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[질토과+짧강] 💰금융수학 / 금융에서의 수학_ by 배형옥 ｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 2강

군집 현상(Herding)은 자신의 합리적 판단보다 시장의 분위기나 타인의 선택을 맹목적으로 따르는 현상을 말합니다. 천재 과학자 아이작 뉴턴조차 1720년 남해 거품 사건에서 이 현상을 피하지 못했습니다. 그는 초기에 주식을 매도하여 이익을 보았으나, 주변 사람들이 더 큰 수익을 내는 것을 보고 다시 전 재산을 투자했다가 막대한 손실을 입었습니다. 이는 인간의 심리가 경제적 의사결정에 얼마나 큰 영향을 미치는지 보여주는 대표적인 사례로 꼽힙니다. 현대 금융 수학은 이러한 인간의 광기와 시장의 변동성을 수학적 모델로 분석하려 노력합니다. 주식 시장의 개별 주식을 하나의 입자로 가정하고, 이들의 움직임을 물리적 동기화 현상이나 입자 역학의 관점에서 접근하는 연구가 진행되고 있습니다. 이를 통해 경제 위기의 징후를 포착하거나 위기가 종료되는 시점을 예측하는 지표를 개발하기도 합니다. 수학적 배경을 바탕으로 한 이러한 시도는 복잡한 금융 시장의 흐름을 보다 객관적이고 정교하게 파악할 수 있는 도구를 제공합니다. 파생상품은 기초 자산의 가치 변동에 따라 가격이 결정되는 금융 상품으로, 대표적으로 선물과 옵션이 있습니다. 선물은 미래의 특정 시점에 정해진 가격으로 상품을 매매하기로 약속하는 거래로, 농산물 가격 폭락과 같은 불확실성을 줄이는 수단으로 활용됩니다. 반면 옵션은 특정 가격에 자산을 살 수 있는 '권리'를 매매하는 것입니다. 이는 단순한 물건 거래를 넘어 위험과 수익을 맞교환하는 전략적 도구이며, 현대 금융 시장에서 자본의 효율성을 높이는 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 놀랍게도 현대 금융의 핵심인 파생상품 가격 결정 모델은 물리학자 아인슈타인의 브라운 운동 이론에 뿌리를 두고 있습니다. 1973년 피셔 블랙과 마이런 숄즈는 입자의 불규칙한 움직임을 설명하는 방정식을 응용하여 옵션의 적정 가격을 산출하는 '블랙-숄즈 방정식'을 창안했습니다. 이 모델은 금융 시장의 불확실성을 수학적으로 정량화했다는 공로를 인정받아 노벨 경제학상을 수상했습니다. 이는 순수 과학의 이론이 어떻게 실물 경제의 복잡한 문제를 해결하는 강력한 무기가 될 수 있는지를 증명합니다. 금융 수학의 효용성은 이론에만 머물지 않고 실전 투자에서도 막대한 영향력을 발휘합니다. 미분 기하학을 전공한 수학자 제임스 사이먼스는 르네상스 테크놀로지라는 헤지펀드를 설립하여 수학적 알고리즘만으로 경이로운 수익률을 기록했습니다. 그는 수학자로서 세계 최고의 부를 축적하며 학문적 깊이가 경제적 성공으로 이어질 수 있음을 보여주었습니다. 결국 금융 수학은 시장의 보이지 않는 질서를 찾아내고, 미래의 불확실성을 계산 가능한 영역으로 끌어들이는 현대 과학의 정수라고 할 수 있습니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[질문과 토론의 과학 #7] 👨‍👩‍👧‍👧군집현상 : 드론부터 폴리매쓰까지

