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[강연] 위상수학의 놀라운 응용: 데이터도 모양이 있다? 2_by 최수영 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 9강 두 번째 이야기 | 9강 ②

위상수학은 단순히 공간의 성질을 분류하는 것을 넘어, 불변량을 통해 보이지 않는 공간의 형태를 추론하는 단계로 진화하고 있습니다. 과거에는 두 공간이 왜 다른지를 설명하는 데 집중했다면, 이제는 구멍의 개수와 같은 불변량을 역으로 계산하여 전체적인 구조를 파악하려 합니다. 이는 마치 복잡한 수식을 인수분해하여 본질을 찾아내는 과정과 유사하며, 우리가 직접 관찰할 수 없는 고차원 우주나 복잡한 데이터의 형상을 이해하는 강력한 도구가 됩니다. 이러한 추론의 핵심 도구 중 하나가 바로 '베티수'입니다. 이탈리아 수학자 엔리코 베티의 이름을 딴 이 수치는 오일러 지표를 일반화한 개념으로, 공간의 연결 상태와 구멍의 개수를 수치화합니다. 예를 들어 덩어리의 개수를 나타내는 제0 베티수와 고리 형태의 구멍을 뜻하는 제1 베티수를 통해 우리는 대상의 위상적 특징을 명확히 정의할 수 있습니다. 이는 눈에 보이지 않는 추상적인 공간을 수학적 언어로 형상화하여 분석할 수 있게 해주는 중요한 지표가 됩니다. 현대 사회의 방대한 데이터 역시 고차원 공간상의 점들로 이해할 수 있습니다. 개인의 신체 정보나 행동 패턴 등 수많은 변수는 각각 하나의 차원이 되어 우리가 인지할 수 없는 복잡한 공간에 위치하게 됩니다. 위상적 데이터 분석(TDA)은 바로 이 지점에서 빛을 발합니다. 고차원에 흩어진 데이터 점들이 이루는 거대한 '구름'의 모양을 베티수와 같은 불변량으로 계산함으로써, 데이터 이면에 숨겨진 구조와 의미를 시각적 한계를 넘어 파악할 수 있게 돕습니다. 기존의 통계 분석이 주로 차원을 축소하거나 평균과 분산을 통해 데이터를 요약했다면, TDA는 데이터가 가진 본래의 기하학적 형상을 보존하며 분석합니다. 데이터가 원형인지 혹은 Y자 형태인지에 따라 그 의미가 완전히 달라질 수 있기 때문입니다. 단순히 수치적인 상관관계를 찾는 것을 넘어, 데이터 공간의 전체적인 구성을 유추함으로써 기존 방식으로는 발견하기 어려웠던 새로운 통찰을 제공합니다. 이는 복잡한 시스템 내의 숨겨진 패턴을 찾는 혁신적인 접근법이라 할 수 있습니다. 인공지능 분야에서도 위상수학의 역할은 점차 커지고 있습니다. 현재의 AI는 주로 데이터의 국소적인 정보에 의존하여 학습하기 때문에, 미세한 노이즈만으로도 판다를 긴팔원숭이로 오인하는 등의 한계를 보입니다. 반면 인간은 사물의 전체적인 맥락과 형태를 파악하는 '전역적 정보'를 활용합니다. TDA는 인공지능에게 이러한 거시적인 관점을 제공하여 모델의 안정성과 정확도를 높이는 데 기여합니다. 부분에 매몰되지 않고 전체를 조망하는 위상수학의 철학이 기술에 녹아드는 셈입니다. 구체적인 분석 기법으로는 '비토리스-립스 복합체'가 널리 쓰입니다. 이는 데이터 점들 사이의 거리가 특정 임계값보다 가까워지면 서로 연결하여 점차 복잡한 형상을 만들어가는 과정입니다. 임계값을 변화시키며 베티수의 변화를 관찰하면, 노이즈처럼 금방 사라지는 특징과 데이터의 본질을 담고 있어 끝까지 유지되는 특징을 구분할 수 있습니다. 이러한 '지속성'의 개념을 통해 우리는 수많은 데이터 속에서 유의미한 위상적 구조를 추출하고 이를 실질적인 정보로 변환하게 됩니다. 위상수학의 응용은 의료 진단부터 토목 공학에 이르기까지 광범위합니다. 유방암이나 당뇨병의 예측 알고리즘을 정교화하는 것은 물론, 지표 투과 레이더 데이터를 분석하여 싱크홀의 원인이 되는 지하 동공을 찾아내는 데에도 활용됩니다. 순수 수학의 영역으로만 여겨졌던 위상수학이 산업 현장의 난제를 해결하는 실용적인 도구로 진화한 것입니다. 인류가 기하학을 통해 문명을 일구었듯, 이제는 위상수학을 통해 복잡한 데이터 시대를 항해하는 새로운 지혜를 얻고 있습니다.

