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[카오스 짧강] 디오판토스 방정식과 타원곡선

고대 수학자 디오판토스의 저서인 <산학>은 현대의 수학 책과는 사뭇 다른 모습을 띠고 있습니다. 1621년에 라틴어로 번역된 이 책은 페르마가 즐겨 읽었던 것으로도 유명한데, 당시의 수학 문제들은 오늘날 우리가 익숙한 기호나 수식 대신 문장제 문제로 서술되어 있었습니다. 예를 들어 주어진 수를 두 부분으로 나누어 그 곱이 정육면체의 부피에서 변의 길이를 뺀 값과 같게 만들라는 식의 표현입니다. 이러한 문장제 형식은 문제를 직관적으로 이해하기 어렵게 만들지만, 동시에 수학적 사고의 원형을 보여주는 흥미로운 지점이기도 합니다. 문장제 문제를 현대적인 수식으로 변환하면 y(a-y) = x^3 - x와 같은 형태가 됩니다. 수학을 배운 사람들에게는 이 수식이 훨씬 명확하게 다가오는데, 이는 복잡한 문장을 간결한 기호로 압축함으로써 문제의 본질을 더 빠르게 파악하게 돕기 때문입니다. 기호의 도입은 단순히 계산을 편하게 하는 것을 넘어, 인간의 사고 과정을 비약적으로 발전시킨 중요한 계기가 되었습니다. 이러한 언어적 진화 덕분에 우리는 더 고차원적인 수학적 탐구에 집중할 수 있게 되었습니다. 디오판토스가 활동하던 시대에는 수에 대한 개념이 지금과는 달랐습니다. 그는 주로 유리수 범위 내에서 해를 구하고자 했으며, 특히 음수에 대한 개념이 정립되지 않았거나 이를 수로 인정하지 않았을 가능성이 큽니다. 현대의 관점에서는 x에 1이나 0, 혹은 -1을 대입하여 쉽게 해를 찾을 수 있지만, 디오판토스에게 이러한 답들은 진정한 의미의 해가 아니었습니다. 그는 문제를 구성하는 문장의 맥락에 부합하는 양수의 해를 찾는 데 집중했으며, 이는 당시 수학자들이 가졌던 수에 대한 엄격한 기준을 반영합니다. 단순한 대입으로 얻을 수 있는 0이나 1 같은 해를 제외하면, 디오판토스의 문제는 매우 복잡한 양상을 띱니다. 실제로 그가 제시한 답 중 하나는 26/9와 같은 분수 형태였는데, 이는 직관적으로 떠올리기 매우 어려운 수치입니다. 하나의 방정식에서 도출될 수 있는 해는 무수히 많으며, 그중에는 현대의 컴퓨터를 활용해야 겨우 찾아낼 수 있을 정도로 정교한 값들도 존재합니다. 이러한 복잡한 해를 찾아가는 과정은 고대 수학자들이 단순한 계산을 넘어 수의 성질을 깊이 있게 탐구했음을 증명하는 증거라고 할 수 있습니다. 이러한 방정식의 해를 찾는 과정은 현대 수학의 중요한 분야인 타원 곡선 이론으로 이어집니다. 단순히 숫자를 대입하는 수준을 넘어 곡선의 기하학적 성질을 이용해 해를 구하는 방식은 수학의 지평을 넓히는 결정적인 역할을 했습니다. 고대의 문장제 문제에서 시작된 탐구가 수식의 정립을 거쳐 고도의 대수 기하학으로 발전해 온 과정은 매우 경이롭습니다. 디오판토스의 <산학>에 담긴 짧은 질문 하나가 오늘날의 첨단 수학 이론을 형성하는 거대한 뿌리가 되었다는 사실은 수학의 연속성을 잘 보여줍니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[심화 강연] 군론, 수의 개념을 확장하다_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 심화 | 2강

