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[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 2_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 두 번째 이야기 | 4강 ②

기하학의 어원은 그리스어 '게오메트리아'에서 시작되었습니다. 이는 '땅을 측정하다'라는 의미를 담고 있는데, 고대 이집트에서 나일강의 범람 이후 토지를 공정하게 재분배하기 위해 측량 기술이 발달한 것과 맥을 같이 합니다. 동양에서는 이를 '기하(幾何)'라고 번역했는데, 이는 '얼마나, 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 한자로 옮긴 것입니다. 이처럼 기하학은 단순히 도형을 연구하는 학문을 넘어, 고대 국가의 통치와 권력을 유지하기 위한 필수적인 제왕의 학문으로 자리 잡았습니다. 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 읽힌 책으로 꼽히는 유클리드의 '기하학 원론'은 서양 지성사의 근간을 이루었습니다. 아인슈타인이 마음의 평화를 얻기 위해 항상 곁에 두었다는 이 책은, 한 개인의 업적이라기엔 너무나 방대하여 여러 학자의 공동 저작이라는 설이 있을 정도입니다. 유클리드는 자명한 진리인 '공리'로부터 논리적 추론을 통해 결론을 도출하는 체계적인 방식을 정립했습니다. 이러한 사고 체계는 수학을 넘어 철학, 정치, 심지어 미국의 독립선언서 작성에까지 깊은 영감을 주었습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 2,000년의 시간은 정적인 수학의 시대였습니다. 하지만 17세기 천체 운동에 대한 관심이 높아지면서 변화하는 세계를 설명할 새로운 도구가 필요해졌습니다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 증명하고 행성의 궤도를 계산하는 과정에서 정적인 기하학의 한계를 절감했고, 결국 변화를 다루는 '미적분'을 탄생시켰습니다. 이는 인류의 세계관이 멈춰 있는 대상에 대한 탐구에서 움직이고 변화하는 역동적인 세계로 확장되었음을 의미하는 중요한 전환점이자 수학적 진보였습니다. 대수학과 기하학의 역사적인 만남은 데카르트의 기발한 상상력에서 시작되었습니다. 천장에 붙은 파리의 위치를 숫자로 표현할 수 없을까 고민하던 그는 좌표평면이라는 개념을 창안했습니다. 이를 통해 도형이라는 기하학적 대상을 수식이라는 대수적 언어로 변환할 수 있게 되었습니다. 이제 파리의 움직임은 곡선이라는 그림인 동시에 숫자들의 변화를 담은 방정식이 되었습니다. 이 혁신적인 결합은 복잡한 기하 문제를 명쾌한 수식 풀이로 해결할 수 있는 대수기하학이라는 새로운 지평을 열었습니다. 현대 수학은 서로 다른 영역이 연결될 때 난제를 해결하는 강력한 힘을 발휘합니다. 페르마의 마지막 정리가 대수적 문제를 기하학적 곡선의 성질로 치환하여 해결된 사례는 수학적 상상력의 정수를 보여줍니다. 이처럼 보이지 않는 규칙들을 연결해 나가는 과정을 '빅 매스(Big Math)'라 부를 수 있습니다. 수학은 사물의 구조를 탐구하는 대수학과 대상 간의 관계를 살피는 해석학으로 나뉩니다. 이 두 축을 이해하는 것은 우리가 세상을 바라보는 논리적 틀을 완성하고 자연의 질서를 깊이 있게 통찰하는 과정과도 같습니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 물리의 렌즈로 본 예술 - 관계에서 찾는 존재의 의미_ by 이창환 / 2023 봄 카오스강연 '상대성 이론' 4강 | 4강 ①

