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[강연] 문제를 어떻게 뒤집어요? 역문제, 결과에서 원인 찾기 2_by 임미경 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 6강 두 번째 이야기 | 6강 ②

수학적 이론이 실제 기술로 구현되기까지는 종종 오랜 시간이 걸립니다. 오스트리아의 수학자 요한 라돈이 1917년에 발표한 '라돈 변환'이 대표적인 사례입니다. 그는 내부 구조를 알 수 없는 대상의 단면을 수학적으로 재구성하는 이론을 정립했지만, 당시에는 이를 실현할 기술이 없었습니다. 하지만 수십 년 뒤 이 이론은 CT 스캔의 핵심 원리가 되어 현대 의학의 혁명을 일으켰습니다. 이는 수학자의 상상력이 시대를 앞서가며 미래 기술의 토대를 마련한다는 점을 잘 보여줍니다. 라돈의 뒤를 이어 역문제 분야에 큰 족적을 남긴 인물로 아르헨티나의 수학자 알베르토 칼데론을 꼽을 수 있습니다. 엔지니어 출신이었던 그는 '칼데론 문제'를 제시하며 전기 임피던스 단층 촬영(EIT) 기술의 이론적 기초를 닦았습니다. EIT는 인체에 미세한 전류를 흘려보내 전압 변화를 측정함으로써 내부 장기의 상태를 실시간으로 파악하는 기술입니다. 방사선 노출 위험이 적고 연속적인 모니터링이 가능하다는 점에서 CT나 MRI와는 차별화된 강점을 지닙니다. 칼데론 문제는 라돈 변환보다 훨씬 복잡한 수학적 해결 과정을 요구합니다. 엑스레이는 직진성이 강해 직선상의 변화를 측정하기 용이하지만, 전류는 매질에 따라 휘어져 이동하기 때문입니다. 이를 해결하기 위해 칼데론은 편미분 방정식을 활용하여 경계면의 전압과 전류 밀도 데이터를 통해 내부의 전도율을 역산하는 모델을 구축했습니다. 이러한 해석학적 접근은 이후 수많은 수학자가 역문제 연구에 뛰어드는 계기가 되었으며, 암세포 탐지 등 다양한 실생활 응용으로 이어졌습니다. 역문제를 다룰 때 가장 까다로운 지점은 문제가 '부적절하게 정립된(ill-posed)' 경우가 많다는 것입니다. 이는 해가 유일하지 않거나 존재하지 않을 수 있고, 작은 측정 오차에도 결과값이 크게 요동치는 불안정성을 의미합니다. 실제 측정 데이터에는 항상 노이즈가 포함되어 있기 때문에, 수학자들은 이를 보정하기 위해 정칙화와 같은 고도의 기법을 사용합니다. 원인으로부터 결과를 도출하는 순방향 문제와 달리, 결과에서 원인을 찾는 과정은 이처럼 수많은 변수와 불확실성을 극복해야 하는 도전적인 과제입니다. 역문제의 불가능성을 보여주는 흥미로운 사례로 '드럼의 소리를 듣고 그 모양을 알 수 있는가'라는 질문이 있습니다. 직관적으로는 모양이 다르면 소리도 다를 것 같지만, 수학적으로는 완전히 다른 모양임에도 불구하고 동일한 고유 진동수를 갖는 도형들이 존재합니다. 즉, 소리라는 결과값만으로는 원래의 드럼 모양을 유일하게 특정할 수 없는 상황이 발생하는 것입니다. 이는 역문제가 가진 본질적인 한계를 시사하며, 특정 조건이나 제약 사항을 추가하여 해의 유일성을 확보하는 연구의 중요성을 일깨워줍니다. 최근 역문제 연구는 단순히 내부를 들여다보는 것을 넘어, 외부 파동을 제어하는 디자인 문제로 확장되고 있습니다. '뉴트럴 인클루전(Neutral Inclusion)' 개념은 특정 물질을 코팅하여 외부 물리장의 변화를 상쇄함으로써 마치 아무것도 없는 것처럼 보이게 만드는 기술입니다. 이는 투명 망토나 스텔스기 설계의 핵심 원리와 맞닿아 있습니다. 파동의 반사를 최소화하거나 흡수하도록 구조를 설계함으로써 탐지를 피하는 방식은, 역문제의 원리를 역이용하여 우리가 원하는 물리적 효과를 창출하는 현대 과학의 정수를 보여줍니다. 역문제는 우리가 직접 볼 수 없는 세계를 이해하게 해주는 강력한 도구입니다. 지구 내부의 구조를 파악하는 지질 탐사부터 우주 먼 곳의 행성을 발견하는 천문학, 그리고 인체 내부를 진단하는 의료 기술에 이르기까지 그 활용 범위는 무궁무진합니다. 추상적인 수학 이론이 정교한 알고리즘과 컴퓨터의 계산 능력을 만나 실생활의 난제들을 해결해 나가는 과정은 경이롭기까지 합니다. 보이지 않는 것을 보이게 만드는 이 수학적 마술은 앞으로도 과학 기술의 한계를 넓히는 데 핵심적인 역할을 할 것입니다.

