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[강연] "수학과 친해졌나요?" 상반기 총결산 2 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 10강 두 번째 이야기 | 10강 ②

라파엘로의 명작 '아테네 학당'에는 인류 역사상 가장 위대한 학자들이 한자리에 모여 있습니다. 그중 제논은 거북이를 영원히 따라잡을 수 없다는 역설을 통해 현대 미적분의 핵심인 무한의 개념을 이미 고대 그리스 시대에 제시했습니다. 또한 원자론의 창시자로 알려진 데모크리토스는 세상이 아주 작은 입자로 구성되어 있다는 철학적 통찰을 기하학 연구와 병행했습니다. 이처럼 고대의 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어 세상의 근원을 탐구하는 철학적 질문에서 시작되었습니다. 과거에는 수학과 철학, 천문학, 음악이 하나의 뿌리에서 나온 학문으로 여겨졌습니다. 플라톤 아카데미의 4대 과목인 산술, 천문학, 기하학, 음악은 모두 수학적 원리를 바탕으로 세상의 질서를 이해하려는 시도였습니다. '세상은 왜 이럴까'라는 근원적인 질문에 답을 찾아가는 과정에서 학문의 경계는 무의미했습니다. 자연의 법칙을 연구하는 것이 곧 수학이자 철학이었으며, 이러한 통합적 사고는 인류가 우주와 인간의 삶을 깊이 있게 통찰할 수 있는 토대가 되었습니다. 역사 속에는 비극적인 운명을 맞이한 위대한 여성 수학자 히파티아가 있습니다. 4세기 알렉산드리아에서 활동한 그녀는 유클리드 원론에 주석을 달아 대중화에 기여한 탁월한 교육자였습니다. 하지만 당시의 종교적, 정치적 갈등 속에서 신의 영역을 엿보았다는 비난을 받으며 마녀사냥의 희생양이 되었습니다. 인류 최초의 여성 수학자로 불리는 그녀의 삶은 짧았지만, 학문을 향한 열정은 후대 여성 학자들에게 커다란 영감을 주었으며 수학이 소수 남성만의 전유물이 아님을 증명했습니다. 근대에 이르러서도 여성의 학문적 길은 험난했습니다. 에미 뇌터는 여성의 대학 입학이 금지된 시기에 청강생으로 시작해 현대 대수학의 기틀을 마련했으며, 물리학의 보존 법칙과 수학적 불변량을 연결하는 위대한 업적을 남겼습니다. 소피 제르맹 역시 남성 가명으로 활동하며 가우스와 서신을 주고받았고, 페르마의 마지막 정리를 해결하는 결정적인 단초를 제공했습니다. 이들은 제도적 차별 속에서도 독학으로 자신만의 세계를 구축하며 수학사의 흐름을 바꾼 진정한 개척자들이었습니다. 현대 수학의 최고 영예인 필즈상에서도 여성들의 활약은 눈부십니다. 2014년 최초의 여성 수상자인 마리암 미르자카니는 리만 곡면의 모듈라이 공간을 연구하여 기하학의 새로운 지평을 열었습니다. 그녀는 투병 중에도 젊은 학자들과 소통하며 학문적 열정을 불태웠습니다. 이어 마리나 비아조프스카는 400년 난제였던 구 채우기 문제를 8차원과 24차원에서 증명해내며 수학적 아름다움을 보여주었습니다. 이러한 성취는 성별의 벽을 넘어 수학이라는 언어로 우주의 비밀을 푸는 인류 공통의 자산입니다. 수학은 현대 기술의 핵심인 암호와 인공지능 분야에서도 결정적인 역할을 합니다. 동형 암호 기술은 데이터를 암호화한 상태에서도 연산이 가능하게 설계되어, 개인 정보를 보호하면서도 인공지능 학습을 진행할 수 있는 길을 열어주었습니다. 또한 천체 궤도 연구에서 유래한 타원 곡선은 현대 암호 체계의 근간을 이루며 우리 실생활의 보안을 책임지고 있습니다. 복잡해 보이는 수식 뒤에는 세상을 안전하고 효율적으로 움직이게 하려는 수학자들의 치밀한 논리와 설계가 숨어 있습니다. 많은 이들이 수학을 어렵고 지루한 과목으로 기억하지만, 진정한 수학의 가치는 문제 풀이 기술이 아닌 사고의 즐거움에 있습니다. 입시 위주의 반복 학습은 수학이 가진 본연의 아름다움을 가리기도 하지만, 원리를 깨닫는 순간 수학은 세상을 바라보는 새로운 눈이 되어줍니다. 기초 체력을 기르는 과정이 고통스러울 수 있어도, 그 너머에 있는 논리적 구조와 미적인 조화를 발견할 때 우리는 비로소 수학의 매력에 빠지게 됩니다. 앞으로도 수학은 인류의 호기심을 자극하며 끊임없이 진화할 것입니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기 1_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 첫 번째 이야기 | 1강 ①