물리학이라는 렌즈를 통해 예술을 바라보면 세상은 전혀 다른 모습으로 다가옵니다. 우리는 눈에 보이는 것을 실체라고 믿지만, 사실 우리의 인식은 주변과의 관계 속에서 왜곡되거나 강조되기도 합니다. 에셔의 그림처럼 직선이 주변 환경에 따라 비뚤게 보이는 착시 현상은 인간의 감각이 가진 불완전함을 보여줍니다. 과학은 이러한 주관적 인식을 넘어 우주의 본질적인 질서를 탐구하며, 존재의 의미를 독립된 개체가 아닌 상호 관계 속에서 정의하고자 노력합니다. 물리학자의 시선에서 예술은 단순한 감상의 대상을 넘어 우주의 원리를 투영하는 거울이 됩니다. 현대 물리학이 바라보는 진공은 단순히 비어 있는 공간이 아닙니다. 노자의 '유무상생' 사상처럼, 무(無)는 아무것도 없는 상태가 아니라 모든 가능성이 잠재된 근본적인 장입니다. 김홍도의 씨름도에서 여백이 인물들 사이의 자유로운 소통과 움직임을 가능하게 하듯, 진공 역시 빛과 별, 그리고 우리 존재가 출현할 수 있는 토대가 됩니다. 원자 내부의 광활한 빈 공간이 물질의 존재를 지탱하는 것처럼, 비어 있음은 곧 가득 참의 다른 표현입니다. 우리는 이 보이지 않는 공간과의 관계를 통해 비로소 자신의 존재를 증명할 수 있습니다. 예술가 김아타의 작업은 이러한 물리학적 통찰을 시각적으로 구현합니다. 만 장의 사진을 중첩하여 형체를 지워버린 그의 작품은 무한한 존재의 합이 결국 '무'로 수렴될 수 있음을 보여줍니다. 이는 입자가 여러 상태를 동시에 가질 수 있다는 양자역학적 중첩의 원리와 맞닿아 있습니다. 우리가 인식하지 못하는 진공 속에 수많은 가능성이 중첩되어 있듯, 예술은 보이지 않는 존재의 층위를 겹겹이 쌓아 올림으로써 오히려 본질적인 비어 있음을 드러냅니다. 이러한 '유'와 '무'의 경계에서 우리는 존재의 참된 의미를 다시금 질문하게 됩니다. 과학자들은 거대 가속기 실험을 통해 진공이 끊임없이 요동치며 입자와 반입자를 생성하는 창조의 공간임을 확인했습니다. 양성자보다 훨씬 무거운 힉스 입자가 충돌 과정에서 튀어나오는 현상은 진공 속에 숨겨진 잠재력이 실현된 결과입니다. 우리가 진공을 고요하게 느끼는 이유는 우리 몸을 구성하는 원자 단위보다 훨씬 작은 플랑크 스케일에서 이러한 변화가 일어나기 때문입니다. 결국 존재란 진공이라는 거대한 바다 위에서 일어나는 아주 작은 물결이자 변화의 흔적이라 할 수 있습니다. 보이지 않는 미시 세계의 역동성이 거시 세계의 평온함을 지탱하고 있는 셈입니다. 빛의 이중성 또한 관찰자와 대상 사이의 상호작용 방식에 따라 결정됩니다. 강한 충격으로 짧은 순간 관찰하면 입자의 성질이 나타나고, 긴 시간 부드럽게 교감하면 파동의 성질이 드러납니다. 질량 역시 입자가 진공과 얼마나 강하게 상호작용하느냐에 따라 결정되는 상대적인 값입니다. 핵융합과 핵분열 과정에서 발생하는 거대한 에너지는 결국 입자들이 진공을 상대하는 방식이 변하면서 나타나는 질량의 차이입니다. 이처럼 만물은 진공과의 끊임없는 관계 맺기를 통해 자신의 성질을 규정하며, 이는 고정된 실체가 아닌 끊임없는 변화의 과정으로서의 존재를 의미합니다. 아인슈타인의 상대성 이론은 시공간을 고정된 배경이 아닌 유연한 실체로 바꾸어 놓았습니다. 거대한 질량은 주변 시공간을 휘게 만들고, 그 길을 따라 빛조차 곡선을 그리며 나아갑니다. 이러한 시공간의 왜곡은 중력 렌즈 효과를 통해 우주에 거대한 고리 모양의 환영을 만들어내기도 합니다. 예술가들은 역원근법이나 다시점 기법을 통해 고정된 관찰자의 시선에서 벗어나 시공간의 유동성을 포착하려 했습니다. 이는 절대적인 좌표계가 사라지고 모든 것이 상대적인 관계 속에서 정의되는 현대 물리학의 우주관과 일치하며, 우리가 보는 세상이 절대적이지 않음을 시사합니다. 현대 물리학은 양자역학과 상대성 이론을 통합하는 과정에서 5차원 이상의 새로운 차원을 가정하기도 합니다. 이는 마그리트나 에셔의 그림처럼 우리의 상식을 뛰어넘는 논리적 상상력을 요구합니다. 김환기 화백이 수많은 점을 찍으며 우주의 인연을 노래했듯, 과학자와 예술가는 각자의 언어로 보이지 않는 우주의 질서를 그려냅니다. 우리가 우주의 중심이 되어 각자의 시간과 공간을 살아가는 것처럼, 물리와 예술은 존재의 근원을 찾아가는 여정 속에서 서로를 비추는 거울이 됩니다. 이 아름다운 관계 속에서 우리는 비로소 우주의 일원으로서 자신의 자리를 발견하게 됩니다.

이창환

카오스재단카오스강연

물리학
융합

여긴 어디? 나는 누구?🤨 우리 과학관의 새로 온 친구의 이름🖋을 지어주세요ㅣ과학관에 산다

이른 아침, 분주한 움직임 속에서 한 인물이 허리를 부여잡으며 땀을 흘립니다. 개장 시간이 얼마 남지 않은 상황에서 그는 자신이 왜 이곳에 있는지, 무엇을 해야 하는지 혼란스러워합니다. 주변에서는 서두르라는 재촉이 이어지고, 본인조차 자신의 이름을 제대로 기억하지 못해 당황합니다. 이름을 묻는 질문에 제대로 대답하지 못하는 모습은 정체성의 혼란과 불안감을 드러냅니다. 이름에 대한 질문이 반복되면서, 그는 자신이 누구인지, 이곳에서 어떤 역할을 맡고 있는지 점점 더 혼란스러워집니다. 주변 사람들은 그를 다양한 호칭으로 부르지만, 그 어떤 것도 진짜 자신의 이름이 아니라는 사실에 더욱 외로움을 느낍니다. 이름이란 단순한 호칭이 아니라, 자신을 정의하고 타인과 구별해주는 중요한 요소임을 깨닫게 됩니다. 이름을 갖는다는 것은 단순히 불리기 위한 것이 아니라, 자신만의 정체성을 확립하고 사회 속에서 소속감을 느끼는 데 큰 역할을 합니다. 강아지나 고양이 같은 반려동물도 함께 살게 되면 이름을 지어주듯, 인간 역시 이름을 통해 서로를 인식하고 관계를 맺습니다. 그는 자신만의 이름을 갖고 싶다는 소망을 통해, 좋은 사람들과 행복하게 살아가고 싶은 바람을 드러냅니다.

국립과천과학관💙싸돌이💙

[인터뷰] 허준이_수학, 예술이 될 수 있을까? 공부와 연구의 차이는?

