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[강연] 곡면의 수학, 미분기하학 탐험 2_by 최범준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 │4강 두 번째 이야기 | 4강 ②

기하학의 역사는 땅을 측정하는 것에서 시작되었지만, 현대 수학에서는 이를 최적화라는 개념과 연결하여 깊이 있게 다룹니다. 최적화란 특정 조건 아래에서 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 과정을 의미합니다. 평면 위의 두 점을 잇는 가장 짧은 경로가 직선이라는 자명한 사실부터, 정해진 둘레 안에서 가장 넓은 면적을 차지하는 도형을 찾는 문제까지 모두 기하학적 최적화의 범주에 속합니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 수학자들은 변분법이라는 도구를 사용하여 복잡한 도형의 성질을 분석하고 증명해 왔습니다. 정해진 둘레를 가진 도형 중 면적이 가장 넓은 것은 원입니다. 이는 직관적으로 대칭성이 높은 도형이 최적의 해가 될 가능성이 크다는 점을 시사합니다. 수학적으로는 오목한 부분을 볼록하게 펴거나 대칭화하는 과정을 통해 면적을 넓힐 수 있는데, 이를 슈타이너 대칭화라고 부릅니다. 모든 방향에서 동일하게 볼록한 원은 더 이상 면적을 넓힐 수 없는 극한의 상태에 도달한 결과물입니다. 이러한 기하학적 통찰은 단순히 계산을 넘어 공간이 가진 본질적인 효율성과 대칭의 아름다움을 이해하는 중요한 열쇠가 됩니다. 변분법은 미세한 변화를 주어도 전체적인 상태가 변하지 않는 지점을 찾는 학문입니다. 이는 마치 함수의 그래프에서 기울기가 0인 극점을 찾는 것과 유사합니다. 이 원리를 3차원 공간으로 확장하면 비누막과 같은 극소 곡면의 개념이 등장합니다. 비누막은 표면 장력에 의해 주어진 경계 안에서 면적을 최소화하려는 성질을 가집니다. 자연은 스스로 에너지를 최소화하는 방향으로 형태를 결정하며, 수학자들은 이를 통해 무한 차원의 공간에서도 최적의 해가 존재함을 증명해 냈습니다. 이는 자연의 효율성을 수학적으로 입증한 사례입니다. 극소 곡면의 대표적인 예로는 두 원형 철사 사이에 생기는 현수면이 있습니다. 이는 단순히 원통형을 이루는 것이 아니라, 허리 부분이 잘록하게 들어간 형태를 띱니다. 면적을 줄이려는 성질과 경사로 인해 면적이 늘어나는 성질 사이에서 절묘한 균형을 찾은 결과입니다. 수학적으로 극소 곡면은 두 주곡률의 합인 평균 곡률이 0이 되는 지점으로 정의됩니다. 한쪽은 위로, 다른 쪽은 아래로 볼록한 안장 형태를 띠며 어느 방향으로도 치우치지 않는 평형 상태를 유지하는 것입니다. 이러한 정교한 계산은 자연이 선택한 최적의 비율을 보여줍니다. 기하학적 최적화는 현대 수학의 난제를 해결하는 데에도 결정적인 역할을 했습니다. 대표적으로 푸앵카레 추측은 리치 흐름이라는 방정식을 통해 해결되었습니다. 이는 불규칙한 공간을 시간이 흐름에 따라 점점 균일하고 대칭적인 형태로 변화시켜 최적화하는 과정과 닮아 있습니다. 열이 퍼져 평형을 이루듯, 공간의 곡률을 고르게 펴서 구의 형태로 수렴시키는 이 방식은 미분 기하학의 강력한 힘을 증명했습니다. 결국 기하학은 단순한 측량을 넘어, 우주의 구조와 자연의 원리를 최적화라는 관점에서 바라보는 거대한 틀을 제공합니다.

