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[강연] 곡면의 수학, 미분기하학 1_by 최범준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 │4강 첫 번째 이야기 | 4강 ①

미분기하학은 우리가 흔히 아는 직선이나 원을 넘어, 일반적인 곡선과 곡면의 성질을 미분이라는 도구로 분석하는 학문입니다. 단순히 모양을 관찰하는 것을 넘어 곡선이 얼마나 휘어 있는지, 공간이 어떤 구조를 갖추고 있는지를 수학적 언어로 설명합니다. 특히 2차원 평면을 넘어 우리가 살고 있는 3차원 공간, 혹은 그 이상의 고차원 세계를 이해하는 데 필수적인 역할을 합니다. 기하학적 대상을 미분의 관점에서 바라봄으로써 우리는 공간의 본질에 한 걸음 더 다가갈 수 있습니다. 곡률은 곡선이 굽은 정도를 나타내는 핵심 개념으로, 수학적으로는 반지름의 역수로 정의됩니다. 반지름이 작은 원일수록 더 급격하게 휘어지므로 곡률이 크고, 반지름이 무한대인 직선은 곡률이 0이 됩니다. 이를 물리적으로 해석하면 단위 속력으로 움직일 때 발생하는 가속도와도 깊은 관련이 있습니다. 곡선을 따라 이동하며 속도의 방향이 얼마나 빠르게 변하는지를 측정함으로써, 우리는 눈에 보이는 형태를 수치화된 데이터로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 곡면에서의 곡률은 곡선보다 복잡하여, 한 점에서 수직인 법선을 포함하는 평면으로 자를 때 나타나는 무수히 많은 곡선 중 최댓값과 최솟값을 주목합니다. 이를 주곡률이라 부르며, 이 두 값은 곡면의 국소적인 형태를 결정짓는 중요한 지표가 됩니다. 예를 들어 평면은 모든 방향의 곡률이 0이지만, 원통이나 구는 방향에 따라 서로 다른 곡률 값을 가집니다. 이러한 주곡률의 개념을 통해 우리는 복잡한 곡면이 공간 속에서 어떻게 배치되어 있는지 체계적으로 이해할 수 있습니다. 가우스는 곡면을 구부려도 변하지 않는 성질인 '놀라운 정리(Theorema Egregium)'를 발견했습니다. 종이를 둥글게 말아 원통을 만들어도 각 점에서의 주곡률 곱인 가우스 곡률은 변하지 않는다는 것이 핵심입니다. 이는 곡면이 3차원 공간에 어떻게 놓여 있는가와 상관없이, 곡면 내부의 거리 정보만으로 결정되는 내재적인 성질임을 의미합니다. 가우스 스스로도 이 발견이 너무나 놀라워 직접 '놀라운 정리'라는 이름을 붙였을 만큼, 이는 현대 기하학의 패러다임을 바꾼 혁명적인 사건이었습니다. 가우스의 '놀라운 정리'는 실생활에서도 중요한 의미를 갖는데, 대표적인 예가 바로 지도 제작입니다. 구 형태인 지구를 평면 지도로 옮길 때 거리나 각도, 면적 중 일부가 왜곡되는 이유는 구와 평면의 가우스 곡률이 다르기 때문입니다. 가우스 곡률이 양수인 구를 곡률이 0인 평면으로 완벽하게 펼치는 것은 수학적으로 불가능합니다. 따라서 메르카토르 도법처럼 특정 목적에 맞춰 왜곡을 감수하는 다양한 지도 제작법이 등장하게 되었으며, 이는 기하학적 원리가 현실의 제약을 설명하는 좋은 사례입니다. 가우스-보네 정리는 국소적인 기하학적 정보인 곡률과 전체적인 구조를 다루는 위상수학을 연결하는 가교 역할을 합니다. 곡면 전체에서 가우스 곡률을 모두 더하면, 그 결과는 곡면의 구멍 개수와 관련된 오일러 표수에 의해 결정됩니다. 즉, 토러스(도넛 모양)를 아무리 찌그러뜨려도 전체 곡률의 합은 변하지 않습니다. 이는 미시적인 측정값들의 합이 거시적인 형태의 본질을 규정한다는 놀라운 통찰을 제공하며, 수학의 서로 다른 분야가 어떻게 하나로 통합될 수 있는지를 보여줍니다. 가우스의 제자인 리만은 이러한 곡률의 개념을 고차원 공간으로 확장하여 리만 기하학을 창시했습니다. 그는 공간을 규정하는 핵심 요소가 점들 사이의 거리라는 철학적 제안을 던졌으며, 이는 훗날 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 수학적 토대가 되었습니다. 중력에 의해 시공간이 휘어진다는 물리적 직관은 리만이 정립한 곡률의 언어를 통해 비로소 정교하게 기술될 수 있었습니다. 결국 미분기하학은 우리가 우주를 이해하는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓은 현대 과학의 근간이라 할 수 있습니다.

최범준

카오스재단카오스강연

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[심화 강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 심화 2_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 심화 두 번째 이야기 | 5강

리만 이후 대수 기하학은 이탈리아 학파와 독일 학파라는 두 가지 큰 흐름으로 나뉘어 발전했습니다. 이탈리아 학파는 리만의 업적을 계승하여 대수적 곡면 연구에서 눈부신 성과를 거두었으나, 엄밀한 증명보다는 직관과 진리 발견의 기쁨을 우선시하는 독특한 학풍을 지니고 있었습니다. 비록 당시에는 엄밀성 부족으로 비판받기도 했지만, 이들이 발견한 아름다운 정리들은 훗날 현대 수학의 정교한 증명을 통해 그 가치를 인정받았습니다. 특히 1980년대 모리 시게후미의 '모리 프로그램'은 이들의 연구를 3차원 다양체로 확장하며 오늘날까지도 필즈상 수상자를 배출하는 중요한 연구 분야로 이어지고 있습니다. 19세기 수학의 정점으로 불리는 불변량 이론은 현대 수학과 물리학의 근간을 이루는 핵심적인 분야입니다. 다항식의 좌표 변환에도 변하지 않는 성질을 탐구하는 이 이론은 다비트 힐베르트라는 천재 수학자를 통해 혁명적인 전환점을 맞이했습니다. 당시 28세였던 다비트 힐베르트는 구체적인 계산 대신 추상적인 대수학 기법을 도입하여 불변량의 유한성을 증명해냈습니다. 이는 기존의 계산 중심 수학에서 벗어나 현대 추상 대수학의 기틀을 마련한 사건이었습니다. 비록 당시 권위자였던 고르단으로부터 '수학이 아닌 신학'이라는 비판을 듣기도 했으나, 존재성 증명이라는 새로운 패러다임은 수학적 사고의 지평을 넓히는 결정적인 계기가 되었습니다. 이탈리아 학파가 직관에 의존했다면, 독일 학파는 추상 대수학이라는 단단한 토대 위에 대수 기하학을 재건하고자 노력했습니다. 데데킨트, 다비트 힐베르트, 뇌터와 같은 수학자들은 엄밀한 대수학적 기초를 세워 이탈리아 학파의 결과들을 증명하고 더 넓은 영역으로 확장했습니다. 이 과정에서 점을 단순한 기하학적 대상이 아닌 대수적 구조인 '아이디얼'로 이해하는 현대적 관점이 정립되었습니다. 또한 리만의 내재적 접근법을 완벽히 구현하여, 외부 좌표 공간 없이도 대수적 다양체 그 자체를 독립적으로 이해할 수 있는 이론적 기틀이 마련되었습니다. 이는 20세기 중반 앙드레 베유와 세르 등을 거치며 추상 대수 기하학의 정립으로 이어졌습니다. 20세기 중반, 알렉산더 그로텐디크는 대수 기하학의 토대를 획기적으로 확장하며 진정한 혁명을 일으켰습니다. 그는 다항식의 틀을 넘어 더 일반적인 대수적 대상에 기하학적 의미를 부여함으로써, 정수론의 난제들을 기하학의 언어로 번역할 수 있는 길을 열었습니다. 푸앵카레가 예언했던 '정수론을 품은 대수 기하학'이 알렉산더 그로텐디크에 의해 완벽하게 구현된 것입니다. 이러한 이론적 진보는 1980년대 이후 페르마의 마지막 정리 해결과 같은 역사적인 성과로 이어졌습니다. 대상을 추상화하고 일반화함으로써 서로 다른 수학 분야를 하나로 묶어낸 그의 업적은 현대 수학이 나아갈 방향을 제시한 이정표가 되었습니다. 현대 대수 기하학은 이제 순수 수학의 영역을 넘어 이론 물리학과 긴밀하게 상호작용하고 있습니다. 1980년대 양-밀스 이론을 대수 기하학적으로 분석한 연구를 기점으로, 초끈 이론과 거울 대칭성 등 물리학의 핵심 개념들이 대수 기하학의 도구를 통해 엄밀하게 증명되고 있습니다. 수학자들은 낮에는 엄밀한 논증에 몰두하고 밤에는 우주의 신비를 꿈꾸며, 학문적 동지들과 함께 이름 없는 헌신을 이어가고 있습니다. 고대 그리스의 기하학에서 시작해 현대 물리학까지 아우르는 대수 기하학의 여정은 인류가 우주의 질서를 이해하기 위해 쌓아 올린 가장 거대하고 아름다운 지적 건축물 중 하나라고 할 수 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[심화 강연] 알고 나면 대수로운 대수기하학 심화 1_by 김영훈 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 5강 심화 첫 번째 이야기 | 5강