타원 곡선은 일반적으로 평면상에 나타나는 곡선으로, 복잡한 대수 방정식을 통해 정의됩니다. 흔히 y² + a₁xy + a₃y = x³ + a₂x² + a₄x + a₆와 같은 복잡한 형태를 띠기도 하지만, 변수 변환을 거치면 y² = x³ + ax + b라는 훨씬 간결한 표준형으로 정리할 수 있습니다. 이러한 곡선은 계수 a와 b의 값에 따라 하나의 연결된 곡선이 되기도 하고 두 조각으로 나뉘기도 하는 등 다양한 기하학적 형태를 보여줍니다. 수학자들은 이 단순해 보이는 곡선 속에 숨겨진 심오한 수론적 성질을 탐구하며 현대 수학의 중요한 난제들을 해결해 나가고 있습니다. 타원 곡선의 가장 흥미로운 특징 중 하나는 곡선 위의 점들이 '군(Group)'이라는 수학적 구조를 이룬다는 점입니다. 곡선 위의 두 점을 선택해 직선으로 연결하면 그 직선은 곡선과 반드시 또 다른 한 점에서 만나게 됩니다. 이 교점을 x축을 중심으로 대칭 이동시키면 두 점의 합에 해당하는 새로운 점을 얻을 수 있습니다. 이러한 기하학적 연산은 무한히 많은 점 사이에서 조화롭게 정의되며, 점 하나를 자기 자신과 더할 때는 그 점에서의 접선을 활용하는 방식으로 확장됩니다. 이는 단순한 그림 그리기를 넘어 대수학적 연산이 기하학적 형상과 완벽하게 결합된 사례라고 할 수 있습니다. 기하학적으로 정의된 타원 곡선의 연산에서 결합법칙이 성립한다는 사실은 매우 놀랍고도 증명하기 까다로운 주제입니다. 세 점을 어떤 순서로 더하더라도 결과가 항상 같다는 것을 보여주기 위해서는 사영 기하학이라는 고도의 수학적 도구가 필요합니다. 서로 다른 직선들을 복잡하게 그려나가는 과정임에도 불구하고 최종적인 결과가 일치한다는 점은 타원 곡선이 가진 내재적인 질서를 잘 보여줍니다. 이러한 결합법칙의 성립은 타원 곡선이 수학적으로 견고한 군 구조를 갖추게 하는 핵심적인 토대가 되며, 이는 타원 곡선 기초 이론에서 가장 중요하면서도 증명이 어려운 부분 중 하나로 손꼽힙니다. 모델의 정리(Mordell's Theorem)에 따르면 타원 곡선 위의 유리수 점 집합은 유한한 개수의 생성원을 통해 모두 표현될 수 있습니다. 이는 유리수 점이 무수히 많더라도, 적절한 몇 개의 기본 점들만 찾아내면 타원 곡선 연산을 반복하여 모든 점을 체계적으로 찾아낼 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 특정 곡선에서 하나의 해를 찾았다면, 이를 계속해서 더해 나가는 과정만으로도 곡선 전체의 유리수 점들을 포착할 수 있는 것입니다. 마구잡이로 흩어져 있을 것 같은 유리수 점들이 이처럼 유한한 생성원에 의해 통제된다는 사실은 정수론에서 타원 곡선이 차지하는 독특한 위상을 잘 보여주는 대목입니다. 현대 수학의 거대한 난제인 '버치-스위너턴 다이어 추측'은 타원 곡선의 생성원을 찾는 알고리즘의 완결성과 깊은 관련이 있습니다. 현재 수학자들은 생성원을 찾는 프로그램을 실제로 사용하고 있으며, 지금까지의 수많은 시도에서 이 알고리즘은 항상 성공적으로 결과를 도출해 왔습니다. 그러나 원칙적으로 이 알고리즘이 모든 경우에 반드시 종료된다는 사실은 아직 증명되지 않았습니다. 만약 이 추측이 참으로 밝혀진다면 우리는 타원 곡선의 유리수 점을 찾는 완벽한 체계를 갖추게 될 것입니다. 클레이 수학 연구소가 100만 달러의 상금을 걸 만큼 이 문제는 정수론의 미래를 결정지을 핵심적인 과제로 남아 있습니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 2_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 두 번째 이야기 | 2강 ②

