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[인터뷰] 김장수_저글링하는 수학자가 있다고?｜제32회 서울대 자연과학 공개강연_"과학의 탐험"

조합론은 연속적인 대상을 다루는 미적분학과 달리, 하나씩 떨어져 있어 개수를 셀 수 있는 이산적인 대상을 연구하는 학문입니다. 복잡한 문제를 해결하기 위해 대상을 단순화하다 보면 가장 명쾌한 식은 대개 조합론적으로 표현되곤 합니다. 이러한 특성 덕분에 조합론은 다른 수학 분야와 활발히 교류하며 새로운 문제들을 파생시킵니다. 최근에는 저글링의 움직임을 수학적으로 분석하는 등 일상 속의 이산적 구조를 탐구하는 도구로도 널리 활용되고 있습니다. 수학자들 사이에서도 저글링은 그 이산적인 구조 덕분에 흥미로운 조합론적 연구 대상으로 손꼽힙니다. 수학자들은 서로 다른 분야를 연구하더라도 대화와 협력을 통해 예상치 못한 연결 고리를 발견하곤 합니다. 그래프 이론을 연구하는 동료와 개수를 세는 조합론자가 만나 각자의 관점을 공유할 때, 혼자서는 보지 못했던 새로운 아이디어가 샘솟기도 합니다. 전혀 달라 보이는 두 분야가 하나의 원리로 이어지는 순간은 수학 연구에서 가장 짜릿한 경험 중 하나입니다. 이러한 과정에서 수학자들은 서로에게 배우며 학문적 시너지를 창출해 나갑니다. 이는 수학이라는 거대한 지도를 함께 그려나가는 원동력이 되기도 합니다. 복잡한 다변수 적분인 '셀버그 적분'을 조합론적으로 해석하면 '셀버그 타블로'라는 독특한 대상을 만날 수 있습니다. 이를 '영 타블로'라는 기존의 대상과 일대일 대응시키는 작업은 매우 흥미로운 도전입니다. 마치 버스 승객의 수와 회수된 티켓의 수가 일치하는 것을 확인하듯, 두 대상 사이에 완벽한 짝을 찾아내어 개수가 같음을 증명하는 것이 조합적 증명의 묘미입니다. 이는 복잡한 수식을 넘어 대상 간의 본질적인 관계를 밝혀내는 과정이라 할 수 있습니다. 이러한 증명 방식은 수학적 대상을 바라보는 새로운 시각을 제공합니다. 우리가 아는 수학은 거대한 우주에서 '측도 제로'에 가까울 만큼 아주 일부분에 불과합니다. 흔히 수학 교수라면 수능 문제를 완벽하게 풀 것이라 기대하지만, 제한된 시간 내에 순발력을 요구하는 시험과 깊은 사고를 요하는 학문으로서의 수학은 성격이 다릅니다. 수능 성적이 수학적 재능의 전부는 아니며, 충분한 시간을 두고 동료와 협력하며 문제를 해결해 나가는 과정이야말로 수학의 진정한 즐거움입니다. 누구나 자신만의 속도로 수학의 세계를 충분히 즐길 수 있으며, 시험 점수가 낮다고 해서 수학적 잠재력이 없는 것은 결코 아닙니다. 수학적 탐험은 단순히 미지의 영토를 처음 밟는 것만을 의미하지 않습니다. 앞선 이들이 닦아놓은 길을 더 쉽고 명확하게 다듬어 후학들이 더 깊이 이해할 수 있도록 돕는 과정 또한 훌륭한 탐험입니다. 수학에 대한 이해는 '안다'와 '모른다'로 나뉘는 이산적인 상태가 아니라, 반복을 통해 서서히 깊어지는 연속적인 과정입니다. 처음 접하는 개념이 낯설더라도 포기하지 않고 반복하다 보면, 어느덧 이해의 지평이 넓어지며 수학이 주는 진정한 재미를 발견하게 될 것입니다. 나에게 탐험이란 모르지만 계속 알기 위해서 나아가는 반복적인 과정입니다.

