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[강연] 수치해석학, 근사와 과학계산의 예술 2_by 홍영준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 5강 두 번째 이야기 | 5강 ②

공학 분야에서 비행기의 날개나 유체의 흐름처럼 복잡한 물리 현상을 시뮬레이션할 때 가장 널리 쓰이는 기법 중 하나가 바로 유한요소법(FEM)입니다. 이는 복잡한 편미분 방정식을 컴퓨터가 풀 수 있는 형태로 변환하는 방법론으로, 1960년대부터 폭발적으로 발전하며 현대 공학의 필수적인 도구가 되었습니다. 유한요소법의 핵심은 문제를 아주 작은 '유한한' 요소들로 쪼개어 분석하는 데 있으며, 이는 우리가 흔히 접하는 거대한 구조물부터 미세 유체 역학까지 광범위하게 적용되어 현대 문명의 안전과 효율을 지탱하고 있습니다. 미분 방정식을 푼다는 것은 연속적인 변화를 이해하는 과정이지만, 수치해석적 관점에서는 이를 인접한 항들 사이의 관계로 치환하여 바라봅니다. 오일러의 통찰처럼 미분을 없애고 변수를 잘게 쪼개어 인접한 점들이 어떤 관계를 맺는지 정의하면, 복잡한 미분 문제는 결국 우리가 익숙한 연립방정식의 형태로 바뀝니다. 현미경으로 들여다보듯 국소적인 영역에서의 관계를 규정하고 이를 전체로 확장하여 행렬 방정식으로 풀어내는 과정이 바로 수치 선형대수학의 핵심적인 원리이며, 이를 통해 인간이 풀기 힘든 난제들을 컴퓨터로 해결할 수 있게 됩니다. 유한요소법에서는 '기저 함수'라고 불리는 작은 조각들을 활용하여 전체 함수를 형성합니다. 각각의 기저 함수는 자신이 담당하는 특정 영역에서만 값을 가지고 나머지 영역에서는 0이 되는 특성을 지니는데, 이 뾰족뾰족한 기저 함수들에 적절한 상수를 곱해 모두 더하면 우리가 원하는 연속 함수의 근삿값을 얻을 수 있습니다. 1차원에서는 삼각형 모양의 기저 함수를 사용하지만, 차원이 높아지면 삼각뿔 형태의 기저 함수를 활용하여 2차원이나 3차원의 복잡한 문제도 유연하게 해결할 수 있습니다. 이는 실생활의 연속적인 현상을 디지털 환경에서 정교하게 구현하는 강력한 도구가 됩니다. 이러한 수치해석 기법은 건축물의 안전 진단부터 기상 예측에 이르기까지 우리 삶의 도처에 스며들어 있습니다. 다리를 건설할 때 어느 부분에 하중이 집중되는지 정확히 계산하여 설계를 보강하거나, 비행기 설계 시 공기 저항을 최소화하기 위한 난류 시뮬레이션에도 유한요소법이 필수적으로 사용됩니다. 최근에는 구글이나 마이크로소프트 같은 빅테크 기업들이 기존의 수치해석 방식에 인공지능을 결합하여 태풍의 경로를 예측하거나 기상 정보를 분석하는 등, 더욱 정교하고 빠른 예측 모델을 선보이며 과학 기술의 새로운 지평을 열고 있습니다. 인공지능과 수치해석학은 서로의 발전을 견인하는 상호보완적인 관계에 있습니다. 인공지능의 계산 능력을 빌려 수 주가 걸리던 복잡한 시뮬레이션 시간을 획기적으로 단축하는 연구가 진행 중이며, 반대로 수치해석적 기법을 통해 인공지능 모델의 수학적 근거를 마련하려는 움직임도 활발합니다. 특히 생성형 딥러닝 모델의 핵심 원리에 확률 편미분 방정식이 포함되어 있다는 점은 두 분야의 깊은 연관성을 잘 보여줍니다. 현대의 복잡한 고차원 문제를 해결하고 기술적 신뢰성을 확보하기 위해 두 학문의 하이브리드 협업은 앞으로 더욱 중요해질 전망입니다.

홍영준

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[강연] 수치해석학, 근사와 과학계산의 예술 1_by 홍영준 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 5강 첫 번째 이야기 | 5강 ①

수치해석학은 현실의 복잡한 문제를 해결하기 위해 정확한 해 대신 근사해를 구하는 학문입니다. 우리가 흔히 수학이라고 하면 단 하나의 정답만을 떠올리기 쉽지만, 실제 세상의 문제들은 너무나 방대하고 복잡하여 수식만으로 완벽한 답을 내기 어려운 경우가 많습니다. 이때 수치해석학은 우리가 허용할 수 있는 오차 범위 내에서 가장 정답에 가까운 값을 찾아내는 길잡이 역할을 합니다. 단순히 값을 구하는 것에 그치지 않고, 그 근삿값이 실젯값과 얼마나 차이가 나는지 엄밀하게 분석하는 과정까지 포함하는 것이 이 학문의 본질입니다. 무리수인 루트 2를 예로 들면, 이는 소수점 아래로 무한히 이어지는 숫자입니다. 이를 이해하기 위해 수치해석에서는 점화식과 같은 알고리즘을 활용합니다. 특정 수식에 초기값을 대입하고 그 결과를 다시 대입하는 과정을 반복하면, 결괏값은 점차 루트 2의 실젯값에 무한히 가까워집니다. 이러한 반복적인 계산 과정은 수치해석의 가장 기초적이면서도 핵심적인 원리입니다. 현대에는 이러한 방대한 반복 계산을 컴퓨터가 대신 수행함으로써 과거에는 상상할 수 없었던 정밀한 수치 계산이 가능해졌으며, 이는 모든 공학적 설계의 기초가 됩니다. 수치해석학의 응용 분야는 우리 실생활과 밀접하게 맞닿아 있습니다. 포탄의 궤적을 계산하거나 인공위성을 쏘아 올릴 때, 혹은 심장의 혈류 흐름을 분석할 때도 수치해석적 기법이 필수적으로 사용됩니다. 특히 분야에 따라 허용되는 오차의 범위가 다르다는 점이 흥미롭습니다. 포탄의 경우 수십 센티미터의 오차가 큰 문제가 되지 않을 수 있지만, 의료 분야나 정밀 공학에서는 아주 미세한 오차도 치명적인 결과를 초래할 수 있습니다. 따라서 수치해석학은 상황에 맞는 정밀도를 확보하기 위해 오차의 크기를 수학적으로 엄격하게 관리하고 예측합니다. 기상 예보의 역사는 수치해석학의 발전 과정을 잘 보여주는 대표적인 사례입니다. 과거 아리스토텔레스 시대에는 구름의 모양을 보고 날씨를 예측하는 패턴 매칭 방식이 주를 이루었습니다. 하지만 19세기 이후 물리 법칙을 담은 방정식이 등장하면서 수치적인 접근이 시작되었습니다. 루이스 리처드슨은 6만 4천 명의 사람이 동시에 계산한다면 날씨를 예측할 수 있을 것이라는 거대한 상상을 하기도 했습니다. 이는 오늘날 슈퍼컴퓨터가 수행하는 복잡한 기상 수치 모델링의 원형이 되었으며, 현대 기상학이 과학적 예측의 영역으로 들어오는 결정적인 계기가 되었습니다. 현대 기상 예보의 핵심인 슈퍼컴퓨터는 폰 노이만의 에니악 등장 이후 비약적으로 발전했습니다. 우리나라도 독자적인 기상 예측 모델인 '한국형 수치예보모델(KIM)'을 개발하여 한국 지형의 특성에 최적화된 예보를 수행하고 있습니다. 기상 모델링은 자연계의 복잡한 현상을 수많은 변수로 표현해야 하기에 매우 난도가 높습니다. 관측 데이터의 오차와 모델 자체의 한계를 극복하며 정확도를 높여가는 과정은 수치해석학이 직면한 거대한 도전이자 성과입니다. 이는 단순한 계산을 넘어 국가적 기술력의 상징이자 재난 대비를 위한 필수적인 과학적 자산이라 할 수 있습니다. 구체적인 기법으로는 뉴턴-랩슨 방법과 수치 적분이 대표적입니다. 뉴턴-랩슨 방법은 비선형 방정식의 해를 찾기 위해 접선을 이용해 정답에 빠르게 접근하는 방식입니다. 반복할수록 오차가 제곱 단위로 줄어드는 놀라운 수렴 속도를 자랑합니다. 또한, 복잡한 곡선의 면적을 구하는 적분 역시 사다리꼴 공식이나 가우스-르장드르 구적법을 통해 효율적으로 계산할 수 있습니다. 이러한 기법들은 무한한 연속의 세계를 컴퓨터가 처리할 수 있는 유한한 이산의 세계로 변환하는 핵심 기술이며, 가성비 높은 계산을 가능하게 하여 공학적 효율성을 극복합니다. 마지막으로 오일러 방법은 미분 방정식을 푸는 가장 직관적인 수치 해법입니다. 시간의 흐름에 따른 변화를 작은 단위로 쪼개어 다음 단계의 상태를 예측하는 이 방식은 현대 인공지능의 기계 학습 원리와도 깊은 연관이 있습니다. 수치해석학은 정답이 없는 것이 아니라, 정답을 향해 끊임없이 다가가는 역동적인 학문입니다. 복잡한 현실 세계를 수학이라는 언어로 번역하고, 이를 다시 컴퓨터가 이해할 수 있는 수치로 바꾸는 이 과정은 미래 과학 기술 발전의 든든한 뿌리가 되고 있습니다. 수치해석은 결국 인간의 지혜를 컴퓨터의 연산력으로 치환하는 가교입니다.

홍영준

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[강연] 조화해석학, 음의 세계를 해부하다 2_by 오창근 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 3강 두 번째 이야기 | 3강 ②

조화해석학의 핵심은 복잡해 보이는 모든 함수가 단순한 삼각함수들의 결합으로 이루어져 있다는 통찰에서 시작됩니다. 이는 정수론에서 모든 자연수가 소수들의 곱으로 분해되는 원리와 매우 유사합니다. 예를 들어 숫자 6이 2와 3의 곱으로 표현되듯, 우리가 마주하는 복잡한 파동이나 데이터 역시 기본적인 원자인 사인과 코사인 함수의 합으로 쪼개어 이해할 수 있습니다. 이러한 관점은 수학적 대상을 개별적인 단위로 분석하고 재구성할 수 있게 해주는 강력한 도구가 됩니다. 푸리에 급수는 이러한 철학을 수식으로 구현한 것입니다. 급수란 수열을 무한히 더해가는 과정을 의미하며, 푸리에 급수는 특정 함수를 나타내기 위해 다양한 주파수를 가진 삼각함수들을 차례로 쌓아 올립니다. 이때 각 삼각함수 앞에 붙는 계수들은 해당 성분이 전체 함수에서 차지하는 비중을 결정합니다. 기하학적으로 이 계수들은 함수 그래프와 축 사이의 면적을 계산하는 적분 과정을 통해 얻어지며, 이는 복잡한 전체 형상에서 특정 주파수의 에너지가 얼마나 포함되어 있는지를 정밀하게 측정하는 작업과 같습니다. 푸리에의 가설은 당시로서는 매우 파격적이었습니다. 어떤 형태의 함수라도 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다는 그의 주장은 이후 100년이 넘는 시간 동안 수학자들의 도전 과제가 되었습니다. 결국 20세기 중반 카를레손에 의해 이 가설은 '거의 모든 곳'에서 성립한다는 사실이 증명되었습니다. 비록 극히 예외적인 경우를 제외하더라도, 우리가 일상에서 접하는 대부분의 연속적인 신호와 현상들이 푸리에의 원리 안에서 완벽하게 설명될 수 있다는 점은 현대 과학기술의 든든한 기초가 되었습니다. 이 이론은 현대의 디지털 생활에 깊숙이 침투해 있습니다. 대표적인 사례가 음성 파일의 압축과 노이즈 캔슬링 기술입니다. 인간의 귀가 듣지 못하는 고주파 성분을 푸리에 해석으로 찾아내어 제거함으로써 음질의 저하 없이 파일 용량을 획기적으로 줄일 수 있습니다. 또한 외부 소음의 파형을 분석하고 그와 반대되는 위상의 파동을 만들어 상쇄시키는 방식 역시 함수를 개별 주파수 성분으로 분해할 수 있다는 푸리에의 아이디어가 있었기에 가능했습니다. 수학적 추상이 실질적인 편의로 전환된 것입니다. 함수와 방정식의 관계를 이해하는 것 또한 중요합니다. 함수가 입력과 출력 사이의 유기적인 관계를 나타내는 자판기와 같다면, 방정식은 그 함수가 반드시 만족해야 하는 특정한 제약 조건이나 문제라고 할 수 있습니다. 푸리에는 열이 시간에 따라 어떻게 확산되는지를 설명하는 열방정식을 풀기 위해 고심했습니다. 복잡한 미분 방정식의 형태를 띤 이 문제를 해결하기 위해 그는 함수를 삼각함수의 합으로 분해하는 방식을 택했고, 이는 난해한 조건을 단순한 계산의 영역으로 끌어내리는 결정적인 계기가 되었습니다. 열방정식의 해결 과정은 조화해석학의 위력을 잘 보여줍니다. 온도 함수를 사인과 코사인의 무한 합으로 치환하면, 복잡한 미분 연산이 각 성분별 비교 작업으로 단순화됩니다. 이를 통해 특정 시간이 흐른 뒤의 온도 분포를 정확하게 예측할 수 있게 됩니다. 풀기 불가능해 보였던 물리적 현상을 우리가 잘 알고 있는 삼각함수들의 성질을 이용해 정복한 것입니다. 이러한 접근법은 오늘날 전자공학이나 물리학에서 복잡한 시스템의 변화를 예측하고 제어하는 데 필수적인 방법론으로 자리 잡았습니다. 마지막으로 푸리에 변환은 시간의 영역에서 관찰되던 신호를 주파수의 영역으로 옮겨놓는 마법을 부립니다. 이는 단순히 함수를 표현하는 방식을 바꾸는 것을 넘어, 현상을 바라보는 차원 자체를 이동시키는 작업입니다. 시간의 흐름에 따라 변하는 복잡한 파동을 주파수 공간에서의 단순한 점이나 선으로 변환함으로써, 우리는 데이터의 본질적인 특징을 더욱 명확하게 파악할 수 있습니다. 결국 푸리에 해석은 세상을 구성하는 보이지 않는 리듬을 읽어내고, 이를 수학이라는 언어로 재해석하여 인류의 지평을 넓힌 위대한 유산입니다.