대수기하학의 첫 번째 중요한 도약은 유클리드 공간에 경계를 더해 사영 공간을 도입한 것입니다. 이는 르네상스 시대 미술의 원근법에서 영감을 얻은 개념으로, 화가의 눈과 대상을 잇는 직선을 하나의 점으로 간주하는 방식입니다. 사영 공간을 활용하면 평행한 두 직선이 무한대에서 만난다고 정의할 수 있어, 교점이 사라지는 예외 상황을 방지합니다. 덕분에 베주 정리와 같은 기하학적 원리들이 일관성을 갖게 되었으며, 이는 현대의 컴퓨터 비전이나 3D 스캔 기술의 수학적 토대가 되었습니다. 파스칼은 철학자이자 수학자인 동시에 화가로서 사영 공간의 필요성을 깊이 이해했던 인물입니다. 그는 2차 곡선 위의 여섯 점을 연결해 만들어지는 교점들이 한 직선 위에 놓인다는 '파스칼의 정리'를 남겼습니다. 이 정리는 사영 변환을 통해 복잡한 타원을 단순한 원으로 바꾸어 증명할 수 있는데, 이는 사영 공간에서 대칭군이 커지며 발생하는 편리함을 잘 보여줍니다. 이처럼 사영 기하학은 서로 달라 보이는 대상들을 동일한 관점에서 바라볼 수 있게 함으로써 기하학적 탐구의 효율성을 극대화했습니다. 대수기하학의 두 번째 업그레이드는 복소수를 체계 안으로 품은 것입니다. 19세기 초 가우스와 오일러에 의해 복소수가 자연스러운 수학적 대상으로 받아들여지면서, 실수 범위에서는 해결하기 어려웠던 문제들이 명쾌하게 풀리기 시작했습니다. 예를 들어 실수 평면에서는 방정식의 조건에 따라 해가 존재하지 않는 경우가 생기지만, 복소수 범위에서는 모든 것이 균일하고 깔끔한 답을 제공합니다. 이러한 수 체계의 확장은 대수적 다양체를 분석할 때 발생하는 수많은 변칙적 현상을 제거하고 체계적인 이론 전개를 가능하게 했습니다. 리만은 복소함수론을 대수기하학에 도입하여 현대 수학의 근간을 마련했습니다. 그는 복소수 미적분학을 통해 대수적 곡선의 구조를 내재적인 관점에서 탐구할 수 있는 길을 열었습니다. 이전까지는 도형을 특정 좌표 공간에 종속된 존재로 보았으나, 리만은 대수적 다양체 자체의 성질에 집중하는 혁신적인 시각을 제시했습니다. 그의 연구는 오늘날 대수기하학자들이 매일같이 사용하는 필수적인 도구가 되었으며, 정수론의 난제인 리만 가설 또한 이러한 복소함수론적 사고의 연장선상에서 탄생한 위대한 유산입니다. 수학적 발견은 때로 다른 학문의 결정적인 돌파구가 되기도 합니다. 아인슈타인이 일반상대성 이론을 정립하며 수학적 도구의 부재로 한계에 부딪혔을 때, 리만이 닦아놓은 기하학적 토대와 힐베르트의 수학적 조력이 그 해답을 제공했습니다. 힐베르트는 리만의 이론을 활용해 물리적 아이디어를 수학적으로 완결 지었으며, 이는 수학과 물리학이 만나는 역사적인 순간이 되었습니다. 이처럼 대수기하학의 발전은 단순히 숫자의 유희에 그치지 않고 우주의 원리를 이해하는 강력한 언어로서 그 역할을 다하고 있습니다.

김영훈

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[석학인터뷰] 한상근_양자암호, 그걸 해독한다고요? | 2019 가을 카오스강연 '도대체 都大體'

양자 암호와 양자 통신은 흔히 혼용되곤 하지만, 실제로는 10여 년 전부터 상용화되어 기기가 거래되고 있는 기술입니다. 현재 학계와 산업계에서 집중하고 있는 분야는 양자 컴퓨터의 등장에도 안전성을 유지할 수 있는 '양자 내성 암호'의 표준화 과정입니다. 이 영역은 수학, 전산학, 물리학 등 다양한 학문이 융합되어 아직 정립되어 가는 단계에 있으며, 그만큼 무궁무진한 발전 가능성을 품고 있습니다. 전문가들은 여러 전공 분야의 지식을 모아 암호의 새로운 정의를 내리고 기술적 완성도를 높이기 위해 치열하게 논의하고 있습니다. 암호의 세계는 전문가만의 전유물이 아닙니다. 독립기념관의 자료를 살펴보면 과거 우리 조상들이 사용했던 초보적인 암호 제작법이 수백 건이나 발견될 정도로 그 역사가 깊습니다. 흥미로운 점은 아마추어가 만든 암호라고 해서 결코 해독이 쉽지 않다는 사실입니다. CIA 본부에 설치된 조각품 '크립토스'는 예술가가 만든 암호임에도 불구하고 수십 년간 일부가 풀리지 않은 채 남아 있습니다. 이는 암호를 만드는 창의성과 그것을 깨뜨리는 해독 기술 사이에 존재하는 거대한 간극을 잘 보여주는 사례라고 할 수 있습니다. 수학적 난제인 리만 가설은 인간의 상식적인 논리 구조를 넘어서는 무한의 영역을 다루고 있습니다. 리만 제타 함수를 이해하기 위해서는 방대한 배경지식이 필요하며, 이는 지식의 축적이 반드시 문제 해결로 직결되지 않음을 보여줍니다. 때로는 목적지를 눈앞에 두고도 먼 길을 돌아가야 하는 자동차 운전처럼, 현재 우리가 가진 증명 도구가 부족하여 정체되는 경우도 빈번합니다. 결국 수학의 발전은 단순히 시간의 흐름에 따른 결과가 아니라, 기존의 한계를 돌파할 수 있는 새로운 사고의 도구를 발견해 나가는 과정이라 할 수 있습니다. 괴델의 불완전성 정리는 현대 수학과 철학에 큰 충격을 주었습니다. 앨런 튜링은 컴퓨터가 수학적 정리를 무한히 출력할 수 있다고 보았지만, 괴델은 기계가 영원히 출력할 수 없는 '참인 명제'가 반드시 존재함을 논증했습니다. 이는 기계적인 계산의 영역과 진리의 영역 사이에 명확한 경계가 있음을 의미하고 있습니다. 21세기를 살아가는 우리에게 이러한 논리는 컴퓨터 자동화의 한계를 인식하게 함과 동시에, 기계가 대체할 수 없는 인간 지성만이 가진 독특한 가치를 이해하는 중요한 열쇠가 되어줍니다. 자연수의 무한함이 물리적 우주에 실재하는지에 대한 논의는 칸트의 철학적 사유와 맞닿아 있습니다. 칸트는 '순수이성비판'을 통해 인간의 이성으로 알 수 없는 영역이 존재함을 역설했는데, 이는 수학자들이 무한 너머의 세계를 다루는 방식과 유사한 측면이 있습니다. 칸토어의 무한 집합론에서 시작해 러셀의 역설을 거쳐 양자역학적 모순에 이르기까지, 인류는 언어와 이성의 한계를 끊임없이 마주해 왔습니다. 이러한 탐구는 결국 우리가 세상을 이해하기 위해 사용하는 언어의 틀을 확장하고, 보이지 않는 진리에 다가가려는 노력의 일환입니다.