김장수

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수학

[명강리뷰] 세상 속의 수數다 _ by고계원｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강

선거는 민주주의의 꽃이라 불리지만, 그 이면에는 정교한 수학적 원리가 숨어 있습니다. 단순히 가장 많은 표를 얻은 사람이 당선되는 방식 외에도, 선호도에 따라 점수를 부여하는 보더 카운트나 특정 후보의 사퇴 여부에 따라 결과는 완전히 뒤바뀔 수 있습니다. 이는 투표 방식이라는 구조적 설계가 승패를 결정짓는 핵심 요소임을 시사합니다. 수학적 사고를 통해 선거 과정을 바라본다면, 우리가 무심코 지나쳤던 투표 시스템의 공정성과 전략적 중요성을 깊이 있게 이해할 수 있습니다. 의료 현장에서도 수학적 사고는 생명을 구하는 결정적인 역할을 수행합니다. 특정 증상이 나타났을 때, 의사는 흔히 알려진 질환과의 상관관계에 집중하기 쉽지만 이는 자칫 오진으로 이어질 위험이 있습니다. 전체집합 내에서 부분집합 간의 관계를 명확히 파악하는 수학적 다이어그램은 복잡한 증상들 사이의 숨겨진 원인을 찾아내는 데 도움을 줍니다. 증상의 선후관계와 포함관계를 논리적으로 분석함으로써, 단순한 통계적 확률을 넘어 환자의 상태를 보다 정밀하게 진단하고 최적의 치료 방향을 설정할 수 있습니다. 수학의 세계에서 무한이라는 개념은 직관을 뛰어넘는 흥미로운 성질을 보여줍니다. 셀 수 없을 만큼 많은 원소를 가진 두 집합의 크기를 비교할 때, 수학자들은 일대일 대응이라는 도구를 사용합니다. 이는 유한한 대상을 하나씩 짝지어 보는 단순한 원리에서 시작되었지만, 무한 집합에도 동일하게 적용됩니다. 정수의 집합과 그 부분집합인 짝수의 집합이 같은 크기를 가진다는 결론은 언뜻 모순처럼 보일 수 있으나, 논리적 정의를 통해 무한의 신비를 체계적으로 이해하게 해줍니다. 동역학은 시간에 따라 변화하는 물체의 움직임을 연구하는 분야로, 뉴턴의 미분방정식을 거쳐 푸앵카레에 이르러 획기적인 전환점을 맞이했습니다. 푸앵카레는 복잡한 방정식의 해를 직접 구하는 대신, 시스템이 가지는 일반적인 성질과 기하학적 구조에 주목했습니다. 그는 서로 다른 현상들 속에서 공통된 수학적 원리를 발견하고 이를 같은 이름으로 부르는 것이 수학의 본질이라고 정의했습니다. 이러한 관점은 용수철의 진동이나 전자 회로의 흐름처럼 겉보기에 이질적인 현상들을 하나의 통합된 틀 안에서 이해할 수 있게 합니다. 일상 속의 작은 수학적 자극은 우리의 논리적 사고를 근본적으로 변화시키는 나비 효과를 일으킵니다. 단순해 보이는 원리들이 모여 복잡한 세상을 해석하는 강력한 도구가 되며, 이는 개인의 삶을 더욱 풍요롭게 만듭니다. 고대 그리스인들이 추구했던 진리와 정의, 그리고 아름다움이 가득한 삶은 결국 세상을 명확하게 바라보는 통찰력에서 비롯됩니다. 수학은 단순한 계산을 넘어, 우리가 마주하는 수많은 선택과 현상들 속에서 본질을 꿰뚫어 볼 수 있는 지혜를 제공하며 행복한 삶으로 나아가는 길잡이가 되어줍니다.

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[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-2: 무한의 탐구