최범준

카오스재단카오스강연

수학

[심화 강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 심화 | 1강

군론은 현대 수학의 시작을 알리는 중요한 학문으로, 단순히 대칭적인 상태를 관찰하는 것을 넘어 능동적인 '변환'을 연구하는 분야입니다. 정삼각형이나 정사각형과 같은 도형을 회전시키거나 반사시키는 움직임들을 모아놓은 것이 바로 군의 기초가 됩니다. 예를 들어 정삼각형은 여섯 가지의 대칭 변환을 가지며, 이러한 변환들을 하나의 집합으로 묶어 그들 사이의 관계를 분석합니다. 이는 대상을 고정된 상태로 보는 것이 아니라, 변화 가능성을 체계적으로 정리하여 수학적 구조를 파악하려는 시도라고 할 수 있습니다. 단순한 집합과 군을 구분 짓는 결정적인 요소는 바로 '이항 연산'의 존재입니다. 군은 원소들을 모아놓은 집합에 더해, 두 원소를 결합하여 새로운 결과를 만들어내는 이항 연산이 정의되어야 합니다. 삼각형의 대칭 변환을 예로 들면, 120도 회전시킨 후 다시 반사 대칭을 수행하는 연속적인 동작 자체가 하나의 연산이 됩니다. 이러한 연산의 결과가 항상 기존의 대칭 변환 범위 안에 머물러야 한다는 점이 군의 핵심적인 특징입니다. 즉, 군은 원소들 사이의 상호작용과 그 규칙성을 탐구하는 역동적인 수학적 체계라고 정의할 수 있습니다. 수학적으로 군이 성립하기 위해서는 네 가지 필수 조건을 만족해야 합니다. 첫째는 연산 결과가 집합 내에 머무는 '닫힘성'이며, 둘째는 연산 순서의 우선순위가 결과에 영향을 주지 않는 '결합 법칙'입니다. 셋째는 어떤 원소와 연산해도 자기 자신이 나오게 하는 '항등원'이 존재해야 하며, 마지막으로 모든 원소는 자신을 항등원으로 되돌릴 수 있는 '역원'을 가져야 합니다. 정수 집합에서 덧셈 연산은 이 네 조건을 모두 만족하여 군을 이루지만, 곱셈 연산은 역원이 정수 범위 내에 존재하지 않아 군이 될 수 없습니다. 이러한 엄밀한 조건들이 군론의 논리적 토대를 형성합니다. 군론의 세계에서 '단순군'은 자연수의 소수와 같은 역할을 합니다. 더 이상 정규 부분군으로 쪼개지지 않는 가장 기본적인 단위이기 때문입니다. 현대 수학의 거대한 업적 중 하나인 '유한 단순군의 분류'는 세상에 존재하는 모든 유한 단순군을 몇 가지 유형으로 정리한 작업입니다. 이 과정에서 한국의 위대한 수학자 이임학 교수님은 자신의 이름을 딴 '이임학 군(Ree Group)'을 발견하며 학계에 큰 족적을 남기셨습니다. 이는 복잡한 대칭 구조를 근본적인 원소들로 분해하여 이해하려는 수학자들의 끈질긴 노력이 결실을 본 사례라 할 수 있습니다. 유한 단순군의 분류가 완료되었다고 해서 군론의 연구가 끝난 것은 아닙니다. 화학의 주기율표가 완성된 것이 곧 화학의 끝이 아니듯, 분류된 군들을 조합하여 어떤 새로운 구조를 만들 수 있는지는 여전히 중요한 과제로 남아 있습니다. 오늘날 군론은 물리학, 통계학은 물론 인공지능과 빅데이터 분석의 핵심 도구인 행렬 연산 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다. 대칭의 아름다움 속에 숨겨진 진리를 탐구하는 이 학문은 마커스 듀 사토이의 '대칭'이나 이안 스튜어트의 '왜 아름다움은 진리인가'와 같은 저술을 통해 대중에게도 그 깊은 매력을 전달하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 1_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

