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[질문과 토론의 과학 #19] 📝🤓슬기로운 수학 생활

순수 수학의 연구 목적은 근본적인 호기심에서 출발합니다. 수학자들은 세상을 구성하는 복잡한 대상을 이해하고, 그 이면에 숨겨진 질서를 체계적으로 파악하고자 노력합니다. 현대 사회가 과거보다 훨씬 복잡해짐에 따라 이를 분석하기 위한 수학적 도구 역시 정교해질 수밖에 없습니다. 어려운 문제를 연구하는 진정한 이유는 단순히 난제를 해결하는 데 그치지 않고, 복잡해 보이는 현상을 더 명쾌하고 체계적으로 이해할 수 있는 인식의 지평을 넓히는 데 있습니다. 인류의 지식 기반을 확장하려는 이러한 열망은 수학 연구의 가장 강력한 원동력이 됩니다. 수학 연구의 과정은 늘 순탄하지 않으며 때로는 고통스러운 인고의 시간을 필요로 합니다. 하지만 난관에 부딪혔을 때 잠시 문제를 내려놓고 산책을 하거나 음악을 듣는 등 전혀 다른 활동을 통해 뇌를 환기하는 과정은 매우 중요합니다. 이러한 휴식의 시간은 무의식 속에서 아이디어가 발효되어 예상치 못한 순간에 해결의 실마리를 찾는 계기가 되기도 합니다. 대학원 시절의 고단함을 노래방에서 해소했던 경험처럼, 자신만의 스트레스 관리법을 갖는 것은 장기적인 연구를 지속 가능하게 하는 비결입니다. 현대 수학은 크게 대수학, 기하학, 해석학으로 나뉘지만, 실제 연구에서는 이들의 경계가 점차 흐려지고 있습니다. 대수학이 수와 구조의 관계를 다룬다면, 기하학은 우리가 살아가는 공간과 고차원적인 형태를 탐구하며, 해석학은 미적분과 연속성의 원리를 연구합니다. 랭글랜즈 프로그램과 같은 거대 프로젝트는 서로 무관해 보이던 이 분야들을 하나로 통합하여 새로운 통찰을 제공합니다. 수학자들은 자신의 주 전공 분야에서 깊은 지식을 쌓는 동시에, 다른 분야의 전문가들과 협업하며 지식의 한계를 극복해 나갑니다. 수학 교육에서 특정 분야를 배제하거나 학습 범위를 축소하는 것은 학생들의 인식의 지평을 좁히는 결과를 초래할 수 있습니다. 특히 기하학은 사물의 모양을 인식하고 공간을 파악하는 기초적인 능력을 길러주는 학문으로, 현대 사회에서 그 중요성이 더욱 커지고 있습니다. 방정식을 푸는 대수적 능력만큼이나 공간을 이해하는 기하학적 직관은 세상을 입체적으로 바라보는 데 필수적입니다. 교육 과정이 간소화되면서 학생들이 세상을 보는 시야가 좁아지는 현상은 우려스러운 부분이며, 다양한 분야를 균형 있게 접하는 것이 논리적 사고의 밑거름이 됩니다. 수학은 전문가들만의 전유물이 아니라, 미술이나 음악처럼 누구나 즐길 수 있는 하나의 예술이자 문화입니다. 우리가 클래식 음악을 감상하기 위해 반드시 작곡가가 될 필요가 없듯이, 수학의 아름다움을 느끼기 위해 모든 수식을 완벽히 이해할 필요는 없습니다. 좋은 교양 서적이나 강연을 통해 수학적 사고의 흐름을 따라가는 것만으로도 충분한 즐거움을 얻을 수 있습니다. 수학에 대한 막연한 두려움을 버리고 호기심을 가지고 접근한다면, 일상 속에서도 수학이 선사하는 지적인 풍요로움을 만끽할 수 있을 것입니다.

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[질문과 토론의 과학 #9] 😜리만가설에 미치다!

