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[카오스 짧강] 특이값 분해, SVD (Singular Value Decomposition)

행렬 $A$를 $U, \Sigma, V^T$라는 세 개의 행렬로 분해하는 과정은 데이터 분석과 선형대수학 분야에서 매우 중요한 작업 중 하나입니다. 이 분해를 수행하기 위해 먼저 원래 행렬 $A$에 전치 행렬인 $A^T$를 곱하여 $A^T A$라는 정사각 행렬을 새롭게 만듭니다. 전치 행렬은 행과 열의 위치를 서로 바꾸는 연산자로, 어떤 형태의 행렬이라도 연산이 가능한 정사각 행렬로 변환해 주는 역할을 수행합니다. 이렇게 생성된 정사각 행렬은 고윳값과 고유 벡터라는 핵심적인 수학적 개념을 정의할 수 있는 튼튼한 토대가 되며, 행렬이 벡터에 가하는 변환의 본질적인 특성을 파악하는 데 결정적인 단서를 제공합니다. 정사각 행렬에서 도출한 수학적 요소들은 행렬 분해의 각 성분을 구성하는 핵심적인 재료가 됩니다. 특정 행렬 연산을 통해 얻은 벡터들은 분해된 행렬의 열을 차례대로 채우게 되며, 연산 과정에서 파생된 수치들은 대각 성분으로 배치되어 전체적인 변환의 크기를 조절하는 역할을 합니다. 이 과정은 대수학의 기본 정리와도 밀접하게 연결되어 있으며, 고차 방정식의 해를 구하는 원리를 통해 필요한 값들을 체계적으로 찾아낼 수 있음을 수학적으로 보장받습니다. 이러한 일련의 계산 과정을 거치면 복잡해 보이던 행렬도 결국 세 개의 단순한 행렬들의 곱으로 깔끔하게 정리되어 나타납니다. 행렬 분해의 진정한 가치는 단순한 수치 계산의 결과물보다 그 속에 담긴 기하학적 의미를 파악하는 데 있습니다. 고유 벡터는 행렬이라는 연산자가 공간을 변형시킬 때 기준이 되는 축의 방향을 결정하며, 고윳값은 해당 방향으로 공간이 얼마나 확장되거나 축소되는지를 구체적인 수치로 나타냅니다. 결국 이러한 분석을 통해 우리는 복잡한 변환 속에서도 변하지 않는 데이터의 본질적인 구조를 파악할 수 있게 됩니다. 행렬 분해는 데이터를 이해하고 활용하는 과정에서 방향성과 확장성을 동시에 파악하게 해주는 강력한 수단이며, 추상적인 수식을 시각적인 공간의 변화로 치환하여 이해를 돕습니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[2024 봄 카오스강연] 수학 좋아해요? 아주대 학생에게 물어보았습니다!