일상에서 흔히 쓰이는 용어들이 수학의 세계에서는 전혀 다른 의미와 깊이를 지니는 경우가 많습니다. 예를 들어 '무리수'는 일상에서 이치에 맞지 않는 행동을 뜻하지만, 수학에서는 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 의미합니다. '함수' 역시 국어사전에서는 기능을 뜻하나, 수학에서는 상자 안에 무언가를 넣었을 때 결과가 나오는 '블랙박스'와 같은 구조를 상징합니다. 이러한 용어의 차이를 이해하는 것은 수학이라는 낯선 언어와 친해지는 첫걸음이 됩니다. 고대 그리스인들이 정수의 비율을 유리수로 여겼던 역사를 되짚어보면, 수학 용어 하나하나에 담긴 철학적 배경을 발견할 수 있습니다. 군론은 대칭을 연구하는 학문으로, 기하학적인 움직임을 대수적인 정보로 변환하는 강력한 도구입니다. 정사각형을 90도 회전시키거나 대각선을 축으로 뒤집는 행위는 단순한 움직임처럼 보이지만, 이를 표로 정리하면 정교한 곱셈 체계가 형성됩니다. 이 과정에서 결합 법칙과 같은 수학적 원리가 자연스럽게 드러나며, 복잡한 모양의 세계가 숫자의 세계로 치환됩니다. 컴퓨터는 사각형을 직접 보지 않고도 이 표를 통해 대칭성을 완벽하게 이해할 수 있습니다. 결국 군론은 눈에 보이는 형태의 변화를 추상적인 정보의 논리로 바꾸어 놓음으로써, 수학이 세상을 바라보는 독특한 방식을 보여줍니다. 인류가 방정식의 해를 구하기 위해 노력해 온 역사는 무려 4,000년에 달합니다. 기원전 2000년경부터 시작된 이 여정은 서기 200년경 디오판토스가 등장하며 커다란 전환점을 맞이했습니다. 그가 저술한 '산학(Arithmetica)'은 추상 대수학의 초기 형태를 제시하며 유럽 수학 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다. 방정식을 푼다는 것은 단순히 미지수의 값을 찾는 행위를 넘어, 수의 체계와 논리적 구조를 탐구하는 과정입니다. 3차 이상의 고차 방정식으로 넘어갈수록 수학자들조차 어려움을 겪었지만, 이러한 도전은 수천 년 동안 수학적 사고를 확장하는 원동력이 되었습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나로, 디오판토스의 책 여백에 남겨진 짧은 메모에서 시작되었습니다. 앤드루 와일스가 이를 최종적으로 증명하기까지 350년이라는 긴 시간이 걸렸으며, 그 과정은 결코 순탄치 않았습니다. 와일스 역시 초기 증명에서 오류가 발견되는 시련을 겪었으나, 동료와 제자의 도움을 받아 이를 극복해 냈습니다. 이는 수학이 천재 한 명의 고독한 작업이 아니라, 세대를 거쳐 지식을 공유하고 보완하는 협력의 산물임을 보여줍니다. 완벽해 보이는 수학적 증명 뒤에는 인간적인 실수와 이를 바로잡으려는 끈질긴 노력이 숨어 있습니다. 디오판토스가 제시한 문제들은 현대 수학의 핵심 분야인 타원 곡선 이론으로 이어집니다. 주어진 수를 특정 조건에 맞게 나누는 고대의 질문들이 오늘날 정수론과 기하학이 만나는 지점을 형성한 것입니다. 수학은 과거의 문제를 해결하는 과정에서 새로운 이론을 탄생시키며 끊임없이 진화합니다. 페르마가 고민했던 정수해의 존재 여부는 이제 타원 곡선의 성질을 탐구하는 고도의 학문적 영역으로 확장되었습니다. 이처럼 수천 년 전의 방정식에서 시작된 탐구는 현대 수학의 지평을 넓히는 밑거름이 되었으며, 우리가 세상을 이해하는 논리적 틀을 더욱 견고하게 만들어 줍니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 2_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 두 번째 이야기 | 1강 ②

군론은 현대 대수학의 핵심적인 분야로, 집합과 그 위에서 정의된 이항 연산이 특정 조건을 만족하는 구조를 연구하는 학문입니다. 흔히 인공지능이나 교과서에서는 이를 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 역원이라는 네 가지 기본 조건으로 설명하곤 합니다. 하지만 수식 너머의 군론은 단순히 추상적인 기호의 나열이 아니라, 우리 주변의 대칭성과 패턴을 수학적으로 체계화한 강력한 도구입니다. 이는 수학뿐만 아니라 물리학, 컴퓨터과학 등 다양한 학문에서 구조를 이해하는 열쇠로 활용됩니다. 일상에서 대칭은 균형과 안정감을 의미합니다. 건축물의 견고함이나 생명체의 세포 분열 과정에서도 대칭은 필수적인 요소로 작용하며, 군론은 이러한 대칭이라는 직관적인 개념을 수학적으로 정의합니다. 예를 들어 정삼각형을 회전시키거나 뒤집어도 모양이 유지되는 모든 이동 방법을 모아놓은 것이 바로 대칭군입니다. 480도 회전이 120도 회전과 같다는 통찰처럼, 군론은 복잡한 변화 속에서도 변하지 않는 본질적인 구조를 찾아내어 세상을 더 단순하고 명확하게 바라보게 합니다. 방정식의 해를 구하는 과정에도 대칭의 원리가 숨어 있습니다. 이차방정식의 근의 공식에 나타나는 플러스-마이너스 기호는 해의 대칭성을 상징하며, 고차 방정식으로 갈수록 근들은 복소평면 위에서 정다각형과 같은 기하학적 구조를 이룹니다. 흥미로운 점은 5차 이상의 방정식에는 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실입니다. 이는 정다면체가 우주에 단 다섯 개뿐인 것처럼, 대칭 구조 자체가 가진 복잡성과 한계 때문에 발생하는 수학적 필연성을 보여주는 대표적인 사례입니다. 군론의 응용 범위는 상상을 초월하여 우리 삶의 도처에 스며들어 있습니다. 화학에서는 다이아몬드나 흑연의 분자 구조를 분석하여 물질의 안정성을 파악하고, 생물학에서는 바이러스의 대칭적인 복제 메커니즘을 이해하는 데 쓰입니다. 특히 디지털 통신 분야의 오류 정정 부호는 군론의 정수라 할 수 있습니다. 데이터 전송 중 발생하는 손상을 대칭 구조를 통해 감지하고 복원함으로써, 우리가 매일 사용하는 메신저나 동영상 스트리밍이 정확하게 전달될 수 있도록 돕는 핵심적인 역할을 수행합니다. 한국이 낳은 세계적인 수학자 이임학 교수는 군론의 역사에 거대한 족적을 남겼습니다. 그는 모든 유한군의 기본 단위가 되는 '유한 단순군' 연구에 기여하며, 자신의 이름을 딴 '이 군(Ree groups)'을 발견했습니다. 이는 화학의 주기율표에서 새로운 원소를 찾아낸 것과 비견되는 업적으로, 150년 넘게 이어진 거대 프로젝트의 핵심 퍼즐을 맞춘 것입니다. 이처럼 군론은 보이지 않는 곳에서 우주의 질서를 설명하며, 추상적인 논리가 어떻게 현실의 기술과 과학으로 연결되는지를 완벽하게 증명하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[석학인터뷰] 김상욱_ 이론물리학자를 바보로 만드는 방법이 있다? | 2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體'