많은 이들이 수학을 막연한 두려움이나 적개심의 대상으로 여기곤 합니다. 하지만 수학자들 역시 수학이 무섭고 때로는 고통스러운 존재라고 고백합니다. 그들은 우리 모두가 어느 시점에서 포기하느냐가 다를 뿐, 본질적으로는 모두가 '수포자'와 같은 심정을 공유한다고 말합니다. 이러한 공감대는 수학이 단순히 천재들만의 전유물이 아니라, 좌절을 견디고 도전하는 과정에서 얻는 아주 드문 희열을 동력으로 삼는 인간적인 학문임을 보여줍니다. 수학자에 대한 고정관념 중 하나는 그들이 오직 문제 풀이에만 몰두하는 괴짜 천재라는 점입니다. 하지만 실제 수학자들은 테니스나 게임을 즐기고, 장르를 가리지 않는 독서광이기도 합니다. 어떤 이는 프로게이머를 꿈꿨을 만큼 평범한 취미에 진심을 다하기도 합니다. 이러한 인간적인 면모는 수학이라는 학문이 차가운 수식의 나열이 아니라, 다양한 개성을 가진 사람들이 각자의 방식으로 세상을 이해하려는 노력의 산물임을 깨닫게 해줍니다. 대수학은 흔히 어렵게 느껴지지만, 사실 '숫자를 대신한다'는 단순한 원리에서 시작됩니다. 복잡한 현실의 문제를 x, y와 같은 문자로 단순화하여 표현하는 것이 대수학의 핵심입니다. 역사적으로 방정식은 땅의 넓이를 재거나 건물을 짓는 실용적인 목적에서 발전해 왔습니다. 사회가 고도화되고 금융과 화폐 경제가 발달하면서 복리 계산과 같은 더 높은 차원의 방정식이 필요해졌고, 이는 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 연결되어 있는지를 잘 보여줍니다. 수 세기 동안 수학자들은 이차 방정식의 근의 공식처럼 5차 이상의 고차 방정식에서도 일반적인 해법을 찾고자 분투했습니다. 그러나 노르웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아라는 두 젊은 천재는 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명해 냈습니다. 이는 단순히 공식을 찾지 못한 것이 아니라, 수학적 구조상 불가능함을 밝혀낸 혁명적인 사건이었습니다. 이들의 발견은 인류가 2,000년 동안 품어온 질문에 종지부를 찍으며 수학의 새로운 지평을 열었습니다. 갈루아는 고차 방정식의 해법을 연구하는 과정에서 '군론(Group Theory)'이라는 새로운 수학적 언어를 창조했습니다. 그는 방정식의 근들이 가진 대칭성과 구조를 분석함으로써 문제의 본질에 접근했습니다. 군론은 단순히 계산을 넘어 추상적인 구조를 다루는 현대 대수학의 시초가 되었으며, 오늘날 물리학과 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 보이지 않는 질서를 수식으로 포착하려 했던 젊은 수학자의 열정은 현대 과학의 근간을 이루는 위대한 유산이 되었습니다. 한국 수학계의 선구자인 이임학 교수는 일제강점기와 해방 직후의 척박한 환경 속에서도 세계적인 업적을 남겼습니다. 그는 독학으로 최신 수학 잡지를 탐독하며 당시의 난제들을 해결했고, 한국인 최초로 국제 학술지에 논문을 발표하는 쾌거를 이루었습니다. 특히 군론 분야에서 그가 발견한 '리 군(Ree Group)'은 현대 수학의 중요한 성과로 인정받고 있습니다. 정식 대학원 교육조차 받기 어려웠던 시절, 오로지 학문에 대한 열정 하나로 세계 무대에 우뚝 선 그의 삶은 경이로움 그 자체입니다. 이임학 교수의 생애는 한국 근현대사의 비극과 맞닿아 있습니다. 냉전 시대의 정치적 상황으로 인해 국적을 박탈당하고 캐나다에서 무국적자로 살아야 했던 시련 속에서도 그는 연구를 멈추지 않았습니다. 그는 자신의 성취에 머물지 않고 후학들을 위해 교재를 번역하며 한국 수학의 기틀을 닦는 데 헌신했습니다. 세계가 인정한 천재였으나 조국에서는 오랫동안 잊혔던 그의 이야기는, 진리를 향한 순수한 열정이 시대의 아픔을 어떻게 초월할 수 있는지를 우리에게 깊은 울림으로 전해줍니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[2024 봄 카오스강연] 수학 좋아해요? 아주대 학생에게 물어보았습니다!