수학은 기초가 탄탄해야 다음 단계로 나아갈 수 있는 학문이지만, 연구의 세계에서는 조금 늦게 시작해도 괜찮다는 격려를 전합니다. 대학원 이상의 과정에서 다루는 수학의 양은 방대하여, 특정 연구에 필요한 이론을 미리 완벽히 알고 있을 확률은 매우 낮기 때문입니다. 결국 연구자에게 중요한 것은 과거에 얼마나 공부했느냐보다, 필요한 순간에 새로운 이론을 마주하고 이를 이해해 나가는 태도입니다. 이해라는 과정은 찰나와 같아 시간이 지나면 잊히기 마련이므로, 끊임없이 새로 공부하며 채워가는 과정 자체가 수학 연구의 본질이라 할 수 있습니다. 많은 이들이 진로를 결정할 때 거창한 포부나 확신을 기대하지만, 때로는 우연한 계기가 평생의 업으로 이어지기도 합니다. 학부 시절 다양한 학문에 관심을 가졌던 한 수학자는 우연히 수강한 수학 과목에서 예상치 못한 즐거움을 발견하며 수학의 길로 들어섰습니다. 특별한 환상보다는 공부하는 과정 자체가 주는 소소한 재미가 다음 단계로 이끄는 동력이 되었고, 그러한 흐름이 자연스럽게 석사와 박사 과정을 거쳐 연구자의 삶으로 연결되었습니다. 자신이 무엇을 잘하는지 모르는 혼란스러운 시기에도 눈앞에 놓인 배움의 즐거움에 집중하다 보면, 어느덧 자신만의 길 위에 서 있는 자신을 발견하게 됩니다. 수학은 흔히 건조한 논리의 학문으로 여겨지지만, 본질적으로는 시나 음악과 같은 예술 활동과 궤를 같이합니다. 음악이 모티프의 변주를 통해 감동을 주듯, 수학 또한 수많은 명제 속에서 의미 있는 패턴을 찾아내고 이를 증명이라는 과정을 통해 아름답게 엮어내는 작업입니다. 세상의 모든 참인 명제 중 우리가 특별히 '재미있다'고 느끼는 것들은 극히 일부분이며, 이러한 명제들 사이의 관계를 탐구하며 구조를 세워가는 과정은 예술적 창조와 매우 닮아 있습니다. 논리적인 증명 위에 새로운 명제가 얹어지며 만들어지는 수학적 변주는 연구자들에게 깊은 미적 울림과 만족감을 선사합니다. 현대 예술이 대중과 어느 정도 괴리를 겪고 있듯이, 수학 역시 현재는 소수의 전문가만이 그 아름다움을 온전히 누리는 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 과거에 소수만이 향유하던 문학이나 시가 시간이 흘러 고전이 되고 대중적인 예술로 자리 잡았듯, 수학 또한 인류의 문화적 역사가 깊어짐에 따라 더 많은 이들에게 울림을 주는 날이 올 것입니다. 우리가 수학이 지닌 고유한 가치를 포기하지 않고 계속해서 탐구해 나간다면, 먼 미래에는 수학적 발견이 주는 감동이 보편적인 정서로 받아들여질 수 있습니다. 수학의 아름다움이 대중의 삶 속에 자연스럽게 스며드는 미래는 결코 불가능한 꿈이 아닙니다. 수학 공부가 기존의 곡을 완벽하게 소화하여 들려주는 연주와 같다면, 연구는 세상에 없던 새로운 곡을 써 내려가는 작곡과도 같습니다. 연주와 작곡이 서로 밀접한 연관을 맺으며 시너지를 내듯, 탄탄한 학습 능력은 창의적인 연구를 수행하는 데 훌륭한 밑거름이 됩니다. 특히 연구 과정에서 타인과 소통하고 협력하는 능력은 매우 중요한데, 이는 단순히 지식을 주고받는 차원을 넘어 인간적인 유대감을 바탕으로 합니다. 마음이 잘 맞는 동료와 편안하게 대화를 나누는 과정에서 본인도 미처 깨닫지 못했던 아이디어가 마법처럼 떠오르기도 하며, 이러한 관계 맺음은 고독한 연구의 길을 지탱해 주는 큰 힘이 됩니다.

허준이

카오스재단석학인터뷰

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[석학인터뷰] 홍성욱_ 인공지능이 인간지능을 아직 따라가기 힘든 이유

포스트휴머니즘은 단순한 철학적 사조를 넘어 세상을 온몸으로 끌어안는 새로운 감수성이라 할 수 있습니다. 이는 머리로만 이해하는 지식의 틀에서 벗어나, 타자와 내가 맺고 있는 수많은 관계를 입체적으로 바라보는 방식입니다. 기존의 휴머니즘이 인간중심주의와 개인주의의 틀에 매몰되어 있었다면, 포스트휴머니즘은 그 이후의 세계를 고민하며 인간을 둘러싼 환경과의 연결성을 강조합니다. 이러한 시각의 변화는 우리가 세상을 만지고 이해하며 포용하는 근본적인 태도를 변화시킬 것입니다. 인공지능의 비약적인 발전에도 불구하고, 인간의 능력을 완전히 초월하는 초지능의 도래에 대해서는 신중한 접근이 필요합니다. 인공지능이 체스나 바둑에서 뛰어난 성과를 보인다고 해서 인간과 유사한 방식으로 사고하고 판단하는 존재라고 보기는 어렵기 때문입니다. 기계가 정보를 처리하는 방식은 인간의 다차원적인 지능과는 근본적으로 다르며, 이러한 차이를 명확히 인지하는 것이 중요합니다. 기술이 가진 한계를 이해할 때 우리는 비로소 인공지능과 공존하는 올바른 방향을 설정하고 불필요한 공포에서 벗어날 수 있습니다. 가이아 이론은 지구를 단순한 자원의 보고가 아닌, 하나의 거대한 유기적 시스템으로 바라볼 것을 제안합니다. 과거에는 지구가 인간의 행위와 상관없이 무한히 재생되는 존재라고 믿었으나, 현재 우리가 직면한 생태적 위기는 그러한 믿음이 한계에 도달했음을 보여줍니다. 과학적 사실이나 진리라고 믿어왔던 좁은 틀에서 벗어나 세계를 바라보는 방식 자체를 근본적으로 전환해야 할 시점입니다. 가이아 이론은 우리가 발 딛고 선 지구를 인간중심주의적 시각이 아닌 생태적 관점에서 재정의하고 위기 극복을 위한 새로운 지평을 열어줍니다. 기후 위기에 대응하기 위해 우리가 일상에서 실천할 수 있는 가장 효과적인 방법 중 하나는 육류 섭취를 줄이는 것입니다. 흔히 자동차 이용을 줄이거나 난방비를 아끼는 것만을 떠올리기 쉽지만, 가축을 사육하고 사료를 재배하는 과정에서 발생하는 온실가스의 양은 상상을 초월할 정도로 막대합니다. 육식을 위해 산의 나무를 깎아내고 농작물을 키우는 일련의 과정은 지구 환경에 심각한 부담을 줍니다. 거창한 구호보다 식습관의 작은 변화가 환경 보호를 위한 가장 실질적이고 강력한 대응책이 될 수 있음을 우리 모두가 인지해야 합니다. 코로나19 팬데믹은 인간과 비인간 행위자 사이의 복잡한 관계를 극명하게 보여주었습니다. 바이러스라는 비인간 행위자가 인간 사이의 물리적 관계를 단절시켰지만, 동시에 마스크나 정보통신기술 같은 또 다른 비인간 행위자들이 그 관계를 새로운 방식으로 이어주었습니다. 이는 우리 사회가 오직 인간들만의 힘으로 유지되는 것이 아니라, 수많은 비인간 행위자들과의 상호작용 속에서 지탱되고 있음을 시사합니다. 포스트휴머니즘적 관점에서 이러한 관계망을 깊이 있게 이해하는 것은 급변하는 미래 사회를 설계하고 유지하는 데 있어 핵심적인 열쇠가 될 것입니다.