과학자는 합리적인 사고방식을 통해 사회에 기여할 수 있는 존재입니다. 우리 사회가 겪어온 여러 어려움 속에서 과학이 수행해야 할 중요한 역할은 사람들이 세상을 더 이성적으로 바라보게 돕는 것입니다. 과학적 사고는 단순히 지식을 전달하는 것을 넘어, 현상을 객관적으로 분석하고 판단하는 태도를 길러줍니다. 이러한 합리성이 사회 전반에 뿌리내릴 때 우리는 비로소 더 나은 미래를 향해 나아갈 수 있습니다. 과학의 본질은 결국 세상을 이해하려는 인간의 의지와 맞닿아 있으며, 이는 우리 공동체의 성숙을 이끄는 밑거름이 됩니다. 양자역학의 핵심은 우리가 대상에 대해 모든 것을 완벽하게 알 수 없다는 '본질적인 무지'에 있습니다. 빛이 입자와 파동의 성질을 동시에 갖는 상보성 원리는 인간의 이해력을 넘어서는 자연의 근본적인 모습입니다. 과학자들은 우리가 관측할 수 있는 것만을 토대로 대상을 기술하는 실용적인 입장을 취합니다. 대상의 완벽성을 가정하기보다, 우리가 알 수 없는 부분은 남겨둔 채 이해 가능한 영역 안에서 최선을 다해 우주를 설명하려 노력합니다. 이러한 태도는 지식의 한계를 인정하면서도 진리를 추구하는 과학의 겸손함을 보여줍니다. 물리학자들은 미시 세계를 다루는 양자역학이 결국 거시 세계의 고전 역학까지 모두 설명할 수 있을 것이라고 믿습니다. 비록 수학적으로 이를 완벽하게 증명하고 실생활에 적용하는 과정은 매우 복잡하고 어렵지만, 새로운 이론은 언제나 이전의 이론을 포함하며 발전해 왔습니다. 현재 물리학이 직면한 과제는 이 두 세계 사이의 관계를 더욱 매끄럽고 실용적으로 연결하는 것입니다. 모든 물질에 적용되는 보편적인 법칙을 찾아내려는 노력은 우주의 질서를 하나로 통합하려는 과학자들의 오랜 꿈이자 끊임없는 도전 과제이기도 합니다. 우주는 멈춰 있는 것처럼 보이지만 사실 끊임없이 진동하고 있습니다. 물리학에서 대칭은 에너지나 질량 보존 법칙과 같은 중요한 원리들과 깊이 연결되어 있으며, 이는 우주를 기술하는 법칙의 근간이 됩니다. 또한 우리가 보는 물질은 겉보기에 꽉 차 있는 듯해도 실제로는 대부분 텅 빈 공간으로 이루어져 있습니다. 동시에 그 빈 공간은 눈에 보이지 않는 전자기장이나 중력장과 같은 '장'으로 가득 차 있습니다. 이처럼 우주는 맥락에 따라 텅 비어 있기도 하고 꽉 차 있기도 한 역설적이고도 흥미로운 공간입니다. 시간은 물리학에서 가장 기본이 되는 개념 중 하나이지만, 역설적으로 그 본질이 무엇인지에 대해서는 여전히 명확한 답을 내리지 못하고 있습니다. 시간과 공간을 바탕으로 물질의 이론을 구축해 왔음에도 불구하고, 시간의 정체는 이론물리학자들에게도 가장 어려운 질문으로 남아 있습니다. 시간을 이해하려는 노력은 단순히 물리 법칙을 탐구하는 것을 넘어 종교와 예술 등 인류가 쌓아온 지혜를 총동원해야 하는 거대한 작업입니다. 인간이 시간을 바라보는 총체적인 모습을 정리하는 과정은 우주의 신비에 한 걸음 더 다가가는 계기가 될 것입니다.