오창근

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[강연] 미분방정식과 충격파? 그 충격적인 관계 2_by 배명진 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 2강 두 번째 이야기 | 2강 ②

미분 방정식을 선형과 비선형으로 구분하는 이유는 초기 조건이 같더라도 해의 거동이 극적으로 달라지기 때문입니다. 선형 방정식은 초기 상태의 그래프 모양을 유지하며 시간에 따라 일정하게 이동하는 성질을 가집니다. 반면 비선형 방정식은 현재의 값에 따라 전파 속도가 달라지므로, 시간이 흐를수록 해의 형태가 복잡하게 변합니다. 이러한 차이는 우리가 자연 현상을 이해하고 미래를 예측하는 방식에 근본적인 영향을 미치며, 수학자들이 두 체계를 엄격히 나누어 연구하는 핵심적인 이유가 됩니다. 비선형 방정식의 대표적인 예인 버거스 방정식은 교통 흐름이나 유체의 움직임을 설명하는 데 사용됩니다. 비선형 체계에서는 값이 큰 부분은 빠르게 이동하고 작은 부분은 느리게 이동하면서 그래프가 점점 가팔라지게 됩니다. 결국 어느 시점에는 미분이 불가능한 절벽 상태인 '충격파'가 발생하게 되는데, 이는 초기 조건이 아무리 매끄럽더라도 비선형성으로 인해 미래 예측이 매우 어려워질 수 있음을 시사합니다. 이러한 현상은 현실 세계의 복잡성을 반영하는 중요한 수학적 특징입니다. 우리가 다루는 많은 미분 방정식은 물리적 보존 법칙에 근거하고 있습니다. 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙은 특정 공간 내 물질의 변화량이 경계면을 통해 드나드는 양, 즉 '플럭스'의 차이와 같다는 원리를 수학적으로 표현한 것입니다. 이러한 적분 방정식은 미적분학의 기본 정리를 통해 미분 방정식으로 변환되며, 이를 통해 우리는 복잡한 유체의 흐름이나 기상 변화를 수치적으로 모델링할 수 있게 됩니다. 이는 단순한 수식을 넘어 세상을 이해하기 위한 시도라고 할 수 있습니다. 유체 역학의 핵심인 나비에-스토크스 방정식과 오일러 방정식은 각각 점성이 있는 액체와 점성이 거의 없는 기체의 흐름을 설명합니다. 프랑스의 공학자 나비에와 아일랜드의 수학자 스토크스의 이름을 딴 이 방정식은 교량 건설부터 비행기 동체 설계까지 현대 공학의 필수적인 도구입니다. 점성의 유무에 따라 방정식의 형태와 풀이 방식이 달라지며, 이는 우리가 현실 세계의 물리적 현상을 얼마나 정밀하게 모방하느냐의 문제와 직결됩니다. 두 학자의 협력으로 탄생한 이 식은 유체 연구의 근간이 되었습니다. 나비에-스토크스 방정식은 세계 7대 수학 난제 중 하나로 꼽힐 만큼 매우 어렵습니다. 3차원 공간에서 모든 시간 동안 매끄러운 해가 존재하는지를 증명하는 문제는 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 짧은 시간 동안은 해의 안정성을 증명할 수 있지만, 시간이 길어질수록 비선형성과 점성 사이의 복잡한 상호작용으로 인해 해의 성질을 파악하기가 불가능에 가까워집니다. 이는 수학적 엄밀함과 현실적 응용 사이의 거대한 도전 과제이며, 수많은 수학자가 백만 달러의 상금을 넘어 진리 탐구를 위해 도전하는 분야입니다. 오일러 방정식은 기체의 압축성을 다루며 초음속 비행 시 발생하는 소닉 붐이나 로켓 엔진 내부의 충격파 현상을 연구하는 데 활용됩니다. 기체는 액체와 달리 수축과 팽창이 자유롭기 때문에 밀도를 상수가 아닌 함수로 다루어야 하며, 이로 인해 계산의 복잡성이 극대화됩니다. 비선형성과 압축성이 결합하여 나타나는 불연속적인 변이 현상을 수학적으로 증명하고 그 안정성을 분석하는 작업은 공학적 안전성을 확보하는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 이는 컴퓨터 시뮬레이션조차 쉽지 않은 고도의 학문적 영역입니다. 수학적 성취는 단순히 문제를 빨리 푸는 능력이 아니라 깊은 호기심과 끈기에서 비롯됩니다. 필즈상 수상자인 알레시오 피갈리처럼 대학에 진학해서야 미적분학을 처음 접하고도 위대한 업적을 남긴 사례는 우리에게 시사하는 바가 큽니다. 선행 학습의 압박에서 벗어나 자신만의 방식으로 생각하고 실패를 두려워하지 않는 태도가 중요합니다. 결과에 대한 걱정보다는 순수한 열정을 따라 도전하는 용기가 세상을 이해하는 진정한 수학적 사고의 시작이며, 이러한 마음가짐이 난제 해결의 열쇠가 될 것입니다.

배명진

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[강연] 미분방정식과 충격파? 그 충격적인 관계 1_by 배명진 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 2강 첫 번째 이야기 | 2강 ①

알베르트 아인슈타인은 세상이 특정한 시스템으로 이루어져 있으며, 이를 이해하기 위해 방정식을 사용한다고 말했습니다. 우리가 마주하는 현실은 끊임없이 변화하는 복잡한 요소들로 가득 차 있지만, 수학은 그 이면의 질서를 포착해내는 강력한 도구가 됩니다. 특히 세상을 이해하는 데 필수적인 도구로 꼽히는 미분 방정식은 단순한 수식을 넘어 사회 현상이나 물리적 변화를 설명하고 미래를 예측하는 데 중요한 역할을 수행합니다. 이는 현대 과학이 세상을 바라보는 가장 정교한 렌즈라고 할 수 있습니다. 미분 방정식의 기초가 되는 미적분은 본래 움직이는 세계를 이해하기 위해 탄생했습니다. 일주일 동안의 몸무게 변화를 예로 들면, 매 순간의 변화량을 따지는 것이 미분이고 그 변화량을 합산하여 전체적인 추이를 파악하는 것이 적분의 개념입니다. 인구 변화에서도 매달 늘어나는 인구수는 미분으로, 이를 바탕으로 연말의 총인구를 예측하는 것은 적분으로 이해할 수 있습니다. 이처럼 미적분은 우리 주변에서 일어나는 모든 동적인 변화를 수치화하고 분석할 수 있는 기본 틀을 제공합니다. 미분 방정식은 관찰된 현상을 수식화하여 미래를 예측하는 것을 궁극적인 목적으로 합니다. 하늘을 나는 글라이더의 매 순간 속도를 측정하여 앞으로의 궤적을 추적하는 과정이 대표적인 예시입니다. 현재의 데이터를 바탕으로 어떤 일이 벌어질지 미리 계산해내는 이 과정은 과학적 탐구의 핵심이라 할 수 있습니다. 단순한 현상 기록에 그치지 않고, 수립된 모델을 통해 아직 도달하지 않은 미래의 상태를 논리적으로 도출해낸다는 점에서 미분 방정식은 실용적인 가치와 학문적 깊이를 동시에 지닙니다. 미분 방정식은 포함된 변수의 개수에 따라 크게 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉩니다. 상미분 방정식은 함수가 시간과 같은 단 하나의 변수에만 의존하는 경우를 다루며, 비교적 단순한 시스템의 흐름을 설명할 때 주로 사용됩니다. 반면 편미분 방정식은 시간뿐만 아니라 3차원 공간의 위치처럼 여러 변수를 동시에 고려해야 하는 복잡한 현상을 설명하는 데 필수적입니다. 우리가 사는 세계는 다차원적이기 때문에, 분석하려는 현상의 특성에 맞춰 적절한 방정식을 선택하는 것이 연구의 시작이 됩니다. 감염병 확산 모델인 SIR 모델은 상미분 방정식의 대표적인 활용 사례입니다. 이는 인구 집단을 감염 가능 대상자, 감염자, 회복자의 세 그룹으로 나누어 시간에 따른 변화를 추적합니다. 감염자 수의 변화량은 현재 감염자와 감염 가능 대상자의 비율에 따라 결정되며, 이를 통해 팬데믹의 정점이나 종식 시점을 예측할 수 있습니다. 이러한 수학적 모델링은 실제 통계 자료와 결합하여 사회적 위기 상황에서 방역 정책을 수립하고 판단을 내리는 중요한 과학적 근거가 되어줍니다. 공간적 확산을 설명할 때는 편미분 방정식이 등장합니다. 물에 떨어진 잉크가 퍼져 나가는 현상을 관찰할 때, 특정 지점의 농도는 시간의 흐름뿐만 아니라 공간상의 위치에 따라서도 달라집니다. 이때 시간에 따른 농도 변화와 공간에 따른 확산 비율 사이의 관계를 물리 법칙으로 정립한 것이 바로 편미분 방정식입니다. 3차원 유체의 흐름이나 열의 전달처럼 시공간이 복잡하게 얽힌 물리 현상을 정확하게 묘사하기 위해서는 이러한 다변수 미분 구조에 대한 깊이 있는 이해가 반드시 필요합니다. 마지막으로 미분 방정식은 구조에 따라 선형과 비선형으로 구분됩니다. 선형 방정식은 입렧값의 합이 결괏값의 합과 일치하는 중첩의 원리가 적용되어 비교적 해를 구하기 쉽고 예측이 명확합니다. 하지만 실제 자연 현상의 많은 부분은 변수들이 복잡하게 얽힌 비선형 구조를 띠고 있습니다. 비선형 방정식은 작은 변화가 예상치 못한 큰 결과를 초래하기도 하여 분석이 매우 까다롭지만, 현실 세계의 역동성을 가장 정밀하게 담아낼 수 있다는 점에서 현대 수학과 과학의 핵심적인 연구 대상이 됩니다.