현대 수학의 심오한 세계를 대중에게 전달하려는 시도는 전문가와 학습자 사이의 인식 차이를 확인하는 것에서 시작됩니다. 교수님들은 통계학이나 선형대수학 같은 기초 학문에 대해 학생들이 어느 정도 지식을 갖추고 있을 것이라 기대하시지만, 실제 현장의 목소리는 조금 다릅니다. 자발적으로 관련 과목을 선택한 학생들조차 현대 수학의 복잡한 이론 앞에서는 막막함을 느끼는 경우가 많습니다. 따라서 대중 강연 콘텐츠의 핵심은 단순히 지식을 전달하는 것을 넘어, 수학이 우리 삶과 어떻게 연결되는지 설득력 있게 제시하는 데 있습니다. 대학 강의실에서 만난 학생들의 전공과 수학에 대한 태도는 매우 다양합니다. 수학의 중요성을 인지하고 흥미를 느끼는 학생들도 존재하지만, 상당수는 전공 필수라는 의무감 때문에 학업을 이어가고 있습니다. 특히 고등학교 시절의 과도한 학습량과 대학 진학 후 마주하는 새로운 즐거움들은 수학과의 거리를 더욱 멀어지게 만드는 요인이 되기도 합니다. 수학을 공부하는 기쁨이 단순한 과제 해결의 고통으로 치부되는 현실 속에서, 학생들이 진정으로 즐길 수 있는 수학적 유희가 무엇인지 고민하는 과정이 반드시 필요합니다. 수학 용어에 대한 낯섦은 대중화의 가장 큰 걸림돌 중 하나입니다. 대수기하학이나 타원곡선, 대수위상학과 같은 용어들은 전공자가 아닌 이들에게는 마치 외계어처럼 들리기도 합니다. 심지어 익숙해 보이는 용어조차 그 본질적인 의미를 오해하는 경우가 많습니다. 이러한 인식의 차이는 수학적 개념이 대중에게 도달하는 과정에서 발생하는 전형적인 오류를 보여줍니다. 따라서 전문적인 개념을 대중이 이해할 수 있는 방식으로 가공하는 과정은 수학 콘텐츠 제작의 필수적인 단계라고 할 수 있습니다. 미분과 같은 기초적인 개념조차 시험을 위한 도구로만 소비될 뿐, 그 실질적인 의미를 체감하는 학생은 드뭅니다. 자동차 속도계의 수치가 미분의 결괏값이라는 사실을 직관적으로 받아들이지 못하는 현실은 수식 위주 교육의 한계를 여실히 드러냅니다. 대중이 수학 콘텐츠에 기대하는 것은 단순한 지식의 나열이 아닙니다. 일상 속의 사례를 통해 수학적 원리를 발견하고, 그 과정에서 지적인 즐거움을 느낄 수 있는 구성이 시청자의 관심을 끌어모으고 수학에 대한 거부감을 줄이는 결정적인 역할을 하게 됩니다. 수학을 포기하게 되는 과정은 개인마다 다르지만, 공통적으로는 이해하기 어려운 설명과 학습 동기의 부재가 자리 잡고 있습니다. 이공계 학생들조차 왜 배우는지 모른 채 억지로 공부하는 경우가 많으며, 교수님의 설명이 이해되지 않아 외부 영상 매체를 찾아보는 것이 일상이 되었습니다. 결국 수학 대중화의 성공은 수포자가 생기지 않도록 처음부터 친절하게 길을 안내해 주는 콘텐츠의 유무에 달려 있습니다. 누구나 수학의 아름다움을 발견할 수 있도록 돕는 세심한 접근이 현대 수학 교육의 새로운 지향점이 되어야 합니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[질문Q] 수포자가 되지 않는 방법은? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여

