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[강연] '모양(shape)' 연구의 대가 - In Memory of 권경환 2_by 김연응 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 7강 두 번째 이야기 | 7강 ②

현대 수학에서 '불변량'은 대상의 본질을 파악하는 핵심적인 도구입니다. 위상수학의 호몰로지와 코호몰로지는 공간이 변형되어도 바뀌지 않는 성질을 수치화하여 복잡한 공간을 분류하는 데 기여합니다. 기하학에서도 각도와 같은 요소가 불변량의 역할을 하며, 우리가 무엇을 '같다'고 정의하느냐에 따라 불변량의 기준은 달라집니다. 이러한 불변량 연구는 현대 수학의 거대한 흐름을 형성하며 공간에 대한 이해를 심화시켰습니다. 한국 위상수학의 거목인 권경환 교수는 유클리드 공간의 구조를 새롭게 조명하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 가장 단순한 기본 단위로 여겨졌던 유클리드 공간이 특정 조건에서 더 작은 공간들의 곱으로 분해될 수 있음을 증명한 것입니다. 이는 마치 원소를 쪼개는 것과 같은 혁신적인 시각의 전환이었으며, 이후 다양체라는 복잡한 기하학적 대상을 연구하는 데 있어 중요한 토대가 되었습니다. 또한 그는 화이트헤드 토션과 같은 복잡한 불변량의 성질을 규명하며 위상수학의 지평을 넓혔습니다. 다양체는 국소적으로는 유클리드 공간과 같아 보이지만, 전체적으로는 독특한 구조를 가진 기하학적 대상입니다. 예를 들어 도넛 표면 위의 개미에게는 주변이 평면처럼 느껴지겠지만, 전체를 조망하면 구멍이 뚫린 입체 구조임을 알 수 있습니다. 위상수학은 이러한 다양체의 본질적인 형태를 연구하며, 3차원 공간이 8가지 위상적 특성을 갖는다는 사실을 밝혀내는 등 공간의 분류 체계를 완성해 나가는 학문적 성과를 거두었습니다. 위상수학은 추상적인 이론에 머물지 않고 빅데이터 분석이라는 실용적인 영역으로 확장되고 있습니다. '위상 데이터 분석(TDA)'은 데이터가 형성하는 고차원적인 모양에 주목하여 기존 통계학이 놓치기 쉬운 내재적 패턴을 찾아냅니다. 수많은 데이터 포인트 주위에 가상의 원을 그려 그 연결성을 관찰하면, 데이터의 분포 방식에 따른 고유한 시퀀스가 나타납니다. 이러한 위상적 접근은 복잡한 정보 속에서 유의미한 구조를 추출하는 강력한 도구가 됩니다. 위상 데이터 분석(TDA)의 혁신성은 의료 분야에서 특히 빛을 발합니다. 환자의 생체 데이터를 고차원 공간의 점으로 치환하여 그 모양을 분석하면, 현재 질병이 없더라도 미래의 발병 가능성을 예측하는 것이 가능해집니다. 이는 단순한 진단을 넘어 정밀한 예측의 시대를 여는 열쇠가 됩니다. 위상수학은 세상을 바라보는 새로운 시각을 제공하며, 가장 아름답고 순수한 이론이 어떻게 현실의 문제를 해결하는 강력한 기술로 변모할 수 있는지를 잘 보여줍니다.

김연응

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[심화 강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 심화 | 1강