배명진

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[강연] 움직이는 세상을 표현한 수학의 언어, 미적분 2_by 김민형 / 2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 시즌2 1강 두 번째 이야기 | 1강 ②

적분은 본래 넓이를 구하려는 근본적인 질문에서 시작되었습니다. 삼각형이나 사각형처럼 직선으로 이루어진 도형은 간단히 쪼개어 계산할 수 있지만, 원이나 타원처럼 경계선이 곡선인 경우에는 기존의 방식으로는 해결하기 어렵습니다. 이러한 난관은 미분에서 변화율을 다룰 때 마주하는 곡선의 문제와 본질적으로 맞닿아 있습니다. 결국 휘어진 경계 아래의 넓이를 어떻게 정의하고 계산할 것인가라는 고민이 적분이라는 학문의 출발점이 되었으며, 이는 '쌓는다'는 의미의 한자어 '적(積)'이나 '합친다'는 의미의 영어 '인티그레이션(Integration)'에도 잘 나타나 있습니다. 뉴턴은 이러한 넓이 문제를 함수를 이용해 해결하려는 혁신적인 관점을 도입했습니다. 특정 지점까지의 넓이를 하나의 함수로 정의하고, 끝점을 변화시키면서 넓이가 어떻게 바뀌는지 추적하는 방식입니다. 여기서 발견된 놀라운 사실은 넓이 함수의 미분값이 바로 원래 곡선을 이루는 함수와 같다는 점입니다. 이를 '미적분학의 기본 정리'라고 부르며, 이를 통해 전혀 다른 개념처럼 보였던 미분과 적분이 역연산 관계라는 것이 밝혀졌습니다. 덕분에 우리는 미분법을 거꾸로 활용하여 복잡한 곡선 아래의 넓이를 계산하는 효율적인 방법을 갖게 되었습니다. 17세기 이전의 수학이 유클리드 기하학에 기반한 정적인 관계를 다루었다면, 미적분은 움직이는 세상을 설명하기 위한 언어로 탄생했습니다. 갈릴레오는 물체의 운동이 포물선을 그린다는 사실을 실험적으로 발견했고, 뉴턴은 이를 체계화하여 운동 법칙을 정립했습니다. 가속도는 속도의 미분이고, 속도는 위치의 미분이라는 관계를 통해 물체의 미래 궤적을 예측할 수 있게 된 것입니다. 이처럼 미적분은 단순히 숫자를 계산하는 도구를 넘어, 변화하는 자연 현상을 미분 방정식이라는 틀 안에서 이해하고 분석할 수 있는 강력한 과학적 패러다임을 제공했습니다. 적분은 단순히 넓이를 구하는 것에 그치지 않고, 연속적으로 분포된 힘을 합산하는 도구로도 활용됩니다. 예를 들어 거대한 지구와 유성 사이의 중력을 계산할 때, 지구의 각 부분에서 작용하는 복잡한 중력 효과를 모두 더해주는 과정에서 적분이 필수적으로 사용됩니다. 이는 천체의 움직임을 정확하게 설명하려는 노력과 밀접하게 연관되어 있습니다. 미적분이라는 도구가 있었기에 인류는 보이지 않는 중력의 영향을 수치화하고, 행성들이 그리는 정교한 궤도를 수학적으로 증명하며 우주의 질서를 보다 깊이 있게 파악할 수 있게 되었습니다. 미적분의 진정한 위력은 관측되지 않는 세계를 추론하는 마술 같은 능력에 있습니다. 해왕성의 발견이 대표적인 사례인데, 당시 망원경으로는 보이지 않던 이 행성은 토성의 궤도가 이론적 계산에서 미세하게 벗어나는 현상을 분석함으로써 그 존재가 예측되었습니다. 미분 방정식을 통해 역으로 보이지 않는 힘의 근원을 찾아낸 것입니다. 이처럼 미적분은 인간 시각의 한계를 넘어 우주에 숨겨진 존재를 유추하게 해주었으며, 현대 과학에서도 입자의 발견이나 인공위성 궤도 계산 등 세상의 비밀을 푸는 핵심적인 열쇠로 작동하고 있습니다.

김민형

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수학

[연구뭐하지?] 인류에 보탬이 되는 화학, 신재생 에너지 연구_임종우 교수 | 서울대학교 “에너지 및 재료 분석화학 연구실”

서울대학교 화학부 임종우 교수 연구실은 인류가 직면한 에너지 위기와 기후 변화라는 거대한 과제를 화학적 방법론으로 해결하고자 노력하고 있습니다. 리튬 이온 배터리를 비롯해 전고체 전지와 리튬 금속 배터리 등 더 안전하고 효율적인 차세대 에너지 저장 장치를 연구하며, 깨끗한 수소 생산을 위한 촉매 기술과 이산화탄소 저감 및 전환 기술까지 폭넓게 다룹니다. 이러한 연구는 단순히 기술 개발에 그치지 않고 지속 가능한 지구를 위한 근본적인 해답을 찾는 과정이라 할 수 있습니다. 연구의 핵심은 배터리 내부에서 일어나는 미시적인 변화를 실시간으로 관찰하고 이를 이론적으로 정립하는 데 있습니다. 방사광 가속기를 활용해 양극재 내에서 리튬 이온이 어떻게 이동하고 확산되는지 이미징 기법으로 포착하며, 얻어진 데이터를 바탕으로 복잡한 미분방정식을 풀어내어 동력학적인 상전이 과정을 수식화합니다. 실험과 이론의 긴밀한 결합을 통해 배터리의 열화 원인을 규명하고 성능을 극대화할 수 있는 최적의 경로를 제시하는 것이 주요 목표입니다. 에너지 연구에 투신하게 된 계기는 대학 시절 해외 교환 학생 경험에서 비롯되었습니다. 당시 환경과 에너지 문제에 대해 끊임없이 고뇌하던 동료들과 교류하며, 이 분야가 인류의 미래를 결정지을 핵심 과제임을 깨달았습니다. 비록 당시에는 에너지 문제에 대한 사회적 관심이 지금처럼 높지 않았으나, 누군가는 반드시 해결해야 할 일이라는 사명감을 느꼈습니다. 자신의 인생을 걸고 인류 사회에 실질적인 보탬이 되겠다는 순수한 열정이 현재 연구의 든든한 뿌리가 되었습니다. 최근 이차전지 산업은 비약적인 성장을 거듭하고 있지만, 기술적 완성도를 높이는 과정은 매우 복잡하고 정교한 과학적 접근을 요구합니다. 원자 단위의 동력학부터 수조 개의 입자가 모인 배터리 셀 전체의 현상까지, 다양한 스케일에서 발생하는 상호작용을 체계적으로 이해해야 하기 때문입니다. 연구실은 산업계와 긴밀히 소통하며 기초 과학의 원리가 실제 산업 현장의 난제를 해결하는 시너지를 창출하고 있습니다. 이는 단순한 용량 증설을 넘어 배터리 기술의 근본적인 진보를 이끄는 동력이 됩니다. 연구실의 또 다른 강점은 경계를 허무는 협업과 글로벌 네트워크에 있습니다. 물리, 생명과학, 공학 등 다양한 배경을 가진 연구원들이 모여 각자의 전문성을 공유하며, 해외 유수의 연구소와 적극적인 공동 연구를 수행합니다. 언어의 장벽을 넘어 세계적인 연구 시설을 활용하고 치열한 토론을 거치는 과정은 국익에도 기여하는 소중한 자산이 됩니다. 밤을 새우는 고단한 연구 과정 끝에 마침내 자연의 섭리를 이해하고 진실을 확인했을 때 느끼는 성취감은 연구자들을 움직이는 가장 큰 보람입니다.

임종우

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화학

[강연] 파동 방정식, 슈뢰딩거 방정식_by 박권 / 2023 가을 카오스강연 'INCREDIBLE QUANTUM' 4강 | 4강

물리학은 세상을 이해하는 가장 근본적인 학문으로, 거대한 우주를 작은 단위로 쪼개어 분석하는 환원주의와 작은 것들이 모여 새로운 성질을 만드는 창발주의의 조화 속에 존재합니다. 이러한 우주의 작동 원리를 기술하는 핵심적인 도구가 바로 미분 방정식이며, 양자역학의 세계에서는 슈뢰딩거 방정식이 그 중심에 있습니다. 1925년 탄생한 이 방정식은 눈에 보이지 않는 미시 세계의 입자들이 어떻게 행동하는지를 설명하는 우주의 언어와 같습니다. 우리는 이 방정식을 통해 자유롭게 날아가는 입자의 파동 함수를 정의하고, 그 안에 숨겨진 물리적 의미를 탐구함으로써 자연의 진정한 모습을 마주하게 됩니다. 고전적인 파동인 소리나 물결은 매질의 진동을 통해 에너지를 전달하지만, 매질 자체가 멀리 이동하지는 않습니다. 반면 양자역학에서의 입자는 실제로 공간을 이동해야 하므로, 고전적인 파동 방정식만으로는 그 움직임을 온전히 기술할 수 없습니다. 슈뢰딩거는 입자의 이중성을 바탕으로 파동 함수가 만족해야 할 새로운 형태의 방정식을 고민했습니다. 그는 드브로이 관계식을 활용하여 운동량과 에너지를 연산자의 형태로 변환하였고, 이를 통해 입자의 동력학을 설명하는 체계를 구축했습니다. 이는 단순한 수학적 유도를 넘어, 입자가 파동의 성질을 동시에 지닌다는 현대 물리학의 핵심적인 통찰을 담고 있습니다. 슈뢰딩거 방정식의 핵심은 해밀토니안이라 불리는 에너지 연산자입니다. 이는 입자의 운동 에너지와 위치 에너지를 합친 것으로, 파동 함수에 작용하여 시스템의 총 에너지를 결정합니다. 특히 시간이 지나도 모양이 변하지 않는 안정적인 상태인 정상파를 찾는 과정은 원자의 구조를 이해하는 데 결정적인 역할을 합니다. 수소 원자의 경우, 전자가 느끼는 쿨롱 퍼텐셜을 방정식에 대입하여 풀면 전자의 에너지 준위를 정확하게 계산할 수 있습니다. 비록 그 계산 과정은 복잡한 특수 함수와 좌표계 변환을 필요로 하지만, 이를 통해 우리는 원자 내부의 전자가 가질 수 있는 불연속적인 에너지 상태를 명확히 이해하게 됩니다. 슈뢰딩거 방정식에는 '게이지 대칭성'이라는 묘한 우주의 비밀이 숨겨져 있습니다. 파동 함수의 위상을 임의로 변화시켜도 실제 물리적 현상인 확률 분포는 변하지 않아야 한다는 원리입니다. 놀랍게도 이 조건은 전자기학을 기술하는 맥스웰 방정식의 잉여 자유도와 완벽하게 상쇄되며 조화를 이룹니다. 전자기학이 양자역학보다 훨씬 이전에 정립되었음에도 불구하고, 그 안에 이미 양자역학적 위상 변화를 수용할 수 있는 씨앗이 심겨 있었다는 사실은 전율을 느끼게 합니다. 이러한 대칭성의 원리는 단순히 수학적 편리함을 넘어, 우주의 근본적인 힘들이 어떻게 상호작용하는지를 결정하는 강력한 가이드라인이 됩니다. 물리학자들은 양자역학을 아인슈타인의 특수 상대성 이론과 통합하려는 시도를 멈추지 않았습니다. 초기의 클라인-고든 방정식은 시간에 대한 2차 미분 형태를 취했으나, 확률 밀도가 보존되지 않는 치명적인 결함이 있었습니다. 이를 해결하기 위해 디랙은 시간에 대한 1차 미분 방정식을 고안했고, 그 과정에서 숫자가 아닌 행렬을 도입하는 파격적인 선택을 했습니다. 이 디랙 방정식은 단순히 두 이론을 합친 것을 넘어, 전자의 자전 성질인 스핀과 존재조차 몰랐던 반물질의 개념을 자연스럽게 도출해 냈습니다. 이는 수학적 필연성이 실제 현실의 발견으로 이어진 현대 물리학의 가장 위대한 순간 중 하나로 평가받습니다. 입자가 여러 개인 다체 문제로 넘어가면 슈뢰딩거 방정식은 더욱 복잡해지지만, 그 안에서 새로운 물리적 현상들이 창발합니다. 대부분의 고체 물리에서 입자 간의 상호작용을 무시할 수 있는 행운이 따르지만, 초전도체와 같이 상호작용이 강한 계에서는 부분의 합 이상의 놀라운 결과가 나타납니다. 이러한 다체 물리 시스템을 이해하는 것은 현대 응집물질물리학의 핵심 과제이며, 슈뢰딩거 방정식은 그 복잡한 미로를 헤쳐 나가는 유일한 지도 역할을 합니다. 비록 수많은 입자가 얽혀 있는 방정식을 완벽하게 푸는 것은 불가능에 가깝지만, 물리학자들은 다양한 근사법과 통찰을 통해 물질의 새로운 상태를 끊임없이 예측하고 발견해 나가고 있습니다. 양자역학의 가장 심오한 지점은 파동 함수의 진화가 아니라, 측정이 일어나는 순간 발생하는 파동 함수의 붕괴에 있습니다. 슈뢰딩거 방정식은 관측 전까지 파동이 어떻게 움직이는지는 완벽하게 설명하지만, 관측 시 왜 특정 상태로 결정되는지는 답해주지 않습니다. 아인슈타인이 '으스스한 원거리 작용'이라 부르며 의구심을 가졌던 이 현상은 오늘날 양자 컴퓨터와 양자 통신의 핵심 원리로 활용되고 있습니다. 방정식의 한계를 넘어서는 이 붕괴 현상은 여전히 물리학의 거대한 숙제로 남아 있으며, 이를 이해하려는 노력은 우리가 우주를 바라보는 관점을 근본적으로 바꾸어 놓을 것입니다. 양자역학은 단순한 이론을 넘어 존재의 근원을 묻는 철학적 질문으로 우리를 인도합니다.