수학 교육 현장에서 '수포자'라는 단어가 유행처럼 번지는 현실은 매우 안타까운 일입니다. 이는 학생들이 수학을 이해하지 못해서라기보다, 비정상적으로 꼬여 있는 문제나 지엽적인 기술만을 강조하는 교육 방식에 기인한 측면이 큽니다. 수학을 거대한 틀에서 바라보지 못하게 하고 상상력을 제한하는 현재의 입시 중심 교육은 수학을 즐거운 탐구가 아닌 고통스러운 노동으로 변질시킵니다. 양적인 학습보다는 수학적 의미를 되새기고 흥미를 느낄 수 있는 동기 부여의 시간이 절실합니다. 수학을 연구하는 과정에서 겪는 막막함은 비단 학생들만의 고민이 아닙니다. 세계적인 수학자들조차 자신의 재능을 의심하거나 독창적인 연구를 해낼 수 있을지 고뇌하는 순간을 마주하곤 합니다. 중요한 것은 이러한 어려움 속에서도 자신이 가치 있다고 믿는 문제를 향해 꾸준히 나아가는 태도입니다. 수학은 단기적인 성과보다 장기적인 흥미와 즐거움이 더 큰 힘을 발휘하는 학문입니다. 스스로에 대한 확신을 가지고 단계를 넘어서다 보면 결국 자신만의 가치 있는 답을 찾게 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름 중 하나인 랭랜즈 프로그램은 서로 다른 수학 분야들을 하나의 체계로 통합하려는 원대한 시도입니다. 지난 수십 년간 수학은 정수론적 문제를 해결하기 위해 해석학이나 기하학의 도구를 동원하는 등 분야 간의 경계가 점점 옅어지는 방향으로 발전해 왔습니다. 이러한 통합이 완벽히 이루어지기까지는 수백 년의 시간이 더 걸릴지도 모르지만, 복잡하게 얽힌 수학적 구조를 보다 근본적으로 이해하려는 노력은 지금 이 순간에도 끊임없이 이어지고 있습니다. 수학의 여러 분야가 서로의 도구를 공유하며 융합되는 추세임에도 불구하고, 각 분야 고유의 정체성은 여전히 중요한 의미를 지닙니다. 어떤 도구를 사용하느냐보다 궁극적으로 무엇을 알고 싶어 하는가에 따라 수학자의 정체성이 결정되기 때문입니다. 마치 하나의 국가 안에서도 지역마다 고유한 특색이 살아있듯, 수학 또한 거대한 통합의 길을 지향하면서도 각 세부 분야만의 독특한 시각과 해석 방식을 유지합니다. 이러한 다양성은 수학이라는 학문을 더욱 풍요롭고 거대하게 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 지식을 대중에게 전달하는 방식에 있어서도 새로운 변화가 필요합니다. 단순하고 얕은 수준의 정보 전달을 넘어, 조금 더 깊이 있고 본질적인 수학의 아름다움을 다루는 고급 강연이 많아져야 합니다. 랭랜즈 프로그램이나 리만 가설과 같은 거대한 난제들이 서로 어떻게 연결되어 있는지 아직 명확히 밝혀지지 않은 부분들이 많습니다. 이러한 미지의 영역을 탐구하려는 호기심을 자극하고, 영상과 같은 효과적인 매체를 통해 수학의 가치를 공유하는 일은 미래 수학 발전의 밑거름이 될 것입니다.

카오스재단명강리뷰&질문Q

[질문과 토론의 과학 #5] 👓🎓수학 천재, 재능일까? 노력일까?