한상근

카오스재단카오스강연

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[카오스 술술수학] 리만가설(3): 악마와 리만가설

서울대학교 김용원 교수의 웹툰을 바탕으로 한 이 이야기는 20년 넘게 리만 가설에 매달려 온 한 수학자의 깊은 고뇌를 다룹니다. 리만 가설은 수학계에서 가장 악명 높은 난제 중 하나로, 수많은 천재들이 도전했지만 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 이야기 속 수학자는 오랜 연구 끝에 막다른 골목에 다다라 절망에 빠지게 되며, 바로 그 순간 영혼을 거래하려는 악마가 그의 앞에 나타나며 기묘한 거래가 시작됩니다. 절망에 빠진 수학자에게 나타난 악마는 영혼을 대가로 소원을 들어주겠다고 제안합니다. 수학자는 지푸라기라도 잡는 심정으로 리만 가설의 증명을 알려달라고 말하지만, 수학을 전혀 모르는 악마에게 그 요청은 외계어처럼 들릴 뿐이었습니다. 결국 수학자는 악마에게 미적분학부터 해석적 정수론에 이르기까지 방대한 수학 지식을 먼저 공부하고 오라고 일갈합니다. 악마는 실적을 올리기 위해 밤을 새워 수학 공부에 매진하게 됩니다. 놀라운 능력을 가진 악마는 단 며칠 만에 고등 수학 과정을 모두 섭렵하고 다시 수학자를 찾아옵니다. 이때부터 인류 역사상 유례없는 수학자와 악마의 공동 연구가 시작됩니다. 수학자는 지난 20년 동안 자신이 겪었던 모든 시행착오와 연구 데이터가 담긴 노트를 악마에게 넘겨주며 함께 해답을 찾기 위해 고군분투합니다. 하지만 악마의 초자연적인 능력조차도 리만 가설이라는 거대한 벽 앞에서는 무력해 보이기만 합니다. 공동 연구가 시작된 지 2년이 지났음에도 불구하고, 악마는 여전히 리만 가설을 해결하지 못한 채 괴로워합니다. 악마조차 "이것만 해결하면 되는데"라며 웅얼거릴 정도로 리만 가설은 그 난도가 상상을 초월합니다. 결국 악마는 수학자를 찾아온 것을 후회하며 자신의 처지를 한탄하게 됩니다. 이 이야기는 리만 가설이 인간의 지성을 넘어 악마에게조차 얼마나 가혹하고 어려운 문제인지를 해학적으로 보여주며 그 위엄을 다시금 일깨워 줍니다. 20년이 넘는 긴 시간 동안 하나의 난제에 매달릴 수 있었던 원동력에 대해 수학자는 '성격'을 꼽습니다. 단순히 수학을 좋아한다는 마음만으로는 3년에서 5년 정도가 한계일 것이라고 그는 말합니다. 그 이상의 시간을 견디며 끝까지 밀고 나가는 힘은 결국 개인의 성격과 끈기에서 나온다는 것입니다. 리만 가설은 단순한 지적 유희를 넘어, 한 인간의 삶과 성격이 온전히 투영되어야만 비로소 마주할 수 있는 거대한 산과 같습니다.

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[카오스 술술수학] 리만가설(2): 리만가설에 미치다

리만 가설은 수학 역사상 가장 매혹적이면서도 고통스러운 수수께끼로 남아 있습니다. 독일의 수학자 힐베르트는 사후 500년 뒤에 깨어난다면 가장 먼저 이 가설의 증명 여부를 묻고 싶다고 했으며, 하디는 자신의 첫 번째 소망으로 이를 꼽았습니다. 라마누잔과 존 내쉬 같은 천재들조차 이 문제로 인해 육체적, 정신적 고통을 겪었을 만큼 그 위력은 대단합니다. 페르마의 마지막 정리와 푸앵카레 추측이 해결된 지금도 리만 가설은 여전히 난공불락의 요새처럼 버티고 있습니다. 소수의 규칙성을 찾으려는 노력은 유클리드와 오일러를 거쳐 가우스에 이르러 큰 전환점을 맞이했습니다. 1792년 가우스는 소수의 개수를 추측할 수 있는 '소수 정리'를 제안하며, 수가 커질수록 소수의 밀도가 로그 함수에 반비례한다는 사실을 통찰했습니다. 하지만 가우스는 이를 직관적으로 추측했을 뿐 엄밀하게 증명하지는 못했습니다. 이후 수많은 수학적 거성들이 릴레이를 하듯 이 소수의 분포 문제를 해결하기 위해 자신의 생애를 바치며 연구에 매달려 왔습니다. 가우스의 제자였던 리만은 1859년 발표한 논문에서 '리만 제타 함수'를 도입하며 소수 정리 증명의 실마리를 제공했습니다. 리만 가설은 단순히 소수의 개수를 대략적으로 파악하는 것을 넘어, n까지의 소수를 정확하게 셀 수 있는 유일한 식을 완성하려는 시도입니다. 오늘날 이 가설에는 10억 원의 상금이 걸려 있으며, 19세기 수학자들 사이에서는 이를 증명하는 자가 영생을 얻는다는 말이 돌 정도로 수학계에서 차지하는 위상이 절대적이라고 할 수 있습니다. 리만 가설의 핵심은 제타 함수의 무한히 많은 영점들이 복소평면상의 1/2 축 위에 일렬로 늘어서 있다는 가정에 있습니다. 이 영점들은 각각 소리의 파동과 같은 역할을 수행하며, 이 파동들을 모두 합치면 소수 분포의 오차가 점차 줄어들어 결국 0에 수렴하게 됩니다. 마치 악기를 목표 음에 맞춰 미세하게 조율하는 과정과도 같습니다. 만약 단 하나의 영점이라도 이 축을 벗어난다면 파동이 너무 커져 조율이 불가능해지며, 소수의 불규칙성을 설명할 방법도 사라지게 됩니다. 역설적이게도 리만 제타 함수 영점들의 완벽한 질서는 소수가 가진 극도의 무질서와 임의성을 대변합니다. 가우스가 예견했듯 소수는 동전 던지기와 같은 무작위성을 띠고 있으며, 리만 가설은 바로 그 임의성을 수학적으로 설명해 줍니다. 만약 이 가설이 거짓으로 판명된다면 현대 수학의 근간이 흔들리는 대재앙이 닥칠 것이라는 우려가 나올 정도입니다. 전 세계 수학자들을 잠 못 들게 하는 이 난제는 여전히 인류가 정복해야 할 가장 거대한 지적 산맥으로 남아 있습니다.