임미경

카오스재단카오스강연

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[강연] 수치해석학, 근사와 과학계산의 예술 2_by 홍영준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 5강 두 번째 이야기 | 5강 ②

공학 분야에서 비행기의 날개나 유체의 흐름처럼 복잡한 물리 현상을 시뮬레이션할 때 가장 널리 쓰이는 기법 중 하나가 바로 유한요소법(FEM)입니다. 이는 복잡한 편미분 방정식을 컴퓨터가 풀 수 있는 형태로 변환하는 방법론으로, 1960년대부터 폭발적으로 발전하며 현대 공학의 필수적인 도구가 되었습니다. 유한요소법의 핵심은 문제를 아주 작은 '유한한' 요소들로 쪼개어 분석하는 데 있으며, 이는 우리가 흔히 접하는 거대한 구조물부터 미세 유체 역학까지 광범위하게 적용되어 현대 문명의 안전과 효율을 지탱하고 있습니다. 미분 방정식을 푼다는 것은 연속적인 변화를 이해하는 과정이지만, 수치해석적 관점에서는 이를 인접한 항들 사이의 관계로 치환하여 바라봅니다. 오일러의 통찰처럼 미분을 없애고 변수를 잘게 쪼개어 인접한 점들이 어떤 관계를 맺는지 정의하면, 복잡한 미분 문제는 결국 우리가 익숙한 연립방정식의 형태로 바뀝니다. 현미경으로 들여다보듯 국소적인 영역에서의 관계를 규정하고 이를 전체로 확장하여 행렬 방정식으로 풀어내는 과정이 바로 수치 선형대수학의 핵심적인 원리이며, 이를 통해 인간이 풀기 힘든 난제들을 컴퓨터로 해결할 수 있게 됩니다. 유한요소법에서는 '기저 함수'라고 불리는 작은 조각들을 활용하여 전체 함수를 형성합니다. 각각의 기저 함수는 자신이 담당하는 특정 영역에서만 값을 가지고 나머지 영역에서는 0이 되는 특성을 지니는데, 이 뾰족뾰족한 기저 함수들에 적절한 상수를 곱해 모두 더하면 우리가 원하는 연속 함수의 근삿값을 얻을 수 있습니다. 1차원에서는 삼각형 모양의 기저 함수를 사용하지만, 차원이 높아지면 삼각뿔 형태의 기저 함수를 활용하여 2차원이나 3차원의 복잡한 문제도 유연하게 해결할 수 있습니다. 이는 실생활의 연속적인 현상을 디지털 환경에서 정교하게 구현하는 강력한 도구가 됩니다. 이러한 수치해석 기법은 건축물의 안전 진단부터 기상 예측에 이르기까지 우리 삶의 도처에 스며들어 있습니다. 다리를 건설할 때 어느 부분에 하중이 집중되는지 정확히 계산하여 설계를 보강하거나, 비행기 설계 시 공기 저항을 최소화하기 위한 난류 시뮬레이션에도 유한요소법이 필수적으로 사용됩니다. 최근에는 구글이나 마이크로소프트 같은 빅테크 기업들이 기존의 수치해석 방식에 인공지능을 결합하여 태풍의 경로를 예측하거나 기상 정보를 분석하는 등, 더욱 정교하고 빠른 예측 모델을 선보이며 과학 기술의 새로운 지평을 열고 있습니다. 인공지능과 수치해석학은 서로의 발전을 견인하는 상호보완적인 관계에 있습니다. 인공지능의 계산 능력을 빌려 수 주가 걸리던 복잡한 시뮬레이션 시간을 획기적으로 단축하는 연구가 진행 중이며, 반대로 수치해석적 기법을 통해 인공지능 모델의 수학적 근거를 마련하려는 움직임도 활발합니다. 특히 생성형 딥러닝 모델의 핵심 원리에 확률 편미분 방정식이 포함되어 있다는 점은 두 분야의 깊은 연관성을 잘 보여줍니다. 현대의 복잡한 고차원 문제를 해결하고 기술적 신뢰성을 확보하기 위해 두 학문의 하이브리드 협업은 앞으로 더욱 중요해질 전망입니다.