수학을 잘하기 위해 필요한 가장 중요한 재능은 무엇일까요? 많은 이들이 계산력이나 논리력을 떠올리지만, 그 핵심에는 상상력이 자리 잡고 있습니다. 집합론의 창시자 칸토어가 무한의 크기를 비교하며 일대일 대응이라는 획기적인 아이디어를 낸 것은 영화 '인셉션'의 감독이 발휘한 상상력 그 이상이었습니다. 이처럼 수학은 단순히 숫자를 다루는 학문을 넘어, 보이지 않는 세계를 머릿속에 그려내고 그 안에서 새로운 질서를 찾아내는 창의적인 과정이라 할 수 있습니다. 물론 위대한 성취를 위해서는 천부적인 재능이 필요할 수 있지만, 우리가 일상에서 마주하는 수학은 노력으로 충분히 정복 가능합니다. 실제로 성공한 수학자들 중에는 학창 시절 수학 성적이 좋지 않았으나 대학에서 추상적인 개념에 매료되어 끊임없는 노력 끝에 결실을 맺은 사례가 많습니다. 수학자들에게 노력은 삶의 일부이며, 잠자는 시간을 제외한 거의 모든 순간을 수학적 사고에 몰입합니다. 이러한 끈기는 재능을 후천적으로 꽃피우게 만드는 가장 강력한 동력이 됩니다. 수학적 사고력을 키우는 비결은 정답을 빨리 맞히는 것이 아니라, 문제를 충분히 즐기며 고민하는 시간에 있습니다. 예를 들어 동물들의 다리 개수를 맞히는 간단한 문제를 아이들에게 던져주고, 스스로 원리를 깨달을 때까지 몇 달이고 기다려주는 여유가 필요합니다. 연립방정식이라는 용어를 몰라도 그림을 그리며 논리를 세워가는 과정 자체가 수학적 재능을 기르는 훈련입니다. 틀린 문제를 제시해 아이가 스스로 오류를 찾아내게 하는 경험은 수학에 대한 자신감과 즐거움을 동시에 선사합니다. 안타깝게도 많은 학생이 수학을 포기하는 '수포자'가 되는 이유는 수학의 추상성과 지루한 연습 과정 때문입니다. 개념을 체득하기까지는 많은 시간과 노력이 필요한데, 현실적인 보상은 오직 성적으로만 주어지다 보니 가성비를 따지게 되는 것입니다. 수학을 싫어해서가 아니라, 더 잘하고 싶은 마음과 현실 사이의 괴리 때문에 사랑하지만 이별을 택하는 상황인 셈입니다. 따라서 교육 환경은 학생들이 수학의 본질적인 재미를 느낄 수 있도록 결과 중심에서 과정 중심으로 변화해야 합니다. 수학은 단순한 교과목을 넘어 과학의 언어이자 사고의 틀입니다. 미국의 한 대학에서는 수학을 제2외국어 영역에 포함시키기도 했는데, 이는 수학이 소통의 도구일 뿐만 아니라 세상을 바라보는 프레임을 형성하기 때문입니다. 수학적 언어는 명료하고 논리적인 문법을 가지고 있어 오해의 소지를 없애고 현상을 정확하게 기술하게 해줍니다. 일상적인 단어의 정의가 모호할 때 수학적 정의의 명확함을 깨닫는 순간, 우리의 의식은 한 단계 더 확장되는 경험을 하게 됩니다. 수학의 보편성은 지구를 넘어 우주로까지 확장됩니다. 1974년 외계 지적 생명체에게 보낸 '아레시보 메시지'는 이진법과 소수의 원리를 기초로 제작되었습니다. 소수 두 개의 곱으로 이루어진 화소 수는 외계인이 메시지를 직사각형 형태로 복원할 수 있게 돕는 유일한 단서가 됩니다. 이처럼 수학은 우주 공통의 언어로서, 지능을 가진 존재라면 누구나 이해할 수 있는 논리적 기반이 됩니다. 자연과 우주의 질서를 설명하는 가장 아름답고도 강력한 도구가 바로 수학인 것입니다. 수학자가 되는 결정적인 순간은 거창한 사건보다 가랑비에 옷 젖듯 찾아오는 감동의 순간들입니다. 소수가 무한히 많다는 사실을 귀류법으로 증명했을 때의 전율이나, 복소평면을 통해 수의 세계가 평면으로 확장되는 것을 목격했을 때의 경이로움이 그 예입니다. 정수 전체를 대표하는 숫자로 묶어내는 잉여류의 구조처럼, 복잡한 세상을 단순하고 명쾌한 질서로 정리하는 수학의 매력은 끝이 없습니다. 이러한 지적 유희를 경험한다면 누구나 수학이라는 드넓은 바다를 항해하는 즐거움을 누릴 수 있습니다.

카오스재단질토과 + 짧강

[석학인터뷰] 금종해 ─ 10년 내에 수학계 노벨상 나온다!

