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[강연] 군론, 수의 개념을 확장하다 1_by 김민형 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

일상에서 흔히 쓰이는 용어들이 수학의 세계에서는 전혀 다른 의미와 깊이를 지니는 경우가 많습니다. 예를 들어 '무리수'는 일상에서 이치에 맞지 않는 행동을 뜻하지만, 수학에서는 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 의미합니다. '함수' 역시 국어사전에서는 기능을 뜻하나, 수학에서는 상자 안에 무언가를 넣었을 때 결과가 나오는 '블랙박스'와 같은 구조를 상징합니다. 이러한 용어의 차이를 이해하는 것은 수학이라는 낯선 언어와 친해지는 첫걸음이 됩니다. 고대 그리스인들이 정수의 비율을 유리수로 여겼던 역사를 되짚어보면, 수학 용어 하나하나에 담긴 철학적 배경을 발견할 수 있습니다. 군론은 대칭을 연구하는 학문으로, 기하학적인 움직임을 대수적인 정보로 변환하는 강력한 도구입니다. 정사각형을 90도 회전시키거나 대각선을 축으로 뒤집는 행위는 단순한 움직임처럼 보이지만, 이를 표로 정리하면 정교한 곱셈 체계가 형성됩니다. 이 과정에서 결합 법칙과 같은 수학적 원리가 자연스럽게 드러나며, 복잡한 모양의 세계가 숫자의 세계로 치환됩니다. 컴퓨터는 사각형을 직접 보지 않고도 이 표를 통해 대칭성을 완벽하게 이해할 수 있습니다. 결국 군론은 눈에 보이는 형태의 변화를 추상적인 정보의 논리로 바꾸어 놓음으로써, 수학이 세상을 바라보는 독특한 방식을 보여줍니다. 인류가 방정식의 해를 구하기 위해 노력해 온 역사는 무려 4,000년에 달합니다. 기원전 2000년경부터 시작된 이 여정은 서기 200년경 디오판토스가 등장하며 커다란 전환점을 맞이했습니다. 그가 저술한 '산학(Arithmetica)'은 추상 대수학의 초기 형태를 제시하며 유럽 수학 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다. 방정식을 푼다는 것은 단순히 미지수의 값을 찾는 행위를 넘어, 수의 체계와 논리적 구조를 탐구하는 과정입니다. 3차 이상의 고차 방정식으로 넘어갈수록 수학자들조차 어려움을 겪었지만, 이러한 도전은 수천 년 동안 수학적 사고를 확장하는 원동력이 되었습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나로, 디오판토스의 책 여백에 남겨진 짧은 메모에서 시작되었습니다. 앤드루 와일스가 이를 최종적으로 증명하기까지 350년이라는 긴 시간이 걸렸으며, 그 과정은 결코 순탄치 않았습니다. 와일스 역시 초기 증명에서 오류가 발견되는 시련을 겪었으나, 동료와 제자의 도움을 받아 이를 극복해 냈습니다. 이는 수학이 천재 한 명의 고독한 작업이 아니라, 세대를 거쳐 지식을 공유하고 보완하는 협력의 산물임을 보여줍니다. 완벽해 보이는 수학적 증명 뒤에는 인간적인 실수와 이를 바로잡으려는 끈질긴 노력이 숨어 있습니다. 디오판토스가 제시한 문제들은 현대 수학의 핵심 분야인 타원 곡선 이론으로 이어집니다. 주어진 수를 특정 조건에 맞게 나누는 고대의 질문들이 오늘날 정수론과 기하학이 만나는 지점을 형성한 것입니다. 수학은 과거의 문제를 해결하는 과정에서 새로운 이론을 탄생시키며 끊임없이 진화합니다. 페르마가 고민했던 정수해의 존재 여부는 이제 타원 곡선의 성질을 탐구하는 고도의 학문적 영역으로 확장되었습니다. 이처럼 수천 년 전의 방정식에서 시작된 탐구는 현대 수학의 지평을 넓히는 밑거름이 되었으며, 우리가 세상을 이해하는 논리적 틀을 더욱 견고하게 만들어 줍니다.