최수영

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[연구뭐하지?] 김종성 교수_서울대학교 '해양저서생태학 연구실' | 해양생태계, 가꾸고 지키는 노력을 계속해야 합니다!

서울대학교 지구환경과학부의 벤토스 연구실은 해양 생태계의 신비를 밝히기 위해 끊임없이 탐구하는 곳입니다. 이곳에서는 바닷가와 먼 바다를 누비며 다양한 해양생물을 채집하고, 그들에게 이름을 부여하며 적합한 서식지를 찾는 연구를 수행합니다. 단순히 생물을 분류하는 것에 그치지 않고, 각 생명체가 바다라는 거대한 환경 속에서 어떻게 살아가는지를 심도 있게 탐구하며 해양 생태계의 근본적인 원리를 이해하고자 노력하고 있습니다. 연구실의 핵심 활동 중 하나는 해양생물을 대상으로 한 생리 반응 실험입니다. 세포와 단백질 수준부터 개체군과 군집에 이르기까지, 해양 생태계 전반의 반응을 다각도로 분석합니다. 연구진은 온도 변화나 고염분과 같은 극한 환경, 혹은 유해 물질 노출이라는 특수한 조건을 설정하여 해양생물들이 이에 어떻게 대응하고 방어 기작을 작동시키는지 관찰합니다. 이러한 정밀한 실험을 위해 연구실에서는 항상 생물을 건강하게 가꾸고 유지하는 데 심혈을 기울입니다. 벤토스 연구실은 구성원들의 넘치는 에너지와 체계적인 기록 문화가 공존하는 독특한 공간입니다. 교수님과 학생들은 스스로를 '팔방미인'이라 칭할 만큼 학업과 열정적인 생활 모두에 진심을 다합니다. 특히 모든 현장 조사 사진과 세미나 자료, 실험 과정의 세세한 부분까지 기록으로 남겨 보관하는 전통은 연구의 연속성과 신뢰성을 높이는 밑거름이 됩니다. 다양한 개성을 가진 연구원들이 모여 웃음이 끊이지 않는 분위기 속에서 창의적인 연구 성과를 만들어내고 있습니다. 이들의 연구는 크게 구조, 기능, 건강성 평가라는 세 가지 축으로 분류됩니다. 구조 연구는 해양 생태계를 구성하는 해양생물의 종류와 그들 사이의 관계를 파악하며, 기능 연구는 해양생물과 환경이 상호작용하며 해양 생태계가 유지되는 메커니즘을 분석합니다. 마지막으로 건강성 평가는 퇴적물 내 오염도를 화학적, 생물학적, 생태학적으로 분석하여 해양이 얼마나 깨끗하게 유지되고 있는지 확인합니다. 이러한 다각적인 접근은 우리 바다를 보다 체계적으로 관리하고 보존하는 데 기여합니다. 자연은 인위적인 간섭이 최소화된 본연의 모습일 때 가장 아름답다는 것이 연구실의 철학입니다. 개발과 복원이라는 화두 속에서도 해양 생태계를 가꾸고 지키려는 노력은 멈추지 않습니다. 바다를 진심으로 사랑하고 현장 조사에 적극적으로 참여할 수 있는 인재들과 함께, 벤토스 연구실은 앞으로도 해양생물 다양성의 가치를 높이는 길을 걸어갈 것입니다. 우리 모두가 자연의 가치를 소중히 여기고 보전애 동참할 때, 건강한 바다의 미래를 기대할 수 있습니다.

