아벨

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[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 1_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 첫 번째 이야기 | 1강 ①

많은 이들이 수학을 막연한 두려움이나 적개심의 대상으로 여기곤 합니다. 하지만 수학자들 역시 수학이 무섭고 때로는 고통스러운 존재라고 고백합니다. 그들은 우리 모두가 어느 시점에서 포기하느냐가 다를 뿐, 본질적으로는 모두가 '수포자'와 같은 심정을 공유한다고 말합니다. 이러한 공감대는 수학이 단순히 천재들만의 전유물이 아니라, 좌절을 견디고 도전하는 과정에서 얻는 아주 드문 희열을 동력으로 삼는 인간적인 학문임을 보여줍니다. 수학자에 대한 고정관념 중 하나는 그들이 오직 문제 풀이에만 몰두하는 괴짜 천재라는 점입니다. 하지만 실제 수학자들은 테니스나 게임을 즐기고, 장르를 가리지 않는 독서광이기도 합니다. 어떤 이는 프로게이머를 꿈꿨을 만큼 평범한 취미에 진심을 다하기도 합니다. 이러한 인간적인 면모는 수학이라는 학문이 차가운 수식의 나열이 아니라, 다양한 개성을 가진 사람들이 각자의 방식으로 세상을 이해하려는 노력의 산물임을 깨닫게 해줍니다. 대수학은 흔히 어렵게 느껴지지만, 사실 '숫자를 대신한다'는 단순한 원리에서 시작됩니다. 복잡한 현실의 문제를 x, y와 같은 문자로 단순화하여 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 역사적으로 방정식은 땅의 넓이를 재거나 건물을 짓는 실용적인 목적에서 발전해 왔습니다. 사회가 고도화되고 금융과 화폐 경제가 발달하면서 복리 계산과 같은 더 높은 차원의 방정식이 필요해졌고, 이는 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지를 잘 보여줍니다. 수 세기 동안 수학자들은 이차 방정식의 근의 공식처럼 5차 이상의 고차 방정식에서도 일반적인 해법을 찾고자 분투했습니다. 그러나 노르웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아라는 두 젊은 천재는 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 공식을 찾지 못한 것이 아니라, 수학적 구조상 불가능함을 밝혀낸 혁명적인 사건이었습니다. 이들의 발견은 인류가 2,000년 동안 품어온 질문에 종지부를 찍으며 수학의 새로운 지평을 열었습니다. 갈루아는 고차 방정식의 해법을 연구하는 과정에서 '군론(Group Theory)'이라는 새로운 수학적 언어를 창조했습니다. 그는 방정식의 근들이 가진 대칭성과 구조를 분석함으로써 문제의 본질에 접근했습니다. 군론은 단순히 계산을 넘어 추상적인 구조를 다루는 현대 대수학의 시초가 되었으며, 오늘날 물리학과 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 보이지 않는 질서를 수식으로 포착하려 했던 젊은 수학자의 열정은 현대 과학의 근간을 이루는 위대한 유산이 되었습니다. 한국 수학계의 선구자인 이임학 교수는 일제강점기와 해방 직후의 척박한 환경 속에서도 세계적인 업적을 남겼습니다. 그는 독학으로 최신 수학 잡지를 탐독하며 당시의 난제들을 해결했고, 한국인 최초로 국제 학술지에 논문을 발표하는 쾌거를 이루었습니다. 특히 군론 분야에서 그가 발견한 '리 군(Ree Group)'은 현대 수학의 중요한 성과로 인정받고 있습니다. 정식 대학원 교육조차 받기 어려웠던 시절, 오로지 학문에 대한 열정 하나로 세계 무대에 우뚝 선 그의 삶은 경이로움 그 자체입니다. 이임학 교수의 생애는 한국 근현대사의 비극과 맞닿아 있습니다. 냉전 시대의 정치적 상황으로 인해 국적을 박탈당하고 캐나다에서 무국적자로 살아야 했던 시련 속에서도 그는 연구를 멈추지 않았습니다. 그는 자신의 성취에 머물지 않고 후학들을 위해 교재를 번역하며 한국 수학의 기틀을 닦는 데 헌신했습니다. 세계가 인정한 천재였으나 조국에서는 오랫동안 잊혔던 그의 이야기는, 진리를 향한 순수한 열정이 시대의 아픔을 어떻게 초월할 수 있는지를 우리에게 깊은 울림으로 전해줍니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 문명과 수학의 기원(3)_박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ③

