵심적인 원리를 발견할 수 있습니다. 끊임없는 학습과 정보 습득은 수학적 직관을 날카롭게 다듬는 가장 확실한 방법입니다. 흔히 수학의 발전이 소수의 천재에 의해 이루어진다고 생각하기 쉽지만, 실제 수학의 역사는 수많은 연구자가 조금씩 쌓아 올린 거대한 건축물과 같습니다. 마치 개미 떼가 모여 백 층짜리 빌딩을 짓는 것처럼, 평범한 수학자들이 매일 기울이는 노력이 모여 학문의 거대한 볼륨을 형성합니다. 겉으로 보기에는 패러다임을 바꾸는 획기적인 발견처럼 보여도, 그 이면에는 이미 그러한 발견이 가능하도록 다져진 학문적 토양과 선행 연구들의 축적이 존재합니다. 따라서 천재성에 대한 막연한 공포를 갖기보다는, 매일의 꾸준한 연구가 인류의 지적 자산을 풍요롭게 만드는 소중한 벽돌 한 장이 된다는 믿음을 갖는 것이 중요합니다. 수학자에 대한 고정관념과 달리, 대다수의 프로 수학자들은 일상의 평범함을 즐기며 동료들과 소통하는 사회적인 존재들입니다. 수학을 잘한다는 것은 단순히 계산 능력이 뛰어난 것을 넘어, 자신이 모르는 부분에 대해 정확하게 질문하고 모호한 개념을 대화를 통해 명확하게 다듬어가는 소통 능력을 갖추는 것을 의미합니다. 또한, 하나에 몰입하여 오랫동안 고민할 수 있는 인내심과 수학 자체를 순수하게 즐기는 마음가짐이 무엇보다 중요합니다. 수학은 고립된 천재의 전유물이 아니라, 명확한 논리를 바탕으로 타인과 생각을 나누고 함께 진리를 탐구해 나가는 즐거운 유희이자 소통의 과정입니다. 수학자로서의 전성기는 단순히 젊은 시절에 국한되지 않으며, 풍부한 경험과 원숙함이 더해진 50대와 60대에도 충분히 꽃피울 수 있습니다. 아이를 키우고 일상을 꾸려나가는 인간적인 삶의 궤적 속에서 수학적 영감은 더욱 단단해지며, 동료들과 함께 문제를 풀며 쌓은 즐거운 추억들은 연구를 지속하게 하는 원동력이 됩니다. 또한 후학을 가르치는 과정은 자신이 알고 있던 지식을 재점검하고 새로운 시각을 얻는 소중한 기회가 됩니다. 미래에 대한 호기심을 잃지 않고 배움의 즐거움을 유지하며, 어제보다 조금 더 깊은 통찰을 얻기 위해 노력하는 삶이야말로 수학자이자 한 인간으로서 지향해야 할 진정한 성공의 모습일 것입니다.

허준이

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[과학자가 쓴 과학책#14] 연결과 확률의 중요성 | 박형주 _ 배우고 생각하고 연결하고 | KAOS X 공원생활 특집