김민형

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] LCD(액정표시장치)가 펼치는 편광의 마술 _ 고재현 교수_2강 | 2018 카오스 마스터클래스 '물리' | 3강 ②

빛은 우리 삶의 도처에 존재하며, 이를 연구하는 광학은 기하광학부터 양자광학까지 폭넓은 영역을 아우릅니다. 전자기파의 일종인 빛은 진행 방향에 수직으로 진동하는 전기장과 자기장 성분을 지닌 횡파의 성질을 가지며, 파장에 따라 가시광선, 적외선, 자외선 등으로 분류됩니다. 특히 우리가 눈으로 인지하는 가시광선은 약 400에서 750나노미터 사이의 파장 대역에 걸쳐 있습니다. 파동으로서의 빛은 속도, 진동수, 파장이라는 핵심 요소를 가지며, 이들의 유기적인 관계를 통해 빛의 물리적 특성이 결정됩니다. 또한 파동의 상태를 나타내는 위상은 두 개 이상의 빛이 만날 때 에너지가 보강되거나 상쇄되는 간섭 현상을 일으키는 중요한 열쇠가 됩니다. 우리는 거울이나 호수 면에 비친 상을 통해 빛의 반사 현상을 일상적으로 경험합니다. 고대부터 알려진 반사의 법칙에 따르면 입사각과 반사각은 항상 동일하며, 이는 빛이 직진한다는 성질에 근거합니다. 하지만 원자 수준에서 들여다본 반사의 실체는 훨씬 복잡한 과정을 담고 있습니다. 외부에서 빛이 들어오면 물질 속의 무수히 많은 원자들이 빛의 전기장에 반응하여 전자가 진동하게 되고, 이 과정에서 주변으로 2차 구면파가 발생합니다. 이렇게 각 원자가 내뿜는 수많은 2차 구면파들이 서로 중첩되면서 특정 방향으로만 보강 간섭을 일으키는 결과가 바로 우리가 눈으로 보는 반사광입니다. 즉, 반사는 빛과 물질의 정교한 상호작용이 만들어낸 산물이라 할 수 있습니다. 빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때 속도가 변하며 경로가 꺾이는 굴절 현상은 렌즈와 같은 광학 기기의 핵심 원리가 됩니다. 굴절률은 진공 중의 광속이 물질 속에서 줄어드는 비율을 의미하는데, 이는 입사파와 원자들이 만들어낸 2차 구면파의 위상 차이에 의한 중첩 효과로 설명됩니다. 흥미로운 점은 굴절률이 빛의 색깔, 즉 진동수에 따라 달라진다는 것입니다. 이를 분산 현상이라 하며, 프리즘을 통과한 백색광이 무지개색으로 갈라지는 이유이기도 합니다. 자연에서는 물방울에 의한 무지개나 대기 중 얼음 결정에 의한 해무리와 같은 현상으로 나타나며, 이는 빛이 가진 파동적 성질이 자연의 조건과 만나 빚어내는 아름다운 예술적 결과물이라 할 수 있습니다. 빛이 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 진행할 때, 특정 각도 이상으로 입사하면 빛이 경계면을 통과하지 못하고 100% 반사되는 전반사 현상이 일어납니다. 이 현상은 현대 정보통신 사회의 근간인 광통신 기술의 핵심입니다. 광섬유 내부에서 빛이 전반사를 반복하며 에너지를 거의 잃지 않고 먼 거리까지 정보를 전달할 수 있게 해주기 때문입니다. 또한 전반사는 다이아몬드의 화려한 광채를 만들어내거나 쌍안경과 현미경의 내부 경로를 설계하는 데에도 필수적으로 활용됩니다. 거울 코팅 없이도 완벽한 반사를 구현하는 이 마법 같은 현상은 단순한 물리 법칙을 넘어 인류의 기술 문명을 지탱하는 중요한 도구가 되어 우리 곁에 존재하고 있습니다. 빛의 파동성을 확립하는 데 결정적인 역할을 한 것은 간섭과 회절 현상입니다. 토마스 영의 이중 슬릿 실험은 빛이 서로 만나 밝고 어두운 무늬를 만드는 것을 보여줌으로써 빛이 파동임을 증명했습니다. 또한 장애물을 만나면 그 뒤편으로 돌아 들어가는 회절 현상은 빛이 단순히 직진하는 입자가 아님을 뒷받침합니다. 이러한 원리를 극대화한 마이컬슨 간섭계는 에테르의 부재를 확인하고 상대성 이론의 토대를 마련했을 뿐만 아니라, 최근에는 수십억 광년 떨어진 블랙홀의 충돌로 발생하는 중력파를 검출하는 데 사용되기도 했습니다. 미세한 위상 차이를 감지하여 공간의 왜곡을 찾아내는 빛의 능력은 우주의 깊은 신비를 밝히는 가장 강력한 탐사 도구가 됩니다. 빛의 또 다른 중요한 속성은 전기장이 진동하는 방향을 의미하는 편광입니다. 일반적인 자연광은 모든 방향으로 무작위하게 진동하지만, 편광판을 통과하면 특정 방향으로만 진동하는 빛을 얻을 수 있습니다. 일부 결정 물질은 빛의 진동 방향에 따라 서로 다른 굴절률을 느끼게 하는 복굴절 특성을 가집니다. 복굴절 매질을 통과하는 빛은 편광 성분에 따라 속도가 달라지며, 결과적으로 매질을 빠져나올 때 처음과는 다른 편광 상태로 변하게 됩니다. 이러한 편광의 조절 능력은 현대 디스플레이 기술의 정수인 LCD를 가능하게 하는 핵심 원리입니다. 빛의 진동 방향을 자유자재로 다루는 기술은 우리가 정보를 시각적으로 소비하는 방식을 혁신적으로 바꾸어 놓았습니다. 액정 표시 장치인 LCD는 백라이트에서 나오는 빛을 액정 분자가 조절하여 화면을 구성합니다. 두 장의 수직인 편광판 사이에 놓인 액정 분자는 전압에 따라 배열이 바뀌며 빛의 편광을 회전시키는 수도꼭지 역할을 수행합니다. 액정이 빛의 양을 통제하면, 그 위에 위치한 컬러 필터가 필요한 색상만을 통과시켜 우리가 보는 화려한 영상을 만들어냅니다. 광학은 현미경과 망원경을 통해 미시 세계와 거시 우주를 연결해 주었으며, 이제는 우리 손안의 디스플레이를 통해 세상을 보는 창이 되었습니다. 빛의 성질을 깊이 이해하는 것은 단순히 지식을 쌓는 것을 넘어, 우리 주변의 자연 현상을 새로운 관점으로 바라보게 하는 놀라운 경험을 선사할 것입니다.