홍영준

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 수치해석학, 근사와 과학계산의 예술 1_by 홍영준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 5강 첫 번째 이야기 | 5강 ①

수치해석학은 현실의 복잡한 문제를 해결하기 위해 정확한 해 대신 근사해를 구하는 학문입니다. 우리가 흔히 수학이라고 하면 단 하나의 정답만을 떠올리기 쉽지만, 실제 세상의 문제들은 너무나 방대하고 복잡하여 수식만으로 완벽한 답을 내기 어려운 경우가 많습니다. 이때 수치해석학은 우리가 허용할 수 있는 오차 범위 내에서 가장 정답에 가까운 값을 찾아내는 길잡이 역할을 합니다. 단순히 값을 구하는 것에 그치지 않고, 그 근삿값이 실젯값과 얼마나 차이가 나는지 엄밀하게 분석하는 과정까지 포함하는 것이 이 학문의 본질입니다. 무리수인 루트 2를 예로 들면, 이는 소수점 아래로 무한히 이어지는 숫자입니다. 이를 이해하기 위해 수치해석에서는 점화식과 같은 알고리즘을 활용합니다. 특정 수식에 초기값을 대입하고 그 결과를 다시 대입하는 과정을 반복하면, 결괏값은 점차 루트 2의 실젯값에 무한히 가까워집니다. 이러한 반복적인 계산 과정은 수치해석의 가장 기초적이면서도 핵심적인 원리입니다. 현대에는 이러한 방대한 반복 계산을 컴퓨터가 대신 수행함으로써 과거에는 상상할 수 없었던 정밀한 수치 계산이 가능해졌으며, 이는 모든 공학적 설계의 기초가 됩니다. 수치해석학의 응용 분야는 우리 실생활과 밀접하게 맞닿아 있습니다. 포탄의 궤적을 계산하거나 인공위성을 쏘아 올릴 때, 혹은 심장의 혈류 흐름을 분석할 때도 수치해석적 기법이 필수적으로 사용됩니다. 특히 분야에 따라 허용되는 오차의 범위가 다르다는 점이 흥미롭습니다. 포탄의 경우 수십 센티미터의 오차가 큰 문제가 되지 않을 수 있지만, 의료 분야나 정밀 공학에서는 아주 미세한 오차도 치명적인 결과를 초래할 수 있습니다. 따라서 수치해석학은 상황에 맞는 정밀도를 확보하기 위해 오차의 크기를 수학적으로 엄격하게 관리하고 예측합니다. 기상 예보의 역사는 수치해석학의 발전 과정을 잘 보여주는 대표적인 사례입니다. 과거 아리스토텔레스 시대에는 구름의 모양을 보고 날씨를 예측하는 패턴 매칭 방식이 주를 이루었습니다. 