홍성욱

카오스재단석학인터뷰

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[과학자가 쓴 과학책#7] 물리학자 김상욱의 아틀리에 : '점은 명사가 아니라 동사입니다' | 뉴턴의 아틀리에 북토크(1)

유클리드의 '기하학 원론'은 수학적 방법론의 기초를 세운 고전으로, 그 첫 번째 정의는 바로 '점'에 관한 것입니다. 유클리드는 점을 부분이 없는 것이라고 설명했는데, 이는 현대 물리학자들이 더 이상 쪼갤 수 없는 기본 입자를 정의할 때 사용하는 표현과 맞닿아 있습니다. 점은 크기가 없기에 부분이 존재할 수 없으며, 이는 우주의 근원을 탐구하는 과학적 시선과 예술적 영감이 만나는 출발점이 됩니다. 결국 과학과 예술은 가장 작은 단위인 점으로부터 세상을 재구성하며 보이지 않는 본질을 정의하려는 노력을 공유하고 있습니다. 조르주 쇠라의 점묘법은 모든 그림이 결국 점들의 집합이라는 사실을 직설적으로 보여주는 예술적 장치입니다. 그의 작품 속 점들은 경계를 모호하게 만들어 부드럽고 몽환적인 느낌을 자아내는데, 이는 현대의 디지털 디스플레이 원리와도 일맥상통합니다. 우리가 매일 마주하는 스마트폰 화면 역시 RGB라는 세 가지 색상의 점들이 모여 모든 이미지를 구현해냅니다. 충분히 작은 점들이 모여 하나의 형상을 이룰 때, 차가운 수학적 구조는 비로소 인간의 눈에 아름다운 예술적 풍경으로 변모하며 과학적 원리가 예술적 감동으로 승화되는 과정을 보여줍니다. 사물을 있는 그대로 재현하는 시대가 저물면서 미술가들은 대상의 본질적인 구조에 집중하기 시작했습니다. 몬드리안의 추상화는 캔버스의 수직과 수평이라는 최소한의 제약 속에서 근원적인 선과 색을 찾아낸 결과물입니다. 이는 물리학자가 대상을 10억 배 확대했을 때 마주하게 되는 차가운 수학적 구조와 매우 닮아 있습니다. 멀리서 볼 때 부드럽고 따뜻해 보이던 존재도 그 근원으로 다가가면 결국 엄밀한 법칙에 따라 배열된 원자들의 집합일 뿐이라는 사실은, 과학과 예술이 세상을 바라보는 방식이 근본적으로 다르지 않음을 시사합니다. 아리스토텔레스는 크기가 없는 점을 아무리 모아도 크기가 있는 선을 만들 수 없다는 심오한 질문을 던졌습니다. 현대 수학은 이를 무한과 극한이라는 개념으로 설명하지만, 물리학적 관점에서 선은 점이 시간에 따라 움직인 궤적을 의미합니다. 즉, 선은 점이 시간화된 형태이며 세상의 모든 운동은 기하학적인 선으로 환원될 수 있습니다. 물리학자가 연구하는 행성의 궤도나 물체의 움직임은 결국 보이지 않는 선을 찾아가는 과정이며, 이러한 선의 미학은 우주의 질서를 설명하는 핵심 언어이자 운동을 기하학으로 바꾸는 마법이 됩니다. 예술 작품에서 스케일은 관람객에게 압도적인 경험을 선사하는 중요한 요소이지만, 물리적으로 크기를 키우는 일은 중력이라는 거대한 제약과 싸우는 과정이기도 합니다. 자코메티의 조각상들이 비정상적으로 가늘고 왜소해 보이는 이유는 그가 중력의 법칙을 거스르며 인간의 고독과 위태로움을 표현했기 때문입니다. 만약 물리적 안정성만을 고려해 다리를 두껍게 만들었다면 그 특유의 고립된 정서는 사라졌을 것입니다. 이처럼 스케일의 변화는 단순히 크기의 문제를 넘어 존재의 무게와 중력이라는 물리적 실재를 다루는 철학적 질문을 던집니다. 데이비드 호크니는 오페라 무대 디자인을 통해 거대한 스케일에 대한 자신감을 얻으며 화풍의 중요한 전환점을 맞이했습니다. 수 미터에 달하는 거대한 캔버스는 관람객의 시야를 가득 채우며 심장을 떨리게 하는 블록버스터와 같은 감동을 선사합니다. 그는 피카소가 평생에 걸쳐 화풍을 바꾼 이유가 자신의 예술적 본질을 지키기 위함이었음을 깨닫고, 자신만의 구상주의적 시각에 모더니즘을 결합했습니다. 거대한 화면 속에 담긴 빛과 색채의 향연은 스케일이 예술적 메시지를 전달하는 강력한 도구가 될 수 있음을 증명하며 관객을 작품 속으로 깊숙이 끌어들입니다. 토마스 사라세노의 설치 미술은 우주의 거대 구조인 '코스믹 웹(Cosmic Web)'을 거미줄에 비유하며 우리의 시각을 뒤집어 놓습니다. 행성처럼 거대해 보이는 구조물도 우주적 관점에서는 먼지에 불과하며, 오히려 연약해 보이는 거미줄이 우주 전체를 지탱하는 본질적인 연결 고리일 수 있다는 통찰을 줍니다. 생명의 소중함은 거창한 구호가 아니라, 보이지 않는 곳에서 위태롭게 살아가는 존재를 인지하는 데서 시작됩니다. 새를 새장에 가두지 않고 마당에 나무를 심는 마음처럼, 과학과 예술은 세상을 있는 그대로 바라보고 사랑하는 법을 우리에게 가르쳐줍니다.