고대 수학자 디오판토스의 저서 『산수』에는 오늘날의 수식과는 달리 문장으로 표현된 복잡한 문제들이 가득합니다. 예를 들어 주어진 수를 두 조각으로 나누어 그 곱이 정육면체의 부피에서 변의 길이를 뺀 값과 같게 만드는 문제는 현대의 대수학적 기호를 빌리면 훨씬 명료해집니다. 과거의 수학자들이 말로 풀어서 설명했던 난해한 조건들을 기호화하는 과정은 인간의 사고를 효율적으로 만들었습니다. 이러한 수식화는 단순히 계산을 돕는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫고 해를 찾는 새로운 길을 열어주는 수학적 언어의 탄생을 의미합니다. 디오판토스가 제시한 방정식은 현대 수학에서 '타원곡선'이라는 개념으로 이어집니다. 타원곡선은 3차 방정식의 해를 좌표평면 위에 점으로 나타낸 기하학적 형상입니다. 컴퓨터를 활용해 이 곡선을 그려보면 특유의 대칭적인 모양이 나타나는데, 이 곡선 위의 점들은 곧 방정식의 유리수 해를 의미합니다. 과거에는 단순히 숫자를 대입하며 해를 찾으려 애썼지만, 이제는 기하학적 구조를 통해 해의 분포와 성질을 시각적으로 파악할 수 있게 되었습니다. 이는 대수학과 기하학이 결합하여 복잡한 수의 세계를 탐구하는 강력한 도구가 되었음을 보여줍니다. 타원곡선 상의 점들은 수학적으로 '군(Group)'의 구조를 형성하며, 이는 정수론의 난제들을 해결하는 핵심적인 열쇠가 됩니다. 닫혀 있는 연산의 특성상 하나의 해로부터 무수히 많은 새로운 해를 생성해낼 수 있기 때문입니다. 겉보기에는 무작위해 보이는 유리수 해들이 사실은 정교한 수학적 규칙 아래 서로 연결되어 있다는 사실은 매우 놀랍습니다. 이러한 군 구조의 발견은 복잡한 방정식의 해를 체계적으로 탐구할 수 있는 이론적 바탕을 마련해 주었으며, 현대 대수학의 지평을 넓히는 계기가 되었습니다. 20세기 초 모델(Mordell)은 타원곡선의 모든 유리수 해가 유한 개의 생성 요소들로부터 만들어진다는 정리를 증명했습니다. 이는 아무리 많은 해가 존재하더라도 몇 개의 기본 소자만 알면 나머지를 모두 찾아낼 수 있다는 희망적인 소식이었습니다. 하지만 현대 수학에는 여전히 거대한 장벽이 남아 있습니다. 바로 그 유한 개의 생성 요소를 일반적으로 찾아내는 알고리즘이 아직 완벽히 밝혀지지 않았기 때문입니다. 이 문제를 다루는 'BSD 추측'은 밀레니엄 난제 중 하나로 꼽히며, 오늘날에도 수많은 수학자가 학문적 성취를 위해 도전하고 있습니다. 타원곡선 이론은 순수 수학의 영역을 넘어 현대 사회의 보안과 기술 발전에도 결정적인 기여를 하고 있습니다. 앤드류 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 타원곡선은 결정적인 아이디어를 제공했으며, 오늘날에는 암호론의 핵심 기술로 자리 잡았습니다. 타원곡선 위의 복잡한 연산 구조는 정보를 안전하게 보호하는 4세대 암호 체계의 근간이 됩니다. 인공지능 시대에 개인 정보를 보호하면서도 효율적인 데이터 처리를 가능케 하는 수학적 방패로서, 타원곡선은 보이지 않는 곳에서 우리의 디지털 세상을 지탱하는 든든한 기초가 되고 있습니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 1_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