김종성2

카오스재단연구뭐하지

지구환경과학

[강연] 디지털인문학과 데이터과학 (2) _ by장원철 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 4강 | 4강 ②

예술과 문학의 진위를 가리거나 특징을 분석하는 방법으로 '양식 측정학'이 주목받고 있습니다. 이는 단어의 길이나 빈도, 색상의 사용 패턴 등을 정량적으로 분석하여 작품의 유사도나 작가의 고유한 스타일을 찾아내는 학문입니다. 19세기 토마스 멘덴홀이 단어 길이 빈도를 조사하며 시작된 이 분야는, 오늘날 구텐베르크 프로젝트와 같은 대규모 디지털 도서관의 등장으로 비약적인 발전을 이루었습니다. 이제 데이터는 단순한 기록을 넘어 과거의 진실을 밝히는 강력한 도구가 되었습니다. 우리나라의 대표적인 기록 유산인 조선왕조실록 역시 이러한 데이터 과학의 훌륭한 연구 대상입니다. 태조부터 철종까지 약 470년간의 방대한 기록은 현재 모두 디지털화되어 한글로 번역되어 있습니다. 연구자들은 텍스트 마이닝 기법을 활용해 왕들의 통치 스타일을 분석하기도 합니다. 예를 들어, 신하들의 의견을 경청했던 세종대왕과 독단적인 결정을 내렸던 연산군의 차이는 실록에 등장하는 특정 단어의 빈도 그래프를 통해 명확하게 드러납니다. 이는 역사가 주관적인 서술을 넘어 객관적인 수치로 재해석될 수 있음을 보여줍니다. 실록의 기사에는 수많은 인물이 등장하며, 한 기사에 함께 언급된 인물들은 서로 밀접한 관계가 있다고 볼 수 있습니다. 이를 바탕으로 인물 간의 네트워크를 재구성하면 당시의 정치적 지형도를 그릴 수 있습니다. 이는 현대의 국회의원들이 공동으로 법안을 발의하는 관계를 분석하는 것과 유사한 원리입니다. 네트워크 분석을 통해 우리는 단순히 기록에 남겨진 관계를 넘어, 보이지 않는 곳에서 영향력을 행사했던 숨은 실력자나 인물들 사이의 복잡한 연결 고리를 정량적으로 파악할 수 있게 되었습니다. 현종 시기의 예송 논쟁은 서인과 남인 사이의 치열한 정치적 갈등을 보여주는 대표적인 사례입니다. 네트워크 분석의 다양한 중심성 지표를 활용하면, 이 시기 권력의 흐름이 어떻게 변화했는지 추적할 수 있습니다. 특히 2차 예송 논쟁 전후로 집권 세력이 교체되는 과정에서 인물들의 연결 중심성이 급격히 변화하는 양상이 관찰됩니다. 이를 통해 특정 인물이 언제 당적을 변경했는지, 혹은 어떤 인물이 중립적인 위치에서 가교 역할을 했는지 등 문헌만으로는 파악하기 힘든 세밀한 정치적 변화를 포착할 수 있습니다. 이러한 정량적 분석 기법은 동양의 역사 기록뿐만 아니라 서양 문학 연구에도 활발히 적용됩니다. 셰익스피어의 작품 전집을 분석하여 그가 실제로 사용한 어휘의 규모를 추정하거나, 새로 발견된 작품이 그의 진작인지 판별하는 연구가 대표적입니다. 통계적 모델링을 통해 작가가 알고 있었으나 작품에 쓰지 않은 잠재적 어휘량까지 계산해내는 것입니다. 이처럼 데이터 과학과 인문학의 만남은 과거의 유산을 현대적인 시각으로 재조명하며, 우리가 미처 알지 못했던 역사의 이면을 밝혀내는 새로운 지평을 열어주고 있습니다.