현대 수학의 심오한 세계를 대중에게 전달하려는 시도는 전문가와 학습자 사이의 인식 차이를 확인하는 것에서 시작됩니다. 교수님들은 통계학이나 선형대수학 같은 기초 학문에 대해 학생들이 어느 정도 지식을 갖추고 있을 것이라 기대하시지만, 실제 현장의 목소리는 조금 다릅니다. 자발적으로 관련 과목을 선택한 학생들조차 현대 수학의 복잡한 이론 앞에서는 막막함을 느끼는 경우가 많습니다. 따라서 대중 강연 콘텐츠의 핵심은 단순히 지식을 전달하는 것을 넘어, 수학이 우리 삶과 어떻게 연결되는지 설득력 있게 제시하는 데 있습니다. 대학 강의실에서 만난 학생들의 전공과 수학에 대한 태도는 매우 다양합니다. 수학의 중요성을 인지하고 흥미를 느끼는 학생들도 존재하지만, 상당수는 전공 필수라는 의무감 때문에 학업을 이어가고 있습니다. 특히 고등학교 시절의 과도한 학습량과 대학 진학 후 마주하는 새로운 즐거움들은 수학과의 거리를 더욱 멀어지게 만드는 요인이 되기도 합니다. 수학을 공부하는 기쁨이 단순한 과제 해결의 고통으로 치부되는 현실 속에서, 학생들이 진정으로 즐길 수 있는 수학적 유희가 무엇인지 고민하는 과정이 반드시 필요합니다. 수학 용어에 대한 낯섦은 대중화의 가장 큰 걸림돌 중 하나입니다. 대수기하학이나 타원곡선, 대수위상학과 같은 용어들은 전공자가 아닌 이들에게는 마치 외계어처럼 들리기도 합니다. 심지어 익숙해 보이는 용어조차 그 본질적인 의미를 오해하는 경우가 많습니다. 이러한 인식의 차이는 수학적 개념이 대중에게 도달하는 과정에서 발생하는 전형적인 오류를 보여줍니다. 따라서 전문적인 개념을 대중이 이해할 수 있는 방식으로 가공하는 과정은 수학 콘텐츠 제작의 필수적인 단계라고 할 수 있습니다. 미분과 같은 기초적인 개념조차 시험을 위한 도구로만 소비될 뿐, 그 실질적인 의미를 체감하는 학생은 드뭅니다. 자동차 속도계의 수치가 미분의 결괏값이라는 사실을 직관적으로 받아들이지 못하는 현실은 수식 위주 교육의 한계를 여실히 드러냅니다. 대중이 수학 콘텐츠에 기대하는 것은 단순한 지식의 나열이 아닙니다. 일상 속의 사례를 통해 수학적 원리를 발견하고, 그 과정에서 지적인 즐거움을 느낄 수 있는 구성이 시청자의 관심을 끌어모으고 수학에 대한 거부감을 줄이는 결정적인 역할을 하게 됩니다. 수학을 포기하게 되는 과정은 개인마다 다르지만, 공통적으로는 이해하기 어려운 설명과 학습 동기의 부재가 자리 잡고 있습니다. 이공계 학생들조차 왜 배우는지 모른 채 억지로 공부하는 경우가 많으며, 교수님의 설명이 이해되지 않아 외부 영상 매체를 찾아보는 것이 일상이 되었습니다. 결국 수학 대중화의 성공은 수포자가 생기지 않도록 처음부터 친절하게 길을 안내해 주는 콘텐츠의 유무에 달려 있습니다. 누구나 수학의 아름다움을 발견할 수 있도록 돕는 세심한 접근이 현대 수학 교육의 새로운 지향점이 되어야 합니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] AI / 머신러닝 _ by오혜연, 강명주 | 2020 봄 카오스강연 '첨단기술의 과학' 3강 | 3강