일상에서 흔히 쓰이는 용어들이 수학의 세계에서는 전혀 다른 의미와 깊이를 지니는 경우가 많습니다. 예를 들어 '무리수'는 일상에서 이치에 맞지 않는 행동을 뜻하지만, 수학에서는 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 의미합니다. '함수' 역시 국어사전에서는 기능을 뜻하나, 수학에서는 상자 안에 무언가를 넣었을 때 결과가 나오는 '블랙박스'와 같은 구조를 상징합니다. 이러한 용어의 차이를 이해하는 것은 수학이라는 낯선 언어와 친해지는 첫걸음이 됩니다. 고대 그리스인들이 정수의 비율을 유리수로 여겼던 역사를 되짚어보면, 수학 용어 하나하나에 담긴 철학적 배경을 발견할 수 있습니다. 군론은 대칭을 연구하는 학문으로, 기하학적인 움직임을 대수적인 정보로 변환하는 강력한 도구입니다. 정사각형을 90도 회전시키거나 대각선을 축으로 뒤집는 행위는 단순한 움직임처럼 보이지만, 이를 표로 정리하면 정교한 곱셈 체계가 형성됩니다. 이 과정에서 결합 법칙과 같은 수학적 원리가 자연스럽게 드러나며, 복잡한 모양의 세계가 숫자의 세계로 치환됩니다. 컴퓨터는 사각형을 직접 보지 않고도 이 표를 통해 대칭성을 완벽하게 이해할 수 있습니다. 결국 군론은 눈에 보이는 형태의 변화를 추상적인 정보의 논리로 바꾸어 놓음으로써, 수학이 세상을 바라보는 독특한 방식을 보여줍니다. 인류가 방정식의 해를 구하기 위해 노력해 온 역사는 무려 4,000년에 달합니다. 기원전 2000년경부터 시작된 이 여정은 서기 200년경 디오판토스가 등장하며 커다란 전환점을 맞이했습니다. 그가 저술한 '산학(Arithmetica)'은 추상 대수학의 초기 형태를 제시하며 유럽 수학 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다. 방정식을 푼다는 것은 단순히 미지수의 값을 찾는 행위를 넘어, 수의 체계와 논리적 구조를 탐구하는 과정입니다. 3차 이상의 고차 방정식으로 넘어갈수록 수학자들조차 어려움을 겪었지만, 이러한 도전은 수천 년 동안 수학적 사고를 확장하는 원동력이 되었습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나로, 디오판토스의 책 여백에 남겨진 짧은 메모에서 시작되었습니다. 앤드루 와일스가 이를 최종적으로 증명하기까지 350년이라는 긴 시간이 걸렸으며, 그 과정은 결코 순탄치 않았습니다. 와일스 역시 초기 증명에서 오류가 발견되는 시련을 겪었으나, 동료와 제자의 도움을 받아 이를 극복해 냈습니다. 이는 수학이 천재 한 명의 고독한 작업이 아니라, 세대를 거쳐 지식을 공유하고 보완하는 협력의 산물임을 보여줍니다. 완벽해 보이는 수학적 증명 뒤에는 인간적인 실수와 이를 바로잡으려는 끈질긴 노력이 숨어 있습니다. 디오판토스가 제시한 문제들은 현대 수학의 핵심 분야인 타원 곡선 이론으로 이어집니다. 주어진 수를 특정 조건에 맞게 나누는 고대의 질문들이 오늘날 정수론과 기하학이 만나는 지점을 형성한 것입니다. 수학은 과거의 문제를 해결하는 과정에서 새로운 이론을 탄생시키며 끊임없이 진화합니다. 페르마가 고민했던 정수해의 존재 여부는 이제 타원 곡선의 성질을 탐구하는 고도의 학문적 영역으로 확장되었습니다. 이처럼 수천 년 전의 방정식에서 시작된 탐구는 현대 수학의 지평을 넓히는 밑거름이 되었으며, 우리가 세상을 이해하는 논리적 틀을 더욱 견고하게 만들어 줍니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(3)-1: 무한을 본 사람