수학의 역사에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 독보적인 위상을 차지합니다. 다비트 힐베르트는 500년 뒤에 깨어난다면 가장 먼저 이 가설의 증명 여부를 묻고 싶다고 했으며, 수많은 천재 수학자들이 이 문제에 매달리다 좌절하거나 심지어 정신적인 고통을 겪기도 했습니다. 페르마의 마지막 정리나 푸앵카레 추측이 해결된 지금도 리만 가설은 여전히 난공불락의 요새로 남아 있습니다. 10억 원의 상금이 걸린 밀레니엄 문제 중 하나인 이 가설은 소수의 규칙성을 파악하려는 인류의 가장 거대한 도전이라 할 수 있습니다. 이 거대한 여정은 18세기 가우스로부터 시작되었습니다. 가우스는 15세라는 어린 나이에 소수의 개수를 추측할 수 있는 소수 정리를 제안하며 수학계에 큰 파장을 일으켰습니다. 이후 그의 제자인 리만은 1859년 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 리만 제타 함수를 도입하여 소수 정리를 증명할 수 있는 결정적인 가정을 제시했습니다. 이것이 바로 오늘날 우리가 말하는 리만 가설입니다. 소수가 무작위로 나열된 것처럼 보이지만, 그 이면에는 정교한 수학적 질서가 숨어 있다는 리만의 통찰은 현대 수학의 지평을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 한국의 수학자들도 이 험난한 길을 묵묵히 걸어왔습니다. 1990년대 후반, 김영원 교수와 기하서 교수는 폴리야 추측이라는 난제를 함께 해결하며 리만 가설이라는 거대한 산과 마주하게 되었습니다. 처음에는 그 난해함에 압도되어 포기하기도 했지만, 문제를 해결해 나가는 과정에서 리만 가설이 가진 치명적인 매력에 빠져들게 된 것입니다. 특히 기하서 교수는 20년이 넘는 세월 동안 오직 이 한 문제만을 붙잡고 연구를 이어오고 있습니다. 이는 단순한 학문적 호기심을 넘어, 진리를 향한 수학자의 집념이 얼마나 강렬할 수 있는지를 보여주는 사례입니다. 리만 가설을 정복하기 위해서는 단순히 계산 능력이나 끈기만으로는 부족합니다. 기하서 교수는 연구 과정에서 현대 수학의 정수인 대수기하학과 랭글랜즈 프로그램의 중요성을 깨달았습니다. 고전적인 해석적 정수론의 틀을 넘어, 전 세계의 석학들과 교류하며 지식의 범위를 넓히는 과정이 필수적이었습니다. 2008년경에는 다른 학자의 논문을 완벽히 이해하지 못했다는 상심에 빠지기도 했지만, 이를 계기로 현대 수학의 최신 이론들을 섭렵하며 더욱 자유롭고 행복하게 연구에 매진할 수 있게 되었습니다. 난제는 결국 고립된 섬이 아니라 현대 수학 전체와 연결되어 있습니다. 리만 가설이 이토록 어려운 이유는 대수학과 해석학이라는 수학의 두 거대한 줄기를 모두 깊이 있게 아울러야 하기 때문입니다. 이는 마치 사방이 절벽으로 둘러싸인 이스라엘의 마사다 요새와 같습니다. 접근로가 전혀 보이지 않는 난공불락의 성벽을 마주한 것처럼, 수학자들은 어디서부터 손을 대야 할지 막막함을 느낍니다. 특히 제타 함수의 영점들이 가지는 독특한 성질을 제어할 수 있는 기술은 현대 수학에서도 아직 존재하지 않습니다. 하지만 요새를 함락시키기 위해 비탈길을 닦았던 로마군처럼, 수학자들은 세대를 이어가며 진리를 향한 길을 조금씩 넓혀가고 있습니다. 소수의 분포라는 산수 문제에 복소수와 같은 고등 수학이 등장하는 것은 현대 수학의 자연스러운 흐름입니다. 피보나치 수열의 일반항에 무리수가 등장하듯, 자연수의 성질을 규명하기 위해 더 넓은 수 체계를 활용하는 것입니다. 또한 현대 수학 연구에서 컴퓨터는 직관을 얻는 데 결정적인 역할을 합니다. 수년이 걸릴 복잡한 계산을 단 몇 분 만에 해결해 주는 컴퓨터 덕분에 수학자들은 자신의 가설을 빠르게 검증하고 연구 기간을 획기적으로 단축할 수 있습니다. 이러한 도구들은 난공불락의 요새를 공략하는 현대 수학자들의 강력한 무기가 되고 있습니다. 만약 우리가 외계 지성체를 만난다면 그들도 리만 가설을 알고 있을까요? 지적 능력을 갖춘 존재가 자연수를 인식하고 소인수분해의 개념을 이해한다면, 필연적으로 소수의 분포에 대한 의문을 품게 될 것입니다. 리만 가설은 인간의 유한한 수명과 지능 속에서 무한한 수의 세계를 이해하려는 시도에서 비롯된 보편적인 질문이기 때문입니다. 모든 것을 한눈에 꿰뚫어 보는 초월적인 존재가 아니라면, 그들도 우리처럼 제타 함수를 통해 수의 질서를 찾으려 노력했을 것입니다. 결국 리만 가설은 우주 공통의 언어인 수학이 도달해야 할 궁극의 지점 중 하나입니다.