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[카오스 술술수학] 수학의 대혁명, 비유클리드 기하학

기원전 3세기 유클리드는 저서 《원론》을 통해 수학의 기초가 되는 다섯 가지 공리를 제시했습니다. 그중에서도 다섯 번째인 '평행선 공리'는 다른 공리들에 비해 구조가 복잡하여 오랜 시간 수학자들의 의구심을 자아냈습니다. 많은 학자가 이 공리가 독립적인 원리가 아니라 앞선 네 가지 공리로부터 유도될 수 있는 정리일 것이라 믿고 증명을 시도했습니다. 하지만 이러한 의문은 19세기에 이르러서야 가우스와 로바체프스키 등에 의해 해결되었으며, 이는 수학사의 거대한 전환점이 되었습니다. 평행선 공리가 다른 공리들로부터 유도될 수 없음이 증명되면서, 수학계에는 '비유클리드 기하학'이라는 혁신적인 영역이 열렸습니다. 이는 단순히 유클리드 기하학의 부정이 아니라, 오히려 유클리드 기하학을 특수한 경우로 포함하는 더 보편적인 체계의 발견이었습니다. 절대 불변의 존재로 여겨졌던 공간에 대한 관점이 무너지며, 철학자 칸트가 선언했던 보편적 공간 개념 또한 근본적인 변화를 맞이했습니다. 이러한 변화는 훗날 '기하학에서의 코페르니쿠스적 전환'이라 불릴 만큼 인류의 지적 지평을 넓혔습니다. 비유클리드 기하학의 토대를 정립한 리만은 4차원 이상의 고차원 기하학 가능성을 체계적으로 제시했습니다. 그는 고차원에서도 거리와 각도를 정의할 수 있음을 밝혔으며, 이는 아인슈타인의 상대성 이론이 탄생하는 데 결정적인 역할을 했습니다. 우리가 4차원 공간을 시각적으로 상상하기는 어렵지만, 수학적으로는 여러 변수의 집합을 하나의 공간으로 정의함으로써 이를 다룰 수 있습니다. 예를 들어 2차원 평면 위의 선분들을 결정하는 네 개의 변수를 모으면, 그 자체가 하나의 4차원 공간이 되는 원리입니다. 고차원 기하학은 멀리 있는 학문이 아니라 우리의 일상과 밀접하게 연결되어 있습니다. 우리가 두 눈으로 세상을 3차원으로 인식하는 과정 역시 뇌가 수행하는 고도의 기하학적 해석입니다. 양쪽 눈에 맺히는 서로 다른 2차원 영상을 뇌가 실시간으로 통합하여 입체적인 공간으로 재구성하는 것입니다. 이처럼 뇌는 무의식적으로 수많은 변수를 처리하며 우리를 둘러싼 공간을 이해하고 있습니다. 수학적으로 낯설게 느껴지는 고차원 개념은 사실 우리의 감각 기관이 매 순간 경험하고 있는 데이터 처리 방식과 닮아 있습니다. 인간의 복잡한 움직임 또한 고차원 공간에서의 한 점으로 설명할 수 있습니다. 야구 선수의 다이빙 캐치나 피아니스트의 정교한 손놀림은 수많은 관절의 움직임이라는 변수가 통합되어 하나의 유기적인 동작으로 나타나는 결과입니다. 반복된 연습을 통해 저차원의 개별 동작들이 고차원 공간의 한 점으로 수렴될 때, 우리는 비로소 의식하지 않고도 숙련된 퍼포먼스를 보여줄 수 있습니다. 결국 기하학이란 흩어진 데이터를 통합하여 하나의 점으로 상상하는 과정이며, 이는 우리 뇌가 세상을 학습하고 인지하는 본질적인 방식일지도 모릅니다.

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수학

[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (6) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ⑥

수학은 단순한 계산의 도구가 아니라, 물리적 세계만큼이나 실재하는 또 하나의 우주입니다. 연구자가 새로운 수학적 논리를 증명해낼 때 느끼는 감정은 무언가를 새로 만들어낸다는 성취감보다는, 이미 존재하던 진리를 처음으로 '발견'했다는 경이로움에 가깝습니다. 로저 펜로즈가 주장했듯, 우리에게는 물리적 세계와 정신적 세계 외에도 수학적 세계가 실재하며, 이는 우주를 탐험하는 것과 같은 가치를 지닙니다. 수학은 우리가 발을 딛고 있는 현실을 넘어, 보이지 않는 세계의 그림을 그려내는 강력한 렌즈가 되어줍니다. 우리가 흔히 접하는 실수는 사실 복소수라는 더 거대하고 완벽한 수 체계의 단편적인 그림자에 불과합니다. 고등학교 과정에서 배우는 허수는 단순히 '존재하지 않는 수'가 아니라, 수학적 현상을 온전히 이해하기 위해 반드시 필요한 본질적인 요소입니다. 많은 수학적 현상들은 복소수의 관점에서 바라볼 때 비로소 그 진면목을 드러내며, 실수의 세계에서는 보이지 않던 복잡한 인과관계가 명확해집니다. 이처럼 더 넓은 수 체계로 시야를 확장하는 것은 현상의 본질을 꿰뚫어 보는 수학적 통찰의 핵심이라 할 수 있습니다. 수학적 엄밀함은 물리적으로 관측할 수 없는 영역을 탐구하는 유일한 무기가 되기도 합니다. 대표적인 예로 블랙홀 내부의 사건을 다루는 '강한 우주 검열 가설'을 들 수 있습니다. 빛조차 빠져나올 수 없어 직접적인 관측이 불가능한 블랙홀 내부에서도 아인슈타인 방정식은 여전히 성립하며, 수학자들은 이 방정식을 끝까지 밀어붙여 그 안에서 벌어지는 일들을 논리적으로 규명해냅니다. 이는 보이지 않는 실체를 수학적으로 증명함으로써 역으로 물리적 의미를 찾아내는 과정이며, 인간의 지성이 도달할 수 있는 극한의 탐구 영역입니다. 차원에 대한 인식은 인류 역사와 함께 진화해 왔습니다. 고대 그리스의 플라톤과 소크라테스는 이미 평면 기하학과 공간 기하학의 차이를 명확히 인지하고 있었으며, 당장의 실용성을 넘어 공간 기하학 교육의 중요성을 강조했습니다. 이후 19세기에 이르러 리만은 3차원을 넘어선 고차원의 개념을 수학적으로 정립하며 가우스조차 놀라게 한 혁신을 이루어냈습니다. 시간과 공간을 통합적으로 바라보는 현대의 관점은 이러한 기하학적 사고의 확장이 있었기에 가능했으며, 이는 우리가 우주를 이해하는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 순수 수학의 가치는 당장의 응용성보다는 진리에 대한 갈망과 아름다움의 추구에 있습니다. 수학은 예술과 과학의 경계에서 우리 세계의 한계가 어디인지 가르쳐주는 역할을 합니다. 바다를 가보지 않고는 육지의 끝을 알 수 없듯이, 수학을 통해 더 넓은 고차원의 세계를 경험함으로써 비로소 우리가 사는 현실의 경계를 명확히 인식할 수 있습니다. 로봇 팔의 움직임부터 우주의 곡률까지, 수학은 복잡한 현상 속에 숨겨진 질서를 발견하고 새로운 기하학적 의미를 부여하며 인류의 지평을 끊임없이 넓혀가고 있습니다.