칸토어가 설계한 알레프 원 호텔은 실수의 세계를 상징하는 독특한 공간입니다. 이 호텔의 객실 번호는 무한한 자리의 실수로 이루어져 있어, 어떤 방도 옆방을 가질 수 없다는 기묘한 특징을 지닙니다. 또한 0호실과 1호실 사이의 방 개수가 호텔 전체의 방 개수와 같다는 사실은 우리의 직관을 완전히 뒤흔듭니다. 아무리 작은 구간을 설정하더라도 그 안에는 전체와 동일한 규모의 무한이 담겨 있으며, 이는 실수가 가진 연속성의 신비로움을 잘 보여줍니다. 보르헤스의 소설 속에 등장하는 '모래의 책'처럼 실수의 세계는 시작도 끝도 없이 무한히 쪼개지는 심연과 같습니다. 겉보기에 매끈한 수직선은 사실 무한과 연속이라는 마법이 소용돌이치는 공간입니다. 수학자 데데킨트는 유리수 사이의 틈을 메우기 위해 무리수의 존재를 증명하며 수직선을 완벽하게 연속적인 상태로 만들었습니다. 칸토어는 여기서 더 나아가 유리수는 셀 수 있는 무한이지만, 무리수는 셀 수 없는 무한임을 입증했습니다. 우리가 수직선 위에서 임의의 점을 선택했을 때 그것이 유리수일 확률이 거의 제로에 가깝다는 사실은 무리수가 수의 세계를 지배하고 있음을 시사합니다. 이렇게 유리수 사이의 빈틈을 무리수로 빽빽하게 채우고 나서야 수직선은 비로소 어떤 칼로도 비집고 들어갈 수 없는 연속체가 됩니다. 수의 체계는 유리수와 무리수를 넘어 대수적 수와 초월수로 확장됩니다. 다항 방정식의 해가 될 수 있는 수를 대수적 수라고 부르며, 그렇지 못한 수를 초월수라고 정의합니다. 대표적인 초월수로는 자연상수 $e$와 원주율(π)이 있습니다. 특히 린데만은 원주율(π)이 초월수임을 증명함으로써 고대 그리스부터 이어져 온 원적문제를 해결했습니다. 원과 면적이 같은 정사각형을 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것이 불가능하다는 결론은 초월수가 가진 독특한 성질 덕분에 비로소 명확해졌습니다. 이는 수학적 증명이 고대의 철학적 난제를 어떻게 종결짓는지를 보여주는 사례입니다. 초월수는 수직선 위에서 압도적인 비중을 차지하고 있지만, 그 존재를 증명하기는 매우 어렵습니다. 마치 우주의 암흑물질처럼 도처에 존재하면서도 좀처럼 눈에 띄지 않는 특성을 가집니다. 수직선상의 수 밀도를 따져보면 유리수나 대수적 수는 초월수에 비해 극히 일부분에 불과합니다. 우리가 무심코 고른 실수가 초월수일 확률은 거의 100%에 달하며, 이러한 초월수야말로 실수의 진정한 본질인 '셀 수 없는 무한'을 구성하는 핵심 요소라고 할 수 있습니다. 현재까지 알려진 초월수가 많지 않다는 사실은 우리가 아직 수의 바다에서 아주 작은 부분만을 이해하고 있음을 암시합니다. 칸토어는 무한을 단순한 상태가 아닌 하나의 완성된 집합으로 바라보며 '실무한'의 개념을 정립했습니다. 그는 이를 초한수라 명명하며 유한을 넘어서는 새로운 수학적 지평을 열었습니다. 무한은 더 이상 끝없이 이어지는 과정이 아니라, 그 자체로 실체화된 대상이 되어 수학적 연산과 탐구의 영역으로 들어왔습니다. 하지만 무한의 본질을 파고들수록 우리는 연속체 가설과 같은 불가사의한 진술에 직면하게 됩니다. 칸토어는 초한수를 그 한계까지 밀어붙였고, 이는 수학계에 거대한 충격과 함께 새로운 질문들을 던졌습니다. 무한에 대한 탐구는 인간의 지성이 도전할 수 있는 가장 숭고하고도 위험한 영역 중 하나입니다.