새로운 환경에 적응하며 학문에 매진하던 유학 시절, 연구의 벽에 부딪혀 좌절을 경험한 적이 있습니다. 노력만으로는 해결되지 않는 결과의 부재는 깊은 무력감을 안겨주었고, 설상가상으로 경제적 위기까지 겹치며 학업을 포기해야 할 상황에 놓였습니다. 하지만 인생의 가장 낮은 지점에서 마주한 뜻밖의 기회는 '연결'이라는 가치를 깨닫게 해주었습니다. 한 분야에서 도저히 풀리지 않던 난제가 다른 분야에서는 이미 해결된 상식일 수 있다는 사실을 직접 경험하며, 타인의 목소리에 귀를 기울이는 태도가 얼마나 중요한지 실감하게 되었습니다. 절망적인 상황에서 우연히 엿듣게 된 공학자들의 대화는 인생의 전환점이 되었습니다. 그들이 고민하던 디지털 신호처리의 난제는 수학계에서 이미 수십 년 전에 증명된 정리와 맞닿아 있었습니다. 낯선 분야의 대화에 용기 내어 끼어든 작은 행동은 단순한 오지랖을 넘어, 서로 다른 학문의 언어를 잇는 가교가 되었습니다. 수학적 지식이 공학적 문제의 실마리가 될 수 있음을 확인한 순간, 개인의 위기는 공동 연구라는 새로운 가능성으로 변모했습니다. 이는 자신의 전문 분야에만 갇혀 있어서는 결코 보지 못했을 넓은 시야를 선사했습니다. 서로 다른 언어를 사용하는 전문가들이 소통하지 못할 때 지식의 단절이 발생합니다. 공학자의 언어와 수학자의 언어가 다르기에 같은 문제를 두고도 서로의 해답을 알아보지 못하는 경우가 많습니다. 하지만 타 분야의 언어를 이해하려 노력하고 대화에 참여할 때, 비로소 근본적인 난제 해결의 문이 열립니다. 수학적 이론을 공학적 실무에 적용하며 다차원 신호처리 전문가로 거듭났던 경험은, 현대 사회에서 '연결'과 '협력'이 단순한 구호를 넘어 생존과 성장을 위한 필수적인 동력임을 증명하는 살아있는 사례가 되었습니다. 역사 속에서도 위대한 성취는 서로 다른 분야의 천재들이 협력할 때 탄생했습니다. 르네상스 시대를 풍미한 레오나르도 다빈치와 수학자 루카 파초올리의 만남이 대표적입니다. 경험을 통해 배우던 예술가 다빈치는 수학적 계산만으로 결과를 예측하는 파초올리의 지식에 매료되었고, 두 사람은 기하학과 미술을 결합한 명저를 남겼습니다. 예술적 직관과 논리적 엄밀함이 결합하여 시대의 패러다임을 바꾼 것입니다. 이처럼 우연한 만남에서 시작된 학문 간의 교류는 인류 지성사에 지대한 영향을 미치는 결과물을 만들어내곤 합니다. 현대 확률론의 탄생 역시 두 천재 수학자, 페르마와 파스칼의 서신 교환이라는 협력의 산물입니다. 200년 동안 풀리지 않았던 '점수 문제'를 해결하기 위해 그들은 과거의 데이터가 아닌 미래의 가능성에 주목했습니다. 중단된 게임의 판돈을 어떻게 나눌 것인가라는 질문에 대해, 각자가 이길 확률이라는 '기댓값'의 개념을 도입하며 발상의 전환을 이뤄냈습니다. 두 사람이 주고받은 편지는 단순한 문제 풀이를 넘어, 불확실한 미래를 수학적으로 계량화하는 현대 확률론의 기초를 세웠으며 이는 오늘날 금융과 과학 전반의 근간이 되었습니다. 오늘날 수학의 난제들은 무작위성이라는 개념을 통해 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 정수론의 오랜 숙제였던 소수 등차수열 문제나 쌍둥이 소수 가설 등은 해석학이나 확률론적 접근을 통해 해결의 실마리를 찾고 있습니다. 테렌스 타오나 장이탕 같은 수학자들은 자신의 전공 분야에 매몰되지 않고 다양한 수학적 도구를 연결하여 불가능해 보이던 증명을 해냈습니다. 특히 늦은 나이에 학문적 성취를 이룬 사례는 지식의 탐구에 경계가 없음을 보여줍니다. 무작위성이라는 강력한 무기는 이제 인공지능과 같은 첨단 기술의 핵심 원리로도 확장되고 있습니다. 확률과 정보의 연결은 현대 정보 이론의 핵심인 엔트로피 개념으로 이어집니다. 클로드 섀넌은 사건이 발생할 확률이 낮을수록 그 정보의 가치가 크다는 사실을 정립했습니다. 당연한 사실보다는 희귀한 사건이 더 많은 정보를 담고 있다는 통찰은 데이터를 효율적으로 전송하고 저장하는 기술적 토대가 되었습니다. 자주 발생하는 신호는 짧게, 드문 신호는 길게 부호화하는 방식은 우리가 매일 사용하는 디지털 통신의 경제성을 보장합니다. 17세기 수학자들의 호기심에서 시작된 확률의 개념이 오늘날 초연결 사회를 지탱하는 정보 이론의 뿌리가 된 셈입니다.