오성진, 황준묵

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (5) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ⑤

수학자 민코프스키는 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 접하고 이것이 단순한 물리 이론을 넘어선 새로운 기하학임을 직관했습니다. 그는 유클리드 기하학이 다루는 3차원 공간에 시간이라는 축을 더해 4차원 시공간의 개념을 정립했습니다. 이러한 시공간 기하학의 등장은 우리가 우주를 바라보는 관점을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 물리적 실체에 대한 새로운 정의를 내리게 했습니다. 그는 수학적 논리를 통해 우주의 구조를 새롭게 규정하며 기하학적 통합의 시대를 열었습니다. 일반 상대성 이론은 중력을 시공간의 휘어짐으로 해석하며 비유클리드 기하학의 원리를 물리 세계에 도입했습니다. 유클리드 기하학에서는 평행한 두 직선이 영원히 만나지 않지만, 중력이 작용하는 시공간에서는 이 평행선들이 서로 교차하게 됩니다. 아인슈타인은 물체들이 서로 끌어당기는 현상을 공간 자체가 휘어져 나타나는 기하학적 결과로 보았습니다. 즉, 중력이란 거대한 질량이 시공간의 지도를 바꾸어 놓음으로써 발생하는 자연스러운 흐름인 셈이며, 이는 우주의 구조를 이해하는 핵심 열쇠가 되었습니다. 아인슈타인 방정식은 시공간의 휘어짐과 물질의 분포 사이의 관계를 수학적으로 명확하게 규정합니다. 방정식의 좌변은 리만 곡률을 통해 시공간이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내고, 우변은 에너지-운동량 분포를 보여줍니다. 이 간결한 한 줄의 식 안에는 블랙홀의 탄생부터 우주의 팽창인 빅뱅에 이르기까지 우주 삼라만상의 물리 법칙이 모두 응축되어 있습니다. 이는 물리적 현상이 수학적 언어를 통해 얼마나 아름답고 정교하게 표현될 수 있는지를 보여주는 정수라 할 수 있으며, 현대 물리학의 가장 위대한 성취 중 하나로 꼽힙니다. 스티븐 호킹과 로저 펜로즈는 아인슈타인 방정식이 단순히 이론적인 가설에 그치지 않음을 수학적으로 증명해 냈습니다. 그들은 '호킹-펜로즈 특이점 정리'를 통해 블랙홀이나 빅뱅과 같은 특이점이 우주에 실제로 존재할 수밖에 없음을 논리적으로 밝혀냈습니다. 초기 과학자들은 특이점을 계산상의 오류나 특수한 사례로 치부하려 했으나, 호킹과 펜로즈는 이것이 물리 세계의 안정적인 구조임을 입증했습니다. 이들의 연구는 현대 우주론이 수학적 토대 위에서 더욱 견고해지는 계기가 되었으며, 인류가 우주의 기원을 탐구하는 데 결정적인 기여를 했습니다. 수학과 물리학은 서로에게 영감을 주며 발전해 온 밀접한 동반자 관계입니다. 19세기에 탄생한 리만 기하학이 당시에는 순수 수학적 유희로 여겨졌으나 훗날 일반 상대성 이론의 핵심 도구가 된 것처럼, 수학적 상상력은 때로 시대를 앞서 나갑니다. 반대로 물리학적 직관은 수학자들에게 새로운 탐구의 방향을 제시하며 논리적 한계를 뛰어넘는 충격적인 발견을 이끌어내기도 합니다. 당장 응용되지 않는 것처럼 보이는 고도의 수학이라 할지라도, 그것은 미래의 우주를 이해하는 가장 강력한 열쇠가 될 잠재력을 품고 있으며, 인류의 지적 지평을 넓히는 원동력이 됩니다.

오성진, 황준묵

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[강연] 고차원 비유클리드 공간으로의 초대 (2) _ by황준묵 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 5강 | 5강 ②

비유클리드 기하학의 등장은 기존 수학계에 큰 혼란을 안겨주었지만, 리만이라는 수학자의 등장은 이를 체계화하고 확장하는 결정적인 계기가 되었습니다. 리만은 우리가 인지하는 3차원을 넘어 4차원, 5차원 이상의 고차원 공간을 수학적으로 다룰 수 있는 기틀을 마련했습니다. 그는 고차원에서도 거리와 각도를 정의하고 유클리드 공리의 성립 여부를 판단할 수 있는 '리만 공간'의 개념을 확립했습니다. 이러한 리만 기하학은 단순한 수학적 유희를 넘어, 훗날 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 정립하는 데 필수적인 학문적 근간이 되며 현대 물리학의 발전에 지대한 공헌을 하였습니다. 많은 이들이 4차원을 기괴하거나 신비로운 영역으로 오해하곤 하지만, 수학적 관점에서 차원은 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미합니다. 예를 들어 평면 위에 존재하는 모든 선분의 집합을 하나의 공간으로 정의한다면, 이는 4차원 공간이 됩니다. 선분 하나를 결정하는 양 끝점이 각각 평면 위에서 두 방향으로 자유롭게 움직일 수 있기 때문입니다. 이처럼 선분 하나를 공간 속의 점 하나로 간주하는 발상의 전환을 통해 우리는 고차원 공간을 명확하게 이해할 수 있습니다. 이러한 접근 방식은 추상적인 고차원 개념을 논리적이고 구체적인 대상으로 변모시키는 중요한 열쇠가 됩니다. 수학자들은 고차원을 넘어 무한 차원이나 분수 차원, 심지어 음수 차원의 공간까지 탐구하며 사고의 지평을 넓혀왔습니다. 연속 함수의 집합을 무한 차원 공간으로 보거나, 복잡한 구조를 가진 도형을 1.5차원과 같은 분수 차원으로 정의하는 식입니다. 언뜻 비현실적으로 들리는 이러한 시도들은 사실 기존의 방식으로는 해결할 수 없었던 복잡한 문제들을 풀기 위한 필연적인 선택이었습니다. 새로운 공간 개념을 도입함으로써 함수 간의 거리나 각도를 계산하고, 정수론의 난제를 해결하는 등 수학적 도구의 한계를 극복할 수 있었기 때문입니다. 이는 패러다임의 변화가 학문의 진보에 얼마나 큰 역할을 하는지 잘 보여줍니다. 비유클리드 기하학의 실체는 길이가 고정된 선분들의 집합을 통해서도 엿볼 수 있습니다. 평면 위에서 길이가 5 cm로 고정된 선분들을 모으면, 한 끝점의 움직임이 제한되어 3차원 공간을 형성하게 됩니다. 흥미로운 점은 이 공간이 우리가 흔히 아는 유클리드 공간이 아닌 비유클리드 공간이라는 사실입니다. 이 공간에서 두 선분의 평균을 구하려고 할 때, 단순히 양 끝점의 좌표를 산술 평균 내면 선분의 길이가 변하는 오류가 발생합니다. 이는 공간 자체가 휘어 있기 때문이며, 제대로 된 평균을 얻기 위해서는 공간의 곡률을 반영하여 최단 거리인 '측지선'을 따라 계산하는 비유클리드적 접근이 반드시 필요합니다. 이러한 기하학적 원리는 현대 의학의 데이터 분석과 같은 실질적인 분야에서 매우 중요하게 활용됩니다. 예를 들어 수많은 환자의 뇌 영상 데이터를 바탕으로 표준적인 '평균 뇌 모양'을 산출해야 할 때, 단순한 유클리드적 평균은 실제 존재할 수 없는 왜곡된 형태를 만들 위험이 있습니다. 뇌의 복잡한 구조를 고차원 비유클리드 공간의 점으로 이해하고 기하학적 특성을 고려하여 계산해야만 비로소 의학적으로 유의미한 표준 모델을 얻을 수 있습니다. 결국 비유클리드 기하학은 눈에 보이지 않는 추상적인 이론에 머무는 것이 아니라, 현실 세계의 복잡한 형상을 정확하게 이해하고 분석하기 위한 필수적인 도구라고 할 수 있습니다.