수학은 많은 이들에게 어렵고 딱딱한 학문으로 인식되곤 합니다. 최근 우리나라에서는 '수포자'라는 용어가 유행하며 수학 교육과정을 약화시키려는 움직임도 있지만, 단순히 내용을 줄인다고 해서 수학을 포기하는 학생들이 사라지는 것은 아닙니다. 오히려 과거에 비해 기초과학의 인기가 줄어든 상황에서도 우수한 학생들이 수학과로 몰리는 현상은 주목할 만합니다. 이는 수학이 단순히 학문적 탐구에 그치지 않고, 대학원 등 더 높은 단계에서 의미 있고 재미있는 일을 할 수 있는 강력한 도구가 될 것이라는 기대감이 반영된 결과라고 볼 수 있습니다. 현재 우리나라의 수학 교육과정은 과거에 비해 상당히 쉬워졌으며 교과서의 두께도 얇아졌습니다. 초등학교에 도입된 스토리텔링 수학은 본래 흥미를 유발하려는 목적이었으나, 이를 평가와 연결하면서 오히려 학생과 학부모들에게 또 다른 부담으로 작용하고 있습니다. 한때 미국 대통령들이 한국의 수학 교육을 모범 사례로 언급하던 시절도 있었지만, 이제는 더 이상 세계적인 벤치마킹 대상이 되지 못할 정도로 교육의 질적 수준이 약화되었습니다. 아이들에게 배움의 기회를 박탈하기보다, 제대로 가르치되 평가의 방식을 개선하는 방향으로 나아가야 합니다. 수학자가 되기 위해 가장 필요한 자질은 빠른 계산 능력이나 암기력이 아닙니다. 진정한 수학자는 수학적 상황 자체를 즐기고 분석하는 과정을 사랑하는 사람입니다. 학교 시험처럼 정해진 시간 내에 문제를 풀어내는 능력은 수학적 연구를 수행하는 데 필수적인 요소가 아닙니다. 계산이 틀리는 것은 주변의 도움이나 도구로 충분히 보완할 수 있는 부분입니다. 중요한 것은 어려운 문제에 직면했을 때 이를 포기하지 않고 끈기 있게 매달리는 태도입니다. 수학을 좋아하는 마음을 잃지 않고 꾸준히 탐구하는 과정 자체가 수학자의 길로 이어지는 비결입니다. 한국의 수학은 짧은 역사에도 불구하고 비약적인 발전을 거듭하여 현재 세계 10위권 내외의 위상을 확보하고 있습니다. 특히 대수기하학 분야에서 한국인 수학자들의 활약은 눈부시며, 머지않은 미래에 필즈상 수상자가 배출될 것으로 기대됩니다. 필즈상은 마흔 살 이전의 젊은 수학자에게 주어지는 영예로운 상으로, 현재 한국에는 그 자격을 갖춘 우수한 인재들이 존재합니다. 이러한 성과는 특정 분야에 국한되지 않고 여러 학문을 융합하여 새로운 길을 찾아내려는 수학자들의 끊임없는 도전과 연구가 뒷받침되었기에 가능한 일이었습니다. 과학계와 우리 사회 전반에 필요한 것은 합리적인 의사결정과 결과에 승복하는 문화입니다. 과학적 지식을 확산하는 것만큼이나 중요한 것은 전문가의 의견을 존중하고 합리적으로 행동하는 태도입니다. 정치 지도자들이 모든 과학 분야를 깊이 있게 알기는 어렵지만, 해당 분야의 전문가 커뮤니티에 자문을 구하고 그들의 판단을 정책에 반영하는 시스템이 정착되어야 합니다. 수학과 과학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 끊임없이 새로운 문제를 발견하고 탐구하는 끝없는 여정입니다. 이러한 학문적 열정이 국가 경쟁력의 근간이 될 것입니다.

