뇌모양

[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (2) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ②

비유클리드 기하학의 등장은 기존 수학계에 큰 혼란을 안겨주었지만, 리만이라는 수학자의 등장은 이를 체계화하고 확장하는 결정적인 계기가 되었습니다. 리만은 우리가 인지하는 3차원을 넘어 4차원, 5차원 이상의 고차원 공간을 수학적으로 다룰 수 있는 기틀을 마련했습니다. 그는 고차원에서도 거리와 각도를 정의하고 유클리드 공리의 성립 여부를 판단할 수 있는 '리만 공간'의 개념을 확립했습니다. 이러한 리만 기하학은 단순한 수학적 유희를 넘어, 훗날 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 정립하는 데 필수적인 학문적 근간이 되며 현대 물리학의 발전에 지대한 공헌을 하였습니다. 많은 이들이 4차원을 기괴하거나 신비로운 영역으로 오해하곤 하지만, 수학적 관점에서 차원은 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미합니다. 예를 들어 평면 위에 존재하는 모든 선분의 집합을 하나의 공간으로 정의한다면, 이는 4차원 공간이 됩니다. 선분 하나를 결정하는 양 끝점이 각각 평면 위에서 두 방향으로 자유롭게 움직일 수 있기 때문입니다. 이처럼 선분 하나를 공간 속의 점 하나로 간주하는 발상의 전환을 통해 우리는 고차원 공간을 명확하게 이해할 수 있습니다. 이러한 접근 방식은 추상적인 고차원 개념을 논리적이고 구체적인 대상으로 변모시키는 중요한 열쇠가 됩니다. 수학자들은 고차원을 넘어 무한 차원이나 분수 차원, 심지어 음수 차원의 공간까지 탐구하며 사고의 지평을 넓혀왔습니다. 연속 함수의 집합을 무한 차원 공간으로 보거나, 복잡한 구조를 가진 도형을 1.5차원과 같은 분수 차원으로 정의하는 식입니다. 언뜻 비현실적으로 들리는 이러한 시도들은 사실 기존의 방식으로는 해결할 수 없었던 복잡한 문제들을 풀기 위한 필연적인 선택이었습니다. 새로운 공간 개념을 도입함으로써 함수 간의 거리나 각도를 계산하고, 정수론의 난제를 해결하는 등 수학적 도구의 한계를 극복할 수 있었기 때문입니다. 이는 패러다임의 변화가 학문의 진보에 얼마나 큰 역할을 하는지 잘 보여줍니다. 비유클리드 기하학의 실체는 길이가 고정된 선분들의 집합을 통해서도 엿볼 수 있습니다. 평면 위에서 길이가 5 cm로 고정된 선분들을 모으면, 한 끝점의 움직임이 제한되어 3차원 공간을 형성하게 됩니다. 흥미로운 점은 이 공간이 우리가 흔히 아는 유클리드 공간이 아닌 비유클리드 공간이라는 사실입니다. 이 공간에서 두 선분의 평균을 구하려고 할 때, 단순히 양 끝점의 좌표를 산술 평균 내면 선분의 길이가 변하는 오류가 발생합니다. 이는 공간 자체가 휘어 있기 때문이며, 제대로 된 평균을 얻기 위해서는 공간의 곡률을 반영하여 최단 거리인 '측지선'을 따라 계산하는 비유클리드적 접근이 반드시 필요합니다. 이러한 기하학적 원리는 현대 의학의 데이터 분석과 같은 실질적인 분야에서 매우 중요하게 활용됩니다. 예를 들어 수많은 환자의 뇌 영상 데이터를 바탕으로 표준적인 '평균 뇌 모양'을 산출해야 할 때, 단순한 유클리드적 평균은 실제 존재할 수 없는 왜곡된 형태를 만들 위험이 있습니다. 뇌의 복잡한 구조를 고차원 비유클리드 공간의 점으로 이해하고 기하학적 특성을 고려하여 계산해야만 비로소 의학적으로 유의미한 표준 모델을 얻을 수 있습니다. 결국 비유클리드 기하학은 눈에 보이지 않는 추상적인 이론에 머무는 것이 아니라, 현실 세계의 복잡한 형상을 정확하게 이해하고 분석하기 위한 필수적인 도구라고 할 수 있습니다.