박형주

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[석학인터뷰] 금종해 ─ 10년 내에 수학계 노벨상 나온다!

수학은 많은 이들에게 어렵고 딱딱한 학문으로 인식되곤 합니다. 최근 우리나라에서는 '수포자'라는 용어가 유행하며 수학 교육과정을 약화시키려는 움직임도 있지만, 단순히 내용을 줄인다고 해서 수학을 포기하는 학생들이 사라지는 것은 아닙니다. 오히려 과거에 비해 기초과학의 인기가 줄어든 상황에서도 우수한 학생들이 수학과로 몰리는 현상은 주목할 만합니다. 이는 수학이 단순히 학문적 탐구에 그치지 않고, 대학원 등 더 높은 단계에서 의미 있고 재미있는 일을 할 수 있는 강력한 도구가 될 것이라는 기대감이 반영된 결과라고 볼 수 있습니다. 현재 우리나라의 수학 교육과정은 과거에 비해 상당히 쉬워졌으며 교과서의 두께도 얇아졌습니다. 초등학교에 도입된 스토리텔링 수학은 본래 흥미를 유발하려는 목적이었으나, 이를 평가와 연결하면서 오히려 학생과 학부모들에게 또 다른 부담으로 작용하고 있습니다. 한때 미국 대통령들이 한국의 수학 교육을 모범 사례로 언급하던 시절도 있었지만, 이제는 더 이상 세계적인 벤치마킹 대상이 되지 못할 정도로 교육의 질적 수준이 약화되었습니다. 아이들에게 배움의 기회를 박탈하기보다, 제대로 가르치되 평가의 방식을 개선하는 방향으로 나아가야 합니다. 수학자가 되기 위해 가장 필요한 자질은 빠른 계산 능력이나 암기력이 아닙니다. 진정한 수학자는 수학적 상황 자체를 즐기고 분석하는 과정을 사랑하는 사람입니다. 학교 시험처럼 정해진 시간 내에 문제를 풀어내는 능력은 수학적 연구를 수행하는 데 필수적인 요소가 아닙니다. 계산이 틀리는 것은 주변의 도움이나 도구로 충분히 보완할 수 있는 부분입니다. 중요한 것은 어려운 문제에 직면했을 때 이를 포기하지 않고 끈기 있게 매달리는 태도입니다. 수학을 좋아하는 마음을 잃지 않고 꾸준히 탐구하는 과정 자체가 수학자의 길로 이어지는 비결입니다. 한국의 수학은 짧은 역사에도 불구하고 비약적인 발전을 거듭하여 현재 세계 10위권 내외의 위상을 확보하고 있습니다. 특히 대수기하학 분야에서 한국인 수학자들의 활약은 눈부시며, 머지않은 미래에 필즈상 수상자가 배출될 것으로 기대됩니다. 필즈상은 마흔 살 이전의 젊은 수학자에게 주어지는 영예로운 상으로, 현재 한국에는 그 자격을 갖춘 우수한 인재들이 존재합니다. 이러한 성과는 특정 분야에 국한되지 않고 여러 학문을 융합하여 새로운 길을 찾아내려는 수학자들의 끊임없는 도전과 연구가 뒷받침되었기에 가능한 일이었습니다. 과학계와 우리 사회 전반에 필요한 것은 합리적인 의사결정과 결과에 승복하는 문화입니다. 과학적 지식을 확산하는 것만큼이나 중요한 것은 전문가의 의견을 존중하고 합리적으로 행동하는 태도입니다. 정치 지도자들이 모든 과학 분야를 깊이 있게 알기는 어렵지만, 해당 분야의 전문가 커뮤니티에 자문을 구하고 그들의 판단을 정책에 반영하는 시스템이 정착되어야 합니다. 수학과 과학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 끊임없이 새로운 문제를 발견하고 탐구하는 끝없는 여정입니다. 이러한 학문적 열정이 국가 경쟁력의 근간이 될 것입니다.