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[명강리뷰] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 _ by기하서｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강

리만 가설은 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나로 꼽힙니다. 복잡해 보이는 수학적 문제들도 수리논리학의 관점에서는 단순화되고 체계적으로 다뤄질 수 있습니다. 수리논리학은 집합론, 모델 이론, 계산 가능성 이론, 증명론의 네 가지 분야로 나뉘며, 이는 현대 수학의 견고한 토대가 됩니다. 특히 연속체 가설의 독립성을 증명하여 필즈상을 받은 폴 코헨 교수 역시 리만 가설이라는 거대한 장벽에 도전했을 만큼, 이 문제는 수많은 천재 수학자들의 지적 호기심을 자극해 왔습니다. 소수의 분포에 대한 탐구는 19세기 가우스로부터 본격화되었습니다. 가우스는 특정 수까지의 소수 개수를 나타내는 함수가 로그함수와 밀접한 관련이 있다는 사실을 발견하고 이를 예측했습니다. 그의 제자인 리만은 스승의 연구를 발전시키기 위해 '리만 제타 함수'를 도입했습니다. 리만은 소수의 개수를 정확히 계산하려는 과정에서 특정 가정을 세웠는데, 비록 생전에 이를 완벽히 증명하지는 못했으나 이 가정은 훗날 소수 정리의 핵심적인 기초가 되었습니다. 리만 제타 함수는 복소평면에서 정의되는 무한급수의 형태로, 소수의 비밀을 푸는 열쇠입니다. 이 함수의 영점, 즉 함숫값이 0이 되는 지점들을 분석하는 것이 리만 가설의 핵심입니다. 영점 중에는 음의 짝수에서 나타나는 자명한 영점들이 있고, 임계 구역 내에 존재하는 비자명한 영점들이 있습니다. 리만 가설은 이 모든 비자명한 영점들이 복소평면의 실수부가 1/2인 직선인 임계선 위에 존재할 것이라는 대담한 추측을 담고 있습니다. 현대 수학에서 리만 가설을 연구할 때 컴퓨터의 역할은 절대적입니다. 수천 시간 이상의 계산 과정을 통해 얻은 데이터는 수학자들에게 직관을 제공하며, 이론적 증명이 닿지 않는 영역에서 새로운 사실을 발견하게 해줍니다. 리만 가설은 단순히 영점의 위치를 찾는 문제를 넘어, 소수의 개수를 얼마나 정확하게 측정할 수 있는지와 직결됩니다. 인간이 직접 소수를 세는 데에는 한계가 있기에, 리만 제타 함수라는 우회적인 도구를 통해 소수의 규칙성을 파악하려는 시도가 계속되고 있습니다. 리만 가설의 완전한 해결을 위해서는 랭글랜즈 프로그램이나 모티브 이론과 같은 고도의 현대 수학 이론들이 정립되어야 합니다. 이러한 이론들은 아직 갈 길이 멀고 완성되지 않았지만, 리만 제타 함수의 본질을 꿰뚫는 중요한 단서를 제공할 것으로 기대됩니다. 비록 현재는 낮은 차수의 함수에서만 부분적인 가능성을 엿보고 있으나, 수학적 체계가 더욱 정교해진다면 언젠가 '일반화된 리만 가설'까지 해결될 날이 올 것입니다. 이는 수학의 끝과 시작을 연결하는 거대한 여정이 될 것입니다.