수학의 역사는 추상과 실용이라는 두 축이 서로 대립하고 극복하며 발전해 온 과정입니다. 21세기에 들어서며 실용은 수학의 영역을 확장하는 모습으로, 추상은 난제 해결의 형태로 진화하고 있습니다. 특히 그리스적 전통을 잇는 추상 수학은 수학적 우주 그 자체의 깊이를 탐구하며, 기존 체계로는 해결할 수 없는 난관을 돌파하는 과정에서 비약적인 발전을 이룹니다. 이는 단순히 지식의 양이 늘어나는 점진적 과정이 아니라, 새로운 패러다임이 출현하는 불연속적인 혁명의 역사라고 할 수 있습니다. 수학적 난제는 기존 체계의 불완전성을 드러내는 동시에 새로운 사고의 틀을 구축하는 강력한 동기가 됩니다. 대표적인 예로 5차 방정식의 근의 공식을 찾는 과정에서 탄생한 '군론'을 들 수 있습니다. 10대의 천재 수학자 갈루아는 이 난제를 해결하기 위해 완전히 새로운 수학적 구조를 설계했으며, 이는 훗날 화학의 결정 구조나 물리학의 대칭성을 설명하는 핵심 도구가 되었습니다. 하나의 난제를 해결함으로써 수학의 내적 틀이 바뀌고, 그것이 다시 자연과학의 지평을 넓히는 기폭제가 된 것입니다. 현대 수학은 힐베르트의 문제들이나 밀레니엄 난제들을 통해 여전히 미지의 영역에 도전하고 있습니다. 소수들로 이루어진 등차수열의 존재를 증명한 테렌스 타오의 사례처럼, 난제 해결은 우리가 소수의 성질을 얼마나 모르고 있었는지를 깨닫게 하며 수학적 우주의 조밀함을 이해하게 합니다. 이러한 도전은 단순히 상금을 목적으로 하는 것이 아니라, 우리가 왜 이 문제를 풀지 못하는지 그 근본적인 이유를 들여다봄으로써 수학이라는 학문의 한계를 시험하고 새로운 지적 영토를 개척하는 숭고한 과정입니다. 반면 바빌로니아적 전통을 계승한 실용 수학은 물리적 우주의 복잡한 문제들을 해결하며 그 가치를 증명합니다. 픽사의 애니메이션 제작부터 베를린의 교통 체증 해결, 심지어 선거 결과 예측과 의료용 MRI의 역문제 해결에 이르기까지 수학은 현대 사회의 보이지 않는 엔진 역할을 합니다. 때로는 버스 대수를 줄여야 교통이 원활해진다는 결과처럼 우리의 상식을 뒤엎는 해답을 제시하기도 합니다. 이는 수학적 논리가 현실의 복잡성을 관통하여 가장 효율적인 최적의 경로를 찾아낼 수 있음을 보여줍니다. 수학과 기술은 서로 영향을 주고받으며 변증법적으로 발전합니다. 무선 통신의 발달이 암호학이라는 새로운 수학 분야를 촉발했듯이, 물리적 우주의 성취가 수학적 우주에 새로운 영감을 불어넣기도 합니다. 한국의 수학은 그동안 서구의 이론을 이식하고 학습하는 단계에 집중해 왔으나, 이제는 추상적인 수학적 우주와 구체적인 물리적 우주 사이의 상호작용에 더 큰 관심을 기울여야 합니다. 두 세계가 긴밀하게 소통할 때 비로소 수학은 박제된 이론을 넘어 시대를 이끄는 진정한 생명력을 얻게 될 것입니다.

박형주

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 문명과 수학의 기원 (2) - 실용과 추상의 대립 _ 박형주 교수 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ②