하지만 19세기 이후 물리 법칙을 담은 방정식이 등장하면서 수치적인 접근이 시작되었습니다. 루이스 리처드슨은 6만 4천 명의 사람이 동시에 계산한다면 날씨를 예측할 수 있을 것이라는 거대한 상상을 하기도 했습니다. 이는 오늘날 슈퍼컴퓨터가 수행하는 복잡한 기상 수치 모델링의 원형이 되었으며, 현대 기상학이 과학적 예측의 영역으로 들어오는 결정적인 계기가 되었습니다. 현대 기상 예보의 핵심인 슈퍼컴퓨터는 폰 노이만의 에니악 등장 이후 비약적으로 발전했습니다. 우리나라도 독자적인 기상 예측 모델인 '한국형 수치예보모델(KIM)'을 개발하여 한국 지형의 특성에 최적화된 예보를 수행하고 있습니다. 기상 모델링은 자연계의 복잡한 현상을 수많은 변수로 표현해야 하기에 매우 난도가 높습니다. 관측 데이터의 오차와 모델 자체의 한계를 극복하며 정확도를 높여가는 과정은 수치해석학이 직면한 거대한 도전이자 성과입니다. 이는 단순한 계산을 넘어 국가적 기술력의 상징이자 재난 대비를 위한 필수적인 과학적 자산이라 할 수 있습니다. 구체적인 기법으로는 뉴턴-랩슨 방법과 수치 적분이 대표적입니다. 뉴턴-랩슨 방법은 비선형 방정식의 해를 찾기 위해 접선을 이용해 정답에 빠르게 접근하는 방식입니다. 반복할수록 오차가 제곱 단위로 줄어드는 놀라운 수렴 속도를 자랑합니다. 또한, 복잡한 곡선의 면적을 구하는 적분 역시 사다리꼴 공식이나 가우스-르장드르 구적법을 통해 효율적으로 계산할 수 있습니다. 이러한 기법들은 무한한 연속의 세계를 컴퓨터가 처리할 수 있는 유한한 이산의 세계로 변환하는 핵심 기술이며, 가성비 높은 계산을 가능하게 하여 공학적 효율성을 극복합니다. 마지막으로 오일러 방법은 미분 방정식을 푸는 가장 직관적인 수치 해법입니다. 시간의 흐름에 따른 변화를 작은 단위로 쪼개어 다음 단계의 상태를 예측하는 이 방식은 현대 인공지능의 기계 학습 원리와도 깊은 연관이 있습니다. 수치해석학은 정답이 없는 것이 아니라, 정답을 향해 끊임없이 다가가는 역동적인 학문입니다. 복잡한 현실 세계를 수학이라는 언어로 번역하고, 이를 다시 컴퓨터가 이해할 수 있는 수치로 바꾸는 이 과정은 미래 과학 기술 발전의 든든한 뿌리가 되고 있습니다. 수치해석은 결국 인간의 지혜를 컴퓨터의 연산력으로 치환하는 가교입니다.

