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[심화 강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 심화 | 1강

군론은 현대 수학의 시작을 알리는 중요한 학문으로, 단순히 대칭적인 상태를 관찰하는 것을 넘어 능동적인 '변환'을 연구하는 분야입니다. 정삼각형이나 정사각형과 같은 도형을 회전시키거나 반사시키는 움직임들을 모아놓은 것이 바로 군의 기초가 됩니다. 예를 들어 정삼각형은 여섯 가지의 대칭 변환을 가지며, 이러한 변환들을 하나의 집합으로 묶어 그들 사이의 관계를 분석합니다. 이는 대상을 고정된 상태로 보는 것이 아니라, 변화 가능성을 체계적으로 정리하여 수학적 구조를 파악하려는 시도라고 할 수 있습니다. 단순한 집합과 군을 구분 짓는 결정적인 요소는 바로 '이항 연산'의 존재입니다. 군은 원소들을 모아놓은 집합에 더해, 두 원소를 결합하여 새로운 결과를 만들어내는 이항 연산이 정의되어야 합니다. 삼각형의 대칭 변환을 예로 들면, 120도 회전시킨 후 다시 반사 대칭을 수행하는 연속적인 동작 자체가 하나의 연산이 됩니다. 이러한 연산의 결과가 항상 기존의 대칭 변환 범위 안에 머물러야 한다는 점이 군의 핵심적인 특징입니다. 즉, 군은 원소들 사이의 상호작용과 그 규칙성을 탐구하는 역동적인 수학적 체계라고 정의할 수 있습니다. 수학적으로 군이 성립하기 위해서는 네 가지 필수 조건을 만족해야 합니다. 첫째는 연산 결과가 집합 내에 머무는 '닫힘성'이며, 둘째는 연산 순서의 우선순위가 결과에 영향을 주지 않는 '결합 법칙'입니다. 셋째는 어떤 원소와 연산해도 자기 자신이 나오게 하는 '항등원'이 존재해야 하며, 마지막으로 모든 원소는 자신을 항등원으로 되돌릴 수 있는 '역원'을 가져야 합니다. 정수 집합에서 덧셈 연산은 이 네 조건을 모두 만족하여 군을 이루지만, 곱셈 연산은 역원이 정수 범위 내에 존재하지 않아 군이 될 수 없습니다. 이러한 엄밀한 조건들이 군론의 논리적 토대를 형성합니다. 군론의 세계에서 '단순군'은 자연수의 소수와 같은 역할을 합니다. 더 이상 정규 부분군으로 쪼개지지 않는 가장 기본적인 단위이기 때문입니다. 현대 수학의 거대한 업적 중 하나인 '유한 단순군의 분류'는 세상에 존재하는 모든 유한 단순군을 몇 가지 유형으로 정리한 작업입니다. 이 과정에서 한국의 위대한 수학자 이임학 교수님은 자신의 이름을 딴 '이임학 군(Ree Group)'을 발견하며 학계에 큰 족적을 남기셨습니다. 이는 복잡한 대칭 구조를 근본적인 원소들로 분해하여 이해하려는 수학자들의 끈질긴 노력이 결실을 본 사례라 할 수 있습니다. 유한 단순군의 분류가 완료되었다고 해서 군론의 연구가 끝난 것은 아닙니다. 화학의 주기율표가 완성된 것이 곧 화학의 끝이 아니듯, 분류된 군들을 조합하여 어떤 새로운 구조를 만들 수 있는지는 여전히 중요한 과제로 남아 있습니다. 오늘날 군론은 물리학, 통계학은 물론 인공지능과 빅데이터 분석의 핵심 도구인 행렬 연산 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다. 대칭의 아름다움 속에 숨겨진 진리를 탐구하는 이 학문은 마커스 듀 사토이의 '대칭'이나 이안 스튜어트의 '왜 아름다움은 진리인가'와 같은 저술을 통해 대중에게도 그 깊은 매력을 전달하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 우주는 수인가 모양인가? by김민형 | 2018 여름 카오스 콘서트 '수학과 과학 42' 1부 | 1부