수학의 역사는 실용적인 물리적 우주와 추상적인 수학적 우주 사이의 끊임없는 상호작용으로 점철되어 있습니다. 바빌로니아와 이집트 문명은 생존과 번영을 위해 수학을 도구로 활용했습니다. 바빌로니아는 교역의 요충지로서 상업 수학과 대수를 발전시켰고, 이집트는 나일강의 범람을 예측하고 토지를 측량하기 위해 기하학에 집중했습니다. 이들에게 수학은 구체적인 사물을 세고 땅을 나누는 실질적인 해결책이었으며, 이러한 실용적 접근은 인류가 물리적 환경을 통제하는 데 결정적인 역할을 했습니다. 반면 그리스 문명은 수학을 철학적이고 추상적인 사유의 영역으로 격상시킵니다. 그들은 단순히 경험적으로 결과를 얻는 것에 만족하지 않고, 변하지 않는 진리를 찾기 위해 증명과 논리를 도입했습니다. 제곱해서 2가 되는 무리수를 마주했을 때, 바빌로니아인들이 근삿값으로 만족했다면 그리스인들은 이를 기하학적으로 정의하며 엄밀함을 추구했습니다. 이러한 태도는 수학적 우주라는 독자적인 세계를 구축하게 했으며, 공리에 기반한 체계적인 학문으로서의 수학을 탄생시키는 계기가 되었습니다. 이집트에서 수학은 파라오의 권위를 유지하는 '제왕의 학문'이기도 했습니다. 나일강의 범람 주기를 정확히 예측하는 지식은 왕권의 정당성을 부여하는 비밀스러운 힘이었으며, 이는 지식이 권력과 밀접하게 연결되어 있었음을 보여줍니다. 이후 헬레니즘 시대의 알렉산드리아는 이러한 이집트의 실용성과 그리스의 추상성이 결합하는 장이 되었습니다. 유클리드와 아르키메데스 같은 학자들은 추상적 원리를 바탕으로 지구와 달 사이의 거리를 측정하는 등 수학의 응용 범위를 넓히며 문명의 황금기를 이끌었습니다. 서양 지성사에서 유클리드의 《원론》이 차지하는 위상은 성경에 비견될 만큼 압도적입니다. 유클리드는 의심할 여지 없는 자명한 진리인 공리로부터 논리적 추론을 통해 결론을 도출하는 체계를 정립했습니다. 이러한 유클리드적 사고방식은 단순한 수식의 계산을 넘어 법률, 정치, 철학 등 사회 전반의 논리 구조에 깊은 영향을 미쳤습니다. 미국 독립 선언문이 모든 인간의 평등을 공리로 삼아 독립의 당위성을 역설한 사례는 수학적 논리 체계가 인류의 가치관을 형성하는 데 얼마나 기여했는지 잘 보여줍니다. 동양의 인도 수학은 서양과는 또 다른 독창적인 길을 걸었습니다. 인도는 종교적 영향으로 인해 서양에서 두려워했던 '무(無)'와 '무한'의 개념을 일찍부터 수용했습니다. 숫자 '0'의 발견은 인류 지성사의 혁명적인 사건으로, 아무것도 없음을 숫자로 표현함으로써 복잡한 연산과 추상적 대수의 발전을 가능하게 했습니다. 서구 사회가 '0'의 개념을 불경하게 여겨 받아들이는 데 수세기가 걸린 것과 대조적으로, 인도는 공허와 무한을 수학적 우주의 핵심 요소로 받아들여 현대 수학의 기초를 닦았습니다. 중세 암흑기를 지나 르네상스 시대를 맞이하며 수학은 다시 한번 도약의 기회를 얻었습니다. 구텐베르크의 금속 활자 발명은 소수 권력층의 전유물이었던 수학 지식을 대중에게 확산시키는 기폭제가 되었습니다. 아랍 문명이 보존하고 발전시킨 그리스와 인도의 지식은 유럽으로 전해져 좌표 기하학과 삼각함수의 발전으로 이어졌습니다. 대항해 시대의 지리적 발견과 식민지 개척이라는 실용적 요구는 수학적 도구의 정교화를 촉발했으며, 이는 실용과 추상이 변증법적으로 결합하는 중요한 과정이 되었습니다. 19세기에 이르러 수학은 다시 한번 실용성의 한계에서 벗어나 고도의 추상화를 지향하게 됩니다. 아벨과 갈루아 같은 수학자들은 5차 이상의 방정식에 일반해가 존재하지 않음을 증명하며, 현실 세계의 문제 해결이라는 사명감에서 자유로운 순수 지성의 영역을 탐구했습니다. 이러한 변화는 수학이 물리적 우주의 종속물에서 벗어나 스스로 진화하는 수학적 우주의 전성기를 맞이하게 했음을 의미합니다. 오늘날의 수학은 실용과 추상의 끊임없는 대립과 합일을 통해 인류 문명을 지탱하는 가장 강력한 언어로 자리 잡았습니다.

박형주

카오스재단카오스강연

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