황준묵

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (6) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ⑥

리만 가설은 소수의 분포를 설명하는 수학계의 거대한 난제이자 인류 지성의 척도라고 할 수 있습니다. 만약 외계 지성체가 지구를 방문한다면, 우리는 그들이 이 가설을 알고 있는지 묻는 것만으로도 그들의 지적 수준을 가늠할 수 있을 것입니다. 리만 가설을 중요하게 여긴다는 것은 그들이 우리와 유사한 지적 한계와 유한성을 공유하고 있음을 의미합니다. 반면, 이 가설에 전혀 관심이 없다면 그들은 무한을 너무나 당연하게 다루는, 인간과는 차원이 다른 존재일 가능성이 큽니다. 인간이 리만 가설에 집착하는 근본적인 이유는 우리가 죽음을 피할 수 없는 유한한 존재이기 때문입니다. 우리는 제한된 삶 속에서 무한한 소수의 규칙성을 찾으려 끊임없이 애쓰며, 그 과정에서 수학이라는 도구를 통해 경이로운 상상력을 발휘합니다. 만약 모든 소수의 개수와 성질을 실시간으로 파악할 수 있을 만큼 전지전능한 존재라면, 리만 가설은 애초에 고민의 대상조차 되지 않았을 것입니다. 결국 이 난제는 인간의 유한함과 무한을 향한 갈망이 만나는 지점에 놓여 있으며, 우리의 지적 호기심을 자극합니다. 인공지능의 비약적인 발전이 리만 가설 해결의 새로운 열쇠가 될 수 있을지에 대해서는 학계에서도 의견이 분분합니다. 현재의 기술력으로는 수학 연구의 보조적인 수단에 불과하지만, 미래에 진정으로 수학적 사고를 수행하는 AI가 등장한다면 상황은 완전히 달라질 것입니다. 만약 AI가 인간 수학자를 능가하여 이 난제를 해결한다면, 이는 수학의 역사에서 거대한 전환점이 될 것입니다. 하지만 리만 가설이 단순히 계산적인 차원을 넘어 제타 함수론과 같은 심오한 이론적 토대 위에서 인간의 통찰력과 함께 해결되기를 바라는 것이 많은 수학자의 희망입니다. 만약 리만 가설이 참이 아니라 거짓으로 판명된다면 수학계는 어떤 변화를 맞이하게 될까요? 대부분의 수학자는 가설이 참일 것이라 굳게 믿지만, 만약 실수부가 1/2이 아닌 비자명 영점이 단 하나라도 발견된다면 그 충격은 상상 이상일 것입니다. 특히 정수론을 깊이 연구하는 학자들에게는 엄청난 상실감과 학문적 혼란을 안겨줄 수 있습니다. 그러나 역설적으로 가설이 틀렸음을 증명하는 과정에서 예상치 못한 새로운 수학적 발견이 이루어지고, 수학의 세계는 이전보다 훨씬 더 다채롭고 흥미로운 방향으로 흘러갈지도 모릅니다. 리만 가설은 단순히 하나의 문제를 넘어 현대 수학의 수많은 분야와 거미줄처럼 긴밀하게 연결되어 있습니다. 이를 해결하려는 끊임없는 시도는 제타 함수론이나 L-함수 이론의 폭발적인 발전을 이끌어냈으며, 이는 정수론의 정밀한 정보들을 이해하는 데 결정적인 역할을 하고 있습니다. 비록 수십 년간의 도전이 당장 눈에 보이는 결실을 보지 못했을지라도, 이 탐구 과정에서 파생된 수학적 개념들은 그 자체로 인류 지성사에 거대한 가치를 지닙니다. 리만 가설은 여전히 수학의 찬란한 성배로 남아 우리를 끝없는 무한의 세계로 인도하고 있습니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (5) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ⑤

리만 가설은 수학계에서 가장 악명 높은 난제 중 하나로 손꼽힙니다. 오죽하면 수학자와 공동 연구를 시작한 악마조차 며칠 밤을 새워 미적분학부터 해석적 정수론까지 통달했음에도 불구하고, 결국 해결의 실마리를 찾지 못해 절망했다는 우스갯소리가 있을 정도입니다. 이 이야기는 리만 가설이 단순히 지능의 문제를 넘어, 현대 수학의 모든 정수를 쏟아부어도 정복하기 힘든 거대한 장벽임을 시사합니다. 수많은 천재가 일생을 바쳤음에도 여전히 미지의 영역으로 남아 있는 이 가설은 인류 지성의 한계를 시험하는 상징적인 존재가 되었습니다. 이 가설이 이토록 난공불락인 이유는 수학의 여러 분야가 복잡하게 얽혀 있기 때문입니다. 리만 가설은 대수학과 해석학의 속성을 동시에 지니고 있으며, 어느 한쪽으로 깊이 파고들어도 명쾌한 해답을 내놓지 않습니다. 리만 제타 함수 외에도 수많은 제타 함수가 존재하지만, 그들 역시 고유의 수론적 성질을 간직한 채 리만 가설의 벽을 넘지 못하고 있습니다. 역사적으로 증명되었듯, 다양한 학문적 접근과 깊이 있는 통찰이 동시에 요구되기에 이 문제는 단순한 계산을 넘어선 고도의 추상적 사고를 필요로 합니다. 리만 가설을 시각적으로 표현하자면 사방이 절벽으로 둘러싸인 이스레엘의 마사다 요새와 같습니다. 도무지 어디로 접근해야 할지 길이 보이지 않는 이 요새는 로마군이 오랜 시간 공을 들여 비탈길을 만든 후에야 함락될 수 있었습니다. 수학자들 역시 리만 가설이라는 거대한 요새를 정복하기 위해 유효한 접근로를 찾으려 애쓰고 있습니다. 비록 지금은 그 길이 보이지 않아 막막할지라도, 수백 년의 세월이 흐르며 인류의 지식이 쌓이다 보면 언젠가는 성벽을 허물 수 있는 결정적인 경로가 발견될 것이라는 희망이 이 연구를 지속하게 합니다. 자연수의 성질을 다루는 정수론 문제에 복소수가 등장하는 것은 언뜻 생소해 보일 수 있습니다. 하지만 피보나치 수열의 일반항에 무리수가 포함되듯, 현대 수학에서는 단순한 대상을 설명하기 위해 더 고차원적인 도구를 사용하는 일이 빈번합니다. 특히 최근에는 컴퓨터가 수학 연구의 강력한 조력자로 부상했습니다. 인간이 수년 동안 매달려야 할 복잡한 계산이나 함수의 거동 파악을 단 몇 분 만에 해결함으로써 수학적 직관을 얻는 데 결정적인 역할을 합니다. 이러한 도구의 발전은 난제 해결을 위한 새로운 가능성을 열어주고 있습니다. 결국 리만 가설의 핵심은 소수의 개수를 정확하게 파악하는 부등식의 문제로 귀결됩니다. 소수의 실제 분포와 수학적 근삿값 사이의 오차가 특정 범위를 넘지 않는다는 것을 증명하는 것이 이 가설의 본질입니다. 만약 외계 지성체가 존재하여 시간의 흐름을 인식하고 수를 이해한다면, 그들 역시 필연적으로 소수를 발견하고 리만 가설에 도달했을 것입니다. 소수는 우주 공통의 언어이자 수의 근간이기 때문입니다. 리만 가설은 인류만의 고민이 아니라, 우주의 질서를 이해하려는 모든 지성체가 마주하게 될 궁극의 질문이라 할 수 있습니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