김상욱

카오스재단카오스강연

물리학

[강연] 분자 관람 : 공학의 미학 _ by이동환｜2018 가을 카오스 강연 '화학의 미스터리, CheMystery' 7강 | 7강 ①

화학은 단순히 반응식의 양쪽 숫자를 맞추는 학문이 아닙니다. 원자들이 모여 새로운 성질을 갖는 분자를 만들어내는 '분자 공학'의 영역에 가깝습니다. 여기서 공학이란 단순히 무언가를 만드는 기술을 넘어, 공간(空間)에 대한 깊은 탐구와 이해를 바탕으로 합니다. 보이지 않는 미시 세계에서 원자들이 어떤 위치에 놓이고 어떻게 연결되는지를 설계하는 과정은 마치 정교한 건축물을 짓는 것과 같습니다. 이러한 관점에서 화학은 물질의 정체성을 규정하는 공간의 학문이라 할 수 있습니다. 복잡해 보이는 분자 구조 속에는 의외로 단순한 규칙과 패턴이 숨어 있습니다. 네덜란드의 예술가 에셔의 작품이나 알함브라 궁전의 테셀레이션처럼, 기본 단위의 반복과 대칭을 통해 무한한 공간을 채워나가는 원리가 화학 세계에도 적용됩니다. 1억 개가 넘는 방대한 화학 물질 데이터베이스 속에서도 과학자들이 끊임없이 새로운 분자를 설계할 수 있는 이유는 이러한 대칭의 미학을 이해하고 활용하기 때문입니다. 복잡함은 결국 패턴을 읽어내는 눈을 통해 질서 정연한 아름다움으로 변모합니다. 분자의 세계를 이해하기 위해서는 2차원 평면을 넘어 3차원 공간의 대칭성을 파악해야 합니다. 점, 선, 면을 기준으로 물체를 회전시키거나 반사했을 때 전후가 구별되지 않는 상태를 대칭적이라고 합니다. 눈 결정의 육각형 구조에서 볼 수 있듯이, 자연은 고도의 규칙성을 통해 안정과 미학을 동시에 달성합니다. 화학자들은 이러한 대칭 요소를 수학적으로 분석하여 분자가 공간에서 어떻게 살아 움직이는지, 그리고 어떤 방향성을 가지고 상호작용하는지를 정밀하게 예측하고 설계합니다. 거울에 비친 모습과 실제 모습이 겹쳐지지 않는 '카이랄성'은 화학에서 매우 중요한 개념입니다. 왼손과 오른손처럼 구조는 같아 보이지만 공간적 배열이 다른 이 분자들은 우리 몸속에서 전혀 다르게 작용합니다. 어떤 분자는 달콤한 맛을 내지만 그 거울상 이성질체는 쓴맛을 내기도 하며, 때로는 치명적인 부작용을 일으키는 약물이 되기도 합니다. 우리 몸을 구성하는 DNA와 아미노산이 특정한 방향성을 갖기 때문에 발생하는 이러한 현상은 생명의 신비와 화학적 정교함이 만나는 지점입니다. 최근 화학계는 원자와 원자가 전자를 공유하는 전통적인 결합을 넘어, 고리와 고리가 기계적으로 얽힌 '기계적 결합'에 주목하고 있습니다. 분자 매듭이나 카테네인처럼 서로 빠져나올 수 없게 연결된 구조는 외부 신호에 따라 움직이는 분자 기계의 기초가 됩니다. 이는 화학 결합의 개념을 확장한 사고의 전환이며, 전자의 움직임을 제어하여 분자 수준에서 회전이나 직선 운동을 구현하는 혁신적인 시도입니다. 이러한 기계적 결합은 분자가 단순한 물질을 넘어 기능을 수행하는 도구가 될 수 있음을 보여줍니다. 복잡한 분자를 합성하는 과정은 목적지를 향해 거꾸로 길을 찾아가는 '역합성 분석'에서 시작됩니다. 최종 생성물을 만들기 위해 어떤 중간 단계가 필요한지, 가장 효율적이고 창의적인 경로는 무엇인지를 고민하는 과정은 고도의 논리적 사고를 요구합니다. 최근에는 인공지능이 방대한 데이터를 바탕으로 합성 경로를 제안하기도 하지만, 예상치 못한 실패 속에서 새로운 반응을 발견하고 원리를 깨닫는 것은 여전히 인간 화학자의 몫입니다. 합성은 단순한 제조가 아니라 문제를 해결하는 철학적 훈련이기도 합니다. 합성 화학의 거장 우드워드는 분자 합성을 단순한 기술이 아닌 '예술(Art)'의 경지로 끌어올렸습니다. 자연계에 존재하는 복잡한 비타민이나 엽록소를 실험실에서 재현하려는 노력은 물질이 부족해서가 아니라, 자연의 원리를 깊이 이해하고 인간의 창의성을 시험하기 위한 여정이었습니다. 화학자들은 보이지 않는 분자 세계의 건축가이자 예술가로서, 널리 인간을 이롭게 하고 생명의 신비를 밝히는 아름다운 구조물을 만들어갑니다. 결국 화학은 공간을 이해하고 생명을 따라 그리며 지식을 공유하는 학문입니다.