금종해

카오스재단석학인터뷰

수학

[강연] 세상 속의 수數다 (5) _ by고계원 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 1강 | 1강 ⑤

최근 우리 사회에서 '수포자'의 증가는 단순한 개인의 문제를 넘어선 일종의 사회적 현상으로 자리 잡았습니다. 수학이 다루는 대상과 기호가 매우 추상적이다 보니, 이를 온전히 이해하고 체화하는 과정은 지난하고 고통스러울 수밖에 없습니다. 특히 성적이 유일한 보상으로 여겨지는 현실에서 학생들은 시간 대비 효율을 따지게 되고, 결국 수학을 포기하는 선택을 하게 됩니다. 수학자들은 이러한 상황에 대해 미안함을 느끼며, 수학을 포기한 이들이 언젠가 다시 그 즐거움을 발견하기를 바라는 따뜻한 시선을 보내고 있습니다. 수학은 흔히 '과학의 언어'라고 불립니다. 이는 단순히 계산 도구를 넘어 우리의 생각을 정교하게 전달하고 논리적 사고의 틀을 형성하는 지적인 매체이기 때문입니다. 실제로 미국의 한 대학에서는 수학을 외국어 과목으로 인정하기도 했는데, 이는 수학이 과학적 지식을 습득하기 위한 필수적인 사고의 틀을 제공한다는 점을 인정한 결과입니다. 명확한 정의와 논리적인 문법을 가진 수학은 오해의 소지 없이 현상을 기술할 수 있는 가장 강력한 도구로서 우리 인간의 의식을 확장해 주는 역할을 수행합니다. 수학의 언어적 특성은 지구를 넘어 우주로까지 확장됩니다. 1974년 발사된 '아레시보 메시지'는 외계 지적 생명체와의 소통을 위해 철저히 수학적 사고에 기초하여 설계되었습니다. 이진법을 활용해 태양계와 인간의 형상을 담은 이 메시지는 1679개의 화소로 이루어져 있는데, 이는 두 소수인 23과 73의 곱입니다. 소수는 더 이상 분해되지 않기에 메시지를 수신한 존재가 직사각형 형태의 그림을 정확히 재구성할 수 있게 돕습니다. 이처럼 수학은 우주 어디에서나 통용될 수 있는 공통의 언어로서 존재합니다. 수학의 세계에서 '무한'은 매우 중요하면서도 난해한 개념입니다. 칸토어와 같은 수학자는 무한의 층위를 연구하며 집합마다 크기가 다를 수 있음을 밝혀냈지만, 그 과정에서 겪은 학계의 비판과 논리적 한계로 인해 고통받기도 했습니다. 무한은 단순히 끝이 없음을 의미하는 것이 아니라, 연속체 가설과 같은 심오한 질문을 던지며 수학의 기초를 흔드는 철학적 영역이기도 합니다. 비수학자들에게는 신비로운 영역으로 보일 수 있으나, 수학자들에게 무한은 끊임없이 도전하고 엄밀하게 증명해 나가야 할 논리의 장입니다. 인도의 천재 수학자 라마누잔은 무한을 가장 능수능란하게 다룬 인물 중 한 명입니다. 전문적인 교육 없이 직관만으로 수많은 공식을 발견한 그는 영국의 하디 교수와 교류하며 수학적 우정을 나누었습니다. 라마누잔이 직관적으로 내놓은 결과들을 하디가 논리적으로 증명해 나가는 과정은 수학의 직관과 논리가 어떻게 상호작용하는지를 잘 보여줍니다. 그가 남긴 정수 분할 이론과 마지막 편지의 수식들은 오늘날까지도 현대 수학의 중요한 연구 과제로 남아 많은 이들에게 지적인 영감을 주고 있습니다.

강순이, 고계원

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 미래의 수학자 (4) _ by엄상일 | 2017 가을 카오스 강연 '미래과학' 5강 | 5강 ④