군론은 현대 수학의 시작을 알리는 중요한 학문으로, 단순히 대칭적인 상태를 관찰하는 것을 넘어 능동적인 '변환'을 연구하는 분야입니다. 정삼각형이나 정사각형과 같은 도형을 회전시키거나 반사시키는 움직임들을 모아놓은 것이 바로 군의 기초가 됩니다. 예를 들어 정삼각형은 여섯 가지의 대칭 변환을 가지며, 이러한 변환들을 하나의 집합으로 묶어 그들 사이의 관계를 분석합니다. 이는 대상을 고정된 상태로 보는 것이 아니라, 변화 가능성을 체계적으로 정리하여 수학적 구조를 파악하려는 시도라고 할 수 있습니다. 단순한 집합과 군을 구분 짓는 결정적인 요소는 바로 '이항 연산'의 존재입니다. 군은 원소들을 모아놓은 집합에 더해, 두 원소를 결합하여 새로운 결과를 만들어내는 이항 연산이 정의되어야 합니다. 삼각형의 대칭 변환을 예로 들면, 120도 회전시킨 후 다시 반사 대칭을 수행하는 연속적인 동작 자체가 하나의 연산이 됩니다. 이러한 연산의 결과가 항상 기존의 대칭 변환 범위 안에 머물러야 한다는 점이 군의 핵심적인 특징입니다. 즉, 군은 원소들 사이의 상호작용과 그 규칙성을 탐구하는 역동적인 수학적 체계라고 정의할 수 있습니다. 수학적으로 군이 성립하기 위해서는 네 가지 필수 조건을 만족해야 합니다. 첫째는 연산 결과가 집합 내에 머무는 '닫힘성'이며, 둘째는 연산 순서의 우선순위가 결과에 영향을 주지 않는 '결합 법칙'입니다. 셋째는 어떤 원소와 연산해도 자기 자신이 나오게 하는 '항등원'이 존재해야 하며, 마지막으로 모든 원소는 자신을 항등원으로 되돌릴 수 있는 '역원'을 가져야 합니다. 정수 집합에서 덧셈 연산은 이 네 조건을 모두 만족하여 군을 이루지만, 곱셈 연산은 역원이 정수 범위 내에 존재하지 않아 군이 될 수 없습니다. 이러한 엄밀한 조건들이 군론의 논리적 토대를 형성합니다. 군론의 세계에서 '단순군'은 자연수의 소수와 같은 역할을 합니다. 더 이상 정규 부분군으로 쪼개지지 않는 가장 기본적인 단위이기 때문입니다. 현대 수학의 거대한 업적 중 하나인 '유한 단순군의 분류'는 세상에 존재하는 모든 유한 단순군을 몇 가지 유형으로 정리한 작업입니다. 이 과정에서 한국의 위대한 수학자 이임학 교수님은 자신의 이름을 딴 '이임학 군(Ree Group)'을 발견하며 학계에 큰 족적을 남기셨습니다. 이는 복잡한 대칭 구조를 근본적인 원소들로 분해하여 이해하려는 수학자들의 끈질긴 노력이 결실을 본 사례라 할 수 있습니다. 유한 단순군의 분류가 완료되었다고 해서 군론의 연구가 끝난 것은 아닙니다. 화학의 주기율표가 완성된 것이 곧 화학의 끝이 아니듯, 분류된 군들을 조합하여 어떤 새로운 구조를 만들 수 있는지는 여전히 중요한 과제로 남아 있습니다. 오늘날 군론은 물리학, 통계학은 물론 인공지능과 빅데이터 분석의 핵심 도구인 행렬 연산 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다. 대칭의 아름다움 속에 숨겨진 진리를 탐구하는 이 학문은 마커스 듀 사토이의 '대칭'이나 이안 스튜어트의 '왜 아름다움은 진리인가'와 같은 저술을 통해 대중에게도 그 깊은 매력을 전달하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[인터뷰] 최길주_식물의 씨는 시간을 계산한다?! | 2022 봄 카오스강연 '식물행성(plant planet)'