이동환, 이윤호

카오스재단카오스강연

화학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (4) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ④

회전판의 대칭성을 이용하면 정수론의 난제를 해결할 수 있는 실마리를 얻게 됩니다. 다섯 칸으로 나뉜 회전판을 두 가지 색으로 칠하는 경우의 수를 따져보면, 모든 칸이 같은 색인 경우를 제외한 나머지 조합들이 회전 대칭에 의해 5의 배수로 묶이는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 군의 대칭성은 페르마의 소정리를 증명하는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 구조인 군을 통해 수의 성질을 파악하는 방식은 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나로 자리 잡고 있습니다. 군론의 핵심 개념인 '작용'과 '표현'은 수학적 대상을 바라보는 시각을 획기적으로 확장합니다. 모든 대상을 변화와 함수로 이해하려는 시도가 작용이라면, 이를 행렬과 벡터의 언어로 구체화하여 분석하는 것이 표현론입니다. 특히 표현론은 선형대수학의 틀 안에서 대칭성을 연구하며 수학적 구조를 더욱 명확하게 드러냅니다. 벡터 공간이라는 무대 위에서 군의 성질을 표현함으로써, 우리는 추상적인 대칭성을 계산 가능한 형태로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 결정적인 역할을 한 것도 바로 이 '표현'의 개념이었습니다. 타원 곡선과 모듈러 형식 사이의 관계를 증명하는 과정에서 연속 표현의 존재는 수학적 진실을 밝히는 핵심 열쇠가 되었습니다. 표현을 만들어낸다는 것은 대칭성을 이용해 복잡한 대상을 설명할 수 있는 기반을 마련하는 일과 같습니다. 이는 단순한 수치 계산을 넘어 서로 다른 수학적 세계를 잇는 가교 역할을 수행하며 정수론의 비약적인 발전을 이끌었습니다. 표현론은 현대 물리학의 표준 모형을 정립하는 데에도 필수적인 토대를 제공했습니다. 머리 겔만은 SU(3)라는 군의 표현을 연구하여 쿼크의 존재를 예측했고, 이는 소립자 물리학의 혁명으로 이어졌습니다. 전자기력, 약력, 강력은 각각 특정 군의 표현으로 설명되며, 현재 물리학자들은 중력까지 아우르는 '모든 것의 이론'을 꿈꾸며, 수학적 대칭성을 통해 우주의 근본 원리를 통합하려는 거대한 도전을 이어가고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 현대 수학의 '대통일 이론'이라 불리며 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 지도의 역할을 수행합니다. 에를랑겐 프로그램의 정신을 계승하여 군의 표현론을 통해 정수론, 대수기하학, 해석학 사이의 깊은 연관성을 탐구하는 것이 이 프로그램의 핵심입니다. 이 거대한 추측들이 해결된다면 우리는 수학의 각 분야를 개별적으로 이해하는 것을 넘어, 하나의 통합된 체계 안에서 바라볼 수 있게 됩니다. 이는 수학적 지식의 지평을 근본적으로 확장하는 시도입니다. 현대 수학의 대양과 같은 랭랜즈 프로그램을 탐험하기 위해서는 다양한 분야의 전문 지식과 긴밀한 협업이 필수적입니다. 정수론, 표현론, 기하학 등 각기 다른 전공을 가진 수학자들이 서로의 지혜를 모아 공동 연구를 진행함으로써 새로운 진보를 이뤄내고 있습니다. 비록 가야 할 길이 멀고 험난할지라도, 이러한 학문적 융합은 수학을 발전시키는 강력한 원동력이 됩니다. 랭랜즈 프로그램은 단순한 연구의 종착역이 아니라, 더 넓은 진리를 향해 나아가는 새로운 시작점이라 할 수 있습니다. 수학적 추측이 때로는 한계에 부딪히거나 예상치 못한 방향으로 흐르더라도, 그 탐구 과정 자체가 인류 지성의 위대한 승리라는 점은 변하지 않습니다. 힐베르트 프로그램이 불완전성 정리에 의해 도전을 받았음에도 수학이 더욱 풍성해졌듯, 랭랜즈 프로그램 역시 우리에게 우주의 질서에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 인간이 지닌 이해의 한계를 확인하고 그 너머를 상상하는 도전은 멈추지 않을 것입니다. 이러한 끊임없는 탐구 정신이야말로 수학이 지닌 진정한 가치이자 아름다움입니다.

