팔찌

[강연] '모양(shape)' 연구의 대가 - In Memory of 권경환 1_by 김연응 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 7강 첫 번째 이야기 | 7강 ①

수학의 세계에서 위대한 업적을 남긴 권경환 교수는 한국 수학계의 거목으로 기억됩니다. 그는 포항공과대학교에서 자신의 퇴직금을 전액 기부하여 '권경환 석좌교수'라는 영예로운 직함을 만드는 데 기여했습니다. 이는 단순히 금전적 기부를 넘어 후배 연구자들에게 학문적 자부심과 연구 환경을 제공하려는 숭고한 뜻이 담긴 사례입니다. 권 교수는 어려운 시기에도 수학 연구에 매진하며 인품과 실력을 겸비한 학자로 칭송받았으며, 그의 삶은 오늘날 많은 수학자에게 큰 귀감이 되고 있습니다. 위상수학은 우리가 흔히 아는 기하학과 본질적인 차이를 가집니다. 기하학이 물체의 굽은 정도나 면과 면이 만나는 각도와 같은 구체적인 수치를 중요하게 여긴다면, 위상수학은 물체의 형태를 연속적으로 변형했을 때 변하지 않는 성질에 집중합니다. 즉, 어느 정도 휘었는지는 중요하지 않으며, 하나의 대상을 끊거나 붙이지 않고 다른 모양으로 만들어낼 수 있는지가 핵심입니다. 이러한 관점은 공간을 이해하는 새로운 틀을 제공하며, 복잡한 형태 속에서 숨겨진 본질을 꿰뚫어 보게 합니다. 위상수학의 개념적 뿌리는 오일러가 해결한 쾨니히스베르크의 다리 문제에서 찾을 수 있습니다. 일곱 개의 다리를 한 번씩만 건너 모두 지날 수 있는지를 탐구하던 오일러는, 지형의 구체적인 크기나 거리가 아닌 지점 간의 연결 상태가 문제의 핵심임을 발견했습니다. 이는 복잡한 현실 세계를 추상화하여 본질적인 연결 구조만을 추출하는 과정이었으며, 현대 위상수학이 탄생하는 결정적인 출발점이 되었습니다. 거리가 멀어도 연결 방식이 같다면 수학적으로는 동일한 구조로 간주하는 것입니다. 우리가 일상에서 접하는 지하철 노선도는 위상수학적 사고가 반영된 대표적인 사례입니다. 실제 지형을 그대로 반영한 지도와 달리, 노선도는 역과 역 사이의 연결 관계라는 핵심 정보만을 도식화하여 보여줍니다. 노선이 직선인지 곡선인지, 혹은 역 사이의 실제 거리가 얼마인지는 중요하지 않습니다. 정보의 연결성이 동일하다면 두 지도는 ‘위상적 동치’라고 부르며, 이는 복잡한 시스템을 효율적으로 이해하게 돕습니다. 형태가 바뀌어도 정보의 본질은 유지된다는 원리가 담겨 있습니다. 위상수학에서 물체를 분류하는 중요한 기준 중 하나는 '구멍의 개수'입니다. 이를 수학적 용어로 '지너스(Genus)'라고 부릅니다. 예를 들어, 구멍이 없는 끈이나 하트 모양의 찰흙은 지너스가 0인 반면, 구멍이 하나인 팔찌나 빨대는 지너스가 1인 대상입니다. 직관적으로는 매우 다르게 보이는 물체들이라도 구멍의 개수가 같다면 위상적으로는 같은 종류로 분류될 수 있습니다. 이는 모양의 겉모습보다 구조적 특징을 우선시하는 방식이며, 사물을 바라보는 수학자들의 독특한 시각을 잘 보여줍니다. 물체를 변형할 때 ‘연속적 변환’을 유지하는 것은 위상수학의 대전제입니다. 변환 과정에서 물체를 가위로 자르거나, 떨어져 있던 부분을 억지로 붙이는 행위는 허용되지 않습니다. 고무줄을 늘리거나 찰흙을 주무르는 것처럼 형태를 부드럽게 바꾸는 것만이 연속적 변환에 해당합니다. 만약 변형 과정에서 파괴적인 행위가 일어난다면, 그것은 더 이상 원래의 물체와 같은 성질을 공유한다고 볼 수 없으며 위상적 동치 관계도 깨지게 됩니다. 이러한 엄격한 규칙 아래에서 수학적 '같음'이 정의됩니다. 수학자들은 공간의 성질을 더욱 엄밀하게 정의하기 위해 '기본군'이라는 개념을 도입합니다. 이는 공간 내에서 시작점과 끝점이 같은 경로인 '루프'를 만들어 그 특성을 분석하는 방법입니다. 구멍이 없는 공간에서는 모든 루프를 하나의 점으로 수축시킬 수 있지만, 구멍이 있는 공간에서는 루프가 구멍에 걸려 수축되지 않는 경우가 발생합니다. 이러한 루프들의 집합이 이루는 군 구조를 통해 우리는 공간의 구조를 수학적으로 완벽하게 설명할 수 있습니다. 결국 위상수학은 보이지 않는 연결의 법칙을 찾는 여정입니다.