표현론

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[질토과+짧강] 👨‍💻군과 랭랜즈 프로그램 by 정경훈｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강

랭랜즈 프로그램은 단순한 수학적 추측이나 개별적인 문제를 넘어선 '원대한 기획'이라 할 수 있습니다. 이는 마치 컴퓨터 프로그램이 여러 하위 프로그램으로 구성되어 최종 결과를 도출하듯, 수학의 여러 분야를 유기적으로 연결하는 거대한 복합체입니다. 페르마의 마지막 정리조차 이 거대한 프로그램의 첫 번째 단계에 해당할 정도로 그 규모가 방대합니다. 수학자들은 이를 통해 흩어져 있던 문제들을 일관된 방향으로 정렬하고, 우리가 나아가야 할 길을 설득력 있게 제시받습니다. 수학사에는 랭랜즈 프로그램 외에도 다양한 '프로그램'이 존재해 왔습니다. 기하학을 군의 관점에서 분류하려 했던 에를랑겐 프로그램이나, 수학의 기초를 공리화하려 했던 힐베르트 프로그램이 대표적입니다. 최근에는 3차원 기하학의 분류를 다루는 서스턴의 프로그램이나 대수 방정식의 해 집합을 연구하는 모리 프로그램도 활발히 진행되고 있습니다. 이러한 기획들은 수학적 대상을 체계적으로 분류하고 연구하는 패러다임의 변화를 이끌며 학문의 발전을 견인해 왔습니다. 수학에서 '군'은 대칭성을 표현하는 언어입니다. 예를 들어 회전판을 특정 각도만큼 돌렸을 때 원래와 같은 모습을 유지한다면, 이는 회전에 대한 대칭성을 가진다고 말합니다. 이러한 대칭성은 단순히 도형의 성질에 그치지 않고 정수론의 나머지 개념과도 깊게 연결됩니다. 수학자들은 군이라는 도구를 통해 복잡한 대칭 구조를 엄밀하게 정의하고, 이를 바탕으로 수의 세계와 기하학적 세계 사이의 보이지 않는 연결 고리를 찾아내어 학문적 지평을 넓혀갑니다. 대칭성의 개념은 수학을 넘어 물리학과 화학 등 자연과학 전반에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 에미 뇌터의 정리에 따르면 물리계의 대칭성은 에너지 보존 법칙과 같은 보존 법칙과 직결됩니다. 화학에서는 분자 구조의 대칭성에 따라 물질의 극성이나 결정의 성질이 결정되기도 합니다. 심지어 방정식 자체에도 대칭성이 존재하며, 이를 찾아내는 과정은 현대 과학의 가장 중요한 방법론 중 하나입니다. 이처럼 대칭은 자연의 근본 원리를 이해하는 열쇠가 됩니다. 페르마의 소정리는 대칭성을 이용해 정수론의 문제를 해결하는 대표적인 사례입니다. 소수와 거듭제곱 사이의 관계를 다루는 이 정리는 언뜻 복잡해 보이지만, 회전판의 색칠 문제를 통한 대칭성 분석으로 명쾌하게 증명될 수 있습니다. 특정 색 조합을 회전시켰을 때 나타나는 중복성을 군의 관점에서 분류하면, 복잡한 계산 없이도 수의 성질을 파악할 수 있습니다. 이는 추상적인 수학 정리가 시각적이고 직관적인 대칭 구조와 어떻게 맞닿아 있는지를 잘 보여주는 대목입니다. 현대 물리학의 표준 모형은 군의 표현론을 극대화하여 활용한 결과물입니다. 물리학자 머리 겔만은 특정 군의 표현을 연구하던 중 쿼크의 존재를 예측하여 노벨 물리학상을 받기도 했습니다. '모든 것은 행렬이다'라는 관점에서 접근하는 표현론은 군의 대칭성을 벡터 공간 위에서 구현하며, 이는 소립자의 성질을 규명하는 결정적인 도구가 됩니다. 현재 과학계는 전자기력, 약력, 강력에 이어 중력까지 통합하는 대통일 이론을 향해 나아가며 새로운 수학적 군의 발견을 기다리고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 수학의 여러 분야를 통합하는 '대통일 이론'으로서의 가능성을 지니고 있습니다. 정수론, 표현론, 대수기하학이 서로 협력하며 방정식의 유전자를 이해하려는 이 여정은 수학의 끝이 아닌 새로운 시작을 의미합니다. 설령 미래에 이 프로그램이 예상과 다른 방향으로 전개되더라도, 그 과정에서 얻은 통찰은 인류의 지적 자산이 될 것입니다. 거대한 질문의 세계를 탐구하는 도전 정신은 수학을 단순한 학문을 넘어 인간 지성의 승리로 이끄는 원동력이 됩니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] 2018 필즈상 해설 강연 2일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 김완수, 임선희 교수 | 1편