수학의 세계에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 많은 수학자들에게 도전의 대상이자 꿈의 정점입니다. 기하서 교수는 폴리아 추측을 해결하는 과정에서 이 거대한 산의 존재를 다시금 확인하게 되었습니다. 8년 동안 매달렸던 폴리아 추측을 동료와의 협력을 통해 단 넉 달 만에 해결하며 얻은 자신감은 그를 리만 가설이라는 더 큰 도전으로 이끌었습니다. 비록 그 길이 20년이라는 긴 세월을 요구할 것이라고는 당시에는 상상조차 하지 못했지만, 난제를 향한 순수한 열정은 그를 수학의 깊은 심연으로 안내하는 원동력이 되었습니다. 20년이라는 긴 시간 동안 하나의 문제에 매달리는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 기 교수는 이 과정을 고통스러운 인고의 시간이 아닌, 매일매일 마주하는 아름다운 순간들의 연속으로 기억합니다. 그는 자신의 직관을 확인하기 위해 전 세계의 저명한 수학자들을 찾아다니며 교류했습니다. 모토하시, 후지, 요시다 등 세계적인 석학들과의 대화는 리만 가설에 대한 다양한 시각을 제공해주었습니다. 이러한 상호작용은 수학 연구가 단순히 혼자만의 고립된 작업이 아니라, 전 세계 수학자들의 상상력이 교차하며 지평을 넓혀가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 연구 과정에서 마주한 가장 큰 전환점은 현대 수학의 거대한 흐름인 랭글랜즈 프로그램과의 만남이었습니다. 대수기하학적 기초 없이 리만 가설에 도전하는 것의 한계를 깨달은 그는, 늦은 시기임에도 불구하고 새로운 이론을 공부하기 시작했습니다. 특히 숄체 교수의 논문을 해독할 수 있게 된 시점부터 그는 지식의 갈증에서 벗어나 진정한 자유를 느꼈다고 회상합니다. 이는 수학자에게 필요한 것이 단순히 기존의 지식을 습득하는 것을 넘어, 끊임없이 변화하는 학문의 흐름을 수용하고 자신의 한계를 극복하려는 유연한 태도임을 시사합니다. 리만 가설과 같은 거대 난제를 다루기 위해서는 천재적인 지능만큼이나 독특한 성격적 특성이 요구됩니다. 기 교수는 수학자를 두 부류로 나누며, 자신을 '성격'으로 버티는 유형이라 정의합니다. 오랜 시간 공들여온 연구가 실패로 돌아갔음을 깨달은 순간에도 좌절하지 않고 다시 시작할 수 있는 마음가짐이 중요하기 때문입니다. 단순히 좋아한다는 감정만으로는 3년에서 5년의 한계를 넘기 어렵지만, 실패를 딛고 일어서는 회복탄력성은 수학자가 난제를 해결하기 위해 갖춰야 할 필수적인 자질입니다. 리만 가설의 역사는 1859년 베른하르트 리만이 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 시작되었습니다. 가우스가 15세의 나이에 예견했던 소수 정리를 보다 구체화하려 했던 리만은, 소수의 개수를 세는 '문학적'인 표현을 정교한 수학적 공식으로 변환하는 업적을 남겼습니다. 리만은 자신의 가설이 증명된다면 소수의 분포를 완벽히 이해할 수 있을 것이라 보았지만, 정작 그 증명은 후대의 몫으로 남겨두었습니다. 160년이 지난 지금까지도 이 가설이 수많은 수학자들을 매료시키고 괴롭히는 이유는, 그 안에 우주의 질서를 관통하는 소수의 비밀이 숨겨져 있기 때문일 것입니다.

기하서, 김영원

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수학

[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (3) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ③

리만 가설은 수학계의 거대한 산과 같으며 이를 해결하기 위해서는 타고난 소질과 더불어 랭글랜즈 프로그램에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 폴리아는 리만 크시 함수를 도입하여 이 난제에 도전했던 대표적인 수학자입니다. 그는 복잡한 문제를 단순화된 모델로 변형하여 지식을 점진적으로 확장해 나가는 독특한 방법론을 사용했습니다. 비록 그의 방식이 리만 가설의 완전한 해결로 이어지지는 못했지만, 어려움 속에서도 동료 수학자들에게 음식을 보내며 도왔던 그의 따뜻한 인품은 후대 수학자들에게 큰 귀감이 되고 있습니다. 해석적 정수론의 거장인 비노그라도프와 셀베르그는 리만 가설의 임계 구역을 탐구하며 중요한 학문적 진전을 이루어냈습니다. 비노그라도프는 영점이 존재하지 않는 영역을 확장하는 데 독보적인 성과를 거두었으며, 셀베르그는 복소해석학을 배제한 초등적 방식으로 소수 정리를 증명하여 필즈상을 수상하는 영예를 안았습니다. 특히 셀베르그는 리만 제타 함수의 영점 중 상당수가 임계선 위에 존재한다는 사실을 최초로 증명하며 가설 해결을 위한 실질적인 토대를 마련했습니다. 이들의 연구는 오늘날까지도 깨지지 않는 강력한 결과로 남아 있습니다. 레빈슨은 뇌암 투병이라는 가혹한 환경 속에서도 제타 함수를 미분하는 혁신적인 아이디어를 통해 임계선 위에 영점의 3분의 1 이상이 존재한다는 놀라운 정리를 발표했습니다. 그의 연구는 현대 수학자들에게 매우 중요한 영감을 주었으며, 이후 들리뉴는 국소 리만 가설을 해결하며 대수학의 정점에 섰습니다. 최근에는 페터 숄체와 같은 젊은 천재 수학자들이 들리뉴의 계보를 이어받아 정수론 분야에서 눈부신 활약을 펼치고 있어 리만 가설 해결을 향한 새로운 전기가 마련될 것으로 기대됩니다. 이는 수학의 세대교체와 학문의 연속성을 보여주는 사례입니다. 인간은 역사적으로 소수의 개수를 직접 세는 데 한계를 보여왔으며, 리만 가설은 이러한 한계를 극복하기 위해 제타 함수라는 우회적인 경로를 선택한 결과물입니다. 현대 수학에서는 랭글랜즈 프로그램과 모티프 이론이 제타 함수의 본질을 파악하는 핵심 열쇠로 주목받고 있습니다. 비록 이 이론들이 아직 완전히 정립되지는 않았으나, 차수가 낮은 헤케 제타 함수 등에서 실마리를 찾는다면 일반화된 리만 가설의 해결도 결코 불가능한 꿈은 아닐 것입니다. 이러한 도전 정신은 수학이 단순한 계산을 넘어 우주의 질서를 탐구하는 과정임을 증명합니다. 리만 가설을 향한 여정은 개인의 고독한 연구를 넘어 수학자들 사이의 긴밀한 교류와 영감을 통해 이어집니다. 기하서 교수와 김영원 교수의 인연은 1997년 폴리아의 예상에 관한 강연에서 시작되었으며, 이는 한 수학자가 난제 해결에 평생을 매진하게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 복소해석학적 관점과 집합론적 배경이 어우러진 이들의 협력은 리만 가설이라는 거대한 목표를 향해 나아가는 현대 수학의 역동적인 모습을 잘 보여줍니다. 학문적 호기심에서 시작된 작은 만남이 거대한 수학적 성취를 위한 밑거름이 되고 있는 것입니다.