식물은 눈이나 귀가 없지만 주변 환경을 정교하게 인식하며 살아갑니다. KAIST 최길주 교수는 식물이 빛을 어떻게 인지하고 반응하는지를 연구하며 식물의 생존 전략을 탐구합니다. 식물은 옆에 다른 식물이 있는지, 혹은 나무 그늘 아래에 있는지를 빛의 조건을 통해 파악합니다. 예를 들어 숲속의 소나무는 경쟁자들 사이에서 살아남기 위해 옆으로 퍼지기보다 위로 길게 자라는 선택을 합니다. 이러한 반응은 식물 내부에 존재하는 '피토크롬'이라는 광수용체 덕분에 가능하며, 이를 통해 식물은 최적의 성장 방향을 결정합니다. 많은 식물 씨앗은 싹을 틔우기 위해 빛을 필요로 합니다. 땅속 깊은 곳에 묻힌 씨앗은 빛이 닿지 않아 발아하지 않고 휴면 상태를 유지하지만, 홍수로 흙이 뒤집히거나 적절한 깊이에 위치하게 되면 빛을 감지해 생명 활동을 시작합니다. 이는 잡초가 농경지에서 갑자기 무성해지는 이유이기도 합니다. 또한 식물마다 발아 속도가 다른데, 배가 잘 발달한 무나 배추는 금방 싹이 트는 반면, 당근이나 인삼처럼 미숙한 상태의 씨앗은 충분한 발달 시간을 거친 후에야 비로소 세상 밖으로 나옵니다. 식물의 생명력은 인간의 상상을 초월할 정도로 끈질기고 경이롭습니다. '부처손'이라 불리는 식물은 수분이 전혀 없는 극한의 건조 상태에서도 바스라질 듯 견디다가, 물을 만나면 다시 푸르게 살아나는 놀라운 회복력을 보여줍니다. 씨앗의 수명 또한 놀라워서 고려시대 연꽃 씨앗이 수백 년 만에 꽃을 피우기도 하고, 시베리아에서는 무려 13,000년 전의 씨앗이 발아에 성공한 사례도 있습니다. 수천 년을 사는 브리슬콘 소나무처럼 식물은 개체 혹은 클론의 형태로 지구상에서 가장 오랜 시간 생명을 유지하는 존재입니다. 우리가 흔히 식물이라고 부르는 범주는 생물학적으로 매우 흥미로운 구분을 가집니다. 이끼나 고사리, 꽃을 피우는 육상 식물은 좁은 의미의 식물에 해당하며, 바닷속 김과 같은 녹조류나 홍조류도 넓은 의미의 식물로 분류됩니다. 하지만 흥미롭게도 미역은 식물학적으로 식물이 아닙니다. 이는 세포 내 엽록체가 형성된 기원이 다르기 때문인데, 남세균이 직접 세포 안으로 들어온 1차 내부 공생을 거친 것만 식물로 인정합니다. 미역처럼 이미 공생이 일어난 세포를 다시 먹어 형성된 계통은 식물과 다른 길을 걷게 된 것입니다. 식물 연구는 단순히 자연을 관찰하는 것을 넘어 인류 문명을 지탱하는 핵심적인 활동입니다. 벼, 밀, 옥수수와 같은 작물은 인류 생존의 근간이며, 이들에 대한 이해는 곧 우리 문명의 유지와 직결됩니다. 식물은 물, 공기, 빛이라는 필수 조건 외에도 '시간'이라는 요소를 정교하게 계산합니다. 어떤 씨앗은 수확 후 일정 시간이 지나야만 발아하는 특성을 지니는데, 이는 죽은 듯 보이는 씨앗 내부에서 끊임없이 시간이 흐르고 있음을 시사합니다. 이러한 식물의 신비로운 메커니즘을 이해하는 것은 생명의 본질에 다가가는 과정입니다.