카오스재단'도대체'시리즈

물리학

[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-2: 무한의 탐구

게오르크 칸토어는 무한의 신비를 풀기 위해 '일대일 대응'이라는 혁신적인 방법을 제시했습니다. 이는 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 크기를 비교하는 방식입니다. 예를 들어, 좌석 수와 관객 수를 비교할 때 직접 숫자를 세지 않고 관객을 자리에 모두 앉혀보는 것과 같습니다. 칸토어는 이 원리를 무한 집합에 적용하여, 자연수 집합과 그 부분집합인 짝수나 홀수 집합의 크기가 같다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 무한의 세계에서는 전체와 부분이 같을 수 있다는 갈릴레이의 역설을 해결한 중요한 열쇠가 되었습니다. 유리수 집합은 자연수보다 훨씬 촘촘하고 많아 보이지만, 칸토어는 유리수 역시 셀 수 있는 무한임을 증명했습니다. 그는 분수들을 표 형태로 나열한 뒤, 대각선 방향으로 순서를 매겨 모든 유리수를 빠짐없이 열거하는 천재적인 방법을 고안했습니다. 이 과정을 통해 유리수 집합이 자연수 집합과 일대일 대응이 가능하다는 것이 입증되었습니다. 결국 유리수 호텔의 무한한 손님들도 1층짜리 자연수 호텔로 모두 옮길 수 있다는 결론에 도달하게 됩니다. 칸토어는 이처럼 셀 수 있는 가장 작은 무한의 단위를 히브리어 첫 글자를 따서 '알레프 제로'라고 명명했습니다. 하지만 칸토어는 여기서 멈추지 않고 더 큰 무한의 존재를 탐구했습니다. 그는 0과 1 사이의 실수가 자연수보다 더 큰 무한임을 '대각선 논법'을 통해 증명했습니다. 만약 실수를 모두 나열했다고 가정하더라도, 각 숫자의 특정 자릿수를 변형하여 목록에 없는 새로운 실수를 언제나 만들어낼 수 있다는 논리입니다. 이는 실수가 자연수와 일대일 대응이 될 수 없음을 의미하며, 셀 수 없는 무한인 '알레프 원'의 존재를 세상에 알렸습니다. 무한에도 층위가 있으며, 우리가 상상하는 것보다 훨씬 거대한 무한이 존재한다는 사실이 수학적으로 밝혀진 것입니다. 알레프 제로와 알레프 원의 차이는 건축 방식의 차이와도 같습니다. 알레프 제로 호텔은 객실 사이에 유한한 방이 존재하지만, 알레프 원 호텔은 어떤 두 객실 사이에도 무한한 방이 존재하는 '연속'의 개념을 담고 있습니다. 힐베르트의 역설에 따르면 무한한 막대로 3차원 공간을 채울 수 있지만, 연속적인 실수의 무한은 그보다 훨씬 거대합니다. 칸토어는 무한을 단순히 끝없는 상태가 아니라, 하나의 완성된 실체인 '실무한'으로 다루었습니다. 이러한 연속 무한의 개념은 수학적 사고의 지평을 우주적 규모로 확장하는 계기가 되었습니다. 칸토어의 연구는 무한을 극한이라는 가상의 개념에서 끌어내어 '초한수'라는 실체적인 수로 정립시켰습니다. 당시 수학계에서 이단아 취급을 받기도 했지만, 그의 이론은 인류가 무한의 실체를 인정하고 체계적으로 다루게 된 결정적인 전환점이 되었습니다. 제논의 역설이 무한을 현실과 대비시키며 발생한 모순이었다면, 칸토어의 초한수는 무한 그 자체로 완결된 새로운 세계를 구축한 진실의 역설입니다. 인간의 이해를 넘어서는 무한의 영역이 존재한다는 사실은 우리에게 지적 경외감과 동시에 탐구의 즐거움을 선사합니다.

카오스재단'도대체'시리즈

물리학

[강연] 2018 필즈상 해설 강연 2일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 김완수, 임선희 교수 | 1편