인공지능은 인간이 어렵게 느끼는 복잡한 지식 탐색이나 독해 능력에서 놀라운 성과를 보여줍니다. IBM의 왓슨이 퀴즈쇼에서 우승하거나 머신러닝 모델이 고난도 독해 평가에서 인간을 앞서는 사례가 이를 증명합니다. 하지만 정작 인간에게 너무나 쉬운 일상적인 대화나 사진 속 상황을 파악하는 일에는 서툰 모습을 보이기도 합니다. 이러한 역설은 인공지능이 언어를 이해하는 방식이 인간의 직관이나 경험과는 근본적으로 다르다는 점을 시사하며, 기술 발전의 새로운 과제를 던져줍니다. 일상적인 대화가 인공지능에게 어려운 이유는 데이터의 부재와 상황의 모호성에 있습니다. 우리가 나누는 대화는 대부분 기록되지 않는 사적인 영역이며, 그 안에는 대화 상대와의 관계나 장소, 계절 같은 수많은 외부 맥락이 생략되어 있습니다. 인공지능은 방대한 데이터를 학습하여 확률적으로 다음 단어를 예측하지만, 데이터에 명시되지 않은 인간의 본능적인 사회적 감각까지 완벽히 따라 하기는 어렵습니다. 결국 문제 정의가 명확하지 않은 영역에서 인공지능의 한계가 드러나는 것입니다. 최신 언어 모델인 BERT는 문맥을 양방향으로 파악하며 비약적인 발전을 이루었지만, 여전히 데이터에 내재된 편향성 문제를 안고 있습니다. 인공지능은 인터넷상의 방대한 문서를 학습하며 인간의 고정관념이나 당연하게 여겨지는 상식의 부재를 그대로 흡수합니다. 예를 들어 '노란 바나나'라는 표현이 드문 이유는 바나나가 당연히 노랗기 때문이지만, 인공지능은 이를 학습하지 못해 편향된 결과를 낼 수 있습니다. 이는 기술적 완성도를 넘어 윤리적이고 사회적인 성찰이 필요한 지점입니다. 인공지능과 딥러닝의 눈부신 발전 밑바탕에는 견고한 수학적 토대 자리 잡고 있습니다. 흔히 인공지능을 전산학의 전유물로 생각하기 쉽지만, 사실 미분과 선형대수학 같은 수학적 원리가 없었다면 현대의 인공지능은 존재할 수 없었을 것입니다. 과거 뉴턴이나 오일러가 정립한 이론들이 수 세기를 지나 오늘날 데이터를 처리하고 최적의 해를 찾는 핵심 도구로 부활한 셈입니다. 산업이 고도화될수록 복잡한 현상을 모델링하고 해결하는 수학의 역할은 더욱 중요해지고 있습니다. 수학의 힘은 영화 산업의 시뮬레이션 기술에서도 명확히 드러납니다. '겨울왕국'의 자연스러운 눈 입자나 '아이언맨'의 역동적인 물의 흐름은 모두 나비에-스토크스 방정식과 같은 복잡한 물리 법칙을 수학적으로 풀어낸 결과입니다. 슈퍼컴퓨터조차 직접 풀기 어려운 거대한 행렬 방정식을 수치적인 방법으로 근사하여 해결함으로써, 우리는 가상 세계에서 실제와 다름없는 물리적 현상을 구현할 수 있게 되었습니다. 이는 수학이 추상적인 이론을 넘어 현실을 재창조하는 도구임을 보여줍니다. 딥러닝의 핵심은 수많은 데이터를 통해 최적의 가중치를 찾아내는 최적화 과정에 있습니다. 수백만 차원의 복잡한 함수에서 오차를 최소화하는 지점을 찾는 일은 마치 거대한 산맥에서 가장 낮은 골짜기를 찾는 것과 같습니다. 이 과정에서 인공지능은 행렬 연산을 반복하며 스스로 특징을 학습하지만, 왜 그런 결과가 도출되었는지 논리적으로 설명하기는 여전히 어렵습니다. 이러한 '블랙박스' 문제를 해결하고 시스템의 신뢰성을 확보하기 위해 수학자들은 지금도 치열한 연구를 이어가고 있습니다. 미래의 인공지능은 단순히 높은 정확도를 기록하는 것을 넘어, 자신의 판단 근거를 인간에게 논리적으로 설명할 수 있는 '설명 가능한 AI(XAI)'로 진화해야 합니다. 이를 위해서는 데이터 기반의 학습과 수학적 논리가 완벽하게 통합되어야 하며, 다양한 분야의 전문가들이 소통하며 창의적인 해결책을 모색해야 합니다. 인공지능이 인간의 언어를 완벽히 이해하고 수학적으로 투명해지는 날, 우리는 기술이 주는 혜택을 더욱 안전하고 풍요롭게 누리게 될 것입니다.

강명주, 오혜연

카오스재단카오스강연

뇌인지과학

[강연] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 (2) _ by이준엽 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강 | 8강 ②