최길주

카오스재단카오스강연

생명과학

[과학자가 쓴 과학책#17] 황선도 _바다에서 실학을 찾다 | 친애하는 인간에게, 물고기 올림

18세기 말과 19세기 초, 조선의 실학자들은 현실을 개혁하고 실생활에 유용한 학문을 탐구했습니다. 그 중심에는 정약용의 형인 손암 정약전 선생이 있었습니다. 그는 1801년 신유사옥으로 인해 흑산도로 유배를 떠나게 되었고, 그곳에서 척박한 유배 생활에 좌절하는 대신 바다 생물들을 관찰하기 시작했습니다. 그 결과물이 바로 한국 최고의 해양 수산 생물학 백과사전이라 불리는 『자산어보』입니다. 이 책은 단순히 생물의 이름을 나열한 것을 넘어, 당시로서는 획기적인 분류 방식을 도입하여 해양 생태계를 체계적으로 정리했다는 점에서 큰 의의를 지닙니다. 『자산어보』는 비늘의 유무와 껍데기의 형태에 따라 인류, 무인류, 계류, 그리고 그 밖의 생물을 다룬 잡류로 구성되어 있습니다. 정약전 선생은 흑산도 인근의 수산 생물을 직접 조사하며 형태, 습성, 분포, 그리고 이용 방법까지 상세히 기록했습니다. 특히 주목할 점은 본인의 경험뿐만 아니라 문헌을 참고하고 현지 어민들의 지식을 적극적으로 수용했다는 사실입니다. 이는 철저한 고증과 실증을 중시하는 실학적 태도가 반영된 결과입니다. 또한 제자 이청과의 공동 작업을 통해 참고 문헌을 보완함으로써 학술적 완성도를 높인 현대적 의미의 공동 저술서라고도 볼 수 있습니다. 책의 첫 권인 인류에서 가장 먼저 등장하는 석수어는 머리에 돌이 있다는 뜻에서 붙여진 이름입니다. 현대 과학으로 보면 이는 물고기의 귀속에 있는 '이석'을 의미합니다. 이석은 물고기의 평형 감각을 담당하는 기관으로, 나무의 나이테처럼 성장선이 기록되어 있어 물고기의 나이와 생활사를 파악하는 중요한 단서가 됩니다. 『자산어보』에는 참조기의 회유 경로가 시기별로 매우 정확하게 기록되어 있는데, 이는 오늘날의 해양 조사 결과와도 놀라울 정도로 일치합니다. 흑산도라는 한정된 공간에서 어민들의 증언과 관찰만으로 이러한 광범위한 생태 정보를 파악했다는 점은 실학의 위대함을 보여줍니다. 넙치와 가자미 같은 어류의 분류에서도 정약전 선생의 예리한 관찰력이 돋보입니다. 눈의 위치에 따라 종을 구분하고 각각의 독립된 개체성을 인정한 기록은 현대 분류학의 기초와 맞닿아 있습니다. 또한 멸치를 설명하며 밤에 불을 밝혀 유인하는 조업 방식이나 겨울잠을 자는 습성 등을 기록한 대목은 생물의 행동학적 특성을 깊이 이해하고 있었음을 시사합니다. 특히 멸치의 이석 연구를 통해 산란 시기와 성장 패턴을 분석하는 현대 해양 과학의 성과는 이미 200년 전 『자산어보』가 제시한 관찰의 방향성이 옳았음을 증명하고 있습니다. 뱀장어의 신비로운 일생에 대한 기록은 『자산어보』의 백미 중 하나입니다. 민물과 바다를 오가는 뱀장어의 회유 특성을 파악하고, 이를 형태에 따라 세밀하게 구분했습니다. 현대 과학은 뱀장어가 수천 킬로미터 떨어진 마리아나 해구 근처에서 산란하며, 댓잎뱀장어라는 독특한 유생 단계를 거쳐 변태한다는 사실을 밝혀냈습니다. 정약전 선생은 비록 산란장의 정확한 위치까지는 알 수 없었으나, 바다에서 들어오는 실뱀장어의 존재와 성장을 면밀히 관찰하여 기록했습니다. 이러한 기록들은 오늘날 뱀장어 자원 관리와 양식 기술 발전의 중요한 역사적 토대가 되고 있습니다. 오징어와 같은 두족류와 꽃게 같은 갑각류에 대한 묘사 역시 매우 구체적입니다. 오징어의 다리 개수와 교접완의 기능을 관찰하고, 갑오징어 뼈의 약리 효과를 기록한 점은 실용적인 학문의 정수를 보여줍니다. 또한 꽃게가 성장을 위해 딱딱한 껍질을 벗는 탈피 과정을 '해(蟹)'라는 한자의 의미와 연결해 설명한 부분은 생물학적 통찰력이 돋보이는 대목입니다. 낙지의 모성애와 관련된 관찰 기록은 현대에 이르러 낙지의 유전자를 활용한 신물질 개발로 이어지기도 합니다. 이처럼 과거의 관찰 기록은 단순한 과거의 유산에 머물지 않고 미래 바이오 산업의 영감이 되고 있습니다. 『자산어보』에서 명태에 대한 기록이 빠져 있다는 사실은 역설적으로 이 책의 과학적 엄밀성을 증명합니다. 명태는 차가운 물을 좋아하는 한류성 어종으로 흑산도 인근 서해에서는 잡히지 않기 때문입니다. 보지 못한 것은 기록하지 않고, 확인된 사실만을 바탕으로 지식을 구축하는 태도는 현대 과학의 핵심 가치인 실증주의와 일맥상통합니다. 실학은 멀리 있는 추상적인 이론이 아니라, 우리 곁의 바다와 생물을 깊이 있게 들여다보는 것에서 시작되었습니다. 물고기의 눈으로 세상을 바라보고자 했던 정약전 선생의 정신은 오늘날 우리에게 진정한 과학적 사고가 무엇인지 일깨워줍니다.