김상욱, 유지원

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[강연] 문명과 수학의 기원 (4) - 패널토의 | 2015 봄 카오스 강연 'ORIGIN' 6강 | 6강 ④

수학은 시와 닮은 점이 많습니다. 푸앵카레는 시인이 같은 대상을 보며 다르게 표현한다면, 수학자는 서로 다른 대상에서 공통된 본질을 찾아내어 같게 이야기한다고 말했습니다. 물리적 우주에서 무질서하게 보이는 현상들을 수학적 언어로 정리하면 놀랍게도 하나의 질서로 수렴됩니다. 이러한 함축성은 수학이 가진 가장 강력한 무기이며, 복잡한 세상을 가장 단순하고 명료하게 설명할 수 있는 도구가 됩니다. 추상적인 수식 속에 우주의 원리를 담아내는 과정은 예술적 승화와도 같습니다. 수학을 정의하는 방식은 시대에 따라 변해왔지만, 현대에 이르러서는 '관계의 과학'이라는 정의가 널리 받아들여지고 있습니다. 이는 단순히 숫자를 계산하는 학문을 넘어, 물리적 대상들 사이의 논리적 관계를 기술하는 체계임을 의미합니다. 과학이 자연 현상을 탐구한다면, 수학은 그 탐구를 가능하게 하는 수학적 우주를 제공합니다. 이 두 세계는 서로 독립적인 듯 보이지만, 상호작용을 통해 끊임없이 발전하며 인류가 세상을 이해하는 논리적 지평을 넓혀주는 역할을 수행합니다. 수학의 역사는 거대한 난제들과의 끊임없는 사투였습니다. 쌍둥이 소수 추측이나 리만 가설 같은 문제들은 수천 년 동안 수학자들을 괴롭혀 왔지만, 동시에 학문을 진보시키는 동력이 되었습니다. 이러한 난제들은 단순히 지적 유희에 그치지 않습니다. 이를 해결하는 과정에서 갈루아의 군론과 같은 혁신적인 이론이 탄생했으며, 이는 현대 물리학과 암호학의 기초가 되었습니다. 수학적 우주 내부의 논리적 충돌이 해결될 때마다 인류의 지식 체계는 이전과는 비교할 수 없는 비약적인 도약을 이뤄냅니다. 20세기 후반부터 인류는 '데이터'라는 새로운 무기를 갖게 되었습니다. 방대한 정보를 저장하고 처리하는 능력이 발전하면서, 무질서한 데이터 속에서 질서를 찾아내는 최적화 이론이 핵심적인 수학 영역으로 떠올랐습니다. 아카데미 시상식의 수많은 시나리오를 예측하거나 개인의 건강 상태를 분석하는 일은 모두 정교한 수학적 도구를 통해 가능해집니다. 데이터 시대의 수학은 이제 상아탑 안의 학문을 넘어, 실용적 가치를 통해 인류의 삶을 근본적으로 바꾸고 예측 가능한 미래를 설계하는 데 기여하고 있습니다. 수학의 발전은 추상과 실용이라는 두 축의 끊임없는 대립과 극복의 과정입니다. 고대 그리스의 순수 기하학이 논리적 완결성을 추구했다면, 뉴턴의 미적분학은 천체 운동이라는 물리적 필요에 의해 탄생했습니다. 추상적인 이론이 물리적 우주에 적용되고, 다시 그 실용적 요구가 새로운 수학적 질문을 던지는 변증법적 상호작용이 수학을 진화시키는 원동력입니다. 이 두 세계가 서로를 견제하고 보완하는 균형을 이룰 때, 수학은 비로소 문명을 지탱하는 가장 단단한 기초 학문으로서의 위상을 공고히 하게 됩니다. 많은 이들이 실생활에서 쓰이지 않는 고등 수학을 왜 배워야 하는지 의문을 갖습니다. 하지만 21세기는 지식 자체보다 '배우는 능력'이 더 중요한 시대입니다. 수학 교육의 본질은 공식을 암기하는 것이 아니라, 문제를 해결하기 위한 논리적 사고의 과정을 훈련하는 데 있습니다. 수학의 역사적 배경과 맥락을 함께 이해할 때, 학생들은 수학이 단순한 계산이 아닌 인류 문명의 정수임을 깨닫게 됩니다. 이러한 사고의 훈련은 급변하는 미래 사회에서 새로운 지식을 습득하고 적응하는 가장 강력한 기초 체력이 됩니다. 수학에는 기원은 있으나 끝은 존재하지 않습니다. 무한이라는 개념을 다루는 한, 새로운 문제는 끊임없이 출현할 것이며 인류는 이를 해결하며 진보할 것입니다. 한국의 수학계 또한 순수 수학 분야에서 괄목할 만한 성취를 이루었으며, 이제는 산업과 경제 등 실용적 영역과의 연계를 통해 새로운 도약을 준비하고 있습니다. 수학적 우주와 물리적 우주가 만나는 지점에서 우리는 미래를 이끌어갈 새로운 지혜를 발견하게 될 것입니다. 인류의 호기심이 멈추지 않는 한, 수학의 진화는 영원히 계속될 필연적인 여정입니다.