박권

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물리학

[강연] 우주의 언어, 미적분_by 박권 / 2023 가을 카오스강연 'INCREDIBLE QUANTUM' 1강 | 1강

우리는 종종 영화 속에서 펼쳐지는 경이로운 상상력이 실제 과학적 사실과 얼마나 맞닿아 있는지 궁금해하곤 합니다. 물리학은 단순히 복잡한 수식의 나열이 아니라, 우리가 살아가는 우주의 근본적인 작동 원리를 탐구하는 학문입니다. 특히 현대 물리학의 정수라고 할 수 있는 상대성이론과 양자역학은 시간과 공간에 대한 우리의 고정관념을 완전히 뒤흔들어 놓았습니다. 영화는 이러한 난해한 개념들을 시각적으로 구현함으로써 대중이 과학적 상상력의 지평을 넓히는 데 중요한 가교 역할을 수행합니다. 아인슈타인의 상대성이론은 시간이 누구에게나 일정하게 흐른다는 절대적 시간관을 무너뜨렸습니다. 중력이 강한 곳이나 빠른 속도로 이동하는 물체에서는 시간이 상대적으로 느리게 흐른다는 사실은 이제 현대 물리학의 상식이 되었습니다. 이러한 시공간의 왜곡은 우주의 거대한 구조를 이해하는 핵심 열쇠가 됩니다. 우리는 이를 통해 우주가 단순히 텅 빈 공간이 아니라, 물질과 에너지가 상호작용하며 끊임없이 변화하는 역동적인 무대임을 깨닫게 됩니다. 시간의 흐름을 결정짓는 또 다른 중요한 개념은 바로 엔트로피입니다. 열역학 제2법칙에 따르면 고립계의 엔트로피는 항상 증가하는 방향으로 나아갑니다. 이는 질서 있는 상태에서 무질서한 상태로의 변화를 의미하며, 우리가 과거와 미래를 구분할 수 있는 유일한 물리적 근거가 됩니다. 만약 엔트로피의 흐름을 거스를 수 있다면 시간의 방향 또한 바뀔 수 있다는 상상은 과학적 호기심을 자극하는 매력적인 주제이며, 이는 우주의 인과율에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 현대 물리학의 '블록 우주' 이론은 과거, 현재, 미래가 이미 4차원 시공간 속에 하나의 덩어리로 존재한다고 설명합니다. 우리가 느끼는 '지금'이라는 순간은 거대한 영화 필름의 한 장면과 같으며, 전체 필름은 이미 완성되어 있다는 관점입니다. 이러한 시각은 자유 의지와 결정론에 대한 깊은 철학적 질문을 던집니다. 모든 사건이 시공간 속에 고정되어 있다면, 우리가 내리는 선택은 어떤 의미를 갖는지에 대해 물리학은 새로운 해석의 가능성을 열어주며 우리를 사유의 세계로 안내합니다. 양자역학의 등장은 고전역학이 가졌던 결정론적 세계관에 커다란 균열을 일으켰습니다. 미시세계의 입자들은 확정된 위치와 속도를 갖는 대신, 확률적인 중첩 상태로 존재합니다. 이는 관측하기 전까지는 아무것도 결정되지 않았다는 놀라운 결론으로 이어집니다. 불확정성 원리는 우주가 근본적으로 우연과 확률에 기반하고 있음을 시사하며, 이는 인간이 자연을 완벽하게 예측하고 통제할 수 있다는 오만을 내려놓게 만듭니다. 이러한 불확실성은 오히려 우주의 신비로움을 더해줍니다. 관찰자의 존재가 대상의 상태를 결정한다는 양자역학의 해석은 주관과 객관의 경계를 모호하게 만듭니다. 우리가 세상을 바라보는 방식 자체가 세상의 모습에 영향을 미친다는 사실은 매우 신비롭습니다. 이는 단순히 실험실 안의 이야기가 아니라, 존재의 본질에 대한 근원적인 성찰을 요구합니다. 물리학은 이처럼 보이지 않는 미시세계의 법칙을 통해 우리가 발을 딛고 서 있는 거시세계의 실체를 다시금 돌아보게 하는 힘을 지니고 있으며, 우리의 인식 체계를 근본적으로 재구성합니다. 결국 물리학을 공부한다는 것은 우주라는 거대한 서사를 읽어 내려가는 과정과 같습니다. 과학적 발견은 때로 우리의 직관과 어긋나 당혹감을 주기도 하지만, 그 이면에 숨겨진 정교한 질서를 발견할 때 우리는 형언할 수 없는 지적 희열을 느낍니다. 복잡한 수식 너머에 존재하는 우주의 아름다움을 이해하려는 노력은 인간만이 가진 고귀한 특권입니다. 이러한 탐구 정신은 우리가 우주 속에서 자신의 위치를 찾고 삶의 의미를 되새기는 데 소중한 밑거름이 되며 미래를 향한 이정표가 되어줍니다.

박권

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물리학

[카오스 짧강] 인류와 함께 공존하는 감염병과 수리모델링_by정은옥｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강

4차 산업혁명 시대에 접어들었음에도 불구하고 인류는 여전히 신종 인플루엔자의 위협으로부터 자유롭지 못합니다. 2009년의 신종 인플루엔자 대유행과 2015년의 메르스 사태는 현대 사회에서 감염병 관리가 얼마나 중요한 과제인지를 여실히 보여주었습니다. 이러한 위기 상황에서 수리 생물학자들은 감염병의 확산 양상을 예측하고 효과적인 대응 방안을 마련하기 위해 수학적 모델링을 활용합니다. 특히 미분방정식을 이용한 모델은 시간에 따른 감염자 수의 변화를 정교하게 계산하여 방역 정책의 과학적 근거를 제시하는 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 감염병 모델링은 단순히 수학적 수식만으로 완성되는 것이 아니라 역학자들과의 긴밀한 협력이 필수적입니다. 수학자들은 질병관리청의 감염 역학 전문가들과 소통하며 잠복기, 유병 환자, 회복자 등 의학적 개념을 수식에 반영하는 과정을 거칩니다. 대표적인 모델인 SEIR 모델은 인구 집단을 감수성자, 잠복기 감염자, 증상 유무에 따른 감염자, 그리고 회복자 그룹으로 세분화하여 분석합니다. 이러한 다학제적 접근은 복잡한 감염병의 전파 경로를 정확하게 파악하고 현실의 데이터를 모델에 투영하여 예측의 신뢰도를 높이는 근간이 됩니다. 2009년 신종 인플루엔자 확산 당시, 연구진은 전국적인 지역 확산 모델을 구축하기 위해 한국 특유의 통근 및 통학 데이터를 적극적으로 활용했습니다. 우리나라는 인구의 60% 이상이 지역 간 이동을 하는 특성을 가지고 있어 이를 반영한 네트워크 모델링이 무엇보다 중요했습니다. 연구자들은 사인 함수를 이용해 하루 중 출퇴근 시간에 따른 인구 흐름을 모델링하였고, 이를 미분방정식과 결합하여 수도권 각 지역 간의 감염 확산 양상을 매우 정교하게 재현해냈습니다. 이는 단순한 통계 수치를 넘어 질병이 지리적으로 어떻게 이동하는지를 시각화하는 성과를 거두었습니다. 수리 모델링의 진정한 가치는 과거의 데이터를 재현하는 것에 그치지 않고 다양한 방역 정책의 효과를 미리 시뮬레이션해 볼 수 있다는 점에 있습니다. 백신이나 치료제가 충분하지 않은 초기 단계에서는 격리나 이동 제한과 같은 비약물적 중재 전략이 매우 중요합니다. 정책 입안자들은 모델을 통해 제한된 예산과 자원을 어디에 집중할 때 가장 큰 효과를 거둘 수 있는지 판단할 수 있습니다. 이는 막대한 사회적 비용을 절감하고 인명 피해를 최소화하기 위한 전략적 의사결정 도구로서, 과학적 방역 체계의 핵심적인 요소로 자리 잡고 있습니다. 연구 결과에 따르면 감염병 확산을 막기 위해 교통망의 중심지인 허브 지역을 통제하는 것보다 최초 발생지인 소스 지역을 집중적으로 관리하는 것이 훨씬 효과적이었습니다. 예를 들어 유동 인구가 많은 강남 지역보다 최초 환자가 발생한 소도시의 이동을 제한했을 때 전국적인 감염자 감소 효과가 더 크게 나타났습니다. 또한 중재 시점은 빠를수록 좋으며 일정 기간 이상의 과도한 통제는 오히려 효율성이 떨어진다는 점도 확인되었습니다. 이러한 정밀한 분석 결과는 미래의 신종 인플루엔자 위기 상황에서 자원을 효율적으로 배분하고 최적의 방역 타이밍을 결정하는 데 중요한 지침이 됩니다.

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[질문과 토론의 과학 #16] 📊 수리생물학 : 생명현상을 바라보는 수학

수리생물학은 생체 시계 연구를 넘어 우리 삶과 밀접한 다양한 생명 현상을 탐구합니다. 암이나 에이즈 같은 중대 질병의 기전을 파악하는 것부터 조류 인플루엔자나 구제역의 전파 경로를 예측하는 모델링까지 그 범위가 매우 넓습니다. 최근에는 간호사의 교대 근무 스케줄을 최적화하여 수면의 질을 높이거나, 가뭄 상황에서 식물이 겪는 분자적 변화를 추적하는 연구도 활발히 진행되고 있습니다. 박테리아 간의 소통 방식이나 뇌의 인지 구조를 밝히는 일 또한 수학의 힘을 빌려 해결하고 있는 흥미로운 과제들입니다. 생명 현상을 설명하기 위해 미분방정식 외에도 확률, 통계, 제어 이론 등 다채로운 수학적 도구가 동원됩니다. 특히 위상수학은 복잡하게 꼬인 DNA 구조나 뇌의 연결망을 분석하는 데 필수적이며, 대수학은 생물 분류 체계를 정립하는 데 기여합니다. 수백 개의 변수가 얽힌 유전자 조절 네트워크를 분석할 때는 그래프 이론이 사용되며, 데이터가 부족한 상황에서는 역 문제 이론을 통해 필요한 파라미터를 추정하기도 합니다. 이처럼 수학은 생명의 신비를 푸는 열쇠로서 기초 학문부터 응용 분야까지 어디에나 존재하며 그 역할을 다하고 있습니다. 산업응용수학은 의료, 감염병, 공학 등 실제 사회 문제를 해결하는 데 앞장서고 있습니다. 국내 연구진은 100년 동안 사용되던 약물 분해 속도 추정식의 한계를 발견하고, 이를 보완하여 더 정확한 예측 모델을 개발하는 성과를 거두었습니다. 또한 암호 이론을 활용해 개인 정보를 보호하면서도 신용을 평가하는 기술을 세계 최초로 구현하거나, 지문 조각만으로 신원을 확인하는 알고리즘을 개발하기도 했습니다. 금융권의 퀀트 모델 역시 수학적 계산을 산업화한 대표적인 사례로, 수학이 단순한 이론을 넘어 국가 경쟁력과 직결됨을 보여줍니다. 성공적인 융합 연구를 위해서는 학문 간의 장벽을 허무는 노력이 필요합니다. 신약 개발 과정에서 발생하는 천문학적인 실험 비용을 절감하기 위해 수학적 시뮬레이션을 도입하는 것은 이미 세계적인 추세입니다. 하지만 수학자가 질병 관리나 정책 결정 과정에 참여하기 위해서는 여전히 사회적 인식 개선과 제도적 지원이 절실합니다. 연구자들이 방대한 데이터에 원활하게 접근할 수 있는 환경이 조성되어야 하며, 서로 다른 분야의 전문가들이 열린 마음으로 협력할 수 있는 융복합 문화가 학교와 연구 현장에 뿌리내려야 합니다. 융합 연구자의 핵심 자질은 상대방의 언어로 소통하는 능력입니다. 수학적 증명보다는 생물학이나 의학의 언어로 수식을 설명하고, 매주 이어지는 토론을 즐겁게 이끌 수 있는 유연한 태도가 중요합니다. 교육 측면에서도 변화가 요구됩니다. 학생들이 수학이 실제 세상에서 어떻게 쓰이는지 체험할 수 있도록 교과 과정을 구성하되, 동시에 어떤 문제든 해결할 수 있는 탄탄한 수학적 기초 체력을 길러주어야 합니다. 순수 수학의 깊이와 응용 수학의 넓이가 조화를 이룰 때, 비로소 수학은 세상을 바꾸는 진정한 힘을 발휘할 것입니다.