황선도

카오스재단읽다과학

생명과학

[술술과학] 건강과학(1) : 균, 세균, 고세균의 차이

우리가 흔히 '균'이라고 부르는 미생물은 사실 그 종류와 분류가 매우 다양합니다. 가장 흔한 오해 중 하나는 균과 세균을 동일시하는 것이지만, 생물학적으로 이들은 엄연히 다른 존재입니다. 진균은 효모, 곰팡이, 버섯 등을 포함하며 식물보다는 오히려 동물에 가까운 족보를 가지고 있습니다. 특히 효모는 빵이나 맥주 발효에 쓰이는 단세포 생물로, 단백질인 효소와는 구분되어야 합니다. 곰팡이 역시 해로운 존재로만 인식되기 쉽지만, 발효 식품이나 항생제 원료로 쓰이며 인류에게 큰 도움을 주기도 합니다. 생물의 계통도를 살펴보면 가장 큰 분류 단위인 도메인은 세균, 고세균, 진핵생물로 나뉩니다. 세균과 고세균은 핵막이 없는 원핵생물에 속하며, 진핵생물은 다시 원생생물, 진균, 식물, 동물로 세분화됩니다. 여기서 헷갈리기 쉬운 원생생물은 아메바나 짚신벌레처럼 원핵생물보다 진화한 단세포 생물을 의미합니다. 이러한 분류 체계를 이해하면 우리가 막연하게 미생물이라 부르던 존재들이 각자 얼마나 독자적인 생태적 위치를 차지하고 있는지 명확히 알 수 있으며, 생명의 다양성을 깊이 있게 이해할 수 있습니다. 고세균은 이름 때문에 세균보다 오래된 생물로 오해받기 쉽지만, 실제로는 세균과 동시에 존재하며 독자적인 진화의 길을 걸어왔습니다. 이들은 주로 심해나 고온의 극한 환경에서 서식하며, 분자 생물학적으로는 세균보다 진핵생물에 더 가깝습니다. 특히 고세균이 세균을 포획해 미토콘드리아나 엽록체가 되었다는 '세포 내 공생설'은 매우 유력한 가설입니다. 우리 몸의 세포 하나당 수백에서 수천 개의 미토콘드리아가 존재한다는 점을 고려하면, 인간의 몸은 거대한 고세균의 집합체라고도 볼 수 있는 셈입니다. 미생물의 실체는 17세기 현미경의 발명 이후에야 비로소 드러나기 시작했습니다. 이후 파스퇴르와 코흐에 의해 감염병의 원인이 미생물임이 밝혀졌고, 바이러스와 세균, 진균 등이 주요 병원체로 지목되었습니다. 흥미로운 점은 고세균이 오랫동안 인간에게 무해한 존재로 여겨졌으나, 최근 연구를 통해 질병의 원인이 될 가능성이 제기되고 있다는 것입니다. 이처럼 미생물학은 고정된 지식이 아니라 새로운 발견을 통해 끊임없이 확장되는 학문 분야이며, 우리 삶과 보이지 않는 곳에서 밀접하게 연결되어 있습니다. 감염병 치료에 쓰이는 항미생물제는 대상에 따라 항바이러스제, 항세균제, 항진균제 등으로 나뉩니다. 우리가 흔히 말하는 항생제는 주로 세균을 죽이는 항세균제를 의미하며, 푸른곰팡이에서 추출한 페니실린이 그 시초입니다. 무좀과 같은 질환은 세균이 아닌 곰팡이에 의한 것이므로 항생제가 아닌 항진균제를 사용해야 합니다. 최초의 항생제를 발견한 플레밍은 노벨상 시상식에서 항생제 남용으로 인한 내성 문제를 경고했는데, 이는 현대 의학이 직면한 중요한 과제이자 우리가 미생물을 정확히 알아야 하는 이유이기도 합니다.

카오스재단술술과학

생명과학

[연구뭐하지?] 정성규 교수_서울대학교 '통계적학습이론 연구실' | 통계에도 차원이 있다!?