정수론은 인류가 숫자를 다루기 시작한 고대부터 존재해 온 가장 기초적이면서도 심오한 학문입니다. 기원전 메소포타미아의 점토판에 기록된 피타고라스 정리의 해부터 현대의 복잡한 방정식에 이르기까지, 정수론은 단순한 계산을 넘어 수의 체계 속에 숨겨진 근본적인 질서를 탐구해 왔습니다. 최근의 정수론은 고대의 직관적인 문제에서 벗어나 고도로 추상화된 기하학적 방법론을 도입하며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 이러한 변화는 우리가 수를 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 현대 수학의 가장 역동적인 분야 중 하나로 자리 잡았습니다. 페르마의 마지막 정리는 정수론의 발전을 이끌어온 거대한 동력이었습니다. 350년 동안 수많은 수학자를 괴롭혔던 이 난제는 앤드루 와일즈에 의해 증명되었으며, 그 과정에서 개발된 이론들은 현대 정수론의 새로운 지평을 열었습니다. 2018년 필즈상 수상자인 페터 숄체 역시 16세의 어린 나이에 와일즈의 증명을 접하며 수학적 영감을 얻었습니다. 그는 증명을 이해하기 위해 필요한 배경 지식을 역으로 추적하며 공부했고, 이는 훗날 그가 산술 기하학 분야에서 혁신적인 업적을 남기는 밑거름이 되었습니다. 난제를 해결하려는 의지가 새로운 수학적 세계를 창조한 셈입니다. 현대 정수론의 핵심 도구 중 하나인 p진수는 우리가 흔히 아는 실수의 거리 개념과는 전혀 다른 수 체계입니다. 소수 p를 기준으로 정의되는 이 체계에서는 숫자가 p의 거듭제곱으로 나누어질수록 0에 더 가깝다고 간주합니다. 이러한 비아르키메데스적 절댓값은 정수의 합동 성질을 기하학적인 거리로 변환하여 다룰 수 있게 해줍니다. p진수 세계에서는 모든 삼각형이 이등변 삼각형이 되는 등 기묘한 현상이 일어나지만, 이는 정수론적 문제를 기하학적으로 시각화하고 분석하는 데 결정적인 역할을 합니다. 추상적인 수의 성질이 공간의 언어로 번역되는 순간입니다. 페터 숄체는 '퍼펙토이드 공간'이라는 개념을 도입하여 p진 기하학의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 퍼펙토이드 공간은 무한히 많은 변수와 거듭제곱근을 포함하는 복잡한 구조를 가지고 있지만, 이를 통해 p진수 해 공간에서의 미적분학을 가능하게 합니다. 숄체의 이론은 갈로아 표현론과 같은 정수론의 난제들을 해결하는 강력한 도구가 되었으며, 산술 기하학 전반에 걸쳐 혁명적인 변화를 불러일으켰습니다. 그의 연구는 기존의 관점을 재해석하는 수준을 넘어, 수학자들이 미지의 영역을 탐험할 수 있는 정교한 지도를 제공한 것과 다름없습니다. 또 다른 필즈상 수상자인 악샤이 벤카테시는 해석적 정수론과 균질 동역학을 결합하여 독창적인 연구 세계를 구축했습니다. 동역학은 특정 공간 위에서 움직이는 궤도의 패턴을 연구하는 학문으로, 벤카테시는 이를 통해 자연수와 소수의 분포 속에 숨겨진 규칙을 찾아냈습니다. 그는 당구대 위에서 공이 튕기는 궤적이나 휘어진 쌍곡 공간에서의 움직임을 분석하여, 이를 복잡한 L-함수의 성질과 연결시켰습니다. 서로 무관해 보이는 분야들을 하나로 엮어내는 그의 통찰력은 수학적 대상들이 가진 보편적인 연결성을 증명하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 벤카테시의 연구에서 중요한 비중을 차지하는 균질 공간은 격자들의 집합으로 이루어진 고차원적인 구조입니다. 그는 이러한 공간 위에서 궤도가 얼마나 고르게 분포하는지를 연구함으로써, 정수론의 오랜 난제인 L-함수의 하위 볼록성 문제를 해결하는 실마리를 제공했습니다. 이는 북을 쳤을 때 발생하는 소리의 스펙트럼을 분석하여 공간의 기하학적 정보를 알아내는 것과 유사한 원리입니다. 추상적인 대수 구조와 역동적인 움직임이 만나는 지점에서 탄생한 그의 업적은, 현대 수학이 얼마나 다양한 언어로 우주의 질서를 묘사할 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 보이지 않는 구조 속에서 아름다움을 발견하는 예술과도 같습니다. 필즈상 수상자들의 업적은 당장의 실용성을 넘어 인류의 지적 지평을 넓히는 데 기여하며, 수천 년 후에는 우리가 당연하게 여기는 상식이 될 것입니다. 수학자들이 느끼는 아름다움은 복잡한 수식 속에 숨겨진 자연스러운 질서와 논리적 완결성에서 비롯됩니다. 끊임없는 질문과 탐구를 통해 미지의 영역을 개척해 나가는 이들의 노력은, 인류가 가진 호기심의 위대함을 증명하며 미래 세대에게 새로운 영감을 불어넣고 있습니다.