구글은 현대인에게 단순한 검색 엔진 이상의 의미를 지닙니다. 데이터 과학자 정하웅 교수는 이 거대한 플랫폼이 가진 정보의 힘에 주목하며, 우리가 일상에서 마주하는 수많은 질문과 고민을 해결해 주는 데이터의 가치를 강조합니다. 디지털 시대의 정보는 멀리 있는 존재가 아니라, 우리 손안의 스마트폰과 컴퓨터 화면 속에 상주하며 우리의 모든 궁금증을 실시간으로 해결해 주는 핵심적인 자원이 되었습니다. 이러한 정보의 흐름은 우리의 사고방식과 삶의 양식을 근본적으로 변화시키고 있습니다. 우리가 구글에 입력하는 검색어는 단순한 단어의 나열이 아닙니다. 그것은 우리의 욕망, 불안, 그리고 현재의 상태를 가장 솔직하게 드러내는 지표입니다. 친구나 가족에게도 말하지 못하는 은밀한 고민부터 사소한 궁금증까지, 구글은 인류의 집단지성과 개별적인 행동 양식을 고스란히 기록합니다. 이러한 방대한 데이터는 개별적으로는 파편화되어 보이지만, 이를 거시적으로 분석하면 인류 전체의 흐름을 읽어낼 수 있는 강력한 도구가 됩니다. 데이터는 이제 인간을 이해하는 새로운 언어가 되었습니다. 구글의 데이터 권력을 상징적으로 보여준 사례가 바로 '구글 독감 트렌드'입니다. 2008년 구글은 사람들이 독감 증상을 검색하는 빈도를 분석하여, 미국 질병통제예방센터보다 훨씬 빠르게 독감 유행 지역을 예측해 냈습니다. 전통적인 방식이 병원 보고를 집계하는 데 수주가 걸렸던 반면, 구글은 실시간 검색 데이터를 통해 즉각적인 결과를 도출했습니다. 이는 데이터가 이론이나 가설을 넘어 현실의 문제를 해결하는 강력한 수단이 될 수 있음을 증명한 사건이었으며, 빅데이터 시대의 서막을 알렸습니다. 빅데이터의 핵심은 '왜'라는 인과관계보다 '무엇이' 일어나는지에 대한 상관관계에 집중하는 데 있습니다. 구글은 독감이 왜 발생하는지 연구하는 대신, 독감에 걸린 사람들이 어떤 단어를 검색하는지에 주목했습니다. 이러한 접근 방식은 복잡한 현상을 단순화하여 빠르게 결론에 도달하게 해 줍니다. 데이터 과학은 수많은 변수가 얽힌 현실 세계에서 유의미한 패턴을 찾아내고, 이를 통해 미래를 예측하는 새로운 통찰력을 제공하며 학문의 패러다임을 바꾸어 놓았습니다. 이는 효율성을 극대화하는 현대 과학의 특징을 잘 보여줍니다. 그러나 데이터의 전지전능함에는 분명한 한계가 존재했습니다. 구글 독감 트렌드는 시간이 흐르면서 실제 독감 발생률을 과도하게 높게 예측하는 오류를 범하기 시작했습니다. 이는 검색 알고리즘의 변화와 사용자들의 행동 양식 변화를 데이터가 온전히 반영하지 못했기 때문입니다. 데이터는 과거의 기록일 뿐, 변화하는 미래를 완벽하게 보장하지는 않습니다. 기술적 결함이나 데이터의 편향성은 언제든 예측의 정확도를 떨어뜨릴 수 있으며, 이는 데이터 맹신에 대한 경종을 울리는 계기가 되었습니다. 결국 데이터 과학의 본질은 숫자가 아닌 인간에 대한 깊은 이해에 있습니다. 데이터는 인간의 활동이 남긴 흔적이며, 그 이면에는 복잡한 심리와 사회적 맥락이 숨어 있습니다. 데이터를 분석하는 과정에서 인간의 직관과 비판적 사고가 배제된다면, 우리는 숫자가 만들어낸 환상에 빠질 위험이 있습니다. 진정한 통찰은 방대한 데이터 속에서 유의미한 가치를 발견하고, 그것이 현실 세계와 어떻게 연결되는지를 파악하는 인간의 지혜로부터 나옵니다. 데이터는 결코 인간의 판단을 완전히 대체할 수 없습니다. 우리는 이제 데이터가 지배하는 세상을 살아가고 있습니다. 데이터가 우리 삶에 깊숙이 침투해 있다는 사실은 부정할 수 없는 현실입니다. 하지만 데이터는 도구일 뿐, 그 도구를 어떻게 활용하고 어떤 방향으로 나아갈지를 결정하는 것은 결국 인간의 몫입니다. 기술의 발전이 가져다주는 편리함을 누리되, 데이터 뒤에 숨겨진 진실을 탐구하려는 노력을 멈추지 말아야 합니다. 그것이 바로 인공지능과 빅데이터의 시대에 우리가 갖추어야 할 진정한 지성이며, 미래를 준비하는 올바른 자세일 것입니다.