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[질문Q] 불면증을 예방하고 숙면을 취할 수 있는 방법은?｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강｜수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학

인간의 생체 시계는 정확히 24시간이 아니라 약 24.2시간의 주기를 가지고 있습니다. 우리는 매일 시교차상핵을 통해 들어오는 빛 정보를 바탕으로 이 미세한 오차를 수정하며 외부 환경에 적응합니다. 흥미롭게도 주행성 동물인 인간은 주기가 24시간보다 조금 길어 아침 해를 따라가려는 경향이 있고, 쥐와 같은 야행성 동물은 주기가 짧아 해가 지는 시간을 쫓습니다. 이러한 생물학적 리듬은 단순한 습관이 아니라 생명체가 자연의 변화무쌍한 계절과 환경에 맞춰 생존하기 위해 선택한 정교한 진화의 결과물입니다. 현대 과학에서 생물학적 현상을 이해하는 강력한 도구 중 하나는 미분방정식입니다. 과거에는 모든 의학적 결정을 실제 임상 실험에만 의존했지만, 최근에는 미국 FDA에서도 가상 실험 데이터를 일정 부분 인정할 만큼 수리 모델링의 위상이 높아졌습니다. 비행기 설계 시 수백만 번의 수치 실험을 거치는 것처럼, 생명 과학 분야에서도 복잡한 생체 반응을 수학적으로 예측하고 해석하려는 시도가 이어지고 있습니다. 이는 실험의 한계를 극복하고 미래를 예측하는 가장 확실한 도구로서 수학의 가치를 증명하는 과정이라 할 수 있습니다. 수학과 의학의 만남은 새로운 학문적 지평을 열어주고 있습니다. 암 연구나 심혈관계 질환, 감염병 확산 방지 등 현대 의학이 직면한 난제들을 해결하기 위해 수학자들과 의사들의 협력이 필수적입니다. 서로 다른 언어를 사용하는 두 분야가 소통하기 위해서는 상대방의 학문적 배경을 이해하려는 노력이 중요합니다. 수학적 사고를 갖춘 의료인이나 생물학적 메커니즘을 이해하는 수학자가 늘어날수록, 복잡한 생명 현상을 더욱 깊이 있게 통찰하고 실질적인 치료법을 찾아내는 속도는 더욱 빨라질 것입니다. 수리 모델링은 공공보건 정책을 수립하는 데에도 결정적인 근거를 제시합니다. 예를 들어 결핵과 같은 감염병 확산을 막기 위해 한정된 예산을 어디에 집중할지 결정할 때, 수리 모델은 정량적인 분석을 통해 최적의 대안을 찾아냅니다. 단순히 환자를 치료하는 것을 넘어 격리와 같은 방역 조치의 효율성을 수학적으로 입증함으로써 더 효과적인 정책 방향을 제안할 수 있습니다. 이처럼 숫자로 증명된 이론과 데이터 분석 결과는 막연한 추측이 아닌 과학적 근거에 기반한 사회적 의사결정을 가능하게 만듭니다. 수학이 가진 가장 위대한 힘은 복잡한 현상을 '단순화'하는 능력에 있습니다. 수백 개의 변수가 얽힌 생체 시계 모델이라도 수학자는 핵심적인 원리만을 추출하여 단 몇 개의 식으로 표현해낼 수 있습니다. 이러한 단순화 과정은 겉으로 드러나지 않던 생명의 본질적인 메커니즘을 직관적으로 파악하게 도와줍니다. 복잡함 속에 숨겨진 질서를 찾아내고 이를 명쾌한 논리로 정리하는 수학적 사고는, 우리가 세상을 바라보는 관점을 넓혀줄 뿐만 아니라 보이지 않던 진실을 발견하게 하는 강력한 렌즈가 되어줍니다.

카오스재단명강리뷰&질문Q

[명강리뷰] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 _ by김재경｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강

우리 몸은 '서캐디언 리듬'이라 불리는 약 24시간 주기의 생체 리듬에 따라 움직입니다. 라틴어로 '대략 하루'를 뜻하는 이 리듬은 우리가 매일 일정한 시간에 배고픔을 느끼고 잠에 들게 하는 핵심적인 역할을 수행합니다. 특히 밤 9시경 뇌에서 분비되는 멜라토닌은 우리를 잠으로 인도하며, 성장 호르몬 역시 밤 10시경 집중적으로 분비되어 청소년기 성장에 기여합니다. 이러한 호르몬의 변화는 우리 몸이 단순히 외부 환경에 반응하는 것이 아니라, 내부적인 시간표에 따라 정교하게 작동하고 있음을 보여주는 증거입니다. 그렇다면 우리 몸은 어떻게 시간을 인지하는 것일까요? 과학자들은 뇌의 시교차 상핵(SCN)이라는 작은 부위에서 그 해답을 찾았습니다. 이곳에는 '생체 시계'가 존재하며, '피리어드 유전자'가 24시간 주기로 발현과 감소를 반복하며 시계의 시침 역할을 합니다. 이 유전적 진동은 우리가 태어날 때부터 죽을 때까지 멈추지 않고 지속되며, 신체의 다른 기관들에 현재 시각과 수행해야 할 과업에 대한 정보를 전달합니다. 즉, 우리 뇌 속에는 물리적인 시계 없이도 시간을 측정할 수 있는 정밀한 생물학적 장치가 내장되어 있는 셈입니다. 생체 시계가 24시간 주기를 유지하는 비결은 '음성 피드백 루프'라는 메커니즘에 있습니다. 특정 단백질이 생성되어 일정 수준에 도달하면 스스로의 생산 과정을 억제하고, 다시 양이 줄어들면 억제가 풀려 생산이 재개되는 순환 구조입니다. 이 발견은 생명과학 분야에서 매우 중요한 성과로 인정받아 노벨 생리의학상을 받기도 했습니다. 하지만 세포 내에는 수많은 피드백 루프가 존재함에도 왜 유독 생체 시계만이 안정적인 진동을 만들어내는지에 대해서는 추가적인 의문이 남았습니다. 이는 생물학적 현상을 넘어 수학적 분석이 필요한 영역으로 확장되는 계기가 되었습니다. 수학자들은 미분방정식을 통해 생체 시계의 비밀을 풀고자 했습니다. 복잡한 생물학적 반응을 수식으로 단순화하여 분석한 결과, 특정 단백질 간의 비율이 약 1:1을 유지할 때만 안정적인 24시간 주기가 나타난다는 사실을 발견했습니다. 실제로 유전자 조작 쥐를 이용한 실험에서 이 비율을 인위적으로 무너뜨리자, 쥐의 수면 패턴이 완전히 무작위로 변하며 생체 시계가 고장 나는 현상이 관찰되었습니다. 이는 수학적 모델링이 단순히 이론에 그치지 않고, 생명 현상의 핵심적인 원리를 예측하고 증명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 시사합니다. 생체 시계 연구는 시차 적응이나 교대 근무자의 건강 관리, 그리고 노화에 따른 수면 장애 해결을 위한 신약 개발로 이어지고 있습니다. 특히 제약회사와의 협업을 통해 약물을 투여하는 시간에 따라 효과가 달라지는 '시간 약리학' 분야에서 수학적 모델의 중요성이 커지고 있습니다. 이제 수학자는 의과대학의 교수가 되기도 하며, 복잡한 신약 개발 과정에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 생명과학과 수학의 융합은 질병의 원인을 깊이 있게 이해하고, 개인별 맞춤형 치료법을 제시하는 미래 의학의 새로운 지평을 열어주고 있습니다.

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[과학자가 쓴 과학책#1] 떨림과 울림 by김상욱 | KAOS X 공원생활 특집 | 김태훈의 게으른 책읽기

물리학은 단순히 딱딱한 학문이 아니라 만물의 이치를 탐구하는 학문입니다. 고대 철학자 탈레스가 만물의 근원을 물이라 정의했듯, 인류는 끊임없이 세상이 무엇으로 구성되어 있는지 질문해 왔습니다. 현대 물리학은 이 거대한 우주를 수학적 법칙으로 설명하려는 노력을 이어가고 있습니다. 이는 보이지 않는 근원적인 질서가 존재할 것이라는 믿음에서 출발하며, 복잡한 현상 이면의 본질을 꿰뚫어 보려는 철학적 태도와도 맞닿아 있습니다. 우리는 흔히 우리가 보고 느끼는 것이 객관적인 실체라고 믿지만, 물리학의 관점에서 보면 이는 감각 기관을 통한 해석의 결과일 뿐입니다. 빛이 물체에 반사되어 망막에 맺히고 전기 신호로 변환되는 과정은 본질을 이해하기 위한 물리적 절차입니다. 렌즈를 통과한 빛이 굴절되듯 우리의 인식도 왜곡될 수 있음을 깨닫는 순간, 비로소 사물의 본질에 다가갈 수 있습니다. 물리학은 이처럼 건조한 기계적 진동의 세계를 인간적인 영역으로 연결하는 가교 역할을 합니다. 과학은 인류가 우주의 중심이 아니라는 사실을 깨닫게 하며 문명을 성숙시켜 왔습니다. 인간은 38억 년이라는 긴 진화의 역사 속에서 탄생한 수많은 생명체 중 하나이며, 광활한 우주의 작은 행성에 거주하는 원자의 집합체입니다. 이러한 사실은 때로 인간의 자존심을 건드리며 불편함을 주기도 하지만, 우리가 누구인지에 대한 명확한 답을 제시합니다. 과학이 알려주는 존재의 본질을 바탕으로 우리는 어떻게 살 것인가라는 인문학적 질문에 대한 답을 스스로 찾아나가야 합니다. 사회적 위기 상황에서 과학적 사고는 더욱 빛을 발합니다. 팬데믹과 같은 혼란 속에서 인간은 공포를 해소하기 위해 희생양을 찾으려는 본능적인 속성을 드러내곤 합니다. 그러나 과학은 진정한 적이 누구인지 명확히 지목해 줍니다. 바이러스라는 실체를 규명하고 대응 방안을 제시함으로써, 근거 없는 미신이나 혐오에 빠지지 않도록 돕는 것입니다. 호모 사피엔스 전체가 단결하여 공동의 적과 싸워야 한다는 이성적인 판단은 바로 과학적 사실에 근거할 때 가능해집니다. 우주가 수학이라는 언어로 기술된다는 사실은 그 자체로 기적과 같습니다. 인간의 뇌는 광활한 우주를 이해하기보다는 지구라는 환경에서 생존하고 사회적 관계를 맺는 데 최적화되어 진화했습니다. 따라서 양자역학이나 시공간의 휘어짐 같은 개념이 우리의 상식과 충돌하는 것은 당연한 결과입니다. 하지만 인간의 이해 범위를 넘어서는 현상일지라도 수학적 법칙 안에서 완벽하게 작동한다면, 우리는 자신의 한계를 인정하고 우주의 법칙에 맞추어 사고를 확장하는 노력을 기울여야 합니다. 물리학은 세상을 바라보는 두 가지 흥미로운 방식을 제안합니다. 하나는 현재의 상태가 다음 순간을 결정한다는 인과론적 관점이며, 다른 하나는 시작과 끝을 정해두고 전체 경로를 조망하는 목적론적 관점입니다. 후자의 방식은 마치 미래를 알고 현재를 사는 듯한 시각을 제공하며, 우리의 선형적인 시간 개념을 뒤흔듭니다. 이러한 물리적 통찰은 테드 창의 소설처럼 인문학적 상상력과 결합하여, 삶과 우주를 바라보는 우리의 시야를 다차원적으로 넓혀주는 계기가 됩니다. 결국 물리학을 공부한다는 것은 세상을 더 선명하게 바라보는 눈을 갖는 과정입니다. 비록 물리학이 인간의 복잡한 사회적 문제나 감정적인 갈등을 직접 해결해 줄 수는 없지만, 우리가 발을 딛고 서 있는 세계의 규칙을 이해하게 함으로써 삶의 불확실성을 걷어내 줍니다. 객관적인 물리 세계와 주관적인 인문학적 가치가 조화를 이룰 때, 우리는 비로소 우주라는 거대한 무대 위에서 자신의 위치를 정확히 파악하고 더 나은 삶의 방향을 설정할 수 있게 될 것입니다.