고계원, 박형주, 성기원, 유정아

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 디지털인문학과 데이터과학 (2) _ by장원철 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 4강 | 4강 ②

예술과 문학의 진위를 가리거나 특징을 분석하는 방법으로 '양식 측정학'이 주목받고 있습니다. 이는 단어의 길이나 빈도, 색상의 사용 패턴 등을 정량적으로 분석하여 작품의 유사도나 작가의 고유한 스타일을 찾아내는 학문입니다. 19세기 토마스 멘덴홀이 단어 길이 빈도를 조사하며 시작된 이 분야는, 오늘날 구텐베르크 프로젝트와 같은 대규모 디지털 도서관의 등장으로 비약적인 발전을 이루었습니다. 이제 데이터는 단순한 기록을 넘어 과거의 진실을 밝히는 강력한 도구가 되었습니다. 우리나라의 대표적인 기록 유산인 조선왕조실록 역시 이러한 데이터 과학의 훌륭한 연구 대상입니다. 태조부터 철종까지 약 470년간의 방대한 기록은 현재 모두 디지털화되어 한글로 번역되어 있습니다. 연구자들은 텍스트 마이닝 기법을 활용해 왕들의 통치 스타일을 분석하기도 합니다. 예를 들어, 신하들의 의견을 경청했던 세종대왕과 독단적인 결정을 내렸던 연산군의 차이는 실록에 등장하는 특정 단어의 빈도 그래프를 통해 명확하게 드러납니다. 이는 역사가 주관적인 서술을 넘어 객관적인 수치로 재해석될 수 있음을 보여줍니다. 실록의 기사에는 수많은 인물이 등장하며, 한 기사에 함께 언급된 인물들은 서로 밀접한 관계가 있다고 볼 수 있습니다. 이를 바탕으로 인물 간의 네트워크를 재구성하면 당시의 정치적 지형도를 그릴 수 있습니다. 이는 현대의 국회의원들이 공동으로 법안을 발의하는 관계를 분석하는 것과 유사한 원리입니다. 네트워크 분석을 통해 우리는 단순히 기록에 남겨진 관계를 넘어, 보이지 않는 곳에서 영향력을 행사했던 숨은 실력자나 인물들 사이의 복잡한 연결 고리를 정량적으로 파악할 수 있게 되었습니다. 현종 시기의 예송 논쟁은 서인과 남인 사이의 치열한 정치적 갈등을 보여주는 대표적인 사례입니다. 네트워크 분석의 다양한 중심성 지표를 활용하면, 이 시기 권력의 흐름이 어떻게 변화했는지 추적할 수 있습니다. 특히 2차 예송 논쟁 전후로 집권 세력이 교체되는 과정에서 인물들의 연결 중심성이 급격히 변화하는 양상이 관찰됩니다. 이를 통해 특정 인물이 언제 당적을 변경했는지, 혹은 어떤 인물이 중립적인 위치에서 가교 역할을 했는지 등 문헌만으로는 파악하기 힘든 세밀한 정치적 변화를 포착할 수 있습니다. 이러한 정량적 분석 기법은 동양의 역사 기록뿐만 아니라 서양 문학 연구에도 활발히 적용됩니다. 셰익스피어의 작품 전집을 분석하여 그가 실제로 사용한 어휘의 규모를 추정하거나, 새로 발견된 작품이 그의 진작인지 판별하는 연구가 대표적입니다. 통계적 모델링을 통해 작가가 알고 있었으나 작품에 쓰지 않은 잠재적 어휘량까지 계산해내는 것입니다. 이처럼 데이터 과학과 인문학의 만남은 과거의 유산을 현대적인 시각으로 재조명하며, 우리가 미처 알지 못했던 역사의 이면을 밝혀내는 새로운 지평을 열어주고 있습니다.

장원철

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[강연] 2014 카오스 콘서트 수학의 본질 - '수' (4) | 4강