21세기에 들어서며 데이터의 질과 양이 폭발적으로 증가함에 따라 통계학은 새로운 국면을 맞이했습니다. 과거에는 흔치 않았던, 변수의 수는 방대하지만 표본의 수는 상대적으로 적은 고차원 데이터 분석이 중요해진 것입니다. 특히 데이터가 일반적인 수치 형태를 넘어 이미지나 영상과 같은 복잡한 구조를 가질 때, 이를 '다양체(Manifold)'라는 기하학적 개념 위에서 분석하는 방법론과 이론적 토대를 마련하는 연구가 활발히 진행되고 있습니다. 현대 통계학의 핵심 분야 중 하나인 다변량 통계학에서는 수많은 변수 사이의 관계를 효과적으로 파악하는 것이 관건입니다. 연구자들은 주성분 분석(PCA)을 중심으로, 다양한 조건에서도 데이터의 특성을 합리적이고 효율적으로 추출할 수 있는 모델을 개발하고 있습니다. 이는 단순히 데이터를 요약하는 수준을 넘어, 복잡한 데이터 구조 속에 숨겨진 유의미한 패턴을 찾아내고 분석의 정확도를 높이는 데 필수적인 역할을 수행합니다. 이러한 통계적 이론은 실제 응용 분야에서 강력한 힘을 발휘합니다. 예를 들어 유전체 데이터 분석에서는 방대한 양의 유전 정보를 효과적으로 통합하거나 분류하여 질병의 원인을 규명하는 데 기여합니다. 또한 고차원 데이터의 군집화(Clustering) 연구를 통해 유사한 특성을 가진 집단을 정교하게 구분해내기도 합니다. 이론적 연구와 실무적 응용이 조화를 이루며, 막연하게 느껴질 수 있는 데이터 분석의 과정을 구체적이고 과학적인 방법론으로 바꾸어 나가는 과정입니다. 최근 인공지능과 딥러닝 기술이 급격히 발전하면서 통계학의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 전문가의 직관이나 감에 의존하던 과거의 방식에서 벗어나, 철저히 데이터 근거 중심의 분석을 수행하기 위해서는 통계적 기초가 탄탄해야 합니다. 딥러닝 모델의 결과나 성능을 객관적으로 평가하고 개선하는 과정에서도 통계적 관점은 필수적입니다. 따라서 통계학은 학술적인 깊이를 더할 뿐만 아니라 실전에서도 매우 유용한 도구로 자리매김하고 있습니다. 통계학은 그 자체로 독립된 학문이면서도 다른 어떤 분야와도 유연하게 결합할 수 있는 확장성을 지니고 있습니다. 생물통계나 경제통계처럼 다양한 학문 뒤에 '통계'라는 이름을 붙여도 어색하지 않은 이유는, 통계학이 데이터를 다루는 보편적인 언어이기 때문입니다. 수학적 엄밀함부터 컴퓨터를 활용한 실전 분석까지 넓은 스펙트럼을 가진 학문인 만큼, 한 가지 분야에 매몰되지 않고 다양한 시각으로 자료를 바라보는 태도가 현대의 연구자들에게 요구됩니다.

정성규

카오스재단연구뭐하지

수학

[강연] 2018 필즈상 해설 강연 1일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 박지훈, 하승열 교수 | 2편