기하서

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수학

[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (2) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ②

리만 제타 함수는 수학의 역사에서 가장 신비로운 대상 중 하나로, 무한 급수의 형태로 정의됩니다. 실수부가 1보다 큰 영역에서 모든 자연수의 거듭제곱 역수를 합산하는 이 함수는 소수들의 곱으로 표현되는 '오일러 곱'이라는 독특한 성질을 지닙니다. 이는 모든 자연수가 유일한 소수들의 곱으로 분해된다는 산술의 기본 정리와 맞닿아 있습니다. 또한, 감마 함수를 포함한 함수 방정식을 통해 그 성질이 더욱 확장되며, 현대 수학자들은 이를 국소 제타 함수의 관점에서 이해하기도 합니다. 수학자들은 함수의 정의역을 넓히기 위해 해석적 확장이라는 기법을 사용합니다. 리만 제타 함수 역시 초기에는 특정 영역에서만 정의되었으나, 적분 지식을 활용한 변형을 통해 실수부가 0보다 큰 영역까지 확장될 수 있습니다. 더 나아가 함수 방정식을 이용하면 복소 평면 전체에서 단 하나의 점을 제외하고 모든 영역에서 미분 가능한 함수로 거듭납니다. 이러한 확장은 단순한 수치적 계산을 넘어, 함수가 가진 본질적인 대칭성과 구조를 파악하는 결정적인 계기가 됩니다. 함수의 값이 0이 되는 지점인 영점은 리만 제타 함수의 비밀을 푸는 열쇠입니다. 음의 짝수에서 나타나는 자명한 영점들은 함수 방정식을 통해 비교적 쉽게 파악할 수 있지만, 진짜 중요한 것은 임계 구역이라 불리는 영역에 존재하는 비자명한 영점들입니다. 오일러 곱의 강력한 성질 덕분에 이 영점들이 실수부 0과 1 사이에 존재한다는 사실은 증명되었으나, 그 정확한 위치를 파악하는 것은 현대 수학의 거대한 도전 과제로 남아 있습니다. 리만 가설은 모든 비자명한 영점들이 실수부 1/2인 직선, 즉 임계선 위에 존재할 것이라는 대담한 가정입니다. 수많은 수학자가 컴퓨터를 활용해 수조 개의 영점을 계산해 본 결과, 현재까지 발견된 모든 영점은 이 가설을 충족하고 있습니다. 영점의 분포는 로그 함수를 포함한 복잡한 수식으로 설명되며, 그 간격과 밀도는 소수의 분포와 밀접한 관련이 있습니다. 컴퓨터를 통한 수천 시간의 연산은 수학적 직관을 제공하며 가설의 신뢰도를 높여주는 중요한 역할을 합니다. 리만 가설이 해결되지 않는 이유는 대수적 성질과 해석적 성질이 복잡하게 얽혀 있기 때문입니다. 이 두 세계의 특성을 동시에 깊게 파고드는 문제는 수학 전체를 통틀어 유례를 찾기 힘듭니다. 현대 수학은 리만 제타 함수를 넘어 수많은 L-함수를 '셀베르그 클래스'로 분류하여 통합적으로 연구하고 있습니다. 이 모든 함수가 리만 가설을 만족한다는 '그랜드 리만 가설'은 정수론, 대수기하, 조화해석 등 수학의 여러 분야가 하나로 만나는 지점이기도 합니다.

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (1) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ①

수학의 세계에서 정수론은 '수학의 여왕'이라 불릴 만큼 고결하면서도 난해한 분야로 손꼽힙니다. 가우스가 정의했듯 정수론은 수의 본질을 탐구하며, 리만 가설이나 골드바흐 추측과 같은 수많은 난제를 품고 있습니다. 이러한 문제들은 단순히 계산의 영역을 넘어 새로운 수학적 개념을 요구하며, 때로는 한 학자가 평생을 바쳐 연구해도 그 끝을 보기 어려울 정도로 깊은 인내를 필요로 합니다. 하나의 난제에 수십 년간 매달리는 수학자의 열정은 마치 구도자의 길과 같으며, 이는 수학이 단순한 학문을 넘어 진리를 향한 숭고한 여정임을 보여줍니다. 현대 수학에서 난제를 해결했다는 선언이 곧바로 정답으로 인정받는 것은 아닙니다. 2012년 발표된 ABC 예상의 증명 사례처럼, 수백 페이지에 달하는 복잡한 논리는 동료 수학자들의 철저한 검증 과정을 거쳐야 합니다. 새로운 수학적 체계를 도입한 증명은 때로 학계 내에서 거센 논쟁을 불러일으키기도 하며, 권위 있는 학자들 사이에서도 의견이 갈리는 경우가 빈번합니다. 이처럼 수학적 진실을 확정 짓는 과정은 매우 엄격하며, 모든 구성원이 공감할 수 있는 논리적 완결성을 갖추기까지는 예상보다 훨씬 긴 시간이 소요되기도 합니다. 수학의 거대한 탑은 수리 논리와 집합론이라는 견고한 토대 위에 세워져 있습니다. 칸토어와 괴델, 튜링과 같은 천재들이 다져놓은 공리계는 현대 수학이 나아갈 방향을 제시하는 나침반 역할을 합니다. 특히 ZFC라 불리는 공리계는 우리가 선택한 규칙 안에서 수학적 우주가 어떻게 작동하는지를 규정합니다. 논리적인 관점에서 본다면 수학적 발견이란 무에서 유를 창조하는 것이 아니라, 이미 공리 안에 내재되어 있는 진리들을 하나씩 찾아내어 질서정연하게 정리하는 과정이라고 할 수 있습니다. 모든 수학적 정리는 결국 이 단단한 논리의 지반 위에서 탄생합니다. 자연수의 근간을 이루는 소수는 수학자들에게 영원한 탐구의 대상입니다. 모든 자연수가 소수의 곱으로 분해된다는 소인수분해의 원리는 단순해 보이지만, 소수가 수의 체계 속에서 어떻게 분포하는지를 파악하는 일은 매우 복잡합니다. 19세기 가우스는 소수의 개수가 일정한 규칙성을 가지고 분포한다는 사실을 발견하고 이를 함수로 예측하려 시도했습니다. 비록 그는 이를 완벽하게 증명하지 못했으나, 소수의 분포을 이해하려는 그의 통찰은 이후 리만이 리만 제타 함수를 통해 더 깊은 수의 신비를 파헤치는 결정적인 계기가 되었습니다. 리만 가설은 가우스가 남긴 소수 분포의 수수께끼를 가장 정밀하게 해결하려는 시도입니다. 리만은 리만 제타 함수라는 도구를 도입하여 소수의 개수를 정확히 세는 방법을 제시했으며, 그 과정에서 특정한 가정이 성립한다면 소수의 분포 오차를 극적으로 줄일 수 있음을 발견했습니다. 비록 리만은 생전에 이 가설을 완벽히 증명하지 못하고 짧은 생을 마감했지만, 그가 남긴 유산은 현대 수학의 가장 중요한 이정표가 되었습니다. 오늘날에도 수많은 수학자들은 리만이 던진 이 질문을 풀기 위해 도전하며 수의 세계가 지닌 궁극적인 질서를 찾고 있습니다.

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