신석우, 정경훈

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 세상 속의 수數다 (6) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ⑥

자연수를 여러 수의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 정수 분할 문제는 수학에서 매우 흥미로운 주제입니다. 생성함수를 활용하면 복잡해 보이는 분할의 가짓수를 지수 법칙을 통해 체계적으로 관리할 수 있습니다. 예를 들어, 특정 조건을 만족하는 홀수나 짝수만의 합으로 자연수를 구성하는 방법도 생성함수의 계수를 통해 명확히 드러납니다. 이러한 방식은 복잡한 조합론적 문제를 대수적인 계산으로 변환하여 해결하는 강력한 도구가 되며, 서로 다른 자연수의 합과 홀수의 합이 같다는 놀라운 일대일 대응을 증명하는 데에도 핵심적인 역할을 수행합니다. 정수 분할 생성함수는 단순히 숫자의 나열을 넘어 현대 물리학의 분할 함수와도 깊은 연관을 맺고 있습니다. 여기에 특정 지수를 곱하면 수학과 물리학에서 중요하게 다뤄지는 데데킨트 에타 함수가 되는데, 이는 복소수 범위에서 주기성을 가지는 모듈러 형식의 일종입니다. 이러한 수학적 구조는 에셔의 예술 작품인 '원의 한계' 시리즈에서 시각적으로 잘 나타납니다. 원 안에서 반복되는 대칭성과 주기성은 추상적인 수학 공식이 가진 아름다움을 우리 눈앞에 생생하게 펼쳐 보이며, 수학과 예술이 만나는 지점에서 발생하는 경이로운 질서를 확인시켜 줍니다. 인도의 천재 수학자 라마누잔은 정수 분할의 근사치를 구하는 공식을 발견했을 뿐만 아니라, 원주율(π)을 계산하는 혁신적인 무한 합 공식을 제시했습니다. 과거에는 건축을 위해 소수점 몇 자리 정도의 정확도면 충분했지만, 현대의 로켓 궤도 계산이나 정밀 공학에서는 훨씬 높은 정확도가 요구됩니다. 라마누잔의 공식은 항을 하나씩 더할 때마다 소수점 아래 여덟 자리가 정확해질 정도로 수렴 속도가 매우 빠릅니다. 이 공식은 오늘날 슈퍼컴퓨터의 성능을 시험하는 알고리즘의 기초가 되어, 수십 년의 세월을 뛰어넘어 현대 과학 기술의 발전에 결정적으로 기여하고 있습니다. 수학자가 되는 과정은 거창한 계기보다 가랑비에 옷 젖듯 자연스럽게 이루어지기도 합니다. 소수가 무한하다는 증명을 한 달 동안 곱씹으며 느꼈던 경이로움이나, 복소평면 위에서 수의 세계가 확장되는 것을 목격했을 때의 전율은 수학만이 줄 수 있는 특별한 경험입니다. 하지만 최근 교육 과정에서 복소평면이나 잉여류 같은 영감을 주는 주제들이 제외되는 현실은 아쉬움을 남깁니다. 단순히 쉬운 문제를 푸는 기술을 익히는 것을 넘어, 수의 체계가 확장될 때 세상이 함께 넓어지는 느낌을 받는 것이야말로 수학 공부의 진정한 묘미이자 미래의 수학자들에게 필요한 영감이기 때문입니다. 성인이 되어 다시 접하는 수학은 시험을 위한 도구가 아니라 마음을 다스리는 지적인 취미가 될 수 있습니다. 수학 문제를 푸는 과정은 뜨개질이나 악기 연주처럼 잡념을 없애고 감정을 차분하게 가라앉히는 효과가 있습니다. 수학은 본질적으로 자기주도적인 학습이기에, 타인의 설명에 의존하기보다 스스로 개념을 체화하며 연습하는 과정에서 깊은 성취감을 느낄 수 있습니다. 바쁜 일상 속에서도 수학적 사고를 즐기며 세상을 바라보는 통찰력을 기른다면, 나이와 상관없이 수학이 주는 즐거움을 평생 누릴 수 있으며 이는 삶을 더욱 풍요롭게 만드는 소중한 자산이 될 것입니다.