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[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (1) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ①

수학의 '대통일 이론'이라 불리는 랭글랜즈 프로그램은 서로 무관해 보이는 수학의 여러 분야를 하나의 거대한 체계로 통합하려는 시도입니다. 1967년 로버트 랭글랜즈가 제시한 이 비전은 현대 수학에서 가장 야심 찬 연구 과제 중 하나로 손꼽히며, 그는 이 공로를 인정받아 2018년 수학계의 노벨상이라 불리는 아벨상을 수상했습니다. 이 프로그램은 단순히 이론적인 통합에 그치지 않고, 수론과 해석학, 기하학 사이의 숨겨진 연관성을 밝혀냄으로써 수백 년간 풀리지 않았던 난제들을 해결할 수 있는 강력한 열쇠를 제공합니다. 정수론의 핵심적인 질문은 주어진 방정식의 정수 해나 유리수 해를 구하는 것입니다. 실수의 범위에서는 비교적 쉽게 해를 찾을 수 있는 방정식이라도, 정수라는 제한된 조건 안에서 해를 찾는 일은 매우 까다롭고 복잡한 문제입니다. 예를 들어 피타고라스 방정식처럼 익숙한 형태조차 정수 해를 구하려 하면 그 난도가 급격히 상승하며, 때로는 해가 존재하는지조차 파악하기 어렵습니다. 이러한 정수 해의 희소성과 불규칙성은 수학자들에게 큰 도전 과제가 되었으며, 이를 해결하기 위해 수학자들은 방정식을 바라보는 새로운 관점을 고민하게 되었습니다. 복잡한 정수론 문제를 해결하기 위한 유용한 도구 중 하나는 '합동식'입니다. 이는 숫자를 특정 수로 나눈 나머지가 같으면 동일한 것으로 간주하는 개념으로, 우리가 일상에서 사용하는 시계의 원리와 유사합니다. 방정식을 직접 푸는 대신 소수 p로 나눈 나머지의 세계에서 해의 개수를 세어보는 방식은 문제의 난도를 낮추면서도 본질적인 정보를 보존합니다. 이러한 합동 방정식의 해를 분석하는 과정은 복잡한 수의 체계를 단순화하여 그 이면에 숨겨진 규칙성을 포착할 수 있게 해주며, 이는 현대 정수론 연구의 기초가 되는 중요한 접근법입니다. 수학자 가우스는 합동 방정식의 해가 존재하는지 여부를 결정하는 놀라운 규칙인 '이차 상호 법칙'을 발견했습니다. 이는 특정 소수에 대한 해의 존재 여부가 다른 수로 나눈 나머지에 의해 결정된다는 사실을 보여줍니다. 이러한 규칙성은 방정식이 가진 고유한 특성, 즉 '유전자'와 같습니다. 각 소수에 대해 해의 개수를 조사하고 그 데이터가 보여주는 패턴을 분석하면, 우리는 방정식의 정체를 파악할 수 있는 결정적인 단서를 얻게 됩니다. 이러한 유전적 정보는 서로 다른 수학적 대상들을 연결하는 가교 역할을 하며 대통일 이론의 토대를 형성합니다. 20세기 초반의 수학자들은 가우스의 법칙을 일반화한 '유체론'을 통해 많은 성과를 거두었지만, 여전히 모든 방정식을 설명하기에는 한계가 있었습니다. 특히 '타원 곡선'과 같은 복잡한 구조를 가진 방정식들은 기존의 이론적 틀을 벗어나 있었습니다. 타원 곡선은 현대 암호학에서도 중요하게 다뤄지는 대상으로, 이와 관련된 '버치-스위너턴다이어 추측'은 현대 수학의 7대 난제 중 하나로 꼽힙니다. 랭글랜즈 프로그램은 바로 이러한 한계를 극복하고, 타원 곡선을 포함한 더 넓은 범위의 수학적 대상들을 통합적인 관점에서 이해하려는 원대한 목표를 향해 나아가고 있습니다.