게오르크 칸토어는 무한의 신비를 풀기 위해 '일대일 대응'이라는 혁신적인 방법을 제시했습니다. 이는 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 크기를 비교하는 방식입니다. 예를 들어, 좌석 수와 관객 수를 비교할 때 직접 숫자를 세지 않고 관객을 자리에 모두 앉혀보는 것과 같습니다. 칸토어는 이 원리를 무한 집합에 적용하여, 자연수 집합과 그 부분집합인 짝수나 홀수 집합의 크기가 같다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 무한의 세계에서는 전체와 부분이 같을 수 있다는 갈릴레이의 역설을 해결한 중요한 열쇠가 되었습니다. 유리수 집합은 자연수보다 훨씬 촘촘하고 많아 보이지만, 칸토어는 유리수 역시 셀 수 있는 무한임을 증명했습니다. 그는 분수들을 표 형태로 나열한 뒤, 대각선 방향으로 순서를 매겨 모든 유리수를 빠짐없이 열거하는 천재적인 방법을 고안했습니다. 이 과정을 통해 유리수 집합이 자연수 집합과 일대일 대응이 가능하다는 것이 입증되었습니다. 결국 유리수 호텔의 무한한 손님들도 1층짜리 자연수 호텔로 모두 옮길 수 있다는 결론에 도달하게 됩니다. 칸토어는 이처럼 셀 수 있는 가장 작은 무한의 단위를 히브리어 첫 글자를 따서 '알레프 제로'라고 명명했습니다. 하지만 칸토어는 여기서 멈추지 않고 더 큰 무한의 존재를 탐구했습니다. 그는 0과 1 사이의 실수가 자연수보다 더 큰 무한임을 '대각선 논법'을 통해 증명했습니다. 만약 실수를 모두 나열했다고 가정하더라도, 각 숫자의 특정 자릿수를 변형하여 목록에 없는 새로운 실수를 언제나 만들어낼 수 있다는 논리입니다. 이는 실수가 자연수와 일대일 대응이 될 수 없음을 의미하며, 셀 수 없는 무한인 '알레프 원'의 존재를 세상에 알렸습니다. 무한에도 층위가 있으며, 우리가 상상하는 것보다 훨씬 거대한 무한이 존재한다는 사실이 수학적으로 밝혀진 것입니다. 알레프 제로와 알레프 원의 차이는 건축 방식의 차이와도 같습니다. 알레프 제로 호텔은 객실 사이에 유한한 방이 존재하지만, 알레프 원 호텔은 어떤 두 객실 사이에도 무한한 방이 존재하는 '연속'의 개념을 담고 있습니다. 힐베르트의 역설에 따르면 무한한 막대로 3차원 공간을 채울 수 있지만, 연속적인 실수의 무한은 그보다 훨씬 거대합니다. 칸토어는 무한을 단순히 끝없는 상태가 아니라, 하나의 완성된 실체인 '실무한'으로 다루었습니다. 이러한 연속 무한의 개념은 수학적 사고의 지평을 우주적 규모로 확장하는 계기가 되었습니다. 칸토어의 연구는 무한을 극한이라는 가상의 개념에서 끌어내어 '초한수'라는 실체적인 수로 정립시켰습니다. 당시 수학계에서 이단아 취급을 받기도 했지만, 그의 이론은 인류가 무한의 실체를 인정하고 체계적으로 다루게 된 결정적인 전환점이 되었습니다. 제논의 역설이 무한을 현실과 대비시키며 발생한 모순이었다면, 칸토어의 초한수는 무한 그 자체로 완결된 새로운 세계를 구축한 진실의 역설입니다. 인간의 이해를 넘어서는 무한의 영역이 존재한다는 사실은 우리에게 지적 경외감과 동시에 탐구의 즐거움을 선사합니다.

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물리학

[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-1: 무한을 세는 법

무한은 유한한 언어의 그릇으로 온전히 담아낼 수 없는 초월적인 개념입니다. 역사적으로 무한은 신의 영역으로 간주되어 왔으며, 인간이 이를 수학과 과학의 체계 안으로 끌어들이려는 시도는 늘 거대한 지적 도전이자 모험이었습니다. 영화 '2001: 스페이스 오디세이'의 모노리스처럼 무한은 우리가 넘어서는 안 될 경계이자, 동시에 끊임없이 엿보고 싶은 지식의 열매와도 같습니다. 유한한 존재가 무한의 벽을 두드릴 때 발생하는 역설은 우리에게 세상을 바라보는 새로운 시각을 제공합니다. 제논의 역설은 무한에 관한 가장 고전적이면서도 당혹스러운 질문을 던집니다. 아킬레스가 거북이를 결코 따라잡을 수 없다는 논리는 언뜻 완벽해 보이지만, 그 이면에는 무한한 단계를 거치면서도 걸리는 시간은 유한할 수 있다는 놀라운 사실이 숨어 있습니다. 현대 수학은 이를 극한이라는 개념으로 해결하며, 무한히 가까워지는 과정을 하나의 고정된 수로 정의합니다. 0.999...가 결국 1이 되는 것처럼, 무한의 운동성을 정적인 실체로 파악하는 유연한 사고는 무한을 이해하는 첫걸음이 됩니다. 아리스토텔레스의 바퀴나 갈릴레이의 역설은 우리의 직관을 정면으로 반박합니다. 작은 원과 큰 원이 같은 거리를 이동하거나, 자연수의 집합이 그 부분집합인 제곱수의 집합과 일대일 대응을 이룬다는 사실은 무한의 세계에서 '전체는 부분보다 크다'는 상식이 통하지 않음을 보여줍니다. 이러한 논리를 확장하면 1차원의 무한한 막대로 3차원 공간을 가득 채우는 것도 가능해집니다. 무한의 영역에서는 차원의 제약마저 사라지며, 우리가 알던 기하학적 질서는 일대일 대응이라는 새로운 규칙 아래 재편됩니다. 수학자 볼차노는 일대일 대응의 아이디어를 더욱 발전시켜 연속체 무한의 신비를 탐구했습니다. 그는 길이가 다른 두 선분 사이의 점들이 서로 완벽하게 대응할 수 있음을 증명하며, 유한한 반원이 무한한 수직선과 같은 크기의 기수를 가질 수 있다는 파격적인 결론에 도달했습니다. 이는 무한이 단순히 '끝없이 커지는 상태'가 아니라, 그 자체로 완결된 구조를 가진 집합임을 시사합니다. 비록 모든 무한의 크기가 같다는 그의 주장은 훗날 수정되지만, 무한을 실체로서 다루려 했던 그의 시도는 현대 집합론의 중요한 토대가 되었습니다. 다비드 힐베르트가 제안한 힐베르트의 무한 호텔은 무한의 산술적 특성을 가장 명쾌하게 보여주는 사고실험입니다. 만원인 호텔에 새로운 손님이 오거나 심지어 무한 명의 손님이 들이닥쳐도, 기존 투숙객을 적절히 이동시킴으로써 모두를 수용할 수 있다는 논리는 경이롭기까지 합니다. 소수의 무한성을 이용해 무한 층의 손님까지 힐베르트의 무한 호텔에 담아내는 과정은 무한 더하기 무한이나 무한 곱하기 무한이 여전히 무한임을 증명합니다. 하지만 이 거대한 호텔조차 수용할 수 없는 또 다른 차원의 무한이 존재하는지에 대한 질문은 여전히 우리를 기다리고 있습니다.