홍영준

카오스재단카오스강연

수학

조화해석학, 음의 세계를 해부하다 | 3강 ①

조화해석학은 세상에 존재하는 모든 함수를 삼각함수, 즉 사인과 코사인 함수의 결합으로 표현할 수 있다는 가설에서 출발합니다. 이 학문은 고대 그리스 철학자 데모크리토스가 모든 물질이 원자로 이루어져 있다고 주장한 것처럼, 함수의 세계에서도 삼각함수가 일종의 '원자' 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 이러한 조화해석학의 기본 아이디어는 수학뿐 아니라 공학, 음악, 의료, 금융 등 다양한 분야에 응용되고 있습니다. 예를 들어, 피타고라스는 현악기의 진동을 통해 협화음의 원리를 밝혔고, 오늘날 전자악기는 단순음들의 결합 원리를 완전히 이해함으로써 개발될 수 있었습니다. 조화해석학의 응용은 음악을 넘어 지진파 분석, 의료 영상, 인공지능, 주식 시장 분석 등 실생활의 다양한 영역에서 발견됩니다. 예를 들어, 지진파를 사인 함수로 분해하면 지진의 발생 위치와 방식을 파악할 수 있고, CT 촬영에서는 여러 방향에서 얻은 정보를 조화해석학적으로 분해·합성하여 인체의 단면을 재구성합니다. 주식 시장의 가격 변동 역시 시간의 함수로 볼 수 있으며, 이를 사인 함수의 합으로 분해하면 시장의 본질적인 트렌드를 파악하는 데 도움이 됩니다. 이처럼 조화해석학은 복잡한 신호나 데이터를 단순한 구성 요소로 분해해 본질을 드러내는 강력한 도구입니다. 수학적으로는 입력값의 집합을 정의역, 출력값의 집합을 공역이라고 부르며, 함수는 이 두 집합 사이의 관계로 설명됩니다. 함수의 개념을 그래프로 시각화하면, 추상적인 수학적 관계를 보다 직관적으로 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 섭씨 온도를 화씨로 변환하는 공식 역시 함수의 한 예로, 이를 그래프로 나타내면 두 변수 사이의 선형 관계를 쉽게 파악할 수 있습니다. 삼각함수는 직각삼각형의 변의 길이와 각도의 관계에서 출발한 함수로, 사인과 코사인 함수가 대표적입니다. 이 함수들은 파동이나 진동 현상을 수학적으로 표현하는 데 매우 유용하며, 실제로 밧줄의 진동이나 용수철의 움직임 등 일상에서 쉽게 관찰할 수 있습니다. 삼각함수의 역사적 기원은 고대 알렉산드리아의 히파르코스까지 거슬러 올라가며, 대항해시대에는 항해술의 필수 도구로 활용되었습니다. 삼각함수의 이러한 특성은 조화해석학에서 복잡한 신호를 단순한 파동의 합으로 분해하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 삼각함수의 합성은 소리의 세계에서 흥미로운 현상을 만들어냅니다. 예를 들어, 440Hz와 441Hz의 소리를 동시에 들으면 맥놀이 현상이 발생하여 소리가 주기적으로 세졌다 약해졌다를 반복합니다. 이는 두 사인 함수를 더했을 때 나타나는 파형의 변화로 설명할 수 있습니다. 또한, 옥타브와 같은 음악적 개념도 진동수의 배수 관계에서 비롯되며, 이러한 원리는 공진 현상과도 연결됩니다. 공진은 외부에서 주기적인 힘이 가해질 때 시스템의 고유 주파수와 일치하면 진폭이 크게 증가하는 현상으로, 실제로 다리 붕괴와 같은 사고의 원인이 되기도 합니다. 조화해석학의 현대적 발전에는 프랑스 수학자 푸리에의 업적이 큰 역할을 했습니다. 푸리에는 열의 이동을 연구하면서 모든 함수를 사인과 코사인 함수의 합으로 표현할 수 있다는 가설을 세웠고, 이를 바탕으로 열 방정식을 풀 수 있었습니다. 열 방정식은 위치와 시간에 따라 온도가 어떻게 변하는지를 설명하는 편미분방정식으로, 조화해석학적 분해를 통해 복잡한 열의 이동을 단순한 파동의 합으로 분석할 수 있습니다. 푸리에의 이론은 이후 신호 처리, 잡음 제거, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 자리 잡았습니다. 조화해석학은 단순히 수학적 난제를 푸는 데 그치지 않고, 실생활의 복잡한 현상을 이해하고 예측하는 데 필수적인 역할을 합니다. 음악, 의료, 금융, 공학 등 다양한 분야에서 신호나 데이터를 분해하고 본질을 파악하는 데 활용되며, 현대 과학과 기술의 발전에 큰 기여를 하고 있습니다. 앞으로도 조화해석학은 새로운 문제를 해결하고, 세상을 더 깊이 이해하는 데 중요한 열쇠가 될 것입니다.

오창근

국립과천과학관카오스강연

수학

[강연] 미분방정식과 충격파? 그 충격적인 관계 1_by 배명진 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