강순이, 고계원

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 분자미개학론 _ 이동환 교수 | 2016 서울대 자연과학대학 공개강연 '무질서에서 질서로' (2) | 1강

화학이라고 하면 흔히 복잡한 반응식과 원소 기호가 가득한 교과서를 떠올리기 쉽습니다. 하지만 화학의 진정한 매력은 눈에 보이지 않는 미시 세계에서 원자들이 결합하여 만들어내는 정교하고 아름다운 모양에 있습니다. 단순한 식의 나열을 넘어 분자 속에 감추어진 기하학적 아름다움을 발견하는 과정은 마치 예술 작품을 감상하는 것과 같습니다. 화학자는 이 복잡한 구조 속에서 질서를 찾아내고, 그 형태가 지닌 고유한 가치를 탐구하며 보이지 않는 세계의 미학을 정립하는 사람입니다. 복잡함이란 무엇일까요? 수십 획에 달하는 한자처럼 단순히 얽혀 있는 상태를 넘어, 그 안에 숨겨진 규칙을 발견할 때 우리는 새로운 시각을 갖게 됩니다. 네덜란드의 판화가 에셔의 작품처럼 단순한 단위 구조가 반복되며 평면을 가득 채우는 테셀레이션은 복잡함 속의 질서를 잘 보여줍니다. 대칭성 또한 중요한 요소입니다. 어떤 물체를 회전시키거나 반사했을 때 변화를 느끼지 못하는 상태, 즉 완벽한 균형을 이루는 구조는 분자 세계에서도 가장 아름다운 형태로 꼽히며 과학적 탐구의 대상이 됩니다. 세상에서 가장 대칭적인 분자로 알려진 '풀러렌'은 탄소 60개가 모여 축구공 모양을 이루는 독특한 구조를 가집니다. 1985년 발견된 이 분자는 우주 공간의 성간 물질을 연구하는 과정에서 그 존재가 드러났으며, 이후 노벨 화학상의 영예를 안겨주었습니다. 자연이 설계한 이 완벽한 구형 구조는 탄소 원자들이 가장 안정적으로 존재할 수 있는 최적의 형태를 보여줍니다. 이는 우리가 자연의 섭리를 이해하고 미시 세계의 질서를 파악하는 과정에서 마주하는 가장 경이로운 모델 중 하나라고 할 수 있습니다. 화학자는 자연에 존재하는 분자를 발견하는 데 그치지 않고, 새로운 구조를 설계하고 만들어내는 건축가이기도 합니다. 육각형의 벤젠 고리를 이어 붙여 왕관 모양의 코로넨을 만들거나, 평면의 그래핀을 넘어 입체적인 구조를 구상합니다. 이 과정은 마치 정교한 설계도를 따라 건물을 짓거나 레고 블록을 조립하는 것과 비슷합니다. 비록 당장의 실용적인 용도가 눈에 보이지 않더라도, 복잡한 문제를 해결하며 새로운 합성 경로를 찾아내는 과정 자체가 과학적 진보를 이끄는 핵심적인 동력이 됩니다. 평면적인 구조를 넘어 오목한 사발 모양의 '수마넨'과 같은 분자를 만드는 것은 화학자들에게 큰 도전입니다. 탄소 원자들은 본래 평평하게 배열되려는 성질이 있지만, 오각형 구조를 적절히 배치하면 전체적인 모양이 구부러지며 입체감을 갖게 됩니다. 이러한 곡률을 완벽하게 제어하여 예쁜 그릇 모양의 분자를 합성하는 것은 고도의 정밀함이 요구되는 작업입니다. 이는 단순한 발견의 영역을 넘어 인간의 지성과 기술로 새로운 형태를 창조하는 발명의 영역으로 나아가는 화학의 창의적인 면모를 보여줍니다. 분자의 아름다움은 형태를 넘어 생명 현상을 유지하는 정교한 기능으로도 이어집니다. 우리 몸의 신경 신호를 전달하는 이온 통로 단백질이 대표적인 예입니다. 이 거대한 분자는 칼륨 이온과 나트륨 이온의 미세한 크기 차이를 감지하여 특정 이온만을 선택적으로 통과시킵니다. 단백질 내부의 산소 원자들이 물 분자의 역할을 대신하며 이온을 안내하는 과정은 자연이 설계한 정교한 밸브 시스템과 같습니다. 이러한 메커니즘은 분자의 구조가 곧 생명 활동의 핵심적인 기능임을 증명하는 사례입니다. 자연은 거대한 구조를 만들 때 효율적인 모듈화 방식을 선택합니다. 이온 통로 단백질이 네 개의 동일한 조각이 모여 완성되듯, 작은 단위체의 반복과 조합을 통해 복잡한 생명 시스템을 구축하는 것입니다. 이는 대량 생산과 유지 보수가 용이한 합리적인 설계 방식이기도 합니다. 결국 분자 세계의 복잡함 속에는 언제나 명확한 규칙과 질서가 숨어 있습니다. 그 규칙을 이해하고 새로운 질서를 창조해 나가는 과정이 바로 과학자가 꿈꾸는 끊임없는 도전이자 미시 세계에서 찾아내는 진정한 아름다움입니다.

이동환

카오스재단서울대자연과학공개강연

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