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[강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 2_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 두 번째 이야기 | 5강 ②

대수기하학은 이름 그대로 대수학과 기하학의 상호작용을 탐구하는 학문입니다. 중고등학교 시절 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구하거나, 이차 방정식의 근을 그래프로 확인하던 경험이 그 출발점이라 할 수 있습니다. 기하학적 문제를 대수적 방법으로 풀고, 반대로 대수적 문제를 기하학적 형상으로 시각화하여 해결하는 과정이 바로 대수기하학의 핵심입니다. 하지만 안타깝게도 현대 교육에서는 이러한 학문적 맥락보다는 단순한 문제 풀이에 집중하는 경향이 있어, 그 깊은 역사적 흐름과 본질적인 의미를 놓치기 쉽습니다. 이 학문의 역사는 인류 문명의 발달과 궤를 같이합니다. 고대 그리스의 탈레스는 피라미드의 높이를 구하기 위해 삼각형의 닮음이라는 기하학적 성질을 대수적 비례식으로 표현해냈습니다. 피타고라스 역시 직각삼각형이라는 기하학적 대상에서 세 변의 관계를 나타내는 대수적 방정식을 발견하며 세상의 질서를 설명하려 했습니다. 이후 유클리드는 당대의 수학적 지식을 집대성한 '기하학 원론'을 통해 논증 기하학의 기틀을 마련했습니다. 이처럼 고대 수학자들이 형상과 수 사이의 긴밀한 관계를 본능적으로 이해하고 이를 학문적 토대로 발전시켰습니다. 중세 유럽이 학문의 암흑기를 겪는 동안, 아시아와 이슬람 세계에서는 대수학이 눈부시게 발전했습니다. 알콰리즈미와 같은 수학자들에 의해 방정식의 해법이 체계화되었고, 이는 훗날 서구의 기하학 전통과 다시 만나게 됩니다. 17세기 데카르트는 좌표계라는 혁신적인 도구를 도입하여 대수학과 기하학 사이의 장벽을 완전히 무너뜨렸습니다. 그는 기하학적 대상을 방정식으로, 방정식을 좌표 평면 위의 도형으로 완벽하게 번역할 수 있는 사전을 제공했습니다. 이를 통해 수학은 추상적인 수식과 구체적인 형상이 하나로 통합되는 새로운 시대를 맞이하게 되었습니다. 현대 대수기하학의 주요 연구 대상은 '대수적 다양체'입니다. 이는 여러 개의 다항식을 동시에 만족하는 점들의 집합을 의미하며, 원이나 타원, 포물선 같은 곡선들이 대표적인 예시입니다. 대수기하학의 기초가 되는 베주 정리에 따르면, n차 곡선과 m차 곡선은 일반적으로 두 차수의 곱만큼의 점에서 만납니다. 예를 들어 이차 곡선인 원과 일차 곡선인 직선은 최대 두 점에서 만나게 됩니다. 이처럼 복잡한 기하학적 교차의 문제를 다항식의 차수라는 대수적 성질로 명쾌하게 설명해내는 것이 대수기하학이 가진 논리적 아름다움이자 강력한 힘입니다. 오늘날 대수기하학은 그 영토를 무한히 확장하며 수학의 핵심 분야로 자리 잡았습니다. 특히 최근 필즈상을 수상한 허준이 교수는 조합론적 구조 내에서 대수기하학적 원리를 발견하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 이는 대수기하학의 토대가 정수론을 넘어 조합론에 이르기까지 광범위하게 확장될 수 있음을 시사합니다. 비록 학문이 방대해지면서 세부 분야 간의 소통이 어려워지는 위기도 존재하지만, 전체를 관통하는 거대한 구조를 파악하려는 노력은 계속되고 있습니다. 대수기하학은 이제 인공지능 교육 등 실생활의 응용 분야로까지 뻗어 나가며 새로운 전성기를 구가하고 있습니다.