김상욱

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물리학

[강연] F = ma _ 김상욱 교수_1강 | 2018 여름 카오스 마스터 클래스 '물리' | 1강 ①

물리학자들은 우주에 변하지 않는 법칙이 있다고 굳게 믿습니다. 그 근간에는 데카르트의 철학적 사유가 깊게 자리 잡고 있습니다. 그는 "나는 생각한다, 고로 존재한다"는 명제로부터 시작하여, 모든 현상에는 필연적인 원인이 있다는 인과율을 제시하며 세상을 수학적으로 이해할 수 있는 틀을 마련했습니다. 이러한 믿음은 현대 과학이 세상을 바라보는 가장 기본적인 시각이 되었으며, 복잡한 자연 현상 뒤에 숨겨진 단순한 이치를 탐구하는 물리학의 출발점이 되었습니다. 데카르트의 가장 위대한 업적 중 하나는 기하학을 숫자로 표현할 수 있게 한 좌표계의 발명입니다. 이전까지 별개로 존재하던 기하학과 대수학이 만나면서, 공간상의 모든 점은 숫자의 조합으로 나타낼 수 있게 되었습니다. 이는 물체의 운동을 수식으로 기술할 수 있는 토대를 제공했습니다. 이제 우리는 공간 속 물체의 움직임을 시간에 따른 위치 변화라는 함수로 이해하며, 우주의 모든 입자가 그리는 궤적을 수학적으로 추적할 수 있게 된 것입니다. 고전 역학의 혁명은 갈릴레오로부터 시작되었습니다. 아리스토텔레스 시대에는 정지 상태가 사물의 자연스러운 본성이라고 믿었지만, 갈릴레오는 일정한 속도로 움직이는 등속 직선 운동이야말로 자연스러운 상태라는 관성의 법칙을 찾아냈습니다. 이는 마찰이 없는 이상적인 공간을 상상함으로써 도달한 놀라운 통찰이었습니다. 이러한 사고의 전환은 속도의 변화, 즉 가속도에 주목하게 만들었으며, 이후 뉴턴이 운동 법칙을 정립하는 데 결정적인 역할을 했습니다. 뉴턴은 $F=ma$라는 단 한 줄의 식으로 우주의 질서를 통합했습니다. 그는 사과가 떨어지는 지상의 물리 법칙이 달이 궤도를 도는 천상의 원리와 동일하다는 것을 증명했습니다. 이 식에서 가속도는 힘이라는 원인에 의한 결과이며, 질량은 그 변화에 저항하는 성질을 의미합니다. 뉴턴의 법칙은 단순히 물체의 움직임을 설명하는 것을 넘어, 천상과 지상을 하나의 프레임으로 묶어냄으로써 인류가 우주 전체를 동일한 법칙 아래 이해할 수 있게 한 지성사적 사건이었습니다. $F=ma$는 현대 컴퓨터 공학의 핵심인 알고리즘적 사고와도 맞닿아 있습니다. 미분 방정식인 이 식은 현재의 상태를 알면 아주 짧은 시간 뒤의 상태를 계산할 수 있게 해줍니다. 이러한 점화식 구조는 튜링과 폰 노이만으로 이어지는 컴퓨터 아키텍처의 논리적 기반이 되었습니다. 우주가 매 순간 적분을 수행하며 굴러가듯, 컴퓨터 역시 0과 1의 데이터를 순차적으로 처리하며 복합한 연산을 수행합니다. 이는 세상을 단계적인 계산 과정으로 이해하는 근대적 사고방식의 산물입니다. 하지만 뉴턴의 결정론적 세계관에도 한계는 존재합니다. 로렌츠가 발견한 카오스 이론은 초기 조건의 아주 미세한 차이가 미래에 걷잡을 수 없이 큰 변화를 초래할 수 있음을 보여주었습니다. 이른바 나비 효과라 불리는 이 현상은, 법칙은 정해져 있을지라도 인간이 미래를 완벽하게 예측하는 것은 원리적으로 불가능함을 시사합니다. 복잡한 기상 현상이나 이중 진자의 움직임처럼, 단순한 규칙에서 시작된 운동이 프랙탈 구조를 그리며 무한한 복잡성을 만들어내는 것이 자연의 본질입니다. 마지막으로 물리학의 기본 법칙들은 시간의 방향에 대해 기묘한 침묵을 지킵니다. $F=ma$를 비롯한 근본 방정식들은 시간을 거꾸로 돌려도 수식의 형태가 변하지 않는 대칭성을 가집니다. 그럼에도 우리가 과거로 돌아갈 수 없는 이유는 엔트로피라는 확률적 법칙 때문입니다. 우주는 빅뱅이라는 매우 낮은 엔트로피 상태에서 시작하여 끊임없이 무질서도가 증가하는 방향으로 흐르고 있습니다. 결국 시간의 화살은 개별 입자의 운동 법칙이 아닌, 우주 전체의 거대한 통계적 흐름 속에서 탄생한 것입니다.

김상욱

카오스재단마스터클래스

물리학

[석학인터뷰] 하승열_ 자연을 탐구하는 수학자 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학자들은 물리학자들에 비해 학문적 탐구의 영역에서 상대적으로 더 높은 자유로움을 누립니다. 물리학이 실제 존재하는 현상을 설명하고 증명하는 것에 일차적인 목적을 둔다면, 수학은 이론 그 자체의 논리적 완결성과 아름다움만으로도 충분한 가치를 지니기 때문입니다. 아무리 정교한 이론이라도 현실의 현상을 뒷받침하지 못하면 외면받기 쉬운 물리적 세계와 달리, 수학자들은 이론이 지닌 고유한 질서와 구조 속에서 순수한 즐거움을 발견합니다. 이러한 자유로운 사고의 확장은 수학이 단순한 계산을 넘어 하나의 예술적 경지에 도달하게 만드는 원동력이 됩니다. 복잡해 보이는 자연 현상 속에는 이를 관통하는 단순하고 명료한 공식들이 숨어 있습니다. 미분 방정식을 활용하면 수많은 변수가 얽힌 복잡한 시스템을 간결한 언어로 기술할 수 있으며, 이는 곧 보이지 않는 질서를 시각화하는 작업과도 같습니다. 복잡성 속에서 피어나는 다양성은 그 자체로 거대한 아름다움을 형성하며, 수학적 도구들은 이러한 자연의 신비를 해독하는 가장 강력한 열쇠가 되어 줍니다. 이러한 수학적 원리는 단순히 학문에 머물지 않고 실생활의 다양한 분야로 확장되어 새로운 가치를 창출하는 기반이 됩니다. 자연을 탐구하는 수학자로서의 삶은 눈에 보이는 생동감 넘치는 현상들로부터 시작됩니다. 하늘을 가로지르는 새들의 군무나 바닷속 물고기 떼의 일사불란한 움직임은 그 자체로 경이로운 연구의 대상이 됩니다. 이러한 생태적 현상들은 수학자의 마음을 움직이고 새로운 탐구의 영감을 제공하며, 추상적인 수식에 생명력을 불어넣습니다. 앞으로도 자연의 복잡한 결을 따라가며 그 속에 숨겨진 조화를 찾아내는 여정은 계속될 것입니다. 수학은 결국 자연이라는 거대한 캔버스 위에 그려진 정교한 밑그림을 이해하고 감상하는 가장 깊이 있는 방법이기 때문입니다.

하승열

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (2) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ②

수학은 복잡한 현실 세계의 문제를 추상화하여 해결하는 핵심적인 도구입니다. 심장의 박동이나 자동차의 움직임처럼 서로 전혀 다른 분야의 현상이라도, 이를 미분 방정식이라는 수학적 언어로 표현하면 동일한 논리 체계 안에서 해답을 찾을 수 있습니다. 수학자는 특정 분야에서 이룬 놀라운 성취를 다른 분야로 전파하는 매개체 역할을 수행하며, 모든 공학적 설계와 과학적 발견의 근간이 되는 알고리즘의 혁신을 이끌어냅니다. 이러한 수학적 기초는 현대 문명을 지탱하는 가장 강력한 힘입니다. 금융 시장의 복잡한 변화를 예측하는 데에도 수학은 결정적인 기여를 했습니다. 1940년대 일본의 수학자 이토 기요시가 정립한 '이토 미분'은 당시에는 추상적인 이론에 불과했으나, 30년 뒤 주식과 파생상품의 가치를 계산하는 금융공학의 핵심 도구로 재발견되었습니다. 이는 순수 수학적 아이디어가 고속 계산 알고리즘과 결합하여 거대한 산업적 변화를 일으킨 대표적인 사례로, 수학적 통찰이 시대를 앞서 새로운 경제적 가치를 창출할 수 있음을 보여주는 증거라고 할 수 있습니다. 구글의 성공 신화 뒤에는 선형대수학의 '고유치 문제'라는 수학적 원리가 숨어 있습니다. 초기 검색 엔진들이 단순히 단어의 유사성을 비교할 때, 구글은 웹페이지 간의 연결 관계를 수치화하여 정보의 권위와 중요도를 정량적으로 계산했습니다. 수많은 웹페이지를 이동하는 사용자의 확률적 분포를 계산하여 가장 가치 있는 정보를 상단에 배치하는 이 혁신적인 알고리즘은, 복잡한 네트워크 데이터를 수학적 관점으로 재해석함으로써 정보 검색의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 블록체인 기술은 수학적 암호화와 검증 과정을 통해 데이터의 신뢰성을 확보합니다. 각 블록은 이전 블록의 정보를 담은 해시값으로 연결되어 있으며, 복잡한 수학 문제를 풀어야만 새로운 블록을 생성할 수 있는 구조를 가집니다. 거래 내역을 직접 노출하지 않으면서도 공개키 암호와 해시 함수를 활용해 데이터의 무결성을 증명하는 이 방식은, 중앙 집중식 관리 없이도 전 세계 사용자가 동시에 정보를 신뢰하고 공유할 수 있는 새로운 디지털 생태계를 구축하는 기반이 되었습니다. 인공지능의 역사는 인간의 사고 과정을 기계로 구현하려는 수학적 도전에서 시작되었습니다. 앨런 튜링이 제안한 튜링 테스트부터 체스 챔피언을 이긴 딥 블루, 퀴즈 쇼에서 승리한 왓슨에 이르기까지 인공지능은 끊임없이 진화해 왔습니다. 특히 최근의 인공지능은 인간의 뇌 신경망을 모방한 인공 신경망 구조를 통해 데이터를 학습하며, 단순한 규칙 기반의 시스템을 넘어 스스로 패턴을 찾아내고 판단하는 수준에 도달하여 우리 삶의 모든 영역에 깊숙이 침투하고 있습니다. 알파고의 등장은 지식 기반 전문가 시스템과 데이터 기반 인공 신경망이 결합하여 이룬 놀라운 성취였습니다. 바둑의 방대한 경우의 수를 모두 계산하는 대신, 고수들의 기보를 학습한 정책망으로 유망한 수를 선택하고 가치망을 통해 승률을 예측하는 병렬 계산 방식을 도입했습니다. 하지만 이러한 딥러닝 기술이 왜 뛰어난 성능을 내는지, 얼마나 많은 데이터가 필요한지에 대한 수학적 이론은 여전히 미지의 영역으로 남아 있으며, 이는 현대 수학자들이 풀어야 할 새로운 과제가 되었습니다. 인류 문명의 발전 단계마다 그 시대를 이끄는 새로운 수학이 존재해 왔습니다. 농경 시대에는 기하학이, 산업 혁명기에는 해석학이 과학 기술의 발전을 견인했다면, 4차 산업 혁명 시대에는 비정형 데이터를 다루는 위상수학이나 확률 최적화 이론이 핵심적인 역할을 할 것입니다. 미래의 불확실한 세계를 탐험하기 위해서는 기존의 알고리즘을 넘어선 수학적 상상력이 필요하며, 이러한 학문적 탐구는 인공지능과 양자 컴퓨팅 등 미래 기술의 한계를 극복하는 열쇠가 될 것입니다.

이준엽

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (1) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ①

우리의 일상은 수많은 알고리즘으로 둘러싸여 있습니다. 가장 대표적인 예가 내비게이션입니다. 내비게이션의 핵심은 화려한 그래픽이나 음성 안내가 아니라, 최적의 경로를 찾아내는 알고리즘에 있습니다. 알고리즘이란 특정 목표를 달성하기 위한 유한한 절차나 규칙의 모임을 의미합니다. 이는 단순히 컴퓨터 프로그램에 국한된 개념이 아니라, 복잡한 문제를 효율적으로 해결하기 위해 인간이 설계한 체계적인 문제 해결 방식의 정수라고 할 수 있습니다. 경로 탐색의 효율성을 극대화한 사례로 '패스트 마칭 알고리즘'을 들 수 있습니다. 과거에는 모든 경우의 수를 일일이 계산하려 했으나, 이는 데이터가 늘어날수록 계산량이 기하급수적으로 증가하는 한계가 있었습니다. 하지만 수학자들은 이를 미분 방정식의 관점에서 접근하여 사고의 전환을 이뤄냈습니다. 속도의 역수를 시간의 흐름으로 파악하고, 마치 물결이 퍼져나가는 것처럼 최단 시간을 계산하는 방식은 복잡한 경로 문제를 획기적으로 해결했습니다. 이러한 수학적 알고리즘은 단순히 길 찾기에만 머물지 않습니다. 동일한 원리가 의료 영상에서 뇌의 구조를 분리해내는 이미지 분할 기술이나, 로봇 팔이 장애물을 피해 움직이는 6차원 궤적 계산에도 적용됩니다. 하나의 잘 설계된 알고리즘이 전혀 다른 분야의 난제들을 해결하는 열쇠가 되는 것입니다. 이는 프로그램의 외형보다 그 내면에 숨겨진 수학적 원리와 이를 새로운 문제에 적용하는 창의적 사고가 얼마나 중요한지를 잘 보여줍니다. 컴퓨터의 역사를 되짚어보면 흥미로운 사실을 발견하게 됩니다. 1960년대까지만 해도 '컴퓨터'는 기계가 아니라 복잡한 수식을 계산하는 사람의 직업을 일컫는 말이었습니다. 당시 NASA와 같은 기관에서는 수학적 재능을 가진 여성들이 직접 손으로 계산을 수행하며 우주 탐사의 초석을 다졌습니다. 오늘날 우리가 사용하는 전자계산기나 노트북이 보급되기 전부터, 인간의 지성은 이미 알고리즘적 사고를 통해 거대한 과학적 성취를 이뤄내고 있었습니다. 현대 컴퓨터의 논리적 토대를 마련한 것은 앨런 튜링의 '튜링 머신'입니다. 튜링 머신은 실제로 제작된 기계가 아니라, 수학적 증명을 위해 고안된 가상의 장치였습니다. 0과 1을 기록하고 칸을 이동하는 지극히 단순한 규칙만으로 모든 계산 가능한 문제를 풀 수 있다는 이 개념은 현대 컴퓨터 공학의 시초가 되었습니다. 수학적 상상력에서 탄생한 이 사고 실험은 불가능해 보이던 논리적 한계를 규명하고, 디지털 시대의 문을 여는 결정적인 계기가 되었습니다. 컴퓨터 공학이라는 학문이 정립되기 훨씬 전부터, 핵심적인 계산 알고리즘의 대부분은 수학자들에 의해 개발되었습니다. 20세기 과학 계산의 주요 업적들을 살펴보면, 컴퓨터가 보급되지 않았던 시절에 이미 논리적 체계가 완성된 경우가 많습니다. 이는 수학이 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 세상에 없던 새로운 체계를 설계하는 근본적인 도구이기 때문입니다. 수학적 상상력은 기술적 한계를 뛰어넘어 미래를 설계하는 원동력이 되어왔습니다. 오늘날 계산 기술은 자연과학과 공학을 넘어 사회과학 전반에 걸쳐 필수적인 역할을 수행합니다. 과거의 과학이 이론과 실험이라는 두 축으로 지탱되었다면, 이제는 '계산'이 제3의 축으로 자리 잡았습니다. 비행기 설계부터 주가 예측, 질병 진단에 이르기까지 수많은 모델링이 컴퓨터를 통해 이루어집니다. 세상을 논리적으로 이해하려는 지적 탐구는 복잡한 현실 문제를 해결 가능한 형태로 변환하는 가장 강력한 동력이 됩니다.