신석우

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

수학의 세계에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 많은 수학자들에게 도전의 대상이자 꿈의 정점입니다. 기하서 교수는 폴리아 추측을 해결하는 과정에서 이 거대한 산의 존재를 다시금 확인하게 되었습니다. 8년 동안 매달렸던 폴리아 추측을 동료와의 협력을 통해 단 넉 달 만에 해결하며 얻은 자신감은 그를 리만 가설이라는 더 큰 도전으로 이끌었습니다. 비록 그 길이 20년이라는 긴 세월을 요구할 것이라고는 당시에는 상상조차 하지 못했지만, 난제를 향한 순수한 열정은 그를 수학의 깊은 심연으로 안내하는 원동력이 되었습니다. 20년이라는 긴 시간 동안 하나의 문제에 매달리는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 기 교수는 이 과정을 고통스러운 인고의 시간이 아닌, 매일매일 마주하는 아름다운 순간들의 연속으로 기억합니다. 그는 자신의 직관을 확인하기 위해 전 세계의 저명한 수학자들을 찾아다니며 교류했습니다. 모토하시, 후지, 요시다 등 세계적인 석학들과의 대화는 리만 가설에 대한 다양한 시각을 제공해주었습니다. 이러한 상호작용은 수학 연구가 단순히 혼자만의 고립된 작업이 아니라, 전 세계 수학자들의 상상력이 교차하며 지평을 넓혀가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 연구 과정에서 마주한 가장 큰 전환점은 현대 수학의 거대한 흐름인 랭글랜즈 프로그램과의 만남이었습니다. 대수기하학적 기초 없이 리만 가설에 도전하는 것의 한계를 깨달은 그는, 늦은 시기임에도 불구하고 새로운 이론을 공부하기 시작했습니다. 특히 숄체 교수의 논문을 해독할 수 있게 된 시점부터 그는 지식의 갈증에서 벗어나 진정한 자유를 느꼈다고 회상합니다. 이는 수학자에게 필요한 것이 단순히 기존의 지식을 습득하는 것을 넘어, 끊임없이 변화하는 학문의 흐름을 수용하고 자신의 한계를 극복하려는 유연한 태도임을 시사합니다. 리만 가설과 같은 거대 난제를 다루기 위해서는 천재적인 지능만큼이나 독특한 성격적 특성이 요구됩니다. 기 교수는 수학자를 두 부류로 나누며, 자신을 '성격'으로 버티는 유형이라 정의합니다. 오랜 시간 공들여온 연구가 실패로 돌아갔음을 깨달은 순간에도 좌절하지 않고 다시 시작할 수 있는 마음가짐이 중요하기 때문입니다. 단순히 좋아한다는 감정만으로는 3년에서 5년의 한계를 넘기 어렵지만, 실패를 딛고 일어서는 회복탄력성은 수학자가 난제를 해결하기 위해 갖춰야 할 필수적인 자질입니다. 리만 가설의 역사는 1859년 베른하르트 리만이 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 시작되었습니다. 가우스가 15세의 나이에 예견했던 소수 정리를 보다 구체화하려 했던 리만은, 소수의 개수를 세는 '문학적'인 표현을 정교한 수학적 공식으로 변환하는 업적을 남겼습니다. 리만은 자신의 가설이 증명된다면 소수의 분포를 완벽히 이해할 수 있을 것이라 보았지만, 정작 그 증명은 후대의 몫으로 남겨두었습니다. 160년이 지난 지금까지도 이 가설이 수많은 수학자들을 매료시키고 괴롭히는 이유는, 그 안에 우주의 질서를 관통하는 소수의 비밀이 숨겨져 있기 때문일 것입니다.