복잡계는 수많은 구성 요소들이 상호작용하며 개별 요소의 특성만으로는 설명할 수 없는 새로운 성질을 만들어내는 시스템을 의미합니다. 이 이론의 역사적 뿌리는 태양, 지구, 달과 같은 세 천체의 궤도를 예측하는 '삼체문제'에 닿아 있습니다. 19세기 수학자 앙리 푸앵카레는 이 문제의 일반 해를 구하는 것이 불가능함을 증명하며 카오스 이론의 기틀을 마련했습니다. 이는 현대 과학에서 단순한 인과관계를 넘어 예측 불가능성과 복잡성을 이해하는 중요한 학문적 전환점이 되었습니다. 복잡계에서 나타나는 대표적인 현상으로는 군집 현상이 있습니다. 먼저 '플로킹'은 새나 물고기 떼가 무리 지어 이동하며 특정한 패턴을 형성하는 속도 집중 현상을 말합니다. 두 번째인 '동조 현상'은 심장 세포가 일정한 주기로 뛰는 것처럼 집단의 요소들이 동일하게 움직이려는 경향입니다. 마지막으로 '카오스'는 초기 조건의 미세한 차이가 결과에 엄청난 영향을 미치는 나비효과를 통해 설명됩니다. 이러한 현상들은 자연계 곳곳에서 질서와 무질서가 공존하는 방식을 보여주는 핵심적인 개념들입니다. 군집 현상은 자연을 넘어 사회와 경제 분야에서도 뚜렷하게 관찰됩니다. 사회 계층의 형성은 상류층을 닮으려는 욕구와 차별화하려는 반발력이 상호작용하며 나타나는 수학적 모델로 설명될 수 있습니다. 경제 분야에서는 금융 위기 시 주식 변동성이 급격히 일치하는 동조 현상이나, 비트코인 열풍처럼 사람들이 한꺼번에 몰리는 '허딩' 현상이 대표적입니다. 유행에 민감하게 반응하면서도 타인과 똑같은 옷을 피하려는 패션 심리 또한 복잡계의 원리로 분석 가능한 흥미로운 연구 대상 중 하나입니다. 공학 분야에서는 군집 현상을 활용한 분산 제어 기술이 주목받고 있습니다. 평창 올림픽의 드론 쇼처럼 중앙에서 통제하는 방식과 달리, 우주 탐사선들이 스스로 판단하며 항해하는 기술은 새들의 비행 메커니즘에서 영감을 얻었습니다. 의학 분야에서도 이러한 원리를 적용하려는 시도가 이어지고 있습니다. 특정 화학 물질이 암세포를 찾아가 군집을 이루게 함으로써 질병을 조기에 발견하는 정밀 진단 모델이 그 예입니다. 이는 수학적 모델링이 생명 연장과 기술 혁신에 기여할 수 있는 무한한 가능성을 시사합니다. 수학 연구의 방식 또한 군집 현상의 원리를 닮아가고 있습니다. '폴리매쓰' 프로젝트는 인터넷을 통해 수많은 수학자가 실시간으로 의견을 교환하며 난제를 해결하는 대규모 협업 시스템입니다. 2013년 무명의 수학자 이탕 장이 발표한 소수 간극에 관한 연구는 전 세계 수학자들이 집단지성을 발휘해 그 결과를 비약적으로 발전시킨 대표적 사례입니다. 고독한 천재의 영역으로 여겨졌던 수학이 이제는 질문과 토론을 통해 함께 문제를 해결해 나가는 역동적인 군집의 과학으로 진화하고 있는 것입니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[강연] 자연에 숨어 있는 질서를 찾아서 (7) _ by하승열 | 2018 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 2강 | 2강 ⑦

최근 우리나라의 기초과학 분야는 눈부신 발전을 거듭하며 세계적인 수준에 도달했습니다. 특히 물리학이나 수학 같은 기초 학문 분야에서는 국내에서 학위를 마친 연구자들도 탁월한 연구 성과를 내놓고 있습니다. 과거에는 해외 유학이 필수적인 과정으로 여겨졌으나, 이제는 국내 연구 환경에서도 충분히 높은 경쟁력을 갖춘 인재들이 배출되고 있습니다. 이러한 변화는 우리 과학계의 자생력이 강화되었음을 보여주는 고무적인 현상이며, 앞으로의 발전 가능성을 더욱 밝게 비추고 있습니다. 자연이나 사회 현상에서 나타나는 군집 현상을 이해하려는 노력은 새로운 기술적 시도로 이어지고 있습니다. 평창 동계 올림픽에서 선보인 드론 쇼는 군집 현상을 공학적으로 구현한 대표적인 사례입니다. 아직은 이러한 기술이 다양한 제품이나 상품군으로 상용화된 사례가 많지 않지만, 드론을 활용한 불꽃놀이와 같은 창의적인 아이디어들이 제안되고 있습니다. 예술과 기술이 결합한 이러한 시도들은 군집 연구가 실생활에 응용될 수 있는 무궁무진한 가능성을 제시하며 대중의 관심을 끌고 있습니다. 산업 수학의 부상은 수학자가 단순히 계산을 돕는 보조적 역할을 넘어 새로운 패러다임을 주도할 수 있음을 보여줍니다. 위상적 데이터 분석이라 불리는 TDA의 사례처럼, 수학적 이론은 데이터의 본질을 파악하는 강력한 도구가 됩니다. 뛰어난 아이디어를 가진 수학자와 이를 상업화할 수 있는 감각을 지닌 전문가가 협력할 때, 학문적 성과는 비로소 산업적 가치로 전환됩니다. 이는 기초 학문이 현대 산업의 복잡한 문제를 해결하는 핵심적인 동력이 될 수 있음을 시사하며 수학의 위상을 높이고 있습니다. 순수 수학과 응용 수학의 경계는 우리가 생각하는 것보다 훨씬 모호하며 서로 긴밀하게 연결되어 있습니다. 1900년대 초반 수학자들이 순수한 호기심으로 연구했던 이론들이 오늘날 컴퓨터 시뮬레이션이나 데이터 분석의 핵심 기술로 쓰이고 있습니다. 당시에는 컴퓨터라는 개념조차 없었지만, 시대를 앞서간 수학적 통찰이 수십 년 뒤 산업의 필수적인 도구가 된 것입니다. 따라서 당장의 유용성을 따지기보다 학문 그 자체의 깊이를 추구하는 것이 결국 미래의 혁신을 위한 가장 단단한 밑거름이 됩니다. 수학적 모델링은 수학이 단순한 숫자의 나열이 아니라 세상을 설명하는 과학의 언어임을 증명합니다. 연구 과정에서 마주하는 수많은 난관과 증명의 어려움은 연구자에게 고통을 주기도 하지만, 이를 극복하고 얻어낸 결과는 무엇과도 바꿀 수 없는 보람을 선사합니다. 좋은 수학은 언젠가 반드시 유용하게 쓰일 것이라는 믿음 아래 묵묵히 연구에 매진하는 태도가 중요합니다. 이러한 끈기 있는 탐구 정신이야말로 기초과학이 인류 문명에 기여하는 가장 근본적인 방식이며 연구자가 지녀야 할 진정한 가치입니다.