이준엽

카오스재단카오스강연

수학

[석학인터뷰] 김재경_ 생물학에 시간의 개념을 도입하다 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학은 단순한 숫자의 나열을 넘어 생명 현상의 복잡한 원리를 규명하는 강력한 도구로 활용됩니다. 특히 미분 방정식은 시간에 따라 변화하는 생체 내의 역동적인 움직임을 분석하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 예를 들어, 우리 몸속에서 암세포가 증식하는 속도나 전이 과정을 수학적 모델링을 통해 질병의 진행 양상을 정밀하게 예측할 수 있습니다. 이러한 접근 방식은 전통적인 생물학적 관찰만으로는 파악하기 어려운 생명 현상의 근본적인 속성들을 수치화하고 체계적으로 이해할 수 있는 새로운 지평을 열어줍니다. 생체 시계 연구는 기존 생물학 연구에서 상대적으로 간과되었던 '시간'이라는 개념을 중요한 변수로 도입했습니다. 항암제를 투여할 때 아침, 점심, 저녁 중 어느 시간대에 주느냐에 따라 치료 효과가 현저히 달라진다는 사실은 생체 시계의 중요성을 잘 보여줍니다. 우리 몸의 대사와 면역 체계가 시간에 따라 주기적으로 변화하기 때문에, 이러한 생체 시계를 수학적으로 분석하면 최적의 치료 시점을 결정하는 정밀 의료가 가능해집니다. 이는 생명 과학에 시간이라는 차원을 더해 더욱 입체적인 연구를 가능케 하는 혁신적인 시도라고 할 수 있습니다. 수학자로서의 정체성을 '친구'라고 정의하는 태도는 학문 간의 경계를 허무는 협력의 중요성을 시사합니다. 실험 연구자들이 난관에 부딪혔을 때 수학적 지식으로 도움을 주고, 언제든 고민을 나눌 수 있는 동반자가 되는 것이 현대 과학이 지향해야 할 모습입니다. 새로운 분야를 개척하는 과정에는 주변의 우려와 불확실성이 따르기 마련이지만, 타인과 소통하며 문제를 해결해 나가는 과정은 학문적 성취를 넘어 더 나은 과학 생태계를 만드는 밑거름이 됩니다. 결국 학문적 지식은 타인의 어려움을 해결하는 따뜻한 도구가 될 때 그 가치가 더욱 빛납니다.

김재경

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

생명과학
수학

[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (6) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ⑥

수학 교육 현장에서 응용수학의 중요성이 점차 강조되고 있습니다. 과거에는 미분 방정식의 해법을 손으로 푸는 데 집중했다면, 이제는 이를 실제 생물학적 현상에 어떻게 적용할 수 있는지 배우는 과정이 필요합니다. 초등 및 고등 교육과정부터 수학이 실제 세상의 문제를 해결하는 도구임을 인지할 수 있도록 융합적인 교육 환경을 조성해야 합니다. 이러한 변화는 학생들이 수학의 실용성을 깨닫고 다양한 학문적 진로를 탐색하는 밑거름이 될 것입니다. 응용수학을 잘하기 위해서는 역설적으로 탄탄한 기초 수학 이론이 뒷받침되어야 합니다. 생명과학자나 의사가 던지는 복잡한 질문을 해결하기 위해서는 이산 수학, 대수학 등 수많은 수학적 도구가 필요하기 때문입니다. 어떤 문제가 주어졌을 때 적절한 이론을 선택하고 적용할 수 있는 판단력은 깊이 있는 수학 공부를 통해서만 길러집니다. 따라서 융합 연구는 기초를 소홀히 하는 것이 아니라, 탄탄한 수학적 토대 위에서 피어나는 결과물이라고 할 수 있습니다. 인간의 생체 시계는 정확히 24시간이 아닌 약 24.2시간의 주기를 가지고 있습니다. 우리가 매일 일정한 시간에 깨어날 수 있는 이유는 시신경을 통해 들어오는 빛 정보가 매일 조금씩 시계를 조절해주기 때문입니다. 수리생물학은 이러한 생체 리듬의 원리를 수학적으로 분석하여 주행성 동물과 야행성 동물의 차이를 설명합니다. 이처럼 수학은 눈에 보이지 않는 생물학적 메커니즘을 정교한 수식으로 풀어내어 현상의 본질을 이해하도록 돕는 강력한 도구가 됩니다. 최근에는 과학적 실험의 상당 부분이 미분 방정식을 활용한 수치 실험으로 대체되고 있습니다. 미국 FDA와 같은 기관에서도 가상 실험 결과를 실제 실험과 동등하게 인정하는 추세이며, 이는 신약 개발이나 비행기 설계 등 다양한 분야에 적용됩니다. 물리적 원리가 명확한 유체 역학 모델부터 복잡한 감염병 확산 모델까지, 수학적 모델링은 미래를 예측하고 최적의 정책 방향을 제시하는 데 기여합니다. 이는 실험의 한계를 극복하고 효율성을 극대화하는 혁신적인 방법입니다. 수학이 갖는 가장 큰 힘은 복잡한 현상을 단순화하여 본질적인 직관을 제공하는 데 있습니다. 수백 개의 변수로 얽힌 생물학적 현상을 핵심적인 수식 몇 개로 압축함으로써, 우리는 복잡함 속에 숨겨진 원리를 발견할 수 있습니다. 응용수학은 다른 학문과 조화를 이룰 때 비로소 아름다운 하모니를 만들어내는 합창과도 같습니다. 수학자가 제시하는 정량적 근거와 타 분야의 전문성이 결합할 때, 우리 사회의 복잡한 문제들을 해결할 수 있는 진정한 융합의 가치가 실현됩니다.

김재경, 정은옥

카오스재단카오스강연

생명과학
수학

[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (5) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ⑤

감염병의 확산 양상을 예측하기 위해 수학자들은 복잡한 인간의 움직임을 수식으로 구현합니다. 통근과 통학 같은 일상적인 이동 데이터를 사인 함수와 같은 주기적인 수식으로 변환하고, 이를 미분방정식 기반의 수리 모델과 결합하면 질병이 지역 간에 어떻게 전파되는지 시뮬레이션할 수 있습니다. 실제로 2009년 신종 인플루엔자 확산 데이터를 수리 모델과 비교했을 때, 실제 확진자 발생 추이와 모델의 결과가 매우 유사하게 나타났습니다. 이러한 수리 모델링은 단순한 데이터 분석을 넘어 질병 확산의 원리를 이해하고 대응책을 마련하는 강력한 도구가 됩니다. 효율적인 방역 정책을 세우기 위해서는 한정된 자원을 어디에 집중할지 결정하는 것이 중요합니다. 수리 모델링의 연구 결과에 따르면, 교통 요충지인 허브(hub) 지역보다 최초 감염이 시작된 소스(source) 지역을 통제하는 것이 전체 감염자 수를 줄이는 데 훨씬 효과적입니다. 예를 들어, 유동 인구가 많은 강남을 통제하는 것보다 감염의 시작점인 과천의 이동을 제한했을 때 전국적인 확산 억제 효과가 더 크게 나타났습니다. 이는 직관적인 판단과는 다를 수 있는 결과로, 수학적 분석이 정책 결정 과정에서 얼마나 객관적이고 과학적인 근거를 제공할 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수학의 역할은 감염병 대응에만 국한되지 않고 현대 산업 전반으로 확장되고 있습니다. 산업수학은 이미 선진국에서 수십 년 전부터 활발히 연구되어 온 분야로, 의료, 공학, 항공, 금융 등 다양한 영역에서 실질적인 문제 해결사 역할을 하고 있습니다. 암호 이론을 이용한 개인정보 보호 기술이나 금융 시장의 복잡한 파생상품 계산, 지문 인식 알고리즘 개발 등이 모두 수학적 원리를 바탕으로 이루어집니다. 최근 한국에서도 산업수학에 대한 관심이 높아지면서, 순수 수학적 이론이 실제 산업 현장의 난제를 해결하는 핵심 기술로 자리매김하고 있습니다. 현대 과학에서 수학과의 융합 연구가 강조되는 이유는 경제성과 효율성 때문입니다. 생물학이나 의학 분야에서 수많은 약물 조합과 투여 시간을 일일이 실험으로 확인하려면 천문학적인 비용과 시간이 소요됩니다. 하지만 수리 모델을 활용하면 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 최적의 조건을 미리 예측할 수 있어 연구 비용을 획기적으로 절감할 수 있습니다. 이러한 'Math+X'의 접근 방식은 서로 다른 학문 간의 경계를 허물고, 기존의 방식으로는 해결하기 어려웠던 복잡한 문제들에 대해 새로운 시각과 해법을 제시합니다. 성공적인 융합 연구를 위해 연구자에게 요구되는 가장 중요한 자질은 소통 능력과 열린 마음입니다. 수학자가 자신의 전문 용어만을 고집한다면 다른 분야의 전문가들과 협력하기 어렵습니다. 상대방의 언어를 배우고 자신의 지식을 상대가 이해할 수 있는 방식으로 전달하려는 노력이 필요합니다. 또한, 학문적 자존심을 내려놓고 타 분야의 관점을 수용할 때 비로소 진정한 의미의 혁신이 일어날 수 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 수학은 단순히 계산하는 도구를 넘어, 서로 다른 분야를 연결하고 대화를 이끌어내는 공통의 언어로서 그 가치를 더해가고 있습니다.