기하서, 김영원

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (3) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ③

리만 가설은 수학계의 거대한 산과 같으며 이를 해결하기 위해서는 타고난 소질과 더불어 랭글랜즈 프로그램에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 폴리아는 리만 크시 함수를 도입하여 이 난제에 도전했던 대표적인 수학자입니다. 그는 복잡한 문제를 단순화된 모델로 변형하여 지식을 점진적으로 확장해 나가는 독특한 방법론을 사용했습니다. 비록 그의 방식이 리만 가설의 완전한 해결로 이어지지는 못했지만, 어려움 속에서도 동료 수학자들에게 음식을 보내며 도왔던 그의 따뜻한 인품은 후대 수학자들에게 큰 귀감이 되고 있습니다. 해석적 정수론의 거장인 비노그라도프와 셀베르그는 리만 가설의 임계 구역을 탐구하며 중요한 학문적 진전을 이루어냈습니다. 비노그라도프는 영점이 존재하지 않는 영역을 확장하는 데 독보적인 성과를 거두었으며, 셀베르그는 복소해석학을 배제한 초등적 방식으로 소수 정리를 증명하여 필즈상을 수상하는 영예를 안았습니다. 특히 셀베르그는 리만 제타 함수의 영점 중 상당수가 임계선 위에 존재한다는 사실을 최초로 증명하며 가설 해결을 위한 실질적인 토대를 마련했습니다. 이들의 연구는 오늘날까지도 깨지지 않는 강력한 결과로 남아 있습니다. 레빈슨은 뇌암 투병이라는 가혹한 환경 속에서도 제타 함수를 미분하는 혁신적인 아이디어를 통해 임계선 위에 영점의 3분의 1 이상이 존재한다는 놀라운 정리를 발표했습니다. 그의 연구는 현대 수학자들에게 매우 중요한 영감을 주었으며, 이후 들리뉴는 국소 리만 가설을 해결하며 대수학의 정점에 섰습니다. 최근에는 페터 숄체와 같은 젊은 천재 수학자들이 들리뉴의 계보를 이어받아 정수론 분야에서 눈부신 활약을 펼치고 있어 리만 가설 해결을 향한 새로운 전기가 마련될 것으로 기대됩니다. 이는 수학의 세대교체와 학문의 연속성을 보여주는 사례입니다. 인간은 역사적으로 소수의 개수를 직접 세는 데 한계를 보여왔으며, 리만 가설은 이러한 한계를 극복하기 위해 제타 함수라는 우회적인 경로를 선택한 결과물입니다. 현대 수학에서는 랭글랜즈 프로그램과 모티프 이론이 제타 함수의 본질을 파악하는 핵심 열쇠로 주목받고 있습니다. 비록 이 이론들이 아직 완전히 정립되지는 않았으나, 차수가 낮은 헤케 제타 함수 등에서 실마리를 찾는다면 일반화된 리만 가설의 해결도 결코 불가능한 꿈은 아닐 것입니다. 이러한 도전 정신은 수학이 단순한 계산을 넘어 우주의 질서를 탐구하는 과정임을 증명합니다. 리만 가설을 향한 여정은 개인의 고독한 연구를 넘어 수학자들 사이의 긴밀한 교류와 영감을 통해 이어집니다. 기하서 교수와 김영원 교수의 인연은 1997년 폴리아의 예상에 관한 강연에서 시작되었으며, 이는 한 수학자가 난제 해결에 평생을 매진하게 된 결정적인 계기가 되었습니다. 복소해석학적 관점과 집합론적 배경이 어우러진 이들의 협력은 리만 가설이라는 거대한 목표를 향해 나아가는 현대 수학의 역동적인 모습을 잘 보여줍니다. 학문적 호기심에서 시작된 작은 만남이 거대한 수학적 성취를 위한 밑거름이 되고 있는 것입니다.

기하서

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[질문과 토론의 과학 #19] 📝🤓슬기로운 수학 생활

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[질문과 토론의 과학 #9] 😜리만가설에 미치다!

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (3) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ③

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