고재현

카오스재단마스터클래스

물리학

[강연] 자연에 없던 물질 만들기 (1) _이병호 교수 | 2015 가을 카오스 강연 '빛 색즉시공' 9강 | 9강 ①

빛은 우리 삶의 모든 영역에 깊숙이 자리 잡고 있습니다. 태양광을 통한 식물의 광합성부터 현대 사회의 핵심인 광통신과 스마트폰 카메라 렌즈에 이르기까지, 빛이 없는 일상은 상상하기 어렵습니다. 최근 과학계에서는 이러한 빛의 성질을 인위적으로 조절하여 자연계에 존재하지 않는 새로운 특성을 가진 '메타물질'을 만드는 연구가 활발히 진행되고 있습니다. 이는 빛과 물질의 상호작용을 근본적으로 이해하고 제어하려는 시도에서 비롯되었습니다. 빛은 반사, 굴절, 회절 등 다양한 물리적 특성을 나타냅니다. 거울에 비치는 반사나 렌즈를 통과하며 꺾이는 굴절은 우리에게 익숙한 현상이지만, 빛이 장애물 뒤로 퍼져 나가는 회절 현상은 더욱 정교한 기술적 응용을 가능하게 합니다. 예를 들어 홀로그램이나 회절광소자는 빛의 파동성을 이용하여 복잡한 이미지를 생성합니다. 이러한 현상들은 빛이 단순한 입자가 아니라 파동으로서 공간을 이동하며 물질과 반응한다는 사실을 잘 보여줍니다. 빛이 서로 다른 매질을 통과할 때 꺾이는 이유는 페르마의 원리로 설명할 수 있습니다. 빛은 목적지까지 도달하는 데 가장 짧은 시간이 걸리는 경로를 선택하며, 매질마다 빛의 속도가 다르기 때문에 굴절이 발생합니다. 이때 진공에서의 빛의 속도와 물질 내에서의 속도 비율을 나타내는 지표가 바로 굴절률입니다. 굴절률은 물질의 고유한 특성에 따라 결정되며, 우리가 사물을 보고 렌즈를 설계하는 데 있어 가장 핵심적인 물리량 중 하나로 작용합니다. 19세기 맥스웰은 전기장과 자기장의 상호 유도 과정을 수식화하여 전자기파의 존재를 예견했습니다. 전기장의 변화가 자기장을 만들고, 다시 자기장의 변화가 전기장을 일으키며 퍼져 나가는 전자기파는 현대 통신 기술의 근간이 되었습니다. 맥스웰은 빛 또한 이러한 전자기파의 일종임을 밝혀냈으며, 이는 인류가 빛을 전자기학적 관점에서 이해하게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 오늘날 우리가 사용하는 휴대폰 역시 맥스웰이 발견한 전자기파 원리를 기반으로 작동합니다. 물질의 굴절률은 미시적인 관점에서 유전율과 투자율이라는 두 가지 요소에 의해 결정됩니다. 유전율은 외부 전기장에 대해 물질 내부의 전자가 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내며, 투자율은 자기장에 대한 반응 정도를 의미합니다. 빛이 물질에 들어오면 그 안의 원자들과 전자기적 상호작용을 일으키고, 이 과정에서 빛의 속도와 파장이 변하게 됩니다. 메타물질은 바로 이 유전율과 투자율을 인위적으로 설계하여 자연계의 한계를 뛰어넘는 광학적 특성을 구현합니다.