금종해

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[석학인터뷰] 현동훈_ 지도교수님 曰 "누가 수학을 재미로 하냐?" 그래도 재밌습니다. | 2020 가을 카오스강연 'Ai X'

순수 수학에 몰두하던 학자가 시야를 넓혀 응용 분야인 컴퓨터 비전에 입문하게 된 과정은 흥미롭습니다. 많은 수학자가 이론의 순수성에 집중하느라 실용적인 응용을 간과하곤 하지만, 컴퓨터 비전은 그 자체로 매우 수학적인 토대를 가지고 있습니다. 이는 수학자로서의 정체성과 자부심을 유지하면서도, 연구 결과가 사회에 실질적이고 가시적인 기여를 할 수 있다는 확신을 줍니다. 추상적인 수식 속에 머물던 아이디어가 현실의 문제를 해결하는 도구로 변모하는 과정은 수학자에게 새로운 즐거움을 선사합니다. 대수기하학은 다항식의 근을 통해 기하학적 구조를 연구하는 학문으로, 예를 들어 원의 방정식을 통해 도형을 이해하는 것과 같습니다. 이러한 학문적 기초는 컴퓨터 비전의 핵심인 '다중관점 기하학'으로 이어집니다. 하나의 물체를 서로 다른 각도에서 바라볼 때 나타나는 형태의 변화를 수학적으로 정교하게 기술하는 것이 이 분야의 핵심입니다. 결국 컴퓨터에게 사물을 보는 법을 가르치는 과정은 대수기하학적 원리를 현실 세계의 시각 데이터에 적용하는 고도의 지적 작업이라고 할 수 있습니다. 컴퓨터의 탄생 자체가 앨런 튜링과 알론조 처치 같은 수학자들의 손에서 시작되었듯이, 수학과 컴퓨터 과학은 떼려야 뗄 수 없는 관계입니다. 최근 전 세계적인 관심을 받는 딥러닝 역시 그 근간에는 단순하고 명료한 수학적 아이디어가 자리 잡고 있습니다. 현재 수학자들은 딥러닝이 왜 뛰어난 성능을 보이는지 그 원리를 규명하고, 이를 더욱 효과적으로 개선하기 위한 연구에 매진하고 있습니다. 특히 컴퓨터 비전 분야는 그 구성 요소의 절반 이상이 기하학적 원리로 이루어져 있어 수학적 통찰이 필수적입니다. 연구의 길은 항상 즐겁기만 한 것은 아니며, 때로는 문제 해결이 되지 않아 괴로운 순간을 마주하기도 합니다. 새로운 지식을 배우는 것은 즐거운 일이지만, 아무도 가보지 않은 길을 개척하는 연구는 차원이 다른 인내를 요구합니다. "수학을 누가 재미로 하느냐, 그냥 하는 것이다"라는 격언처럼, 끈기 있게 문제를 붙들고 늘어지는 태도가 중요합니다. 하지만 이상적인 환경에서 자유롭게 사고하며 무궁무진한 가능성을 탐구하는 과정은 수학만이 줄 수 있는 독특한 매력이며, 이는 창업이나 기술 개발 같은 실천적 도전의 원동력이 됩니다. 우리가 영화 '미션 임파서블'이나 '아이언맨'에서 보았던 첨단 기술들은 더 이상 상상 속의 영역에만 머물지 않습니다. 현장에서 즉석으로 마스크를 제작하기 위한 3D 스캐닝이나 화려한 홀로그래픽 디스플레이의 이면에는 복잡한 수학적 계산과 기하학적 모델링이 숨어 있습니다. 이러한 기술적 진보를 깊이 있게 이해하기 위해서는 그 바탕이 되는 수학적 원리를 파악하는 것이 중요합니다. 수학은 단순히 교과서 속의 학문을 넘어, 우리가 꿈꾸는 미래의 시각 기술을 현실로 구현하는 가장 강력한 언어로서 기능하고 있습니다.