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물리학

[강연] 세상 속의 수數다 (2) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ②

일상 속에서 수학적 사고는 때로 생명을 구하는 결정적인 역할을 합니다. 응급 상황에서 의사가 환자의 심장박동 이상을 갑상샘 항진증의 결과로만 단정 지으려 할 때, 수학적 관점은 다른 가능성을 열어줍니다. 특정 질환이 심장박동 이상을 일으킬 확률이 높더라도, 전체 심장박동 이상 환자 중에서 그 질환이 차지하는 비중은 작을 수 있기 때문입니다. 이러한 집합적 사고를 통해 의사는 간 손상이라는 진짜 원인을 찾아낼 수 있었고, 이는 직관에 의존한 판단이 얼마나 위험할 수 있는지를 잘 보여주는 사례입니다. 비즈니스 현장에서도 수학은 막연한 불안감을 확신으로 바꾸어 줍니다. 고객 충성도가 경쟁사보다 낮아 시장 점유율이 결국 0으로 수렴할 것이라는 공포는 마케팅 부서를 위축시키기 쉽습니다. 하지만 행렬 계산을 통해 미래의 시장 점유율 변화를 예측해 보면, 시장은 특정 지점에서 균형을 이루며 안정화된다는 사실을 알 수 있습니다. 당장의 수치에 일희일비하기보다 수학적 모델링을 통해 장기적인 추세를 정확히 파악함으로써, 기업은 더욱 냉철하고 전략적인 대응 방안을 마련하여 위기를 극복할 수 있는 근거를 얻게 됩니다. 법정에서의 판결 역시 수학적 논리에 의해 뒤바뀌기도 합니다. 희귀한 외모 특성을 가진 커플이 범인일 확률이 매우 높다는 검사의 주장은 언뜻 설득력 있게 들리지만, 수학자는 이를 다른 각도에서 바라봅니다. 전체 인구 집단 내에서 해당 조건을 만족하는 또 다른 커플이 존재할 확률을 계산해 보면, 그것이 결코 무시할 수 없는 수준임을 증명할 수 있기 때문입니다. 1,200만 분의 1이라는 낮은 확률 뒤에 숨겨진 20%의 가능성은 무고한 사람을 구제하는 강력한 근거가 되며, 이는 사법 정의 실현에 있어 수학이 가지는 가치를 증명합니다. 수학의 심오함은 의외로 단순한 원리에 뿌리를 두고 있습니다. 무한 집합의 크기를 비교하는 난해한 문제도 '일대일 대응'이라는 직관적인 개념으로 해결할 수 있습니다. 극장에서 관객 수와 의자 수를 일일이 세지 않고도 사람들이 모두 앉아 있는지를 확인하여 크기를 비교하듯, 수학자들은 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 봅니다. 이를 통해 정수 집합과 그 부분집합인 짝수 집합의 크기가 같다는 놀라운 결론에 도달하며, 복잡한 문제를 쉬운 모델로 치환하여 생각하는 수학적 사고의 정수를 보여줍니다. 미적분학의 핵심인 적분 또한 우리 삶의 움직임을 설명하는 유용한 도구입니다. 불규칙하게 변하는 속도로 달리는 자동차의 이동 거리를 계산해야 할 때, 적분은 울퉁불퉁한 곡선 아래의 면적을 구하는 방식으로 답을 제시합니다. 변화무쌍한 현상을 아주 미세한 단위로 쪼개어 다시 합치는 이 과정은 복잡한 현실을 정교하게 분석할 수 있게 해줍니다. 결국 수학은 추상적인 기호의 나열이 아니라, 세상을 더 정확하게 이해하고 문제를 합리적으로 해결하기 위해 반드시 필요한 사고의 틀이라고 할 수 있습니다.

고계원

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[인터뷰] 김장수_저글링하는 수학자가 있다고?｜제32회 서울대 자연과학 공개강연_"과학의 탐험"

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