수학은 수천 년의 역사를 지닌 학문이지만, 여전히 우리에게 깊은 경외심과 동시에 막연한 두려움을 안겨줍니다. 세계 최고의 수학적 업적에 수여되는 필즈상은 단순히 개인의 천재성을 기리는 자리가 아니라, 인류가 지성의 한계를 어떻게 극복해왔는지를 보여주는 이정표입니다. 수학을 공부하며 마주하는 난해함은 피할 수 없는 과정이지만, 이를 지속적으로 접하며 익숙해지는 과정 자체가 수학적 사고의 핵심입니다. 부분적인 이해에서 시작해 전체적인 통찰로 나아가는 노력은 수학자뿐만 아니라 우리 모두에게 필요한 태도입니다. 2018년 필즈상 수상자인 코처 비르카는 대수기하학의 난제인 '파노 다양체의 유한성'을 증명하며 수학계에 큰 족적을 남겼습니다. 대수 다양체란 다변수 다항식의 해집합으로 이루어진 기하학적 구조를 의미하는데, 그중에서도 차수가 낮은 특수한 다양체를 파노 다양체라 부릅니다. 코처 비르카는 최소 모델 프로그램이라는 도구를 활용하여, 특정한 조건을 만족하는 파노 다양체의 종류가 유한하다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 복잡한 기하학적 대상들을 체계적으로 분류하고 이해하려는 수학자들의 오랜 꿈에 한 걸음 더 다가간 결과입니다. 수학적 발견은 결코 고립된 천재 한 명의 힘으로 이루어지지 않습니다. 코처 비르카의 업적 역시 델 페초와 지노 파노에서 시작되어 이스콥스키흐, 시게후미 모리 등으로 이어지는 거대한 학문적 흐름 위에 서 있습니다. 수많은 수학자가 쌓아 올린 이론적 토대와 협력의 문화가 있었기에 현대의 난제 해결이 가능했던 것입니다. 전 세계의 학자들이 이메일과 논문을 통해 실시간으로 소통하며 아이디어를 주고받는 개방적인 연구 환경은, 현대 수학이 과거보다 더욱 역동적으로 발전할 수 있는 원동력이 되고 있습니다. 또 다른 수상자인 알레시오 피갈리는 '최적 운송 이론'의 대가로 불립니다. 최적 운송 이론이란 자원을 한 분포에서 다른 분포로 옮길 때 비용을 최소화하는 방법을 연구하는 분야입니다. 18세기 가스파르 몽주가 제기한 모래 더미 옮기기 문제에서 시작된 이 이론은, 현대에 이르러 확률론과 편미분 방정식의 결합을 통해 비약적으로 발전했습니다. 알레시오 피갈리는 몽주-앙페르 방정식의 정칙성 문제를 해결함으로써, 추상적인 수학 이론이 실제 물리적 현상을 설명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 입증했습니다. 알레시오 피갈리의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 기상학, 유체 역학, 양자 역학 등 다양한 응용 분야에서 빛을 발하고 있습니다. 대기의 흐름을 설명하는 준지균 방정식을 3차원으로 확장하거나, 기하학적 부등식의 안정성을 증명하는 과정에서 최적 운송 이론은 핵심적인 역할을 수행합니다. 이는 복잡한 자연 현상 이면에 숨겨진 단순하고 아름다운 최적화 원리를 찾아내는 과정이기도 합니다. 수학적 통찰이 어떻게 타 학문과 상호작용하며 인류의 지식 지평을 넓히는지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다. 수학의 본질이 문제 풀이에 있는지, 아니면 새로운 이론을 정립하는 데 있는지에 대한 논의는 끊이지 않습니다. 어떤 수학자는 거대한 산을 정복하듯 난제를 해결하는 데 집중하고, 어떤 수학자는 산을 오르기 위한 길을 닦듯 정교한 이론 체계를 구축합니다. 중요한 것은 이 두 가지 접근 방식이 서로 보완하며 수학이라는 거대한 유기체를 성장시킨다는 점입니다. 난제 해결은 이론의 유효성을 검증하는 실험이 되고, 새로운 이론은 이전에 풀지 못했던 문제에 접근할 수 있는 새로운 시각을 제공합니다. 현대 사회에서 기하학을 비롯한 수학 교육의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 핵심 기술인 인공지능, 로봇 공학, 자율주행 등은 모두 고도의 기하학적 사고를 바탕으로 합니다. 수학은 단순히 공식을 암기하고 계산하는 학문이 아니라, 논리적인 체계를 세우고 세상을 바라보는 통찰력을 기르는 도구입니다. 학생들이 수학의 어려움에 매몰되기보다 그 이면에 숨겨진 질서와 조화를 발견하며 스스로 생각하는 힘을 기를 때, 비로소 수학은 우리 삶을 풍요롭게 만드는 지적 자산이 될 것입니다.