현동훈

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[강연] 2018 필즈상 해설 강연 1일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 박지훈, 하승열 교수 | 2편

수학은 수천 년의 역사를 지닌 학문이지만, 여전히 우리에게 깊은 경외심과 동시에 막연한 두려움을 안겨줍니다. 세계 최고의 수학적 업적에 수여되는 필즈상은 단순히 개인의 천재성을 기리는 자리가 아니라, 인류가 지성의 한계를 어떻게 극복해왔는지를 보여주는 이정표입니다. 수학을 공부하며 마주하는 난해함은 피할 수 없는 과정이지만, 이를 지속적으로 접하며 익숙해지는 과정 자체가 수학적 사고의 핵심입니다. 부분적인 이해에서 시작해 전체적인 통찰로 나아가는 노력은 수학자뿐만 아니라 우리 모두에게 필요한 태도입니다. 2018년 필즈상 수상자인 코처 비르카는 대수기하학의 난제인 '파노 다양체의 유한성'을 증명하며 수학계에 큰 족적을 남겼습니다. 대수 다양체란 다변수 다항식의 해집합으로 이루어진 기하학적 구조를 의미하는데, 그중에서도 차수가 낮은 특수한 다양체를 파노 다양체라 부릅니다. 코처 비르카는 최소 모델 프로그램이라는 도구를 활용하여, 특정한 조건을 만족하는 파노 다양체의 종류가 유한하다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 복잡한 기하학적 대상들을 체계적으로 분류하고 이해하려는 수학자들의 오랜 꿈에 한 걸음 더 다가간 결과입니다. 수학적 발견은 결코 고립된 천재 한 명의 힘으로 이루어지지 않습니다. 코처 비르카의 업적 역시 델 페초와 지노 파노에서 시작되어 이스콥스키흐, 시게후미 모리 등으로 이어지는 거대한 학문적 흐름 위에 서 있습니다. 수많은 수학자가 쌓아 올린 이론적 토대와 협력의 문화가 있었기에 현대의 난제 해결이 가능했던 것입니다. 전 세계의 학자들이 이메일과 논문을 통해 실시간으로 소통하며 아이디어를 주고받는 개방적인 연구 환경은, 현대 수학이 과거보다 더욱 역동적으로 발전할 수 있는 원동력이 되고 있습니다. 또 다른 수상자인 알레시오 피갈리는 '최적 운송 이론'의 대가로 불립니다. 최적 운송 이론이란 자원을 한 분포에서 다른 분포로 옮길 때 비용을 최소화하는 방법을 연구하는 분야입니다. 18세기 가스파르 몽주가 제기한 모래 더미 옮기기 문제에서 시작된 이 이론은, 현대에 이르러 확률론과 편미분 방정식의 결합을 통해 비약적으로 발전했습니다. 알레시오 피갈리는 몽주-앙페르 방정식의 정칙성 문제를 해결함으로써, 추상적인 수학 이론이 실제 물리적 현상을 설명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 입증했습니다. 알레시오 피갈리의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 기상학, 유체 역학, 양자 역학 등 다양한 응용 분야에서 빛을 발하고 있습니다. 대기의 흐름을 설명하는 준지균 방정식을 3차원으로 확장하거나, 기하학적 부등식의 안정성을 증명하는 과정에서 최적 운송 이론은 핵심적인 역할을 수행합니다. 이는 복잡한 자연 현상 이면에 숨겨진 단순하고 아름다운 최적화 원리를 찾아내는 과정이기도 합니다. 수학적 통찰이 어떻게 타 학문과 상호작용하며 인류의 지식 지평을 넓히는지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다. 수학의 본질이 문제 풀이에 있는지, 아니면 새로운 이론을 정립하는 데 있는지에 대한 논의는 끊이지 않습니다. 어떤 수학자는 거대한 산을 정복하듯 난제를 해결하는 데 집중하고, 어떤 수학자는 산을 오르기 위한 길을 닦듯 정교한 이론 체계를 구축합니다. 중요한 것은 이 두 가지 접근 방식이 서로 보완하며 수학이라는 거대한 유기체를 성장시킨다는 점입니다. 난제 해결은 이론의 유효성을 검증하는 실험이 되고, 새로운 이론은 이전에 풀지 못했던 문제에 접근할 수 있는 새로운 시각을 제공합니다. 현대 사회에서 기하학을 비롯한 수학 교육의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 핵심 기술인 인공지능, 로봇 공학, 자율주행 등은 모두 고도의 기하학적 사고를 바탕으로 합니다. 수학은 단순히 공식을 암기하고 계산하는 학문이 아니라, 논리적인 체계를 세우고 세상을 바라보는 통찰력을 기르는 도구입니다. 학생들이 수학의 어려움에 매몰되기보다 그 이면에 숨겨진 질서와 조화를 발견하며 스스로 생각하는 힘을 기를 때, 비로소 수학은 우리 삶을 풍요롭게 만드는 지적 자산이 될 것입니다.