알베르트 아인슈타인은 세상이 특정한 시스템으로 이루어져 있으며, 이를 이해하기 위해 방정식을 사용한다고 말했습니다. 우리가 마주하는 현실은 끊임없이 변화하는 복잡한 요소들로 가득 차 있지만, 수학은 그 이면의 질서를 포착해내는 강력한 도구가 됩니다. 특히 세상을 이해하는 데 필수적인 도구로 꼽히는 미분 방정식은 단순한 수식을 넘어 사회 현상이나 물리적 변화를 설명하고 미래를 예측하는 데 중요한 역할을 수행합니다. 이는 현대 과학이 세상을 바라보는 가장 정교한 렌즈라고 할 수 있습니다. 미분 방정식의 기초가 되는 미적분은 본래 움직이는 세계를 이해하기 위해 탄생했습니다. 일주일 동안의 몸무게 변화를 예로 들면, 매 순간의 변화량을 따지는 것이 미분이고 그 변화량을 합산하여 전체적인 추이를 파악하는 것이 적분의 개념입니다. 인구 변화에서도 매달 늘어나는 인구수는 미분으로, 이를 바탕으로 연말의 총인구를 예측하는 것은 적분으로 이해할 수 있습니다. 이처럼 미적분은 우리 주변에서 일어나는 모든 동적인 변화를 수치화하고 분석할 수 있는 기본 틀을 제공합니다. 미분 방정식은 관찰된 현상을 수식화하여 미래를 예측하는 것을 궁극적인 목적으로 합니다. 하늘을 나는 글라이더의 매 순간 속도를 측정하여 앞으로의 궤적을 추적하는 과정이 대표적인 예시입니다. 현재의 데이터를 바탕으로 어떤 일이 벌어질지 미리 계산해내는 이 과정은 과학적 탐구의 핵심이라 할 수 있습니다. 단순한 현상 기록에 그치지 않고, 수립된 모델을 통해 아직 도달하지 않은 미래의 상태를 논리적으로 도출해낸다는 점에서 미분 방정식은 실용적인 가치와 학문적 깊이를 동시에 지닙니다. 미분 방정식은 포함된 변수의 개수에 따라 크게 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉩니다. 상미분 방정식은 함수가 시간과 같은 단 하나의 변수에만 의존하는 경우를 다루며, 비교적 단순한 시스템의 흐름을 설명할 때 주로 사용됩니다. 반면 편미분 방정식은 시간뿐만 아니라 3차원 공간의 위치처럼 여러 변수를 동시에 고려해야 하는 복잡한 현상을 설명하는 데 필수적입니다. 우리가 사는 세계는 다차원적이기 때문에, 분석하려는 현상의 특성에 맞춰 적절한 방정식을 선택하는 것이 연구의 시작이 됩니다. 감염병 확산 모델인 SIR 모델은 상미분 방정식의 대표적인 활용 사례입니다. 이는 인구 집단을 감염 가능 대상자, 감염자, 회복자의 세 그룹으로 나누어 시간에 따른 변화를 추적합니다. 감염자 수의 변화량은 현재 감염자와 감염 가능 대상자의 비율에 따라 결정되며, 이를 통해 팬데믹의 정점이나 종식 시점을 예측할 수 있습니다. 이러한 수학적 모델링은 실제 통계 자료와 결합하여 사회적 위기 상황에서 방역 정책을 수립하고 판단을 내리는 중요한 과학적 근거가 되어줍니다. 공간적 확산을 설명할 때는 편미분 방정식이 등장합니다. 물에 떨어진 잉크가 퍼져 나가는 현상을 관찰할 때, 특정 지점의 농도는 시간의 흐름뿐만 아니라 공간상의 위치에 따라서도 달라집니다. 이때 시간에 따른 농도 변화와 공간에 따른 확산 비율 사이의 관계를 물리 법칙으로 정립한 것이 바로 편미분 방정식입니다. 3차원 유체의 흐름이나 열의 전달처럼 시공간이 복잡하게 얽힌 물리 현상을 정확하게 묘사하기 위해서는 이러한 다변수 미분 구조에 대한 깊이 있는 이해가 반드시 필요합니다. 마지막으로 미분 방정식은 구조에 따라 선형과 비선형으로 구분됩니다. 선형 방정식은 입렧값의 합이 결괏값의 합과 일치하는 중첩의 원리가 적용되어 비교적 해를 구하기 쉽고 예측이 명확합니다. 하지만 실제 자연 현상의 많은 부분은 변수들이 복잡하게 얽힌 비선형 구조를 띠고 있습니다. 비선형 방정식은 작은 변화가 예상치 못한 큰 결과를 초래하기도 하여 분석이 매우 까다롭지만, 현실 세계의 역동성을 가장 정밀하게 담아낼 수 있다는 점에서 현대 수학과 과학의 핵심적인 연구 대상이 됩니다.

배명진

카오스재단카오스강연

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[강연] 2018 필즈상 해설 강연 1일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 박지훈, 하승열 교수 | 2편