박지훈, 하승열

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 현생인류와 한민족의 기원 (1) - 총론 : 어떻게 아는가? _ 이홍규 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 7강 | 7강 ①

인류의 기원을 탐구하는 여정은 관찰과 기록에서 시작되었습니다. 고대 그리스의 아리스토텔레스는 자연학을 통해 주변 세계를 기록했고, 로마의 플리니우스는 박물학적 관점에서 방대한 지식을 정리했습니다. 이후 18세기 카를 린네는 단순한 기록을 넘어 생물에 체계적인 이름을 붙이는 분류학을 창시했습니다. 그는 형태와 기능을 기준으로 생물을 계, 문, 강, 목, 과, 속, 종으로 나누었으며, 인간에게 '호모 사피엔스'라는 학명을 부여하여 인류를 자연의 체계 안에 편입시켰습니다. 린네가 생물의 체계를 세웠다면, 찰스 다윈은 그 체계가 어떻게 형성되었는지에 대한 원리를 제시했습니다. 다윈은 '종의 기원'을 통해 적자생존과 자연선택이라는 개념을 도입하여 생물이 환경에 적응하며 변이하고 분화한다는 사실을 설명했습니다. 그는 모든 생명이 공통의 선조에서 유래했다는 파격적인 주장을 펼쳤으며, 훗날 인류 역시 아프리카의 유인원과 공통의 조상을 가졌을 것이라고 추론하며 인류 기원 연구의 과학적 토대를 마련했습니다. 다윈의 진화론은 멘델의 유전 법칙과 만나 더욱 견고해졌습니다. 초기에는 유전자가 변하지 않고 보존된다는 점 때문에 진화론과 충돌하는 듯 보였으나, 유전자의 돌연변이가 진화의 원동력이 된다는 사실이 밝혀지면서 '현대 종합 이론'으로 통합되었습니다. 이는 생명체가 단순히 변하는 것이 아니라, 유전적 변이 중 생존에 유리한 형질이 선택되어 다음 세대로 전달되는 과정임을 과학적으로 입증하며 생물학의 완성도를 높였습니다. 생명의 역사를 한 그루의 나무로 시각화한 '생명의 나무'는 계통발생학의 핵심 개념입니다. 모든 생명체는 하나의 뿌리에서 시작되어 가지를 치듯 분화해 왔으며, 과학자들은 통계학적 방법인 분기학을 동원해 생물 간의 친연관계를 분석합니다. 이는 우주의 시작인 빅뱅처럼 생명 역시 단일한 기원에서 출발해 복잡한 시스템으로 진화했음을 보여줍니다. 이러한 계통도는 현대 생물학 교과서의 근간을 이루며 생명의 연속성을 상징합니다. 현대 진화론은 세포 내 공생설을 통해 더욱 확장되었습니다. 린 마굴리스는 돌연변이뿐만 아니라 서로 다른 생명체의 융합이 진화의 중요한 축이라고 주장했습니다. 특히 미토콘드리아는 과거 독립적인 박테리아였으나 다른 세포와 합쳐져 에너지를 생성하는 공생체가 되었다는 사실이 밝혀졌습니다. 이러한 관점은 인류를 포함한 모든 진핵생물이 여러 생명체의 유전적 결합으로 탄생한 복합적인 존재임을 시사하며 진화의 새로운 지평을 열었습니다. 21세기 유전학의 비약적인 발전은 인류학 연구의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 과거에는 겉모습이나 뼈의 형태를 보고 인종과 종을 구분했지만, 이제는 DNA 염기서열 분석을 통해 생명체의 정체성을 파악합니다. 유전체 분석 기술은 표현형 중심의 이해를 유전자형 중심으로 전환시켰으며, 아주 미세한 유전적 차이만으로도 해당 개체가 어떤 특성을 가졌는지, 어떤 경로로 이동하며 진화해 왔는지를 정확하게 추적할 수 있게 되었습니다. 유전학적 접근의 위력은 시베리아 데니소바 동굴에서 발견된 작은 뼈 조각 사례에서 극명하게 드러납니다. 고고학적으로는 정체를 알 수 없었던 1cm 남짓한 손가락뼈에서 DNA를 추출해 분석한 결과, 인류의 새로운 조상인 데니소바인의 존재가 확인되었습니다. 뼈의 형태가 아닌 유전 정보를 통해 고대 인류의 외형과 혈통을 복원해낸 이 사건은, 현대 과학이 과거의 흔적을 추적하여 인류와 민족의 기원을 밝히는 강력한 도구가 되었음을 증명합니다.

이홍규

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