박지훈, 하승열

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (4) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ④

회전판의 대칭성을 이용하면 정수론의 난제를 해결할 수 있는 실마리를 얻게 됩니다. 다섯 칸으로 나뉜 회전판을 두 가지 색으로 칠하는 경우의 수를 따져보면, 모든 칸이 같은 색인 경우를 제외한 나머지 조합들이 회전 대칭에 의해 5의 배수로 묶이는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 군의 대칭성은 페르마의 소정리를 증명하는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 구조인 군을 통해 수의 성질을 파악하는 방식은 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나로 자리 잡고 있습니다. 군론의 핵심 개념인 '작용'과 '표현'은 수학적 대상을 바라보는 시각을 획기적으로 확장합니다. 모든 대상을 변화와 함수로 이해하려는 시도가 작용이라면, 이를 행렬과 벡터의 언어로 구체화하여 분석하는 것이 표현론입니다. 특히 표현론은 선형대수학의 틀 안에서 대칭성을 연구하며 수학적 구조를 더욱 명확하게 드러냅니다. 벡터 공간이라는 무대 위에서 군의 성질을 표현함으로써, 우리는 추상적인 대칭성을 계산 가능한 형태로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 결정적인 역할을 한 것도 바로 이 '표현'의 개념이었습니다. 타원 곡선과 모듈러 형식 사이의 관계를 증명하는 과정에서 연속 표현의 존재는 수학적 진실을 밝히는 핵심 열쇠가 되었습니다. 표현을 만들어낸다는 것은 대칭성을 이용해 복잡한 대상을 설명할 수 있는 기반을 마련하는 일과 같습니다. 이는 단순한 수치 계산을 넘어 서로 다른 수학적 세계를 잇는 가교 역할을 수행하며 정수론의 비약적인 발전을 이끌었습니다. 표현론은 현대 물리학의 표준 모형을 정립하는 데에도 필수적인 토대를 제공했습니다. 머리 겔만은 SU(3)라는 군의 표현을 연구하여 쿼크의 존재를 예측했고, 이는 소립자 물리학의 혁명으로 이어졌습니다. 전자기력, 약력, 강력은 각각 특정 군의 표현으로 설명되며, 현재 물리학자들은 중력까지 아우르는 '모든 것의 이론'을 꿈꾸며, 수학적 대칭성을 통해 우주의 근본 원리를 통합하려는 거대한 도전을 이어가고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 현대 수학의 '대통일 이론'이라 불리며 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 지도의 역할을 수행합니다. 에를랑겐 프로그램의 정신을 계승하여 군의 표현론을 통해 정수론, 대수기하학, 해석학 사이의 깊은 연관성을 탐구하는 것이 이 프로그램의 핵심입니다. 이 거대한 추측들이 해결된다면 우리는 수학의 각 분야를 개별적으로 이해하는 것을 넘어, 하나의 통합된 체계 안에서 바라볼 수 있게 됩니다. 이는 수학적 지식의 지평을 근본적으로 확장하는 시도입니다. 현대 수학의 대양과 같은 랭랜즈 프로그램을 탐험하기 위해서는 다양한 분야의 전문 지식과 긴밀한 협업이 필수적입니다. 정수론, 표현론, 기하학 등 각기 다른 전공을 가진 수학자들이 서로의 지혜를 모아 공동 연구를 진행함으로써 새로운 진보를 이뤄내고 있습니다. 비록 가야 할 길이 멀고 험난할지라도, 이러한 학문적 융합은 수학을 발전시키는 강력한 원동력이 됩니다. 랭랜즈 프로그램은 단순한 연구의 종착역이 아니라, 더 넓은 진리를 향해 나아가는 새로운 시작점이라 할 수 있습니다. 수학적 추측이 때로는 한계에 부딪히거나 예상치 못한 방향으로 흐르더라도, 그 탐구 과정 자체가 인류 지성의 위대한 승리라는 점은 변하지 않습니다. 힐베르트 프로그램이 불완전성 정리에 의해 도전을 받았음에도 수학이 더욱 풍성해졌듯, 랭랜즈 프로그램 역시 우리에게 우주의 질서에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 인간이 지닌 이해의 한계를 확인하고 그 너머를 상상하는 도전은 멈추지 않을 것입니다. 이러한 끊임없는 탐구 정신이야말로 수학이 지닌 진정한 가치이자 아름다움입니다.