김재경, 정은옥

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[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (4) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ④

생체 시계의 원리를 이용한 약물 효능 연구는 현대 의학에서 매우 중요한 과제입니다. 어떤 약물은 빛에 의해 효과가 반감되거나 계절에 따라 반응이 달라지는 등 매우 복잡한 특성을 보입니다. 이러한 복잡성 때문에 모든 환경을 실제 실험으로 검증하는 것은 현실적으로 불가능에 가깝습니다. 이를 해결하기 위해 수리생물학자들은 미분방정식을 활용하여 생체 시계를 구성하는 수많은 분자의 움직임을 정밀하게 모델링합니다. 수학적 모델은 다양한 환경 변수를 시뮬레이션함으로써 약물의 최적 복용 시간을 찾아내는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 모델링의 가장 큰 장점은 경제성과 확장성입니다. 막대한 비용이 소요되는 실제 임상 실험과 달리, 컴퓨터와 수식을 이용한 시뮬레이션은 비용을 획기적으로 절감하면서도 여름과 겨울, 환자의 생활 패턴 변화 등 거의 모든 경우의 수를 검토할 수 있게 해줍니다. 연구진은 이러한 미분방정식 모델을 기반으로 환자의 환경 정보를 실시간으로 반영하는 애플리케이션을 개발하고 있습니다. 이는 단순한 이론 연구를 넘어, 개개인의 생활 방식에 맞춘 정밀 의료 서비스를 제공하여 수학이 실생활에서 얼마나 유용하게 쓰일 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수리생물학의 영역은 생체 시계를 넘어 암, 에이즈, 감염병 전파 등 생명과학 전반으로 넓어지고 있습니다. 최근에는 수학 박사가 의과대학 교수로 임명되는 사례가 늘어날 만큼 수학과 의생명과학의 융합이 가속화되는 추세입니다. 수학자들은 생물학자나 의사들과 긴밀히 협업하며 간호사의 교대 근무 스케줄이 수면의 질에 미치는 영향이나 식물의 가뭄 대응 메커니즘 같은 흥미로운 문제들을 해결하고 있습니다. 이러한 협력은 복잡한 생명 현상을 체계적으로 이해하고 예측하는 데 필수적인 역할을 수행하며 학문의 경계를 허물고 있습니다. 생명 현상을 분석하는 데는 미분방정식뿐만 아니라 확률방정식, 통계학, 위상수학 등 다양한 수학적 도구가 동원됩니다. 예를 들어 위상수학은 복잡하게 꼬인 DNA 구조나 뇌의 신경망 구조를 연구하는 데 활용되며, 대수학은 생물학적 분류 체계를 정립하는 데 기여합니다. 또한 그래프 이론은 유전자 발현 네트워크에서 핵심적인 연결 고리를 찾아내는 데 쓰이기도 합니다. 이처럼 수학은 생명체의 복잡한 데이터를 정돈하고 보이지 않는 규칙을 찾아내는 언어로서, 실험 데이터만으로는 파악하기 어려운 생명의 본질적인 원리를 규명하는 데 기여합니다. 감염병 확산 방지 분야에서도 수학적 모델링은 국가 정책을 결정하는 핵심적인 근거를 제공합니다. 신종 인플루엔자나 메르스 같은 전염병이 발생했을 때, 수학자들은 인구 이동 데이터와 감염 경로를 분석하여 지역별 확산 양상을 예측합니다. 감염 가능 그룹과 회복 그룹의 변화를 시간에 따른 미분방정식으로 표현함으로써 방역 전략의 효과를 미리 시뮬레이션할 수 있습니다. 이는 역학자들과의 지속적인 소통을 통해 완성되며, 복잡한 사회적 네트워크 속에서 감염병의 위협으로부터 인류를 보호하는 과학적인 방패 역할을 하고 있습니다.

김재경

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[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (3) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ③

생체 시계의 핵심인 피리어드 단백질은 인산화라는 과정을 통해 분해됩니다. 이 과정은 마치 고속도로와 정체된 도로처럼 두 가지 경로로 나뉘는데, 어느 위치에 인산화가 일어나는지에 따라 단백질의 운명이 결정됩니다. 특정 위치에 인산화가 되면 단백질 구조가 급격히 변하며 즉각 분해되는 '시한폭탄' 같은 역할을 하고, 다른 위치에서는 완만한 변화를 거쳐 천천히 분해됩니다. 이러한 인산화 스위치 모델은 생체 시계가 일정한 주기를 유지하는 근본적인 원리를 설명해 줍니다. 복잡한 미분 방정식을 통해 구현된 이 모델은 실제 실험 데이터에서 나타나는 독특한 계단 모양의 곡선을 완벽하게 재현해냈습니다. 특히 온도가 변해도 생체 시계의 주기가 일정하게 유지되는 '온도 보상' 원리를 수학적으로 밝혀낸 점이 주목할 만합니다. 온도가 낮아지면 화학 반응이 느려지지만, 인산화 스위치가 분해 경로의 비율을 조절하여 전체적인 속도를 유지하는 것입니다. 이는 지난 60년간 생명과학계의 미스터리였던 현상을 수학적 통찰로 풀어낸 쾌거라 할 수 있습니다. 우리의 생체 시계는 외부의 빛 정보와 긴밀하게 연결되어 끊임없이 동기화됩니다. 해외여행 시 겪는 시차 적응 문제는 한국 시간에 맞춰진 내부 시계와 현지의 외부 빛 정보가 충돌하며 발생합니다. 보통 하루에 한 시간 정도만 스스로 조절되기에 완전한 적응에는 긴 시간이 필요하지만, 수학적 모델링을 활용하면 최적의 빛 노출 시간을 계산해 적응 속도를 높일 수 있습니다. 빛은 단순한 조명이 아니라 우리 몸의 시계 장치를 조절하는 가장 강력한 외부 신호로 작용하기 때문입니다. 생체 시계의 불균형은 단순한 피로를 넘어 암, 당뇨, 우울증 등 심각한 질병의 원인이 되기도 합니다. 특히 교대 근무자나 노화로 인해 시계 기능이 약해진 경우 이러한 위험에 더 노출됩니다. 이를 해결하기 위해 특정 시간에 약물을 투여하여 시계를 조절하는 '시간 요법(크로노테라피)' 연구가 활발히 진행 중입니다. 항암제나 예방 접종조차 투여 시간에 따라 효과가 수배 이상 차이 날 수 있다는 사실은, 우리 몸이 24시간 내내 동일한 상태가 아님을 시사하며 시간 중심 치료의 중요성을 강조합니다. 신약 개발 과정에서 수학자와 물리학자, 의학자가 협력하는 '어벤져스' 팀의 역할은 매우 중요합니다. 생체 시계를 타깃으로 하는 약물은 투여 시점에 따라 효과가 극명하게 달라지며, 때로는 외부의 빛 정보와 약물이 서로 충돌하며 복잡한 반응을 보이기도 합니다. 실험 쥐를 대상으로 한 연구에서 빛이 약물의 효과를 상쇄하려는 현상이 관찰된 것처럼, 생체 시스템은 매우 정교한 항상성을 유지하려 노력합니다. 이러한 복잡한 상호작용을 이해하는 것이 미래 정밀 의료의 핵심이 될 것입니다.

김재경

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[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (2) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ②

우리 몸속에는 24시간 주기로 작동하는 정교한 생체 시계가 존재합니다. 이 시계의 핵심은 Period 단백질의 농도가 일정하게 오르내리는 진동 현상에 있습니다. 생물학적으로 이는 음성 피드백 루프라는 과정을 통해 조절됩니다. 특정 단백질이 유전자를 활성화해 Period 단백질을 만들면, 생성된 Period 단백질이 다시 자신의 생산을 억제하며 농도를 낮추는 방식입니다. 이러한 끊임없는 순환은 우리가 태어날 때부터 죽을 때까지 지속되며 몸 전체에 지금이 몇 시인지, 어떤 일을 해야 하는지에 대한 시간 정보를 전달하는 중요한 역할을 수행합니다. 세포 내에는 수많은 음성 피드백 루프가 존재하지만, 모든 루프가 주기적인 진동을 만들어내는 것은 아닙니다. 수학적 관점에서 이 문제를 해결하기 위해 미분방정식을 세워 분석해 보면, 진동이 발생하기 위한 특정한 조건이 필요함을 알 수 있습니다. 연구 결과, 특정 물질들 사이의 비율이 대략 1:1의 균형을 이룰 때 비로소 아름다운 리듬이 형성된다는 사실이 밝혀졌습니다. 이는 생체 시계가 단순히 구조적 연결만으로 작동하는 것이 아니라, 구성 요소들 사이의 정교한 양적 균형 위에서 유지되고 있음을 시사합니다. 수학적 모델로 도출한 가설을 검증하기 위해 유전자 조작 쥐를 이용한 실험이 진행되었습니다. 약물을 통해 특정 단백질의 양을 조절하며 관찰한 결과, 수학적으로 예측했던 1:1의 비율이 깨지는 순간 쥐의 행동 패턴은 급격히 무너졌습니다. 규칙적으로 자고 깨던 쥐들이 무작위로 활동하기 시작하며 생체 시계가 고장 난 모습을 보인 것입니다. 이 실험은 추상적인 수학 공식이 실제 생명체의 복잡한 행동 원리를 정확하게 설명할 수 있음을 보여주는 강력한 증거가 되었으며, 수학과 생물학의 결합이 가진 힘을 증명해 냈습니다. 생체 시계의 또 다른 신비로운 특징은 온도의 변화에도 불구하고 주기가 일정하게 유지된다는 점입니다. 일반적인 화학 반응은 온도가 10도 상승할 때 반응 속도가 두세 배 빨라지지만, 생체 시계는 이러한 물리적 법칙을 거스르는 듯한 모습을 보입니다. 만약 식물이나 곤충의 시계가 온도에 따라 변한다면 계절마다 생체 리듬이 파괴될 것입니다. 과학자들은 이를 '온도 보상'이라 부르며, 외부 환경 변화 속에서도 생명체가 일정한 리듬을 유지할 수 있게 하는 숨겨진 장치를 찾기 위해 지난 60년 동안 연구를 이어왔습니다. 최근 연구에서는 Period 단백질의 분해 과정에서 기존의 상식을 깨는 독특한 현상이 발견되었습니다. 대부분의 물질은 시간이 지남에 따라 지수함수 형태로 매끄럽게 분해되지만, 이 단백질은 마치 의자 모양처럼 급격히 떨어졌다가 평탄해지는 과정을 반복하며 분해되었습니다. 이러한 기이한 분해 곡선은 기존 생물학적 지식으로는 설명하기 어려운 블랙박스와 같았습니다. 수학자들은 수백 가지의 미분방정식을 대입하는 시행착오 끝에 이 복복잡한 현상 이면에 숨겨진 원리를 밝혀내고 온도 보상의 미스터리를 풀기 위한 새로운 실마리를 찾았습니다.

김재경

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[강연] 수학과 생물학의 아름다운 만남, 수리생물학 (1) _ by김재경 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 7강 | 7강 ①

20세기가 물리학의 시대였다면, 21세기는 생물학의 시대로 불릴 만큼 생명과학 분야는 급격한 성장을 거듭하고 있습니다. 이러한 흐름 속에서 수학과 생물학의 융합인 '수리생물학'은 복잡한 생명 현상을 이해하는 새로운 열쇠로 주목받고 있습니다. 과거에는 생명 현상을 단순히 관찰하고 기술하는 데 집중했다면, 이제는 수학적 모델링을 통해 생명 시스템의 근본적인 원리를 파악하려는 시도가 활발해지고 있습니다. 이는 단순히 학문의 결합을 넘어, 인류가 생명의 신비를 푸는 방식에 혁신적인 변화를 가져오고 있습니다. 왓슨과 크릭의 DNA 이중나선 구조 발견 이후, 생명과학은 분자 수준에서 유전자와 단백질의 상호작용을 연구하는 분자생물학 혁명을 맞이했습니다. 하지만 세포 내부의 수많은 분자가 얽혀 만들어내는 상호작용은 인간의 직관만으로는 파악하기 힘들 정도로 매우 복잡합니다. 방대한 데이터를 분석하고 그 이면에 숨겨진 규칙을 찾아내기 위해서는 논리적이고 정교한 수학적 사고가 필수적입니다. 수학은 복잡한 생명 시스템을 체계적으로 분석할 수 있는 틀을 제공하며, 보이지 않는 생명 활동의 질서를 시각화하는 역할을 합니다. 수리생물학에서 미래를 예측하기 위해 가장 널리 사용되는 도구 중 하나는 미분방정식입니다. 미분은 특정 양이 시간에 따라 얼마나 빨리 변하는지를 나타내는 지표로, 이를 통해 현재의 변화율로부터 미래의 상태를 계산해낼 수 있습니다. 마치 자동차의 현재 속도를 알면 미래의 위치를 예측할 수 있는 것과 같은 원리입니다. 이러한 수학적 모델링은 생명체 내에서 일어나는 화학 반응이나 물질의 농도 변화를 시간에 따른 함수로 나타냄으로써, 생명 현상의 동적인 변화 과정을 정밀하게 시뮬레이션하고 그 결과를 미리 확인해볼 수 있게 해줍니다. 수학적 모델링의 놀라운 점은 때때로 우리의 직관을 뛰어넘는 결과를 보여준다는 것입니다. 예를 들어, 특정 물질이 생성되고 소멸하는 간단한 화학 반응에서도 직관적으로는 농도가 일정하게 유지되거나 한 방향으로 변할 것 같지만, 수학적으로 분석하면 주기적인 진동 현상이 나타나기도 합니다. 이는 생명 시스템이 단순히 선형적인 인과관계로 이루어진 것이 아니라, 복잡한 피드백 루프를 통해 작동하고 있음을 시사합니다. 수학은 편견 없는 계산을 통해 우리가 미처 예상하지 못한 생명의 숨겨진 질서를 발견하도록 돕는 강력한 도구가 됩니다. 우리 몸은 24시간 주기로 수면, 호르몬 분비, 체온 조절 등을 수행하는 '서카디안 리듬'을 가지고 있습니다. 뇌의 시상하부에 위치한 생체 시계는 유전자의 발현과 단백질의 상호작용을 통해 시간을 인지하며, 이는 멜라토닌이나 성장 호르몬 같은 중요한 물질의 분비 시점을 결정합니다. 수리생물학은 이러한 생체 시계가 어떻게 오차 없이 작동하는지, 그리고 외부 환경 변화에 어떻게 적응하는지를 규명하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 결국 수학은 우리 몸이라는 정교한 기계가 시간을 측정하고 생명을 유지하는 원리를 밝히는 가장 아름다운 언어라고 할 수 있습니다.

김재경

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