정수론은 인류가 숫자를 다루기 시작한 고대부터 존재해 온 가장 기초적이면서도 심오한 학문입니다. 기원전 메소포타미아의 점토판에 기록된 피타고라스 정리의 해부터 현대의 복잡한 방정식에 이르기까지, 정수론은 단순한 계산을 넘어 수의 체계 속에 숨겨진 근본적인 질서를 탐구해 왔습니다. 최근의 정수론은 고대의 직관적인 문제에서 벗어나 고도로 추상화된 기하학적 방법론을 도입하며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 이러한 변화는 우리가 수를 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 현대 수학의 가장 역동적인 분야 중 하나로 자리 잡았습니다. 페르마의 마지막 정리는 정수론의 발전을 이끌어온 거대한 동력이었습니다. 350년 동안 수많은 수학자를 괴롭혔던 이 난제는 앤드루 와일즈에 의해 증명되었으며, 그 과정에서 개발된 이론들은 현대 정수론의 새로운 지평을 열었습니다. 2018년 필즈상 수상자인 페터 숄체 역시 16세의 어린 나이에 와일즈의 증명을 접하며 수학적 영감을 얻었습니다. 그는 증명을 이해하기 위해 필요한 배경 지식을 역으로 추적하며 공부했고, 이는 훗날 그가 산술 기하학 분야에서 혁신적인 업적을 남기는 밑거름이 되었습니다. 난제를 해결하려는 의지가 새로운 수학적 세계를 창조한 셈입니다. 현대 정수론의 핵심 도구 중 하나인 p진수는 우리가 흔히 아는 실수의 거리 개념과는 전혀 다른 수 체계입니다. 소수 p를 기준으로 정의되는 이 체계에서는 숫자가 p의 거듭제곱으로 나누어질수록 0에 더 가깝다고 간주합니다. 이러한 비아르키메데스적 절댓값은 정수의 합동 성질을 기하학적인 거리로 변환하여 다룰 수 있게 해줍니다. p진수 세계에서는 모든 삼각형이 이등변 삼각형이 되는 등 기묘한 현상이 일어나지만, 이는 정수론적 문제를 기하학적으로 시각화하고 분석하는 데 결정적인 역할을 합니다. 추상적인 수의 성질이 공간의 언어로 번역되는 순간입니다. 페터 숄체는 '퍼펙토이드 공간'이라는 개념을 도입하여 p진 기하학의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 퍼펙토이드 공간은 무한히 많은 변수와 거듭제곱근을 포함하는 복잡한 구조를 가지고 있지만, 이를 통해 p진수 해 공간에서의 미적분학을 가능하게 합니다. 숄체의 이론은 갈로아 표현론과 같은 정수론의 난제들을 해결하는 강력한 도구가 되었으며, 산술 기하학 전반에 걸쳐 혁명적인 변화를 불러일으켰습니다. 그의 연구는 기존의 관점을 재해석하는 수준을 넘어, 수학자들이 미지의 영역을 탐험할 수 있는 정교한 지도를 제공한 것과 다름없습니다. 또 다른 필즈상 수상자인 악샤이 벤카테시는 해석적 정수론과 균질 동역학을 결합하여 독창적인 연구 세계를 구축했습니다. 동역학은 특정 공간 위에서 움직이는 궤도의 패턴을 연구하는 학문으로, 벤카테시는 이를 통해 자연수와 소수의 분포 속에 숨겨진 규칙을 찾아냈습니다. 그는 당구대 위에서 공이 튕기는 궤적이나 휘어진 쌍곡 공간에서의 움직임을 분석하여, 이를 복잡한 L-함수의 성질과 연결시켰습니다. 서로 무관해 보이는 분야들을 하나로 엮어내는 그의 통찰력은 수학적 대상들이 가진 보편적인 연결성을 증명하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 벤카테시의 연구에서 중요한 비중을 차지하는 균질 공간은 격자들의 집합으로 이루어진 고차원적인 구조입니다. 그는 이러한 공간 위에서 궤도가 얼마나 고르게 분포하는지를 연구함으로써, 정수론의 오랜 난제인 L-함수의 하위 볼록성 문제를 해결하는 실마리를 제공했습니다. 이는 북을 쳤을 때 발생하는 소리의 스펙트럼을 분석하여 공간의 기하학적 정보를 알아내는 것과 유사한 원리입니다. 추상적인 대수 구조와 역동적인 움직임이 만나는 지점에서 탄생한 그의 업적은, 현대 수학이 얼마나 다양한 언어로 우주의 질서를 묘사할 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 보이지 않는 구조 속에서 아름다움을 발견하는 예술과도 같습니다. 필즈상 수상자들의 업적은 당장의 실용성을 넘어 인류의 지적 지평을 넓히는 데 기여하며, 수천 년 후에는 우리가 당연하게 여기는 상식이 될 것입니다. 수학자들이 느끼는 아름다움은 복잡한 수식 속에 숨겨진 자연스러운 질서와 논리적 완결성에서 비롯됩니다. 끊임없는 질문과 탐구를 통해 미지의 영역을 개척해 나가는 이들의 노력은, 인류가 가진 호기심의 위대함을 증명하며 미래 세대에게 새로운 영감을 불어넣고 있습니다.