신석우, 정경훈

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[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (3) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ③

알고리즘이라는 용어는 비교적 최근의 것이지만, 그 개념은 인류의 역사와 궤를 같이합니다. 2,000년 전 유클리드가 제안한 최대공약수 알고리즘은 오늘날 공인인증서 체계의 핵심으로 여전히 살아 숨 쉬고 있습니다. 이처럼 알고리즘은 컴퓨터가 발명되기 훨씬 이전부터 인간의 사고 체계와 실생활에서 중요한 역할을 담당해 왔으며, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하려는 인류의 지혜가 담긴 결과물이라 할 수 있습니다. 컴퓨터의 등장은 수학 연구의 패러다임을 양적, 질적으로 완전히 바꾸어 놓았습니다. 과거 인간의 힘으로는 불가능했던 원주율의 수조 자리 계산이 가능해진 것은 양적인 변화의 대표적 사례입니다. 질적으로는 대수기하학의 부흐베르거 알고리즘처럼 복잡한 구조를 다루는 새로운 무기가 등장하며 수학자들에게 새로운 지평을 열어주었습니다. 이제 수학은 단순히 답을 내는 과정을 넘어, 컴퓨터를 통한 실험과 발견의 시대로 진입했습니다. 흔히 수학자가 계산을 잘할 것이라 오해하지만, 사실 그들은 결과보다 논리적인 과정에 더 집중합니다. 컴퓨터는 단순히 계산을 대신해 주는 도구가 아니라, 복잡한 논리를 알고리즘으로 기술하기 위해 더 깊은 사고를 유도하는 자극제 역할을 합니다. 학교 교육에서 강조하는 빠른 정답 찾기와 달리, 실제 수학의 세계에서는 알고리즘을 설계하는 과정 자체가 고도의 철학적 고민과 논리적 엄밀함을 요구하는 창의적인 작업입니다. 모든 수학적 난제가 알고리즘으로 해결될 수 있는 것은 아닙니다. 앨런 튜링은 계산 가능한 수학과 그렇지 않은 수학의 경계를 이론적으로 제시했으며, 힐베르트의 23가지 문제 중 일부는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명함으로써 해결되기도 했습니다. 이는 수학의 모든 영역이 기계적인 절차로 대체될 수 없음을 시사합니다. 알고리즘의 세계 밖에서도 수학자들은 여전히 인간만의 직관과 사유를 통해 진리를 탐구하고 있습니다. 최근 가장 주목받는 알고리즘의 응용 분야는 단연 블록체인입니다. 블록체인은 거래 내역을 담은 블록들을 체인처럼 연결하여 전 세계 사용자가 공유하는 분산 저장 기술입니다. 이 시스템의 핵심은 해시 함수와 작업 증명이라는 수학적 원리에 있습니다. 데이터의 미세한 변화도 감지해 내는 해시 함수는 정보의 위조를 방지하며, 복잡한 연산 과정을 거치는 작업 증명은 네트워크의 신뢰성을 담보하는 강력한 보안 장치가 됩니다. 블록체인의 보안을 지탱하는 또 다른 기둥은 타원 곡선 암호입니다. 이는 3차 방정식의 그래프에서 나타나는 수학적 구조를 이용한 공개키 암호 체계로, 누구나 암호화할 수 있지만 오직 주인만이 풀 수 있는 비대칭성을 가집니다. 이러한 고도의 정수론적 원리는 비트코인과 같은 암호화폐에서 본인 인증의 핵심 수단으로 활용됩니다. 현대 수학의 추상적인 이론들이 우리 실생활의 경제 시스템을 지탱하는 가장 구체적인 도구로 변모한 셈입니다. 블록체인의 가능성은 단순한 화폐 가치를 넘어 정보의 영구 보존과 투명한 사회 시스템 구축으로 확장되고 있습니다. 검열이 불가능한 기록 저장소로서의 기능은 사회적 메시지를 보호하는 수단이 되기도 하며, 전자 투표의 신뢰성을 높이는 대안으로도 거론됩니다. 비록 기술적 과제와 논란이 공존하지만, 알고리즘이 만들어낸 이 새로운 신뢰의 기술은 앞으로 우리가 세상을 바라보고 소통하는 방식을 근본적으로 변화시킬 잠재력을 지니고 있습니다.