김민형

카오스재단카오스콘서트

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (4) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ④

회전판의 대칭성을 이용하면 정수론의 난제를 해결할 수 있는 실마리를 얻게 됩니다. 다섯 칸으로 나뉜 회전판을 두 가지 색으로 칠하는 경우의 수를 따져보면, 모든 칸이 같은 색인 경우를 제외한 나머지 조합들이 회전 대칭에 의해 5의 배수로 묶이는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 군의 대칭성은 페르마의 소정리를 증명하는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 구조인 군을 통해 수의 성질을 파악하는 방식은 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나로 자리 잡고 있습니다. 군론의 핵심 개념인 '작용'과 '표현'은 수학적 대상을 바라보는 시각을 획기적으로 확장합니다. 모든 대상을 변화와 함수로 이해하려는 시도가 작용이라면, 이를 행렬과 벡터의 언어로 구체화하여 분석하는 것이 표현론입니다. 특히 표현론은 선형대수학의 틀 안에서 대칭성을 연구하며 수학적 구조를 더욱 명확하게 드러냅니다. 벡터 공간이라는 무대 위에서 군의 성질을 표현함으로써, 우리는 추상적인 대칭성을 계산 가능한 형태로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 결정적인 역할을 한 것도 바로 이 '표현'의 개념이었습니다. 타원 곡선과 모듈러 형식 사이의 관계를 증명하는 과정에서 연속 표현의 존재는 수학적 진실을 밝히는 핵심 열쇠가 되었습니다. 표현을 만들어낸다는 것은 대칭성을 이용해 복잡한 대상을 설명할 수 있는 기반을 마련하는 일과 같습니다. 이는 단순한 수치 계산을 넘어 서로 다른 수학적 세계를 잇는 가교 역할을 수행하며 정수론의 비약적인 발전을 이끌었습니다. 표현론은 현대 물리학의 표준 모형을 정립하는 데에도 필수적인 토대를 제공했습니다. 머리 겔만은 SU(3)라는 군의 표현을 연구하여 쿼크의 존재를 예측했고, 이는 소립자 물리학의 혁명으로 이어졌습니다. 전자기력, 약력, 강력은 각각 특정 군의 표현으로 설명되며, 현재 물리학자들은 중력까지 아우르는 '모든 것의 이론'을 꿈꾸며, 수학적 대칭성을 통해 우주의 근본 원리를 통합하려는 거대한 도전을 이어가고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 현대 수학의 '대통일 이론'이라 불리며 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 지도의 역할을 수행합니다. 에를랑겐 프로그램의 정신을 계승하여 군의 표현론을 통해 정수론, 대수기하학, 해석학 사이의 깊은 연관성을 탐구하는 것이 이 프로그램의 핵심입니다. 이 거대한 추측들이 해결된다면 우리는 수학의 각 분야를 개별적으로 이해하는 것을 넘어, 하나의 통합된 체계 안에서 바라볼 수 있게 됩니다. 이는 수학적 지식의 지평을 근본적으로 확장하는 시도입니다. 현대 수학의 대양과 같은 랭랜즈 프로그램을 탐험하기 위해서는 다양한 분야의 전문 지식과 긴밀한 협업이 필수적입니다. 정수론, 표현론, 기하학 등 각기 다른 전공을 가진 수학자들이 서로의 지혜를 모아 공동 연구를 진행함으로써 새로운 진보를 이뤄내고 있습니다. 비록 가야 할 길이 멀고 험난할지라도, 이러한 학문적 융합은 수학을 발전시키는 강력한 원동력이 됩니다. 랭랜즈 프로그램은 단순한 연구의 종착역이 아니라, 더 넓은 진리를 향해 나아가는 새로운 시작점이라 할 수 있습니다. 수학적 추측이 때로는 한계에 부딪히거나 예상치 못한 방향으로 흐르더라도, 그 탐구 과정 자체가 인류 지성의 위대한 승리라는 점은 변하지 않습니다. 힐베르트 프로그램이 불완전성 정리에 의해 도전을 받았음에도 수학이 더욱 풍성해졌듯, 랭랜즈 프로그램 역시 우리에게 우주의 질서에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 인간이 지닌 이해의 한계를 확인하고 그 너머를 상상하는 도전은 멈추지 않을 것입니다. 이러한 끊임없는 탐구 정신이야말로 수학이 지닌 진정한 가치이자 아름다움입니다.