현대 수학에서 증명의 영역은 더 이상 인간의 전유물이 아닙니다. 1980년대 이후 수치해석과 논리 체계가 결합하면서 'Coq'와 같은 소프트웨어가 등장했고, 이는 수학자들이 이론적으로 수행할 수 있는 모든 증명을 컴퓨터가 도울 수 있는 길을 열었습니다. 과거에는 수백 페이지의 논문과 방대한 프로그램을 별개로 취급했지만, 이제는 이를 동시에 처리하며 복잡한 난제를 해결하는 시대가 되었습니다. 비록 지식의 한계는 존재할지라도, 컴퓨터를 활용한 전수 조사는 수학적 탐구의 지평을 넓히는 강력한 도구가 되고 있습니다. 하지만 컴퓨터가 수행하는 증명을 완벽하게 신뢰할 수 있는지에 대해서는 신중한 접근이 필요합니다. 논리학자 괴델이 증명한 '불완전성 정리'에 따르면, 어떤 공리 체계 내에서도 참과 거짓을 판별할 수 없는 명제가 반드시 존재하기 때문입니다. 이는 아무리 정교한 프로그램을 설계하더라도 그 무오류성을 완벽하게 입증하는 프로그램을 찾는 것이 논리적으로 매우 어렵다는 점을 시사합니다. 결국 수학적 진리는 완벽한 시스템 구축보다는 끊임없는 검증과 보완의 과정 속에 존재한다고 볼 수 있습니다. 현실적인 관점에서 컴퓨터의 오류 가능성은 인간에 비해 현저히 낮습니다. 인간의 실수는 빈번하게 발생하지만, 컴퓨터가 내는 오류의 범위는 1조 분의 1 정도로 극히 미미합니다. 물론 우주 방사선이 메모리에 영향을 주어 비트가 바뀌는 하드웨어적 결함이나 소프트웨어 자체의 버그가 발생할 가능성은 여전히 남아 있습니다. 그럼에도 불구하고 현대 수학자들은 이러한 미세한 확률을 줄이기 위해 오류 정정 기술을 개발하고 있으며, 이는 인간의 직관이 놓치기 쉬운 정밀한 계산을 보완하는 핵심적인 역할을 수행합니다. 수학 연구를 흔히 천재들만의 전유물로 오해하곤 하지만, 실제로는 끈기 있는 노력과 협업이 무엇보다 중요합니다. 수십 페이지에 달하는 논문을 작성하며 수년간 오류를 수정하고 논리를 다듬는 과정은 인간의 인내심을 시험하는 작업입니다. 또한 현대 수학은 혼자만의 사색을 넘어 동료들과의 소통을 통해 완성됩니다. 서로 다른 언어와 사고방식을 가진 연구자들이 협력하며 문제를 해결해 나가는 과정은, 수학이 단순한 계산을 넘어 인간적인 교류와 열정이 집약된 학문임을 잘 보여줍니다. 수학자들이 추구하는 '아름다운 증명'이란 단순히 답을 찾는 것을 넘어 간결하고 효율적인 논리적 경로를 제시하는 것입니다. 여러 갈래의 길 중에서 가장 명쾌한 지름길을 찾아내고, 기하학적 문제를 대수적으로 풀어내는 것처럼 서로 다른 분야를 연결할 때 그 가치는 더욱 높게 평가됩니다. 또한 순수 수학적 호기심에서 시작된 연구가 공학적 난제를 해결하거나 실생활의 기술로 응용될 때 수학의 진정한 위력이 발휘됩니다. 즉, 좋은 증명이란 보편성과 확장성을 동시에 갖춘 논리의 예술이라 할 수 있습니다. 인공지능의 발전은 수학적 창의성에 대한 새로운 질문을 던집니다. 알파고와 같은 시스템이 놀라운 결과를 보여주지만, 이를 진정한 의미의 창의성으로 볼 수 있는지에 대해서는 의견이 갈립니다. 현재의 컴퓨터는 튜링 기계의 한계 내에서 작동하며, 스스로 이론을 정립하거나 자신의 한계를 인식하여 업그레이드하는 인간 특유의 창조적 능력을 완전히 대체하지는 못하고 있습니다. 결국 컴퓨터가 잘할 수 있는 영역과 인간만이 수행할 수 있는 창의적 모방의 영역을 구분하고 이해하는 것이 미래 수학의 중요한 과제가 될 것입니다. 마지막으로 우리 사회의 수학 교육은 결과 중심의 경쟁에서 벗어나 원리와 즐거움을 찾는 방향으로 나아가야 합니다. 많은 학생이 수학을 '스피드 퀴즈'처럼 여기며 공식 암기에 매달리지만, 진정한 수학적 사고는 문제를 천천히 씹어보고 자신의 생각을 타인에게 설명하는 과정에서 길러집니다. 정답을 맞히는 속도보다 중요한 것은 논리적 전개 과정을 스스로 깨닫는 경험입니다. 수학이 실생활의 다양한 기술을 지탱하는 기초임을 이해하고, 배운 것을 나누며 함께 성장하는 문화를 만들 때 수포자가 없는 즐거운 학습이 가능해질 것입니다.

엄상일, 이계식, 이준엽

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