박부성, 이준엽

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

수학의 세계에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 많은 수학자들에게 도전의 대상이자 꿈의 정점입니다. 기하서 교수는 폴리아 추측을 해결하는 과정에서 이 거대한 산의 존재를 다시금 확인하게 되었습니다. 8년 동안 매달렸던 폴리아 추측을 동료와의 협력을 통해 단 넉 달 만에 해결하며 얻은 자신감은 그를 리만 가설이라는 더 큰 도전으로 이끌었습니다. 비록 그 길이 20년이라는 긴 세월을 요구할 것이라고는 당시에는 상상조차 하지 못했지만, 난제를 향한 순수한 열정은 그를 수학의 깊은 심연으로 안내하는 원동력이 되었습니다. 20년이라는 긴 시간 동안 하나의 문제에 매달리는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 기 교수는 이 과정을 고통스러운 인고의 시간이 아닌, 매일매일 마주하는 아름다운 순간들의 연속으로 기억합니다. 그는 자신의 직관을 확인하기 위해 전 세계의 저명한 수학자들을 찾아다니며 교류했습니다. 모토하시, 후지, 요시다 등 세계적인 석학들과의 대화는 리만 가설에 대한 다양한 시각을 제공해주었습니다. 이러한 상호작용은 수학 연구가 단순히 혼자만의 고립된 작업이 아니라, 전 세계 수학자들의 상상력이 교차하며 지평을 넓혀가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 연구 과정에서 마주한 가장 큰 전환점은 현대 수학의 거대한 흐름인 랭글랜즈 프로그램과의 만남이었습니다. 대수기하학적 기초 없이 리만 가설에 도전하는 것의 한계를 깨달은 그는, 늦은 시기임에도 불구하고 새로운 이론을 공부하기 시작했습니다. 특히 숄체 교수의 논문을 해독할 수 있게 된 시점부터 그는 지식의 갈증에서 벗어나 진정한 자유를 느꼈다고 회상합니다. 이는 수학자에게 필요한 것이 단순히 기존의 지식을 습득하는 것을 넘어, 끊임없이 변화하는 학문의 흐름을 수용하고 자신의 한계를 극복하려는 유연한 태도임을 시사합니다. 리만 가설과 같은 거대 난제를 다루기 위해서는 천재적인 지능만큼이나 독특한 성격적 특성이 요구됩니다. 기 교수는 수학자를 두 부류로 나누며, 자신을 '성격'으로 버티는 유형이라 정의합니다. 오랜 시간 공들여온 연구가 실패로 돌아갔음을 깨달은 순간에도 좌절하지 않고 다시 시작할 수 있는 마음가짐이 중요하기 때문입니다. 단순히 좋아한다는 감정만으로는 3년에서 5년의 한계를 넘기 어렵지만, 실패를 딛고 일어서는 회복탄력성은 수학자가 난제를 해결하기 위해 갖춰야 할 필수적인 자질입니다. 리만 가설의 역사는 1859년 베른하르트 리만이 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 시작되었습니다. 가우스가 15세의 나이에 예견했던 소수 정리를 보다 구체화하려 했던 리만은, 소수의 개수를 세는 '문학적'인 표현을 정교한 수학적 공식으로 변환하는 업적을 남겼습니다. 리만은 자신의 가설이 증명된다면 소수의 분포를 완벽히 이해할 수 있을 것이라 보았지만, 정작 그 증명은 후대의 몫으로 남겨두었습니다. 160년이 지난 지금까지도 이 가설이 수많은 수학자들을 매료시키고 괴롭히는 이유는, 그 안에 우주의 질서를 관통하는 소수의 비밀이 숨겨져 있기 때문일 것입니다.

기하서, 김영원

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