김완수, 임선희

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (4) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ④

회전판의 대칭성을 이용하면 정수론의 난제를 해결할 수 있는 실마리를 얻게 됩니다. 다섯 칸으로 나뉜 회전판을 두 가지 색으로 칠하는 경우의 수를 따져보면, 모든 칸이 같은 색인 경우를 제외한 나머지 조합들이 회전 대칭에 의해 5의 배수로 묶이는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 군의 대칭성은 페르마의 소정리를 증명하는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 구조인 군을 통해 수의 성질을 파악하는 방식은 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나로 자리 잡고 있습니다. 군론의 핵심 개념인 '작용'과 '표현'은 수학적 대상을 바라보는 시각을 획기적으로 확장합니다. 모든 대상을 변화와 함수로 이해하려는 시도가 작용이라면, 이를 행렬과 벡터의 언어로 구체화하여 분석하는 것이 표현론입니다. 특히 표현론은 선형대수학의 틀 안에서 대칭성을 연구하며 수학적 구조를 더욱 명확하게 드러냅니다. 벡터 공간이라는 무대 위에서 군의 성질을 표현함으로써, 우리는 추상적인 대칭성을 계산 가능한 형태로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 결정적인 역할을 한 것도 바로 이 '표현'의 개념이었습니다. 타원 곡선과 모듈러 형식 사이의 관계를 증명하는 과정에서 연속 표현의 존재는 수학적 진실을 밝히는 핵심 열쇠가 되었습니다. 표현을 만들어낸다는 것은 대칭성을 이용해 복잡한 대상을 설명할 수 있는 기반을 마련하는 일과 같습니다. 이는 단순한 수치 계산을 넘어 서로 다른 수학적 세계를 잇는 가교 역할을 수행하며 정수론의 비약적인 발전을 이끌었습니다. 표현론은 현대 물리학의 표준 모형을 정립하는 데에도 필수적인 토대를 제공했습니다. 머리 겔만은 SU(3)라는 군의 표현을 연구하여 쿼크의 존재를 예측했고, 이는 소립자 물리학의 혁명으로 이어졌습니다. 전자기력, 약력, 강력은 각각 특정 군의 표현으로 설명되며, 현재 물리학자들은 중력까지 아우르는 '모든 것의 이론'을 꿈꾸며, 수학적 대칭성을 통해 우주의 근본 원리를 통합하려는 거대한 도전을 이어가고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 현대 수학의 '대통일 이론'이라 불리며 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 지도의 역할을 수행합니다. 에를랑겐 프로그램의 정신을 계승하여 군의 표현론을 통해 정수론, 대수기하학, 해석학 사이의 깊은 연관성을 탐구하는 것이 이 프로그램의 핵심입니다. 이 거대한 추측들이 해결된다면 우리는 수학의 각 분야를 개별적으로 이해하는 것을 넘어, 하나의 통합된 체계 안에서 바라볼 수 있게 됩니다. 이는 수학적 지식의 지평을 근본적으로 확장하는 시도입니다. 현대 수학의 대양과 같은 랭랜즈 프로그램을 탐험하기 위해서는 다양한 분야의 전문 지식과 긴밀한 협업이 필수적입니다. 정수론, 표현론, 기하학 등 각기 다른 전공을 가진 수학자들이 서로의 지혜를 모아 공동 연구를 진행함으로써 새로운 진보를 이뤄내고 있습니다. 비록 가야 할 길이 멀고 험난할지라도, 이러한 학문적 융합은 수학을 발전시키는 강력한 원동력이 됩니다. 랭랜즈 프로그램은 단순한 연구의 종착역이 아니라, 더 넓은 진리를 향해 나아가는 새로운 시작점이라 할 수 있습니다. 수학적 추측이 때로는 한계에 부딪히거나 예상치 못한 방향으로 흐르더라도, 그 탐구 과정 자체가 인류 지성의 위대한 승리라는 점은 변하지 않습니다. 힐베르트 프로그램이 불완전성 정리에 의해 도전을 받았음에도 수학이 더욱 풍성해졌듯, 랭랜즈 프로그램 역시 우리에게 우주의 질서에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 인간이 지닌 이해의 한계를 확인하고 그 너머를 상상하는 도전은 멈추지 않을 것입니다. 이러한 끊임없는 탐구 정신이야말로 수학이 지닌 진정한 가치이자 아름다움입니다.

신석우, 정경훈

카오스재단카오스강연

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