수학은 수천 년의 역사를 지닌 학문이지만, 여전히 우리에게 깊은 경외심과 동시에 막연한 두려움을 안겨줍니다. 세계 최고의 수학적 업적에 수여되는 필즈상은 단순히 개인의 천재성을 기리는 자리가 아니라, 인류가 지성의 한계를 어떻게 극복해왔는지를 보여주는 이정표입니다. 수학을 공부하며 마주하는 난해함은 피할 수 없는 과정이지만, 이를 지속적으로 접하며 익숙해지는 과정 자체가 수학적 사고의 핵심입니다. 부분적인 이해에서 시작해 전체적인 통찰로 나아가는 노력은 수학자뿐만 아니라 우리 모두에게 필요한 태도입니다. 2018년 필즈상 수상자인 코처 비르카는 대수기하학의 난제인 '파노 다양체의 유한성'을 증명하며 수학계에 큰 족적을 남겼습니다. 대수 다양체란 다변수 다항식의 해집합으로 이루어진 기하학적 구조를 의미하는데, 그중에서도 차수가 낮은 특수한 다양체를 파노 다양체라 부릅니다. 코처 비르카는 최소 모델 프로그램이라는 도구를 활용하여, 특정한 조건을 만족하는 파노 다양체의 종류가 유한하다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 복잡한 기하학적 대상들을 체계적으로 분류하고 이해하려는 수학자들의 오랜 꿈에 한 걸음 더 다가간 결과입니다. 수학적 발견은 결코 고립된 천재 한 명의 힘으로 이루어지지 않습니다. 코처 비르카의 업적 역시 델 페초와 지노 파노에서 시작되어 이스콥스키흐, 시게후미 모리 등으로 이어지는 거대한 학문적 흐름 위에 서 있습니다. 수많은 수학자가 쌓아 올린 이론적 토대와 협력의 문화가 있었기에 현대의 난제 해결이 가능했던 것입니다. 전 세계의 학자들이 이메일과 논문을 통해 실시간으로 소통하며 아이디어를 주고받는 개방적인 연구 환경은, 현대 수학이 과거보다 더욱 역동적으로 발전할 수 있는 원동력이 되고 있습니다. 또 다른 수상자인 알레시오 피갈리는 '최적 운송 이론'의 대가로 불립니다. 최적 운송 이론이란 자원을 한 분포에서 다른 분포로 옮길 때 비용을 최소화하는 방법을 연구하는 분야입니다. 18세기 가스파르 몽주가 제기한 모래 더미 옮기기 문제에서 시작된 이 이론은, 현대에 이르러 확률론과 편미분 방정식의 결합을 통해 비약적으로 발전했습니다. 알레시오 피갈리는 몽주-앙페르 방정식의 정칙성 문제를 해결함으로써, 추상적인 수학 이론이 실제 물리적 현상을 설명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 입증했습니다. 알레시오 피갈리의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 기상학, 유체 역학, 양자 역학 등 다양한 응용 분야에서 빛을 발하고 있습니다. 대기의 흐름을 설명하는 준지균 방정식을 3차원으로 확장하거나, 기하학적 부등식의 안정성을 증명하는 과정에서 최적 운송 이론은 핵심적인 역할을 수행합니다. 이는 복잡한 자연 현상 이면에 숨겨진 단순하고 아름다운 최적화 원리를 찾아내는 과정이기도 합니다. 수학적 통찰이 어떻게 타 학문과 상호작용하며 인류의 지식 지평을 넓히는지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다. 수학의 본질이 문제 풀이에 있는지, 아니면 새로운 이론을 정립하는 데 있는지에 대한 논의는 끊이지 않습니다. 어떤 수학자는 거대한 산을 정복하듯 난제를 해결하는 데 집중하고, 어떤 수학자는 산을 오르기 위한 길을 닦듯 정교한 이론 체계를 구축합니다. 중요한 것은 이 두 가지 접근 방식이 서로 보완하며 수학이라는 거대한 유기체를 성장시킨다는 점입니다. 난제 해결은 이론의 유효성을 검증하는 실험이 되고, 새로운 이론은 이전에 풀지 못했던 문제에 접근할 수 있는 새로운 시각을 제공합니다. 현대 사회에서 기하학을 비롯한 수학 교육의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 핵심 기술인 인공지능, 로봇 공학, 자율주행 등은 모두 고도의 기하학적 사고를 바탕으로 합니다. 수학은 단순히 공식을 암기하고 계산하는 학문이 아니라, 논리적인 체계를 세우고 세상을 바라보는 통찰력을 기르는 도구입니다. 학생들이 수학의 어려움에 매몰되기보다 그 이면에 숨겨진 질서와 조화를 발견하며 스스로 생각하는 힘을 기를 때, 비로소 수학은 우리 삶을 풍요롭게 만드는 지적 자산이 될 것입니다.

박지훈, 하승열

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

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