시간의 흐름 속에서 우리가 겪는 다양한 경험은 단순히 개인의 기억에 머물지 않고 시대를 넘어 깊은 공감을 불러일으킵니다. 2110년이라는 먼 미래를 가정하더라도, 인간이 느끼는 고통과 꿈은 여전히 유효한 가치를 지니며 우리 삶의 방향을 제시합니다. 과거의 흔적들이 현재와 연결되는 과정은 마치 소리가 굽어지며 전달되는 파동과 같아서, 보이지 않는 곳까지 그 영향력을 미칩니다. 우리는 이러한 연결을 통해 삶의 본질을 깊이 있게 이해하고, 다가올 미래를 준비하는 지혜를 얻게 됩니다. 역사는 단순히 지나간 사건의 나열이 아니라, 현재를 살아가는 우리에게 끊임없이 질문을 던지는 살아있는 유기체와 같습니다. 어두운 역사의 그림자는 때로 개인의 소중한 꿈을 짓밟거나 부당하게 간섭하기도 합니다. 나치즘과 같은 극단적인 이데올로기가 지배하던 시절, 사람들은 거센 비바람이 몰아치는 거리에서도 자신들의 삶과 존엄성을 지켜내기 위해 처절하게 분투했습니다. 바람 한 점 없는 고요한 마을에서조차 보이지 않는 긴장감은 늘 존재했으며, 이는 공동체의 운명을 결정짓는 결정적 요인으로 작용했습니다. 과거의 아픔을 정면으로 직시하는 것은 매우 고통스러운 일이지만, 이를 통해 우리는 더 나은 사회를 건설하기 위한 튼튼한 토대를 마련할 수 있습니다. 역사의 교훈은 우리가 다시는 반복하지 말아야 할 실수를 일깨워줍니다. 이론적으로 인간의 행동을 분석하고 예측하는 것은 가능해 보이지만, 실제 삶의 현장에서 마주하는 개별적인 존재는 훨씬 더 복잡하고 다층적인 면모를 가지고 있습니다. 관찰자의 시선에서 포착된 고품질의 관측 데이터라 할지라도 한 인물의 치열한 삶을 완벽하게 설명해내기에는 역부족입니다. 우리는 타인의 삶을 진정으로 이해하기 위해 단순한 관찰을 넘어선 깊은 통찰력과 따뜻한 공감이 필요합니다. 특히 사회적 연합과 관계 속에서 개인이 차지하는 위치는 그 사람의 정체성을 형성하는 핵심적인 기반이 됩니다. 다양한 모델과 이론을 통해 세상을 바라보되, 그 중심에 있는 인간의 존엄성을 결코 잊지 말아야 합니다. 자연환경은 인간의 삶에 지대한 영향을 미치며, 때로는 한 개인이나 공동체의 운명을 결정짓는 결정적 요인이 되기도 합니다. 비가 많이 내리는 기후나 거센 바람은 마을의 풍경뿐만 아니라 그곳에 거주하는 사람들의 심리 상태와 생활 양식에도 큰 변화를 줍니다. 이러한 환경적 요인들은 우리가 세상을 인식하고 반응하는 방식에 깊이 관여하며, 때로는 예상치 못한 추가적인 시련이나 기회를 만들어내기도 합니다. 자연과 인간의 끊임없는 상호작용은 인류 역사의 흐름을 바꾸는 동력이 되어왔으며, 우리는 그 속에서 끊임없이 적응하고 생존하는 법을 배워왔습니다. 건강과 질병은 인간의 삶의 질을 결정하는 가장 근본적이고 중요한 요소 중 하나입니다. 질병이 없는 건강한 상태를 유지하는 것은 단순히 신체적인 안녕을 넘어, 활발한 사회적 활동과 자아실현을 위한 필수적인 전제 조건이 됩니다. 현대 과학과 의학의 눈부신 발전은 우리에게 더 건강하고 긴 삶을 약속하지만, 여전히 우리가 극복해야 할 의학적 과제들은 산적해 있습니다. 암과 같은 중대한 질병에 대한 경험은 개인의 삶에 커다란 충격을 주지만, 이를 극복하고 이겨내는 과정에서 인간은 이전보다 훨씬 더 강인한 정신력을 갖게 됩니다. 건강한 삶을 향한 열망은 인류의 보편적 가치입니다. 가족은 세대와 세대를 잇는 가장 강력하고 따뜻한 고리입니다. 집 안에서 자녀들과 손자녀들이 성장하는 모습을 바라보는 것은 자신의 삶이 헛되지 않았음을 확인하고 미래에 대한 희망을 품게 하는 소중한 과정입니다. 부모의 헌신적인 가르침과 사랑은 자녀들에게 고스란히 전달되어 새로운 삶을 개척하는 든든한 밑거름이 되며, 이는 한 가문의 소중한 전통과 역사로 굳건히 자리 잡습니다. 험난한 지형 위의 바위처럼 견고하게 세워진 가족 공동체는 외부의 어떤 시련에도 흔들리지 않는 안식처가 되어줍니다. 우리는 가족이라는 울타리 안에서 정서적 안정을 찾고 성장할 힘을 얻습니다. 진실을 향한 인간의 여정은 때로 아름답고 숭고한 예술적인 형태로 나타나기도 합니다. 기타를 연주하거나 진심을 담아 노래를 부르는 행위는 내면의 깊은 목소리를 외부 세계로 표출하는 매우 소중한 소통 수단입니다. 음악은 언어와 문화의 장벽을 가볍게 뛰어넘어 수많은 사람들의 마음을 움직이며, 서로의 진실된 감정을 공유하게 만드는 마법 같은 힘을 지니고 있습니다. 우리는 예술을 통해 삶의 숨겨진 아름다움을 발견하고, 고단한 현실 속에서도 잃지 말아야 할 희망을 찾아냅니다. 진실은 멀리 있는 것이 아니라 우리 주변의 소소한 일상과 예술적 영감 속에 늘 숨 쉬고 있습니다.

김민형

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[강연] 2014 카오스 콘서트 수학의 본질 - '수' (2) | 2강

우리가 살아가는 시간은 10에서 22까지의 숫자처럼 정해진 틀 안에서 움직이는 듯 보이지만, 그 이면에는 모델링할 수 없는 수많은 순간이 존재합니다. 인간은 자연스러운 존재로서 아주 먼 과거로부터 이어져 온 보이지 않는 손길을 느끼며 살아갑니다. 때로는 포목상처럼 세밀하게 삶의 결을 살피고, 주사위를 던지듯 불확실한 미래를 향해 용기 있게 나아가기도 합니다. 1년이라는 시간이 흐른 뒤 우리가 사랑하는 사람들과 사과나무 아래에서 나누는 대화는 단순한 일상을 넘어 존재의 깊은 의미를 확인하는 소중한 과정이 됩니다. 공동체 안에서 우리는 서로에게 길을 안내하며 성장을 돕는 동반자가 됩니다. 어머니에게 슈베르트의 음악을 가르치거나 소중한 가치를 다음 세대에게 전달하는 행위는 우리가 세상에 남겨둔 아름다운 유산과도 같습니다. 28가지의 편의 시설을 갖춘 현대 사회의 정확한 사실들은 우리 삶을 풍요롭고 편리하게 만들지만, 일반적인 사실로부터 도출되는 깊은 통찰이야말로 진정으로 지켜야 할 가치입니다. 우리는 매 순간 높은 수준의 도덕적 행동을 통해 스스로의 책임을 다하며 더 나은 사회를 만들기 위해 끊임없이 노력합니다. 세상의 책임자가 된다는 것은 단순히 앞장서는 것 이상의 무거운 의미를 지닙니다. 넓은 길 위에서 우리는 안드로이드의 여러 가지 이스터 에그(Easter Egg)를 마주하며 새로운 시대를 준비해야 합니다. 태양을 깊숙이 들여다보며 우주의 섭리를 배우려는 노력은 거대한 샴페인이 도착하는 순간처럼 환희에 찬 경험이 될 것입니다. 안식년의 변화나 동굴 속에서의 깊은 성찰은 아주 조금씩 우리를 위로 끌어올리는 원동력이 됩니다. 30톤에 달하는 삶의 무게를 견디고 이를 삶에 적용하는 법을 배우는 과정은 우리를 더욱 단단하게 만듭니다. 설령 기존의 문화가 사라진다 하더라도 인간 고유의 사고력은 아이들에게 전달되어 새로운 문명의 싹을 틔우게 됩니다. 보행자처럼 천천히 길을 걷다 보면 우리가 방금 끝낸 일들이 어떤 열매를 맺었는지 비로소 확인할 수 있습니다. 5명의 배우가 가까운 사이로 지내며 하나의 무대를 완성하듯, 우리 사회도 형제와 같은 유대감을 바탕으로 유기적으로 움직입니다. 비록 모바일 환경이 우리를 둘러싸고 소통의 방식을 바꾸어 놓았을지라도, 티켓을 들고 공연장을 찾는 마음처럼 직접적인 경험과 관찰은 여전히 대체 불가능한 가치를 지닙니다. 때로는 마약과 같은 파괴적인 유혹에서 완전히 벗어나 삶의 양쪽 측면을 균형 있게 즐길 줄 아는 지혜가 필요합니다. 몬하르딘 거리의 풍경이나 차랑고의 선율 뒤에 숨겨진 평온함을 찾는 과정은 인생이라는 거대한 리그에서 자신만의 세계를 조립해 나가는 것과 같습니다. 혼자 남겨진 직장에서의 고독을 견디거나 경멸적인 마음을 다스리며 스스로를 통치하는 법을 배우는 것은 성숙한 인간으로 나아가는 필수적인 단계입니다. 카라카스에서 홍콩에 이르기까지 전 세계는 하나의 거대한 치료 과정처럼 연결되어 우리 모두를 함께 성장시킵니다. 구글 I/O에서 발표하는 새로운 소식이나 플레이 스토어 탭의 변화는 현대인의 일상에 이미 깊숙이 침투해 있습니다. 극장에서 이해하고 싶어 하는 인간의 변덕스러운 마음까지도 이제는 기술적인 데이터로 기록되고 분석됩니다. 파리와 같은 위대한 도시의 노트북 센터에서 우리는 안드로이드 14 '업사이드 다운 케이크(Upside Down Cake)'를 관찰하며 식단을 조절하고 밤을 지새우기도 합니다. 꿀 용액을 판매하는 작은 아이디어조차도 언급된 내용이 잘게 쪼개져 분석될 때 비로소 하나의 독창적인 문화로 정착될 수 있으며, 이는 우리 삶의 질을 높이는 결과로 이어집니다. 어린 아이들을 위한 노조의 헌신적인 노력이나 노벨상이라는 영예로운 결과물은 모두 인간의 끊임없는 탐구 정신과 열정에서 비롯됩니다. 우리는 복잡한 세상 속에서 아무것도 없는 상태로 시작해 작은 마을을 이루고 자신만의 영역을 확장해 왔습니다. 망간의 화학적 성질을 묻는 질문부터 오래된 속담 속에 담긴 청결과 보호의 가치까지, 모든 지식은 우리를 더 나은 미래로 인도하는 등불이 됩니다. 결국 중요한 것은 우리가 어떤 철학을 가지고 이 세상을 살아가는가 하는 점이며, 그것이 바로 인류가 다음 세대를 위해 남겨야 할 진정한 가치입니다.