신석우, 정경훈

카오스재단카오스강연

수학

[석학인터뷰] 이강근 KAOS 과학위원(서울대학교 지구환경과학부 교수) 인터뷰 영상

2011년 동일본 대지진 이후 한반도와 일본 열도의 지각 변동은 백두산 화산 활동에 대한 우려를 불러일으켰습니다. 거대한 지각 변동은 우리가 인지하지 못하는 사이 지표 아래의 환경에 막대한 영향을 미치며, 이러한 변화를 과학적으로 추적하는 것은 국가적 재난을 예방하기 위한 필수적인 과정입니다. 과거 남북 전문가들은 백두산의 잠재적 위험을 진단하기 위해 공동 연구를 추진하며 장기적인 협력 계획을 세우기도 했습니다. 비록 연구가 빠르게 진전되지는 못했으나, 지질학적 감시 체계를 구축하려는 노력은 우리 사회의 안전을 위해 반드시 지속되어야 할 과제입니다. 현대 문명이 발달함에 따라 우리는 지하 공간을 더욱 활발하게 이용하고 있으며, 그만큼 보이지 않는 위험 요소도 늘어나고 있습니다. 도심 지하에는 상하수도관, 가스관, 전력구 등 수많은 시설물이 복잡하게 얽혀 있는데, 이들의 노후화는 지반 침하나 갑작스러운 폭발 사고의 원인이 될 수 있습니다. 엔지니어링 기술이 아무리 뛰어나더라도 모든 위험을 완벽하게 통제하기는 어렵기에, 과학 기술을 총동원한 정밀 모니터링 시스템 구축이 필수적입니다. 시민들 또한 일상 속에서 지반 변형에 대한 경각심을 가지고 주변을 살피는 자세가 필요합니다. 우리가 마시는 물은 크게 인위적인 정수 과정을 거친 물과 자연적인 정화 과정을 거친 생수로 나뉩니다. 일반적인 수돗물은 짧은 시간 내에 과학적인 공정을 통해 안전성을 확보하는 반면, 생수는 오랜 시간 지층을 통과하며 암석의 광물질이 자연스럽게 녹아든 결과물입니다. 이러한 자연 정수 과정은 지역의 지질 특성에 따라 물의 성분과 맛을 결정짓는 중요한 요소가 됩니다. 마치 와인의 풍미가 산지의 토양과 기후에 따라 달라지듯, 물 역시 지질학적 환경에 따라 고유한 특성을 지니게 되어 소비자의 선택 폭을 넓혀주고 있습니다. 과학은 단순히 연구실 안에 머무는 지식이 아니라 대중과 호흡하며 살아 움직일 때 그 가치가 더욱 빛납니다. 과학자들 역시 자신의 전공 분야를 넘어 타 분야의 지식을 접하며 새로운 시각을 얻기도 합니다. 특히 강연과 같은 소통의 장은 연사가 준비한 정보를 전달하는 것에 그치지 않고, 청중의 질문과 반응을 통해 지식에 생명력을 불어넣는 과정입니다. 지식을 갈구하는 사람들과 전문가가 만나 서로 소통할 때, 비로소 죽어 있는 정보가 우리 삶에 유익한 산지식으로 변모하게 됩니다. 과학 기술의 발전은 우리에게 편리함을 제공하는 동시에 보이지 않는 위험을 미리 감지하고 대비할 수 있는 힘을 줍니다. 화산 활동의 징후를 포착하거나 노후화된 지하 시설물의 붕괴를 막는 일, 그리고 우리가 마시는 물의 가치를 이해하는 일 모두가 과학의 영역에 속합니다. 결국 과학은 전문가들만의 전유물이 아니라, 사회 구성원 모두가 관심을 가지고 참여할 때 더욱 견고한 안전망을 형성할 수 있습니다. 대중의 경각심과 과학적 통찰이 결합될 때 우리는 더욱 안전하고 풍요로운 미래를 설계할 수 있을 것입니다.

이강근

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