김완수, 임선희

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (1) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ①

수학의 '대통일 이론'이라 불리는 랭글랜즈 프로그램은 서로 무관해 보이는 수학의 여러 분야를 하나의 거대한 체계로 통합하려는 시도입니다. 1967년 로버트 랭글랜즈가 제시한 이 비전은 현대 수학에서 가장 야심 찬 연구 과제 중 하나로 손꼽히며, 그는 이 공로를 인정받아 2018년 수학계의 노벨상이라 불리는 아벨상을 수상했습니다. 이 프로그램은 단순히 이론적인 통합에 그치지 않고, 수론과 해석학, 기하학 사이의 숨겨진 연관성을 밝혀냄으로써 수백 년간 풀리지 않았던 난제들을 해결할 수 있는 강력한 열쇠를 제공합니다. 정수론의 핵심적인 질문은 주어진 방정식의 정수 해나 유리수 해를 구하는 것입니다. 실수의 범위에서는 비교적 쉽게 해를 찾을 수 있는 방정식이라도, 정수라는 제한된 조건 안에서 해를 찾는 일은 매우 까다롭고 복잡한 문제입니다. 예를 들어 피타고라스 방정식처럼 익숙한 형태조차 정수 해를 구하려 하면 그 난도가 급격히 상승하며, 때로는 해가 존재하는지조차 파악하기 어렵습니다. 이러한 정수 해의 희소성과 불규칙성은 수학자들에게 큰 도전 과제가 되었으며, 이를 해결하기 위해 수학자들은 방정식을 바라보는 새로운 관점을 고민하게 되었습니다. 복잡한 정수론 문제를 해결하기 위한 유용한 도구 중 하나는 '합동식'입니다. 이는 숫자를 특정 수로 나눈 나머지가 같으면 동일한 것으로 간주하는 개념으로, 우리가 일상에서 사용하는 시계의 원리와 유사합니다. 방정식을 직접 푸는 대신 소수 p로 나눈 나머지의 세계에서 해의 개수를 세어보는 방식은 문제의 난도를 낮추면서도 본질적인 정보를 보존합니다. 이러한 합동 방정식의 해를 분석하는 과정은 복잡한 수의 체계를 단순화하여 그 이면에 숨겨진 규칙성을 포착할 수 있게 해주며, 이는 현대 정수론 연구의 기초가 되는 중요한 접근법입니다. 수학자 가우스는 합동 방정식의 해가 존재하는지 여부를 결정하는 놀라운 규칙인 '이차 상호 법칙'을 발견했습니다. 이는 특정 소수에 대한 해의 존재 여부가 다른 수로 나눈 나머지에 의해 결정된다는 사실을 보여줍니다. 이러한 규칙성은 방정식이 가진 고유한 특성, 즉 '유전자'와 같습니다. 각 소수에 대해 해의 개수를 조사하고 그 데이터가 보여주는 패턴을 분석하면, 우리는 방정식의 정체를 파악할 수 있는 결정적인 단서를 얻게 됩니다. 이러한 유전적 정보는 서로 다른 수학적 대상들을 연결하는 가교 역할을 하며 대통일 이론의 토대를 형성합니다. 20세기 초반의 수학자들은 가우스의 법칙을 일반화한 '유체론'을 통해 많은 성과를 거두었지만, 여전히 모든 방정식을 설명하기에는 한계가 있었습니다. 특히 '타원 곡선'과 같은 복잡한 구조를 가진 방정식들은 기존의 이론적 틀을 벗어나 있었습니다. 타원 곡선은 현대 암호학에서도 중요하게 다뤄지는 대상으로, 이와 관련된 '버치-스위너턴다이어 추측'은 현대 수학의 7대 난제 중 하나로 꼽힙니다. 랭글랜즈 프로그램은 바로 이러한 한계를 극복하고, 타원 곡선을 포함한 더 넓은 범위의 수학적 대상들을 통합적인 관점에서 이해하려는 원대한 목표를 향해 나아가고 있습니다.

신석우

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