김민형

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[강연] 인간의 지성, 인공지능과 무엇이 다른가? (1) by정재승 | 2016 가을 카오스 콘서트 '뇌 vs AI' 1부 | 1부 ①

인공지능 기술이 비약적으로 발전하면서 인간 지성의 본질에 대한 질문이 쏟아지고 있습니다. 재난 로봇 경진대회에서 보여준 최첨단 휴머노이드의 움직임은 아장아장 걷는 아이와 비슷해 보이지만, 그 내면의 학습 과정은 근본적으로 다릅니다. 인간은 넘어지는 실수를 통해 뇌 안에서 거대한 변화를 겪으며 걷는 법을 배울 뿐만 아니라, 그 과정에서 타인의 감정을 읽고 복잡한 의사결정을 내리는 법까지 함께 익힙니다. 이러한 통합적 성장은 인간만이 가진 독특한 지적 자산입니다. 컴퓨터의 창시자 앨런 튜링은 숫자와 언어라는 기호를 알고리즘으로 구현하는 범용 장치를 고안했습니다. 하지만 인간의 사고는 '적당히'나 '대충'과 같은 모호한 개념을 포함하며, 이를 숫자로 치환하기 어려운 영역이 존재합니다. 또한 컴퓨터는 하드웨어와 소프트웨어가 분리되어 있지만, 인간의 뇌는 구조가 바뀌면서 새로운 기능이 생겨나는 유기적인 형태를 띱니다. 뇌의 구조 자체가 그 사람의 가치관과 직업을 대변하는 아름다운 지도가 되는 셈입니다. 우리 뇌는 약 1.4kg의 무게에 천억 개의 신경세포가 연결된 집합체로, 매우 적은 에너지만으로도 고도의 연산을 수행합니다. 이는 수많은 전력을 소모하는 현대의 슈퍼컴퓨터와 대조되는 특징입니다. 뇌는 특정 부위가 계산과 저장을 전담하지 않고 전체가 긴밀하게 연결되어 작동합니다. 덕분에 환경이 복잡해지더라도 시스템의 부하를 최소화하면서 고차원적인 인지 과정을 도출해낼 수 있는 유연한 체계를 갖추고 있습니다. 뇌과학자 제프 호킨스는 인간 지능의 핵심을 '예측'으로 정의했습니다. 인간은 매 순간 다음 상황을 미리 내다보고, 자신의 예측이 맞는지 확인하며 지식을 업데이트합니다. 이 과정에서 적은 양의 데이터만으로도 대상을 파악하는 '원샷 러닝' 능력이 발휘됩니다. 인공지능이 수백만 장의 사진을 학습해야 개와 고양이를 구별하는 것과 달리, 인간은 단 몇 번의 경험만으로도 본질을 꿰뚫어 보는 일반화 능력을 갖추고 있어 세상을 빠르게 이해합니다. 인공지능은 주어진 문제를 푸는 '활용'에는 능숙하지만, 새로운 가치를 발견하고 문제를 제기하는 '탐색'과 '가치 전복'에는 한계가 있습니다. 예술가나 과학자처럼 기존의 데이터를 비판적으로 바라보고 세상에 없던 무언가를 창조하는 일은 인간의 고유 영역입니다. 또한 타인과 관계를 맺고 공감하는 사회적 뇌의 기능은 인공지능이 따라오기 힘든 부분입니다. 미래 사회에서는 이러한 인간만의 창의성과 사회적 연결성이 더욱 중요한 가치가 될 것입니다.

정재승

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뇌인지과학