수학은 복잡한 현실 세계의 문제를 추상화하여 해결하는 핵심적인 도구입니다. 심장의 박동이나 자동차의 움직임처럼 서로 전혀 다른 분야의 현상이라도, 이를 미분 방정식이라는 수학적 언어로 표현하면 동일한 논리 체계 안에서 해답을 찾을 수 있습니다. 수학자는 특정 분야에서 이룬 놀라운 성취를 다른 분야로 전파하는 매개체 역할을 수행하며, 모든 공학적 설계와 과학적 발견의 근간이 되는 알고리즘의 혁신을 이끌어냅니다. 이러한 수학적 기초는 현대 문명을 지탱하는 가장 강력한 힘입니다. 금융 시장의 복잡한 변화를 예측하는 데에도 수학은 결정적인 기여를 했습니다. 1940년대 일본의 수학자 이토 기요시가 정립한 '이토 미분'은 당시에는 추상적인 이론에 불과했으나, 30년 뒤 주식과 파생상품의 가치를 계산하는 금융공학의 핵심 도구로 재발견되었습니다. 이는 순수 수학적 아이디어가 고속 계산 알고리즘과 결합하여 거대한 산업적 변화를 일으킨 대표적인 사례로, 수학적 통찰이 시대를 앞서 새로운 경제적 가치를 창출할 수 있음을 보여주는 증거라고 할 수 있습니다. 구글의 성공 신화 뒤에는 선형대수학의 '고유치 문제'라는 수학적 원리가 숨어 있습니다. 초기 검색 엔진들이 단순히 단어의 유사성을 비교할 때, 구글은 웹페이지 간의 연결 관계를 수치화하여 정보의 권위와 중요도를 정량적으로 계산했습니다. 수많은 웹페이지를 이동하는 사용자의 확률적 분포를 계산하여 가장 가치 있는 정보를 상단에 배치하는 이 혁신적인 알고리즘은, 복잡한 네트워크 데이터를 수학적 관점으로 재해석함으로써 정보 검색의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 블록체인 기술은 수학적 암호화와 검증 과정을 통해 데이터의 신뢰성을 확보합니다. 각 블록은 이전 블록의 정보를 담은 해시값으로 연결되어 있으며, 복잡한 수학 문제를 풀어야만 새로운 블록을 생성할 수 있는 구조를 가집니다. 거래 내역을 직접 노출하지 않으면서도 공개키 암호와 해시 함수를 활용해 데이터의 무결성을 증명하는 이 방식은, 중앙 집중식 관리 없이도 전 세계 사용자가 동시에 정보를 신뢰하고 공유할 수 있는 새로운 디지털 생태계를 구축하는 기반이 되었습니다. 인공지능의 역사는 인간의 사고 과정을 기계로 구현하려는 수학적 도전에서 시작되었습니다. 앨런 튜링이 제안한 튜링 테스트부터 체스 챔피언을 이긴 딥 블루, 퀴즈 쇼에서 승리한 왓슨에 이르기까지 인공지능은 끊임없이 진화해 왔습니다. 특히 최근의 인공지능은 인간의 뇌 신경망을 모방한 인공 신경망 구조를 통해 데이터를 학습하며, 단순한 규칙 기반의 시스템을 넘어 스스로 패턴을 찾아내고 판단하는 수준에 도달하여 우리 삶의 모든 영역에 깊숙이 침투하고 있습니다. 알파고의 등장은 지식 기반 전문가 시스템과 데이터 기반 인공 신경망이 결합하여 이룬 놀라운 성취였습니다. 바둑의 방대한 경우의 수를 모두 계산하는 대신, 고수들의 기보를 학습한 정책망으로 유망한 수를 선택하고 가치망을 통해 승률을 예측하는 병렬 계산 방식을 도입했습니다. 하지만 이러한 딥러닝 기술이 왜 뛰어난 성능을 내는지, 얼마나 많은 데이터가 필요한지에 대한 수학적 이론은 여전히 미지의 영역으로 남아 있으며, 이는 현대 수학자들이 풀어야 할 새로운 과제가 되었습니다. 인류 문명의 발전 단계마다 그 시대를 이끄는 새로운 수학이 존재해 왔습니다. 농경 시대에는 기하학이, 산업 혁명기에는 해석학이 과학 기술의 발전을 견인했다면, 4차 산업 혁명 시대에는 비정형 데이터를 다루는 위상수학이나 확률 최적화 이론이 핵심적인 역할을 할 것입니다. 미래의 불확실한 세계를 탐험하기 위해서는 기존의 알고리즘을 넘어선 수학적 상상력이 필요하며, 이러한 학문적 탐구는 인공지능과 양자 컴퓨팅 등 미래 기술의 한계를 극복하는 열쇠가 될 것입니다.

이준엽

카오스재단카오스강연

수학